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例2 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程. 解因MAMB
( x 1 ) 2 y 2 ( z 4 ) 2 ( x 1 ) 2 （ y 2 ） 2 ( z 1 ) 2
4 x 4 y 1 0 z 1 1 0 故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A、B两点连线的垂直平分 面的方程)为 4x4y 1 0z 1 10 因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0；而凡满足z = 0的 点又都在 x y平面上；故坐标平面的方程分别为
当c=0时,只有原点(0, 0, 0)满足此方程；
当c>0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,以 c 半径为R的圆.
显然c越大，其截痕圆越大.
z
若用平面x=a或y=b去截曲面,其 截痕为 抛物线.
x
故曲面 z x2 y2 是 一个旋转抛物面(如图).
常见的空间曲面主要有平面、柱面、二次曲
面等.
f (x, y) 0 z 0 表示.
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定动直线l沿曲
线L平行的移动所得的空间曲面称为柱面,L称为 柱面的准线,动直线l称为柱面的母线.
柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线 都相交的曲线都可作为准线.
我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面. 设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲 线L可以用联立方程组
下面来解决关于曲面的两个基本问题:
1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
例1 求球心在点 M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. 解 设 球 面 上 任 意 一 点 为 M ( x , y , z ) , 则 动 点 M ( x , y , z ) 与 定 点 M 0(x0,y0,z0)之 间的长度为 MM0 R,则
我们称与点M对应的 三个有序的实数为点M 的坐标,记为
M=M(x,y,z) 其中x,y,z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐 标,或称为x坐标、y坐标、z坐标.
三个坐标平面将空间分成八块,每一块叫做 一个卦限,我们将八个卦限编号,在上半空间为 I,II,II,IV,在它们的下方分别为V,VI,VII,VIII.
一、空间直角坐标系 在空间中取定一点O,过O点作三条相互垂直
的数轴Ox,Oy,Oz,取定正方向,各轴上再规定一个 共同的单位长度,这就构成了一个空间直角坐标 系,记为Oxyz,并称O为坐标原点,称数轴Ox,Oy,Oz 为坐标轴.
称由两坐标轴决定的平面为坐标平面,简称 xOy,yOz,zOx平面.
对于空间直角坐标系,我们采用右手系.所谓 右手系是指将右手的拇指、食指和中指伸成相 互垂直的形状,若拇指、食指分别指向x轴、y轴 正向时,中指正好指向z轴方向.
设给定空间中一点M,过点M作三个平行于 坐标平面的平面,它们与x,y,z轴分别交于点P、Q、 R,其所在坐标轴上的坐标分别为x,y,z.
空间解析几何基础 知识
ห้องสมุดไป่ตู้
主要内容
第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念 第三节 偏导数与全微分 第四节 多元复合函数与隐函数微分法
第五节 多元函数极值与最值 第六节 二重积分
第六章
第一节 空间解析几何基础知识
一、空间直角坐标系 二、常见的空间曲面与方程 三、平面区域的概念及其解析表示
(7.2)
二、常见的空间曲面与方程
空间中的任意曲面S都是点的几何轨迹.凡位于这一
曲面上的点的坐标x,y,z都要满足一个三元方程
F(x,y,z)=0 (7.3)
z
而不在这个曲面上的点的坐
M(x, y, z)
标都不满足方程(7.3).我们称方程
(7.3)为曲面S的方程.曲面S的几何
y
x
图形称为方程(7.3)的图形.
(xx0)2(yy0)2(zz0)2R ( x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2 特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为
x2y2z2 R2 则z R2x2y2 是 此 球 面 的 上 半 部 ;
z R2x2y2 是 此 球 面 的 下 半 部 .
对于空间中任意两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之 间的距离为
| AB | d d12 (z2 z1)2 (x2 x1)2 ( y22 y12 ) (z22 z12 ) (7.1)
特别地,空间中任意一点M(x,y,z)到原点O的 距离为
| OM | x2 y2 z2
重要结论: 平面方程均为一次方程. 一般地,x, y, z的三元一次方程所表示的图形均是平面.
空间平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0
其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.
2. 已知曲面的方程, 研究方程的图形
通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于 一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.
1.平面 空间平面方程的一般形式为
ax+by+cz+d=0
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当
a=b=d=0,而c≠0时,得平面方程z=0,也就是xOy平
面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.
但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截
曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就 会得出曲面S的全貌——这种方法称为 “平行截口”法. 例 考察下列的图形方程:
(1)x2y2 R2
(1) zx2 y2
解 用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆 x2 y2 c
xo y面的方程为 z = 0 yo z面的方程为 x = 0 xo z面的方程为 y = 0
平行于xy面的平面方程为 z = c(c为常数, 表示此平面 在 z 轴上的截距)
平行于xz面的平面方程为y=b(b为常数, 表示此平面 在 y 轴上的截距)
平行于yz面的平面方程为x=a(a为常数, 表示此平面 在 x 轴上的截距)
