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高等数学考试题库和答案一、选择题1. 极限的定义是（）。
A. 函数在某点的增量B. 函数在某点的导数C. 函数在某点的值D. 函数在某点的无穷小变化答案：D2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4在x = 1处的导数是（）。
A. 6B. 2C. 5D. 4答案：C3. 曲线y = x^3 - 3x + 1在x = 1处的切线斜率是（）。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A4. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是（）。
A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B5. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题6. 函数f(x) = 2x + 3在x = 2处的值是_________。
答案：77. 极限lim(x→0) (1 + x)^(1/x)的值是_________。
答案：e8. 函数f(x) = x^2的二阶导数是_________。
答案：29. 曲线y = e^x在x = 0处的切线方程是_________。
答案：y = x + 110. 定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx的值是_________。
答案：1三、解答题11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5在区间[0, 3]上的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1, 3。
检查二阶导数f''(x) = 6x - 12，f''(1) = -6 < 0，所以x = 1是极大值点；f''(3) = 6 > 0，所以x = 3是极小值点。
12. 求曲线y = ln(x)绕x轴旋转一周所形成的立体的体积。
解：使用圆盘法，体积V = ∫(1 to e) π[ln(x)]^2 dx。
高等数学试题及参考答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值。
A. 0B. 1C. 2D. \(\infty\)答案：B3. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)答案：A4. 函数 \(y = e^x\) 的导数是？A. \(e^x\)B. \(-e^x\)C. \(\ln(e)\)D. \(\frac{1}{e^x}\)答案：A5. 计算定积分 \(\int_0^1 x^2 dx\) 的值。
A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A二、填空题（每题6分，共30分）1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的反函数是 \(y = \boxed{e^x}\)。
2. 函数 \(y = x^2 + 2x + 1\) 的最小值是 \(\boxed{0}\)。
3. 函数 \(y = \sin(x)\) 的周期是 \(\boxed{2\pi}\)。
4. 函数 \(y = \frac{1}{x}\) 的不定积分是 \(\boxed{\ln|x| + C}\)。
5. 函数 \(y = \cos(x)\) 的导数是 \(\boxed{-\sin(x)}\)。
完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。
1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。
A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。
A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。
A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。
A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。
A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。
A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。
A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。
A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。
A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。
A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。
高等数学试题库及答案doc一、选择题1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A2. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是多少？A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是 __________。
答案：12. 函数 f(x) = x + 1 在 x = 2 处的导数是 __________。
答案：1三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x 的导数。
解：f'(x) = 3x^2 - 4x + 32. 计算定积分∫(0 到 1) x^2 dx。
解：∫(0 到 1) x^2 dx = [1/3 * x^3] (从0到1) = 1/3四、证明题1. 证明函数 f(x) = e^x 是严格单调递增的。
证明：设任意 x1 < x2，则 f(x1) - f(x2) = e^x1 - e^x2。
由于e^x 是严格单调递增的，所以当 x1 < x2 时，e^x1 < e^x2，从而f(x1) < f(x2)。
因此，函数 f(x) 是严格单调递增的。
五、应用题1. 一个物体从静止开始，以初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 2 m/s²。
求物体在前 3 秒内的位移。
解：根据匀加速直线运动的位移公式 s = 1/2 * a * t²，代入 a = 2 m/s²和 t = 3 s，得到 s = 1/2 * 2 * 3² = 9 m。
六、论述题1. 论述微积分在物理学中的应用。
答案：微积分在物理学中有广泛的应用，例如在力学中计算物体的运动轨迹、在电磁学中分析电场和磁场的变化、在热力学中研究温度分布等。
微积分的基本原理—极限和导数，为物理学家提供了一种强大的工具，用以描述和预测物理现象的变化趋势。
高等数学试题(含答案)高等数学试题（含答案）一、选择题1.已知函数f(x)=x^2+3x+2，下列哪个选项是f(x)的导数？A. 2x+3B. 2x+2C. x^2+3D. 3x+22.若函数f(x)=e^x，那么f'(x)等于：A. e^-xB. e^xC. ln(x)D. e^x+13.设函数y=f(x)在点x=2处可导，且f'(2)=3，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 1D. 6二、计算题1.计算极限lim(x→1) [(x-1)/(x^2-1)]答案：1/22.计算积分∫(0 to 1) (2x+1) dx答案：3/23.设曲线C的方程为y=x^3，计算曲线C的弧长。
答案：∫(0 to 1) √(1+9x^4) dx三、证明题证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)可导，那么必然存在c∈(a,b)，使得 f'(c) = [f(b)-f(a)] / (b-a)。
证明过程：由于f(x)在区间[a,b]上连续，根据连续函数的介值定理，f(x)在[a,b]上会取到最大值M和最小值m。
设在点x=c处取得最大值M（即f(c)=M）。
根据费马定理，如果f(x)在点x=c处可导，并且f'(c)存在，那么f'(c)=0。
由于f(x)在(a,b)可导，故f'(c)存在。
那么，根据导数的定义，f'(c)=[f(c)-f(a)]/(c-a)。
又因为f(c)=M，将其代入上式得到f'(c)=(M-f(a))/(c-a)。
同理，根据费马定理，如果f(x)在点x=d处取得最小值m（即f(d)=m），那么f'(d)也等于0。
将f(d)=m代入上式得到f'(d)=(m-f(a))/(d-a)。
由于f(x)是连续函数，故在区间[a,b]上必然存在一个点c∈(a,b)，使得它处于最大值M和最小值m之间，即m<f(c)<M。
高等数学考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. x^2+2C. 2xD. 2x+1答案：A2. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. -3答案：C3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. πD. -1答案：B4. 不定积分∫x^2 dx等于：A. (x^3)/3 + CB. x^3 + CC. (x^2)/2 + CD. 2x^3 + C答案：A5. 函数y=e^x的原函数是：A. e^x + CB. e^x - CC. e^(-x) + CD. -e^x + C答案：A6. 函数y=ln(x)的二阶导数是：A. 1/x^2B. 1/xC. -1/x^2D. -1/x答案：A7. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A8. 函数y=x^3-3x的拐点是：A. (0,0)B. (1,-2)C. (-1,2)D. (2,2)答案：C9. 函数y=x^2-4x+4的极值点是：A. (2,0)B. (0,4)C. (4,0)D. (-2,0)答案：A10. 函数y=sin(x)的周期是：A. 2πB. πC. 1D. 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的导数是_________。
答案：3x^212. 曲线y=cos(x)在点(π/2,0)处的切线斜率是_________。
答案：013. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是_________。
答案：014. 不定积分∫1/x dx等于_________。
答案：ln|x| + C15. 函数y=e^(-x)的原函数是_________。
答案：-e^(-x) + C三、解答题（每题10分，共50分）16. 求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,3]上的最大值和最小值。
高等数学试题及答案大全一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是（）。
A. 0B. 3C. 4D. 5二、填空题1. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 1处的导数为5，则原函数在x = 1处的值为______。
2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x = 2处的切线斜率为______。
三、解答题1. 求函数f(x) = ln(x) + 1的导数，并说明其在x = e处的导数值。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
2. 证明等差数列的前n项和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x + 200，销售价格为P(x) = 50 - 0.05x，其中x表示产品数量。
求该工厂的盈利函数，并求出其盈利最大时的产品数量。
2. 一个圆的半径为r，求其面积与周长的比值。
答案：一、选择题1. C解析：函数y = e^x不是周期函数，其他选项都是周期函数。
2. D解析：函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数为f'(x) = 2x + 3，令其等于0，解得x = -3/2，但x = -3/2不在区间[-5, 2]内。
检查区间端点，f(-5) = -8，f(2) = 5，因此最大值为5。
二、填空题1. -1解析：由f'(x) = 2，且f'(1) = 5，可得f(1) = f'(1) * (1 - 0) + f(0) = 5 + f(0)，又因为f(0) = -3，所以f(1) = 5 - 3 = 2。
2. -4解析：由y' = 3x^2 - 4x + 1，代入x = 2，得y' = 3 * 2^2 - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5。
高等数学试题及及答案高等数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-2x+1的最小值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 22. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数y=e^x的导数是（）。
A. e^xB. -e^xC. 1/e^xD. 04. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 25. 积分∫(0 to 1) (x^2 dx)的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=3x^2-6x+5的顶点坐标是（）。
7. 函数y=ln(x)的定义域是（）。
8. 函数y=x^3的二阶导数是（）。
9. 曲线y=e^x与直线y=x相切的切点坐标是（）。
10. 积分∫(0 to 1) (x dx)的值是（）。
三、解答题（每题15分，共60分）11. 求函数f(x)=x^3-3x+2在区间[-1, 2]上的定积分，并画出积分图。
12. 求极限lim(x→∞) ((x^2+1)/(x^3+x))。
13. 求函数y=x^2-4x+3的极值点，并说明极值点的性质。
14. 求曲线y=x^2+2x-3在点(1, -2)处的切线方程。
四、附加题（10分）15. 证明：对于任意正整数n，有1/n^2 < 1/(n^2-1) + 1/(n^2+1)。
答案：一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. (1, 2)7. (0, +∞)8. 6x9. (1, e)10. 1/2三、解答题11. ∫(-1 to 2) (x^3-3x+2 dx) = (1/4x^4 - 3/2x^2 + 2x) | (-1 to 2) = 17/4积分图略。
12. 原式=lim(x→∞) (x^2+1)/(x^3+x) = lim(x→∞) (1/x + 1/x^3) = 013. y'=2x-4，令y'=0，得x=2，此时y=3，为极小值点。
高等数学考试题库及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。
A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2xD. x^2+2答案：A2. 函数y=sin(x)的不定积分是（）。
A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案：B3. 极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D4. 微分方程y'=y的通解是（）。
A. y=e^xB. y=e^(-x)C. y=e^x+CD. y=e^(-x)+C答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+2x的二阶导数是（）。
A. 6x-6B. 6x-3C. 6x^2-6xD. 6x^2-6答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数y=x^3的一阶导数是______。
答案：3x^27. 函数y=e^x的不定积分是______。
答案：e^x+C8. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2+1)的值是______。
答案：09. 微分方程y''-2y'+y=0的特征方程是______。
答案：r^2-2r+1=010. 函数y=ln(x)的二阶导数是______。
答案：-1/x^2三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数y=x^2-4x+3的极值点。
解：首先求导数y'=2x-4，令y'=0，解得x=2。
然后求二阶导数y''=2，因为y''>0，所以x=2是极小值点。
将x=2代入原函数，得到极小值y=1。
12. 求极限lim(x→1) (x^3-3x^2+3x-1)/(x-1)。
解：首先将分子进行因式分解，得到(x-1)^3。
然后分子分母同时除以(x-1)，得到(x-1)^2。
所以极限为lim(x→1) (x-1)^2=0。
《高等数学》一.选择题1.当x →0时，y =ln(1+x )与下列那个函数不是等价的（）A)、y =xB)、y =sin xC)、y =1-cos xD)、y =e x -12.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3.下列各组函数中，f (x )和g (x )不是同一函数的原函数的有（）.A)、f (x )=221x 1e -e -x ,g (x )=e x -e -x 22()()B)、f (x )=ln x +a 2+x 2(),g (x )=-ln (x 2a 2+x 2-x)C)、f (x )=arcsin (2x -1),g (x )=3-2arcsin 1-x D)、f (x )=csc x +sec x ,g (x )=tan4.下列各式正确的是（）A ）、x x dx =2x ln 2+CB ）、sin tdt =-cos t +C⎰⎰C ）、dx11D ）、dx =arctan x (-)dx =-+C⎰1+x 2⎰x 2x5.下列等式不正确的是（）.d ⎡b d ⎡b (x )⎤=f (x )B ）、()f x dx f (x )dt ⎤=f [b (x )]b '(x )⎰⎰⎥⎥⎣a ⎦⎣a ⎦dx ⎢dx ⎢d ⎡x d ⎡x ⎤=f (x )D ）C ）、、()f x dx F '(t )dt ⎤=F '(x )⎰⎰⎥⎥⎣a ⎦⎣a ⎦dx ⎢dx ⎢A ）、⎰6.limx →0x 0ln(1+t )dt x=（）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47.设f (x )=sin bx ，则⎰xf ''(x )dx =（）xx、cos bx -cos bx +Ccos bx -sin bx +CB ）b bC ）、bx cos bx -sin bx +CD ）、bx sin bx -b cos bx +CA ）、8.⎰1xx b 0ef (e )dx =⎰af (t )dt ，则（）A ）、a =0,b =1B ）、a =0,b =eC ）、a =1,b =10D ）、a =1,b =e9.⎰π3-π(x2sin x )dx =()A ）、0B ）、2πC ）、1D ）、2π210.⎰1-1x2ln(x +x 2+1)dx =()A ）、0B ）、2πC ）、1D ）、2π211.若f (1x x )=x +1，则⎰1f (x )dx 为（）A ）、0B ）、1C ）、1-ln 2D ）、ln 212.设f (x )在区间[a ,b ]上连续，F (x )=⎰x af (t )dt (a ≤x ≤b )，则F (x )是f (x )的（A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[a ,b ]上的定积分13.设y =x -1dx 2sin x ，则dy =（）A）、1-12cos y B）、1-12cos x C）、22-cos y D）、22-cos x1+x -e x14.limx →0ln(1+x 2)=( )A-12B 2C 1D -115.函数y =x +x 在区间[0,4]上的最小值为（）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题x1.x +2x lim →+∞(x +1)2=______..）2.⎰2-24-x 2dx =113.若⎰f (x )e xdx =e x+C ，则⎰f (x )dx =d x 24.dx ⎰61+t 2dt =5.曲线y =x 3在处有拐点三.判断题1.y =ln 1-x1+x是奇函数.（）2.设f (x )在开区间(a ,b )上连续，则f (x )在(a ,b )上存在最大值、最小值.(3.若函数f (x )在x 0处极限存在，则f (x )在x 0处连续.（）4.⎰π0sin xdx =2.（）5.罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1.求lim tan 22xx →01-cos x.2.求lim sin mxx →πsin nx，其中m ,n 为自然数.3.证明方程x 3-4x 2+1=0在(0,1)内至少有一个实根.4.求⎰cos(2-3x )dx .5.求⎰1.x +3x 2dx ⎧6.设f (x )=⎪1⎨x sin x 2,x <0，求f '(x )⎪⎩x +1,x ≥07.求定积分⎰4dx01+x dx)π8.设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，若f(π)=2，⎰[f(x)+f''(x)]sin xdx=5，求f(0)..9.求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=e x所围成的平面图形绕x轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2.A3.D4.B5.A6.A7.C8.D9.A10.A11.D12.B13.D14.A15.B 二.填空题1.e2.2π3.+C4.2x 1+x 45.(0,0)三.判断题1.T 2.F 3.F 4.T 5.T 四.解答题1.8121x2.令t =x -π,limx →πsin mx sin(mt +m π)m=lim =(-1)m -n sin nx t →0sin(nt +n π)n 3.根据零点存在定理.4.⎰cos(2-3x )dx =-1cos(2-3x )d (2-3x )3⎰1=-sin(2-3x )+C35.令6xt ，则xt 6,dx 6t 5dt526t t 1原式dt 6dt 6(t 1)dt t 3t 41t 1tt 26t ln 1tC23x 6x 6ln 1x C366sinx 22x 22cos x ,x 0f (x)1,x 06.不存在，x 07.42ln38.解：f(x)sin xdxf(x)d(cosx)f()f(0)f (x)sin xdx所以f(0)39.V=e 10x 2112x 1dxe dxe d(2x)e 2x2212x 101(e 21)2《高等数学》试题2一.选择题1.当x0时，下列函数不是无穷小量的是（）A )、yx B )、y0 C )、yln(x 1) D )、ye x2.设f(x)2x 1，则当x0时,f(x)是x 的（）。
《 高等数学 》（A ）答卷命题教师_田正平_一、判断题（对的打，错的打；每空2分，共16分）1、 若极限)]()([lim 0x g x f x +→和)(lim 0x f x →都存在，则)(lim 0x g x →也存在。
（）2、 ∞=→xx e 1lim 。
（）3、 如果函数)(x f 在0x x =点连续，则函数)(x f 在0x x =点可微。
（ ）4、 点1-=x 是函数1)1()(32+-=x x f 的极值点。
（）5、 设函数⎰=)()(xdt t f x F ，则)()(x f x F -='。
（ ）6、 定积分2ln 214arctan 1-=⎰πxdx 。
（ ）7、 函数x x x e C e C e x x y 221221++⎪⎭⎫⎝⎛+-=是微分方程x xe y y y =+'-''23的通解。
（）。
二、填空题（每空2分，共20分）题目 一 二 三 四 五 总分 分值 16 20 30 16 18 100 得分得分1、12sin lim2=⎰→xtdtxx2、双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛31,3处的切线方程是3291+-=x y 3、不定积分C e x x dx e x x x ++-=⎰)22(224、2ln 211211312+=++⎰πdx xx 5、函数593)(23+--==x x x x f y 的极大值10max =y 6、隐函数)(x f y =由方程)sin(y x y +=所确定，则导数)cos(1)cos(y x y x dx dy +-+= 7、曲线22)(x x f y -==与x 轴所围成图形的面积=238 8、微分方程x e y dxdy-=+的通解是x e C x y -+=)( 三、选择题（每题5分，共30分）1、下列各式中正确的是（ A ）（A ）111lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛++→xx x (B)e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0(C) e x xx -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim (D) e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11lim2、下列各式中正确的是（ D ）（A ）⎰=')()(x f dx x f (B)⎰+=C x f dx x f dxd)()( (C) )()(x f dx x f dx d ba =⎰ (D) 0)(=⎰badx x f dx d3、若函数)(x f y =有2)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分dy是（ B ）（A ）与x ∆等价无穷小 (B) 与x ∆同阶无穷小 (C) 比x ∆低阶无穷小 (D) 比x ∆高阶无穷小4、函数xxee xf y -+==)(在区间)1,1(-内（ D ）（A ）单调增加 (B) 单调减少(C) 不增不减 (D) 有增有减5、微分方程xx y y ln '''=的通解是（ B ） （A ）21ln C x x C + (B) 21)1(ln C x x C +- (C) x x ln (D) 2)1(ln 1+-x x C四、计算题（每题4分，共16分）1、 求极限x x x 0lim +→。
解：设xx y =，则x x y ln ln =。
（1分）因为，0lim 11lim 1ln lim ln lim ln lim 020000=-=-===+++++→→→→→x xx x xx x y x x x x x ，（2分）所以，1lim 0==+→e x xx 。
（1分）2、求由曲线122=+y x 与x y 232=所围成的两个图形中较小的一块绕x 轴旋转所产 生的旋转体的体积。
解：作图如下：（1分）所以，较小的一块绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积是：481343)31(23)1(21221032102102=--=--=⎰⎰x x x xdx dx x V ππππ （3分） 3、 求定积分dx x ⎰1arctan 的值。
解：用分步积分法，可得：2ln 214)1ln(21414arctan arctan arctan 102121101-=+-=+-=-=⎰⎰⎰πππx dx x x xxd xx dx x （4分）五、证明题（每题9分，共18分）1、证明方程057323=--+-x x x e x在开区间()0,1-内至少有一个根。
2、k 是常数，证明：⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。
《 高等数学 》（B ）答卷命题教师_田正平_三、判断题（对的打，错的打；每空2分，共16分）1、 若极限)]()([lim 0x g x f x →和)(lim 0x f x →都存在，则)(lim 0x g x →也存在。
（）2、 ∞=+→xx e10lim 。
（）3、 如果函数)(x f 在0x x =点可导，则函数)(x f 在0x x =连续。
（ ）4、 点0=x 是函数1)1()(32+-=x x f 的极值点。
（）5、 设函数⎰=)()(xdt t f x F ，则)()(x f x F -='。
（ ）6、 定积分2ln 214arctan 1+=⎰πxdx 。
（ ）7、 函数xx e C e C y 221+=是微分方程023=+'-''y y y 的通解。
（）四、填空题（每空2分，共20分）1、+∞=⎰→22limx dt e x tx2、抛物线px y 2=在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的切线方程是2p x y +=题目 一 二 三 四 五 总分 分值 16 20 30 16 18 100 得分得分得分3、不定积分C x x x dx x x +-=⎰cos sin sin4、11=⎰dx xe x=5、函数593)(23+--==x x x x f y 的极大值22min -=y5、参数方程⎩⎨⎧=-=t a y t a x sin )cos 1(，则导数t dx dytan =6、曲线23)(2+-==x x x f y 与x 轴所围成图形的面积=617、微分方程x e y dx dy =+的通解是x x Ce e y -+=21三、选择题（每题5分，共30分）1、下列各式中正确的是（ C ）（A ）e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→11lim 0 (B)e x xx 111lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛++→(C) e x xx 111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→ (D) e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11lim2、下列各式中正确的是（ D ）（A ）⎰=')()(x f dx x f (B)⎰+=C x f dx x f dx d)()( (C) )()(x f dx x f dx d ba =⎰ (D) 0)(=⎰badx x f dx d3、若函数)(x f y =有0)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分dy 是（ D ）（A ）与x ∆等价无穷小 (B) 与x ∆同阶无穷小 (C) 比x ∆低阶无穷小 (D) 比x ∆高阶无穷小4、函数xxee xf y --==)(在区间)1,1(-内（ A ）（A ）单调增加 (B) 单调减少(C) 不增不减 (D) 有增有减5、微分方程22xy y ='的通解是（ D ）（A ）2x C - (B) 2xC (C) C x C +-2 (D) Cx +-21四、计算题（每题4分，共16分）3、 求极限xe e xx x sin lim 0-→-。
解：2cos lim sin lim00=+=--→-→x e e x e e xx x x x x （4分） 4、求曲线2332x y =上相应与x 从0到3的一段弧的长度。
解：因为：21x y ='，从而弧长的微分等于dx x ds +=1 （1分） 因此，所求的弧长等于：314)1(321302330=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x dx x s （3分）4、 求定积分)0(022>-⎰a dx x a a的值。
解：设t a x sin =，则有tdt a dx cos =。
（1分）22222222422sin 2)2cos 1(2cos sin a t t a dt t adt t a t a dx x a aππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⋅=-⎰⎰⎰（3分）五、证明题（每题9分，共18分）1、证明方程057323=-++-x x x e x在开区间()1,0内至少有一个根。
证明：设函数]1,0[,573)(23∈-++-=x x x x e x f x。
（1分）因为函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，而且04)1(,04)0(>+=<-=e f f 。
（3分）所以，由连续函数的零点定理得，方程057323=-++-x x x e x 在开区间()1,0内至少有一个根。
（5分）2、证明：dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰+=+)()()]()([。
证明：等式右边的导数是：[][][])()()()()()(x g x f dx x g dx x f dx x g dx x f +='+'='+⎰⎰⎰⎰ （2分）所以，dx x g dx x f ⎰⎰+)()(是)()(x g x f +的原函数。
（5分） 即： dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰+=+)()()]()([ （2分）命题教师_田正平一、选择题（每小题2分，共20分。
）1．下列函数组中，有可能复合为()[]x g f 的是（ ）（A ）1sin )(,ln )(2-==x x g x x f (B)1)(,)1(1)(2=-=x g x x f(C) x x g x f arcsin 2)()(+==π (D) 以上答案都不对2. 设nn x xx f 211lim)(+-=∞→，则函数（ ）（A ）存在间断点1- (B) 存在间断点0 (C) 存在间断点1 (D) 不存在间断点3. =---→112111lim x x e x x （ ）（A ）2 (B)0 （C ）∞ (D) 不存在 4. 下列各式中正确的是（ ）（A ）111lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛++→xx x (B)e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0(C) e x xx -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim (D) e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11lim5. 若函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分dy 是（ ）（A ）与x ∆等价无穷小 (B) 与x ∆同阶无穷小 (C) 比x ∆低阶无穷小 (D) 比x ∆高阶无穷小6. 函数)(x f y =在0x x =处可微是函数)(x f y =在0x x =处可导的（ ）（A ）充分条件 (B) 必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分又不必要条件7. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x xx y ，在0=x 处 ( )(A) 连续 (B) 不连续 (C) 可导 (D) 连续但不可导8. 若连续函数)(x f 满足关系式x x df 2cos )(=，则)(x f =（ ）（A ）C x +2sin (B)C x +2sin 21(C)C x +sin 2 (D)C x +2sin 29. =∞→n n n lim （ ）（A ）+∞ (B) 0 (C) 1 (D)33 10. xxx sin lim∞→=（ ）（A ）1 (B)∞ (C) 不存在 (D) 0二、填空题（每空2分，共20分。
