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数，故/, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr.fh i)i又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.Dy 1)：从而得/, = 4/2.(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y)= -f(x,y) ,P Jjf/(x,y)da =0；D如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则=0.D«3.利用二重积分定义证明：(1)jj da=(其中(7为的面积)；IJ(2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)；o n(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个I) b\ lh尤公共内点的W K域.证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得n"jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac,=l i m cr= a.A—0n(1)Ji/(x,j)(Ic7=lim^i)1n=A lim y/(^(,i7,)A(7-,=k \\f{x,y)Aa.A-°台•{!(2)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在A U D2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为^/(^, ,17,) A CT, = ^/( ^, , 17,) A CT, + ^/(^, ,17,) A CT,./)(U0, ", l)：令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf(x,y)i\a=j j f(x,y)d a+J J/(x f y)d a.p,un} V, n；Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d«l y达到最大值.I)解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1 -2.v2 -V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1 -2/ -y2小于零的点，即当£»是椭圆2/ +y2 = l 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=D I)1所围成；(2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=t) n2所围成；(3)I'm A；+y)(l o r与!"[I n(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为l)"(1，0)，(1，1)，(2,0);(3)J p n(:r+y)d c r与I n(:t+y)]2f W，其中/)=|(.r,.v)|3，0彡、彡1 .i) i)解(1)在积分K域0上，故有(x + j) 3 ^ (x + y) 2.根据二重积分的性质4，可得J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)0D由于积分区域0位于半平面| (A:，V) | .V+ •、彡1 1内，故在/)|:&(.f + y) 2彡(A + y) 3•从『("• J( v + ＞ )：drr ^ jj ( x + y) \l f r.(1)由于积分区域D位于条形区域1U，y)|1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此j j[l n(a:+y)]2(J o-^+y)d(2)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y) | .v+y彡e|内，故在Z)上有l n(x+y)彡1，从而：I n(-v+)')]2彡I n(:c+)').因此Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da.i) a3 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) / = |^7(文+7)心，其中/)= \ (x ,y) 1,0 1|；n(2)/=j^sin^sin^do■，其中/)=j(A:,y)|0^^^TT,0^y^TT1;i)(3)/= J*(A：+y + l)d(7,其中/>= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[；it(4)/=J(x2 +4y2 +9)do•，其中D= \{x,y) \x2 +y2 ^ 4|.I)解(1)在积分区域D上，0矣;<:矣1,0英y矣1,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此(2)在积分区域/)上，0矣sin J:矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的面积等于TT2,W此(3)在积分K域"上有\^x+y +\«4,/)的而积等于2,因此(4)W为在积分K域/>»上有0矣;t2+y2苳4,所以有9^+4r2+9^4( x2+y2)+9矣25.34I)的酣枳等于4TT，W此36TT^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.二重积分的计算法.^1.计算下列二甩积分:可编辑l<3x 十2) ;dcr ，其中"是由两坐标轴及直线-X - + v = 2听围成的闭区域； b ( 3 J jj( x J + 3x 2 \ + v 3 ) da ，其中 D = ( x , v ) 0 ^ A : ^ 1 .0 ^ v ^ 1 ； u ( 4 ) jjxcas( X + Y j do ■，其中Z >是顶点分别为( 0 .0 j < 77 ,0 )和( 77 , 77 )的三角形闭区域. m (1 x 2 4- V 2 )d(T = f dxf (X 2 -h V 2 ) d V dx j fh 2 D 不等式表示为 2 r 2 -x 3xy +y 2]l~x dx =| (4+ 2x - 2x 2 ) dx 20 3(+ 3x 2y + y 3 )da = d > (文3 + 3.r 2 v +、、)ch . + x y + v " JC di (4) l )可用不等式表示为 0 ^ V ^ A ： , 0 ^ .t ^ 7T . 于是 |A :COS (JC + y ) da = I cos(.v + v )d I [ sin (.t + y ) ] Q ()^ = J V ( sin 2.v - sin .v ) <1 x x(\( cos .v —丄(.<，s 2.v ) 卜( 1X (-TT r T X cos .v - —rus TT. & 2. _出枳分ix:域，斤i 卜r): v 列m 分:x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2).0«^^/4-y2,-2矣7矣2(图10-3),(2)J^^do■，其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域；D(3)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域；I)(3)JV+'dcr，其中/)=I(%，)•)||A；|+|J|^1!；D(4)|"U2+/-x)<lo•，其中D是由直线y:l、y二xh :2*所围成的闭区域.D解(1)0可用不等式表示为于是(4)D可用不等式表示为(3)如阁I()-4，W=/\U"2，其中/>1= \(x,y)\-x-\ ^y^Jc + 1,-1 ^a;^0|,I)2=\(x,y) |*-1 +因此Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/(x，v)是两个函数/](O及)的乘n积，即/(X，y) =f\(x)./“y)，积分区域/)={(.V,y)I(1^V^/>,r^,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即|*/|U) -/2(r) fl atl y = [ J/, (.v)(l.v] - [ [/：( > )^v]-证Jj./1(x)•.,2(/)dvd V~J[f J \(v)■ ./：t^]l^x*在上式右端的第一次单枳分f/,(.V)•/2(.V)d v中,./,(A.)1J fut变招:、无关，nn见为常数提到积分5外，W此上式“端笏T可编辑fix/ = j [ dy ^/(*，y )tk .而在这个积分中，由于f/2 (y ) d y 为常数，故又可提到积分号外，从而得到• f 2<,y)^xAy= [| /2(y )dj ] - [ J n /, (x )dx ]证毕. ^4.化二重积分/ = Jf(x ，y )daI)为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域£>是:(1) 由直线及抛物线y 2 =4x 所围成的闭区域； (2) 由x 轴及半圆周/ +y 2 =r 2(y 英0)所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ，；c = 2及双曲线：K = ^-(*>0)所围成的闭区域；X(4) 环形闭区域 IU ，y ) | 1+y 2^4(.解(1)直线y =x 及抛物线y 2 =4;c 的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是f(x,y)dy,(1)将/)用不等式表示'fyO^y^r 2 -x 2，- r ^ W /•，于是可将/化为如下的先 对y 、后对*的二次积分：r/ = J (1文Jf(x ,y)(\y ；如将0叫不等式表示为~Vr 2 -y 2^x^Vr 2 - y 2 ,0各/•，则可将/化为如卜的 先对*、后对y 的二次枳分：可编辑dr x,y) dx. (3)如图 10-7. :条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1 ,1 )，2,y 和(2,2).于是dy (i_/(^,y)+ tlj /( x ,y)dx.dx• \/4J\x y y)dy + d.vl(1%/T/(A ：,y)clr + d.vl ■ y A -x 2/(.r ,v )d > -f/(.v V v ) dv ./(.v ,v )d.v -f.\/4-、 /( \ , > ) d.v-f厂、/4 -、•'•I-v^ W"/( v , y) (l .\.| dxj[f(x,y)dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线 的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个 方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先 对y 、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分.需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y )的特点.具体例子n ]'见教 材下册第144页上的例2.(4)将D 按图10 - 8( a )和图10 - 8( 1>)的两种不同方式則分为4块，分別得x ,r) d.t.(5) (lx\ f{x,y)Ay\广2 f yix -x2(4)|叫2f{x,y)dy-,fix /-sin x(6)I Ax\J(x,y)Ay.JO J - siny图10-8,5.设/U，Y）在D上连续，其中/）是由直线;==所围成的闭区域，证明dx| f(x,y)Ay证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y）d o•，因而它们相等.I）^6.改换下列二次积分的积分次序：(2) J) dj|：f(x,y)dx；解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;K）（^，其中o =丨h，y）1° ^ ^ ^r-"0 ^ j ^ I（. /> n|■改写为 | Uj） | * 矣y矣 1，0 ^ ^ I | （罔 10 - 9）,于是原式=丄<ixj/(x,y)dy.(3)所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y)山，.K:中/)=I|.y2^^<2y,0 ^21. M I) njm为{u’y) I 音矣 j ^ 7^,0 ^ x 在4)( 1冬 1 1(> - I0)，W此原式=J,i\xjy/(x,y)i\y.-y 2^.V ^1$、飞 V 彡1(4) 所给二次积分等于二重积分.其中D = : (.v .v ) | - V 1UX ^ J 1 - y 2 ,0彡 >•彡 1 ; •又 D 可表示为：(JC ，)*)丨0彡 y 彡 V 1 - .r 2 , - 1 = (图10 -11)，因此f 1f V 1 -X~原式=J ^ dxj/(x , v )dy .(5) 所给二次积分等于二重积分其中D = : (.v .v ) ' 2 -hs/lx - x 1 %\ 彡.r 彡2 :.又 D 可表示为：(A :,V ) | 2 - 1彡.t •彡 1 + Y 1 — v 2,0 : (图 10 -12)，故原式=丄 d)j f(x %y)dx.(6)所给二次积分等于二重积分］|/(.10 )(1^,)1:中/)= 1(.v .v ) | 0 ^ v ^I)x 彡e | •又/)可表示为| ( A :，＞•) | e 、彡A •彡e ，0彡、彡1 i ( |劄10 - 1,故原式=L (I .、| ,./X .、，.、) (l .v .m1()-14,将积分|><:域/)丧示为/),U/)2，其中A),=j U，、)|arcsin>^可编辑/(x,y)dx. y广 1 r ir - arcsin > 原式=Idyf(x yy)c\xJO Jarcsin )T T - arcsin y ，0彡 y 彡 1 |1,D 2 = | (.r,y)一 2arcsi n , 一 1 彡)'彡0|.于是rt-x + xydrAy~d\ c\) ''i x E | o»•Y = s i n A的反闲数足A = i i r r s»My- -1 x足ih y - H in x = sin ( T T - x) "n!J TT - x ^ ar cKin y,从ifii 得反闲数 ^(子•中，TTT T - iin-Hiny.^7.设平面薄片所占的闭区域D 由直线;t = 2，y = 和;r 轴所围成，它的面密度/x (.t ,v ) = x 2 +y 2,求该薄片的质量.解 D 如图10-15所示.所求薄片的质M = jJ/Lt( x 9y) dcr = ^ dyj ( x 2 + y 2 ) dxr[+(2”)3+2,12| 冬| 10 - 158. i |灯|l |四个平而A ： = 0，y = 0，;t = I ，v = I 所闲成的柱休被平面z = 0及2.r +3y + z 6藏得的立休的体积.V - (I 6 - ^ x 2 + y 2) dx(\y6 ( 1 - x ) - x 2+——f 1\1_6"*10-17m 10 - 18解 江力一 E J .它？？芪是；c 0:. S 二苎泛7：省•。
第3章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记一、微分中值定理1．罗尔定理（1）费马引理设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x ∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥（x0），则f′（x0）＝0。
（2）罗尔定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）。
则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）＝0。
2．拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），有f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。
（2）拉格朗日中值定理的证明思路引进辅助函数φ（x）＝f（x）－f（a）－（f（b）－f（a））（x－a）/（b－a），再利用罗尔定理，即可证得。
（3）有限增量公式f（x＋Δx）－f（x）＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）或Δy＝f′（x ＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）。
（4）定理如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，则f（x）在区间I上是一个常数。
3．柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，则在（a，b）内至少有一点ξ，有[f（b）－f（a）]/[F（b）－F（a）]＝f′（ξ）/F′（ξ）。
二、洛必达法则1．洛必达法则（1）x→a时，0/0的洛必达法则①当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②在点a的某去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；③()()lim x a f x F x →''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x a x a f x f x F x F x →→'='（2）x→∞时，0/0的洛必达法则①当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②当|x|＞N 时，f′（x）与F′（x）都存在，且F′（x）≠0；③()()limx f x F x →∞''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x x f x f x F x F x →∞→∞'='注：对于x→a 或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。
高等数学同济七版教材上册高等数学是大部分理工科专业的重要课程之一，同济大学出版社的七版教材被广泛使用。
本文将对《高等数学同济七版教材上册》进行综合评述，介绍其内容概述、章节划分以及特点等方面内容。
一、内容概述《高等数学同济七版教材上册》是高等数学的入门教材，主要内容包括数列、极限、函数与连续、导数与微分、微分学应用、积分与不定积分等。
全书共分为六章，每章均涵盖了该主题的核心概念和内容。
该教材注重基础知识的梳理，为学生打下坚实的高等数学基础。
二、章节划分1. 第一章：数列该章节介绍了数列的概念、性质和分类，重点讲述了等差数列和等比数列的求和公式及应用。
通过大量的例题和习题，帮助学生理解数列的概念和运算规律。
2. 第二章：极限极限是高等数学的重要概念之一，这一章节详细介绍了极限的定义、性质和运算法则。
其中包括函数极限、数列极限和无穷小量等内容，以及极限的四则运算和夹逼定理等重要概念。
3. 第三章：函数与连续这一章节介绍了函数的概念和性质，包括函数的定义域、值域和图像等内容。
同时，还讲述了函数的连续性及其判定方法，引入了导数的概念和初等函数的导数公式。
4. 第四章：导数与微分导数是微积分学中的重要概念，这一章详细介绍了导数的定义、计算方法和性质。
包括常见初等函数的导数、复合函数的导数以及隐函数的导数等内容。
此外，还介绍了微分的定义和计算方法。
5. 第五章：微分学应用这一章主要介绍了微分学在实际问题中的应用，包括函数的单调性与极值、曲线的凹凸性、最值问题以及泰勒公式等内容。
通过典型例题，培养学生把数学方法应用于实际问题的能力。
6. 第六章：积分与不定积分积分是微积分学的重要内容，该章节讲述了积分的概念和性质，以及基本积分公式和换元积分法等计算方法。
同时还介绍了不定积分的概念和初步应用。
三、特点1. 知识梳理清晰：《高等数学同济七版教材上册》通过章节的划分，将课程内容划分为六个主题，有助于学生理清知识点之间的逻辑关系，便于学习和记忆。
高等数学第七版教材全解高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生数学思维和解决问题能力的基础课程。
高等数学第七版教材是教学实践中广泛采用的教材之一，本文将对该教材进行详细解读和全面解答。
第一章微分学微分学是高等数学的第一个重要分支，它主要研究函数的变化规律和极限。
本章主要内容包括函数的极限、连续性、导数以及微分中值定理等。
第二章积分学积分学是微分学的重要补充，主要研究函数与其变化率之间的关系。
本章内容包括不定积分、定积分、牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的应用等。
第三章无穷级数无穷级数是数学中重要的研究对象，它在数学分析、物理学等领域有广泛的应用。
本章内容包括数项级数、幂级数、傅里叶级数等。
第四章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们在几何学、物理学等领域有广泛的应用。
本章内容包括空间直线与平面的方程、向量的概念与运算以及空间曲线与曲面等。
第五章多元函数微分学多元函数微分学是微分学在多元函数中的延伸和拓展，它研究多元函数的极限、偏导数、全微分以及多元函数的极值等。
本章内容包括多元函数概念与性质、多元函数的极限与连续性、多元函数的偏导数与全微分以及多元函数的最值等。
第六章重积分学重积分学是积分学的拓展，主要研究多元函数的积分。
本章内容包括二重积分、三重积分、重积分的计算方法以及重积分的应用等。
第七章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是高等数学中的重要概念和工具，它们在物理学、电子工程等领域有广泛的应用。
本章内容包括曲线积分、曲面积分的定义与计算方法以及曲线积分与曲面积分的应用等。
第八章常微分方程常微分方程是数学中的重要分支，它们在物理学、生物学等领域有广泛的应用。
本章内容包括一阶常微分方程、二阶常微分方程与高阶常微分方程、常微分方程的解法以及常微分方程的应用等。
第九章向量场与散度定理向量场与散度定理是矢量分析中的重要概念和工具，它们在流体力学、电磁学等领域有广泛的应用。
