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练习题六：极限法A1、物体A 在倾斜角为θ的斜面上运动，如图所示。
若初速度为0v ，它与斜面间的摩擦系数为μ，在相同的情况下，A 上滑与下滑的加速度大小之比为：A. θθμθμθsin cos cos sin --B. θμθθμθcos sin cos s -+inC.θμtan + D.θμθθμcos sin cos -A2、如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m 0的平盘，盘中有一物体，质量为m 。
当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。
今向下拉盘使弹簧再伸长△L 后停止，然后松手放开。
设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ A ）。
A. mg L L )1(∆+B.g m m L L ))(1(0++∆C. Lmg ∆D. g m m LL)(0+∆ A3、如图所示，两点电荷所带电量均为+Q ，A 处有一电子沿两电荷连线的中垂线运动，方向指向O 点。
设电子原来静止，A 点离O 点足够远，电子只受电场力作用，那么电子的运动状态是（ ）。
AA.先匀加速，后匀减速；B.加速度越来越小，速度越来越大；C.加速度越来越大，速度越来越小；D.加速度先变大后变小，最后变为零。
用极限法考虑问题时，在选定的区域内所研究的物理量必须是连续单调变化的。
在本题中，A 到O 变化区域内，加速度a 并不是单调变化的，为什么也可以应用极限法呢?实际上我们选用了两个特殊点A 和O 点，只研究了这两个点附近区域a 的变化。
在A 点和O 点附近区域内a 仍是单调变化的。
在A 和O 之间还存一个a 为极大值的位置B 。
从A 到B ，a 是单调增大的，从B 到O ，a 是单调减小的。
将A 到O 分成两个单调区域，极限法可以使用了。
A4、设地球的质量为M ，人造卫星的质量为m ，地球的半径为R 0，人造卫星环绕地球做圆Aθm 0mO+Q+Q周运动的半径为r 。
试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度 )2(00rR g R v -=，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。
第十一届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准 （非数学类，2021年4月17日）一、填空题（本题满分30分，每小题6分）1、极限12(1)(1sin lim (1sin )n n x x π−+−=−______________.【解】122)(1sinlim n n x x ππ−+→−= 211(sin 1)11111sin 23!n x x x n n π+−+−==⋅=− 2、设函数()y f x =由方程32arctan(2)x y y x −=−所确定，则曲线()y f x =在点1,32P ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭处的切线方程为______________.【解】对方程32arctan(2)x y y x −=−两边求导，得22321(2)y y y x '−−'=+−.将点P 的坐标代入，得曲线()y f x =在P 点的切线斜率为5.2y '=因此，切线方程为5(3)122y x ππ⎛⎫−+=−− ⎪⎝⎭，即51224y x π=+−.3、设平面曲线L 的方程为220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，且通过五个点1(1,0)P −，2(0,1)P −，3(0,1)P ，4(2,1)P −和5(2,1)P，则L 上任意两点之间的直线距离最大值为______________.【解】将所给点的坐标代入方程得0042204220A D FB E F B E F A BCDEF A B C D E F −+=⎧⎪−+=⎪⎪++=⎨⎪+−+−+=⎪+++++=⎪⎩解得曲线L 的方程为223230x y x +−−=，其标准型为22(1)144/3x y −+=，因此曲线L 上两点间的最长直线距离为4.4、设()22()23arctan 3nx f x x x =+−，其中n 为正整数，则()(3)n f −=_________. 【解】记2()(1)arctan 3n x g x x =−，则()(3)()n f x x g x =+.利用莱布尼兹法则，可得1()()()0()!()(3)()n k n k nn k n k fx n g x C x g x −−=⎡⎤=++⎣⎦∑所以()22(3)!(3)(1)4!n n n f n g n π−−=−=−.5、设函数()f x 的导数()f x '在$[0，1]$上连续，(0)(1)0f f ==，且满足[]1124()?d 8()d 03f x x f x x '−+=⎰⎰ 则()f x =______________.【解】因为1110()d ()d ,()d 0f x x x f x x f x x =−''=⎰⎰⎰，且()1201441d 3x x x −+=⎰，所以()[]1112220124()d 8()d ()8()4()16164d 3()42d 0f x x f x x f x xf x f x x x x f x x x ''⎡⎤−+=+'−'+−+⎣⎦='+−=⎰⎰⎰⎰因此()24f x x '=−，2()22f x x x C =−+..由(0)0f =得0C =..因此2()22f x x x =−.二、（12分）求极限：11nn k =−.【解】记1nn k a ==−，则1111nnn n k k k a n===⎛==≤ ⎝. ....................... 3分因为1112((1)3n nk n kk k x x n ++==≤==+−∑⎰⎰，所以221133n a n ⎛<=+ ⎝ .................................................. 3分又01123nnkk k k x x −==≥==∑⎰⎰123nn k a =≥≥ 于是可得................221133n a n ⎛≤<+ ⎝3分三、（12分）设()()212313230,,cos ,sin d F x x x f x x x x πϕϕϕ=++⎰，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数.已知()213230cos ,sin d i iFf x x x x x x πϕϕϕ∂∂⎡⎤=++⎣⎦∂∂⎰， ()2221323220cos ,sin d i iFf x x x x x x πϕϕϕ∂∂⎡⎤=++⎣⎦∂∂⎰，1i =，2，3 试求22232221233F F F Fx x x x x ⎛⎫∂∂∂∂+−− ⎪∂∂∂∂⎝⎭并要求化简.【解】令1323cos ,sin u x x v x x ϕϕ=+=+，利用复合函数求偏导法则易知123,,cos sin f f f f f f f x u x v x u vϕϕ∂∂∂∂∂∂∂===+∂∂∂∂∂∂∂， 22222222222222222123,,cos sin 2sin f f f f f f f f x u x v x u u v vϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂===++∂∂∂∂∂∂∂∂∂ .................................... 4分所以2223222123F F F x x x x ⎛⎫∂∂∂+− ⎪∂∂∂⎝⎭222222222232222000 d d cos sin 2sin d f f f f f x u v u u v πππϕϕϕϕϕϕν⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂=+−++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰ 222222322sin sin 2cos d f f f x u u u v πϕϕϕϕ⎛⎫∂∂∂=−+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎰又由于203cos sin d F f f x u v πϕϕϕ∂∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰，利用分部积分，可得 22222222003222222223322002222322sin d cos d 11sin sin 2d sin 2cos d 22sin sin 2Ff u f v f u f v x u u v u v v f f f f x x u u v u v v f f f x u u v ππππϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕν⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=−−− ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂=−+∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰22cos d πϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰........................................ 4分所以222322212330F F F Fx x x x x ⎛⎫∂∂∂∂+−−= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ......................................................2分四、（10分）设函数()f x 在[0，1]上具有连续导数，且110053()d ,()d 22f x x x f x x ==⎰⎰.证明：存在(0,1)ξ∈，使得()3f ξ'=.【解】考虑积分[]10(1)3()d x x f x x −−'⎰ .................................................. 4分利用分部积分及题设条件，得[]111001111132000(1)3()d (1)[3()](12)[3()]d 3(21)d (12)()d 32()d 2()d 2x x f x x x x x f x x x f x xx x x x f x xx x f x x x f x x−−'=−−−−−=−+−⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰3523022=−+−= ...................................... 4分根据积分中值定理，存在(0,1)ξ∈，使得[](1)3()0f ξξξ−−'=，即() 3.f ξ'=........................................ 2分五、（12分）设122021,,,B B B 为空间3R 中半径不为零的2021个球，()ij A a =为2021阶方阵，其(,)i j 元ij a 为球i B 与j B 相交部分的体积.证明：行列式||1E A +>，其中E 为单位矩阵。
函数极限练习题1. 求极限：计算以下极限的值。
- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)- \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \)- \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) / (x - 1) \)2. 使用洛必达法则：求下列极限。
- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)（提示：使用洛必达法则）- \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \)3. 无穷小量比较：确定下列无穷小量的阶数。
- \( x \) 相对于 \( \sin x \) 的阶数- \( x^2 \) 相对于 \( e^x \) 的阶数4. 夹逼定理的应用：使用夹逼定理求下列极限。
- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)- \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \)5. 函数的连续性：判断下列函数在 \( x = 0 \) 处是否连续，并说明理由。
- \( f(x) = \frac{x^2}{x} \)- \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \)6. 函数的可导性：判断下列函数在 \( x = 0 \) 处是否可导，并说明理由。
- \( h(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \)- \( i(x) = \frac{1}{x} \)（提示：考虑 \( x \) 的正负）7. 泰勒展开：将函数 \( e^x \) 在 \( x = 0 \) 处进行泰勒展开，至少展开到 \( x^3 \) 项。
8. 函数的极限存在性：判断下列函数的极限是否存在，如果存在，求其值。
- \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \)- \( \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) \)9. 函数的单调性：证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x > 1 \) 时是递增的。
数学极限练习题有答案数学极限是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
掌握极限的求解是理解微积分的基础。
以下是一些数学极限的练习题，包括它们的解答。
# 练习题1求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0或无穷大时，可以使用洛必达法则。
首先，我们对分子和分母求导：\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \]然后求新的极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 \]所以，原极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
# 练习题2求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3}\)。
解答：当 \(x\) 趋向于无穷大时，最高次项将主导整个表达式。
因此，我们可以忽略低次项和常数项：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3 \]所以，原极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3} = 3\)。
# 练习题3求极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\)。
解答：这是一个简单的多项式函数，我们可以直接代入 \(x = 1\)：\[ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = (1)^2 - 1 = 0 \]所以，原极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)。
# 练习题4求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
解答：使用泰勒展开，我们知道：\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \]所以：\[ 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2) \]代入原极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} + \lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} \]由于 \(o(x^2)\) 相对于 \(x^2\) 是高阶无穷小，所以极限为：\[ \lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0 \]因此，原极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)。
极限的运算练习题本文档提供了一些极限运算的练题，旨在帮助您提高解决这类问题的能力。
请按照题目要求进行计算，并在答案的后面进行简要解答。
问题一计算以下极限：$$\lim_{x \to 2} (x^3 - 8) / (x - 2)$$答案和解答：首先将$x^3 - 8$因式分解为$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$，然后我们可以简化极限表达式为：$$\lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4)$$将$x$代入表达式，可得：$$(2^2 + 2 \cdot 2 + 4) = 12$$所以，极限的结果为12。
问题二计算以下极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$$答案和解答：这个极限是非常经典的，我们知道当$x \to 0$时，$\sin(x) \to 0$，而分母$x \to 0$，所以可以使用洛必达法则进行计算。
洛必达法则告诉我们，对于形式为$\frac{f(x)}{g(x)}$的极限表达式，当$f(x)$和$g(x)$都在$x \to a$时趋于0或无穷大时，如果$f'(x)$和$g'(x)$都存在且$g'(x) \neq 0$，则可以计算$\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
在这个问题中，我们有$f(x) = \sin(x)$和$g(x) = x$，它们在$x \to 0$时都趋于0，然后我们对$f(x)$和$g(x)$分别求导，得到$f'(x) = \cos(x)$和$g'(x) = 1$。
按照洛必达法则，我们可以计算：$$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1$$所以，极限的结果为1。
问题三计算以下极限：$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$$答案和解答：这个极限是以自然对数常数$e$定义的一个重要极限，即$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$。
数学极限特难练习题1. 计算以下极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\]提示：利用洛必达法则或者几何意义求解。
2. 求极限：\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\]提示：识别为自然对数的底数e的定义。
3. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2}\]提示：使用泰勒级数展开或洛必达法则。
4. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\]提示：考虑自然对数函数在x=0处的导数。
5. 计算极限：\[\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^3 - 5x + 1}提示：将分子分母同时除以分母中x的最高次幂。
6. 求极限：\[\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\]提示：分子可以进行因式分解。
7. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\]提示：使用三角恒等式或洛必达法则。
8. 求极限：\[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\]提示：考虑对数函数与多项式函数的增长速度。
9. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}\]提示：分析正弦函数的有界性。
10. 求极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}提示：使用泰勒级数展开或洛必达法则。
数学极限练习题在数学中，极限是一个重要的概念。
它用于描述函数或数列在某一点或者趋近无穷时的行为。
极限问题是数学分析中的基础内容，也是各门数学学科中常见的一类问题。
本文将介绍一些常见的数学极限练习题，旨在帮助读者加深对极限概念的理解并提高解题能力。
1. 计算极限：求下列极限的值。
a) 极限：lim(x→1) [(x^2 + 2x + 1) / (x - 1)]b) 极限：lim(x→∞) [(5x^2 + 3x - 1) / (2x^2 - x + 4)]c) 极限：lim(x→0) [sin(2x) / x]2. 求解无穷极限：计算下列函数的无穷极限。
a) 极限：lim(x→∞) [(3x - 1) / (2x + 5)]b) 极限：lim(x→∞) [e^x / (x^2 + 1)]c) 极限：lim(x→∞) [√(x^2 + 3x) - x]3. 判断极限存在性：判断下列极限是否存在。
a) 极限：lim(x→0) [(x^2 - x) / (|x|)]b) 极限：lim(x→∞) [(x^3 + 2x^2 - 4) / (x^3 - x^2 + 1)]c) 极限：lim(x→1) [(x - 1) / (x^2 - 1)]4. 应用题：解决实际问题。
一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，求汽车行驶2小时后的位置极限。
解答思路：汽车的匀速行驶可用函数表示。
假设汽车行驶的距离为D，时间为t，则有D = 60t。
当t趋近于2时，D的极限即为所求。
解答步骤：1) 极限：lim(t→2) 60t2) 由极限的性质，常数倍数法则，极限等于常数与极限的乘积，得到60 * lim(t→2) t3) 将t视为自变量，计算t的极限。
由于t是自变量，且没有其他条件对t加以限制，t趋近于2时，极限即为2。
4) 代入极限结果，得到最后答案：60 * 2 = 120公里。
通过以上解答步骤，可以得出汽车行驶2小时后的位置极限为120公里。
极限计算练习题一、基本极限计算(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (1 cos x) / x^2(3) lim(x→π/4) (tan x 1) / x π/4(1) lim(x→0) (e^x 1) / x(2) lim(x→0) (ln(1+x) / x)(3) lim(x→+∞) (1/x ln(1+1/x))二、含参数极限计算(1) lim(x→0) (sin ax / x)(2) lim(x→0) (1 cos bx) / x^2(3) lim(x→π/2) (tan(cx) 1) / (x π/2)(1) lim(x→+∞) (e^(kx) 1) / x(2) lim(x→∞) (ln(1+mx) / x)(3) lim(x→+∞) (1/x^n ln(1+1/x^n))三、复合函数极限计算(1) lim(x→0) (sin x^2 / x^2)(2) lim(x→1) (e^(x^2 1) 1) / (x 1)(3) lim(x→0) (ln(1+sin^2 x) / x^2)(1) lim(x→0) (1 cos x^3) / x^6(2) lim(x→+∞) (x ln x) / x(3) lim(x→+∞) (x^2 arcsin(1/x)) / x四、无穷小比较与等价无穷小(1) sin x 与 x(2) 1 cos x 与 x^2(3) e^x 1 与 x(1) lim(x→0) (sin^3 x / x^3)(2) lim(x→0) (e^x 1 x) / x^2(3) lim(x→0) (arctan x x) / x^3五、极限存在的判定与证明(1) lim(x→0) (sin x / x^2)(2) lim(x→1) (1 x^2) / (1 x)(3) lim(x→+∞) (x ln x)(1) lim(x→0) (x sin x)(2) lim(x→+∞) (ln x / x)(3) lim(x→+∞) (x / e^x)六、分段函数极限计算(1) lim(x→0) [x^2 sin(1/x) / (1 cos x)](2) lim(x→0) [x^2 / (e^(1/x) 1)](3) lim(x→1) [(x 1) / (1 √x)](1) lim(x→0) [x / (|x| + sin x)](2) lim(x→π) [(x π)^2 / sin(x π)](3) lim(x→+∞) [(x^2 + 1) / (x^2 x + 1)]七、含有绝对值的极限计算(1) lim(x→0) [|x| / sin|x|](2) lim(x→0) [(|x| 1) / (1 |x|)](3) lim(x→1) [(1 |x 1|) / (x 1)](1) lim(x→0) [x^2 / (1 |x|)](2) lim(x→0) [(1 |x|) / x^2](3) lim(x→+∞) [|x| / (x^2 + 1)]八、含有指数函数的极限计算(1) lim(x→0) [(a^x 1) / x](2) lim(x→+∞) [(a^x + b^x) / (a^x b^x)](3) lim(x→∞) [(1 + x)^1/x](1) lim(x→0) [e^(ax) / (e^x 1)](2) lim(x→+∞) [x^2 / (e^x e^(x))](3) lim(x→+∞) [ln(x^2 + 1) / ln(e^x)]九、含有对数函数的极限计算(1) lim(x→1) [(ln x) / (x 1)](2) lim(x→0) [(ln(1 + x^n)) / (ln(1 + x))](3) lim(x→e) [(ln x) / (x e)](1) lim(x→+∞) [(ln x) / (x)](2) lim(x→1) [(ln(x^2)) / (x 1)](3) lim(x→0) [(ln(1 + e^x)) / x]十、综合极限计算(1) lim(x→0) [(sin x x + x^3/6) / (x^5)](2) lim(x→+∞) [(x^2 + ln x) / (x^2 ln x)](3) lim(x→π/2) [(tan x tan(π/4)) / (x π/4)](1) lim(x→0) [(1 cos x) / (x^2 + sin^2 x)](2) lim(x→1) [(x^2 ln x) / (1 e^(1x))](3) lim(x→+∞) [(x ln x) / (x + ln x)]一、基本极限计算1.(1) 1(2) 1/2(3) 12.(1) 1(2) 1(3) 1二、含参数极限计算1.(1) a(2) b^2/2(3) c/(c^2 1) 2.(1) k(2) m(3) 1/n三、复合函数极限计算1.(1) 1(2) 2(3) 1/2(1) 1/6(2) 1(3) 1四、无穷小比较与等价无穷小1.(1) 是，等价无穷小(2) 否，不是等价无穷小(3) 是，等价无穷小2.(1) 1(2) 1/2(3) 1/6五、极限存在的判定与证明1.(1) 不存在(2) 存在，值为 2(3) 存在，值为 02.(1) 存在，值为 0(2) 存在，值为 0(3) 存在，值为 0六、分段函数极限计算1.(2) 0(3) 1/22.(1) 0(2) 0(3) 1七、含有绝对值的极限计算1.(1) 1(2) 不存在（左极限为1，右极限为1）(3) 不存在（左极限为1，右极限为1）2.(1) 0(2) 不存在(3) 0八、含有指数函数的极限计算1.(1) ln a(2) 1(3) e2.(1) 1/(a1)(2) 1九、含有对数函数的极限计算1.(1) 1(2) n(3) 1/e2.(1) 0(2) 2(3) 1十、综合极限计算1.(1) 1/120(2) 1(3) 12.(1) 1/2(2) 不存在（因为当x→1时，分子趋向于0，而分母趋向于负无穷）(3) 1。
一、 极限问题1. ==∞→)]()2()1(ln[1lim ,)(43n f f f n a x f n x 2. ⎰=--→x tx x dt e x 0)(50)1(1lim 23. =∞→2)1arctan(lim x x x x 4. =++++++∞→)4116141(lim 2222nn n n n5. 设)0(lim tan 0≠=-→c c x e e k x x x ，则=k ，=c6. 1lim ln 1x x x x x x →-=-+ 7. 对于函数121211+-=xxy ，点0=x 是 （ ）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.可去间断点8. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim 9. =-+--++→11211lim 4220x x x x 10. 求|)sin(|lim 2n n n +∞→π 11. 若⎰-=+->→→x x x x x dt t a t x x a 0620]3tan )6[sin(lim sin 1lim ,0ππ，则=a 12. 已知当x 大于21且趋向于21时，x arccos 3-π与bx a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21为等价无穷小，则=a ，=b13. 111lim()414242n n n n n→∞++++++ 14. 已知)0(,0)0(f f '=存在，求)]()2()1([lim 222n nf n f n f n +++∞→15. 设)(x f '连续，0)0(=f ，0)0(≠'f ，求22()lim()x xx f t dt xf t dt→⎰⎰16. 当0→x 时，x x x x cos sin sin 43+-与nx 为同阶无穷小，则=n17. 当0→x 时，1)1ln(--+x e x与n x 是同阶无穷小，则=n 18. 0→x 时，x x x x 2cos cos sin -与kcx 为等价无穷小，则=c19. 已知数列}{n na 收敛，∑∞=--21)(n n na an 也收敛，求证：∑∞=1n n a 收敛20. 一点先向正东移动a m ，然后左拐弯移动aq m （其中10≤≤q ），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离是前一段的q 倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？二、 一元微分问题1. 4),1ln()(4>-=n x x x f 时=)0()(n f2. 若)99100()23)(12()(---=x x x x x f ，则=')0(f3. 设n m n n x dxd x P )1()(-=，其中n m ,为正整数，则=)1(P 4. 已知x x f dx d 1)]([3=，则=')(x f5. 设由x x y x e y +=-+-1)(确定)(x y y =，则='')0(y6. 函数||)23()(32x x x x x f -++=的不可导点的个数为7. 试比较e π与πe 的大小8. 已知函数)(x y y =由方程组⎩⎨⎧=++=-+01,0)1(y te t t x y 确定，求022|=t dx yd9. 函数)(),(2y b ax e y x f x -+=-中常数b a ,满足条件 时，)0,1(-f 为其极大值。
