函数的概念及其表示方法知识点及题型总结

函数知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学的各个领域以及实际生活中都有着广泛的应用。

为了更好地理解和掌握函数，下面对函数的相关知识点进行总结。

一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系，给定一个非空数集 A，对 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在另一个非空数集 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。

记作y ＝ f(x)，x ∈ A。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；y 叫做函数值，与 x 相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x) ｜ x ∈A}叫做函数的值域。

二、函数的表示方法1、解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝ 2x ＋ 1。

2、列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系，例如，某公司员工的工资表。

3、图象法用图象表示两个变量之间的对应关系，如一次函数 y ＝ x ＋ 1 的图象是一条直线。

三、函数的性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，当自变量增大（或减小）时，函数值随之增大（或减小）的性质。

如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。

2、奇偶性设函数 f(x)的定义域为 D，如果对于定义域 D 内的任意一个 x，都有 x ∈ D，且 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数；如果对于定义域 D 内的任意一个 x，都有 x ∈ D，且 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

3、周期性对于函数 y ＝ f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。

人教版函数知识点总结一、函数的定义1.1 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量映射到唯一的因变量上。

在数学中，我们通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

1.2 函数的符号表示在函数的定义中，我们通常通过符号来表示函数。

例如，y=f(x)、y=g(x)等。

1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

在函数的图像中，定义域通常对应横坐标的取值范围，值域对应纵坐标的取值范围。

1.4 函数的判定确定一个关系是否为函数，可以通过水平线测试或者垂直线测试来进行判断。

如果任意一条垂直线只与图像相交一次，则该关系是函数。

1.5 函数的表示方法函数可以通过一张表格、一条曲线、一个公式等方式进行表示。

在实际应用中，我们通常通过表格、曲线等方式来描述函数的性质和特点。

二、函数的性质2.1 奇函数与偶函数奇函数指的是满足f(-x)=-f(x)的函数，偶函数指的是满足f(-x)=f(x)的函数。

奇函数通常以原点对称，偶函数通常以y轴对称。

2.2 单调递增与单调递减单调递增指的是当自变量增大时，因变量也随之增大；单调递减指的是当自变量增大时，因变量却减小。

单调递增函数通常在定义域内是一个递增的曲线，单调递减函数则是一个递减的曲线。

2.3 周期函数周期函数指的是具有周期性的函数，它在一个周期内重复自身。

常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。

2.4 反函数函数f(x)的反函数通常表示为f^(-1)(x)，它满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的性质。

反函数是原函数的镜像，它的定义域和值域与原函数互换。

三、函数的图像3.1 直角坐标系中的函数图像在直角坐标系中，函数的图像通常用曲线来表示。

曲线的形状与函数的性质密切相关，通过观察曲线的变化可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。

3.2 参数方程中的函数图像在参数方程中，函数的图像通常用参数的取值来表示。

函数一、函数的定义：1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．（1）其中，x叫做自变量，x的取值X围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2) 画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。

（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右——————只对x2）上减下加——————只对y3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

专题3.1 函数的概念及其表示【八大题型】【人教A版（2019）】【题型1 对函数概念的理解】 (1)【题型2 求函数的定义域】 (2)【题型3 求函数的值域】 (3)【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 (3)【题型5 求函数值或由函数值求参】 (4)【题型6 同一函数的判断】 (4)【题型7 函数的表示法】 (5)【题型8 分段函数】 (7)【知识点1 函数的概念】1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x A.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．【题型1 对函数概念的理解】【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D ．生活质量与人的身体状况间的关系【变式1-1】（2023·全国·高三对口高考）集合A ={x|0≤x ≤2},B ={x|0≤x ≤1}下列表示从A 到B 的函数是（ ）A ．f:x →y,y =(13)xB ．f:x →y,y =2xC ．f:x →y,y =2xD ．f:x →y,y =x【变式1-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合A ={x |0≤x ≤4 }，集合B ={x |0≤x ≤2 }，下列图象能建立从集合A 到集合B 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型2 求函数的定义域】【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y =1x−1+√x +2的定义域为（ ） A ．{x |x ≥−2 且x ≠1} B ．{x |x ≥−2 }C ．{x |x <−2 }D ．{x |x ∈R 且x ≠1}【变式2-1】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x +1)的定义域是[−2,3]，则函数f(2x −1)的定义域（ ）A ．[−1,4]B ．[−7,3]C ．[−3,7]D ．[0,52]【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）若函数f (x )的定义域为[0,4]，则函数g (x )=f (x +2)+√x−1的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(1,4)C ．(1,2]D ．(1,4]【变式2-3】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y =f (x )的定义域为[−8,1]，则函数g (x )=f (2x+1)x+2的定义域（ ）A ．[−92,−2)∪(−2,0] B ．[−8,−2)∪(−2,1] C ．(−∞,−2)∪(−2,3] D ．[−92,−2]【题型3 求函数的值域】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（ ） A ．{1,2}B ．[1,2]C ．{0,1}D ．[1,+∞)【变式3-1】（2023·全国·高三对口高考）函数f (x )=2−√−x 2+4x 的值域是（ ）A ．[−2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[−√2,√2]【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y =√x 2值域相同的是（ ）A ．y =xB ．y =1xC ．y =−x 2D ．y =x 2−2x +1【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x ≤9时，f(x)=x +2，则y =[f(x)]2+f(x 2)的值域为（ ）A ．[1,3]B ．[1,9]C ．[12,36]D ．[12,204]【题型4 由函数的定义域或值域求参数】【例4】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=√2−x3ax 2+ax+2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0≤a ≤2B ．0≤a <8C ．0<a ≤8D ．0<a <8【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x )={3x−1x+3(x ≠−3)a (x =−3) 的定义域与值域相同，则常数a =（ ）A ．3B ．−3C ．13D ．−13【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x 2−4x −6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]，则m 的取值范围是A．[0，4]B．[4，6]C．[2，6]D．[2，4]【变式4-3】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称|b−a|为区间[a,b]的长度，若函数f(x)=√ax2+bx+c(a<0)的定义域与值域区间长度相等，则a的值为（）A．−4B．−2C．4或−2D．与b,c的取值有关【题型5 求函数值或由函数值求参】【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)的值（）A．3B．5C．7【变式5-1】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（）A．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知f(x+1)=2x−3，且f(a)=3，则a=（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知f(x)=ax5+1，且f(−2)=10，则f(2)=（）A．−8B．10C．9D．11【知识点2 函数的相等】1．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.2．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：(1)的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3)或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.【题型6 同一函数的判断】【例6】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是同一函数的是（）A．y=(x−1)0与y=1B．y=x与y=x2xC．y=|x|与y={x,x≥0−x,x<0D．y=x2与y=(x−1)2【变式6-1】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x|B．y=x2x C．y=(√x)2D．y=(√x3)3【变式6-2】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f(x)=x+1与g(x)=x2+xx B．f(x)=x⋅|x|x与g(t)={−t，t<0t，t>0C．f(x)=1，g(x)=x0D．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2【变式6-3】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（）A．y=x|x|与y=1B．y=x3+xx2+1与y=xC．y=x2−1x−1与y=x+1D．y=√x2−2x+1与y=x−1【知识点3 函数的表示法】1．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.2．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型7 函数的表示法】【例7】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则f[g(1)]=（）A．0B．2C．−2D．1【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4）可表示为（）A ．y =[x+210] B ．y =[x+310] C ．y =[x+410] D ．y =[x+510]【变式7-2】（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点E 由点A 沿线段AB 向点B 移动，过点E 作AB 的垂线l ，设AE =x ，记位于直线l 左侧的图形的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-3】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．y =32|x −1|(0≤x ≤2) B ．y =32−32|x −1|(0≤x ≤2) C ．y =32−|x −1|(0≤x ≤2) D ．y =1−|x −1|(0≤x ≤2)【题型8 分段函数】【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)={−x,x ≤0x 2,x >0，则f(−3)=（ ）A ．−3B ．3C ．−9D ．9【变式8-1】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数f (x )={x −1,x >0,4x,x ≤0, 若f (a )=−12，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．18C ．18或−12D ．−18或12【变式8-2】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）A ．17m 3B ．15m 3C ．13m 3D ．263m 3【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )=x ⋅f (x )，那么函数g (x )的值域为（ ）A ．[0,2]B ．[0,94] C ．[0，32]D ．[0,4]。

函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。

一个简单的函数可以用如下的记号来表示：f：X→Y，表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。

其中，X称为定义域，Y称为值域。

函数的性质：1. 定义域和值域：定义域是指函数的输入可以取的值的集合，值域是函数的输出可以取的值的集合。

2. 单调性：函数的单调性是指在定义域内，函数的增减趋势。

可以分为递增和递减两种情况。

3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。

如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=f（x），那么函数是偶函数；如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=-f（x），那么函数是奇函数。

4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。

5. 函数的图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合，描述了函数的性质和特点。

二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。

线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b 是常数，a称为斜率，b称为截距。

2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。

3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数，一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数，一般形式为y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。

5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们描述了角度和弧度之间的关系。

6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数，一般形式为y=k/x，其中k是常数。

7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，它表示x的绝对值，即x的正数部分。

8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数，一般形式为f(x)=```{g(x)，a≤x≤bh(x)，b＜x＜c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量（或生成元素）是另一个函数的值域，即f[g(x)]，表示函数f和g的复合。

函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。

如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为 822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。

函数的基本概念与表示模块一、函数与映射要点一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A→B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。

要点二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A→B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A→B 叫做A 到B 的 ，记作 。

2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有 、 、 。

要点三、函数相等只有当两个函数的 和 都分别相同时，这两个函数才是相等函数（或称为同一个函数）。

考点一、同一函数的判断 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是 （ ）A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y=考点二、已知函数解析式求函数值例2-1. 已知f(x)= 12−x (x ∈R,x≠2),g(x)=x+4(x ∈R).⑴求f (1),g (1)的值.⑵求f [g (1)],g [f (1)]的值.⑶求f [g (x)],g [f (x)]的表达式.例2-2. 设f (x )={1−√x ，x ≥0，2x ，x <0，则f(f (−2))=（ ） A. -1 B. 14 C. 12 D. 32变式训练2：函数f (x )={x 2+2（x ≤2），2x （x >2）则f (−4)=（ ），若f (x 0)=8，则x 0=（ ）。

1,x y y x==211,1y x x y x =-+=-33,y x y x ==2||,()y x y x ==x x 2x x 2log 2模块二、函数的三要素要点四、函数的定义域1. 函数的定义域就是使函数式 的集合.2.常见函数：使式子有意义(1)整式：定义域为R（2）一次函数：，定义域是R 。

初中数学函数知识点总结函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个变量之间的关系。

初中数学中，函数的概念和相关知识点很多，下面将对初中数学中的函数知识点进行总结。

一、函数的定义和表示方法函数是指一种特定的关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值上。

通常表示为f(x) = y，其中x是自变量，y是因变量。

函数可以用文字描述，也可以用图像表示。

二、函数的定义域和值域定义域是指自变量的取值范围，函数在这个范围内有定义。

值域是指函数实际取到的值的集合。

在函数的图像上来看，定义域对应x轴的取值范围，值域对应y轴的取值范围。

三、函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示，它可以帮助我们更直观地了解函数的性质。

常见的函数图像有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

四、函数的性质1. 奇偶性：若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数。

2. 增减性：若对于任意x和x'，若x > x'，有f(x) > f(x')，则函数为增函数；若对于任意x和x'，若x > x'，有f(x) < f(x')，则函数为减函数。

3. 周期性：若存在正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)，则函数具有周期性。

五、特殊函数1. 常数函数：f(x) = c，其中c为常数。

它的图像是一条水平的直线。

2. 线性函数：f(x) = kx + b，其中k和b为常数，k不为0。

它的图像是一条斜率为k的直线。

3. 二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不为0。

它的图像是一条抛物线。

4. 指数函数：f(x) = ab^x，其中a和b为常数，b不等于1。

它的图像是一条逐渐增加或逐渐减小的曲线。

5. 对数函数：f(x) = logb(x)，其中b为常数，b大于0且不等于1，x大于0。

2.1 函数概念与表示学习目标：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.重点难点：函数的定义域和值域一、知识要点1．函数的概念：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y=f(x),x ∈A,其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数的定义域．对于A 中的每一个x 都有一个输出值y 与之对应，我们将所有的输出值y 组成的集合A 叫做函数的值域．函数的“三要素”：2．函数定义域的一般方法：(1)若f （x ）是整式，则定义域为R(2)若f （x ）是分式，则定义域是使分母不为0的实数的集合(3)若f （x ）是偶次根式，则定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合(4)若f （x ）是由几部分组成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合(5)复合函数定义域：已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域．由 解出．已知[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域．是_______在____________上的值域3．求函数解析式的方法：①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法、方程组法；③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法；4．求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域．求法：①直接法、②配方法、③分离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合．二、例题精讲题型1：函数的概念1．判断下列对应是否为函数（1）,,;x y y x x R y Z →∈∈其中为不大于的最大整数，（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤； （4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤． 2．下列函数函数中： ⑴2)(x y = ⑵x x y 2= ⑶33x y = ⑷2x y = 与函数x y =是同一个函数为 （填序号）3．（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=变式1：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出 则[(1)]f g 的值为 ；当[()]2g f x =时，x =． 变式2：已知函数f(x)=2,0,1,0,1,0.x x x x x⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪-<⎩ （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值．题型2：求函数解析式1.f(x+1)=3x+2;求f(x)2．已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．题型3：求函数定义域1．求下列函数的定义域．（1）43)(2--=x x x f （2）若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域_____________． （3）已知：f （x ）定义域为[]12,0，求f （2x-3）的定义域．（4）已知：f （2x-2）的定义域为[]13,1，求f （x ）的定义域．变式：函数f (2x －1)的定义域是(0，1)，则函数f (1－3x )的定义域是__________．题型4：求函数值域1．求下列函数的值域．三、基础练习1．下各组函数中表示同一函数的有 ．（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1．2．函数y=x x x +-)1(的定义域为______________．3．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求2()23f x +定义域；4．函数2()42f x x x =-+，(0,3)x ∈的值域是______________．5．设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = __________ ．四、巩固训练1．已知一次函数b ax x f +=)(满足0)1(=f ，(0)1f =-，则)(x f 解析式是_________．2．函数y ＝x^2＋12-x 的定义域是____________． 3．如果函数f （x ）的定义域为[－1，3]，那么函数f （x ）－f （－x ）的定义域为________．4．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+[1,3]x ∈； （2）y =（3）312x y x +=-5．函数y ＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+)1(5)10(3032x x x x x x 的最大值是______．。

最全函数知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个非常基本的数学概念。

在数学上，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

用数学符号表示就是：对于两个集合A和B，如果存在一个规则f，它使得对于A中的每个元素x，都有一个唯一的y属于B与之对应，那么我们说f是从A到B的一个函数，记作f:A→B。

其中A称为定义域，B称为值域。

1.2 函数的概念在我们的日常生活中，我们可以看到很多函数的例子。

比如，将一个数字加上3，或者乘以2，这就是两个函数的例子。

我们可以看到，函数本质上就是一种输入与输出的关系。

1.3 函数的符号表示函数一般用字母f,g,h等表示，其定义为：y=f(x)，表示x是自变量，y是因变量。

1.4 函数的自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，它在定义域中取值；而因变量是输出的值，它在值域中取值。

1.5 函数的图象函数的图象是函数在一个坐标系中的表示，它可以帮助我们更直观地了解函数的性质和规律。

1.6 函数的性质函数有很多的性质，比如奇偶性、单调性、周期性等等。

1.7 函数的分类函数可以分为初等函数和非初等函数。

初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

非初等函数包括无穷级数、常微分方程等。

1.8 逆函数如果函数f有定义域A和值域B，对于B中的每一个y，存在一个唯一的x属于A与之对应，那么我们称这个函数有逆函数，记作f^(-1)。

1.9 复合函数如果有两个函数f和g，使得f的值域是g的定义域，那么我们可以定义一个新的函数h(x)=f(g(x))，这就是复合函数。

1.10 函数的性质与变化函数有很多的性质和变化规律，比如极值、单调性、周期性、奇偶性等等。

对于这些性质和变化，我们可以通过函数的图象和导数来进行分析。

1.11 函数的运算函数之间可以进行加减乘除的运算，还可以进行求泛函、求复合函数、求逆函数等。

二、函数的表示与运用2.1 函数的表示方法函数可以用方程的形式、图象的形式、表格的形式、文字的形式等来表示。

初中函数知识点全面总结一、函数的基本概念1.1 函数的引入在日常生活和数学问题中，我们经常遇到一些问题，例如：已知椭圆的长轴、短轴的长度，我们可以求椭圆的面积；已知一个正方体的边长，我们可以求它的体积，这些问题都是函数的具体例子。

函数研究的对象是一对对象之间的依赖关系。

1.2 函数的定义函数是一个变量间的依赖关系。

如果对于每一个自变量x，都有唯一的因变量y和它对应，那么这个变量x和它所对应的y就构成函数。

通常记作y=f(x)。

1.3 自变量、因变量和函数符号在函数f(x)中，x称为自变量，y称为因变量，而f(x)则是函数的符号表示。

1.4 自变量和因变量的关系自变量和因变量之间存在着一一对应的关系。

当自变量x取不同的值时，因变量y也会随之变化。

这种变化规律可以用图象或公式来表示。

1.5 函数的图象对于函数y=f(x)，其图象是平面直角坐标系内一条曲线。

曲线上的每一个点(x,y)都满足方程y=f(x)。

1.6 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2，其定义域是实数集R，值域是非负实数集[0,+∞)。

二、函数的表示方法2.1 列表法通过若干对自变量和因变量对照，列出所有自变量和因变量的对应关系，就是列表法表示函数。

2.2 公式法用一个能够表示自变量与因变量之间的对应关系的等式来表示函数。

2.3 函数关系图象法可以通过函数的图象来表达函数。

三、函数的性质3.1 函数的奇偶性当自变量为-x时，若f(x)=-f(-x)，则函数f(x)为奇函数；当自变量为-x时，若f(x)=f(-x)，则函数f(x)为偶函数。

3.2 增减性与极值若在自变量的某一邻域内，函数值随着自变量的增大而增大，则称此函数在此邻域内是增函数；反之，则是减函数。

当函数在某一点上取得最大值或最小值时，称这个函数在这一点有极值。

3.3 奇偶性与周期性若f(x+T)=f(x)对于一切x都成立，则称T为函数f(x)的周期。

函数知识点及常见题型总结函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。

函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。

函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。

换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。

一、核心知识点总结1、函数的表达式1）一次函数：y=kx+b(,k b 是常数，0k ≠) 2）反比例函数：函数xky =（k 是常数，0k ≠）叫做反比例函数。

注意：0x ≠ 3）二次函数：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，， 2、点的坐标与函数的关系1）点的坐标用(),a b 表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，(),a b 和(),b a 是两个不同点的坐标。

2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。

3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。

3、函数的图像 1）一次函数一次函数by=的=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy+kx图像是经过原点（0，0）的直线。

2）反比例函数3）二次函数4、函数图像的平移① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：③平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位二、常见题型：1、求函数的表达式常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。

经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第8讲函数的概念及其表示考向预测核心素养以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中档偏上难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．函数的有关概念2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论1．几种常见函数的定义域(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．二、教材衍化1．(人A必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是( )A．y＝(x＋1)2 B.y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1 D.y＝x2＋1答案：B2．(人A必修第一册P73习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]3．(人A必修第一册P72习题3.1 T1(4))函数f(x)＝4－xx－1的定义域为________．答案：{}x|x≤4且x≠1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一个函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．( ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏1．(多选)(函数的概念理解易错)下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选BC.A 选项中的值域不满足，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项B ，C 正确．2．(易忽视两个函数相等的条件)在函数中，f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝3x 3，g (x )＝(x )2解析：选B.对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一个函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1，对应关系相同，即f (x )与g (x )是同一个函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一个函数；对于D ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一个函数．故选B.3．(忽略抽象函数定义域致误)已知函数f (x ＋1)的定义域为[1，3]，则f (2x )的定义域为( )A ．[1，2] B.[1，3] C.[2，4] D.[2，6]解析：选 A.因为函数f (x ＋1)的定义域为[1，3]，所以函数f (x )的定义域为[2，4]．要求f (2x )的定义域，只需2≤2x ≤4，解得1≤x ≤2.考点一 函数的定义域(多维探究)复习指导：学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域．角度1 求函数的定义域(1)(链接常用结论1)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，3] B.(－1，0)∪(0，3] C ．[－1，3]D.[－1，0)∪(0，3](2)(2022·重庆市高三摸底)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 的定义域为( )A ．(－2，3] B.[－2，3] C.(0，3]D.(0，3)【解析】(1)要使函数有意义，x 需满足⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]． (2)函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 需满足⎩⎨⎧x ＋2>0，3－x ≥0，解得－2<x ≤3.【答案】 (1)B (2)A求函数定义域的两种方法方法 解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体解析式，求f (x )的定义域转移法若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[提醒]定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．角度2 已知函数的定义域求参数(2022·广州白云中学高一期中)已知y ＝1ax 2＋（a －1）x ＋14的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，3＋52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞ 【解析】 由题意可知，ax 2＋(a －1)x ＋14>0的解集为R ，①当a ＝0时，易知－x ＋14>0，即x <14，这与ax 2＋(a －1)x ＋14>0的解集为R 矛盾；②当a ≠0时，则由题意得⎩⎨⎧a >0，Δ＝（a －1）2－a <0，解得3－52<a <3＋52， 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. 【答案】 C已知函数的定义域求参数的取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．|跟踪训练|1．(2022·河北顺平月考)函数y ＝1－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12C ．(－∞，2]D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1解析：选D.由题意得⎩⎨⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0.解得x ≤1且x ≠－12，故所求定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.2．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B.－1 C ．1D.2解析：选D.因为－2x ＋a >0， 所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.3．(2022·宁夏银川一中第一次月考)已知函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是________．解析：由题意可得出－2≤2x －1≤3，解得－12≤x ≤2，因此，函数y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2考点二 函数的解析式(自主练透)复习指导：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．1．已知函数f (x )满足f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________． 解析：方法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )， 则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.答案：12x 2－32x ＋23．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．解析：因为－1≤x ≤0，所以0≤x ＋1≤1，所以f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)4．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，则f (x )＝________．解析：已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x －1，①以1x代替①中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x －1，②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x－1，故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0)．答案：2x －1x －13(x ≠0)求函数解析式的四种方法考点三 分段函数(多维探究)复习指导：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 角度1 求分段函数的函数值(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－6，则实数a ＝________，f (2)＝________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥3，f （x ＋1），x <3，则f (2＋log 32)的值为________．【解析】 (1)由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23＋1＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f (3)＝9＋3a ＝－6，所以a ＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6.(2)因为2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，所以f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，所以f (3＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 32＝127×(3－1)log 32＝127×3－log 32＝127×3log312＝127×12＝154，所以f (2＋log 32)＝154.【答案】 (1)－5 －6 (2)154关于分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度2 分段函数与方程、不等式问题(1)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2 B.4 C.6D.8(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(0，＋∞) C ．(－1，0)D.(－∞，0)【解析】 (1)因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x 为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2(a ＋1－1)， 所以a ＝14.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝6.(2)因为f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)． 【答案】 (1)C (2)D解有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．|跟踪训练|1．(2022·山西太原三中模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥2，log 2x ，0<x <2，若f (m )＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－m ＝________． 解析：当m ≥2时，m 2－1＝3， 所以m ＝2或m ＝－2(舍去)；当0<m <2时，log 2m ＝3，所以m ＝8(舍去)． 所以m ＝2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1.答案：－12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，a ≠0，当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点四 函数的新定义问题(综合研析)复习指导：能从函数的新定义中得到函数的概念或性质，求解有关问题．(多选)(2022·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．下列函数是一阶整点函数的是( )A ．f (x )＝sin 2x B.g (x )＝x 3 C ．h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xD.φ(x )＝ln x【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数；对于函数φ(x )＝ln x ，它的图象(图略)只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数．【答案】 AD(1)函数新定义问题的一般形式是由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．(2)解决函数新定义问题的关键是紧扣新定义，学会语言的翻译和新旧知识的转化，可以培养学生的数学抽象的核心素养．|跟踪训练|若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.以下三个函数中是“优美函数”的为________．(填序号) ①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x .解析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调递减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②[A 基础达标]1．函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析：选C.由题意可知x 满足(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．2．(2022·安徽合肥模拟)若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3x B.g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D.g (x )＝－3x 2－2x解析：选B.设g (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，可得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.3．(2022·哈尔滨九中高一第一次验收)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2]，则函数y＝f(x)的定义域是( )A．[1，2] B.[1，4]C.[1，2]D.[2，4]解析：选B.若函数y＝f(x)的定义域是[1，2]，则1≤x≤2，解得1≤x≤4，故函数y＝f(x)的定义域是[1，4]．4．(多选)(2022·山东济宁调研)下列四组函数中，f(x)与g(x)相等的是( ) A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln xB．f(x)＝x，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x，g(x)＝3x3D．f(x)＝x，g(x)＝log a a x(a>0且a≠1)解析：选CD.对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；对于C，g(x)＝3x3＝x(x∈R)，两函数的定义域和对应关系相同，是相等函数；对于D，g(x)＝log a a x＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系相同，是相等函数．5.(2022·日照高三第一次适应性联考)老舍在《济南的冬天》中写到“济南的冬天是没有风声的，济南的冬天是响晴的，济南真得算个宝地．”济南市某一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，下列图象能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )解析：选D.由题意C (t )，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足．6．(2022·山西省高三八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，则不等式f (6－x 2)>f (5x )的解集是( )A ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(6，＋∞) C ．(－1，6)D.(－6，1)解析：选D.因为y ＝－x 2＋x ，在 (－∞，0]上单调递增，y ＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，又因为f (0)＝0 ，所以f (x )在R 上单调递增， 又不等式f (6－x 2)>f (5x )， 所以6－x 2>5x ， 解得－6<x <1.7．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝3x ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，则f (x )＝________．解析：在f (x )＝3x ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝31x·f (x )＋1，将该方程代入已知方程消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝－38x －18(x >0)．答案：－38x －18(x >0)8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．解析：因为f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，所以f (a )＝－2<0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－39．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________． 解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得，f (1)＝2. 答案：210．(2022·海南调研改编)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤－1，x ＋1，x >－1.则f [f (－2)]的值为________；不等式f (x )≥2的解集为________．解析：由题意可得f (－2)＝22＝4，则f [f (－2)]＝f (4)＝4＋1＝5. 由不等式f (x )≥2，可得⎩⎨⎧x ≤－1，2－x ≥2①或⎩⎨⎧x >－1，x ＋1≥2，②解①得x ≤－1，解②得x ≥1，故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 答案：5 (－∞，－1]∪[1，＋∞)[B 综合应用]11．(2022·浙江杭州学军中学期中)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝3，则f (－3)＝( )A ．3 B.8 C.9D.24解析：选A.由题意，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)＋2×0×0，所以f (0)＝0；令x ＝y ＝1，得f (2)＝f (1)＋f (1)＋2×1×1＝8；令x ＝2，y ＝1，得f (3)＝f (2)＋f (1)＋2×2×1＝15；令x ＝3，y ＝－3，得f (0)＝f (3)＋f (－3)＋2×3×(－3)，即0＝15＋f (－3)－18，所以f (－3)＝3.12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C.由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，即⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.13．(2022·马鞍山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥1，－1，x <1，若f (5a －2)>f (2a 2)，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意，得当x <1时，f (x )＝－1；当x ≥1时，f (x )单调递增．所以f (x )≥－1.对于f (5a －2)>f (2a 2)，若5a －2≤1，即a ≤35时，2a 2<1，可得f (5a －2)＝f (2a 2)＝－1，不成立，则5a －2>1，即a >35，且由5a －2>2a 2，解得12<a <2，所以35<a <2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，214．设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1； ③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2sin x －1. 其中是“美丽函数”的为________．(填序号)解析：由题意，只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件． ①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意； ②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意； ③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③。

函数的概念及其表示1．函数的基本概念:⑴函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f(x)，x ∈A.⑵函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫值域．值域是集合B 的子集．①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.⑶函数的三要素：定义域、值域和对应关系．⑷相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等； 例1．下列四个图形中，可以表示函数y ＝f(x)的图像的是( )例2．分别求下列函数的定义域：(1)⑴f(x)＝|x －2|－1log 2x －1； (2)⑵f(x)＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4.例3．求下列函数的值域： ⑴y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}；⑵y ＝x ＋1；⑶y ＝2x ＋1x －3； ⑷y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；⑸y ＝2x －x －1；⑹y ＝x 2－2x 2＋1. 例4．判断下列各组函数是否表示同一函数：(1)f(x)＝x ，g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝x ，g(x)＝x 2；(3)f(x)＝x ＋2，g(x)＝x 2－4x －2； (4)f(x)＝3x 2－1，g(t)＝3t 2－1.2．函数的三种表示方法解析法、列表法、图象法．例1(1)已知f(x)＝x 2，求f(x －1)；(2)已知f(x －1)＝x 2，求f(x)；(3) 已知2f(x)＋f(－x)＝3x ＋2，求f(x)3．分段函数例1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x|≤111＋x 2，|x|>1，则f[f(12)]＝( ) A.12 B.413 C ．－95 D.2541例2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x，x≤1，－x ，x ＞1.若f(x)＝2，则x ＝___ _____.例3．(1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＞6，f (x ＋2)，x ≤6，求f(－3)的值． 4．复合函数例1．已知f(x)＝x 2－4，g(x)＝3x ＋2(x ∈R )．⑴求f(2)和g(a)；⑵求g[f(2)]和f[g(x)]．例2.已知一次函数y ＝f(x)满足f(f(x))＝9x ＋4，求函数f(x)的解析式；5．抽象函数注：①定义域一定是x 的取值范围②前后两个括号的范围是一致的例1．(1)已知y ＝f(x)的定义域为[0,1]，求f(x －1)的定义域．(2)已知y ＝f(x ＋1)的定义域为[0,1]．求f(x)的定义域．(3)已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3]，求f(x －1)的定义域．例2．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy ，其中x ，y∈R ，若f(1)＝2，则f(－2)的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．96．模型函数（双勾函数）例1.分别求下列函数的值域 ⑴24)(-+=x x x f （3≥x ） ⑵162)(2++-=x x x x f （1-≠x ） 例2．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f(x)的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103]巩固提升1．已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅ 2．函数y ＝f(x)的定义域为[－1,1]，则在同一坐标系中，y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或13．若函数f(x)满足f(x ＋1)＝12f(x)，则f(x)的解析式在下列式子中只可能是( ) A.x 2 B ．x ＋12 C ．2－x D ．log 12x 4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x≤1，x 2＋x －2，x ＞1.则f[1f(2)]的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 5．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg xB ．f(x)＝lg x ＋1x －1，g(x)＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f(u)＝ 1＋u 1－u，g(v)＝ 1＋v 1－v D ．f(x)＝(x)2，g(x)＝x 26．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，试求f(x)的表达式．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)8．函数g(x)＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域是 .9．已知n ∈N *，且f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2，n ≥10，f (f (n ＋5))，n ＜10，则f(4)＝________； 10．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是 ( )11．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋2，且f(a)＝4，则a ＝__ ______． 12．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 (x ≤0)－(x －1)2 (x>0)，使f(x)≥－1成立的x 的取值范围为________．13. ⑴已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x －1，求f(x)；⑵已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ，求f(x)．14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x∈{－2}；(2)y ＝2x 2＋1，x∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x∈{－2,2}． 那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为___ _____；若g[f(x)]＝2，则x ＝_____ ___.16．函数y ＝f(x)的值域是[－2,2]，定义域是R ，则函数y ＝f(x －2)的值域是( )A ．[－2,2]B ．[－4,0]C ．[0,4]D ．[－1,1]17．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( )A.13B. 2C.22D ．2 18．已知函数)86(log )(22++-=m mx mx x f⑴若函数f(x)的定义域为R ，求实数m 的值⑵若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的值。