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电路基本定律相量形式

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最新电工学电力学课程第八章《电路定律的相量形式》

最新电工学电力学课程第八章《电路定律的相量形式》



由相量形式KVL有 : V V 1 V 2 600 8090 (V)
（2）相量图解法
60 j80 10053.1 (V) 故 : |V | 100(V)
相量法的三个基本公式


UR RIR


U L jL IL

1
UC

j
C
IC
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件
错误的写法
1 u
C i
1
C

U I
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
0, XC , 直流开路( 隔直作用) ;
XC
, XC 0, 高频短路（旁路作用）;

(3) 由于容抗的存在使电流领先电压。
4、受控源 如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量， 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
i 超前u 90° I
0
所示，反映电压电流瞬时 值关系的波形图如图(b)所示。由此图可以看出电容电流超 前于电容电压90°，当电容电压由负值增加经过零点时，其 电流达到正最大值。
容抗
I= CU
U 1
I C
容抗的物理意义：
X
C
定义

1
C
(1) 表示限制电流的能力；
相量关系
+
U R R I
U R
-
有效值关系：UR = RI 相位关系：u , i 同相
I
R
U
相量图
相量模型
2. 电感
时域
频域
i(t)
i(t) 2I cost
+ u (t)
u(t) L di(t)

电工基础5.3 电路基本定律的相量形式

电工基础5.3 电路基本定律的相量形式

结论：①电容元件电压电流大小关系为：
U 1 I
C
②电容元件电压电流相量关系为：
i
u


2
或i
u


2
即电流I超前电压U π/2.
3、容抗与容纳
（1）容抗Xc：表示电容对正弦电流得

1 单位为欧【姆】()
2f C
① ω＝0，Xc→∞ 电容元件相当于开路 ② ω →∞ ，Xc＝0 电容元件相当于短路
3、KVL在相量图上体现为——封闭多 边形。 三、电阻元件电压电流关系的相量形式： 1、电阻元件 （1）电阻元件时域 形式的电压与电流 关系：
u = Ri
图4-18电阻元件电压电流瞬时值关系
（2）电阻元件的相量形式：


U RI
结论：①电阻元件的电压与电流关系
U=RI 或 I=GU(G=1/R)
①
电感相当于短路
② 0, X L 0 电感相当于开路
（2)感纳： 表示电, X感L 对正弦电流的导通能力。
单位西【门子】（S）
BL

1 XL
故又得：

U jX L I


I jBL U
例4－6：已知0.5H的电感两端电压为
uL 220 2 sin(314t 30)V ，求：XL、BL和IL， 并画出相量图。
2、电容元件的相量形式



I jCU
U
1
jC

或U
1

I j
1

I
jC
C
证：2I
sin(t
i )

d dt
[

电工技术第四章正弦交流电路习题解答

电工技术第四章正弦交流电路习题解答

tωAi /A222032πtAi /A 2032π6πA102i 1i 第四章 正弦交流电路［练习与思考]4—1-1 在某电路中,()A t i 60 314sin 2220-=⑴指出它的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。

⑵如果i 的参考方向选的相反,写出它的三角函数式，画出波形图，并问⑴中各项有无改变？ 解：⑴ 幅值 A I m 2220有效值 A I 220=频率 3145022f Hz ωππ===周期 10.02T s f==角频率 314/rad s ω=题解图4。

01初相位 s rad /3πψ-=波形图如题解图4.01所示 (2） 如果i 的参考方向选的相反, 则At i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32 314sin 2220π，初相位改变了，s rad /32πψ=其他项不变。

波形图如题解图 4.02所示。

题解图4。

024—1-2已知A)120314sin(101 -=t i ，A )30314sin(202+=t i⑴它们的相位差等于多少？⑵画出1i 和2i 的波形。

并在相位上比较1i 和2i 谁超前，谁滞后。

解：⑴ 二者频率相同，它们的相位差︒-=︒-︒-=-=1503012021i i ψψϕ+1+1（2）在相位上2i 超前,1i 滞后。

波形图如题解图4.03所示。

题解图4。

03 4—2—1 写出下列正弦电压的相量V )45(sin 2201 -=t u ω，)V 45314(sin 1002 +=t u 解：V U ︒-∠=•4521101 V U ︒∠=•4525024-2-2 已知正弦电流)A60(sin 81 +=t i ω和)A 30(sin 62 -=t i ω，试用复数计算电流21i i i +=,并画出相量图.解：由题目得到A j j j j I I I m m m ︒∠=+=-++=︒-︒+︒+︒=︒-∠+︒∠=+=•••1.231093.32.9)32.5()93.64()30sin 630cos 6()60sin 860cos 8(30660821 所以正弦电流为)A 1.23(sin 101 +=t i ω题解图4.04 相量图如题解图4.04所示。

基尔霍夫定律的相量形式.

基尔霍夫定律的相量形式.

电压相量，如图(c)所示，从相量图上容易看出各正弦电压
的相位关系。
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26
即一般说来
n
Uk 0
k 1Biblioteka 关于复数的几个公式1. 假设复数 c rθ a jb
则有 c a2 b2 θ arctan b a
uk (t) Re[U kme jt ] Re[ 2U k e jt ]
代入KVL方程中得到
n uk (t) n Re[Ukmejt ] 0
k 1
k 1
n
n
uk (t) Re[
2Uke jt ] 0
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
j ej180 cos180 jsin180 1 1 j2 ej180 1180
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 iS、i、i1、i2 用相应的相量符
号 IS、I、I1、I2 表示，并计算出电流相量 。
I1 1060 A
I2 5 90 A
列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式
为
I I1 I2 0
§8－3 基尔霍夫定律的相量形式
一、基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路 电流的代数和等于零。其数学表达式为
n
ik (t) 0
k 1
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则 可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式

电路基础知识总结

电路基础知识总结

电流的参考方向可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则i>0，反之i<0。

电压的参考方向也可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则u>0反之u<0。

2．功率平衡一个实际的电路中，电源发出的功率总是等于负载消耗的功率。

3．全电路欧姆定律：U=E-RI负载越小。

5．电路的断路与短路电路的断路处：I＝0，U≠0 电路的短路处：U＝0，I≠0 。

1．几个概念：支路：是电路的一个分支。

结点：三条（或三条以上）支路的联接点称为结点。

回路：由支路构成的闭合路径称为回路。

网孔：电路中无其他支路穿过的回路称为网孔。

（1）定义：任一时刻，流入一个结点的电流的代数和为零。

或者说：流入的电流等于流出的电流。

（2）表达式：i进总和=0 或：i进=i出（3）可以推广到一个闭合面。

3．基尔霍夫电压定律（1）定义：经过任何一个闭合的路径，电压的升等于电压的降。

或者说：在一个闭合的回路中，电压的代数和为零。

或者说：在一个闭合的回路中，电阻上的电位的概念（1）定义：某点的电位等于该点到电路参考点的电压。

（2）规定参考点的电位为零。

称为接地。

（3）电压用符号U表示,电位用符号V表示（4）两点间的电压等于两点的电位的差。

（5）注意电源的简化画法。

四．理想电压源与理想电流源1．理想电压源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电流的大小，理想电压源的输出电压不变。

理想电压源的输出功率可达无穷大。

（2）理想电压源不允许短路。

2．理想电流源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电压的大小，理想电流源的输出电流不变。

理想电流源的输出功率可达无穷大。

（2）理想电流源不允许开路。

3．理想电压源与理想电流源的串并联（1）理想电压源与理想电流源串联时，电路中的电流等于电流源的电流，电流源起作用。

（2）理想电压源与理想电流源并联时，电源两端的电压等于电压源的电压，电压源起作用。

4．理想电源与电阻的串并联（1）理想电压源与电阻并联，可将电阻去掉（断开），不影响对其它电路的分析。

5.3基本元件和定律的相量表示法

5.3基本元件和定律的相量表示法

(b)
电路分析基础
青岛黄海学院
例 2: 已知:I1= 4A，I2 = 3A，求I = ?
解法一: 设参考相量 U U0V
1 U I 1 U 0 I 10 40 R R
I
U
I1
I2 1 j C
R
I 2 j CU j CU jI 2 j3V
R
uR
u
uL uC
i 4Ω 2.4H 0.025F (a)
UR I UL
U L j LI j12 2 I j 24V
UC 1 j I j8 2 I j16V C
U
4Ω
jωL
1 j C
UC
由KVL： U U R U L U C 8 j 24 j16 8 j8 8 245V u(t) = 16cos(5t + 45°) V
3.解方程
电路分析基础
青岛黄海学院
pC

iC O
电路分析基础
u
瞬时功率以2交变，有正有
2
t
负，一周期内刚好互相抵消。
青岛黄海学院
归纳： VAR相量形式
相量模型

相量图
I
UR
电阻
U R RI
+

UR
R

I
u= i
UL
I
+

U L j LI 1 电感 I UL j L
I I 1 I 2 4 j3 536.9 A
∴I = 5 A 解法二:画相量图
I I1 I 2

基本元件的相量形式(3)


电流与电压同相
电工基础
三、电感元件的相量形式： 电感元件的相量形式：
i
L
Z L = ωL∠90 = jωL = j 2πfL
ɺ I
ZL
相量图
+
u
−
ɺ U
ϕi
ɺ I
+
ɺ U
−
i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) A u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
u(t ) = L ⋅
Q=
ωt
t
2 UC
XC
电 源
i 电
源
(var) : 电容元件 电
u
电工基础
例：求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 ɺ ZC C = 10µF i C I
+
u
解： X C =
− u (t ) = 100 2 sin(1000t + 30 )V
ɺ UC
电工基础
u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
ϕ
ɺ I +1
电流与电压同相
ɺ I = I∠ϕi (A) ɺ U = U∠ϕ u (V )
ɺ U Z= ɺ = Z ∠ϕ z I
u(t ) = R ⋅ i(t )
= R ⋅ I m sin(ωt + ϕ i )
大小关系： 大小关系： m = R ⋅ I m U
ϕ z = ϕu − ϕi
电工基础
电感元件的功率： 电感元件的功率：
1）瞬时功率: 瞬时功率:
p ( t ) = u ( t )i ( t )

84 电路定律的相量形式

§8.4 电路定律的相量形式
一. 基尔霍夫定律的相量形式 正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都
是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL转 换为相量形式。
•
i(t) 0 I 0
•
u(t) 0 U 0
注：但一般 I 0 ， U 0
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1. 电阻
相量模型
IL IC IR
jLIL
1
jC
IC
U S
RIR
1
jC
IC
相量形式代数方程
相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
例8-6：正弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率 ω=103rad/s， R=3Ω，L=1H，C=1μF。求电压uad和ubd。
ai
b
c
iS
+ uR - + uL - +
i(t)
+ uR(t) -
已知 i(t) 2I cos(t ) 则 uR (t) Ri(t) 2RI cos(t )
R
相量形式：
I I
U R RI I
相量关系
U R R I
+
U R
-
有效值关系：UR = RI
相位关系：u , i 同相
I
R
U
相量图
相量模型
2. 电感
时域
频域
i(t)
i(t) 2I cost
= 15 /0 °V
•
•
U L jL I = 5000 / 90°V
•
UC j
1
•
I
= 5000 / - 90 °V
C
•

4-3电路定律的向量形式


I
u i
U
3）电阻的uR (t )的相位 iR (t ) 的相位同相；
4 ) 振幅关系 U Rm RI Rm
u (t )
i (t )
R
时域模型
例2：在正弦稳态电路中，
i ( t ) 2cos(100t 30 )A 流过10Ω电阻的电流
求： u (t )
10 2 cos(100t 30 )V
k 1 k
n
对于线性时不变的正弦稳态电路（单一频率激 励）各支路电压、电流为同频率的正弦量。 设：
n
jωt ik (t ) I km cos(ωt ik ) Re[ I km e ]
n
n jωt jωt ik (t ) Re[I km e ] Re I kme k 1 k 1 k 1
0 I
元件 电阻 电感 相量模型
I
0 U
伏安关系 相量图
R
U
I
jL
U
I
1 jC
电容
U
例 4：
u (t )
4H电感端电压 u (t ) 8 2cos(t 50 )V 100rad/s 求 i (t )
i(t )
解：1）画出电路的相量模型
i3
i1 i2
求：
i3 (t )
解：方法1）由KCL的时域形式： 1060
0
6.236.2
10 60 5 90 I3 I1 I 2
5 90
相量图
10 cos 60 10 j sin 60 j5

5 j3.66 6.236.2 A

第20讲 电路定律的相量形式、阻抗与导纳


频域
&L = I L∠φi I
& UL
有效值关系 UL=ω L IL
UL = ωLIL π φu = φi + 2
& IL
& U
+ L
π φ + = ωL I L∠ i 2
相位关系 uL 超前 iL 90° °
& U
jω L
L
相量模型
相量图
& IL
感抗 U=ω L I XL= U/I =ω L= 2π f L， 单位 欧 π ， 单位: 感抗的物理意义： 感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比。 感抗和频率成正比。 XL
& U
φ = U∠ u
π φ + & I = ω C U∠ u 2
有效值关系 I=ω C U
+
I&
U&
1 jω C
& I
& U
相位关系 i 超前 90° 超前u °
-
相量模型
相量图
容抗 I=ω CU
U 1 = I ωC 容抗的物理意义： 容抗的物理意义：
1 XC = ωC
def
错误的写法 1 u = ωC i
θ = φu - φi
θ
R 阻抗三角形
X
具体分析一下 R-L-C 串联电路 Z=R+j(ω L-1/ω C)=|Z|∠
ω L > 1/ω C ，X>0， >0，u领先 ，电路呈感性； 领先i， ， ， 领先 电路呈感性； ω L<1/ω C ，X<0， <0，u落后 ，电路呈容性； 落后i， ， ， 落后 电路呈容性； ω L=1/ω C ，X=0， =0，u与i同相，电路呈电阻性。 同相， ， ， 与 同相 电路呈电阻性。
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当 C一定时,电容的容抗与频率f 成反比。频率越高， 感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。
2. 电压电流的相位关系
uUms iω nt
iImsiω nt (90 )
U mUm00 ImIm900
i uC
i 超前u
2
3. 电压电流的相量关系
ui u
i
UImm
p
（1）瞬时功率
p u U i( 1 c I2 o t)s
（2）平均功率
（有功功率）
0
PT 10 TpdtU IU R 2I2R
t
P=U I
t
四、电感元件的电压电流关系的相量式
设在电感元件的交流电路中
，电压、电流参考方向如图示。
+
1.电压电流的数值关系
ui L
瞬时值 设： iImsi nt
2. 电压电流的相位关系
iImsi nt ImIm00U mUm900 u+
u L I m co t U m s sit n 9 )( 0
u 超前i
eu 2 e滞后i
ui
u
i
–
e
i
e
L
2
3. 电压电流的相量关系
0
t

U Im mUIm m 09000U Im m900jXL

Um00 Im900
jXC
I
0
2
•
UjIXC
U
CHale Waihona Puke ItU• 相量图
3、功率
设：uU m sin t
iu
iIm si n t(90 ) 0
t
其波形图如右：
p
（1）瞬时功率
p u U i sI 2 i n t
+
+
（2）平均功率 P0
0
–
– t
电容不消耗功率， 是储能元件。
2
U•
U jIXL
+
U I
–
E
L 相量图
•
I E•
4. 功率
设：iIm sin t
ui
uU m si n t9 ()0
其波形图如右：
0
t
（1）瞬时功率
p
p u iU sI i2 n t +
+
（2）平均功率
P0
0
–
– t
（3Q）无U功I功X率LI2U XL 2
–
则 u L di
U 最 u m U 大 值 L Im I、 I m L 有L c 效II值m X o t L X L dU tm s s X感L抗it ( n L )9 )( 0 电最姆电流大定感有值律的效满形电值足式压、欧。与
感感抗抗当的越L大倒一，数定在称时直,为线流感圈电的纳路感中，抗感即与抗：频为B L率零f，X成1可L 正单视比为位。短：频路率西。越[门高子，]
因此，相量形式的KVL为:
对任一闭合回路满足

U 0
正弦电流用相量表示后，KCL仍然适用。
三、电阻元件电压电流关系的相量形式
设在电阻元件的交流电路中 ，电压、电流参考方向如图示。
1.电压电流的数值关系
+
ui R
–
则瞬值u 时 R 设 ：R im i s ImsI i t i n U n tm sImi t In m00
电感不消耗功率， 是储能元件。
电感与电源之间能量交换的规模称为无功功
率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var) 乏。
五、电容元件的电压电流关系的相量形式
设在电容元件的交流电路中 ，电压、电流参考方向如图示。
1.电压电流的数值关系
i uC
瞬时值 设：uUms iω nt
则 i C du U 最m i大 值C Im ω 、CU 1有ωm 效c 值Im ω o XtC dt I s m s X容C抗ω i(t n 1C)9 ) (电最姆0 电流大定容有值律的效满形电值足式压、欧。与
第三节 电路基本定律的相量形式
一、KCL的相量形式
时域内KCL为 i 0
在正弦交流电路中，上式各项电流均为同频 率的正弦量。
因此，相量形式的KCL为: 对任一节点满足

I 0
正弦电流用相量表示后，KCL仍然适用。
二、KVL的相量形式
时域内的KVL为: u0
在正弦交流电路中，上式各项电压均为同频 率的正弦量。
电阻的电压 与电流瞬时
最大值、有效值 UmRIm 或
Um

U

U mUm00
R
值、有效值 、最大值都
Im I
满足欧姆定
2. 电压电流的相位关系
u 、i 同相
3. 电压电流的相量关系
律。
ui
u i
+
U I
–
R
U m I m

R

I 0 U
相量图
t
3、功率
u
i
+
u
R
0
–
i
u i U Im m ssi i n tn t
（3）无功功率
Q U IX C I2
电容与电源之间能量交换的规模称为无功功 率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var) 乏。