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电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
7电路定律的相量形式1. 电阻元件 VCR 的相量形式设图8.13（a）中流过电阻的电流为则电阻电压为：其相量形式：图8.13（a）以上式子说明：（1）电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：，图8.13（b）为电阻的相量模型图。
图 8.13（ b ）（2）电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：U R = RI（3）电阻的电压和电流同相位，即：ψu = ψi电阻电压和电流的波形图及相量图如图8.14（a）和（b）所示。
图 8.14（a）（b）电阻的瞬时功率为：即瞬时功率以2ω交变，且始终大于零，如图8.14（a）所示，表明电阻始终吸收功率。
2. 电感元件 VCR 的相量形式设图 8.15（a）中流过电感的电流为则对应的相量形式分别为：图 8.15 （ a ）（ b ）以上式子说明：（1）电感的电压相量和电流相量满足关系：，其中X L=ωL=2πfL ，称为感抗，单位为Ω(欧姆)，图8.16（b）为电感的相量模型图。
（2）电感电压和电流的有效值满足关系：，表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。
（3）电感电压超前电流相位，即：电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。
注意:（1）感抗表示限制电流的能力；（2）感抗和频率成正比如图8.16（c）所示，当；电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。
图 8.16 （a）（b）（c）电感的瞬时功率为：即电感的瞬时功率以 2ω交变，有正有负，如图8.16（a）所示。
电感在一个周期内吸收的平均功率为零。
3. 电容元件 VCR 的相量形式图 8.17 （ a ）（ b ）设图8.17（a）中电容的电压为：则对应的相量形式分别为：以上式子说明：（1）电容的电压相量和电流相量满足关系：其中X C =1/ωC ，称为容抗，单位为Ω(欧姆)，图8.17（b）为电容的相量模型图。
（2）电容电压和电流的有效值满足关系：，表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。
7电路定律的相量形式
1. 电阻元件 VCR 的相量形式
设图8.13（a）中流过电阻的电流为
则电阻电压为：
其相量形式：
图8.13（a）
以上式子说明：
（1）电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：，图8.13（b）为电阻的相量模型图。
图 8.13（ b ）
（2）电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：U R = RI
（3）电阻的电压和电流同相位，即：ψu = ψi
电阻电压和电流的波形图及相量图如图8.14（a）和（b）所示。
图 8.14（a）（b）
电阻的瞬时功率为：
即瞬时功率以2ω交变，且始终大于零，如图8.14（a）所示，表明电阻始终吸收功率。
2. 电感元件 VCR 的相量形式
设图 8.15（a）中流过电感的电流为
则
对应的相量形式分别为：
图 8.15 （ a ）（ b ）
以上式子说明：
（1）电感的电压相量和电流相量满足关系：，其中X L=ωL =2πfL ，称为感抗，单位为Ω(欧姆)，图8.16（b）为电感的相量模型图。
（2）电感电压和电流的有效值满足关系：，表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。
（3）电感电压超前电流相位，即：
电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。
注意:
（1）感抗表示限制电流的能力；
（2）感抗和频率成正比如图8.16（c）所示，当；电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。
图 8.16 （a）（b）（c）电感的瞬时功率为：
即电感的瞬时功率以 2ω交变，有正有负，如图8.16（a）所示。
电感在一个周期内吸收
的平均功率为零。
3. 电容元件 VCR 的相量形式
图 8.17 （ a ）（ b ）
设图8.17（a）中电容的电压为：
则对应的相量形式分别为：
以上式子说明：
（1）电容的电压相量和电流相量满足关系：
其中X C =1/ωC ，称为容抗，单位为Ω(欧姆)，图8.17（b）为电容的相量模型图。
（2）电容电压和电流的有效值满足关系：，表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。
（3）电容电压滞后电流相位，即：
电容电压和电流的波形图及相量图如图8.18（a）和（b）所示。
注意: 容抗和频率成反比如图8.18（c）所示，当，说明电容有隔断直流的作用，而高频时电容相当于短路。
图 8.18 （ a ）（ b ）（ c ）电容的瞬时功率为：
即电容的瞬时功率以 2ω交变，有正有负，如图8.18（a）所示。
电感在一个周期内吸收的平均功率为零。
4. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。
因此，在正弦稳态电路中，KCL 和KVL可用相应的相量形式表示。
对电路中任一结点，根据KCL有，由于
得 KCL 的相量形式为：
同理对电路中任一回路，根据 KVL 有，
对应的相量形式为：
上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL ；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL 。
例8-7 图(a)所示电路中电流表的读数为：A1=8A ，A2=6A ，试求：
（1）若，则电流表 A0的读数为多少？
（2）若为何参数，电流表 A0的读数最大？I0max = ？
（3）若为何参数，电流表 A0的读数最小？I0min = ？
（4）若为何参数，可以使电流表A0=A1读数最小，此时表A2=？
例 8 — 7 图（a）(b)
解：（1）设元件两端的电压相量为参考相量，根据元件电压和电流相量的关系画相量图如图（b）所示，则：
（2）因为是电阻，所以当也是电阻时，总电流的有效值为两个分支路电流有效值之和，达到最大值：
（3）因为是电感元件，所以当是电容元件时，总电流的有效值为两个分支路电流有效值之差，达到最小值：
（4）是电感元件，所以当是电容元件时，满足
例8-8 电路如图(a)所示，已知电源电压，求电源电流i(t)
例 8 — 8 图（a）(b)
解：电压源电压的相量为：
计算得感抗和容抗值为：
电路的相量模型如图（b）所示。
根据 KCL 和元件的 VCR 的相量表示式得：
所以
例8-11 图(a)所示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、X C、X L。
例 8 — 11 图（a）（b）解：，根据元件电压和电流之间的相量关系得：
所以
因为：
令上面等式两边实部等于实部，虚部等于虚部得：
也可以通过画图（b）所示的相量图计算。
