中考数学圆与多边形专题含答案

【知识梳理】

正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.

正多边形判定：“各边相等”、“各角相等”必须同时具备，缺一不可.

正多边形与圆的关系：正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.

正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心.

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

与正多边形（正n边形）有关的计算： 边长AB a

半径OA R

周长 C=na

面积 2AOBnarnSS△

中心角∠AOB n360

外角 n360

内角∠CAB （1）180°-n360

（2）nn180)2(

内角和 180)2(n

边心距OH （1）nROH180cos

（2）22)2(aROH

正三角形，正方形，正六边形的内外接圆半径与边长的关系。

正三角形

正方形

正六边形

内接

外接

正多边形的边心距（正三角形，正方形，正六边形）

【经典例题1】正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为( )

A.2 B.22-2 C.2-2 D.2-1

【解析】∵等腰直角三角形外接圆半径为2，

∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为22，

∴它的内切圆半径为：R=21(22+22−4)=22−2.

故选B.

练习1-1如图，已知⊙O 的内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OM＝2，则该圆的内接正三角形 ACE 的面积为（ ）

A．2 B．4 C．63 D．43

【解析】如图所示，连接OC，OB，过O作ON⊥CE于N，

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠COB=60°，

∵OC=OB，

∴△COB是等边三角形，

∴∠OCM=60°，

∴OM=OC•sin∠OCM，

∴33460sinOMOC．

∵∠OCN=30°，

∴ON=21OC=332，CN=2， ∴CE=2CN=4，

∴该圆的内接正三角形ACE的面积=343324213，

故选：D．

练习1-2如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的等边△AEF均内接于⊙O，则ab的值是（ ）

A．2 B．3 C．2 D．62

【解析】设其半径是r，则其正三角形的边长是3r，

正方形的边长是2r，则它们的比是2:3.

则内接正方形的边长与内接正三角形的边长的比为：6:3.

即则ab的值=26，

故选：D.

练习1-3如图，△ABC是半径为1的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（ ）

A．3 B．32 C．3 D．32

【解析】过点O作OF⊥BC于点F，连结BD、OC， ∵△ABC是 O的内接等边三角形，AB=1，

∴BF=21BC=21，∠OBC=30°，

∴OB=30cosBF=2321=33，CD=BC•tan30°=33，

∴矩形BCDE的面积=BC•CD=33．

故选C．

练习1-4如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，已知☉O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为 ( )

A.2，3 B.23，π C.3，32 D.23，34

【解析】解：如图所示，连接OC、OB

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠BOC=60°，

∵OA=OB，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠OBM=60°，

∴OM=OBsin∠OBM=4×23=23，

弧BC的长度=34180460，

故选：A．

练习1-5如图，等腰三角形ABC的内切圆☉O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB=AC=5，BC=6，则DE的长是( )

A.10103 B.5103 C.553 D.556

【解析】D

练习1-6(2019·十堰中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝13，则AE＝(

)

A．3

B．32 C．43

D．23

【解析】如解图，连接AC，∵BA平分∠DBE，

∴∠ABE＝∠ABD，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ABC＋∠ADC＝180°.

∵∠ABC＋∠ABE＝180°，

∴∠ABE＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ABD，

∵∠ABD＝∠ACD，

∴∠ADC＝∠ACD，∴AC＝AD＝5.∵AE⊥CE，CE＝13， ∴AE＝2222)13(5CEAC＝23.

练习1-7如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；

（2）求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．

T1T2O

【解析】(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形。

所以r:a=1:1；

连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，

所以r:b=AO:BO=sin60∘=3:2；

(2)T1:T2的边长比是3:2，所以S1:S2=(a:b)2=3:4.

练习1-8如图，⊙O外接于正方形,ABCDP为弧AD上一点，且1,3APPC，求正方形ABCD的边长和PB的长．

【解析】连接AC，作AEPB于点E，

如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，

,ABBCCDAD90,45ABCDBCDACB，

AC是O的直径，ABC是等腰直角三角形，

90,2,APCACAB

22221310,ACAPPC

52ACAB

45,,APBACBAEPB

APE是等腰直角三角形，

22,22PEAEAP

2222232(5)22BEABAE，

2322222PBPEBE．

正方形ABCD的边长为5,PB的长为22．

练习1-9如图，正六边形ABCDEF的边长是6+43，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝ ．

【解答】过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠A=6180)26(=120°，AF＝AB，

∴∠AFB＝∠ABF=21（180°﹣120°）＝30°，

∴△AFB边BF上的高AM=21AF=21（6+43）＝3+23，FM＝BM=3AM＝33+6，

∴BF＝33+6+33+6＝12+63，

设△AFB的内切圆的半径为r，

∵S△AFB=S△AO1F=S△AO1B=S△BFO1，

∴21（12+63）×（3+23）=21（6+43）r+21（6+43）r+21（12+63）r，

解得：r＝3，

即O1M＝r＝3，

∴O1O2＝2×3+6+43=12+43，

故答案为：12+43．

【经典例题2】如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（ ）

A．30 B．36 C．72 D．90

【解析】

∵正五边形的每个外角的度数=5360=72°，

∴将正五边形ABCDE绕C点顺时针方向旋转72°时，所得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′第一次落在直线BC上．

故选B．

练习2-1如图，正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠BOM的度数是______．∠MNC的度数是______．

【解析】连接AO，

∵正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O，

∴∠AOM=31×360°=120°，

∴∠AOB=51×360°=72°，

∵∠BOM=∠AOM-∠AOB， ∴∠BOM=120°-72°=48°

故答案为：48°

连接OC，CN，∠MOC=24°，∠MNC=21∠MOC=12°

练习2-2如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（ ）

A．90° B．84° C．72° D．88°

【解析】由正五边形内角，得∠I＝∠BAI＝1085180)25(

由正六边形内角，得

∠ABC＝1202180)26(，

BE平分∠ABC，

∠ABK=60°，

由四边形的内角和，得

∠BKI=360°-∠I-∠BAI-∠ABK

=360°-108°-108°-60°

=84°．