自控原理课件 第5章-自动控制系统的频率分析

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2. 相角裕量 设幅频特性过零分贝时的频率为ωc，(幅值穿越频率)，则定 义相角裕量γ为 γ＝180º +φ(ωc) (5．34) 相角裕量γ指明了如果系统是不稳定系统，那么系统的 开环相频特性还需要改善多少量就成为稳定的了。如果系统 是不稳定的，与上述描述相反。 对于某一控制系统，若相角裕量γ大于零，幅值裕量kg大于1， 则系统稳定，并且γ和kg的值越大，系统稳定程度越好；苦γ 小于零，kg小于1，则系统不稳定。 一阶、二阶系统的γ总是大于零，而kg无穷大。因此， 理论上讲系统不会不稳定。但是，某些一阶和二阶系统的数 学模型是在忽略了一些次要因素后建立的，实际系统常常是 高阶的，其幅值裕度不可能无穷大。因此，开环增益太大， 系统仍可能不稳定。
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(3)当ω=1时，最左端直线或其延长线的分贝值 等于20lgK。 (4)在交接频率处，曲线斜率的变化取决于典型环 节的种类，如惯性环节，斜率减少 20dB／dec；一阶微分环节，斜率增加20dB／dec， 振荡环节，斜率则减少40dB／dec。 绘制对数相频特性时，首先绘制低频段的相位 角，每经过一个交接频率，相应的相角就改变成90º 或180º 。其中称L(ω)与ω轴相交处的频率ω c为穿越 频率。
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MATLAB将把系统的频率响应表示成矩阵re ，im和ω ，在屏幕上不产生图形。短阵re和im包 含系统频率响应的实部和虚部，它们都是在矢量 ω 中指定点的频率点上计算得到的。应当指出， 矩阵re和im包含的列数与输出量的数目相同，而 ω 中的每一个元素与re和im中的一行相对应。 命令bode可以计算线性连续定常系统频率响 应的幅值和相角。当不带左端变量时， MATLAB可以在屏幕上产生伯德图。 当包含左端变量时，即 [mag，phase，ω ] ＝bode(num，den，ω )
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线性控制系统对正弦输人信号的稳态响应称 为频率响应；系统输出稳态分量与输入的复数比 为频率特性，记作G(jω)；输出与输入信号的振幅 比称为系统的幅频特性；记作A(ω)；输出与输入 信号的相位差称为系统的相频特性，记作φ(ω)。 幅频特性、相频特性总称为频率特性。幅频特性 表征系统输出对不同频率正弦输入信号幅度衰减 或放大的特性;相频特性描述系统输出对不同频率 正弦输入信号相位的超前或滞后的特性。而频率 特性反映了系统对正弦输入信号的同频、变幅、 移相特性。
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γ和kg可以用来作为控制系统的开环频域性能指标。 在分析设计一个控制系统时，系统的性能常用γ与kg 的定量值来描述。 在使用时，γ和kg通常是成对使用的，但有时也 使用一个裕量指标，如用相角裕量γ来分析控制系统 的性能指标。这时对于系统的绝对稳定性的分析没 有什么影响，但是在γ较大，而kg较小的情况下。对 于系统动态性能的影响是很大的。
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5.2.1 比例环节 比例环节传递函数为G(s)＝K，则频率特性 为 G(ω)＝k∠0º (5.10) 根据系统对数频率特性的定义可得对数幅频特性 为 L(ω)＝20lgK (5.11) 对数相频特性为 φ(ω)＝0º (5.12) 比例环节的伯德图如图5.5所示。 从系统的伯德图可以看出，比例环节只有 幅值放大K倍的功能，它能既无超前又无滞后地 复现输入信号。
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通常称图5.3所示的坐标系为半对数坐标，其主要优点为： (1)横轴按频率的对数lgω 标尺刻度，但标出的是频率ω 本身的数值，因此，横轴的刻 度是不均匀的。 (2)横轴压缩了高频段，扩展了低频段。 (3)在oJ轴上，对应于频率每变化一倍，称为一倍频程， 例如ω从1到2，从2到4，从10到20等，其长度均相等。对应 于频率每增大十倍的频率范围，称为十倍频程(dec)，例如ω 从1到10，从2到20，从10到100等，所有十倍频程在ω轴上 的长度均相等。 (4)可以将幅值的乘除运算化为加减运算。 (5)可以采用分段线性的方法绘制近似的对数幅频曲线， 从而使得频率特性的绘制大为简化。 图5.4是RC滤波电路当丁取0.5时的系统伯德图。
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命令bode将把系统的频率响应转变成mag， phase和ω 矩阵，这时在屏幕上不显示频率响应图 。矩阵mag和phase包含系统频率响应的幅值和相 角，这些幅值和相角值是在用户指定的频率点上 计算得到的。相角以度来表示，表达式magdB＝ 20o10g10(mag)可以把幅值转变成分贝。 为了指明频率范围，采用命令logspace(dl， d2) 或 logspace(dl，d2，n)。logspace(dl，d2) 在 两 个十进制数l0d1 和l0d2 之间产生一个由50个点组成 的矢量，这50个点彼此在对数上有相等的距离。 这就是说，在0.1rad／s与l00 rad／s之间将产生50 个点。为此输入命令 ω ＝logspace(-l，2)
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5．6 MATLAB绘制系统的频率特性图 利用MATLAB绘制系统的频率特性图，是指绘 制伯德图、奈奎斯特曲线等，所用的函数主要是 Control SystemToolbox中的bode、nyquist等函数。 命令nyquist可以计算连续时间、线性定常系统的 频率响应。当命令中不包含左端变量 时，nyquist仅在屏幕上产生奈奎斯特图。 命令nyquist(num，den)将在屏幕上画出下列传递 函数的奈奎斯特图
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2．伯德图上的稳定判据极坐标图上的奈奎 斯特判据虽然应用简单，判断闭环系统的稳定性 较为方便，但前提是首先要画出开环系统的幅相 频率特性曲线。由于该曲线作图并不方便，因此， 有必要研究作图方便的伯德图上的奈奎斯特.15。
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(1)极坐标图上以原点为圆心的单位圆对应于对 数坐标图上的0dB线[A(ω)＝l时，L(ω)=20lg l＝0]。 L(ω)在ωc处穿越0dB线，因此又称ωc为增益穿越频 率。 (2)极坐标图上的负实轴对应于对数坐标图上的 φ(ω)=-180。线，这样，极坐标图上的 (-1，j0)一个点和对数坐标图上0dB线及-180º 两条线 对应起来。某系统的开环频率特性的 极坐标图和对数坐标图的对照如图5.15所示。 伯德图上的奈奎斯特稳定判据可表达为： 若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件 是，当L(ω)线过0dB线时，φ(ωc)在 -π线上方或当φ(ω)线到达-π时，L(ω g)在0dB线下方。
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在这些特殊点间适当地取一些点，逐点连接成一条平 滑曲线，就得到了系统的极坐标图，如图5.2所示。在作图 时，规定逆时针方向为正角度，顺时针方向为负角度。 G(ω)的极坐标因由于在绘制时需要逐点作出，因此 不便于徒手作图。通常只是徒手绘制出极坐标的草图，作 分析图。若要精确作图，可借助于计算机，如利用 MATLAB来完成G(ω)的极坐标图的绘制。 9
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5.5 系统的稳定裕量 一个正常工作的系统必须是一个稳定的系统， 但不同稳定系统的相对稳定性并不完全相同，也就 是它的稳定裕量不同。稳定裕量是控制系统中必须 考虑的一个问题，因为系统的稳定 度与系统的暂态 响应有着密切的关系。控制系统中表征系统稳定程 度的指标常用相角裕量和幅值裕量来表示，如图5.17 所示。 根据奈氏判据可知，系统开环幅相曲线临界点 附近的形状对闭环稳定性影响很大，曲线越是接 近临界点，系统的稳定程度就越差。当系统穿越 临界点时，系统处于临界稳定状态。
第5章 控制系统的频率分析
对于高阶系统，由于求解其特征方程的根较 为困难，因此，在工程上多采用图解分析法来研 究控制系统的性能。频率分析法作为一种常用的 图解分析法，由于具有物理意义明确，作图简单， 并可通过实验方法来获取一些结构参数不易确定 的控制系统的频率特性等特点，成为自动控制系 统中非常重要的分析方法之一，也是工程上应用 最为广泛的分析方法之一。
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(4)由低频段向高频段延伸，每经过一个交接频率， 斜率改变一次。因此，当低频段ω逐渐增加到ω=1 时遇到一个惯性环节，所以曲线斜率由-20dB／dec 增加到-40dB／dec；当ω=2时，系统遇到微分环节， 斜率又减小到-20 dB／dec；当ω=20时，系统又遇 到惯性环 节，斜率又变为-40dB／dec，如图5．13所示。 同理，系统的相频特性为 φ(ω)=-90º -arctanω+arctan(0.5ω)-arctan(0.05ω) 绘制的对数相频特性曲线如图5．13所示。
2．伯德图 伯德图又称为对数频率特性曲线，它包括对数幅 频曲线和对数相频曲线两种。对数频率特性曲线 的横坐标是频率ω，并按对数进行分度，单位为 弧度秒(rad／s)。
对数幅频特性曲线的纵坐标表示幅频的对数 值，均匀分度, 单位为分贝(dB)。对数相频特性曲 线的纵坐标表示相频特性的相角值，线性分度，单 位是度(º )。当横坐标ω从1变化到10时，相应的对 数分度lg(ω)的变化见表5．1。
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综上所述，求解系统频率特性主要有三种方法： (1)根据系统的微分方程求解稳态解。通过求解正 弦输入信号的稳态输出分量与输人情号的复数比得 到系统的频率特性。 (2)由于系统的频率特性是传递函数的特殊情况， 以s=jω代人传递函数，即得系统的 频率特性。 (3)通过实验方法测定。对于线性稳定系统，当输 入正弦信号的频率不断变化时，记录相应的输出， 绘出系统的幅频特性与相频特性，即得到系统的频 率特性。 注意：频率特性同传递函数一样，也是一种数学 模型，它也包含了系统的结构与参数，反映了系统 的结构性能。 7
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式中，num(s)和den(s)分别为以s的降幂排列的 分子、分母多项式系数向量。 命令nyquist(num，den，ω ) 利用了用户指定 的频率矢量ω 0矢量ω 指出了以rad／s表示 的诸频率点，在这些频率点上，将对系统的频 率响应进行计算。 当命令中包含左端变量时，即 [re， im， ω ] ＝nyquist(num，den) 或 [re， im， ω ] ＝nyquist(num， den， ω )