聚焦与圆有关的中考多解问题_

圆中的多解问题一、知识要点1、圆是一种“完美”的图形，它既是轴对称图形又是中心对称图形，更具有旋转不变性。

由圆的对称性引出的性质和定理在计算圆心角、圆周角、弦、弦心距、切线等知识时要结合图形考虑多解问题；2、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系是多解问题的重点；3、和圆有关的动态问题要考虑多解。

二、例题精选例1：（1）一条弦分圆周为9：11，这条弦所对的圆周角的度数是；（2）半径为5的圆中有一条长为5的弦，这条弦所对的圆周角等于度；（3）⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB与CD之间的距离是；（4）半径为1的圆中，弦AB，AC的长分别是，，则∠BAC等于度；（5）在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8㎝，最短距离为2㎝，则⊙O的半径为；（6）圆内有一点P，过P的最短弦长4cm，最长弦长15cm，过P有条整数弦；（7）半径为25和39的两圆相交，公共弦长30，则两圆的圆心距是。

⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，点C是优弧AMB上一点，且求∠OAC度数。

解题思路：由于点C的位置没有确定，在画出一个点的位置时；要考虑第二个点C的位置。

所以∠OAC的度数是150 或750 。

例3：已知⊙0的直径AB=10，弦CD中的点C到AB的距离为3，点D到AB的距离离为4，则圆心O到弦CD的距离=_________。

解题思路：由于弦CD的位置不确定，所以有如图（1）和（2）两种情况，过点O作OH⊥CD垂足为H，连接OC、OD，由垂径定理可知，CH=DH。

(1)点C、点D在直径AB的同侧，在中，在中，，过点H作于G，∴，∴，，在中。

（2）点C、点D在直径AB的两侧时，求得，，，不难得到∽，由,DF=4, ∴, MF=4，∴又因为∽，∴。

综上所述圆心O到弦CD的距离为或。

例4：如图，点A、B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm 的速度自左向右运动，运动时间为t（秒）（t≥0）（1）试写出圆心A、B之间的距离d（cm）与时间t（秒）之间的函数表达式（2）若圆心A运动的同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系为r=1+t（t≥0），问点A出发多少秒时，两圆相切？解题思路：（1）d 只受AB 位置的影响，所以得AB 两种不同的位置关系，逐一解决解：（略）（2）明确对象：圆与圆的位置关系； 确定关键元素：圆心距和两圆半径确定位置关系：相切分为内切和外切，又由于AB 位置的变化，故有四种不同的情况，即：由左至右分别是外切、内切、内切、外切，逐一求解解：（略）3秒（外切）、13（外切）秒，秒（内切）、11秒（内切）例5：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，AC=6cm ，BC=8cm ，P 为BC 的中点，动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2cm/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆。

聚焦圆中无图多解题（含答案） 1、已知⊙O的半径是6cm，⊙O的弦AB＝63，则弦AB所对的圆周角是 。

2、已知AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB＝2，AC＝2，AD＝1，则∠CAD＝ 。

3、在直径为50cm的⊙O中，弦AB＝40cm，弦CD＝48cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是 。

4、已知P点到⊙O的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙O的半径为 。

5、相交两圆的公共弦长为6cm，两圆的半径分别为32，5，则这两圆的圆心距等于 。

6、点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP＝3cm，在过点P的所有弦中长度为整数的弦一共有 条7、已知⊙O的半径为5cm，弦AB＝8，P为AB上一动点，且OP长为整数，满足条件的P点有 个8、⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B＝9090°°那么∠AO2B的度数是 。

9、从不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线交⊙O于B、C，且AB〃 AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径等于 。

10、已知⊙O的半径为5cm，AB是弦，P是直线AB上的一点，PA＝3cmAB＝8cm，则tan∠OPB的值为 。

11、已知PA、PB是⊙O的两条切线，点C是⊙O上异于A、B的一点，过C点切线交PA、PB于D、E两点，若∠APB＝400，则∠DOE＝ 。

12、已知等腰△ABC内接于⊙O，底边BC＝8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，则腰长AB＝ . 13、在△ABC中，∠C＝90o，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则R 的取值范围 。

14、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 。

15、在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 。

16、已知⊙O 1和⊙O 2仅有一条公切线，⊙O 1半径为3cm ，且O 1O 2＝5cm,则⊙O 2的半径等于 。

17、已知⊙O 上有A 、B 、C 三点，若弦AC 的长恰好等于⊙O 的半径，则∠ABC ＝ 。

【圆】相关知识点解答题专项集锦（含解析）1．已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝30°，连接AC．（Ⅰ）如图①，求∠A的大小；（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，∠BCE＝120°，BE＝8，求CE的长2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠BCD＝∠A．（2）将△ADC折叠，使AD与DC边重合，折痕DE分别交AC，BC于点E，F．当CE＝1时，求EF的长．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC 于E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝5，BE＝3，求图中阴影部分的面积．4．如图，点C是⊙O外一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为点D，连接CO并延长交⊙O于点B，连接BD并延长与BC的垂线CA交于点A．（1）求证：CD＝AC；（2）若EC＝ED，⊙O的半径是3，求AC的长．5．在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），C（6，2）．（1）请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；（2）请找出一个点D，使得直线CD与⊙M相切，并写出点D的坐标．6．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）7．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．8．如图，点P在⊙O外，M为OP的中点，以点M为圆心，以MO为半径画弧，交⊙O于点A，B，连接PA；（1）判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）连接AB，若OP＝9，⊙O的半径为3，求AB的长．9．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝，求图中阴影部分的面积．10．如图，⊙O的半径为4，点E在⊙O上，OE⊥弦AB，垂足为D，OD＝2．（1）求AB的长；（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），直接写出∠ACB的度数．参考答案1．解：（Ⅰ）连接OC，如图①：∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴∠COB＝90°﹣∠D＝60°，∴∠A＝∠COB＝30°；（Ⅱ）连接OC交BE于点F，如图②：由（1）得：∠COB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∵∠BCE＝120°，∴∠ECF＝∠BCE﹣∠OCB＝120°﹣60°＝60°，∵∠E＝∠A＝30°，∴∠CFE＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OC⊥BE，∴EF＝BE＝×8＝4，∵cos E＝，∴CE＝＝＝＝．2．（1）证明：连接OC，如图：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A；（2）解：由折叠的性质得：∠CDE＝∠ADE，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDE，即∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝1，∵∠ACB＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CE＝．3．解：（1）连接OA．∵AD∥OC，∴∠AOC +∠OAD ＝180°，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝2×45°＝90°，∴∠OAD ＝90°，∴OA ⊥AD ，∵OA 是⊙O 的半径，∴AD 是⊙O 的切线；（2）∵AO ＝CO 且∠AOC ＝90°，∴∠ACO ＝∠CAO ＝45°，即∠B ＝∠ACE ，∵∠CAE ＝∠BAC ，∴△AEC ∽△ACB ， ∴＝，∴AC 2＝AE •AB ＝40，∴AC ＝2，在Rt △AOC 中，∵2OA 2＝AC 2＝40，∴AO ＝CO ＝2，S 阴影＝S 扇形OAC ﹣S △AOC ＝﹣×（2）2＝5π﹣10．4．（1）证明：∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝90°，∴∠ADC ＝180°﹣∠ODC ﹣∠BDO ＝180﹣90°﹣∠BDO ， ∵OB ＝OD ，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADC＝90°﹣∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B，∴∠ADC＝∠A，∴CD＝AC；（2）∵⊙O的半径是3，∴OD＝OE＝3，∵∠ODC＝90°，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠DEO＝2∠EDC，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED＝2∠EDC，∴3∠EDC＝90°，∴∠EDC＝30°，∴∠ODE＝60°，∴△EDO是等边三角形，∴DE＝OE＝3，∴OC＝2OD＝6，∴CD＝＝3，∴AC＝CD＝3．5．解：（1）如图1，连接AB、BC，作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，由图形可知：这点的坐标是（2，0），∴圆弧所在圆的圆心M点的坐标是（2，0）；（2）如图2，连接MC，过C作CD⊥CM，交x轴于D，则直线CD与⊙M相切，过C作CE⊥MD于E，∵MC⊥CD，CD⊥MD，∴∠MCD＝∠CED＝90°，∵∠MCE＝∠EDC＝90°∠CME，∴△MCE∽△CDE，∴＝，∵点M的坐标为（2，0），点C的坐标为（6，2），∴ME＝OE﹣OM＝6﹣2＝4，CE＝2，∴＝，∴ED＝1，∴OD＝7，∴点D的坐标为（7，0）．6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）．（2）解：连接OF，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．7．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴△PAD∽△PCB；（2）解：∵△PAD∽△PCB，∴＝，∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，∴＝，解得：PD＝4或6．8．解：（1）PA是⊙O的切线，理由如下：如图，连接OA，∴OP是⊙M的直径，点A是⊙M上一点，∴∠OAP＝90°，即OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）设⊙O与OP的交点为N，AB与OP的交点为E，连接AN，AM，BM，∵MA＝MB，OA＝OB，∴OP是线段AB的垂直平分线，∴AB⊥OP，AE＝BE，∵OP＝9，OA＝3，∴AP＝＝6，＝OA•AP＝AE•OP，∴S△OAP∴OA•AP＝AE•OP，∴3×6＝9AE，∴AE＝2，∴AB＝4．9．解：（1）直线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OB，∵CP＝CB，OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∴∠A+∠APO＝∠CBP+∠OBA，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠CBP+∠OBA＝∠A+∠APO＝180°﹣90°＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB过O，∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）∵∠AOP＝90°，∠A＝30°，OP＝，∴AP＝2OP＝2，AO＝＝＝3，即OB＝3，∵∠A＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝120°，∵∠AOC＝90°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣90°＝30°，∴OC＝2BC，由勾股定理得：OC2＝CB2+OB2，即BC2＝（2BC）2+32，解得：BC＝，∴阴影部分的面积S＝S△OBC ﹣S扇形OBD＝3×﹣＝﹣π．10．解：（1）连接OA，∵弦AB⊥OE，∴AD＝BD＝AB，∠ODA＝90°，∴AD2+OD2＝OA2∴AD2＝42﹣（2）2＝4，∴AD＝2，∴AB＝4；（2）分两种情况讨论：情况一，在优弧上，连接OA，OB，如图1，∵OD＝2，OA＝4，∴cos∠AOD＝＝＝，∴∠AOD＝30°，∴∠AOB＝60°，∴，情况二，在劣弧上，∠ACB＝180°﹣30°＝150°，综上所述，∠ACB＝30°或150°．。

2024年中考数学高频考点突破——圆的综合题1．如图，线段AB 为的直径，点C 、E 在上，弧BC=弧CE ，连接BE 、CE ，过点C 作CM ∥BE 交AB 的延长线于点M.（1）求证：直线CM 是圆O 的切线；（2）若sin ∠ABE= ，BM=4，求圆O 的半径. 2．如图，在△ABC 的边BC 上取一点O ，以O 为圆心，OC 为半径画⊙O ，⊙O 与边AB 相切于点D ，AC ＝AD ，连接OA 交⊙O 于点E ，连接CE ，并延长交线段AB 于点F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝10，tanB ，求⊙O 的半径； （3）若F 是AB 的中点，试探究BD ＋CE 与AF 的数量关系并说明理由．3．如图，已知圆 的直径 与弦 交于点 ，连接 ， 且 ． （1）求证： （2）点 为弧 上一点，连接 交 于点 ，交 于点 ，若，求证： 4．如图，在菱形 中， 是对角线 上一点（ ）， ，垂足为 ，以 为半径的 分别交 于点 ，交 的延长线于点 ， 与 交于点.3543=O AB CD E AC AD AC AD =AB CD⊥F AC BF AC W CD G WG CG =»»BCCF =ABCD O BD BO DO >OE AB ⊥E OE O e DC H EO F EF DC G（1）求证： 是 的切线；（2）若 是 的中点， ， .①求 的长；②求 的长.5．如图，已知以为斜边的内接于，的平分线交于点D ，过点D 作交的延长线于点E ，连接，．（1）求证：为的切线；（2）求证：；（3）若，的长．6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O 为格点，⊙经过格点A ．（1）⊙的周长等于 ；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B ，C 的位置是如何找到的（不要求证明） ▲ ．BC O e G OF 2OG =1DG =»HEAD BC Rt ABC V O ☉BAC ∠O ☉DE BC P AB DB DC ED O ☉22BC ED FC =⋅2tan ABC ∠=AD =BC O O O ABC V7．已知：如图，以等边△ABC 的边BC 为直径作⊙O ，分别交AB ，AC 于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC 交AC 于点F.（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若等边△ABC 的边长为8，求由 、DF 、EF 围成的阴影部分面积 8．如图， 是 的直径，C 为 上一点，连接 ， 于点 ，D 是直径 延长线上一点，且 .（1）求证： 是 的切线；（2）若 ，，求 的长.9．如图， 是 的弦，半径 ，交 于点 为 延长线上一点， 与 相切于点与 交于点 ．（1）求证： ；（2）连接 ，若 ，求 的长． 10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的动点，P 是优弧ABC 的中点.»DEAB O e O e AC CE AB ⊥E AB BCE BCD ∠=∠CD O e 8AD =12BE CE =CD AB O e OE AB ⊥AB G P ，AB PC O e C CE ，AB F PC PF =OB BC ，3//tan 4OB PC BC P ==，FB（1）如图①，求证：OP ∥BC ；（2）如图②，PC 交AB 于点D ，当△ODC 是等腰三角形时，求∠PAO 的度数.11．已知， 内接于圆O ，过点C 作 的垂线，垂足为点E ，交圆O 于点D ．（1）如图1，连接 ，求证： ；（2）如图2，过点O 作 的垂线，垂足为G ，交 于F ，若 ，求证；（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点M ，过点B 作 的垂线交 于点N ，垂足为H ，连接 ，若 ， ，求 的长．12．如图，在 中，点A 、B 、C 在 上，射线 交 于点H ，弧 弧 ．（1）求证 ；（2）如图，延长 交 于点D ，E 为 上一点，且弧 弧 ，点F 在ABC V AB OB ACD CBO ∠=∠AB BC FG AG =AB CD =DF AB DF CD MN 2NMF NBA ∠=∠3FO =MN O e O e AO BC AB =AC BH CH =AH O e O e CE =CD AB上， 于点G ， 于点K ，若 ，求证： ；（3）在（2）的条件下，连接 并延长交 于点W ，若 ， ， ，求 的长．13．如图，在 中，直径 与弦 互相垂直，垂足为H ，点E 是弧 上一点，连接 ，过点E 作直线 交 的延长线于点M ，交 的延长线于点G ，连接 交 于点F ，且 .（1）求证： 是 的切线；（2）若 ，求证： ；（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值. 14．已知AB 、CD 为 的两条弦， ．（1）如图1，求证：弧 弧BD ；（2）如图2，连接AC 、BC 、OA 、BD ，弦BC 与半径OA 相交于点G ，延长AO 交CD 于点E ，连接BE ，使 ，若 ，求证：四边形ABEC 为菱形；（3）在（2）的条件下，CH 与 相切于点C ，连接CO 并延长交BE 于点F ，延长BE 交CH 于点H ， ，，求CH 长． 15．如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上两点，且，过点D 的直线交FG AE ⊥CK AE ⊥FG BC =12CK FG =CO FG 2AB CE =FC GC =33WG =OW O e AB CD BD AC EM AB CD AE CD EG FG =EG O e EM AC P AF FG EF CF ⋅=⋅4AH =1tan 3G =FH EMO e //AB CD AC =BE BD =OA BC ⊥O e 11OF =24sin 25BDC ∠=e e »»BDCD =DE AC ⊥AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ，连接AD 、OE 交于点G ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若，O 的半径为2，求阴影部分的面积：（3）连接BE ，在（2）的条件下，求BE 的长．16．如图，⊙O 是的外接圆，圆心O 在AC 上．过点B 作直线交AC 的延长线于点D ，使得．过点A 作于点E ，交⊙O 于点F ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若，，则AE 的长为 ．17．如图，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点.（1）求证：；（2）如图2，过点C 作的垂线，分别与，，相交于点F 、G 、H ，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积等于3，求的长.e 23DG AG =e ABC V CBD CAB ∠=∠AE BD ⊥4AC =23sinD =1AB O e C »AB D »BCBD CD BC AD BC AD E C CBD CBA ∠+∠=∠CD AD AB O e AF BD =BF BF BC =CEF V FG18．已知：是的直径，弦，垂足为E ，点H 是上一点，连接并延长交于点G ，交于点F ，连接、、．（1）如图1．求证：；（2）如图2，过A 作交于点M ，连接，求证；（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点N ，连接，若，，，求的面积．19．如图，是⊙O 的内接三角形，于点D ，直径AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：；（2）若，，求AD 的长；（3）若点G 是AB 的中点，当点O 在DG 上时，探究BF 与FD 存在的数量关系，并说明理由．20．如图，已知的半径为1，P 是平面内一点.（1）如图①，若，过点P 作的两条切线、，切点分别为E 、F ，连接.则 ， .AB O e CD AB ⊥AE DH AC O e AF AD CF AFD ACF CDF ∠=∠+∠AM AC ⊥O e BD AM BD =CH AD MN AM DF P 73AH =8CD =AMN V ABC V AD BC ⊥AEB AFD ∠=∠10AB =5BF =O e 2OP =O e PE PF EF EPO ∠=︒EF =（2）若点M 、N 是上两点，且存在，则规定点P 为的“直角点”.①如图②，已知平面内有一点D ，，试说明点D 是的“直角点”.②如图③，直线分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，若线段上所有点都是半径为r 的圆的“直角点”，求r 的最小值与该圆心的坐标.21．M （﹣1，﹣ ），N （1，﹣ ）是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点．（1）在点 ， ， ，A 4（2，2）中，线段MN 的可视点为 ； （2）若点B 是直线y ＝x+ 上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围； （3）直线y ＝x+b （b≠0）与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围．22．已知钝角三角形ABC 内接于00，E 、D 分别为AC 、BC 的中点，连接DE．O e 90MPN ∠=︒Oe OD =O e 223y x =-AB 121211(0,2A 21(,0)2A 3A 12（1）如图1，当点A 、D 、O 在同一条直线上时，求证：DE= AC ．（2）如图2，当A 、D 、O 不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当AB+AC=2AG 时．①求证：△DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交⊙O 于点H ，连接AH 求证：AH ∥FG ．23．如图[问题探究]（1）如图1， ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段和AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF.则CE+EF 的最小值为 ；（2）如图2，⊙O 为 ABC 的外接圆，AB 是直径，AC ＝BC ，点D 是直径AB 左侧的圆上一点，连接DA ，DB ，DC.将 ACD 绕点C 逆时针旋转得到 BCE.若CD ＝4，求四边形ADBC 的面积； （3）如图3，⊙O 为等边 ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧 上运动（不与点A ，B 重合），连接DA.DB ，DC.设线段DC 的长为x.四边形ADBC 的面积为S.①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含瑞点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置. DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化.求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S.24．已知，为的直径，弦与交于点E ，点A 为弧的中点．12V V V V V »AB V AB O e CD AB CD（1）如图1，求证：；（2）如图2，点F 为弧上一点，连接，，，过点C 作交于点G ，求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点L ，连接，若，，求线段的长．25．如图13-1至图13-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．阅读理解：AB CD ⊥BC BF BD 2FBA DBA ∠=∠CG AB P BF 12CG AB =DF OE LG 4FG=tan GLB ∠=LF①如图13-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O 2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1周．②如图13-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转周．（1）实践应用：在阅读理解的①中，若AB = 2c ，则⊙O 自转 周；若AB=1，则⊙O 自转 周．在阅读理解的②中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转　　周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转 周．（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=c ．⊙O 从⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动到⊙O 4的位置，⊙O 自转　　周． （3）拓展联想：如图13-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．（4）如图13-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接写出⊙O 自转的周数．360n 12答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OE ，OC∵弧BC=弧CE∴OC ⊥BE∵CM ∥BE∴OC ⊥CM∴直线CM 是圆O 的切线（2）解：设半径为r∵CM ∥BE∴∠CMO=∠ABE在Rt △OCM 中sin ∠CMO==sin ∠ABE= ∴圆O 的半径是6【解析】【分析】（1）连接OE ，OC ，根据垂径定理可得OC ⊥BE ，利用平行线的性质可得OC ⊥CM ，即证直线CM 是圆O 的切线 .（2）设半径为r ，根据两直线平行同位角相等可得∠CMO=∠ABE ，由sin ∠CMO= =sin ∠ABE= ，即可求出r 值.2．【答案】（1）证明：如图，连接OD ，∵⊙O 与边AB 相切于点D ，OC OM 35r 3r 6r 45∴==+OC OM35∴OD ⊥AB ，即∠ADO ＝90°，∵AO ＝AO ，AC ＝AD ，OC ＝OD ，∴△ACO ≌△ADO （SSS ），∴∠ADO ＝∠ACO ＝90°，又∵OC 是半径，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：∵tanB ， ∴设AC ＝4x ，BC ＝3x ，∵ ，∴ ，∴x ＝2，∴BC ＝6，∵AC ＝AD ＝8，AB ＝10，∴BD ＝2，∵ ，∴ ，∴OC ，故⊙O 的半径为 ；（3）解：如图，连接OD ，DE ，由（1）可知：△ACO ≌△ADO ，∴∠ACO ＝∠ADO ＝90°，∠AOC ＝∠AOD ，又∵CO ＝DO ，OE ＝OE ，∴△COE ≌△DOE （SAS ），∴∠OCE ＝∠ODE，43AC BC ＝＝222=AC BC AB +22169=100x x +222=OB OD BD +()2264OC OC -=+83＝83∵OC ＝OE ＝OD ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝∠OED ＝∠ODE ，∴∠DEF ＝180°﹣∠OEC ﹣∠OED ＝180°﹣2∠OCE ，∵点F 是AB 中点，∠ACB ＝90°，∴CF ＝BF ＝AF ，∴∠FCB ＝∠FBC ，∴∠DFE ＝180°﹣∠BCF ﹣∠CBF ＝180°﹣2∠OCE ，∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF ＝CE ，∴AF ＝BF ＝DF ＋BD ＝CE ＋BD ．【解析】【分析】（1）连接OD ，由切线的性质可得∠ADO =90°，由“SSS ”可证△ACO ≌△ADO ，可得∠ADO =∠ACO =90°，可得结论；（2）由锐角三角函数可设AC =4x ，BC =3x ，由勾股定理可求BC =6，再由勾股定理可求解；（3）连接OD ，DE ，由“SAS ”可知△COE ≌△DOE ，可得∠OCE =∠OED ，由三角形内角和定理可得∠DEF =180°-∠OEC -∠OED =180°-2∠OCE ，∠DFE =180°-∠BCF -∠CBF =180°-2∠OCE ，可得∠DEF =∠DFE ，可证DE =DF =CE ，可得结论．3．【答案】（1）证明：如图：连接OC 、OD∵在△AOC 和△AOD 中OA=OA,AC=AD,OC=OD∴△AOC ≌△AOD∴∠CAO=∠DAO又∵AC=AD∴（2）证明：如图：连接OC 、BCAB CD∵AB 是直径∴∠ACB=90°∵∴∠AEC=90°∴∠CAE+∠ABC =90°, ∠CAE+∠ACE =90°∴∠ACE=∠ABC∵OC=OB∴∠OCB=∠ABC∴∠CAB+∠ABC =90°, ∠OCA+∠OCB =90°∴∠OAB=∠OCA∵∴∠ACE=∠GWC∴∠ABC=∠GWC∴∠OCA+∠GWC =∠OAB +∠CAB= 90°, 即OC ⊥BE∴【解析】【分析】（1）连接OC 、OD ，先证明△AOC ≌△AOD,得到∠CAO=∠DAO,再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；（2）连接OC 、BC ，先根据圆周角定理和直角三角形的性质求得:∠ABC=∠ACE,再根据直角三角形的性质证得OC ⊥BF,然后证得∠EOC=∠BOC 即可完成证明．4．【答案】（1）证明：如图，过点 作 于点 ，AB CD⊥WG CG=»»BCCF =O OM BC ⊥M∵ 是菱形 的对角线，∴ ，∵ ， ，∴∠OEB=∠OMB=90︒，∵OB=OB ，∴△OEB ≌△OMB （AAS ）∴ ，∴ 是 的切线（2）解：①如图，∵ 是 的中点， ，∴ .∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵，BD ABCD ABD CBD ∠=∠OM BC ⊥OE AB ⊥OE OM =BC O e G OF OF OH =12OG OH =//AB CD OE AB ⊥OF CD ⊥90OGH ∠=︒1sin 2GHO ∠=30GHO ∠=︒60GOH ∠=︒120HOE ∠=︒2OG =∴ ，∴由弧长公式，得到 的长： .②方法一：如图，过点 作 于点 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵DG//NE ，DN//GE ，∠GEN=90︒∴四边形 是矩形，∴ ，BN=3，OE=4，DN=6，在菱形 中，AD=AB ，在 中，设 ，∴ ，∴ .方法二：如图，过 作 于点 ，∵ ， ， ，∴， ， ，，4OH =»HE 120481803l ππ⨯⨯==D DN AB ⊥N //AB CD ODG OBE ~V V 122DG OG OG BE OE OG ===22BE DG ==NEGD 1NE DG ==ABCD Rt ADN V AD AB x ==()22236x x =-+152x =A AN BD ⊥N 1DG =2OG =4OE OH ==OD =OB =DN =DOG DAN ~V V∴【解析】【分析】（1）过点O 作OM ⊥BC 于点M ，利用菱形的性质可证得∠ABD=∠CBD ，再利用AAS 证明OEB ≌△OMB ，利用全等三角形的对应角相等，可证得OE=OM ，然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）①利用三角形的中位线定理可得到PG 与OH 之间的数量关系，再利用解直角三角形求出∠GHO 的度数，利用直角三角形的性质求出OH 的长，然后利用弧长公式求出弧HE 的长；② 方法一：如图，过点 作 于点 ，易证△ODG ∽△OBE ，利用相似三角形的额对应边成比例，可得两三角形的相似比，可推出BE=2DG ；再证明四边形NEGD 是矩形，利用矩形的性质求出相关线段的长，设AD=AB=x ，利用勾股定理建立关于x 的方程，解方程求出x 的值；方法二： 如图，过 作 于点 ，分别求出OD ，OB ，DN 的长；再证明△DOG ∽△DAN ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD 的长.5．【答案】（1）证明：如图①，连接．∵为的直径，∴．∵平分，∴．∴．∵，∴．∴为的切线．（2）证明：由（1）可得为等腰直角三角形．DO DG AD DN∴=，DO DN AD DG⋅∴=，152AD =D DN AB ⊥N A AN BD ⊥N OD BC O e 90BAC ∠=︒AD BAC ∠»»BDCD =OD BC ⊥DE BC P OD ED ⊥ED O e BCD V∵，∴，．∴．∴即．又，∴．（3）解：如图②，过点D 作交的延长线于点G ．∴，．又，∴∵，，∴．∴，．∴为等腰直角三角形，∴．∵，∴设，则．∴，．即，．∴．【解析】【分析】（1）先证明，再结合可得，即可得到为的切线；DE BC P E ABC ADC ∠=∠=∠45BDE DBC DCB ∠=∠=∠=︒BED FDC V V∽BD FC DE CD=2BD DE FC =⋅BC =22BC ED FC =⋅DG AD ⊥AC 90CDG ADC ∠+∠=︒45DGC DAG ∠=∠=︒90ADB ADC ∠+∠=︒ADB GDC∠=∠DB DC =45BAD DGC ∠=∠=︒ABD GCD V V ≌AB CG =AD DG =ADG V 3AB AC AG +===2tan ABC ∠=AB x =2AC x =33x =1x =1AB =2AC =BC =OD BC ⊥DE BC P OD ED ⊥ED O e（2）先证明可得，即，再结合，即可得到；（3）过点D 作交的延长线于点G ，先证明为等腰直角三角形，可得，再结合，设，则，列出方程，求出x 的值，即可得到。