工程问题的方程(详解)

一元一次方程应用题之工程问题工程问题：工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

关系式为：①工作量=工作效率×工作时间。

②工作时间=工作效率工作量，③工作效率=工作时间工作量。

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t ，则工作效率为t1。

常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。

②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。

例题：例1.一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。

现在三管齐开，需多少时间注满水池？例2.一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要20天完成,两队同时工作3天后,乙队采用新技术,工作效率提高了25%,自乙队采用新技术后,两队还需要同时工作多少天才能完成这项工程?针对练习：1.某中学的学生自己动手整修操场，如果让初一学生单独工作，需要7.5小时完成；如果让初二学生单独工作，需要5小时完成。

如果让初一、初二学生一起工作1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需几小时完成？2.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共花12天完成，问乙做了几天？3.整理一批图书，由一个人做要40小时完成。

现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。

假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作。

4.某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？5.整理一批数据，由一个人做需80小时完成任务。

现在计划由一些人先做2小时，再增加5人做8小时，完成任务这项工作的3/4。

怎样安排参与整理数据的具体人数？行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。

分式方程是高中数学中的一个重要知识点，它在工程问题和路程问题中有着广泛的应用。

通过分式方程，可以解决诸如管道工程、水利工程、交通运输等方面的实际问题。

本文将从工程问题和路程问题两个方面来探讨分式方程的应用思路。

一、工程问题中的分式方程应用1.1 管道工程在管道工程中，经常会遇到液体或气体在管道中流动的问题。

假设一个长为L的管道中有两个孔，已知从第一个孔流出液体的速度为V1，从第二个孔流出液体的速度为V2，要求求出流出液体的总量。

我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{x}{V1} + \frac{L-x}{V2} = T$其中，x表示从第一个孔流出液体的时间，L-x表示从第二个孔流出液体的时间，T表示总时间。

通过解这个分式方程，可以求出流出液体的总量。

1.2 水利工程在水利工程中，经常需要计算水库的注水和排水问题。

假设一个水库的注水管每分钟注入水量为A，排水管每分钟排水量为B，如果注水管和排水管同时开启，求出水库的水位变化规律。

我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{dV}{dt} = A - B$其中，dV/dt表示水库水位随时间的变化率。

通过解这个分式方程，可以求出水库水位随时间的变化规律。

1.3 其他工程问题除了管道工程和水利工程，分式方程还可以应用于其他工程问题，如风力发电机组的发电功率问题、地基沉降速度问题等。

在解决这些问题时，我们可以根据实际情况建立相应的分式方程，然后通过求解方程得出问题的答案。

二、路程问题中的分式方程应用2.1 交通运输在交通运输中，经常需要计算车辆的行驶时间和行驶距离。

假设一辆车以速度V1从A地出发到B地，再以速度V2从B地返回A地，已知车辆的往返总时间为T，求出车辆的行驶距离。

我们可以建立如下的分式方程来解决这个问题：$\frac{2x}{V1} + \frac{2(L-x)}{V2} = T$其中，x表示车辆往返的时间，L-x表示车辆返回的时间，T表示总时间。

分式方程应用题—工程问题工程问题：这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。

它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间。

列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。

特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。

【类型一】工作量不统一，时间相同的工程问题，以时间为等量关系： 实际效率实际工作量原计划效率原计划工作量 1.某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。

2.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

3.某化肥厂计划在规定日期内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，求计划每天生产多少吨化肥？4.A 做90个零件所需要的时间和B 做120个零件所用的时间相同，又知每小时A 、B 两人共做35个机器零件。

求A 、B 每小时各做多少个零件。

【类型二】前后效率不同，时间提前了，以时间为等量关系： 提前的时间实际效率工作量计划效率工作量 - 1、某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%。

问原计划这项工程用多少个月。

3.某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？4.某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？5.某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的212倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？6.打字员甲的工作效率比乙高%25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？7.现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。

五、工程问题：一般情况下把工作总量看成单位1，公式：工作时间×工作效率=工作总量（单位1）如：一项工程甲队需30天完成任务，则甲每天完成工作量的1/30130，则工作效率为1/30130；如果乙队需要20天完成任务，则甲每天完成工作量的1/20120，则工作效率为1/20120，两人一起可以完成（1/20+1/30）——工作效率之和1、某件文件需要打印，小李独立完成需要6个小时，小王独立完成需要8个小时，如果两人合作的话，需要多少时间可以完成。

设需要x小时两人合作可以完成，（牢记公式：工作效率（包括工作效率之和）×工作时间＝工作总量）则可列方程：（1/6 + 1/8）x＝12、一项工作甲工程队单独施工需要30天才能完成，乙队单独需要20天才能完成。

现在由甲队单独工作5天之后，剩下的工作再由两队合作完成，问他们需要合作多少天？.（分析：甲乙队合作之前，由甲队单独已完成的工作量为5×1/30；甲乙合作之后的工作效率之和为1/30 + 1/20；则可设他们需要合作x天。

）解：设甲、乙两队需要合作x天，可完成剩下的所有工作，根据题意，得：5×1/30 +（1/30 + 1/20）x＝15/30 + 5/60x＝15/60x＝1-5/305/60x＝25/30x＝25/30÷5/60x＝25/30×60/5x＝10（检验：5×1/30 + 10×1/30 + 10×1/20＝1，符合题意。

）答：甲、乙两队需要合作10天，可完成剩下的所有工作.3、一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？（分析：甲、乙合作4天所完成的工作量为(1/10 + 1/15)×4，若设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，则合作之后乙单独完成的工作量为1/15x）答：设剩下的部分由乙单独做需要x天完成，根据题意，得：（1/10 + 1/15）×4 + 1/15x＝15/30×4 + 1/15x＝120/30 + 1/15x＝11/15x＝1-20/301/15x＝10/30x＝10/30÷1/15x＝10/30×15x＝5(检验：1/10×4 + 1/15×4 + 1/15×5＝1符合题意。

在解决工程问题时，经常会遇到需要运用一元一次方程的情况。

一元一次方程是数学中常见的问题类型，它可以通过代数式来描述一个未知数和一定数值之间的关系。

在工程中，解决一元一次方程问题需要系统性的思考和分析，因此在本文中，我将从浅入深地介绍工程问题中一元一次方程的解题思路，并共享一些个人观点和理解。

1. 了解一元一次方程的基本概念我们需要了解一元一次方程的基本概念。

一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次幂为1的方程。

一般形式可以表示为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。

在工程中，我们经常会遇到类似于“某物体的重量减去5等于10”的问题，这就可以用一元一次方程来表示和解决。

2.分析工程问题并提取关键信息在解决工程问题的一元一次方程时，首先需要将问题分解并提取出关键信息。

一个典型的工程问题可能是“甲乙两人合力拉一根长40m的绳子，甲拉的力是乙的3倍，求甲乙两人各自的拉力是多少？”这个问题中，我们需要提取出“甲拉的力是乙的3倍”这个关键信息，并将其转化为一元一次方程的形式。

这个步骤需要逻辑清晰和思维严谨，以确保问题的关键信息被全面提取。

3.建立一元一次方程一旦关键信息被提取出，我们就可以开始建立一元一次方程了。

以前面提到的问题为例，设甲的拉力为x，乙的拉力为y，则根据“甲拉的力是乙的3倍”这个信息，可以建立方程x=3y。

此时我们就成功地将问题转化为一元一次方程的形式。

4.求解方程并验证结果建立方程后，接下来就是求解方程并验证结果了。

在这个例子中，我们可以将x=3y代入长度40m的绳子的情况下，利用一元一次方程求解出甲、乙两人各自的拉力分别是多少。

还需要验证方程的结果是否符合实际情况，因为有时候方程的解并不一定是合理的。

5.总结与展望在工程问题中，解题思路的关键是要有一定的数学思维和逻辑能力，能够将复杂的工程问题转化为简单的数学形式。

也需要灵活运用一元一次方程的知识，并且结合实际情况，才能做出准确的解答。

《一元一次方程：工程问题》【基本知识】工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1解工程问题时，常将工作总量当作整体“1”．基本关系为：工作效率×工作时间=1（工作总量）等量关系：(图示法)工作总量=工作效率×工作时间全部工作量之和=各队工作量之和，各队合作工作效率=各队工作效率之和工作总量不清楚时看成“1”1．工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间=工作总量工作效率工作时间=工作总量工作时间工作效率2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．一、【求时间】1、一项工程甲做40天完成，乙做50天完成，现在先由甲做，中途甲有事离去，由乙接着做，共用46天完成．问甲、乙各工作了多少天？【分析】由题意知，甲每天完成全部工作量的140，乙每天完成150，【解】设工程总量为1，设甲工作了x天，则乙工作了（46x-）天，根据题意，得4614050x x-+=．解得16x=，则461630-=（天）．故甲工作了16天，乙工作了30天．答：甲工作16天，乙工作30天．2、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？【分析】设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

【解】设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，5365331123)121151(===+⨯+x x 解之得 答：乙还需536天才能完成全部工程。

29、一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？【解】设还需x 天。

3101)3(151121310111511213151101==+++⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 解得或11、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？【解】设还需要x 天完成，依题意，得111()41101515x +⨯+= 解得x =5 答：还需要5天完成12、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?【解】设再用x 小时可全部完成任务1)121151(124151=+++x 解答：x = 4 答：再用4小时可全部完成任务18、某项工作甲单独做4天可完成，乙单独做8天可完成。