2014年浙江高考理科数学试题及答案_word版本

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C UA.∅B.{}2C.{}5D.{}5,2 2. 已知i 是虚数单位，R b a ∈,，则“1==b a ”是“()i bi a 22=+”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A.290cm B.2129cm C.2132cm D.2138cm 4. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D..向左平移12π个单位5. 在()()4611y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为()n m f ,，则()()()()=+++3,02,11,20,3f f f fA.45B.60C.120D. 210 6. 已知函数()c bx ax x x f +++=23，且()()()33210≤-=-=-≤f f f ，则A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD.9>c 7. 在同一直角坐标系中，函数()()0≥=x x x f a，()x x g a log =的图像可能是A. B. C. D.（第3题图）8. 记{}⎩⎨⎧<≥=y x y y x x y x ,,,max ，{}⎩⎨⎧<≥=yx x y x y y x ,,,min ，设b a,为平面向量，则A.{}{}b a b a b a ,min ,min ≤-+ B.{}{}b a b a b a ,min ,min ≥-+ C.{}2222,max b aba b a +≤-+ D.{}2222,max b a b a b a +≥-+9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球()3,3≥≥n m ，从乙盒中随机 抽取()2,1=i i 个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()2,1=i i ξ； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()2,1=i p i . 则A.()()2121,ξξE E p p <>B.()()2121,ξξE E p p ><C.()()2121,ξξE E p p >>D.()()2121,ξξE E p p << 10. 设函数()21x x f =，()()222x x x f -=，()x x f π2sin 313=，99,,2,1,0,99==i ia i . 记()()()()()()3,2,1,9899101=-++-+-=k a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k 2. 则A.321I I I <<B.312I I I <<C.231I I I <<D.123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C UA.∅B.{}2C.{}5D.{}5,2 2. 已知i 是虚数单位，R b a ∈,，则“1==b a ”是“()i bi a 22=+”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A.290cm B.2129cm C.2132cm D.2138cm 4. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D..向左平移12π个单位5. 在()()4611y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为()n m f ,，则()()()()=+++3,02,11,20,3f f f fA.45B.60C.120D. 210 6. 已知函数()c bx ax x x f +++=23，且()()()33210≤-=-=-≤f f f ，则A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD.9>c 7. 在同一直角坐标系中，函数()()0≥=x x x f a，()x x g a log =的图像可能是A. B. C. D.（第3题图）8. 记{}⎩⎨⎧<≥=y x y y x x y x ,,,max ，{}⎩⎨⎧<≥=yx x y x y y x ,,,min ，设b a,为平面向量，则A.{}{}b a b a b a ,min ,min ≤-+ B.{}{}b a b a b a ,min ,min ≥-+ C.{}2222,max b aba b a +≤-+ D.{}2222,max b aba b a +≥-+9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球()3,3≥≥n m ，从乙盒中随机 抽取()2,1=i i 个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()2,1=i i ξ； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()2,1=i p i . 则A.()()2121,ξξE E p p <>B.()()2121,ξξE E p p ><C.()()2121,ξξE E p p >>D.()()2121,ξξE E p p <<10. 设函数()21x x f =，()()222x x x f -=，()x x f π2sin 313=，99,,2,1,0,99==i ia i . 记()()()()()()3,2,1,9899101=-++-+-=k a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k 2. 则A.321I I I <<B.312I I I <<C.231I I I <<D.123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A.∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cmD.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm yx 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U C A =（ ）A. ∅B. {2}C. {5}D. {2,5} 2. 已知i 是虚数单位，,a b R ∈,则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是( )A. 902cm B. 1292cmC. 1322cm D. 1382cm4. 为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数2cos 3y x =的图像（ ）A. 向右平移4π 个单位B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位5.在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m nx y项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++= （ ）A. 45B. 60C. 120D. 2106. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） A.3c ≤ B.36c <≤ C.69c <≤ D. 9c >7. 在同一直角坐标系中，函数()(0)af x x x =≥，()log a g x x = 的图像可能是（ ）8. 记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A ．min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B. min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ D. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =. 则 ( )A.1212,()()p p E E ξξ><B. 1212,()()p p E E ξξ<>C. 1212,()()p p E E ξξ>>D. 1212,()()p p E E ξξ<<10. 设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i a i =，,2,1,0=i 99, ，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k = 则 ( )A.123I I I <<B. 213I I I <<C. 132I I I <<D. 321I I I <<二. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12. 随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是______16.设直线30x y m -+=(0m ≠) 与双曲线12222=-by a x （0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B.若点(,0)P m 满足||||PA PB =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15AB m = ，25AC m =，30BCM ∠=︒,则tan θ的最大值是 (仰角θ 为直线AP 与平面ABC 所成角)19.（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈.若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+(Ⅰ) 求n a 与n b ； (Ⅱ) 设11(*)n n nc n N a b =-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S , （i ）求n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥.如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ,90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==,1DE BE ==,2AC =. (Ⅰ) 证明：DE ⊥平面ACD ;(Ⅱ) 求二面角B AD E --的大小.21(本题满分15分)如图，设椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P在第一象限.(Ⅰ) 已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；(Ⅱ) 若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.已知函数()33().f x x x a a R =+-∈(Ⅰ) 若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -； (Ⅱ) 设,b R ∈若()24f x b +≤⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围.2014年高考浙江理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【解析】2{|5}A x N x =∈≥={|x N x ∈≥，{|2{2}U C A x N x =∈≤<=【答案】B2.【解析】当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=，反之，2()2a bi i +=即2222a b abi i -+= ，则22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩【答案】A3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯= . 【答案】D4.【解析】sin 3cos 3)4y x x x π=+=+)]12x π+而)2y x x π==+)]6x π+由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-故只需将3y x =的图象向右平移12π个单位. 故选C【答案】C5.【解析】令x y = ，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10(1)x + 展开式中3x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故选C【答案】C6.【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b ca b c a b c-+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩ 解得611a b =⎧⎨=⎩ ，所以32()611f x x x x c =+++ ,由0(1)3f <-≤得016113c <-+-+≤ ，即69c <≤，故选C【答案】C7.【解析】函数()(0)af x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)af x x x =≥中1a > ，()log a g x x =中01a << ，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合. 故选D【答案】D8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +-与min{||,||}a b 的大小不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-所对的角大于或等于90︒ ，由余弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+，（或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+）. 【答案】D 9.【解析1】11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ， 211222221233n mn m m n m n m nC C C C p C C C +++=++ =223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++- ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++- ， 故12p p >又∵1(1)n P m n ξ==+ ，1(2)mP m n ξ==+∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++ 又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-11222(2)()(1)n m m n C C mn P C m n m n ξ+===++- 222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mnm n m n +--+++-21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m n m n ++=(1)0()(1)m m mnm n m n -+>++- 所以21()()E E ξξ> ，故选A【答案】A 【解析2】：在解法1中取3m n == ，计算后再比较。

2014年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學（理科）第Ⅰ卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出の四個選項中，只有一項符合題目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】設全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，則U A =ð（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{5} （D ）{2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|A x N x x N x =∈≥=∈，{|2{2}U C A x N x =∈≤=，故選B ． 【點評】本題主要考查全集、補集の定義，求集合の補集，屬於基礎題． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虛數單位，,a b R ∈，則“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”の（ ）（A ）充分不必要條件 （B ）必要不充分條件 （C ）充分必要條件 （D ）既不充分也不必要條件 【答案】A【解析】當1a b ==時，22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=，則22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故選A ．【點評】本題考查の知識點是充要條件の定義，複數の運算，難度不大，屬於基礎題．（3）【2014年浙江，理3，5分】某幾何體の三視圖（單位：cm ）如圖所示，則此幾何體の表面積是（ ） （A ）902cm （B ）1292cm （C ）1322cm （D ）1382cm【答案】D【解析】由三視圖可知直觀圖左邊一個橫放の三棱柱右側一個長方體，故幾何體の表面積為：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故選D ．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體の表面積，根據三視圖判斷幾何體の形狀及數據所對應の幾何量是解題の關鍵．（4）【2014年浙江，理4，5分】為了得到函數sin 3cos3y x x =+の圖像，可以將函數y x の圖像（ ）（A ）向右平移4π個單位 （B ）向左平移4π個單位 （C ）向右平移12π個單位 （D ）向左平移12π個單位【答案】C【解析】sin3cos3))]412y x x x x ππ=+=+=+，而2s i n (32y x x π=+)]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-，故只需將y x の圖象向右平移12π個單位，故選C ．【點評】本題考查兩角和與差の三角函數以及三角函數の平移變換の應用，基本知識の考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++の展開式中,記m n x y 項の系數(,)f m n ，則(3,0)(2,1)(1,2)f f f f +++=（ ） （A ）45 （B ）60 （C ）120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由題意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即為10(1)x +展開式中3x の系數，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故選C ．【點評】本題考查二項式定理系數の性質，二項式定理の應用，考查計算能力． （6）【2014年浙江，理6，5分】已知函數32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） （A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故選C ．【點評】本題考查方程組の解法及不等式の解法，屬於基礎題． （7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐標系中，函數()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =の圖像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】D【解析】函數()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分別の冪函數與對數函數答案A 中沒有冪函數の圖像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合，故選D ．【點評】本題考查の知識點是函數の圖象，熟練掌握對數函數和冪函數の圖象和性質，是解答の關鍵．（8）【2014年浙江，理8，5分】記,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，設,a b 為平面向量，則（ ）（A ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ （C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+【答案】D【解析】由向量運算の平行四邊形法可知min{||,||}a b a b +-與min{||,||}a b の大小不確定，平行四邊形法可知max{||,||}a b a b +-所對の角大於或等於90︒ ，由餘弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+，（或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+），故選D ．【點評】本題在處理時要結合著向量加減法の幾何意義，將a ，b ，a b +，a b -放在同一個平行四邊形中進行比較判斷，在具體解題時，本題采用了排除法，對錯誤選項進行舉反例說明，這是高考中做選擇題の常用方法，也不失為一種快速有效の方法，在高考選擇題の處理上，未必每一題都要寫出具體解答步驟，針對選擇題の特點，有時“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有效の方法．（9）【2014年浙江，理9，5分】已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m 個紅球和n 個籃球(3,3)m n ≥≥，從乙盒中隨機抽取(1,2)i i =個球放入甲盒中．（a ）放入i 個球後，甲盒中含有紅球の個數記為(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 個球後，從甲盒中取1個球是紅球の概率記為(1,2)i p i =．則（ ）（A ）1212,()()p p E E ξξ><（B ）1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A【解析】解法一：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m nC C C C p C C C +++=++=223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-，∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >． 又∵1(1)n P m n ξ==+，1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++，又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-，11222(2)()(1)n m m n C C mnP C m n m n ξ+===++-，222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m nm n ++=(1)0()(1)m m mn m n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故選A ． 解法二：在解法一中取3m n ==，計算後再比較，故選A ．【點評】正確理解()1,2i i ξ=の含義是解決本題の關鍵．此題也可以采用特殊值法，不妨令3m n ==，也可以很快求解．（10）【2014年浙江，理10，5分】設函數21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i ia =，0,1,2i =，,99，記10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k =，則（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C ）132I I I << （D ）321I I I << 【答案】B【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==，由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->，故213I I I <<，故選B ． 解法二：估算法：k I の幾何意義為將區間[0,1]等分為99個小區間，每個小區間の端點の函數值之差の絕對值之和．如圖為將函數21()f x x =の區間[0,1]等分為4個小區間の情形，因1()f x 在[0,1]上遞增，此時110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理對題中給出の1I ，同樣有11I =；而2I 略小於1212⨯=，3I 略小於14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故選B ．【點評】本題主要考查了函數の性質，關鍵是求出這三個數與1の關系，屬於難題．第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．（11）【2014年浙江，理11，5分】若某程序框圖如圖所示，當輸入50時，則該程序運算後輸出の結果是 ． 【答案】6【解析】第一次運行結果1,2S i ==；第二次運行結果4,3S i ==；第三次運行結果11,4S i ==；第四次運行結果26,5S i ==；第五次運行結果57,6S i ==；此時5750S =>，∴輸出6i =．【點評】本題考查了直到型循環結構の程序框圖，根據框圖の流程模擬運行程序是解答此類問題の常用方法．（12）【2014年浙江，理12，5分】隨機變量ξの取值為0,1,2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，則()D ξ= ． 【答案】25 【解析】設1ξ=時の概率為p ，ξの分布列為： 由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ，解得35p =ξの分布列為即為故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【點評】本題綜合考查了分布列の性質以及期望、方差の計算公式．（13）【2014年浙江，理13，5分】當實數,x y 滿足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩時，14ax y ≤+≤恒成立，則實數a の取值範圍是 __．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式組240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示の區域如圖，由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三點坐標代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得312a ≤≤ ，∴實數a の取值範圍是3[1,]2．解法二：作出不等式組240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示の區域如圖，由14ax y ≤+≤得，由圖分析可知，0a ≥且在(1,0)A 點取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩，得312a ≤≤，故實數a の取值範圍是3[1,]2．【點評】本題考查線性規劃，考查了數形結合の解題思想方法，考查了數學轉化思想方法，訓練了不等式組得解法，是中檔題．（14）【2014年浙江，理14，5分】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其餘5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同の獲獎情況有 種（用數字作答）． 【答案】60【解析】解法一：不同の獲獎分兩種，一是有一人獲兩張獎券，一人獲一張獎券，共有223436C A =， 二是有三人各獲得一張獎券，共有3424A =，因此不同の獲獎情況共有362460+=種． 解法二：將一、二、三等獎各1張分給4個人有3464=種分法，其中三張獎券都分給一個人の有4種分法， 因此不同の獲獎情況共有64460-=種．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，考查學生の計算能力，屬於基礎題．（15）【2014年浙江，理15，5分】設函數22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，則實數a の取值範圍是 ．【答案】(-∞．【解析】由題意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴當202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得a【點評】本題主要考查分段函數の應用，其它不等式の解法，體現了數形結合の數學思想，屬於中檔題．（16）【2014年浙江，理16，5分】設直線30x y m -+=(0m ≠) 與雙曲線22221x y a b-=（0,0a b >>）兩條漸近線分別交於點A ，B ．若點(,0)P m 滿足||||PA PB =，則該雙曲線の離心率是 ．【解析】解法一：由雙曲線の方程可知，它の漸近線方程為b y x a =和by x a =-，分別與直線l ： 30x y m -+= 聯立方程組，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bmB a b a b -++，設AB 中點為Q ，由||||PA PB = 得，則3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b m Q a b a b ----，PQ 與已知直線垂直，∴1PQ l k k =-，即222222319139b m a b a m m a b --=----， 即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以c e a ==．解法二：不妨設1a =，漸近線方程為222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，設AB 中點為00(,)Q x y ，由韋達定理得：202391b m y b =-……① ，又003x y m =-，由1P Q l k k =-得00113y x m =--，即得0011323y y m =--得035y m =代入①得2233915b m m b =-， 得214b =，所以22215144c a b =+=+=，所以c =，得c e c a ===．【點評】本題考查雙曲線の離心率，考查直線の位置關系，考查學生の計算能力，屬於中檔題． （17）【2014年浙江，理17，5分】如圖，某人在垂直於水平地面ABC の牆面前の點A 處進行射擊訓練．已知點A 到牆面の距離為AB ，某目標點P 沿牆面上の射擊線CM 移動，此人為了准確瞄准目標點P ，需計算由點A 觀察點P の仰角θの大小．若15AB m =，25AC m =，30∠︒，則tan θの最大值是 （仰角θ為直線AP 與平面ABC 所成角）．2320225x x -+2320032250-+''，設B P 2320225x x ++22545204<=355339=，2320225x x -+2320225x x -+20)，23225'(x)(225)f x ++454=- 時20時'0y <203445225(++ 15201225AB BC AC ==，20tan 30DB BC ︒=203533DB ===【點評】屬於中檔題． 三、解答題：本大題共5題，共72分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（18解：（即A B +=，所以C =．（2c 得A C <，從而3cos A =，，所以，ABC ∆（19）【2014年浙江，理19，14分】已知數列{}n a 和{}n b 滿足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈．若{}n a 為等比數列，且1322,6a b b ==+．（1）求n a 與n b ；（2）設11(*)n n n c n N a b =-∈．記數列{}n c の前n 項和為n S ．（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整數k ，使得對任意*n N ∈均有S S ≥．解：（1(2)(3(2)n a a =N ）． （2n c ++=111(22n n ++-1(12n ++--=1112n n -+20>，3c 55(51)12+<，4n S ≥，故【點評】本題考查了等比數列通項公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明の思想，證明可以用二項式定理，還可以用數學歸納法．本題計算量較大，思維層次高，要求學生有較高の分析問題解決問題の能力．本題屬於難題．（20）【2014年浙江，理20，15分】如圖，在四棱錐A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，AC =（1）證明：DE ⊥平面ACD ；（解：（1（2BF GF=の原點，分別以射線DE所示．由題意知各點坐標如下：(0,2,0)，(0,2,Aの法向量為111(,m x y=222(,,)n x y z=，可算得：(0,2)AD=-，(1,2,AE=-，(1,1,0)DB=，由ADm AE=⎨=⎪⎩，即1111122020y zx y⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，可取(0,1,m=-，由n ADn BD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220y zx y⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可取(0,n=-，於是|||cos,|||||3m nm nm n⋅<>===⋅⋅運算求解能力．（21）【2014年浙江，理21，15分】如圖，設橢圓C:22221(0)x ya ba b+=>>動直線l與橢圓C 只有一個公共點P，且點P在第一象限．（1）已知直線lの斜率為k，用,,a b k表示點Pの坐標；（2）若過原點Oの直線1l與l垂直，證明：點P到直線1lの距離の最大值為a b-．解：（1''1P l k =-，得,b （2幾何の基本思想方法、基本不等式應用等綜合解題能力．（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函數()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上の最大值和最小值分別記為(),()M a m a ，求()()M a m a -； （2）設,b R ∈若()24f x b +≤⎡⎤對[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +の取值範圍．解：（1（2。

绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn nP k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A =ð（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{5} （D ）{2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|5}A x N x x N x =∈≥=∈≥，{|25}{2}U C A x N x =∈≤<=，故选B ． 【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题． （2）已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1a b ==时，22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=，则22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）（A ）902cm （B ）1292cm（C ）1322cm （D ）1382cm 【答案】D【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（4）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数2cos3y x =的图像（ ） （A ）向右平移4π个单位 （B ）向左平移4π个单位 （C ）向右平移12π个单位 （D ）向左平移12π个单位【答案】C【解析】sin3cos32sin(3)2sin[3()]412y x x x x ππ=+=+=+，而2cos32sin(3)2y x x π==+=2sin[3()]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-，故只需将2cos3y x =的图象向右平移12π个单位，故选C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．（5）在64(1)(1)x y ++的展开式中,记m n x y 项的系数(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=（ ）（A ）45（B ）60（C ）120（D ）210【答案】C 【解析】令x y =，由题意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即为10(1)x +展开式中3x 的系数，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故选C ． 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． （6）已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ）（A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c > 【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故选C ．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．（7）在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =的图像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】D【解析】函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合，故选D ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键． （8）记,max{,},x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ）（A ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤r r r r r r （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥r r r r r r（C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+r r r r r r （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+r r r r r r 【答案】D【解析】由向量运算的平行四边形法可知min{||,||}a b a b +-r r r r 与min{||,||}a b r r的大小不确定，平行四边形法可知max{||,||}a b a b +-r r r r所对的角大于或等于90︒ ，由余弦定理知 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+r r r r r r，（或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+r r r r r rr r r r r r ），故选D ． 【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将a r ，b r ，a b +r r ，a b -r r放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．（9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中．（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =．则（ ）（A ）1212,()()p p E E ξξ><（B ）1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A 【解析】解法一：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m n C C C C p C C C +++=++g g =223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-， ∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >．又∴1(1)n P m n ξ==+，1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m n E m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++， 又222(1)(1)n m n C n n P ξ+-===，11222(2)n m m n C C mnP ξ+===，222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mnm n m n +--+++-21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m n m n ++=(1)0()(1)m m mnm n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故选A ． 解法二：在解法一中取3m n ==，计算后再比较，故选A ．【点评】正确理解()1,2i i ξ=的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令3m n ==，也可以很快求解．（10）设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i ia =，0,1,2i =，,99L ，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-L ，1,2,3k =，则（ ）（A ）123I I I << （B ）213I I I << （C ）132I I I << （D ）321I I I << 【答案】B 【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==L g ， 由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯g ， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-g g g g L g g=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->g g ，故213I I I <<，故选B ． 解法二：估算法：k I 的几何意义为将区间[0,1]等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和．如图为将函数21()f x x =的区间[0,1]等分为4个小区间的情形，因1()f x 在[0,1]上递增，此时110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理对题中给出的1I ，同样有11I =；而2I 略小于1212⨯=，3I 略小于14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故选B ．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 ． 【答案】6【解析】第一次运行结果1,2S i ==；第二次运行结果4,3S i ==；第三次运行结果11,4S i ==；第四次运行结果26,5S i ==；第五次运行结果57,6S i ==；此时5750S =>，∴输出6i =．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（12）随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ= ． 【答案】25【解析】设1ξ=时的概率为p ，ξ的分布列为：由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ，解得35p =ξ的分布列为即为故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．（13）当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是 __．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三点坐标代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩ 解得312a ≤≤ ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．解法二：作出不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的区域如图，由14ax y ≤+≤得，由图分析可知，0a ≥且在(1,0)A 点取得最小值，在(2,1)B 取得最大值， 故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩，得312a ≤≤，故实数a 的取值范围是3[1,]2．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．ξ 0 1 2P15 p 115p --ξ 0 1 2P15 35 15（14）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）． 【答案】60 【解析】解法一：不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有223436C A =， 二是有三人各获得一张奖券，共有3424A =，因此不同的获奖情况共有362460+=种． 解法二：将一、二、三等奖各1张分给4个人有3464=种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法， 因此不同的获奖情况共有64460-=种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．（15）设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(,2]-∞．【解析】由题意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得2a ≤．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．（16）设直线30x y m -+=(0m ≠) 与双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）两条渐近线分别交于点A ，B ．若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是 ． 【答案】5【解析】解法一：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为b y x a =和by x a=-，分别与直线l ： 30x y m -+= 联立方程组，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bm B a b a b-++， 设AB 中点为Q ，由||||PA PB = 得，则3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b mQ a b a b ----，PQ 与已知直线垂直， ∴1PQ l k k =-g ，即222222319139b ma b a m m a b --=----g ， 即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以5c e a ==．解法二：不妨设1a =，渐近线方程为222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，设AB 中点为00(,)Q x y ，由韦达定理得：202391b my b =-……① ，又003x y m =-，由1PQ l k k =-g 得00113y x m =--g ， 即得0011323y y m =--g 得035y m =代入①得2233915b m m b =-，得214b =，所以22215144c a b =+=+=，所以5c =，得5c e c a ===．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． （17）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 （仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）． 【答案】539【解析】解法一：∴15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒，∴20cm BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '， 1︒当P 在线段BC 上时，连接AP '，则'tan 'PP AP θ=，设BP x '=，则20CP x '=-， （020x ≤<）由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=-． 在直角ABP ∆'中，2'225AP x =+ ∴2'320tan '3225PP x AP x θ-==+g ，令220225xy x-=+，则函数在 []0,20x ∈单调递减， ∴0x =时，tan θ取得最大值为232002034334592250-==+g2︒当P 在线段CB 的延长线上时，连接AP '，则'tan 'PP AP θ=， 设BP x '=，则20CP x '=+，（0x >） 由30BCM ∠=︒，得3''tan 30(20)3PP CP x =︒=+， 在直角ABP ∆'中，2'225AP x =+， ∴2'320tan '3225PP xAP x θ+==+g ，令220225x y x+=+，则2222520'(225x )225x y x-=++，∴当225450204x <<=时'0y >；当454x >时'0y <， 所以当454x =时max 2452054345225()4y +==+， 此时454x =时，tan θ取得最大值为3553339=g ， 综合1︒，2︒可知tan θ取得最大值为539． 解法二：如图以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴15cm AB =，25cm AC =，90ABC ∠=︒， ∴20cm BC =，由30BCM ∠=︒，可设3(0,,(20))3P x x -（其中20x ≤），'(0,,0)P x ，(15,0,0)A ， 所以2223(20)'3203tan '315225x PP x AP x xθ--===++g， 设2320(x)tan 3225x f x θ-==+g (20x ≤)， 22322520'(x)3(225)225x f x x +=-++g ， 所以，当22545204x <-=- 时'0y >；当45204x -<≤时'0y <， 所以当454x =-时max 24520453534()()43945225()4f x f +=-==+g ，所以tan θ取得最大值为539． 解法三：分析知，当tan θ取得最大时，即θ最大， 最大值即为平面ACM 与地面ABC 所成的锐二面角的度量值，如图，过B 在面BCM 内作BD BC ⊥交CM 于D ， 过B 作BH AC ⊥于H ，连DH ，则BHD ∠即为平面ACM 与地面ABC 所成的二面角的平面角，tan θ的最大值即为tan BHD ∠，在Rt ABC ∆中，由等面积法可得15201225AB BC BH AC ===g g ，203tan303DB BC =︒=g ， 所以max203533(tan )tan 129DB BHD BH θ=∠===．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知,3a b c ≠=，22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-．（1）求角C 的大小；（2）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积．解：（1）由题得1cos21cos233sin 2sin 22222A B A B ++-=-，即3131sin 2cos2sin 2cos22222A AB B -=-，sin(2)sin(2B )66A ππ-=-，由a b ≠得A B ≠，又(0,)A B π+∈ ，得22B 66A πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=． （2）3c =，4sin 5A =，sin sinC a c A =，得85a =，由a c < 得A C <，从而3cos 5A =，故sin sin()B A C =+=433sinAcosC cosAsinC ++=， 所以，ABC ∆的面积为18318sin 225S ac B +==．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题． （19）已知数列{}n a 和{}n b 满足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈L ．若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+． （1）求n a 与n b ； （2）设11(*)n n nc n N a b =-∈．记数列{}n c 的前n 项和为n S ． （∴）求n S ；（∴）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥．解：（1）∴123(2)(*)n b n a a a a n N =∈L ①，当2n ≥，*n N ∈时，11231(2)n b n a a a a --=L ②，由①÷②知：当2n ≥时，1(2)n n b b n a --=，令3n =，则有323(2)b b a -=， ∴326b b =+，∴38a =．∴{}n a 为等比数列，且12a =， ∴{}n a 的公比为q ，则2324a q a ==，由题意知0n a >，∴0q >， ∴2q =．∴*2nn a n N ∈＝（）．又由123(2)(*)n b n a a a a n N =∈L ，得：1232222(2)n b n ⨯⨯⨯⨯=L ， 即(1)22(2)n n n b +=，∴*1n b n n n N =+∈（）（）． （2）（∴）∴1111111()2(1)21n n n n n c a b n n n n =-=-=--++， ∴123n n S c c c c =++++L =2111111111()()()21222321n n n --+--++--+L =21111(1)2221n n +++--+L =111121n n --++=1112n n -+．（∴）因为10c =，20c >，30c >，40c >；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+， 而11(1)(1)(2)(n 1)(n 2)0222n n n n n n n ++++++--=>，得5(1)5(51)122n n n ++≤<g ，所以，当5n ≥时，0n c <，综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k =．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．（20）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =．（1）证明：DE ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AD E --的大小．解：（1）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD =，得2BD BC ==，由2AC =，2AB =得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC DE ⊥，又DE DC ⊥，从而DE ⊥平面ACD ．（2）解法一：作BF AD ⊥，与AD 交于点F ，过点F 作//FG DE ，与AB 交于点G ，连接BG ， 由（1）知DE AD ⊥，则FG AD ⊥，所以BFG ∠就是二面角B AD E --的平面角，在直角梯形BCDE 中，由222CD BC BD =+，得BD BC ⊥， 又平面ABC ⊥平面BCDE ， 得BD ⊥平面ABC ，从而BD AB ⊥，由于AC ⊥平面BCDE ，得AC CD ⊥．在Rt ACD ∆中，由2DC =，2AC =，得6AD =； 在Rt AED ∆中，由1ED =，6AD =得7AE =；在Rt ABD ∆中，由2BD =，2AB =，6AD =， 得233BF =，23AF AD =，从而 23GF =，在ABE ∆，ABG ∆中，利用余弦定理分别可得57cos 14BAE ∠=，23BC =．在BFG ∆中，2223cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==g ， 所以，6BFG π∠=，即二面角B AD E --的大小为6π． 解法二：以D 的原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -， 如图所示．由题意知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，(0,2,2)A ，(1,1,0)B ．设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =u r，平面ABD 的法向量为222(,,)n x y z =r，可算得：(0,2,2)AD =--u u u r，(1,2,2)AE =--u u u r ，(1,1,0)DB =u u u r ， 由00m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rg u r u u u r g ，即11111220220y z x y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩， 可取(0,1,2)m =-u r ，由00n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即22222200y z x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ 可取(0,1,2)n =-r ，于是||3|cos ,|||||32m n m n m n ⋅<>===⋅⋅u r ru r r u r r ．由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B AD E --的大小为6π． 【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．（21）如图，设椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ， 且点P 在第一象限．（1）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -． 解：（1）解法一：设l 方程为(0)y kx m k =+<，22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=， 由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222(,)a km b mP b a k b a k -++，又点P 在第一象限， 故点P 的坐标为22222222(,)a k b P b a kb a k-++．解法二：作变换''x x ay y b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>> 变为圆'C ：22''1x y +=，切点00(,)P x y 变为点00'(',')P x y ，切线00:()l y y k x x -=-（0)k <，变为00':'y (')l by k ax x -=-．在圆'C 中设直线''O P 的方程为''y mx =（0m >）， 由22''''1y mx x y =⎧⎨+=⎩，解得02021'1'1x m m y m ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 即221'(,)11m P mm++，由于'''O P l ⊥，所以'''1O P l k k =-g ，得1ak m b ⋅=-，即bm ak=-， 代入得22221'(,)11()()bak P b bak ak -++，即222222'(,)ak b P a k b a k b -++， 利用逆变换''x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入即得：22222222(,)a k b P a k b a k b -++． （2）由于直线1l 过原点O 且与直线l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=， 所以点P 到直线1l 的距离222222222||1a kb kb a k b a kd k -+++=+，整理得:22222222a b d b b a a k k-=+++，因为22222b a k ab k+≥，所以2222222222222a b a b d a b b b a abb a a k k --=≤=-+++++，当且仅当2bk a=时等号成立． 所以，点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．（22）已知函数()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -； （2）设,b R ∈若()24f x b +≤⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围．解：（1）∴33333,()3||33,x x a x a f x x x a x x a x a ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩，∴2233,'()33,x x af x x x a ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，由于11x -≤≤，（∴）当1a ≤-时，有x a ≥，故3()33f x x x a =+-，所以，()f x 在(1,1)-上是增函数，因此()(1)43M a f a ==-，()(1)43m a f a =-=--， 故()()(43)(43)8M a m a a a -=----=．（∴）当11a -<<时，若(),1x a ∈，3()33f x x x a =+-，在(),1a 上是增函数；若()1,x a ∈-，3()33f x x x a =--，在()1,a -上是减函数， ∴()max{(1),(1)}M a f f =-，3()()a m a f a ==， 由于(1)(1)62f f a --=-+，因此当113a -<≤时，3()()34M a m a a a -=--+； 当113a << 时，3()()32M a m a a a -=-++； （∴）当1a ≥时，有x a ≤，故3()33f x x x a =-+，此时()f x 在(1,1)-上是减函数，因此()(1)23M a f a =-=+，()(1)23m a f a ==-+，故()()4M a m a -=；综上，338,1134,13()()132,134,1a a a a M a m a a a a a ≤-⎧⎪⎪--+-<≤⎪-=⎨⎪-++<<⎪⎪≥⎩．（2）令()()h x f x b =+，则3333,()33,x x a b x a h x x x a b x a ⎧+-+≥⎪=⎨-++<⎪⎩，2233,'()33,x x ah x x x a⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，因为()24f x b +≤⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，即2()2h x -≤≤对[]1,1x ∈-恒成立，所以由（1）知， （∴）当1a ≤-时，()h x 在(1,1)-上是增函数，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)43h a b =-+，最小值(1)43h a b -=--+，则432a b --+≥-且432a b -+≤矛盾；（∴）当113a -<≤时，()h x 在[1,1]-上的最小值是3()h a a b =+， 最大值是(1)43h a b =-+，所以32a b +≥-且432a b -+≤， 从而323362a a a b a --+≤+≤- 且103a ≤≤， 令3()23t a a a =--+，则2'()330t a a =->，∴()t a 在1(0,)3上是增函数，故()(0)2t a t >=-，因此230a b -≤+≤；（∴）当113a <<时，()h x 在[1,1]-上的最小值是3()h a ab =+，最大值是(1)32h a b -=++，所以由32a b +≥-且322a b ++≤，解得283027a b -<+≤ （∴）当1a ≥时，()h x 在[1,1]-上的最大值是(1)32h a b -=++，最小值是(1)3a b 2h =+-，所以由322a b +-≥-且322a b ++≤，解得30a b +=．综上，3a b +的取值范围是230a b -≤+≤．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。

2０1４年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷)数 学（理科）一. 选择题:本大题共１0小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥,则U C A =（ ）A ． ∅ Ｂ. {2} C. {5} D. {2,5}２. 已知i 是虚数单位，,a b R ∈,则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的（ )A. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3． 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的表面积是（ )A. 902cm B ． 1２92cmC. 1322cm D ． 13８2cm4. 为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数2cos 3y x =的图像( ）Ａ． 向右平移4π 个单位 B. 向左平移4π个单位C. 向右平移12π个单位 D ． 向左平移12π个单位5.在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数(,)f m n ,则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++= （ )A. 45B. ６0C. 120D ． 2１０6. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤( ）A ．3c ≤ Ｂ.36c <≤ C ．69c <≤ D. 9c >７. 在同一直角坐标系中,函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x = 的图像可能是( )8． 记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x y x y x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则( ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤Ｂ． min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥Ｃ． 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+D. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+９. 已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m 个红球和n 个篮球(3,3)m n ≥≥,从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（ａ)放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=;（b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.则 ( )A.1212,()()p p E E ξξ><B. 1212,()()p p E E ξξ<>C. 1212,()()p p E E ξξ>>D. 1212,()()p p E E ξξ<<10. 设函数21()f x x =,22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i a i =，,2,1,0=i 99, ,记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-,1,2,3k = 则( )A.123I I I <<B. 213I I I <<C. 132I I I << Ｄ. 321I I I <<二. 填空题:本大题共７小题，每小题4分，共28分.11. 若某程序框图如图所示，当输入50时,则该程序运算后输出的结果是_______＿.1２. 随机变量ξ的取值为0，1,2,若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ＝＿_____＿_. 13．当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时,14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是_＿_＿__＿_.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给４个人，每人2张,不同的获奖情况有＿____种（用数字作答）．1５.设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤,则实数a 的取值范围是___＿_＿16.设直线30x y m -+=(0m ≠) 与双曲线。

2014高考真题理科数学（浙江卷）设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案解析】B已知是虚数单位，,则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】A某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A. 90 B. 129 C. 132 D. 138【答案解析】D为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【答案解析】C在的展开式中，记项的系数为，则（）A.45B.60C.120D. 210【答案解析】C已知函数（）A. B. C. D.【答案解析】C在同意直角坐标系中，函数的图像可能是（）【答案解析】DA.B.C.D.【答案解析】D已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则A. B.C. D.【答案解析】A设函数，，，记，则A. B. C. D.【答案解析】 B若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.【答案解析】6随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.【答案解析】当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.【答案解析】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.【答案解析】60设函数若，则实数的取值范围是______【答案解析】设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________【答案解析】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值【答案解析】（本题满分14分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，(I) 求角C的大小；(II) 若求ABC的面积。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-b y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。

2014年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•浙江）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2} C．{5} D．{2，5}2．（5分）（2014•浙江）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2014•浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．（5分）（2014•浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）（2014•浙江）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2106．（5分）（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其0＜f（﹣1）=f （﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A ．c≤3 B．3＜c ≤6 C．6＜c≤9 D．c＞97．（5分）（2014•浙江）在同一直角坐标系中，函数f （x）=x a（x≥0），g （x ）=log a x的图象可能是（）A ．B．C．D．8．（5分）（2014•浙江）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||29．（5分）（2014•浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A ．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C ．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10．（5分）（2014•浙江）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A ．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1二、填空题11．（4分）（2014•浙江）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．12．（4分）（2014•浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．13．（4分）（2014•浙江）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是．14．（4分）（2014•浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．15．（4分）（2014•浙江）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．16．（4分）（2014•浙江）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．17．（4分）（2014•浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18．（14分）（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．19．（14分）（2014•浙江）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20．（15分）（2014•浙江）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．21．（15分）（2014•浙江）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．22．（14分）（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．,.2014年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•浙江）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A ．∅B．{2} C．{5} D．{2，5}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：先化简集合A，结合全集，求得∁U A．解答：解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．点评：本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）（2014•浙江）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数相等的充要条件；充要条件．专题：简易逻辑．分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．解答：解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）（2014•浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A ．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．4．（5分）（2014•浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．解答：解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：C．点评：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•浙江）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A ．45 B．60 C．120 D．210考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．解答：解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．6．（5分）（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A ．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3求出c的范围．解答：解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选：C．点评：本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．7．（5分）（2014•浙江）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（）A ．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．解答：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D点评：本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．8．（5分）（2014•浙江）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．解答：解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确．故选：D．点评：本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．9．（5分）（2014•浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A ．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C ．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．解答：解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选A点评：正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．10．（5分）（2014•浙江）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A I1＜I2＜I3B I2＜I1＜I3C I1＜I3＜I2D I3＜I2＜I1．．．．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案解答：解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．点评：本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题11．（4分）（2014•浙江）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6．考点：程序框图；循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：6．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．12．（4分）（2014•浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D （ξ）=．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．解答：解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以．故答案为：点评：本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．13．（4分）（2014•浙江）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是[]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：．点评：本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．14．（4分）（2014•浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．解答：解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：60．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（4分）（2014•浙江）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，]．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，即x=，故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，]．点评：本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．（4分）（2014•浙江）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．解答：解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（4分）（2014•浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）考点：在实际问题中建立三角函数模型；解三角形．专题：解三角形．分析：过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．解答：解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设BP′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题18．（14分）（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即cos2A﹣cos2B=sin 2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin （A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A ﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．19．（14分）（2014•浙江）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．解答：解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c 3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．点评：本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．20．（15分）（2014•浙江）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．解答：证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE 中，由CD2=BC2+B D2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD 中，由DC=2，AC=，得AD=；中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．点评：本题主要考线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．21．（15分）（2014•浙江）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．．解答：解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，解得点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故点P 的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O 且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．点评：本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．22．（14分）（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f （1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m （a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x ﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m （a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f （﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f （﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m （a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．点评：本题考查导。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出学科网的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，zxxk 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的学科网表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数zxxk x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球学科网()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为zxxk ()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的学科网结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，zxxk 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 学科网已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值三．解答题：本大题共5小题，共72分。