2020年河北省衡水中学高三下学期一调考试数学文试题

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2019—2020学年度第二学期一调考试
高三年级数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）
1.已知复数3a i z a i
+=+-（其中a R ∈，i 为虚数单位），若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知全集{}
2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的
阴影部分所表示的集合为（ ）
A. 4{|}2x x -≤<
B. {|2x x ≤或4}x ≥
C. {|21}x x -≤≤-
D. {|12}x x -≤≤ 3.已知 a b c R ∈、、
，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》
：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）。

河北省衡水中学2022-2023学年高三下学期一调考试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．化学与生产、生活和科技都密切相关。

下列有关说法不正确的是A．垃圾分类有多种方法，其中废纸、废药品属于可回收垃圾B．含有新冠病毒的飞沫分散在空气中形成的分散系为气溶胶C．生产宇航服所用的碳化硅陶瓷和碳纤维材料都属于新型无机非金属材料D．“落红不是无情物，化作春泥更护花”蕴含着自然界中的碳、氮循环2．用N A表示阿伏加德罗常数的值。

下列叙述正确的是A．钠作除水剂时，每消耗1 mol Na，生成H2的分子数为N AB．工业合成氨时，每反应22.4 L(标准状况下)N2，生成的极性共价键数目为6N A C．电解精炼铜时，阳极质量每减少64 g，通过电路的电子数为2N AD．明矾净水时，0.1 mol/LAl3+形成的Al(OH)3胶粒的数目为0.1N A3．下列实验操作设计正确且能达到实验目的的是A．A B．B C．C D．D4．劳动开创未来。

下列劳动项目与所述的化学知识没有关联的是A．A B．B C．C D．D5．前四周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大。

X与Z同主族，且基态X 原子中p能级和s能级上的电子数相同。

Y、Z同周期，Y位于ⅢA族，W最外层有2个电子。

下列说法正确的是A．原子半径：r(X)<r(Y)<r(Z)<r(W)B．最高价氧化物对应水化物的碱性：W<YC．简单氢化物的沸点：Z<XD．基态W原子内层原子轨道均已充满电子6．下列离子能大量共存，且加入相应试剂后发生反应的离子方程式书写正确的是A．A B．B C．C D．D7．水合肼又称水合联氨，广泛用于还原剂抗氧化剂、发泡剂等。

其制备原理为：NaClO+2NH3=N2H4·H2O+NaCl。

用如图装置制取水合肼有关分析正确的是A ．装置的连接顺序是：f→a→b→d→c→eB ．e 所在装置的漏斗可以没入水面以下C ．f 所在装置可以快速制备氨气D ．操作过程中要快速滴加NaClO 溶液8．工业上可用克劳斯工艺处理含H 2S 的尾气获得硫黄，工艺流程如下.已知反应炉中部分2H S 发生反应：2222O 高温2H S+3O 2SO +2H 。

2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等5. 某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A. B. C. D.6. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. 1 C. D.7. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 10089. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D. 学%科%网...11. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.12. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，若向量与共线，则__________．14. 已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值为__________．15. 在中，角，，的对边分别为，，，是与的等差中项且，的面积为，则的值为__________．16. 已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心. （1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.19. 2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.20. 已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：，，三点共线..21. 已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；学%科%网...（2）证明：当且时，总有.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点. （1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅰ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，则，故选D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由两双曲线的方程可得的半焦距相等，它们的渐近线方程相同，的焦点均在以原点为圆心，为半径的圆上，离心率不相等，故选D.5. 某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为，该学生到达教室的时间总长度为分钟，其中在进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率，故选A.6. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】，当时，时，则，所以，故选D.学+科+网...7. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008【答案】B【解析】由程序框图则，由规律知输出．故本题答案选．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.9. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为．三棱锥的底面是两直角边分别为的直角三角形，高为．则几何体的体积．故本题答案选．10. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，所以．则，图象过点，则，即，所以，又，则．故，令，得，令，可得其中一个对称中心为．故本题答案选．11. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．12. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B学+科+网...【解析】如图，设的中心为，球的半径为，连接，易求得，则 .在中，由勾股定理，，解得，由，知，所以，当过点的截距与垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为；当过点的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为，故选B.【方法点睛】本题主要考查正三棱锥的性质及空间想象能力、圆的性质、勾股定理的应用.属于难题. 化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解,在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识，例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，若向量与共线，则__________．【答案】【解析】 ,由向量与共线，得，解得，则，故答案为.14. 已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值为__________．【答案】1【解析】不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，，故当取最大值时，取最大值. 由图可知，当时，取最大值，此时取最大值，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移（转）、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移（旋转）变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在中，角，，的对边分别为，，，是与的等差中项且，的面积为，则的值为__________．【答案】16. 已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为__________．【答案】【解析】由题知，，准线的方程是 . 设，由，消去，得 . 因为直线经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特征知，因为直线的倾斜角是，所以，所以四边形的周长是，故答案为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得的值，从而可得，进而可得结果；（2）由（1）知，裂项相消法求和，放缩法即可证明.试题解析：（1），故的最小值为.又，所以，即.所以当时，；当时，也适合上式，学+科+网...所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，所以，所以.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心. （1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）延长交于点，先证明，再证明平面，即平面；（2）由（1）知平面，所以就是点到平面的距离，再证明，从而利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面，，所以平面，即平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，所以就是点到平面的距离.由已知可得，，所以为正三角形，所以.又点为的重心，所以.故点到平面的距离为.所以.学+科+网...19. 2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.【答案】（1），平均数是74，中位数是；（2）1200；（3）．【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为可得第4组的频率为，从而可得结果；（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果.（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）.由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分.（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为.（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取3人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及离散型随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：，，三点共线..【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于、、的方程组，结合性质，，求出、、，即可得结果；（2）设，，则，. 因为点，都在椭圆上，所以，利用“点差法”证明，即可得结论.试题解析：（1）由题意得，则.由椭圆与圆：的公共弦长为，其长度等于圆的直径，学+科+网...可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）证明：设，，则，.因为点，都在椭圆上，所以所以，即.又，所以，即，所以所以又，所以，所以，，三点共线.21. 已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；（2）证明：当且时，总有.【答案】（1）在处取得极大值，且极大值为，无极小值；（2）见解析．试题解析：（1）的定义域为，.①当时，，故在内单调递减，无极值；②当时，令，得；令，得.故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.（2）证法一：当时，.设函数，则.记，则.当变化时，，的变化情况如下表：学+科+网...由上表可知，而，由，知，所以，所以，即.所以在内为单调递增函数.所以当时，.即当且时，.所以当且时，总有.证法二：当时，.因为且，故只需证.当时，成立；当时，，即证.令，则由，得.在内，；在内，，所以.故当时，成立.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点. （1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间的转化关系，可得圆的直角坐标方程，将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义可求得弦的长；（2）写出圆的参数方程，利用点到直线的距离公式，可得，可求出的最大值，即求得的面积的最大值．试题分析：（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为. （2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.所以，即的面积的最大值为.学+科+网...23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，. 所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.。

试卷类型：B2019-2020学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试文科数学考试时间120分钟，试卷总分150分.命题人：集备组 审核人：教研组请将答案填写（涂）在答题卡上。

在本卷上作答无效！一、选择题 1．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）2．已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b =或a b =-； ②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ： ()00,2x ∃∈， 200230x x --<的否定p ⌝： ()0,2x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数x y a =是增函数，而12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．是虚数单位，复数（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．m α⊥，//n β且αβ⊥，则m n ⊥B ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥C ．m αβ⋂=，n m ⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．//m α，//n β且//αβ，则//m n5．已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+ 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．7+3√5B ．7+2√5C ．112+3√5D ．112+2√5i 5225ii-=+i -i 21202929i --4102121i -+7．已知平面内的两个单位向量，OB ，它们的夹角是60°，OC 与、OB 向量的夹角都为30°，且||23OC =OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ） A ．B ．C ．2 D ．48．函数f(x)=cosπx x 2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1]- B ．11{1}(,]22-- C ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--10．设函数||||()x x x e f x e +=的最大值为M ，最小值为N ，则下列结论中：①2M N e -=，②4M N +=，③211MN e =-，④11M e N e +=-，其中一定成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知椭圆C ： 22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l 与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值12．已知函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，当x >1时，f(x)>0，对任意的x,y ∈(0,+∞)，f(x)+f(y)=f(x ⋅y)成立，若数列{a n }满足a 1=f(1)，且f(a n+1)=f(2a n +1)(n ∈N ∗)，则a 2017的值为（ ） A ．22014−1 B ．22015−1 C ．22016−1 D ．22017−1二、填空题13+_________.14．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③xy e =与1y x =+④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x =15．已知函数()sin 3f x x x =-+，则不等式(1)(27)6f x f x ++->的解集为________．16．已知直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)相切于第一象限的点P(x 0,y 0)，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当△AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠F 1PF 2=60°(F 1、F 2是椭圆的两个焦点)，若此时在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2的平分线的长度为√3m a ，则实数m 的值是__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示△ABC 的外接圆半径.（Ⅰ）如图，在以O 圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 是⊙O 的弦，其中BC ＝2,∠ABC ＝45°，求弦AB 的长;(Ⅱ)在△ABC 中，若∠C 是钝角，求证：a 2+b 2<4R 2;(Ⅲ)给定三个正实数a 、b 、R ，其中b ≤a ，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a 、b 、R 表示c.18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A ，B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下： A 类()5110ii x x =-=∑180≈；B 类()5110i i x x =-=∑60≈；C 类()5110i i x x =-=∑63≈；（1）经计算己知A ，B 的相关系数分别为1045r .=-，2025r.=．，请计算出C 学生的()()112345i i x ,y ,,,,=的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，r 越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为62ˆˆy .x a =+，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．附相关系数()()niix x y y r --=∑，线性回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，()()niix x y y ˆb--=∑ˆˆa y bx =-．19．（本题满分12分） 如图，ΔABC 的外接圆⊙O 的半径为√5，CD ⊥⊙O 所在的平面，BE//CD ，CD =4，BC =2，且BE =1，tan ∠AEB =2√5．（1）求证：平面ADC ⊥平面BCDE ．（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．21．设函数()()e 1e 1x xf x x a =+-+，a ∈R .（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .考生注意：请从第22、23题中选择一题作答。

2022—2023衡水中学下学期高三年级一调考试数学参考答案1，B 【解析】由题意得}1,0{=A <+<=20|{x x B }82{{}10<<-=x x ，所以}1,0{=B A .2．C 【解析】设),(i R b a b a z ∈+=，由题意得+-2)5(a 22222)1()1(++=+-=b a b a b ，解得3=a ，3-=b ，所以23)3(3||22=-+=z .3．B 【解析】由题意得2sin )sin21(32=--a α，解得21sin -=α或31sin =α．又⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，所以=αsin 31，则322sin 1cos 2-=--=αα，=αααcos sin tan 42-，所以322cos )cos(=-=-ααπ，=-)tan(απ42tan =-α，322cos 2sin -==⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααπ，⎪⎭⎫⎝⎛-απ2cos 31sin ==α，故ACD 错误、B 正确．4．D 【解析】设该高阶等差数列为}{n a ，则}{n a 的前7项分别为1，2，4，7，11，16，22.令n n n a a b -=+1，则数列}{n b 为1，2，3，4，5，6，…，所以数列}{n b 是首项为1，公差为1的等差数列，所以n b n =，即n a a n n =-+1，故+-+-=)()(989999100100a a a a a ++- )(9798a a =+++++=+-1)1.979899()(112 a a a =++⨯12)199(994951.5．A 【解析】由题意得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21，准线l 的方程为21-=x ，设准线l 与x 轴的交点为E 如图，由题知l MN ⊥.由抛物线的定义知||||MF MN =．又||||MN NF =，所以MNF ∆是等边三角形，因为OF MN //，所以=∠=∠MNF EFN ︒60，所以22||2||===p EF NF ，所以MNF ∆的面积为360sin ||212=︒NF .6．C 【解析】由题意得545a ab =，即545=b ，所以=b 554，令4a ab t =，则41=t b ，即41)54(5=t ，即41lg 54lg 5=t ，可得2lg 2)12lg 3(51-=-t ，故=t 301.032lg 312lg 10=≈-.7．C 【解析】由题意得从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有2828=C 种不同的结果，其中一个数比m 大，一个数比m 小的不同结果有)9)(2(m m --种，所以14528)9)(2(=--m m ，整理得028112=+-m m ，解得4=m 或7=m ．当4=m 时，数据中的%x 分位数是第3个数，则38%2<⋅<x ，解得5.3725<<x ，故所有选项都不满足；当7=m 时，数据中的%x 分位数是第6个数，则68%5<⋅<x ，解得755.62<<x ，故ABD 不满足、C 满足．8．A 【解析】)(x f 的定义域为),2(+∞-，-='1)(x f 2121++=+x x x ，当12-<<-x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当1->x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，所以0)1()(min =-=f x f ，所以1-=x 为方程0)(=x f 的唯一实根，即11-=x ，故1||21≤-x x ，即1|1|2≤--x ，解得022≤≤-x .因为2x 是++-=a ax x x g 42)(24的零点，所以方程04422=++-a ax x 在区间]0,2[-上有实根，即4)42(2+=-x a x 在区间]0,2[-上有实根，即2422-+=x x a 在区间]0,2[-上有实根．令=)(x g 242-+x x ，]0,2[-∈x ，则=-+-=-+=28)4(24)(22x x x x x g 428)2(282+-+-=-++x x x x .设≤--=4(2x t )2-≤t ，则48)(++=tt t h ，易知)(t h 在区间,4(-)22-上单调递增，在区间)222(--上单调递减．又2)4(-=-h ，2)2(-=-h ，所以2)(min -=t h ，244)(max -=t h ，所以24422-≤≤-a ，即≤≤-a 1222-，故实数a 的最小值是-1．二、选择题9．ABD 【解析】由题意得）（32,2()320,11=++=+b a ，所以2232(2||）+=+b a =4，故A 正确；203212)(.=⨯+⨯=⋅+a b a ，故B 正确；因为>=+<b a a ,cos 21412||||)(=⨯=++⋅b a a b a a ，且π≤+≤b a a ,0，所以3,π=+b a a ，故C 错误；向量b a +在向量a 上的投影向量为a a a a b a a 2||||)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅，故D 正确．10．ABC 【解析】因为⎩⎨⎧=--=--,11,31A A 所以2=A ，所以1)2cos(2)(-+=ϕx x f ，又2|1cos 2||)0(|=-=ϕf ，所以23cos =ϕ（舍去）或21cos -=ϕ，因为<<ϕ0π，所以32πϕ=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322sin 2)(πx x g ，当12π=x 时，212-=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，所以)(x g 的图象关于直线12π=x 对称，故A 正确；当3π=x 时，03=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，所以)(x g 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称，故B 正确；当≤+-ππk 223ππk x 2322+-≤-，z k ∈，即+≤≤+-12125πππx k πk ，Z k ∈，时，)(x g 单调递减，则当0=k 时，)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,125ππ上单调递减，所以)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡12,0π，故C 正确；因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx f )(2cos 23232cos 21x g x x =/-=⎪⎭⎫⎝⎛++=+ππ，故D 错误．11．AC 【解析】因为圆01682:221=++-+y x y x C 的标准方程为1)4()1(22=++-y x ，所以其圆心为)4,1(1-C ，半径为11=r ，因为圆+-+x y x C 6:22205=的标准方程为4)3(22=+-y x ，所以其圆心为)0,3(2C ，半径为22=r ，设点2C 关于直线l 对称的点为),(b a C ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-,02223,13b a a b解得⎩⎨⎧=-=,5,2b a 即)5,2(-C .如图，连接1CC 交直线l 于点P ，连接2PC ，此时1,,C P C 三点共线，||||12PC PC +最小，则||||PB P A +最小，所以=+min |)||(|PB P A -=--=--+103||||||2112112r r CC r r PC PC 3，故A 正确、B 错误；因为||||||AB PB P A ≤-，所以当||AB 取到最大值且点B A P ,,共线时，-||P A ||PB 取到最大值．由图可知，==||||max MN AB =++2121||r r C C 352+，所以||||PB P A -的最大值为352+，故C 正确，D错误。

河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试文数试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）1．已知复数z=a+i3−i （其中a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为−12，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|﹣2≤x≤﹣1}D．{x|﹣1≤x≤2}3．已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n的结果为（）A．53B．54C．158D．2635．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm 2，900cm 2，高为9cm ，长方体形凹槽的体积为4300cm 3，斗的密度是0.70g /cm 3．那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是V =13(S′+√S′S +S)ℎ．A ．3990gB ．3010gC ．7000gD ．6300g6．在△ABC 中，a 2+b 2+c 2＝2√3ab sin C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．正三角形7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP 为等腰三角形且其外接圆半径为√5a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．√155B ．√154C ．√153D ．√1528．已知a ＞1，设函数f （x ）＝a x +x ﹣2的零点为m ，g （x ）＝log a x +x ﹣2的零点为n ，则1m+1n的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）B ．(72，+∞)C ．（4，+∞）D ．(92，+∞)9．已知函数f （x ）＝x 3+x +1+sin x ，若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1，32]B ．[−32，1]C ．[−1，12]D ．[−12，1]10．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →=3BD →，|AD →|＝1，则AC →•AD →的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．在三棱锥P ﹣ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，P A =12PB ＝1，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC 所成角的正切的最大值为√52，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π12．已知关于x 的方程[f （x ）]2﹣kf （x ）+1＝0恰有四个不同的实数根，则当函数f （x ）＝x 2e x 时，实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（4e2+e 24，+∞）C ．（8e 2，2）D ．（2，4e 2+e 24）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13．f （x ）是定义域为R 的偶函数，对∀x ∈R ，都有f （x +4）＝f （﹣x ），当0≤x ≤2时，f(x)={2x −1，0≤x ＜1，log 2x +1，1≤x ≤2，则f(−92)+f(21)= ．14．若正实数a ，b 满足a +b ＝1，则下列选项中正确的是 ． （1）ab 有最大值14 （2）√a +√b 有最小值√2 （3）1a +1b 有最小值4 （4）a 2+b 2有最小值√2215．在△ABC 中，D 是AB 的中点，∠ACD 与∠CBD 互为余角，AD ＝2，AC ＝3，则sin A 的值为 ． 16．如图，曲线y 2＝x （y ≥0）上的点P 1与x 轴的正半轴上的点Q i 及原点O 构成一系列正三角形，△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…，△Q n ﹣1P n Q n …设正三角形Q n ﹣1P n Q n 的边长为a n ，n ∈N *（记Q 0为O ），Q n （S n ，0）．数列{a n }的通项公式a n ＝ ．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（一）必考题 17．（12分）设{a n }是等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ． （1）设a 1＝40，a 6＝38，求S n 的最大值；（2）设a 1=1，b n =2a n (n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为T n ，且对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，求d 的取值范围．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都是2，AA 1⊥面ABC ，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点． （1）求证：AE ⊥平面A 1BD ； （2）求三棱锥B 1﹣ABE 的体积．19．（12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的7组观测数据，其散点图如图所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程y ＝e bx +a 来拟合，令z ＝lny ，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： xyz∑ 7i=1（x i −x ）2∑ 7i=1（x i −z ）2∑ 7i=1（x i −x ）（x i −x ） 27 74 3.537182 11.946.418表中z i ＝lny i ，z =17∑ 7i=1z i ．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26℃～36℃之间（包括26℃与36℃），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围．（参考数据：e 3.282≈27，e 3.792≈44，e 5.832≈341，e 6.087≈440，e 6.342≈568．） 附：对于一组数据（ω1，v 1），（ω2，v 2），…，（ωn ，v n ），其回归直线v =α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=n i=1i −ω)(v i −v)∑n(ω−ω)2a =v −βω．20．（12分）设椭圆C ：x 28+y 22=1，过点A （2，1）的直线AP ，AQ 分别交C 于相异的两点P ，Q ，直线PQ 恒过点B （4，0）．（℃）证明：直线AP ，AQ 的斜率之和为﹣1；（℃）设直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点，点G （3，0），求|GM |•|GN |． 21．（12分）已知函数f （x ）＝（x +a ﹣1）e x ，g （x ）=12x 2+ax ，其中a 为常数．（1）若a ＝2时，求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若对任意x ∈[0，+∞），不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosθ#/DEL/#y =√3sinθ#/DEL/#(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换{x′=12xy′=√3得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（℃）求曲线C '的极坐标方程；（℃）若过点A(32，π)（极坐标）且倾斜角为π6的直线l 与曲线C '交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP||AM|⋅|AN|的值． [选修4-5；不等式选讲]23．设函数f （x ）＝k |x |﹣|2x ﹣1|．（1）当k ＝1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）当x ∈（0，+∞）时，f （x ）+b ＞0恒成立，求k +b 的最小值．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上） 1．【详解详析】∵z =a+i 3−i =(a+i)(3+i)(3−i)(3+i)=3a−110+a+310i ，∴由题意可得a+310=12，即a ＝2，∴z =12+12i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（12，12），位于第一象限． 故选：A ．2．【详解详析】阴影部分所表示的集合为B ∩∁U A ，∵A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}＝{x|x＜﹣1，或x＞4}，U＝R，∴∁U A＝{x|﹣1≤x≤4}，又∵B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴B∩∁U A＝{x|﹣1≤x≤2}，故选：D．3．【详解详析】若a≠0，欲保证函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＝b2﹣4ac＜0．但是，若a＝0时，如果b＝0，c＞0，则函数f（x）＝ax2+bx+c＝c的图象恒在x轴上方，不能得到△＝b2﹣4ac＜0；反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．故选：D．4．【详解详析】【法一】正整数n被3除余2，得n＝3k+2，k∈N；被5除余3，得n＝5l+3，l∈N；被7除余4，得n＝7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n＝263﹣105﹣105＝53，即输出n值为53．故选：A．5．【详解详析】依题意，V台=13×(400+900+√400×900)×9=5700，又长方体形凹槽的体积为4300，故“斗”的体积为10000cm3，∴其质量为10000×0.7＝7000g．故选：C．6．【详解详析】由余弦定理得a2+b2﹣c2＝2ab cos C，又∵a2+b2+c2=2√3absinC，将上两式相加得a2+b2=ab(cosC+√3sinC)，化为cos(C−π3)=a2+b22ab≥2ab2ab=1，当且仅当a＝b时取等号．∴cos(C −π3)=1，∵C ∈（0，π），∴(C −π3)∈(−π3，2π3)．∴C −π3=0，解得C =π3，又a ＝b ， ∴△ABC 是正三角形． 故选：D ．7．【详解详析】由△ABP 的外接圆的半径为√5a ， 且P A ＝AB ＝2a ，设∠PBA ＝θ， 则2a sinθ=2R ＝2√5a ，即有sinθ=√55，cosθ=2√55， sin2θ＝2sinθcosθ=45，cos2θ＝1﹣2sin 2θ=−35， 则P 的坐标为（2a cos2θ﹣a ，2a sin2θ），即（−11a 5，8a5），代入双曲线方程可得12125−64a 225b 2=1，可得b 2a 2=23，即有e =c a=√1+b 2a 2=√153． 故选：C ．8．【详解详析】函数f （x ）＝a x +x ﹣2的零点是函数y ＝a x 与函数y ＝2﹣x 图象交点A 的横坐标， 函数g （x ）＝log a x +x ﹣2的零点是函数y ＝log a x 与函数y ＝2﹣x 图象交点B 的横坐标， ∵a ＞1；∴m ＞0，n ＞0，由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y ＝x 对称， 直线y ＝2﹣x 与直线y ＝x 垂直，故直线y ＝2﹣x 与直线y ＝x 的交点（1，1）即是A ，B 的中点， ∴m +n ＝2，m ＞0，n ＞0，∴1m+1n=12（m +n ）•（1m+1n）=12（2+n m+m n）≥12（2+2√m n⋅nm）＝2，当m ＝n ＝1等号成立，而m ≠n ，故1m +1n ＞2，故所求的取值范围是（2，+∞）． 故选：A ．9．【详解详析】令g （x ）＝f （x ）﹣1＝x 3+x +sin x ，x ∈R ． 则g （﹣x ）＝﹣g （x ），∴g （x ）在R 上为奇函数． g ′（x ）＝3x 2+1+cos x ≥0， ∴函数g （x ）在R 上单调递增．f （a ﹣1）+f （2a 2）≤2，化为：f （a ﹣1）﹣1+f （2a 2）﹣1≤0，即g （a ﹣1）+g （2a 2）≤0，化为：g （2a 2）≤﹣g （a ﹣1）＝g （1﹣a ）， ∴2a 2≤1﹣a ， 即2a 2+a ﹣1≤0， 解得﹣1≤a ≤12．∴实数a 的取值范围是[﹣1，12]． 故选：C ．10．【详解详析】∵AD ⊥AB ，BC →=3BD →，|AD →|＝1， ∴AC →•AD →=(AB →+BC →)⋅AD →=(AB →+3BD →)⋅AD →=AB →⋅AD →+3BD →⋅AD →=3AD →2=3． 故选：C ．11．【详解详析】Q 是线段BC 上一动点，连接PQ ， ∵P A 、PB 、PC 互相垂直，∴∠AQP 就是直线AQ 与平面PBC 所成角，当PQ 短时，即PQ ⊥BC 时直线AQ 与平面PBC 所成角的正切的最大． 此时APPQ =√52，所以PQ =2√55， 在Rt △PBQ 中，BQ =√PB 2−PQ 2=√22−(2√55)2=4√55， 又因为PQ 2＝BQ •BC ，则BC =√5，所以PC =√BC 2−PB 2=1，如图，将三棱锥P ﹣ABC 扩充为长方体，则长方体的对角线长为√12+22+12=√6，∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径为R =√62， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝6π． 故选：A ．12．【详解详析】函数f ′（x ）＝2xe x +x 2e x ＝（x +2）xe x ，由f ′（x ）＞0得（x +2）x ＞0，得x ＞0或x ＜﹣2，此时f （x ）为增函数， 由f ′（x ）＜0得（x +2）x ＜0，得﹣2＜x ＜0，此时f （x ）为减函数， 即当x ＝0时，函数f （x ）取得极小值，极小值为f （0）＝0， 当x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极大值，极大值为f （﹣2）=4e 2，当x →0，f （x ）＞0，且f （x ）→0， 作出函数f （x ）的图象如图：设t ＝f （x ），则当0＜t ＜4e 2时 方程t ＝f （x ）有3个根，当t =4e 2时 方程t ＝f （x ）有2个根， 当t ＝0或t ＞4e 2时 方程t ＝f （x ）有1个根， 则方程[f （x ）]2﹣kf （x ）+1＝0等价为t 2﹣kt +1＝0， 若[f （x ）]2﹣kf （x ）+1＝0恰有四个不同的实数根， 等价为t 2﹣kt +1＝0有两个不同的根， 当t ＝0，方程不成立，即t ≠0， 其中0＜t 1＜4e2或t 2＞4e2，设h （x ）＝t 2﹣kt +1，则满足{ ℎ(0)=1＞0−−k 2=k 2＞0ℎ(4e2)＜0，得{k ＞0(4e 2)2−k(4e 2)+1＜0， 即{k ＞0k ＞(4e 2)2+14e 2=4e 2+e 24，即k ＞4e 2+e 24，即实数k 的取值范围是（4e 2+e 24，+∞），故选：B ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.） 13．【详解详析】根据题意，f （x ）是定义域为R 的偶函数，对∀x ∈R ，都有f （x +4）＝f （﹣x ）， 则有f （x +4）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数，则有f （−92）＝f （92）＝f （4+12）＝f （12），f （21）＝f （1+4×5）＝f （1）， 又由当0≤x ≤2时，f(x)={2x −1，0≤x ＜1log 2x +1，1≤x ≤2，则f （12）=√2−1，f （1）＝1，则f(−92)+f(21)=f （12）+f （1）＝（√2−1）+1=√2； 故答案为：√2．14．【详解详析】∵正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a ＝b 时取等号，此时ab 取得最大值14，（1）正确；∵当a =14，b =34时，√a +√b =1+√32＜√2；（2）错误；1a +1b =a+b ab=1ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，（3）正确；由(a+b 2)2≤a 2+b 22可得a 2+b 2≥12即最小值12，（4）错误．故答案为：（1）（3） 15．【详解详析】如图所示：在△ADC 中，设∠ACD ＝θ， 则：∠CBD =π2−θ，利用余弦定理：cosθ=32+CD 2−42⋅3⋅CD=5+CD 26CD．在△ADC 中，利用正弦定理：CDsin(π2−θ)=BDsin(π2−A)，故：CD cosθ=BDcosA ， 所以：CD 5+CD 26CD=2cosA ，解得：cos A =10+2CD 26CD 2，在△ACD 中，利用余弦定理：cosA =22+32−CD 22⋅2⋅3，所以：10+2CD 26CD 2=13−CD 212，整理得：CD 4﹣9CD 2+20＝0 解得：CD =2或√5． ①当CD ＝2时，cos A =10+2⋅226⋅22=34．所以：sin A =√74CD =√5时，cos A =10+2⋅56⋅5=23，所以：sin A =√53． 故答案为：√74或√5316．【详解详析】由条件可得△P 1OQ 1为正三角形，且边长为a 1， ∴P 1(12a 1，√32a 1)，P 1在曲线上，代入y 2＝x （y ≥0）中，得34a 12=12a 1，∵a 1＞0，∴a 1=23，根据题意得点P n+1(S n +12a n+1，√32a n+1)， 代入曲线y 2＝x （y ≥0）并整理，得S n =34a n+12−12a n+1．当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=(34a n+12−12a n+1)−(34a n 2−12a n )，即12(a n+1+a n )=34(a n+1+a n )⋅(a n+1−a n )． ∵a n +1＞a n ＞0，∴a n +1﹣a n =23，当n ＝1时，S 1=34a 22−12a 2，∴a 2=43或a 2=−23（舍）∴a 2﹣a 1=23，故a n +1﹣a n =23∴数列{a n }是首项为23，公差为23的等差数列，∴a n =2n 3．故答案为：2n3．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（一）必考题 17．【详解详析】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d =a 6−a 15=−25，可得S n ＝40n −12n （n ﹣1）•25=−15（n −2012）2+201220，由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020； （2）设a 1=1，b n =2a n (n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为T n ， 可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值； 当d ＜0时，T n =2(1−2dn )1−2d＜21−2d ，对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20≥21−2d ，且d ＜0， 解得d ≤log 20.9．18．【详解详析】（1）证明：∵AB ＝BC ＝CA ，D 是AC 的中点， ∴BD ⊥AC ，∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，∵AE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥AE ．又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点， ∴A 1D ⊥AE ，又A 1D ∩BD ＝D ，∴AE ⊥平面A 1BD ．（2）解（割补法）：V B 1−ABE =V ABC−A 1B 1C 1−V B ﹣ACE −V B 1−AEC 1A 1 ＝S △ABC ×AA 1−13×S 正方形ACC 1A 1×BD =12×2×√3×2−13×2×2×√3=2√33．19．【详解详析】（1）由题意，z 和温度x 可以用线性回归方程拟合，设z =b x +a ， 则b =7i=1i −x)(z i −z)∑ 7(x −x)2=46.418182≈0.255，a =z −b x =3.537−0.255×27=−3.348， 故z 关于x 的线性回归方程为z =0.255x −3.348； （2）由（1）可得，lny ＝0.255x ﹣3.348， 于是产卵数y 关于x 的回归方程为y ＝e 0.255x ﹣3.348．当x ＝26时，y ＝e 0.255×26﹣3.348＝e 3.282≈27； 当x ＝36时，y ＝e 0.255×36﹣3.348＝e 5.832≈341．∵函数y ＝e 0.255x﹣3.348为增函数，∴气温在26℃～36℃之间时，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围是[27，341]的正整数． 20．【详解详析】（℃）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 直线PQ 、AP 、AQ 的斜率分别为k ，k 1，k 2， 由{y =k(x −4)x 2+4y 2=8得（1+4k 2）x 2﹣32k 2x +64k 2﹣8＝0， △＞0，可得：k 2＜14，x 1+x 2=32k 21+4k2，x 1x 2=64k 2−81+4k 2，k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=k(x 1−4)−1x 1−2+k(x 2−4)−1x 2−2=2kx 1x 2−(6k+1)(x 1+x 2)+16k+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k⋅64k 2−81+4k 2−(6k+1)⋅32k 21+4k 2+16k+464k 2−81+4k 2−2⋅32k 21+4k 2+4=−16k 2+416k 2−4=−1；（℃）设M （x 3，0），N （x 4，0），由y ﹣1＝k 1（x ﹣2），令y ＝0，得x 3＝2−1k 1，即M （2−1k 1，0），同理x 4=2−1k 2，即N （2−1k 2，0），设x 轴上定点G （3，0），则|GM|⋅|GN|=|3−(2−1k 1)|⋅|3−(2−1k 2)|=|1+1k 1+1k 2+1k1k 2|=|1+k 1+k 2k 1k 2+1k 1k 2|═|1+−1k 1k 2+1k 1k 2|=1．21．【详解详析】（1）a ＝2时，f （x ）＝（x +1）e x ， ∴f ′（x ）＝（x +2）e x ，∴f ′（0）＝2，又因为切点（0，1）， 所以切线为2x ﹣y +1＝0； （2）令h （x ）＝f （x ）﹣g （x ），由题得h （x ）min ≥0在x ∈[0，+∞）恒成立，h （x ）＝（x +a ﹣1）e x −12x 2﹣ax ，所以h ′（x ）＝（x +a ）（e x ﹣1）， ①若a ≥0，则x ∈[0，+∞）时h ′（x ）≥0， 所以函数h （x ）在[0，+∞）上递增，所以h （x ）min ＝h （0）＝a ﹣1，则a ﹣1≥0，得a ≥1， ②若a ＜0，则当x ∈[0，﹣a ]时，h ′（x ）≤0， 当x ∈[﹣a ，+∞）时，h ′（x ）≥0，所以函数h （x ）在[0，﹣a ]上递减，在[﹣a ，+∞）上递增，所以h （x ）min ＝h （﹣a ），又因为h （﹣a ）＜h （0）＝a ﹣1＜0，所以不合题意． 综合得：a ≥1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．【详解详析】（℃）C ：{x =2cosθy =√3sinθ⇒C ：x 24+y 23=1，（2分）将{x′=12x y′=√3⇒{x =2x′y =√3y′，代入C 的普通方程可得x '2+y '2＝1，（4分） 即C '：x 2+y 2＝1，所以曲线C '的极坐标方程为 C '：ρ＝1 （℃）点A(32，π)直角坐标是A(−32，0)，将l 的参数方程{x =−32+tcosπ6y =tsin π6，代入x 2+y 2＝1，可得4t 2−6√3t +5=0，（8分） ∴t 1+t 2=3√32，t 1•t 2=54， 所以|AP||AM|⋅|AN|=|t 1+t 22||t 1t 2|=3√35． （10分）[选修4-5；不等式选讲]23．【解答】解 （1）当k ＝1时，不等式化为|x |﹣|2x ﹣1|＞0，即{x ≤0−x +2x −1＞0，或{0＜x ＜12x +2x −1＞0，或{x ≥12x −2x +1＞0；……………（3分）解得x ∈∅，或13＜x ＜12，或12≤x ＜1；综上，原不等式的解集为（13，1）；……………（2）x ∈（0，+∞）时，不等式f （x ）+b ＞0恒成立， 可化为k |x |+b ＞|2x ﹣1恒成立；画出y ＝|2x ﹣1|与y ＝k |x |+b 的图象，如图所示；由图象知当k ≥2，且b ≥1时，y ＝k |x |+b 的图象始终在y ＝|2x ﹣1|的上方，……………（8分） ∴k +b ≥3，即k +b 的最小值为3（这时k ＝2，b ＝1）．……………（10分）。

2020河北省衡水市衡水一中高三文数一模考试试卷（带解析）一、单选题1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. 1B. -1C. iD. -i3.在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（）A. B. C. D.4.设，，，则（）A. B. C. D.5.的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. D.6.等比数列中，，函数，则（）A. B. C. D.7.已知函数与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（）A. B. C. D.8.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的，则输出的为（）A. 2B. 3C. 4D. 59.如图所示，长方体中，AB=AD=1,AA 1= 面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（）A. B. C. D.10.已知三棱锥外接球的表面积为32 ，，三棱锥的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）A. 4B.C. 8D.11.在中，三个内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则等于（）A. B. C. D.12.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B. C. D.二、填空题13.已知实数满足，则目标函数的最大值为________．14.我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是________．15.已知抛物线与圆有公共点，若抛物线在点处的切线与圆也相切，则________．16.已知数列的通项公式为，前项和为，则________．三、解答题17.已知函数（）在同一半周期内的图象过点，，，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点，为等腰直角三角形.（1）求的值；（2）将绕原点按逆时针方向旋转角，得到，若点恰好落在曲线（）上（如图所示），试判断点是否也落在曲线（）上，并说明理由. 18.如图，底面为等腰梯形的四棱锥中，平面，为的中点，，，.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.19.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值.20.已知圆与直线相切.（1）若直线与圆交于两点，求；（2）设圆与轴的负半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标.21.已知函数（其中是自然对数的底数）（1）若，当时，试比较与2的大小；（2）若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）设为参数，若，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.23.已知．（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围．答案解析部分一、<b >单选题</b>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】A10.【答案】A11.【答案】C12.【答案】B二、<b >填空题</b>13.【答案】514.【答案】1115.【答案】16.【答案】1011三、<b >解答题</b>17.【答案】（1）解：因为函数（）的最小正周期，所以函数的半周期为，所以，即有坐标为，又因为为函数图象的最高点，所以点的坐标为.又因为为等腰直角三角形，所以.（2）解：点不落在曲线（）上，理由如下：由（1）知，，所以点，的坐标分别为，.因为点在曲线（）上，所以，即，又，所以.又.所以点不落在曲线（）上.18.【答案】（1）证明：取的中点，连接，，因为为的中点，所以，又因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：等腰梯形中，作于，则，在中，，则，即点到的距离，又平面，平面，所以，又，∴平面.∴三棱锥的体积.19.【答案】解：( Ⅰ )一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为：P=. ( Ⅱ )①由统计数据可知，该销售商店内的三辆该品牌的车龄已满三年的二手车有一辆事故车，设为b1，另外两辆非事故车设为a1，a2,从三辆车中挑选两辆为（a1，a2），（a1，b1）（a2，b1），总共3种情况，其中两辆车恰好有一辆为事故车的概率为.②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利平均值为元20.【答案】（1）解：由题意知，圆心到直线的距离，所以圆.又圆心到直线的距离，所以.（2）解：易知,设，则直线，由，得，所以，即，所以.由得，将代替上面的，同理可得，所以，从而直线.即，化简得.所以直线恒过一定点，该定点为.21.【答案】（1）解：当时，，则，令，由于故，于是在为增函数，所以，即在恒成立，从而在为增函数，故（2）解：函数有两个极值点，则是的两个根，即方程有两个根，设，则，当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示故实数的取值范围是又由上可知函数的两个极值点满足，由得.由于，故，所以22.【答案】（1）解：直线的极坐标方程为所以，即因为为参数，若，代入上式得，所以直线的参数方程为（为参数）（2）解：由，得由代入，得将直线的参数方程与的直角坐标方程联立得（*），设点分别对应参数恰为上述方程的根则，由题设得，则有，得或因为，所以.23.【答案】（1）证明：因为，而，所以．（2）解：因为所以或解得，所以的取值范围是。

2019—2020学年度第二学期一调考试高三年级数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）1.已知复数3a iz a i+=+-（其中a R ∈，i 为虚数单位），若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【详解】分析：先化简复数z ，根据z 的共轭复数的虚部为12-求出复数z ，再根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置． 详解：由题意得()(3)131(3)3(3)(3)1010a i a i i a a iz a a i i i +++-+=+=+=+--+， ∴ 131(3)1010a a i z -+=-， 又复数z 的共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +-=-，解得2a =． ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限． 故选A ．点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根据复数z 的共轭复数的虚部为12-求得实数2a =，由此得到复数z ，然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限． 2.已知全集{}2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）A. 4{|}2x x -≤<B. {|2x x ≤或4}x ≥C. {|21}x x -≤≤-D. {|12}x x -≤≤【答案】D 【解析】{}2|340U C A x x x =--≤=[1,4]- ,所以阴影部分所表示的集合为()[1,4][2,2][1,2]U C A B ⋂=-⋂-=- ,选D.3.已知 a b c R ∈、、，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】分别研究由“240b ac -<”推出“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”和由“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”推出“240b ac -<”，得到答案.【详解】当240b ac -<时，函数2()f x ax bx c =++图象与x 轴没有交点，当0a <时，()f x 图像恒在x 轴下方，所以是不充分条件； 当函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方，取0,0a b c ==>，满足要求，此时240b ac -=， 因此不一定能得到240b ac -<，所以是不必要条件； 故选D 项.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，二次函数的图像问题，属于简单题.4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A 【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.5.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是2400cm ，2900cm ，高为9cm ，长方体形凹槽的体积为34300cm ，斗的密度是30.70/g cm .那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是()13V S S S S h ''=++.A. 3990gB. 3010gC. 7000gD. 6300g【答案】C【解析】 【分析】根据台体的体积公式求得台体体积,再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积,然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量.【详解】根据棱台的体积公式可得棱台的体积为1(400900)957003⨯=3cm , 所以这个斗的质量为5700430010000+=3cm , 所以这个斗的质量为100000.707000⨯=g . 故选:C.【点睛】本题考查了棱台的体积公式,属于基础题.6.在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【详解】由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆，∴2sin aθ=，∴sin θ=，cos θ=∴243sin 22,cos 22(155555θθ=⨯==⨯-=． 设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a ax a AP y AP θθ=-+=-==， 故点P 的坐标为118(,)55a a-． 由点P 在双曲线上得2222118()()551a a a b -=，整理得2223b a =，∴c e a ===．选C ． 点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得,a b 间的关系，最后根据离心率的定义可得所求． 8.已知1a >，设函数()2x f x a x =+-的零点为m ，()log 2a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是（ ） A. (2,)+∞ B. 7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. (4,)+∞D. 9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数之间的关系求出m ,n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解.【详解】函数()2x f x a x =+-的零点为函数xy a =与2y x =-图像的交点A 的横坐标，函数()log 2a g x x x =+-的零点为函数log a y x =与2y x =-图像的交点B 的横坐标10,0a m n >∴>>Q由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图像关于y x =对称， 直线2y x =-与y x =垂直故两直线的交点(1,1)即是A ，B 的中点，2,0,0m n m n ∴+=>>111111()()(2)(22222m n n m m n m n m n +∴+=+=++≥+= 当且仅当：1m n ==时等号成立 而m n ≠，故112m n+> 故选：A【点睛】本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.9.已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a-+≤，则实数a 的取值范围是( )A. 3[1,]2- B. 3[,1]2-C. 1[1]2-，D. 1[,1]2-【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()1g x f x =-，证明()g x 是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数()g x 相关形式，利用()g x 的性质，解出不等式，得到答案. 【详解】因为()31sin f x x x x =+++设()()31sin g x f x x x x =-=++，定义域x ∈R()()3sin g x x x x g x -=---=-，所以()g x 为奇函数， ()231cos 0g x x x '=++≥，所以()g x 单调递增， 不等式()()2122f a f a-+≤()()21121f a f a ⎡⎤--≤--⎣⎦()()212g g a a ≤-- ()()212g g a a ≤--2a 12a -≤-解得112x ≤≤- 故选C 项.【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.10.在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，利用数量积的分配律即得解.【详解】AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r，()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.11.在三棱锥P ABC -中，P A 、PB 、PC 两两垂直，112PA PB ==，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 6π B. 7πC. 8πD. 9π【答案】A 【解析】 【分析】由已知得PA ⊥平面PBC ，因此当PQ BC ⊥时，直线AQ 与平面PBC 所成角最大，此时可求得PQ ，从而求得PC ，又以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线就是三棱锥P ABC -外接球直径，从而可求得其表面积．【详解】∵P A 与PB 、PC 垂直，∴PA ⊥平面PBC ，∴PQ 是AQ 在平面PBC 内的射影，AQP ∠就是直线PA 与平面PBC 所成的角， 由PA ⊥平面PBC 得PA PQ ⊥，tan PAAQP PQ∠=，要使tan AQP ∠最大，则PQ 最小，显然当PQ BC ⊥时，PQ 最小，此时tan AQP ∠=又1PA =，∴PQ =，而2PB =，∴BQ =，由PB PC ⊥，得2PB BC BQ==1PC =，如图，以,,PA PB PC 为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，外接球直径等2222221216PA PB PC ++++= ∴球表面积为22644(62S R πππ==⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于,,PA PB PC 两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解．12.已知关于x 的方程2[()]()10f x kf x -+=恰有四个不同的实数根，则当函数2()x f x x e =时，实数k 的取值范围是（ ） A. (,2)(2,)-∞-+∞UB. 224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭C. 28,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断()f x 的单调性和极值，得出方程()f x t =的根分布情况，从而得出方程()()2f x kf x 1=0-+恰有四个不同的实数根等价于关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个解，在{}24,0e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出k 的范围.【详解】()()2'22x x x f x xe x e x x e =+=+，令()'0f x =，解得0x =或2x =-，∴当2x <-或0x >时，()'0f x >；当20x -<<时，()'0f x <，()f x ∴在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，∴当2x =-时，函数()f x 取得极大值()242f e-=， 当0x =时，函数()f x 取得极小值()00f =， 作出()f x 的大致函数图象如图所示， 令()f x t =，则当0t =或24t e>时，关于x 的方程()f x t =只有一个解； 当24t e=时，关于x 的方程()f x t =有两个解； 当240t e<<时，关于x 的方程()f x t =有三个解，()()()21g x f x kf x =-+Q 恰有四个零点，∴关于t 的方程()210h t t kt =-+=在240,e⎛⎫⎪⎝⎭上有一个解， 在{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭U 上有一个解， 显然0t =不是方程210t kt -+=的解，∴关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个解， 242416410k h e ee ⎛⎫∴=-+< ⎪⎝⎭，解得2244e k e >+，即实数k 的取值范围是224e e 4⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，，故选B.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13.()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，都有()()4f x f x +=-，当02x ≤≤时，()221,01,log 1,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩，则()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【解析】 【分析】先由已知等式和偶函数推出周期为4,再根据偶函数性质和周期可求得答案.【详解】因为()f x 是定义域为R 的偶函数,所以()()4f x f x +=-()f x = ,所以周期4T=,所以129911()()(4)()2112222f f f f -==+==-=,2(21)(451)(1)log 111f f f =⨯+==+=, 所以()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭11+=故答案为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,利用周期将自变量转化为已知范围后,利用分段函数解析式求值是解题关键,本题属于中档题.14.若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A. ab 有最小值14B.C.11a b+有最小值4 D. 22a b +有最小值2【答案】C 【解析】【分析】可结合基本不等式性质对四个选项一一证明；对A 应是积有最大值；对B 变形为2a b =++再结合基本不等式求解；对C ，先通分，再结合基本不等式求值；对D ，可变形为222()2a b a b ab +=+-，再结合基本不等式求值【详解】0a >Q ，0b >，且1a b +=；1a b ∴=+≥14ab ∴≤； ab ∴有最大值14，∴选项A 错误；2112a b =++=++=，≤，，∴B 项错误1114a b a b ab ab ++==≥，11a b∴+有最小值4，∴C 正确；22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，22a b ∴+ 的最小值是12，不是2，∴D 错误．故选C【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式及其相关变形式，以及等式成立的条件，是正确解题的关键，属于中档题15.在ABC ∆中，D 为AB 的中点，ACD ∠与CBD ∠互为余角，2AD =，3AC =，则sin A 的值为__________．4【解析】 设ACD ∠=,BCD αβ∠=,则由ACD∠+90CBD ∠=︒可知, 90,B A αβ=︒-+=()18090,90,B A αβ︒-+=︒∴=︒- D为AB的中点，11,?sin ?sin ,sin sin 22ACD BCD S S AC CD BC CD AC BC αβαβ∆∆∴=∴=∴=,即cos cos AC B BC A =,由正弦定理得sin cos sin cos ,sin 2sin 2,B B A A A B A B =∴=∴=或90A B +=︒,当A=B 时,AC=BC,,sin CD CD AB A AC ∴⊥∴===,当90A B +=︒时, 90,2C AD BD DC =︒∴===,在△ACD中, 222397cos ,sin 12?4164AC AD CD A A AC AD +-==∴=-=,综上可得, sin A 的值为53或74. 16.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点1P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形，11OPQ △，122Q P Q △，1n n n Q P Q -L L ，△设正三角形1n n n Q P Q -的边长为,*n a n N ∈（记0Q 为O ），(),0n n Q S .数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】23n 【解析】 【分析】先得出直线1OP 的方程为3y x =，与曲线的方程联立得出1P 的坐标，可得出11a OP =，并设(),0n n Q S ，根据题中条件找出数列{}n a 的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列{}n a 的通项公式，即利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式．【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则点n Q 的坐标为(),0n S ，易知直线1OP 的方程为3y x =， 与曲线的方程联立()230y x y x y ⎧=⎪⎨=≥⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221132333a ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当n *∈N 时，点(),0n n Q S 、()11,0n n Q S ++，所以，点1122n n n n n S S S S P ++⎛++ ⎝， 直线n n P Q 3111122322n n n n n n n n nS S S S S ++++++==-1132nn n S S a +++=等式两边平方并整理得211322n n n a S S ++=+，可得21322n n n a S S -=+，以上两式相减得()2211332n n n n a a a a ++-=+，即()()()11132n n n n n n a a a a a a ++++-=+，易知0n a >，所以()132n n a a +-=，即123n n a a +-=， 所以，数列{}n a 是等差数列，且首项为23，公差也为23，因此，()2221333n na n =+-=. 故答案为23n．【点睛】本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能力，属于难题．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （一）必考题17.设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+，由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；（2）设()*112na n ab n N ==∈，，数列{b n}的前n 项和为T n，可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值；当d ＜0时，T n ()21221212dn dd-=--＜， 对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20212d≥-，且d ＜0， 解得d ≤29log 10． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求三棱锥1B ABE -的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）推导出BD AC ⊥，从而平面11AA C C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面11AAC C ，BD AE ⊥，再求出1A D AE ⊥，由此能证明AE ⊥平面1A BD ．（2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法，构造法等，其中割补法较为方便，将1B ABE V -转化为111111ABC A B C B ACE B AEC A V V V -----，即可求解.【详解】解：（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点， ∴BD AC ⊥，∵三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =， ∴BD ⊥平面11AAC C ，∵AE ⊂平面11AAC C ， ∴BD AE ⊥.又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点， ∴1A D AE ⊥，又1A D BD D ⋂=， ∴AE ⊥平面1A BD .（2）解法一（割补法）：1111111B ABE ABC A B C B ACE B AEC A V V V V ----=--11113ABC ACC A SAA S BD ∆=⨯-⨯⨯正方形1123232223233=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.解法二（利用平行顶点轮换）： ∵11//BB CC ， ∴11BB E BB C S S ∆∆=，∴1111B ABE A BB E A BB C B ABC V V V V ----===113ABC S BB ∆=⨯⨯1123232323=⨯⨯⨯⨯=. 解法三（利用对称顶点轮换）： 连结1AB ，交1A B 于点O ， ∵O 为1A B 的中点，∴点B 到平面1AB E 的距离等于点1A 到平面1AB E 的距离. ∴1111111B ABE B AB E A AB E B AA E B AA E V V V V V -----====111123223332AA E S BD ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 解法四（构造法）：连结1AB ，交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，再连结EO .由题意知在1AB E ∆中，15AE B E ==，122AB =，所以1EO AB ⊥，且3EO =，又2BO =，5BE =，所以222BE BO EO =+，所以EO BO ⊥，又1AB BO O =I ， ∴EO ⊥面1ABB ， ∴11113B ABE E ABB ABB V V S EO --∆==⨯⨯112322332=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C o ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C o o 之间（包括26C o 与36C o ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： 3.28227e ≈， 3.79244e ≈， 5.832341e ≈，6.087440e ≈， 6.342568e ≈．） 附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【答案】（1）ˆ0.255 3.348z x =-；（2）0.255 3.348x y e -=，[]27.341.【解析】 【分析】(1)根据公式计算出ˆb 和ˆa ,可得ˆ0.255 3.348z x =-;(2)根据ln z y =可得ln 0.255 3.348y x =-,再根据函数0.255 3.348x y e -=为增函数可得答案.【详解】（1）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz abx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii ii x x zz bx x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-．（2）由（1）可得ln 0.255 3.348y x =-，于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=, 当26x =时，0.25526 3.348 3.28227y e e ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.348 5.832341y e e ⨯-==≈； 因为函数0.255 3.348x y e -=为增函数，所以，气温在26~36C C o o 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数． 【点睛】本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.20.设椭圆22:182x y C +=，过点()21A ，的直线,AP AQ 分别交C 于相异的两点,P Q ，直线PQ 恒过点()4,0B ．（1）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为1-；（2）设直线,AP AQ 分别与x 轴交于,M N 两点，点()3,0G ，求GM GN ⋅. 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）设直线PQ 为()4y k x =-,与椭圆方程联立可得()222214326480k xk x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由斜率公式可得()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++,将21223214k x x k +=+,212264814k x x k -=+代入,进而即可得证； （2）设直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,可求得112,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭,同理212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】（1）证明:设直线PQ 为()4y k x =-,联立()224182y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()222214326480k x k x k +-+-=,且>0∆,可得;214k <, 设()()1122,,,P x y Q x y ,由韦达定理可得21223214k x x k +=+,212264814k x x k-=+, 设直线AP 、AQ 的斜率分别为12,k k ,所以()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++()2222222222648322611641641414164832164241414k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅++-+++===----⋅+++, 所以直线,AP AQ 的斜率之和为1- （2）设()()34,0,,0M x N x ,因为直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 同理4212x k =-,即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为()3,0G ,所以1212121111132321GM GN k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12121211k k k k k k +=++12121111k k k k -==++= 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题 21.已知函数()()()211e ,2xf x x ag x x ax =+-=+，其中a 为常数. （1）若2a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2x-y+1=0；（2）1a ≥.【解析】【详解】试题分析：（1）求导得斜率，进而由点斜式得直线方程；（2）令()()()h x f x g x =-，由题得()min 0h x ≥在[)0,x ∈+∞恒成立，求导根据导数判断单调性求最值即可. 试题解析：（1）()()2,1x a f x x e ==+则，()()2xf x x e ∴=+'，()02f ∴'=，又因为切点（0,1） 所以切线为2x-y+1=0(2) 令()()()h x f x g x =-，由题得()min 0h x ≥在[)0,x ∈+∞恒成立， ()()2112x h x x a e x ax =+---，所以()()()1x h x x a e =+-' ①若0a ≥，则[)0,x ∈+∞时()0h x '≥，所以函数()h x 在[)0,+∞上递增，所以()()min 01h x h a ==- 则10a -≥，得1a ≥②若0a <，则当[]0,x a ∈-时()0h x '≤，当[,+x a ∈-∞）时()0h x '≥，所以函数()h x 在[]0,a -上递减，在[,+a -∞）上递增，所以()()min h x h a =-，又因为()()010h a h a -=-＜＜，所以不合题意. 综合得1a ≥.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<； （3）若()()f xg x > 恒成立，可转化为min max()()f x g x > . （二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22.选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）若过点3(,)2A π（极坐标）且倾斜角为6π的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求||||||AP AM AN ⋅的值. 【答案】（1）曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（2）AP AM AN =⋅【解析】 【详解】试题分析：（I ）曲线C的参数方程为()2x cos y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．（II ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsin ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C'的直角坐标方程可得2450t -+=，利用根与系数的关系即可得出．试题解析：（Ⅰ）222::143x cos x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪''⎪'=⎩'，代入C 的普通方程可得221x y ''+=，即22:1C x y +='，所以曲线C '的极坐标方程为:1C ρ'=（Ⅱ）点A 的直角坐标是3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将l 的参数方程3266x tcos y tsin ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入221x y +=，可得246350t t -+=， ∴t 1+t 233=，t 1•t 254=， 所以1212332t t AP AM AN t t +==⋅． 23.设函数()2 1.f x k x x =--(1)当1k =时，求不等式()0f x >的解集；(2)当(0,)x ∈+∞时，()0f x b +>恒成立，求k b +的最小值．【答案】（1）1(,1)3（2）最小值为3 【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；（2）当(0,)x ∈+∞时，()0,f x b +>恒成立，即21k x b x +>-恒成立，数形结合求解.【详解】解(1)当1k =时，不等式化为210,x x -->0210x x x ≤⎧⎨-+->⎩，或102210x x x ⎧<<⎪⎨⎪+->⎩，或12210x x x ⎧≥⎪⎨⎪--+>⎩ 综上，原不等式的解集为1{1}3x x << (2)(0,)x ∈+∞时，()0,21f x b k x b x +>+>-作21y x =-与y k x b =+的图像，可知2,1,y k b =≥≥==)3,k b∴+≥+的最小值为3(这时2,1k b k b【点睛】零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.。

2020年河北省衡水中学高考数学一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|log 2(x −1)<1}，集合N ={x|x 2+x −6<0}，则M ∪N =( )A. {x|−3<x <3}B. {x|1<x <2}C. {x|x <3}D. {x|−2<x <3}2. 已知x1+i =1−yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x +yi 的共轭复数为 ( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i3. 已知角α的终边经过点P(3,4)，则sinα=( )A. 35B. 34C. 45D. 434. 某算法的程序框图如图所示，若a =4−5，b =log 45，c =log 154，则输出的是( )A. 4−5B. log 45C. log 154 D. 不确定5. 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是( )A. 12B. 13C. 23D. 356. 设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 12+a 22+⋯+a n−12)(a 22+a 32+⋯+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n )2，则 ( )A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件7.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是)①平均数x≤3；②标准差S≤2；③平均数x≤3且标准差S≤2；④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4．A. ①②B. ③④C. ③④⑤D. ④⑤8.如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面△PAB，C为PA中点，PA=4√3，PO=6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为()．A. 2√15B. 2√15−6√2C. 6D. 2√15−6√39.如图，在边长为2的正三角形ABC中，点P从点A出发，沿A→B→C→A的方向前进，最后回到点A.在此过程中，点P走过的路程为x，点P到点A，B，C的距离之和为f(x)，则函数y=f(x)的大致图象为()A. B.C. D.10.抛物线y2=4x的准线与x轴交于A点，焦点是F，P是抛物线上的任意一点，令m=|PF||PA|，当m 取得最小值时，PA的斜率是()A. ±1B. 1C. −1D. ±211.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm时，则切面的面积为A. 4√153cm2 B. 163cm2 C. 10√23cm2 D. 8√33cm212.函数在[1e,e]上的值域是()A. [1,2+1e2] B. [1,e2−2] C. [1,2−1e2] D. [1,e2+2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x、y满足约束条件{x−y+1≤03x−y+1≥0x≤a，若z=x+y的最大值为5a，则a=________．14.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：∘C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在0∘C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33∘C的保鲜时间是_______小时．15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x−y+1=0相切，则圆C的半径为______ ．16.已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若cosBsinC AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosCsinBAC⃗⃗⃗⃗⃗ =2m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m=.(用θ表示)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{2a n}的公比为2，且a4+a32=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求数列{1(2a n−1)(2n−1)}的前n项和S n．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，E、F分别为AB，CD的中点．求证：AF//平面PEC．19.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程。