山东省德州市2019年中考数学一轮复习第六章圆第21讲与圆有关的计算过预测练习

第二节与圆相关的地点关系要题随堂操练1．( 2018·眉山中考 ) 如下图， AB 是⊙O 的直径， PA 切⊙O 于点 A，线段 PO交⊙O 于点 C，连结 BC，若∠P＝36°，则∠B 等于 ( )A．27°B．32° C ．36° D ．54°2．( 2018·宜昌中考 ) 如图，直线 AB是⊙O 的切线， C 为切点， OD∥ AB交⊙O于点 D，点 E 在⊙O上，连结OC， EC， ED，则∠ CED的度数为 ( )A．30°B．35°C．40° D ．45°3．( 2018·烟台中考 ) 如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，点 I 是△ ABC的心里，∠AIC＝ 12 4°，点 E在 AD的延伸线上，则∠ CDE 的度数为 ( C )A．56°B．62°C．68° D ．78°4．( 2018·大庆中考 ) 在△ ABC中，∠ C＝90°， AB＝ 10，且 AC＝ 6，则这个三角形的内切圆半径为．5．( 2018·安徽中考 ) 如图，菱形ABOC的边 AB， AC分别与⊙O 相切点 D， E，若点 D是 AB的中点，则∠ DOE ＝.6．( 2018·济南中考 ) 如图， AB是⊙O 的直径， PA 与⊙O 相切于点A， BP 与⊙O订交于点D， C 为⊙O 上一点，分别连结CB， CD，∠ BCD＝60°.(1)求∠ ABD的度数；(2)若 AB＝6，求 PD的长度．7．( 2018·聊城中考 ) 如图，在Rt△A BC 中，∠ C＝90°， BE均分∠ ABC 交 AC 于点 E，作 ED⊥EB 交 AB于点 D，⊙O是△ BED的外接圆．(1)求证： AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O 的半径为 2.5 ， BE＝4，求 BC， AD的长．参照答案1．A 2.D 3.C4． 2 5.606．解： (1) 如图，连结AD.∵∠ BCD和∠ BAD为同弧所对的圆周角，∴∠ BAD＝∠ BCD＝60°.∵AB 是⊙O的直径，∴∠ ADB＝90°，∴∠ ABD＝ 90°－ 60°＝ 30°.(2)在 Rt△ABD中，∵AB＝ 6，∠ BAD＝60°，∴BD＝ 3 3.∵AB 是⊙O的直径且AP 是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠ PAB＝90°.∵AB＝ 6，∠ ABD＝30°，∴PB＝ 43，∴PD＝ PB－BD＝ 3.7． (1) 证明：如图，连结OE.∵OB＝ OE，∴∠ OBE＝∠ OEB.∵BE 均分∠A BC，∠OBE＝∠ EBC，∴∠ OEB＝∠ EBC，∴OE∥BC.又∵∠ C＝90°，∴∠ OEA＝90°，即AC⊥OE.又∵ OE是⊙O 的半径，∴ AC 是⊙O 的切线．(2)解：在△ BCE 与△ BED中，∵∠ C＝∠ BED＝90°，∠ EBC＝∠ DBE，∴△ BCE∽△ BED，BE BC2BE∴ ＝，即 BC＝ .BD BE BD∵BE＝4， BD是⊙O的直径，即 BD＝5，16∴BC＝5 .又∵ OE∥BC，∴AO OE＝ . AB BC∵AO＝ AD＋2.5 ， AB＝ AD＋ 5，AD＋2.5 2.5，∴＝AD＋ 516545解得 AD＝7.。

一是把不规则图形，通过割补转化为规则图形，二是通过规则图形的面积的和差 来求解．
6．[2018·山西]如图，正方形ABCD内接于 ⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长 为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长 线于点F，则图中阴影部分的面积是( A )
类型
圆锥的侧面积
7．[2018·聊城]用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高 为40cm的圆锥形工件(接缝忽略不计)，那么这个扇形铁皮的半 径是 50 cm. 8．[2018·宿迁]已知圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则圆锥 的侧面积是 15π cm2.
正多边形每一边所对的④ 圆心角 都相等，这个 ⑤圆心角 叫做正多边形的中心角
2.正n边形的有关计算 正n边形的边长为a，半径为R，边心距为r，中心角为α，外角为β. (1)正n边形的边数n与其外角β的关系：n＝⑥ . (2)R和边组成n个全等的⑦ 三角形，R，r和边的一半组成2n个 全等的⑧ 三角形． 等腰 (3)可以通过勾股定理或三角函数表示R，r，a，α之间的数量关系． 直角
类型
正多边形有关的计算
1．[2018·宜宾]刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算 术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来
近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的
面积来近似估计圆O的面积，则S＝ ．(结果保留根号)
解题要领：①正多边形外接圆半径、内切圆半径与半弦组成的直角三角形，是计算正
考点弧长与扇形6来自5考1．弧长公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就 等于圆周长C＝2πR，所以n°圆心角所对的弧长l＝① ＝ .
2．扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇 形的面积等于圆面积S＝πR2，所以n°圆心角所对的扇形面积S＝ ② ＝ .

第20讲:直角三角形与勾股定理一、复习目标（1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。

（2）掌握角平分线性质的逆定理。

（3）掌握勾股定理及其逆定理。

二、课时安排1课时三、复习重难点直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。

四、教学过程（一）知识梳理直角三角形的概念、性质与判定b，外接圆半径勾股定理及逆定理互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两命题、定义、定理、公理述，作出________（二）题型、技巧归纳考点一：利用勾股定理求线段的长度技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．考点2实际问题中勾股定理的应用技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．考点3勾股定理逆定理的应用技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．考点4定义、命题、定理、反证法技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．（三）典例精讲例1 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为( )A、3CMB、6CMC、、[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62(cm)．例2 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝42＋（4＋5）2＝97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝（4＋4）2＋52＝89.l1>l2，最短路径的长是l2＝89.(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝B1C1AC1·AA1＝489·5＝208989例3 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )A．② B．①② C．①③ D．②③[解析] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．①∵22＋32＝13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32＋42＝52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12＋(√3)2＝22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③.故选D.例4 下列命题为假命题的是( )A ．三角形三个内角的和等于180°B ．三角形两边之和大于第三边C ．三角形两边的平方和等于第三边的平方D ．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半[解析] 选项A 和B 中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C ，只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其他三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D 中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选C.（四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质、掌握角平分线性质的逆定理、掌握勾股定理及其逆定理。

2 ∴CF= OC 2 OF = 2 =0.8(m),∴CD=1.6 m. 12 0.6
考点二
圆心角、弧、弦的关系
l︵ l︵
l︵
BC =
例2 如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥
OB,CD=CE,则 AC 与 BC的大小关系是
AC
l︵
.
解析 ∵CD⊥OA,CE⊥OB,
1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角
泰安考点聚焦
考点一 垂径定理及其推论
考点二
考点三 考点四
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理及其推论 圆内接四边形的性质
考点一
垂径定理及其推论
中考解题指导 大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点
的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论.
考点三
例3 ( D )
圆周角定理及其推论
(2017泰安)如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α ,则∠OBC等于
A.180°-α B.2α C.90°+α D.90°-α
解析 连接OC,则∠BOC=2∠A=2α ,
∵OB=OC,
1 ∴∠OBC=∠OCB= (180°-2α )=90°-α . 2
2.垂径定理及其推论
(1)定理:垂直于弦的直径平分 弦所对的两条弧 . 弦 ,并且平分
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
. 温馨提示 优 弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其 他的结论也成立. (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的

第二节与圆相关的地点关系姓名： ________班级：________用时：______分钟1．( 2018·湘西州中考 ) 已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O到直线 l 的距离为 5 cm，则直线l 与⊙O 的地点关系为()A．订交B．相切C．相离D．没法确立2 ． ( 2019·改编题 ) 设⊙O 的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O起码有一个公共点，则d 应知足的条件是()A． d＝ 3B．d≤3C． d＜ 3D． d＞ 33．( 2019·改编题) 如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家歇息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的地点应选在()A．△ ABC的三条中线的交点B．△ ABC三边的中垂线的交点C．△ ABC三条角均分线的交点D．△ ABC三条高所在直线的交点4．( 2018·深圳中考 ) 如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A 为 60°角与直尺交点，AB ＝ 3，则光盘的直径是( )A． 3B．33C． 6D．635．( 2018·重庆中考 A 卷 ) 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延伸线上，PD与⊙O 相切于点D，过点 B 作PD的垂线交PD的延伸线于点C，若⊙O 的半径为4， BC＝ 6，则PA 的长为 ()A． 4B．23C． 3D． 2.56．( 2018·台州中考 ) 如图， AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延伸线于点 D. 若∠ A＝32°，则∠ D＝ ________度．7． ( 2018·连云港中考 ) 如图， AB 是⊙O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，且OC⊥O A， OC交 AB 于点 P. 已知∠ OAB＝22°，则∠ OCB＝ __________．8．( 2018·湖州中考 ) 如图，已知△ ABC 的内切圆⊙O 与 BC边相切于点 D，连结OB， OD.若∠ ABC＝40°，则∠ BOD 的度数是 __________ ．9．( 2018·娄底中考 ) 如图，已知半圆O与四边形 ABCD的边 AD， AB，BC都相切，切点分别为 D， E， C，半径 OC＝ 1，则 AE·BE＝ ______．10．( 2019·改编题 ) 已知：如图， AB是⊙O的直径， AC是弦，直线EF 是过点 C的⊙O的切线，∠ BAC＝∠ CAD.(1)求证： AD⊥EF；(2)若∠ B＝30°， AB＝ 12，求 AD的长．11．( 2018·常德中考) 如图，已知⊙O 是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延伸线上有一点F，使 DF＝DA，AE∥BC 交 CF于点 E.(1)求证： EA是⊙O的切线；(2)求证： BD＝ CF.12．( 2018·重庆中考 B 卷 ) 如图，△ ABC 中，∠ A＝30°，点 O是边 AB 上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O 恰巧与 AC相切于点D，连结 BD.若 BD均分∠ ABC， AD＝ 2 3 ，则线段CD的长是 ( )33A． 2 B. 3 C. 2 D.2 313．( 2018·无锡中考 ) 如图，矩形 ABCD 中， G是 BC的中点，过 A， D， G三点的⊙O 与边AB， CD分别交于点 E，点 F，给出以下说法：(1)AC 与 BD的交点是⊙O 的圆心； (2)AF 与DE的交点是⊙O 的圆心； (3)BC 与⊙O 相切．此中正确说法的个数是( )A． 0B． 1C． 2D． 314．( 2018·泸州中考 ) 在平面直角坐标系内，以原点O为圆心， 1 为半径作圆，点 P 在直线 y＝3x＋2 3上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A，则 PA的最小值为 ()A． 3B． 2 C. 3 D. 215．( 2018·南京中考 ) 如图，在矩形ABCD中， AB＝ 5， BC＝ 4，以 CD为直径作⊙ O.将矩形ABCD绕点 C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边 A′B′与⊙O相切，切点为 E，边 CD′与⊙O订交于点 F，则 CF 的长为________．16．( 2019·原创题 ) 如下图，在Rt△ABC中，以斜边 AB 为直径作⊙ O，延伸 BC 至点 D，恰巧使得 AD＝AB，过点 C作 CE⊥AD，延伸 DA交⊙O 于点 F.(1)求证： CE是⊙O的切线；(2)若 AB＝10， CE＋EA＝ 4，求 AF 的长度．17．( 2018·德城区一模 ) 已知 AB 是⊙O 的直径， AT 是⊙O 的切线，∠ ABT＝50°，BT 交⊙O 于点 C， E 是AB上一点，延伸CE交⊙O 于点 D.(1)如图 1，求∠T 和∠ CDB的大小；(2)如图 2，当 BE＝ BC时，求∠ CDO的大小．18．( 2019·创新题 ) 阅读资料：|Ax ＋ By ＋ C|在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x ， y ) 到直线 Ax＋By＋ C＝ 0 的距离公式为00d＝A2＋B2.00比如：求点 P (0 ， 0) 到直线 4x＋3y－ 3＝0 的距离．解：由直线 4x＋ 3y－ 3＝ 0 知， A＝ 4， B＝ 3， C＝－ 3，|4 ×0＋3×0－ 3|3∴点 P0(0 ， 0) 到直线 4x＋ 3y－ 3＝ 0 的距离为 d＝42＋ 32＝5.依据以上资料，解决以下问题：35问题 1：点 P1(3 ， 4) 到直线 y＝－4x＋4的距离为 __________；3问题 2：已知⊙C 是以点 C(2， 1) 为圆心， 1 为半径的圆，⊙C 与直线 y＝－4x＋ b 相切，务实数 b 的值；问题 3：如图，设点 P 为问题 2 中⊙C上的随意一点，点A， B为直线 3x＋ 4y＋ 5＝ 0 上的两点，且 AB＝ 2，恳求出 S△ABP的最大值和最小值．参照答案【基础训练】1． B 2.B 3.C 4.D 5.A6． 267.44 °8.70 °9.110． (1) 证明：如图，连结OC.∵E F 是过点 C 的⊙O的切线，∴ OC⊥EF，∴∠ OCA＋∠ ACD＝90°.∵O C＝ OA，∴∠ OCA＝∠ BAC＝∠CAD，∴∠ CAD＋∠ ACD＝90°，∴AD⊥EF.(2)解：∵ OB＝ OC，∴∠ B＝∠ OCB＝30°.又∵∠ AOC 是△ BOC的外角，∴∠ AOC＝∠ B＋∠ OCB＝60°.又∵ OA＝ OC，1∴△ AOC为等边三角形，∴ AC＝2AB＝ 6.1又∵∠ ACD＝30°，∴ AD＝2AC，∴AD＝ 3.11．证明： (1) 如图，连结OA.∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠ OAC＝30°，∠ BCA＝60°.∵AE∥BC，∴∠ EAC＝∠ BCA＝60°，∴∠ OAE＝∠ OAC＋∠ EAC＝30°＋ 60°＝ 90°，∴EA 是⊙O的切线．(2)∵△ ABC 是等边三角形，∴AB＝ AC，∠ BAC＝∠ ABC＝60°.∵A， B， C， D 四点共圆，∴∠ ADF＝∠ ABC＝60°.∵AD＝ DF，∴△ ADF 是等边三角形，∴AD＝ AF，∠ DAF＝60°，∴∠ BAC＋∠ CAD＝∠ DAF＋∠ CAD，即∠ BAD＝∠ CAF.在△ BAD和△ CAF中，AB＝ AC，∵ ∠BAD＝∠ CAF，AD＝ AF，∴△ BAD≌△ CAF，∴ BD＝ CF.【拔高训练】12． B 13.C 14.D15． 416． (1) 证明：∵ OB＝ OC，∴∠ ABC＝∠ OCB.∵AB＝ AD，∴∠ ABC＝∠ ADB，∴∠ OCB＝∠ ADB，∴ OC∥AD.∵CE⊥AD，∴∠ AEC＝∠ OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线．(2)解：如图，过点 O作 OH⊥AF 于点 H，则∠ OCE＝∠ CEH＝∠ OHE＝90°，∴四边形OCEH是矩形，∴OC＝ EH，OH＝ CE.设 AH＝ x.∵CE＋ AE＝4， OC＝ 5，∴AE＝ 5－ x， OH＝ 4－ (5 － x) ＝ x－ 1.在 Rt△AOH中，由勾股定理得222 AH＋ OH＝ OA，即 x2＋ (x － 1) 2＝52，解得 x1＝ 4，x2＝－ 3( 不切合题意，舍去) ，∴AH＝ 4.1∵OH⊥AF，∴ AH＝ FH＝2AF，∴AF＝ 2AH＝2×4＝ 8.17．解： (1) 如图，连结AC.∵AB 是⊙O的直径， AT 是⊙O 的切线，∴A T⊥AB，即∠ TAB＝90°.∵∠ ABT＝50°，∴∠ T＝90°－∠ ABT＝40°.由AB 是⊙O的直径得∠ACB＝90°，∴∠ CAB＝90°－∠ ABC＝40°，∴∠ CDB＝∠ CAB＝40°.(2)如图，连结 AD.在△ BCE中， BE＝ BC，∠ EBC＝50°，∴∠ BCE＝∠ BEC＝65°，∴∠ BAD＝∠ BCD＝65°.∵OA＝ OD，∴∠ ODA＝∠ OAD＝65°.∵∠ ADC＝∠ ABC＝50°，∴∠ CDO＝∠ ODA－∠ ADC＝15°.【培优训练】18．解：问题1： 4提示：直线方程整理得3x ＋4y－ 5＝ 0，故 A＝ 3， B＝ 4， C＝－ 5，35∴点 P1(3 ， 4) 到直线 y＝－4x＋4的距离为|3 ×3＋4×4－ 5|d＝32＋42＝4.3问题 2：直线 y＝－4x＋ b 整理得 3x＋ 4y－ 4b＝ 0，故 A＝ 3， B＝ 4， C＝－ 4b.∵⊙C与直线相切，∴点 C 到直线的距离等于半径，|3 ×2＋4×1－ 4b|＝ 1，即32＋ 42515整理得 |10 － 4b| ＝ 5，解得 b＝4或 b＝4 .问题 3：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.∵在 3x＋ 4y＋ 5＝ 0 中， A＝ 3，B＝ 4， C＝5，∴圆心 C(2， 1) 到直线 AB 的距离|3 ×2＋4×1＋ 5|CD＝＝ 3，32＋ 42∴⊙C 上的点到直线AB的最大距离为3＋1＝ 4，最小距离为3－ 1＝ 2，1∴S△ ABP的最大值为2×2×4＝4，1最小值为2×2×2＝ 2.。

解题要领：①在同圆中，注意运用圆心角、圆周角、弦、弧等量关系的转化；②圆 的直径与直径所对的圆周角为直角的转化；③如果题干中无对应图形时，避免遗漏 符合条件的图形的其他情形．
类型
圆的性质的Leabharlann 合运用5．[2018·福建]已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是 ⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E. (1)延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1.求证： PC＝PB；
(2)过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在 DE的左侧，如图2.若AB＝ ，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE 的大小．
解题要领：①把握问题中关键点， 如弧的中点、弦的中点、直径、垂 直以及60°角等；②求线段长度时， 常常用到垂径定理，灵活运用锐角 三角函数、相似三角形求解．
谢谢观看！
6．[2018·安徽]如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5. (1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧 的交点 E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
命题点
圆的有关性质
1．[2015·德州，T21，10分]如图，⊙O的半径为1， A，P，B，C是⊙O上的四个点． ∠APC＝∠CPB＝60°. (1)判断△ABC的形状： 等边三角形； (2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系， 并证明你的结论；
(3)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面 积．
类型
垂径定理
1．[2018·枣庄]如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2， BP＝6, ∠APC＝30°，则CD的长为( C )
2．[2018·临安区]如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半 径的弧交⊙O于B，C点，则BC＝( A )

B 画图如下，由正方形的性质、垂径定理，可得OE＝AE＝3， OA＝
11
猜押预测►1.外接圆半径相等的正三角形和正六边形边长的比 为( )
C 设外接圆的半径为R，如图，连接OA，OB，则OB⊥AC.∵OA ＝R，∠OAG＝30°，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形， AG＝OA·cos30°＝ R.∴AB＝R，AC＝2AG＝ R.∴外接圆半 径相等的正三角形、正六边形的边长之比为 R∶R＝ ∶1.
7
【自主解答】
(1)∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°(圆周角定理)．
又∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．
∴BC＝OB＝
1 2
AB＝3.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵OE⊥AC，∴OE∥BC.
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线．
8
技法点拨►(1)在理解的基础上必须熟记弧长公式和扇形面积 公式，并灵活运用．(2)求不规则图形的面积时，一般要转化 为规则图形面积的和差来求解．如果求旋转后的图形的周长或 面积，一定要注意旋转的半径是多少，旋转角是多少度．
第六章 圆 第21讲 与圆有关的计算
1
考点梳理过关 考点1 正多边形与圆 6年2考
拓展► (1)正n边形的对称性：正n边形是轴对称图形，有n条对称 轴；当n是偶数时，正n边形也是中心对称图形．(2)同一个圆的内接 正三边形、正四边形、正六边形的边长比为 3∶ 2 ∶1.(3)正多边形2 的内切圆半径与外接圆半径领►(1)要准确理解正多边形的外接圆和内切圆的区别 和联系；(2)会构造直角三角形并准确求解．
13
命题点2 弧长与扇形的相关计算
3．[2016·滨州，16,4分]如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，

第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(xx浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(xx菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(xx甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°4.(xx江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且的长=的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F 的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(xx潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(xx北京)如图,点A,B,C在☉O上,的长=的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=.7.(xx江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC=.8.(xx湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= .9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sin α的值为.三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.(xx浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( )A.3 cmB. cmC.2.5 cmD. cm2.如图所示,在☉O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则=( )A. B. C.1- D.二、填空题4.在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8 cm,的长=的长=的长,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是cm.三、解答题5.(xx江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.第六章圆第21讲圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.B2.D3.B4.C 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵的长=的长,∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得的长=的长, ∴∠DBC=2∠DAE=80°.二、填空题6.答案70°解析∵的长=的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案27°解析∵四边形ABCD是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=∠DCB=(180°-∠D)=51°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案2解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为=cos 30°,所以AB===4.在Rt△ABC中,AC=AB×cos 60°=4×=2.9.答案解析如图,连接BC.∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,AC=8,AB=10,∴BC==6.∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4.在Rt△BCE中,BE==2,∴sin α===.三、解答题10.解析(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=BC.在△ABC与△EDC中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴=,∴DC==.由AB=4,BC=2,得DC==.11.证明(1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴=.∴DC·CN=CM·DN.∵CN=DC,∴DC2=CM·DN.B组提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8 cm,AE=2 cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2,解得OE=3 cm,∴OB=3+2=5 cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC中,BC===4 cm, ∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴=,即=,解得OF= cm,故选D.2.D 延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,∴△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=OD=2,∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE于D. ∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE是等腰直角三角形,则AD=,BD=AD=.∴BE=+1.再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF==-1,BF=2.∴=.故选D.二、填空题4.答案8解析如图,作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM为最小值时的位置,由垂径定理,得的长=的长,∴的长=的长,∵的长=的长=的长,AB为直径,∴C'D为直径,∴CM+DM的最小值是8 cm.三、解答题5.解析如图所示,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E,过点C作CF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CDE=∠B.∵cos B=,CD=10,∴cos ∠CDE===,∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°,∴四边形AFCE是矩形,∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9,∴cos B===,∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.11 / 11文档可自由编辑打印。

（圆的有关计算）一、知识要点圆周长、弧长、扇形面积等计算；圆锥的侧面积与全面积的求法.二、课前演练1．如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角= °. 2．一扇形的圆心角为120°,半径为3,则此扇形面积为_______（结果保留π）.3．一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2．则这个扇形的半径是_____.4.已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm ，则圆锥的侧面积为________.三、例题分析例1 如图，有一直径是1cm 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB ．（1）被剪掉的阴影部分的面积是多少？（2）若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少（结果可用根号表示）．例2 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC=60°，OC=2．（1）求OE 和CD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．四、巩固练习1．一扇形圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为（ ）A ．6cmB ．12cmC ．23cmD ．6cm2．如图,一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿直线滚动一周,圆心移动的距离是( )A ．2πcmB ．4πcmC ．8πcmD ．16πcm3．如图，半径为1cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．πcm2 B ．23πcm 2 C ．12cm 2 D ．23cm 24．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB ⊥半径OC ，沿AB 将弓形ACB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则月牙形（图中实线围成的部分）的面积是________．(第2题图) (第2题图)(第3题图)5．如图，⊙O 中，弧AD=弧AC ，弦AB 与弦AC 交于点A ，弦CD 与AB 交于点F ，连接BC ．（1）求证：AC 2=AB •AF ；（2）若⊙O 的半径长为2cm ，∠B=60°，求图中阴影部分面积．6．如图，在菱形ABCD中，AB=23，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．（1）求证：⊙D与边BC也相切；（2）设⊙D交BD于H，交CD于F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF=3S△MD F时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．。

专题06圆一、选择题1．（2019山东聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°【答案】C.【解析】解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选：C．2．（2019山东德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是（）A.130°B.140°C.150°D.160°【答案】B．【解析】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．3．（2019山东临沂）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【答案】A．【解析】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．4．（2019山东泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【答案】C．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝，故选：C．5．（2019山东菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【答案】C．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．6．（2019山东枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A ．8﹣πB ．16﹣2πC ．8﹣2πD ．8﹣π【答案】C ．【解析】解：S 阴＝S △ABD ﹣S 扇形BAE ＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C ．7．（2019山东青岛）如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则的长度为（）A ．πB ．2πC ．2πD ．4π【答案】B ．【解析】解：连接OC 、OD ，∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD ，∵∠A ＝45°，∴∠AOC ＝45°，∴AC ＝OC ＝4，∵AC ＝BD ＝4，OC ＝OD ＝4，∴OD ＝BD ，∴∠BOD ＝45°，∴∠COD ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：，故选：B ．8．（2019山东威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB ＝60°，则点C的纵坐标为（）A．B．C．4D．2+2【答案】B．【解析】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝，∴OC＝CE+OE＝，∴点C的纵坐标为，故选：B．9．（2019山东临沂）如图，⊙O中，，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A ．2+B ．2++C ．4+D ．2+【答案】A.【解析】解：∵，∴AB ＝AC ，∵∠ACB ＝75°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵OB ＝OC ，∴△BOC 是等边三角形，∴OA ＝OB ＝OC ＝BC ＝2，作AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴AD 经过圆心O ，∴OD ＝OB ＝，∴AD ＝2+，∴S △ABC ＝BC •AD ＝2+，S △BOC ＝BC •OD ＝，∴S 阴影＝S △ABC +S 扇形BOC ﹣S △BOC ＝2++﹣＝2+，故选：A ．10．（2019山东潍坊）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB ＝，DF ＝5，则BC 的长为（）A．8B．10C．12D．16【答案】C．【解析】解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝FA＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选：C．二、填空题11．（2019山东德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为．【答案】．【解析】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE=BE=AB=3，设⊙O的半径为r，则OE=r-1，OA=r，在Rt△OAE中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，∵，∴OB⊥AF，AG=FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2=52，①在Rt△ABG中，AG2+（5-OG）2=62，②解由①②组成的方程组得到AG=，∴AF=2AG=．故答案为．12．（2019山东青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．【答案】54．【解析】解：连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，∴∠CDF＝∠DAF＝18°，∴∠BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．13．（2019山东泰安）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．【答案】．【解析】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝=，故答案为：．14．（2019山东济宁）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是．【答案】．【解析】解：在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3，∴AB＝2，∵BC⊥OC，∴BC是圆的切线，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴BD＝BC，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝；在Rt△ABC中，∵sin A＝，∴∠A＝30°，∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，∵＝tan A＝tan30°，∴，∴OD＝1，∴S＝．阴影故答案是：．15．（2019山东菏泽）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．【答案】（，0）．【解析】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴，∴，∴AP＝，∴OP＝，∴P（，0），故答案为：（，0）．16．（2019山东潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n 为正整数）【答案】（n，）．【解析】解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，∴P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点P n的坐标是（n，），即（n，）故答案为：（n，）．三、解答题17．（2019山东菏泽）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．（1）求证：∠ABG＝2∠C；（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）6．【解析】（1）证明：连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C，∴∠ABG＝2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝6，∴BF＝＝3，∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴，∴，∴OE＝6，∴⊙O的半径为6．18．（2019山东枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为1.5，AC的长为．【解析】（1）证明：连接OC．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（4﹣r）2＝r2+22，∴r＝1.5，∵tan∠E＝，∴，∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，AC＝．∴圆的半径为1.5，AC的长为．19．（2019山东聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠CDE+∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴OE＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，AD＝，在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC＝．20．（2019山东临沂）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵AO＝BO，∴AD＝BD，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．21．（2019山东济宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tan C＝，求直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）20．【解析】解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴tan C＝tan∠ODB＝，∴设HF＝3x，DF＝4x，∴DH＝5x＝9，∴x＝，∴DF＝，HF＝，∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，△DFH∽△CFD，∴，∴CF＝，∴AF＝CF＝，设OA＝OD＝x，∴OF＝x﹣，∵AF2+OF2＝OA2，∴（）2+（x﹣）2＝x2，解得：x＝10，∴OA＝10，∴直径AB的长为20．22．（2019山东德州）如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=2．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解：（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC=30°，AC=2，过A、C 分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，求证：PB、PC为⊙O的切线；证明：∵∠BPD=120°，PAC=30°，∴∠PCA=30°，∴PA=PC，如图，连接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO=∠PCO=90°，∵OP=OP，∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）∴OA=OC，∴PB、PC为⊙O的切线；（3）∵∠OAP=∠OCP=90°-30°=60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA=AC=2，∠AOC=60°，∵OP平分∠APC，∴∠APO=60°，∴AP=，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积为：S四边形APCO-S扇形AOC=．23．（2019山东滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC 交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）﹣4．【解析】解：（1）如图所示，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝BC，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝4，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．24．（2019山东淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC 上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）①连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∴BC是⊙O的切线；②连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD2＝CE•CA；（2）连接DE、OE，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，∵DO∥AB，∴∠PDA＝∠DAF，∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，∴AF＝DF＝OA＝OD，∴△OFD、△OFA是等边三角形，∴∠C ＝30°，∴OD ＝OC ＝（OE +EC ），而OE ＝OD ，∴CE ＝OE ＝R ＝3，S 阴影＝S 扇形DFO ＝×π×32＝．25．（2019山东潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，点A （4，0），点B （0，4），△ABO 的中线AC 与y 轴交于点C ，且⊙M 经过O ，A ，C 三点．（1）求圆心M 的坐标；（2）若直线AD 与⊙M 相切于点A ，交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；（3）在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ∥y 轴，交直线AD 于点E ．若以PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF ＝4时，求点P 的坐标．【答案】（1）M （2，1）；（2）y ＝2x ﹣8；（3）P （，）．【解析】解：（1）点B （0，4），则点C （0，2），∵点A （4，0），则点M （2，1）；（2）∵⊙P 与直线AD ，则∠CAD ＝90°，设：∠CAO ＝α，则∠CAO ＝∠ODA ＝∠PEH ＝α，tan ∠CAO ＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC ＝，则CD ＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2（舍去2），则点P（，）．26．（2019山东威海）（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．【答案】（1）见解析；（2）探究1：BD＝CD+AD，证明见解析；探究2：BD＝CD+2AD；（3）BD＝BM+DM＝CD+AD．【解析】解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；【探究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴，∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+2AD；故答案为：BD＝CD+2AD；（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD；理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过A作AM⊥AD交BD于M，∴∠MAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAC，∴△ABM∽△ACD，∴，∴BM＝CD，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB，∴，∴DM＝AD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD．故答案为：BD＝BM+DM＝CD+AD．。

第六章圆第21讲与圆有关的计算
考向正多边形相关的计算
1．[2018·昆明]如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇
形ABF，则图中阴影部分的面积为33
2
－
1
3
π.
(结果保留根号和π)
第1题图第2题图
2．[2018·烟台]如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点．以点O为圆心、以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心、以DE的长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1，
将扇形DEF以同方法围成的圆锥的底面半径记为r2.则r1∶r2
考向与圆相关的阴影部分的面积
3．[2018·扬州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.
(1) 求证：AC是⊙O的切线；
(2) 若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
(3) 在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．。

第六章 圆 第21讲 与圆有关的计算
考向正多边形相关的计算
1．[2018·昆明]如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为332－13π. (结果保留根号和π)
第1题图 第2题图
2．[2018·烟台]如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，点M 为AF 中点．以点O 为圆心、以OM 的长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心、以DE 的长为半径画弧得到扇形DEF .把扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1，将扇形DEF 以同方法围成的圆锥的底面半径记为r 2.则r 1∶r 2
考向与圆相关的阴影部分的面积
3．[2018·扬州]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO ⊥BC 于点O ，OE ⊥AB 于点E ，以点O 为圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F .
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．。