《空间解析几何简介》PPT课件

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§7．7 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦两平面平行与垂直的条件点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ，所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解先求出这平面的法线向量 n ．

M 1M 2{3， 4， 6}， n

M 1M3{2， 31}，可取

大学课程《高等数学》PPT课件：6-1 空间解析几何简介

例1 求点 M 2,1, 1 到 y轴的距离.
解 :过点 M 做 y 轴的垂线，其垂足点 P 的坐标
为 0,1,0 ，所以
MP 2 02 112 1 02 5
例2 设动点 M 与两定点 P1 1, 2,1，P2 2,1, 2 等距
离，求动点M 的轨迹.
解 :设动点 M x, y, z ，因为 P1M P2M ，所以
（2）已知方程 F x, y, z 0,研究此方程所表
示的曲面形状.
例3 求球心在点 M0 x0, y0, z0 、半径为 R 的球面方程. 解设 M x, y, z 是球面上任一点（见图），
则有 M0M R，由两点间距离公式得 :
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
本节先简要介绍空间解析几何的有关内容。
第六章
空间解析几何简介
一、空间直角坐标系二、空间曲面及其方程三、空间曲线及其方程
在空间任意选取一定点 O ,过点 O 做三条互相垂直
的以点 O 为原点的数轴，依次记为 x 轴(横轴)、y 轴
(纵轴)、z 轴(竖轴)，统称为坐标轴. 它们的顺序按下
述右手规则确定:以右手握住 z 轴，让右手的四个手
含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第 I 卦限，
其他第 II、第 III 、第 IV 卦限在 xOy 平面的上方,按逆时针方向确定. 第 I 、II 、III 、IV 卦限下面的空间
部分，分别称为第 V、V、V、V 卦限(见图).
设 M 为空间任意点,过该点分别
做垂直于三坐标轴的平面, 与坐标轴
二次曲面
我们把三元二次方程 F (x, y, z) 0所表示的曲
面称为二次曲面. 而把平面称为一次曲面.

空间解析几何ppt1.7

三、数量积的坐标表示（直角坐标系下）
2）向量的方向余弦
三、数量积的坐标表示（直角坐标系下）
3）两向量的交角
思考题：
2.已知向量
与
共一始点，
，试确定沿的角平分线上的坐标.
3.在直角坐标系下，已知点的坐标
其中
与轴的夹角为，求
的模，方向余弦，以及的坐标.
思考题：
P46－47
2（3），3（2），4（2）
例2 试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直于平面. 例3 试证三角示（直角坐标系下）
1）两点距离
三、数量积的坐标表示（直角坐标系下）
2）向量的方向余弦
向量与坐标轴（或坐标向量）所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫做向量的方向余弦.
《解析几何》
－Chapter 1
§7 两向量的数量积
Contents
一、数量积的概念二、数量积的运算规律三、数量积的坐标表示
实例
M1
M2
启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
一、数量积的概念
说明：
二、数量积的运算规律
思考：数量积对于消去律可成立？
例1 证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

空间解析几何-第2章-空间的平面与直线ppt

(2) L // Am Bn Cp 0.
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程（标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标为零时，比如
解析几何
第2章空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程

《空间解析几何》课件

了解空间解析几何在计算机图形学中的应用，如3D建模、动画制作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等，求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模等基本概念。

空间解析几何精ppt课件

记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ，或作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s

高等数学第八章空间解析几何教学精品PPT课件

高等数学(下册)
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解（1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1）消去 z得投影x25y24xyx0,
z0
（ 2）消去 y得投影x25z22xz4x0,
y0
（ 3）消去 x得投影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：

空间解析几何PPT

应的分子也为0
2、平行向量的坐标表示式
a // b b a
(bx , by , bz ) (ax , ay , az )
bx ax
by ay
bz az
例3 求解以向量为未知元的线性方程组
xx
4 2
y y
a b
其中 a = (3,1,2),b = (5,-1,4).
在空间直角坐标系Oxyz的三条轴的正方向分别取三个单位向量 i, j, k 称为基本单位向量.
1、向量的加减法与数乘
a
(a
x
,
ay,
az ) axi ay j azk;
b (bx , by , bz ) bxi by j bzk;
⑴加法 a b (ax bx , ay by, az bz )
结果是一个与原向量同方向的单位向量.
(3) 两个向量的平行关系（共线定理）
定理设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件
是：存在唯一的实数，使 b a.
证设:b充// a分, 取性显然b；, 当下b面与证a 同明向必时要性取正值，
当
b
与
a
a
反向时取负值，
则此时
b
与
a
同向.
又
a
a
b
a
b,
故有 b a.
a
再证明的唯一性. 设 b
两式相减，得
(
)a
a0，，又设即ba，a
0，
a 0，故 0，即 .
证毕
注：此定理是建立数轴和坐标的理论依据. 设点O及单位向量i 确定了数轴Ox,
对于轴上任一点P, 对应一个向量OP,

空间解析几何简介99页PPT

拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。 ——左
13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守纪律的和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿
空间解析几何简介
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)

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.
7
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7(补充) 空间解析几何简介
例2 作z = d （d为常数）的图形.
解 A x B y C zD 0
A0,B0,C 1.
z
d
o
x
y
.
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例3 求球心在点
,半径为R的球面方程.
M0(x0, y0,z0)
.
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例4 作 x2y2R2的图形 .
解
z
x2 y2 R2
o y
x
.
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7(补充) 空间解析几何简介
例5 作 zx2y2的图形 .
解
z
z x2 y2
x2 y2 0 zx2y2在xoy面的上方,
2. 空间曲面与方程
定义如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0, 不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0,则称方程 F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形.
.
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z
o x
y
.
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(5) 抛物面 x2 y2 z(p、q同号）
2p 2q
z
z
o y
x
xo
y
p0, q0 . p0, q0
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特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z 2p 2p
|M 1 M 2 |2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2 .
所以点 M1和M2 间的距离为 |M 1 M 2|(x 1 x .2 )2 (y 1 y 2 )2 (z 1 z 2 )2 .
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y2 z2 R2.
.
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7(补充) 空间解析几何简介
（2）球心在原点，半径为R的上半球面的方程为
x2y2z2R2 (z0).
（3）圆锥曲面
x2 y2 z2
z
o x
y
.
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7(补充) 空间解析几何简介
（4）椭球面
a x2 2b y2 2c z2 21(a0,b0,c0)
解设P(x,y,z)是球面上任意一点，
则根据两点间的距离公式，得
(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z0 )2 R ,
整理，得( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2 .
特别地，当球心在原点O(0,0,0)时，球面方程为 x2y2z2 R2.
7.1 多元函数
1. 多元函数的概念 2. 二元函数的极限 3. 二元函数的连续性
.
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7.1 多元函数
1. 多元函数的概念
例1 圆锥的体积和它的底半径R，高H之间具有关系 V 1R2H
3
对于R、H在一定范围内取一对确定的值，V都有
惟一确定的值与之对应.
例2 设R是电阻R1,R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之
(p0) 旋转抛物面
（由 xo面z 上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2
y2
2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆的中心都在 z轴上.
.
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7(补充) 空间解析几何简介
（6）双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z （ p与 q同号） 2p 2q
例1 求与两定点M(-1,0,2),N(3,1,1)距离相等的点的轨迹方程.
解设动点坐标为P( x, y, z), PM PN.
x 1 2 y 2 z 2 2 x 3 2 y 1 2 z 1 2
4xyz30.
空间平面的方程为：A xB yC zD 0
其中A、B、C、D都是常数，且A、B、C不全为0.
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(补充) 空间解析几何简介
1. 空间直角坐标系 2. 空间曲面与方程
.
1
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1. 空间直角坐标系 z竖轴
坐标原点o •
y纵轴
横轴 x
通常规定x轴，y轴，z轴. 的正向要遵循右手法则.
2
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7(补充) 空间解析几何简介
且与之仅有一个交点 .
o
x
y
.
11
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7(补充) 空间解析几何简介
如果方程 F(x,y,z)0是三元二次方程，则它的图
形是曲面，称为二次曲面.
（1）对称轴为z轴，底面半径为R的圆柱的方程为
x2 y2 R2.
对称轴为y轴，底面半径为R的圆柱的方程为
x2z2 R2.
对称轴为x轴，底面半径为R的圆柱的方程为
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Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系. 共有八个卦限.
3
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空间的点
有序数组( ,
坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
间具有关系
R R1R2
R1 R2
对于R1,R2在一定范围内取一. 对确定的值，R都有惟
20
一确定的值与之对应.
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7.1 多元函数
定义1 设在某一变化过程中有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y在其变化范围内所取的每一对数值，变量z按照某一
z
o x
.
y
17
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第七章多元函数微积分
❖ 7.1 多元函数 ❖ 7.2 偏导数 ❖ 7.3 全微分 ❖ 7.4 复合函数的偏导数
❖ ﹡7.5 偏导数的几何应用
❖ 7.6 多元函数的极值 ❖ 7.7 二重积分 ❖ ﹡7.8 二重积分的应用
.
18
下页
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z
R(0,0,z)
o
.
x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0)
4
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空间两点的距离公式
由图可知，该长方体的各棱长分别为：
|x 2 x 1|,|y 1 y 2|,|z1 z2|.
长方体的对角线长的平方等于三条棱
长的平方和，则：