2019年中考数学阅读材料新题型备考训练

百度文库，精选试题) 阅读理解题专题复习(三1为一次项系数构造的二次函数为二次项系数、b＝的图象上、将以a)定义：若点P(a、b)在函数y1．(2016·湖州x111122称为函＋xy＝2x、)在函数y＝的图象上、则函数y＝ax＋bx称为函数y＝的一个“派生函数”．例如：点(222xx1 的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：数y＝x 1 轴的右侧；＝的一个“派生函数”、其图象的对称轴在y(1)存在函数y x1 的所有“派生函数”的图象都经过同一点．函数y＝(2) x(C)下列判断正确的是都是真命题(1)与命题(2) A．命题都是假命题(1)与命题(2) B．命题是真命题(1)是假命题、命题(2) C．命题是假命题(1)是真命题、命题(2) D．命题1 上、在y ＝提示：(1)∵P(a、b)x轴左侧．同号．∴对称轴在y∴a和b1 轴的右侧、是假命题；的一个“派生函数”、其图象的对称轴在y∴存在函数y＝x120.＝时、y、∴x＝0＋(2)∵函数y＝的所有“派生函数”为y＝axbx x ∴所有“派生函数”的图象都经过原点．1 的所有“派生函数”的图象都经过同一点、是真命题．y＝∴函数xC.故选我们根据指数运算、得出了一种新的运算、下表是两种运算对应关系的一组实例：．(2016·永州)2＝log273 log2＝1 log4＝2 log8…新运算＝3 …log3＝1 log9＝23232231根据上表规律、某同学写出了三个式子：①log16＝4；②log25＝5；③log＝－1.其中正确的是(B)．①② B．①③ C．②③ D．①②③2252 A33．(2016·益阳)我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－的图象上有一些x整点、请写出其中一个整点的坐标答案不唯一、如：(1、－3)．4．(2016·雅安)P为正整数、现规定P！＝P(P－1)(P－2)×…×2×1、若m！＝24、则正整数m ＝4．5．(2016·凉山)阅读下列材料并回答问题：a＋b＋c、那么三角形c、、记p＝的面积为S＝a长形一料材：如果个三角的三边分别为、b2p（p－a）（p－b）（p－c）.①古希腊几何学家海伦(Heron、约公元50年)、在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中、给出了公式①和它的证明、这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶(约1202—约1261)、曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S ＝试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题222cb－1a＋222.②[ab－（）]24 下面我们对公式②进行变形：222cb－1a＋222] ）－（[a b24222cb－1a＋22－（）（ab）＝42222222cb－1a＋b－c1a＋－（ab）＋）（＝ab4422222222c2ab－a－b＋＋2aba＋b－c ·＝442222）b（a＋bc）－c－（a－＝·44aca－b＋c＋c－bca＋b＋a＋b－·＝··2222.p－c）（p－a）（p－b）（＝p 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式、所以我们也称①为海伦—秦九韶公式．F.、、E12、AC＝7、⊙O内切于△ABC、切点分别是D问题：如图、在△ABC中、AB＝13、BC＝的面积；(1)求△ABC 的半径．(2)求⊙O ＝7、13BC＝12、AC、解：(1)∵AB＝7＋12＋1316. p＝＝∴ 2 c）p）（－b）（p－∴S＝p（p－a 13）－7）×（16－）×（＝16×（16－12163.＝24r. 的半径为、OC、OA.设⊙O连接(2)OE、OF、OD、OB BC. ⊥于E点、∴OEBC∵切⊙O11ar. BC·OE＝∴S＝OBC△2211cr.＝＝br、同理：SS OABOAC△△221 ．b＋c)S＋S＝r(a＋＋∴S＝S OAB△OAC△△ABCOBC△2331. ＝、解得r13)＝2437∴r(12＋＋22n是正整数、且p≤q)、在n＝p×q(p、q)6．(2016·重庆我们知道、任意一个正整数n都可以进行这样的分解：p例如.F(n)＝p×qq两因数之差的绝对值最小、我们就称是n的最佳分解．并规定：p的所有这种分解中、如果、q3.＝F(12)123×43426112或×1×12、12可以分解成263×4、因为－＞－＞－、所有是的最佳分解、所以4试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方、我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m、总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t、t＝10x＋y(1≤x≤y≤9、x、y为自然数)、交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18、那么我们称这个数t为“吉祥数”、求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．(1)证明：对任意一个完全平方数m、设m＝n(n为正整数)、2解：∵|n－n|＝0、∴n×n是m的最佳分解．n∴对任意一个完全平方数m、总有F(m)＝＝1.n(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′、则t′＝10y＋x、∵t为“吉祥数”、∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝18.∴y－x＝2、即y＝x＋2.∵1≤x≤y≤9、x、y为自然数、∴“吉祥数”有：13、24、35、46、57、68、79.14252341、F(24)＝＝、F(35)＝、F(46)＝、F(57)＝、F(68)＝、F(79)∴F(13)＝＝.13637231917795243211∵＞＞＞＞＞＞、7317192313795∴所有“吉祥数”中、F(t)的最大值是.77．(2015·遂宁改编)阅读下列材料、并用相关的思想方法解决问题．11111111111111计算：(1－－－)×(＋＋＋)－(1－－－－)×(＋＋)．23423452345234111令＋＋＝t、则23411原式＝(1－t)×(t＋)－(1－t－)×t 5511122＝t＋－t－t－t＋t＋t5551＝. 5问题：111111*********(1)计算：(1－－－－…－)×(＋＋＋…＋)－(1－－－－…－)×(＋＋＋…＋2342 0152342 0162342 0162341)；2 015227. ＝5x＋7)1)(x(2)解方程：(x＋5x＋＋1111 ＝t、则(1)解：令＋＋…＋2 01523411 －)×t)－(1－t原式＝(1－t)×(t＋ 2 0162 01611122t ＋t＋tt＋－t－t－＝ 2 0162 0162 0161. ＝ 2 0162(2)令x＋5x＝t、则原方程化为(t＋1)(t＋7)＝7.t＋8t＝0、解得t＝0或t＝－8.2整理、得试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题＝－5；＝0、解得x＝0或0①当t＝时、x＋5x220.2 x＋8＝5x＋5x＝－8、即x＋②当t＝－8时、x22－4×1×8＝－7<0、Δ＝b－4ac＝5∵∴此方程无解．5. 或x＝－因此原方程的解是x＝0b??），a＞0（a?1⊕(－例如：规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝8．(2016·郴州)设a、b是任意两个实数、??（a≤0），a－b1x－－3220)．(因为x＋1＞(－3)－2＝－5、(x＋1)⊕(x－1)＝3)＝＝－3、(－3)⊕2＝21＋1x 参照上面材料、解答下列问题： 6；(1)2⊕4＝2、(－2)⊕4＝－12的值．(－4)⊕(1－4x)、求x－(2)若x＞、且满足(2x－1)⊕(4x1)＝210.＞解：∵x＞、∴2x－122）1）（2x－14x－1（2x＋21.＋＝2x∴(2x－1)⊕(4x－1)＝＝12x2x－－14x.＋＋4x＝－5－(1－4x)＝－4－1＝－∵－4＜0、∴(－4)⊕(1－4x)43. ＝＋4x、解得x∴2x＋1＝－5阅读理解：9．(2016·咸宁)、一个矩形发生变形后成为一个平行四边形．设这个平行四边1我们知道、四边形具有不稳定性、容易变形．如图 1 的值叫做这个平行四边形的变形度．形相邻两个内角中较小的一个内角为α、我们把αsin32 120；°、则这个平行四边形的变形度是(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是3猜想证明：1 S、之间的数量关系、并说明理由；S、其变形后的平行四边形面积为S、试猜想S、(2)若矩形的面积为2121αsin 拓展探究：2ED、AB＝AE·AD、这个矩形发生变形后为平行四边形ABC是(3)如图2、在矩形ABCD中、EAD边上的一点、且11111BCD的面积为2m(m＞4的面积为m(m＞0)、平行四边形A0)、试求为E的对应点、连接BE、BD、若矩形ABCD11111111∠AEB＋∠ADB的度数．1111113图图2 图11S1解：(2)猜想：＝.理由如下：如图3、设矩形的长和宽分别为a、b、其变形后的平行四边形的高为h. 则S1sinαS2h＝ab、S＝ah、sinα＝2bSabb1b1S11.∴＝＝、＝.∴＝.αhsinαhSahsinS22试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题EAAB111122.、即＝EA·AD (3)由AB＝AE·AD、可得AB＝111111BADA1111. DBABE＝∠A∽△DAB.∴∠、∴△又∵∠BAE＝∠DABBAE111111111111111111.BEEB＝∠CAD∥BC、∴∠A∵1111111111. BCBE＝∠A＋∠ADB＝∠CBE＋∠A∴∠AEB111111*********m141S12. ＝＝、可知＝中由(2)C∠sinAαSBsin2m11121∴sin∠ABC＝.∴∠ABC＝30°.1111112∴∠AEB＋∠ADB＝30°. 11111110．(2016·邵阳)尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示、已知AF、BE是△ABC的中线、且AF⊥BE、垂足为P、222设BC＝a、AC＝b、AB＝c.求证：a＋b＝5c.该同学仔细分析后、得到如下解题思路：EPPFEF1先连接EF、利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA、故＝＝＝、设PF＝m、PE＝n、用m、n把PA、PB BPPABA2分别表示出来、再在Rt△APE、Rt△BPF中利用勾股定理计算、消去m、n即可得证．(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程；(2)利用题中的结论、解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中、O为对角线AC、BD的交点、E、F分别为线段AO、DO的中点、连接BE、CF并延长交于22点M、BM、CM分别交AD于点G、H、如图2所示、求MG＋MH的值．解：(1)连接EF、设PF＝m、PE＝n.∵AF、BE是△ABC的中线、11∴EF为△ABC的中位线、AEb、BFa.221∴EF∥AB、EF＝c.2∴△EPF∽△BPA.EPPFEF1nm1＝∴＝＝、即＝＝. BPPABA2PBPA2∴PB＝2n、PA＝2m.Rt△AEP中、∵PE＋PA＝AE、222在1222∴n＋4m＝b.①4222 BF、BFP中、∵PF＋PB＝△在Rt1222＝a.②m∴＋4n412222 )＋＝m5(n ①＋②、得＋)(ab．4试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题、EFP中、∵PE＋PF＝在Rt△1222.222 EF＝c∴n＋m411222222.5ca)、即＋b＝∴5·c＝(a＋b44EF.连接(2) 为菱形、∵四边形ABCDAC.⊥AD＝BC、BD∴AD∥BC、的中点、F分别为线段AO、DO∵E、1AD.＝∥AD、EF∴EF21BC.＝∥BC、EF∴EF 2 BM分别是、CM的中点．∴E、F222245. ＝5BC＝5×3＝由(1)的结论得MB＋MCCEB. BC、∴△AEG∽△∵AG∥1AGAE1. ＝∴＝.∴AG＝3BCCE同理可得DH＝1.∴GH＝AD－AG－DH＝1.MGMHGH1又∵GH∥BC、∴＝＝＝.MBMCBC3∴MB＝3GM、MC＝3MH.9MG＋9MH＝45、即MG＋MH＝5.2222∴11．(2016·永州)问题探究：1．新知学习若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”、其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”(例如圆的直径就是圆的“面径”)．2．解决问题已知等边△ABC的边长为2.(1)如图1、若AD⊥BC、垂足为D、试说明AD是△ABC的一条面径、并求AD的长；(2)如图2、若ME∥BC、且ME是△ABC的一条面径、求面径ME的长；(3)如图3、已知D为BC的中点、连接AD、M为AB上的一点(0＜AM＜1)、E是DC上的一点、连接ME、ME与AD交于点O、且S＝S.ME是△ABC的面径；DOE△△MOA①求证：②连接AE、求证：MD∥AE；请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围(直接写出结果)．提示：x＋y≥2xy.22(4)解：(1)∵AB＝AC＝BC＝2、AD⊥BC、∴BD＝DC＝1、∴S＝S. ACDABD△△∴线段AD是△ABC的面径．又∵∠B＝60°、试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题3.D·tanB＝∴AD＝B是△ABC的一条面径、(2)∵ME∥BC、且ME1S AME△.＝∴△AME∽△ABC、2S ABC△1ME. ＝∴BC22.ME＝∴. ＝S(3)①证明：∵D为BC的中点、∴S ACD△△ABD. S＝＋SS＋∴S DOEACEO△MOA四边形BDOM△四边形、又S＝S DOE＋、S∴S＋S＝MOA四边形△DOE四边形BDOMACEO△. SS＝即ACEM△BME四边形是△ABCME的面径．∴ F、②作MN⊥AE于△△MOA SN、DF⊥AE于则MN∥DF. 、∵S＝S DOE△MOA△＋∴SS＝S＋S、AOE△△△AOE△MOADOE.即SS＝AED△△AEM11DF. AE·DF.∴MN＝∴AE·MN＝22 又∵MN∥DF、 MNFD是平行四边形．∴四边形AE.DM∥∴、、BE＝y、设(4)作MH⊥BC于HBM＝x1BMBDx2.＝.∴xy＝.∴∵DM∥AE、∴＝yBE2BA °、∠MHB＝90B＝60°、BM＝、x中、∵∠在Rt△MBH31x.∴BH＝、MH＝x2213222222、xy＋x－）＝xxyy－≥EHMHME∴＝＋＝2xy（－y）x＋（222.ME≥即的面径、ME、AD都是等边△ABC∵3.2l∴等边△ABC的面径长的取值范围是≤l≤试题习题，尽在百度．。

2019年中考数学专题针对训练《阅读理解题》阅读理解是指先给出阅读材料，通过阅读领会其中的数学内容、方法要点，并能加以运用，然后解）决后面提出的问题的一类题型.该类题的篇幅一般较长，试题结构分两大部分，一部分是阅读材料，另一部分是需解决的有关问题，阅读材料既有选用与教材知识相关的内容，也有选用课外并不熟悉的知识.除了考查初中数学的基础知识外，更注重考查二阅读理解、迁移转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力解决该类问题的关键是读懂并理解试题阅读材料中提供的新情景、新方法与新知识等，能熟练地进行知识的迁移、转化与应用。

类型一 新定义、新运算型问题【典例1】（2018·菏泽）规定:在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP 可以用点P 的坐标表示为:OP ＝（m ，n ）.已知OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2），如果x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，那么OA 与OB 互相垂直，下列四组向量，互相垂直的是（ ）A.OC ＝（3，2），OD ＝（-2，3）B.OE ＝（2-1，1），OF ＝（2＋1，1）C.OG ＝（3，2018°），OH ＝（-31，-1） D.OM ＝（38，-21），ON ＝（(2)2，4） 【思路导引】通过计算所给四组向量的坐标，只要符合x 1·x 2＋y 1·y 2＝0的向量，即为互相垂直。

【自主解答】【规律方法】新定义运算型试题，要抓住新定义运算的法则或者顺序，并将此定义作为解题的依据，通常照套法则即可，需要注意两点:（1）有括号时应当先算括号里面的.（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用运算律解题，总之，新定义型问题是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原知识点。

针对训练1.（2018·日照）定义一种对正整数n 的“F ”运算:①当n 是奇数时，F （n ）＝3n ＋1；当n 为偶数时，F （n ）＝kn2（其中k 是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行例如，取n ＝24，则: 若n ＝13，则第2018次“F 运算”的结果是（ ）A.1B.4C.2018D.420182.（2018·济南）若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”。

2019年中考数学二轮复习阅读理解题综合练习1.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi(a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i ＝7＋2i ；(1＋i)×(2－i)＝1×2－i ＋2×i －i 2＝2＋(－1＋2)i ＋1＝3＋i ；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i 3＝________，i 4＝________；(2)计算：(1＋i)×(3－4i)；(3)计算：i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017.2. (2018·湖南张家界中考)阅读理解题在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式为：d ＝|Ax 0＋By 0＋c|A 2＋B 2， 例如，求点P(1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离．解：由直线4x ＋3y －3＝0知：A ＝4，B ＝3，C ＝－3，所以P(1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离为：d ＝|4×1＋3×3－3|42＋32＝2. 根据以上材料，解决下列问题：(1)求点P 1(0，0)到直线3x －4y －5＝0的距离；(2)若点P 2(1，0)到直线x ＋y ＋C ＝0的距离为2，求实数C 的值．3. (2018·浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E ，F ，G ，H 都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD 的边长为65，此时正方形EFGH 的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD 的边长为65时，正方形EFGH 的面积的所有可能值中不包括5是哪些？4．(2018·山东济宁中考)知识背景当a ＞0且x ＞0时，因为(x －a x)2≥0，所以x －2a ＋a x ≥0，从而x ＋a x ≥2a(当x ＝a 时取等号)．设函数y ＝x ＋a x(a ＞0，x ＞0)，由上述结论可知，当x ＝a 时，该函数有最小值为2 a. 应用举例已知函数y 1＝x(x ＞0)与函数y 2＝4x (x ＞0)，则当x ＝4＝2时，y 1＋y 2＝x ＋4x有最小值为24＝4.解决问题(1)已知函数y 1＝x ＋3(x ＞－3)与函数y 2＝(x ＋3)2＋9(x ＞－3)，当x 取何值时，y 2y 1有最小值？最小值是多少？(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？5. 如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D.(1)求证：BC AB ＝EF DE ； (2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）＝BC AB .如T(60°)＝1. ①理解巩固：T(90°)＝________，T(120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68)6. 定义一种对正整数n 的运算“F”：(1)当n 为奇数时，结果为3n ＋5;(2)当n 为偶数时，结果为n 2k (其中k 是使n 2k为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行．例如n ＝26时，则26――→F （2）第一次13――→F （1）第二次44――→F （2）第三次11―→…那么，当n ＝1796时，第2010次“F”运算的结果是多少？7．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；(2)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC ＝∠ADC.求证：△ABC 是比例三角形．(3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC ＝90°时，求BD AC的值．图1 图28. (1)如图①，已知△ABC ，以AB 、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE 、CD ，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE ＝CD ；(2)如图②，已知△ABC ，以AB 、AC 为边分别向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE 、CD ，猜想BE 与CD 有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B 、E 的距离，已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长(结果保留根号)．9. (2018·山东淄博中考)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连结GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是________________；位置关系是________________．(2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3)深入研究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．10. 我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________．猜想论证(2)在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用(3)如图④，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．11. 问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)12．问题背景：如图1，△ABC为等边三角形，作AD⊥BC于点D，将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后，BA，BC边与射线AD分别交于点E，F，求证：△BEF为等边三角形．迁移应用：如图2，△ABC为等边三角形，点P是△ABC外一点，∠BPC＝60°，将∠BPC绕点P逆时针旋转60°后，PC边恰好经过点A，探究PA，PB，PC之间存在的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将∠ABC绕点B顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN，F是BM上一点，连结AF，DF，DF交BN于点E，若B，E两点恰好关于直线AF对称．(1)证明△BEF是等边三角形；(2)若DE＝6，BE＝2，求AF的长．13. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图①，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件；(2)小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；(3)如图②，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，BC′.小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB′的长)?14. 理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD.图①设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC＝ 3.tanD＝tan15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3.思路二利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝tan60°－tan45°1＋tan60°tan45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题(上述思路仅供参考)．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，则得A、C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD的高度；(3)拓展：如图③，直线y＝12x－1与双曲线y＝4x交于A、B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图15. (2018·贵州贵阳中考)如图1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究asin A与bsin B之间关系的方法：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c， ∴c ＝a sin A ，c ＝b sin B， ∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC 中，探究a sin A ，b sin B ，c sin C 之间的关系，并写出探究过程．图1 图216. 请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答． 引例：设a ，b ，c 为非负实数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)，分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a ＋b ＋c 的正方形来研究． 解：如图①，设正方形的边长为a ＋b ＋c ，则AB ＝a 2＋b 2，BC ＝b 2＋c 2，CD ＝a 2＋c 2，显然AB ＋BC ＋CD ≥AD ， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)．探究一：已知两个正数x ，y ，满足x ＋y ＝12，求x 2＋4＋y 2＋9的最小值(图②仅供参考)； 探究二：若a ，b 为正数，求以a 2＋b 2，4a 2＋b 2，a 2＋4b 2为边的三角形的面积．17. 【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推．【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化．(1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；(2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．18．(2018·山西中考)综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE ＝AB ，连结DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连结AM.试判断线段AM 与DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE ＝AB ，∴AE ＝2AB.∵AD ＝2AB ，∴AD ＝AE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴EM DM ＝EB AB.(依据1) ∵BE ＝AB ，∴EM DM＝1.∴EM ＝DM. 即AM 是△ADE 的DE 边上的中线，又∵AD ＝AE ，∴AM ⊥DE.(依据2)∴AM 垂直平分DE.反思交流：(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连结CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如图3，连结CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．19. 问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．参考答案1.解：(1)－i ；1；【解法提示】∵i 2＝－1，∴i 3＝i 2·i ＝－i ，i 4＝i 2·i 2＝1.(2)原式＝3－4i ＋3i －4i 2＝3－i ＋4＝7－i ；(3)根据题意可得i ＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，i 5＝i ，i 6＝－1，…，i 2016＝1，i 2017＝i ， ∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，且2016÷4＝504，∴i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i2017＝i.2.解： (1)d ＝|3×0－4×0－5|32＋42＝1. (2)2＝|1×1＋1×0＋C|2，∴|C ＋1|＝2， ∴C ＋1＝±2，∴C 1＝－3，C 2＝1.3.解：当DG ＝13，CG ＝213时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝13，可得正方形EFGH 的面积为13.当DG ＝8，CG ＝1时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝7，可得正方形EFGH 的面积为49.当DG ＝7，CG ＝4时，此时HG ＝3，四边形EFGH 的面积为9.故答案为9，13和49.4.解：(1)y 2y 1＝（x ＋3）2＋9x ＋3＝(x ＋3)＋9x ＋3， ∴当x ＋3＝9x ＋3时，y 2y 1有最小值， ∴x ＝0或－6(舍弃)时，有最小值6.(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w 元，则w ＝490＋200x ＋0.001x 2x＝490x＋0.001x ＋200， ∴当490x＝0.001x 时，w 有最小值， ∴x ＝700或－700(舍弃)时，w 有最小值，最小值为201.4元．5. (1)证明：∵AB ＝AC ，DE ＝DF ，∴AB DE ＝AC DF， 又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝AB DE， ∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T(α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°，∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ，∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；图①图② 如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，过点A 作AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ， 设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°，∴BD ＝AD·tan60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ，∴BC ＝2BD ＝23y ，∴T(120°)＝23y 2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2， ∵要构成三角形，∴T(A)<2，∵T(A)＞0，∴0<T(α)<2.图③②如解图③，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝nπl 180， ∴r l ＝n 360， ∵ r ＝4，l ＝9，∴n ＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l ≈1.29×9≈11.6.6.解：根据题意得，当n ＝1796时，第一次运算，179622＝449； 第二次运算，3n ＋5＝3×449＋5＝1352；第三次运算，135223＝169； 第四次运算，3×169＋5＝512；第五次运算，51229＝1； 第六次运算，3×1＋5＝8；第七次运算，823＝1； 可以看出：从第五次开始，结果就只是1，8两个数轮流出现，且当次为偶数时，结果是8，次数是奇数时，结果是1，而2010是偶数，因此最后结果是8.7.解：(1)∵△ABC 是比例三角形，且AB ＝2，BC ＝3，①当AB 2＝BC·AC 时，得4＝3AC ，解得AC ＝43； ②当BC 2＝AB·AC 时，得9＝2AC ，解得AC ＝92； ③当AC 2＝AB·BC 时，得AC 2＝6，解得AC ＝6(负值舍去)，∴当AC ＝43或92或6时，△ABC 是比例三角形． (2)∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠CAD.又∵∠BAC ＝∠ADC ，∴△ABC ∽△DCA ，∴BC CA ＝CA AD，即CA 2＝BC·AD. ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ADB ＝∠ABD ，∴AB ＝AD ，∴CA 2＝BC·AB ，∴△ABC 是比例三角形．(3)如图，过点A 作AH ⊥BD 于点H.∵AB ＝AD ，∴BH ＝12BD. ∵AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∴∠BCD ＝90°，∴∠BHA ＝∠BCD ＝90°.又∵∠ABH ＝∠DBC ，∴△ABH ∽△DBC ，∴AB DB ＝BH BC，即AB·BC ＝BH·DB ， ∴AB·BC ＝12BD 2. 又∵AB·BC ＝AC 2，∴12BD 2＝AC 2，∴BD AC ＝ 2. 8.解：(1)作图如解图①，图①证明：∵△ABD 和△ACE 为等边三角形，则AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠DAB ＝∠EAC ＝60°，又∵∠DAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ＝∠BAE ，∴△DAC ≌△BAE(SAS)，∴BE ＝CD.(2)BE ＝CD.理由如下：∵四边形ABFD 和四边形ACGE 为正方形，∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC ＝90°，又∵∠DAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ＝∠BAE ，∴△DAC ≌△BAE(SAS)，∴BE ＝CD.(3)如解图②，以AB 为边，作等腰直角三角形ABD ，∠BAD ＝90°，图②则AD ＝AB ＝100米，∠ABD ＝45°，∴BD ＝1002米，连接CD ，则由(2)可得，BE ＝CD ，∵∠ABC ＝45°，∴∠DBC ＝90°，在Rt △DBC 中，BC ＝100米，BD ＝1002米，由勾股定理得CD ＝1002＋（1002）2＝1003米，则BE ＝CD ＝1003米．9.解： (1)MG ＝NG MG ⊥NG 如图，连结BE ，CD 相交于H.∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠CAD ＝∠BAE ，∴△ACD ≌△AEB(SAS)，∴CD ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，∴∠BDC ＋∠DBH ＝∠BDC ＋∠ABD ＋∠ABE ＝∠BDC ＋∠ABD ＋∠ADC ＝∠ADB ＋∠ABD ＝90°，∴∠BHD ＝90°，∴CD ⊥BE.∵点M ，G 分别是BD ，BC 的中点，∴MG 綊12CD.同理NG 綊12BE ， ∴MG ＝NG ，MG ⊥NG ，∴MG ＝NG ，MG ⊥NG.(2)连结CD ，BE 相交于点H ，同(1)的方法得MG ＝NG ，MG ⊥NG.(3)如图，连结EB ，DC ，延长线相交于H ，同(1)的方法得MG ＝NG ，同(1)的方法得△ABE ≌△ADC ，∴∠AEB ＝∠ACD ，∴∠CEH ＋∠ECH ＝∠AEH －∠AEC ＋180°－∠ACD －∠ACE ＝∠ACD －45°＋180°－∠ACD －45°＝90°，∴∠DHE ＝90°，同(1)的方法得MG ⊥NG ，∴△GMN 是等腰直角三角形．10.解：(1)①12，②4； 【解法提示】①如解图①中，图①∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝AB ′＝AC ′，∵DB ′＝DC ′，∴AD ⊥B ′C ′，∵∠BAC ＝60°，∠BAC ＋∠B ′AC ′＝180°，∴∠B ′AC ′＝120°，∴∠B ′＝∠C ′＝30°，∴AD ＝12AB ′＝12BC. ②如解图②中，图②∵∠BAC ＝90°，∠BAC ＋∠B ′AC ′＝180°，∴∠B ′AC ′＝∠BAC ＝90°，∵AB ＝AB ′，AC ＝AC ′，∴△BAC ≌△B ′AC ′，∴BC ＝B ′C ′，∵B ′D ＝DC ′，∴AD ＝12B ′C ′＝12BC ＝4； (2)猜想：AD ＝12BC. 理由：如解图③中，延长AD 到M ，使得AD ＝DM ，连接B ′M ，C ′M ，图③∵B ′D ＝DC ′，AD ＝DM ，∴四边形AC ′MB ′是平行四边形，∴AC ′＝B ′M ＝AC ，∵∠BAC ＋∠B ′AC ′＝180°，∠B ′AC ′＋∠AB ′M ＝180°，∴∠BAC ＝∠MB ′A,∵AB ＝AB ′，∴△BAC ≌△AB ′M ，∴BC ＝AM ，∴AD ＝12BC ； (3)存在．理由：如解图④中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE ⊥AD 于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作△PCD 的中线PN ，连接DF 交PC 于O ，图④∵∠ADC ＝150°，∴∠MDC ＝30°，∴在Rt △DCM 中，∵CD ＝23，∠DCM ＝90°，∠MDC ＝30°，∴CM ＝2，DM ＝4，∠M ＝60°，在Rt △BEM 中，∵∠BEM ＝90°，BM ＝BC ＋CM ＝14，∠MBE ＝30°，∴EM ＝12BM ＝7， ∴DE ＝EM －DM ＝3，∵AD ＝6，∴AE ＝DE,∵BE ⊥AD ，∴PA ＝PD ，PB ＝PC ，在Rt △CDF 中，∵CD ＝23，CF ＝6，∴∠CDF ＝∠CPE ＝60°，易证△FCP ≌△CFD ，∴CD ＝PF ，∵CD ∥PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴∠CDP ＝90°，∴∠ADP ＝∠ADC －∠CDP ＝60°，∴△ADP 是等边三角形，∴∠APD ＝60°，∵∠BPF ＝∠CPF ＝60°，∴∠BPC ＝120°，∴∠APD ＋∠BPC ＝180°，∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，在Rt △PDN 中，∵∠PDN ＝90°，PD ＝AD ＝6，DN ＝3，∴PN ＝DN 2＋PD 2＝（3）2＋62＝39.11.证明：如解图①，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到△ADG ，则AB 与AD 重合，图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ，AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°，在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上，∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF(SAS)，∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE.【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD. 【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°，∴∠D ＝∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，图②∴△ABM ≌△ADF(SAS)，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，∵∠BAD ＝2∠EAF ，∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ，在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS)，∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ，∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°，∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°，∴△OAD 是直角三角形．∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403，∴AO ＝OF ，图③∴∠OAF ＝45°，∵∠OAD ＝30°，∴∠DAF ＝15°，∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ， 又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF＝BE＋DF.∠BAE＝∠BAD－∠EAD＝150°－90°＝60°＝∠B，∴△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝80，∴EF＝BE＋DF＝80＋40(3－1)≈109(米)．12.解：问题背景：证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°.由题意得∠ABE＝30°，∠EBF＝60°，∴∠EBD＝∠FBD＝30°.∵BD⊥AD，∴∠BED＝60°，∴△BEF为等边三角形．迁移应用：PC＝PA＋PB.证明：如图，在PC上截取PG＝PB，连结BG.∵∠BPC＝60°，∴△BPG为等边三角形，∴BG＝BP，∠PBG＝60°，PB＝BG，∴∠PBA＋∠ABG＝∠ABG＋∠GBC＝60°，∴∠PBA＝∠GBC.又AB＝BC，∴△APB≌△CBG，∴PA＝GC，∴PC＝PG＋CG＝PB＋PA.拓展延伸：(1)如图，∵B，E两点关于直线AF对称，∴FE＝FB.∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形．(2)由(1)知，△BEF 是等边三角形，如图，连结AE ，过点A 作AH ⊥DE 于点H. ∵B ，E 两点关于直线AF 对称，∴AE ＝AB.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∴AE ＝AD ，∴DH ＝HE ＝12DE ＝3， ∴HF ＝HE ＋EF ＝3＋2＝5.由(1)知，△BEF 是等边三角形，FA ⊥EB ，∴∠EFA ＝12∠EFB ＝30°. 在Rt △AHF 中，cos ∠HFA ＝HF AF ＝32， ∴AF ＝HF cos 30°＝103＝1033. 13.解：(1)AB ＝BC 或BC ＝CD 或CD ＝AD 或AD ＝AB ；(2)解：小红的结论正确．理由如下：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；(3)由∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，得：AC ＝5，∵将Rt △ABC 平移得到Rt △A ′B ′C ′，∴BB ′＝AA ′，A ′B ′∥AB ，A ′B ′＝AB ＝2，B ′C ′＝BC ＝1，A ′C ′＝AC ＝5，(Ⅰ)如解图①，当AA ′＝AB 时，BB ′＝AA ′＝AB ＝2；图①(Ⅱ)如解图②，当AA ′＝A ′C ′时，BB ′＝AA ′＝A ′C ′ ＝5；图②(Ⅲ)当A ′C ′＝BC ′＝5时，如解图③，延长C ′B ′交AB 与点D ，则C ′B ′⊥AB ，图③∵BB ′平分∠ABC ，∴∠ABB ′＝12∠ABC ＝45°， ∴∠BB ′D ＝∠ABB ′＝45°，∴B ′D ＝BD ，设B ′D ＝BD ＝x ，则C ′D ＝x ＋1，BB ′＝2x ，∵根据在Rt △BC ′D 中，BC ′2＝C ′D 2＋BD 2即x 2＋(x ＋1)2＝5，解得：x ＝1或x ＝－2(不合题意，舍去)，∴BB ′＝2x ＝2；图④(Ⅳ)当 BC ′＝AB ＝2时，如解图④，与(Ⅲ)方法同理可得： x ＝－1＋72或x ＝－1－72(舍去)，∴BB ′＝2x ＝－2＋142.故应平移2或5或2或－2＋142的距离． 14.解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3， tan ∠DAC ＝tan75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3. 【一题多解】tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°·tan30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303，sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°， ∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DB AB＝2＋3， ∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90，∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.图③(3)直线AB 能与双曲线相交，点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)， 理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1， ∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2，∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan(∠ACP 1＋∠ACF)＝tan(45°＋∠ACF)＝tan45°＋tan ∠ACF 1－tan45°·tan ∠ACF ＝1＋121－12＝3，即P 1E CE＝3. 设点P 的坐标为(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)； (ii)若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④.由(i)可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG . 过点P 作PH ⊥y 轴于H ，则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，图④∴△GOC ∽△CHP ，∴GO CH ＝OC HP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1， ∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1， ∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1. 联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x， 消去y ，得4x ＝－13x －1， 整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0，∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)． 15.解：a sin A ＝b sin B ＝c sin C.理由如下： 如图，过A 作AD ⊥BC ，过点B 作BE ⊥AC.在Rt △ABD 中，sin B ＝AD c， 即AD ＝csin B ，在Rt △ADC 中，sin C ＝AD b， 即AD ＝bsin C ，∴csin B ＝bsin C ，即b sin B ＝c sin C， 同理可得a sin A ＝c sin C， 则a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 16.解：探究一：如解图①，构造矩形AECF ，并设矩形的两边长分别为12，5，图①则x ＋y ＝12，AB ＝x 2＋4，BC ＝y 2＋9，显然AB ＋BC ≥AC ，当A ，B ，C 三点共线时，AB ＋BC 最小， 即x 2＋4＋y 2＋9的最小值为AC ，∵AC ＝122＋52＝13， ∴x 2＋4＋y 2＋9的最小值为13；图②探究二：如解图②，设矩形ABCD 的两边长分别为2a ，2b ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 则CF ＝4a 2＋b 2，CE ＝a 2＋4b 2，EF ＝a 2＋b 2， 设以a 2＋b 2，4a 2＋b 2，a 2＋4b 2为边的三角形的面积为S △CEF ，∴S △CEF ＝S 矩形ABCD －S △CDF －S △AEF －S △BCE＝4ab －12×2a ×b －12ab －12a ×2b ＝32ab ， ∴以a 2＋b 2，4a 2＋b 2，a 2＋4b 2为边的三角形的面积为32ab. 17.解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20， 由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4，所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－b k －1， 所以当输入的值x>－b k －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大； 当输入的值x ＝－b k －1时，x n 的值不变； 当输入的值x<－b k －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小． 理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b 1－k时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b 1－k时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变． (3)①画如解图，结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65； ②|k|<1且k ≠0时，m ＝－b k －1.即－1＜k ＜1且k ≠0， 18.解：(1)①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)．②点A 在线段GF 的垂直平分线上．(2)证明：如图，过点G 作GH ⊥BC 于点H.∵四边形ABCD 是矩形，点E 在AB 的延长线上，∴∠CBE ＝∠ABC ＝∠GHC ＝90°，∴∠BCE ＋∠BEC ＝90°.∵四边形CEFG 为正方形，∴CG ＝CE ，∠GCE ＝90°，∴∠BCE ＋∠BCG ＝90°，∴∠BEC ＝∠BCG ，∴△GHC≌△CBE，∴HC＝BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC，∴HC＝BH，∴GH垂直平分BC，∴点G在BC的垂直平分线上．(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上)．证明：如图，过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM＝EN，∠BEN＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵∠CBE＝∠ENF＝90°，∴△ENF≌△EBC，∴NE＝BE，∴BM＝BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，AB＝BE，∴BC＝2BM，∴BM＝MC，∴FM垂直平分BC，∴点F在BC边的垂直平分线上．19. (1)解：如解图①，△ADC即为所求作三角形．图①【作法提示】(1)过点B作直线AC的垂线，垂足为点O；(2)在垂线上截取OD＝OB，连接AD，CD，则△ADC即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH的周长＝EF＋FG＋GH＋HE，由题意可知AF和AE的长均为定值，利用勾股定理可求得EF的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH＋HE最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于点G，交CD于点H，连接FG、EH，则F′G＝FG，E′H＝EH，所以此时四边形EFGH的周长最小．这是因为：在BC上任取一点G′，在CD上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E＝F′G′＋G′H′＋H′E′≥E′F′.由题意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，∴AF′＝6，AE′＝8.∴E′F′＝10，EF＝2 5.∴四边形EFGH周长的最小值为EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG 的对称图形，以点F的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC ＝10.又∵OH ＝OE ＝FG ＝5，∴OH ＜OC ，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH ＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.【一题多解】能裁得．∵∠EFG ＝∠A ＝∠B ＝90°，∴∠2＋∠AFE ＝∠1＋∠AFE ＝90°，∴∠1＝∠2， ∵EF ＝FG ＝5，∴△AEF ≌△BFG(AAS)，∴AF ＝BG ，AE ＝BF ，设AF ＝x ，则AE ＝BF ＝3－x ，∴x 2＋(3－x)2＝(5)2，解得x 1＝1或x 2＝2，∵AF ＜BF ，∴x 2＝2舍去，∴AF ＝BG ＝1，BF ＝AE ＝2，∴DE ＝4，CG ＝5，如解图③，连接CE ，则CE ＝5＝CG ，∴点C 在线段EG 的中垂线上，连接EG ，作△EFG 关于EG 的对称图形△EOG ，则△EOG 为等腰直角三角形且∠EOG ＝90°，OE ＝OG ，∴点F 、O 、C 在同一条直线上，以O 为圆心，OE 长为半径作⊙O ，交FC 于点H ，则∠EHG ＝45°，此时，四边形EFGH 就是想要裁得的四边形EFGH 中面积最大的．又∵CF ＝BF 2＋BC 2＝22＋62＝210，且FO ＝EG ＝EF 2＋FG 2＝10，∴OC ＝10.又∵OH ＝OE ＝EF ＝5，∴OH ＜OC ，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH ′部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH ＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522) m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的最大部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.。

专题四 阅读理解问题1．(改编题)定义新运算：ab ＝a (b －1)，若a ，b 是关于一元二次方程x 2－x ＋14m ＝0的两实数根，则bb－aa 的值为( B )A ．－1B ．0C ．1D ．22．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P (3,60°)或P (3，－300°)或P (3,420°)等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是( D )A ．Q (3,240°)B ．Q (3，－120°)C ．Q (3,600°)D ．Q (3，－500°)3．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( A )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D ．2或－ 24．定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝1，则(a ⊗a )＝(b ⊗b )；④若b ⊗a ＝0，则a ＝0或b ＝1.其中结论正确的序号是( D )A ．②④B ．②③C ．①④D ．①③5．(2018·湘潭)阅读材料：若a b ＝n ，则b ＝log N a ，称b 为以a 为底N 的对数．例如23＝8，则log 82＝log232＝3.根据材料填空：log 93＝__2__.6．(原创题)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 为二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，那么当x ＝1时，二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 10 x －1的值为__0__.7．(改编题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的“直角距离”为d (A ，B )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|；已知点A (1,1)，那么d (A ，O )＝__2__.8．已知以点C (a ，b )为圆心，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.例如：已知以点A (2,3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －3)2＝4，则以原点为圆心，过点P (1,0)的圆的标准方程为__x 2＋y 2＝1__.9．设a ，b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b a (a ＞0)，a －b (a ≤0).如1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x －1)＝x －1x 2＋1.(因为x 2＋1＞0)参照上面材料，解答下列问题： (1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；(2)若x ＞12，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x )，求x 的值．解：(2)∵x>12，∴2x －1＞0，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝4x 2－12x －1＝(2x ＋1)(2x －1)2x －1＝2x ＋1，(－4)⊕(1－4x )＝－4－(1－4x )＝－4－1＋4x ＝－5＋4x.∴2x ＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3.10．(2018·内江)对于三个数a ，b ，c 用M {a ，b ，c }表示这三个数的中位数，用max{a ，b ，c }表示这三个数中最大数，例如：M {－2，－1,0}＝－1，max{－2，－1,0}＝0，max{－2，－1，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥－1)，－1 (a ＜－1).解决问题：(1)填空：M {sin45°，cos60°，tan60°}＝__sin__45°__，如果max{3,5－3x,2x －6}＝3，则x 的取值范围为__23≤x ≤92__； (2)如果2·M {2，x ＋2，x ＋4}＝max{2，x ＋2，x ＋4}，求x 的值； (3)如果M {9，x 2,3x －2}＝max{9，x 2,3x －2}，求x 的值．解：(2)当x ＋4＞x ＋2＞2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋2，max {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，∴2·(x ＋2)＝x ＋4，解得x ＝0；当2＞x ＋4＞x ＋2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，max {2，x ＋2，x ＋4}＝2，∴2·(x ＋4)＝2，解得x ＝－3，当x ＋4＞2＞x ＋2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝2，max {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，∴2·2＝x ＋4，解得x ＝0；所以综上所述，x 的值为0或－3；(3)∵将M {9，x 2,3x －2}中的三个元素分别用三个函数表示，即y ＝9，y ＝x 2，y ＝3x －2，在同一个直角坐标系中表示如下：由几个交点划分区间，分类讨论：当x ≤－3时，可知M {9，x 2,3x －2}＝9，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得x 2＝9，x ＝±3，x ＝3(舍)，∴x ＝－3；当－3＜x ＜1时，可知M {9，x 2,3x －2}＝x 2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得x 2＝9，∴x ＝±3(舍)；当1≤x ≤2时，可知M {9，x 2,3x －2}＝3x －2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得3x －2＝9，∴x ＝113(舍)；当2＜x ≤3时，可知M {9，x 2,3x －2}＝x 2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得x 2＝9，∴x＝±3，x ＝－3(舍)，∴x ＝3；当3＜x ≤113时，可知M {9，x 2,3x －2}＝9，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得x 2＝9，∴x ＝±3(舍)；当x ＞113时，可知M {9，x 2,3x －2}＝3x －2，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得3x －2＝x 2，∴x 1＝1(舍)；x 2＝2(舍)．综上所述，满足条件的x 的值为3或－3.11．(2018·德州)【阅读教材】 宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN ＝2)第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DE ，使DE ⊥ND ，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】(1)图③中AB ＝保留根号)；(2)如图③，判断四边形BADQ 的形状，并说明理由； (3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 【实际操作】(4)结合图④.请在矩形BCDE 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．解：(2)四边形BADQ 是菱形．理由如下：∵四边形ACBF 是矩形，∴BQ ∥AD ，∴∠BQA ＝∠QAD ，由折叠得：∠BAQ ＝∠DQA ，AB ＝AD ，∴∠BQA ＝∠BAQ ，∴BQ ＝AB ，∴BQ ＝AD ，∵BQ ∥AD ，∴四边形BADQ 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形BADQ 是菱形；(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE 、矩形MNDE ，以黄金矩形BCDE 为例，理由如下：∵AD ＝5，AN ＝AC ＝1，∴CD ＝AD －AC ＝5－1，又∵BC ＝2，∴CD BC ＝5－12，故矩形BCDE 是黄金矩形； (4)如图，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所要作的黄金矩形长GH ＝5－1，宽BG ＝3－5，BG GH ＝3－55－1＝5－12.12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .【特例探索】(1)如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝22时，a ＝，b ＝；如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝，b ＝；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a 2，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；【拓展应用】(3)如图4，在▱ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝25，AB ＝3.求AF 的长．解：(2)猜想：a 2，b 2，c 2三者之间的关系是：a 2＋b 2＝5c 2，证明：如图3，连接EF ，∵AF ，BE 是△ABC 的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，且EF ＝12AB ＝12c ，∴PE PB ＝PF PA ＝12，设PF ＝m ，PE ＝n 则AP ＝2m ，PB ＝2n ，在Rt △APB 中，(2m )2＋(2n )2＝c 2①，在Rt △APE 中，(2m )2＋n 2＝⎝⎛⎭⎫b 22②，在Rt △BPF 中，m 2＋(2n )2＝⎝⎛⎭⎫a 22③，由①得：m 2＋n 2＝c 24，由②＋③得：5(m 2＋n 2)＝a 2＋b 24，∴a 2＋b 2＝5c 2； (3)如图4，连接AC ，EF 交于H ，AC 与BE 交于点Q ，设BE 与AF 的交点为P ，∵点E ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴EG ∥AC ，∵BE ⊥EG ，∴BE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝25，∴∠EAH ＝∠FCH ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，BF ＝12BC ，∴AE ＝BF＝CF ＝12AD ＝5，∵AE ∥BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴EF ＝AB ＝3，AP ＝PF ，在△AEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAH ＝∠FCH ，∠AHE ＝∠FHC ，AE ＝CF ，∴△AEH ≌△CFH ，∴EH ＝FH ，∴EP ，AH 是△AFE 的中线，由(2)的结论得：AF 2＋EF 2＝5AE 2，∴AF 2＝5(5)2－EF 2＝16，∴AF ＝4.。

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专题29 阅读理解题1．2018·日照定义一种对正整数n的“F”运算：①当n是奇数时，F （n）＝3n＋1；②当n是偶数时,F(n)＝错误!(其中k是使错误!为奇数的正整数)……两种运算交替重复进行．例如，取n＝24，则图Z29－1若n＝13，则第2018次“F”运算的结果是（）A．1 B．4 C．2018 D．420182．2017·百色阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．(1)二次项系数2＝1×2；（2）常数项－3＝－1×3＝1×(－3），验算：“交叉相乘之和"：（3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1，即（x＋1）·（2x－3）＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1）（2x－3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝__________．图Z29－23．2018·聊城若x为实数,则[x］表示不大于x的最大整数，例如［1.6］＝1,［π］＝3,[－2。

82］＝－3等．[x]＋1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式［x］≤x＜［x］＋1。

专题二阅读理解专题学习新的知识、感悟数学思想和方法．它能较好地体现知识的形式、发【课堂精讲】例阅读例题，模拟例题解方程．解方程＋－－＝.解：()当－≥即≥时，原方程可化为：＋－－＝即＋－＝，解得＝，＝－(不合题意，舍去)()当－＜即＜时，原方程可化为：－(－)－＝即－＝，解得＝，＝(不合题意，舍去)综合()、()可知原方程的根是＝，＝.请你模拟以上例题解方程：＋＋－＝.解析：()当＋≥时，即≥－时．原方程可化为：＋－＝.解得＝，＝－.()当＋＜时，即＜－时．原方程可化为：－－＝.解得＝－，＝.经检验，＝－，＝都不符合题意，舍去．综合()、()可知原方程的根为＝，＝－.点评：解决这类题的策略是先理解例题的思想方法，再把这种思想方法迁移到问题中从而得到解决．例条件：如下图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使＋的值最小．方法：作点关于直线的对称点′，连接′交于点，则＋＝′的值最小模型应用：()如图，正方形边长为，为的中点，是上一动点．则＋的最小值是；()如图，⊙的半径为，点、、在⊙上，⊥，∠＝°，是上一动点，求＋最小值是；()如图，∠＝°，是∠内一点，＝，、分别是、上的动点，求△周长的最小值是．解析：关键在于把握题中的两点：第一是动点在哪条线上运动？这条线就确定为对称轴；第二是画出一个点的对称点，并确定符合条件的动点的位置，再进行解答．()在图中，点关于的对称点是，连接交于点，此时点就符合条件，再进行计算．()在图中，点关于的对称点是点，连接交于点，点就是符合条件的点．＋的最小值是，求出的长即可．()在图中，作出关于、的对称点′和″.连接′″交、于、.再连接、.则△的周长最小，此时△的周长＝′″的长．在等腰直角形′″中．求出′″的长即可．答案：．阅读材料，解答问题．用图象法解一元二次不等式，－－＞.解：设＝－－，则是的二次函数．∵＝＞，∴抛物线开口向上．又∵当＝时，－－＝.解得＝－，＝.∴由此得抛物线＝－－的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当＜－或＞时，＞.∴－－＞的解集是：＜－或＞.()观察图象，直接写出一元二次不等式：＜的解集是；()仿照上例，用图象法解一元二次不等式：＜的解集.. 阅读下列材料：解答“已知﹣，且＞，＜，试确定的取值范围”有如下解法：解∵﹣，∴又∵＞，∵＞．∴＞﹣．又∵＜，∴﹣＜＜．…①同理得：＜＜．…②由①②得﹣＜＜∴的取值范围是＜＜请按照上述方法，完成下列问题：（）已知﹣，且＞，＜，则的取值范围是．（）已知＞，＜﹣，若﹣成立，求的取值范围（结果用含的式子表示）．.如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标中，任意两点(，)，(，)的对称中心的坐标为( ， )．()如图，在平面直角坐标系中，若点(，－)，()的对称中心是点，则点的坐标为；()另取两点(－)，(－)．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，…，则点，的坐标分别为、；()求出点的坐标，并直接写出在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标．【高效作业本】专题二阅读理解专题.如图，已知正方形，顶点(，)、()、()．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移个单位”为一次变换．如此这样，连续经过次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为( )．(—) ．（一，一） . (—,—) . (—).定义新运算：对于任意实数，都有△﹣﹣，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：△×﹣﹣﹣，请根据上述知识解决问题：若△的值大于而小于，求的取值范围．．()阅读：探究下表中的奥秘，并完成填空：()若关于的方程＋＋＝的两个根为，，将你发现的结论一般化，并写出来．．阅读下面的例题：解方程－－＝解：()当≥时，原方程化为－－＝解得＝，＝－(不合题意，舍去) ()当＜时，原方程化为＋－＝，解得＝(不合题意，舍去)，＝－所以原方程的解是＝，＝－请参照例题，解方程：－－－＝.【答案】专题二阅读理解专题答案.分析：（）观察图象即可写出一元二次不等式：＜的解集；（）先设函数解析式，根据的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与轴相交的两点，就可以画出抛物线，根据＜确定一元二次不等式＜的解集．解：（）观察图象，可得一元二次不等式＜的解集是：＜＜（）设，则是的二次函数．∵＞，∴抛物线开口向上．又∵当时，，解得，．∴由此得抛物线的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当＜＜时，＜．∴＜的解集是：＜＜点评：本题主要考查在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，可作图利用交点直观求解集．，可知是顶角项正确．.()()；()(－)；()(提示：(，－)，()，(－)，(，－)，(－)，(－)，(，－)，())()∵(，－)→()→(－)→(，－)→(－)→(－)→(，－)→()→…，∴的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以为周期循环．∵÷＝….∴的坐标与的坐标相同，即()；在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标为(－－)，()，( －)，()．【高效作业本】.分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（，），然后根据题意求得第次、次、次变换后的点的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形，点(，)、()、()．∴的坐标变为()∴根据题意得：第次变换后的点的对应点的坐标为（－，－），即（，－），第次变换后的点的对应点的坐标为：（－，），即（，），第次变换后的点的对应点的坐标为（－，－），即（－，－），第次变换后的点的对应点的为坐标为（－，），即（－，）故答案为．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第次变换后的点的对应点的坐标为：当为奇数时为（－，－），当为偶数时为（－，）是解此题的关键．.分析：首先根据运算的定义化简△，则可以得到关于的不等式组，即可求解．解答：△﹣﹣﹣，根据题意得：，解得：＜＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．.()－－－－()＋＋＝(－)(－).解析：()当－≥，原方程为－(－)－＝∵≥∴不符合题意，都舍去()当－＜时，即＜，原方程化为＋(－)－＝解得＋(－)＝解得＝－或＝(都符合题意)所以原方程的解是＝或＝.答案：＝－或＝。

专题二阅读理解专题【考纲与命题规律】考纲要求阅读理解类问题是近几年中考的新题型，主要目的是考查学生通过阅读，学习新的知识、感悟数学思想和方法．它能较好地体现知识的形式、发展的过程．要求学生理解问题，并对其本质进行概括及迁移发展．命题规律阅读题共有三类：(1)图文型(用文字和图形相结合展示条件和问题)；(2)表文型(用文字和表格相结合的形式展示条件和问题)；(3)改错型．无论哪种类型，其解题步骤分为三步：(1)快速阅读，把握大意；(2)仔细阅读，提炼信息或方法；(3)总结方法，建立解决问题的模式．【课堂精讲】例1阅读例题，模拟例题解方程．解方程x2＋|x－1|－1＝0.解：(1)当x－1≥0即x≥1时，原方程可化为：x2＋x－1－1＝0即x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)(2)当x－1＜0即x＜1时，原方程可化为：x2－(x－1)－1＝0即x2－x＝0，解得x3＝0，x4＝1(不合题意，舍去)综合(1)、(2)可知原方程的根是x1＝1，x2＝0.请你模拟以上例题解方程：x2＋|x＋3|－9＝0.解析：(1)当x＋3≥0时，即x≥－3时．原方程可化为：x2＋x－6＝0.解得x1＝2，x2＝－3.(2)当x＋3＜0时，即x＜－3时．原方程可化为：x2－x－12＝0.解得x3＝－3，x4＝4.经检验，x3＝－3，x4＝4都不符合题意，舍去．综合(1)、(2)可知原方程的根为x1＝2，x2＝－3.点评：解决这类题的策略是先理解例题的思想方法，再把这种思想方法迁移到问题中从而得到解决．例2条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA ＋PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB ＝A′B的值最小模型应用：(1)如图1，正方形ABCD边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB＋PE的最小值是______；(2)如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC最小值是______；(3)如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是______．解析：关键在于把握题中的两点：第一是动点在哪条线上运动？这条线就确定为对称轴；第二是画出一个点的对称点，并确定符合条件的动点的位置，再进行解答．(1)在图1中，点B关于AC的对称点是D，连接DE交AC于点P，此时点P就符合条件，再进行计算．(2)在图2中，点A关于OB的对称点是点D，连接DC交OB于点P，点P就是符合条件的点．PA ＋PC的最小值是CD，求出CD的长即可．(3)在图3中，作出P关于OB、OA的对称点P′和P″.连接P′P″交OB、OA于R、Q.再连接PR、PQ.则△PRQ的周长最小，此时△PRQ的周长＝P′P″的长．在等腰直角形P′OP″中．求出P′P″的长即可．答案：523102【课堂提升】1．阅读材料，解答问题．用图象法解一元二次不等式，x2－2x－3＞0.解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x ＜－1或x ＞3时，y ＞0.∴x 2－2x －3＞0的解集是：x ＜－1或x ＞3.(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2-2x-3＜0的解集是________；(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2-5x+6＜0的解集.2. 阅读下列材料：解答“已知x ﹣y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法：解∵x ﹣y =2，∴x =y +2又∵x ＞1，∵y +2＞1．∴y ＞﹣1．又∵y ＜0，∴﹣1＜y ＜0． …①同理得：1＜x ＜2． …②由①+②得﹣1+1＜y +x ＜0+2∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x ﹣y =3，且x ＞2，y ＜1，则x +y 的取值范围是 ．（2）已知y ＞1，x ＜﹣1，若x ﹣y =a 成立，求x +y 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．3.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ） A ． 1，2，3 B ． 1，1， C ． 1，1， D ． 1，2，4．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标中，任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的对称中心的坐标为(122x x + ，122y y + )．(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)，P2(2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为________；(2)另取两点B(－1.6,2.1)，C(－1,0)．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A，B，C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A 的对称点P5处，…，则点P3，P8的坐标分别为____、____；(3)求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．【高效作业本】专题二阅读理解专题1.如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2) D. (—2013,2) 2.定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．3．(1)阅读：探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2－2x＋1＝0 x1＝1，x2＝1 x2－2x＋1＝(x－1)(x－1)x2－3x＋2＝0 x1＝1，x2＝2 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)3x2＋x－2＝0 x1＝，x2＝－1 3x2＋x－2＝3(x－ )(x＋1)2x2＋5x＋2＝0 x1＝____，x2＝____ 2x2＋5x＋2＝2(x＋ )(x＋2)4x2＋13x＋3＝0 x1＝____，x2＝____ 4x2＋13x＋3＝4(x＋____)(x＋____)(2)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1，x2，将你发现的结论一般化，并写出来．4．阅读下面的例题：解方程x2－|x|－2＝0解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)(2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2所以原方程的解是x1＝2，x2＝－2请参照例题，解方程：x2－|x－3|－3＝0.【答案】专题二阅读理解专题答案1.分析：（1）观察图象即可写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集；（2）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，就可以画出抛物线，根据y＜0确定一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集．解：（1）观察图象，可得一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集是：-1＜x＜3（2）设y=x2-5x+6，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3．∴由此得抛物线y=x2-5x+6的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当2＜x＜3时，y＜0．∴x2-5x+6＜0的解集是：2＜x＜3点评：本题主要考查在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，可作图利用交点直观求解集．2.解：（1）∵x﹣y=3，∴x=y+3，又∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞﹣1．又∵y＜1，∴﹣1＜y＜1，…①同理得：2＜x＜4，…②由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5；（2）∵x﹣y=a，∴x=y+a，又∵x＜﹣1，∴y+a＜﹣1，∴y＜﹣a﹣1，又∵y＞1，∴1＜y＜﹣a﹣1，…①同理得：a+1＜x＜﹣1，…②由①+②得1+a+1＜y+x＜﹣a﹣1+（﹣1），∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜﹣a﹣2．本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般．3.分析A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．4.(1)(1,1)；(2)(－5.2,1.2)；(2,3)(提示：P 1(0，－1)，P 2(2,3)，P 3(－5.2,1.2)，P 4(3.2，－1.2)，P 5(－1.2,3.2)，P 6(－2,1)，P 7(0，－1)，P 8(2,3))(3)∵P 1(0，－1)→P 2(2,3)→P 3(－5.2,1.2)→P 4(3.2，－1.2)→P 5(－1.2,3.2)→P 6(－2,1)→P 7(0，－1)→P 8(2,3)→…，∴P 7的坐标和P 1的坐标相同，P 8的坐标和P 2的坐标相同，即坐标以6为周期循环． ∵2012÷6＝335…2.∴P 2012的坐标与P 2的坐标相同，即P 2012(2,3)；在x 轴上与点P 2012，点C 构成等腰三角形的点的坐标为(－3 －1,0)，(2,0)，(3 －1,0)，(5,0)．【高效作业本】1.分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M 的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD ，点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．∴M 的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2）， 第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M 的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2） 故答案为A ．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－n ，－2），当n 为偶数时为（2－n ，2）是解此题的关键．2.分析：首先根据运算的定义化简3△x ，则可以得到关于x 的不等式组，即可求解．解答：3△x=3x ﹣3﹣x+1=2x ﹣2，根据题意得：，解得：＜x ＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．3.(1)－12 －2 －14 －3 143 (2)ax2＋bx ＋c ＝a(x －x1)(x －x2)4.解析：(1)当x－3≥3，原方程为x2－(x－3)－3＝0 ∵x≥3∴不符合题意，都舍去(2)当x－3＜0时，即x＜3，原方程化为x2＋(x－3)－3＝0解得x2＋(x－3)＝0解得x1＝－3或x2＝2(都符合题意)所以原方程的解是x1＝3或x2＝2.答案：x＝－3或x＝2。

二轮复习真题演练阅读理解型问题1．（2018•义乌）在义乌市中小学生“我的中国梦”读数活动中，某校对部分学生做了一次主题为：“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图请你结合图中信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的学生有人，最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的 %；（3）在最喜爱丙类图书的学生中，女生人数是男生人数的1.5倍，若这所学校共有学生1500人，请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人？1．解：（1）共调查的学生数：40÷20%=200（人）；（2）最喜爱丁类图书的学生数：200-80-65-40=15（人）；最喜爱甲类图书的人数所占百分比：80÷200×100%=40%；（3）设男生人数为x人，则女生人数为1.5x人，由题意得：x+1.5x=1500×20%，解得：x=120，当x=120时，5x=180．答：该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有180人，120人．2．（2018•天门）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：根据图表解答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共吨；（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占15，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5 000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 2．解：（1）观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%，∴垃圾总量为5÷10%=50吨，故B类垃圾共有50×30%=15吨，故统计表为：（2）∵C组所占的百分比为：1-10%-30%-54%=6%，∴有害垃圾为：50×6%=3吨；（3）5000×54%×15×0.7＝378（吨），答：每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料．3．（2018•河北）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．回答下列问题：（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．3．解：（1）D错误，理由为：20×10%=2≠3；（2）众数为5，中位数为5；（3）①第二步；②x=4458667220⨯+⨯+⨯+⨯=5.3，估计260名学生共植树5.3×260=1378（颗）．4．（2018•海南）如图，在正方形格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（-5，1）、（-1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1； （2）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2；（3）点C 1的坐标是 ；点C 2的坐标是 ；过C 、C 1、C 2三点的圆的圆弧¼12CC C 的长是 （保留π4．解：（1）△A 1B 1C 1如图所示；（2）△A 2B 2C 2如图所示；（3）C 1（1，4），C 2（1，-4），根据勾股定理，过C 、C 1、C 2三点的圆的圆弧是以CC 2为直径的半圆，¼12CC C 的长π．故答案为：（1，4）；（1，-4）．5．（2018•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD 中，，（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB 边上的D′处，压平折痕交CD 于点E ，则折痕AE 的长为 ；（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E 向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE 于点F ，则四边形B′FED′的面积为 ； （3）如图④，将图②中的△AED′绕点E 顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B ，求弧D′D″的长．（结果保留π）5．解：（1）∵△ADE 反折后与△AD′E 重合，∴==（2）∵由（1）知 ∴BD′=1，∵将四边形BCED′沿D′E 向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′， ∴B′D′=BD′=1，∵由（1）知 ∴四边形ADED′是正方形，，∴S 梯形B′FED′=12（B′F+D′E）•B′D′=1212；（3）∵∠C=90°，EC=1，∴tan ∠BEC=BCCE= ∴∠BEC=60°，由翻折可知：∠DEA=45°， ∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，∴¼DD '''=75360•2π12．6．（2018•北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2019年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为 平方千米；（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2019年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）．则牡丹园的面积为：15%×0.0420%=0.03（平方千米）； （2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2（平方千米）， 则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2×18=3.6（平方千米）， 第七、八界园博会的水面面积之和=1+0.5=1.5（平方千米）， 则水面面积为1.5平方千米， 如图：；（3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500，[ww~w.z%^z&.c@om] 则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×7.4≈3700． 故答案为：0.03；3700． 7．（2018•六盘水）（1）观察发现 如图（1）：若点A 、B 在直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小，做法如下： 作点B 关于直线m 的对称点B′，连接AB′，与直线m 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP+BP 的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小，做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，»AC的度数为60°，点B是»AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸]如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．7．解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE=12∠BCA=30°，BE=1，∴（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵»AC的度数为60°，点B是»AC的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴∵AE的长就是BP+AP的最小值．（3）拓展延伸如图（4）．8．（2018•盐城）阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BF CD的值（用含α的式子表示出来）8．解：（1）猜想：BF=CD ．理由如下： 如答图②所示，连接OC 、OD ．∵△ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AB 的中点， ∴OB=OC ，∠BOC=90°．∵△DEF 为等腰直角三角形，点O 为斜边EF 的中点， ∴OF=OD ，∠DOF=90°．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ， ∴∠BOF=∠COD ．∵在△BOF 与△COD 中，OB OC BOF COD OF OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BOF ≌△COD （SAS ）， ∴BF=CD ． （2）答：（1）中的结论不成立． 如答图③所示，连接OC 、OD ．∵△ABC 为等边三角形，点O 为边AB 的中点， ∴OB OC，∠BOC=90°． ∵△DEF 为等边三角形，点O 为边EF 的中点，∴OF OD=tan30°=3，∠DOF=90°． ∴OB OF OC OD =∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ， ∴∠BOF=∠COD ．在△BOF 与△COD 中， ∵OB OF OC OD =BOF=∠COD ，∴△BOF ∽△COD ，∴BF CD =． （3）如答图④所示，连接OC 、OD ．∵△ABC 为等腰三角形，点O 为底边AB 的中点， ∴OB OC =tan 2α，∠BOC=90°． ∵△DEF 为等腰三角形，点O 为底边EF 的中点，∴OF OD =tan 2α，∠DOF=90°． ∴OB OF OC OD ==tan 2α． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ， ∴∠BOF=∠COD ．在△BOF 与△COD 中， ∵OB OF OC OD ==tan 2α，∠BOF=∠COD ， ∴△BOF ∽△COD ， ∴2BF CD α=． 9．（2018•日照）问题背景： 如图（a ），点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l 的对称点B′，连接A B′与直线l 交于点C ，则点C 即为所求．（1）实践运用： 如图（b ），已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点，则BP+AP 的最小值为 ． （2）知识拓展： 如图（c ），在Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程． 9．解：（1）如图，作点B 关于CD 的对称点E ，连接AE 交CD 于点P ， 此时PA+PB 最小，且等于AE ． 作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=即AP+BP的最小值是故答案为：（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×2∴BE+EF的最小值为10．（2018•衢州）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．10．（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ）， ∴∠ABC=∠ACN ．（2）解：结论∠ABC=∠ACN 仍成立．理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形， ∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ）， ∴∠ABC=∠ACN ．（3）解：∠ABC=∠ACN ．理由如下：∵BA=BC ，MA=MN ，顶角∠ABC=∠AMN ， ∴底角∠BAC=∠MAN ， ∴△ABC ∽△AMN ， ∴AB ACAM AN=， 又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC ，∠CAN=∠MAN-∠MAC ， ∴∠BAM=∠CAN ， ∴△BAM ∽△CAN ， ∴∠ABC=∠ACN ． 11．（2018•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形格（格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ； 拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．11．解：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点． 理由：∵∠A=55°， ∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC ．（2分） ∵∠A=∠B ，∴△ADE ∽△BEC ．∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，∴△AEM ∽△BCE ∽△ECM ，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM ．由折叠可知：△ECM ≌△DCM ，∴∠ECM=∠DCM ，CE=CD ， ∴∠BCE=13∠BCD=30°， ∴BE=12CE=12AB ． 在Rt △BCE 中，tan ∠BCE=BE BC=tan30°，∴BE BC =，∴AB BC =． 12．（2018•南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC ∽△A′B′C′，且沿周界ABCA 与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB 和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC ∽△A′B′C′，且沿周界ABCA 与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB 和△A′B′C′互为逆相似．（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE 与△ABC ；②△GHO 与△KFO ；③△NQP 与△NMQ ；其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 ．（填写所有符合要求的序号）．（2）如图③，在锐角△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ，点P 在△ABC 的边上（不与点A ，B ，C 重合）．过点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为逆相似．请根据点P 的不同位置，探索过点P 的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．12．解：（1）互为顺相似的是 ①；互为逆相似的是 ②③；（2）根据点P 在△ABC 边上的位置分为以下三种情况：第一种情况：如图①，点P 在BC （不含点B 、C ）上，过点P 只能画出2条截线PQ 1、PQ 2，分别使∠CPQ 1=∠A ，∠BPQ 2=∠A ，此时△PQ 1C 、△PBQ 2都与△ABC 互为逆相似．第二种情况：如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．当点P在AM（不含点M）上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．第三种情况：如图③，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AQP1与△ABC互为逆相似；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；当点P在BE（不含点E）上时，过点P3只能画出1条截线P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此时△Q′BP3与△ABC互为逆相似．。

专题四 阅读理解问题1．(改编题)定义新运算：ab ＝a (b －1)，若a ，b 是关于一元二次方程x 2－x ＋14m ＝0的两实数根，则bb －aa 的值为( B )A ．－1B ．0C ．1D ．22．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P (3,60°)或P (3，－300°)或P (3,420°)等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是( D )A ．Q (3,240°)B ．Q (3，－120°)C ．Q (3,600°)D ．Q (3，－500°)3．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( A )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D ．2或－ 24．定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝1，则(a ⊗a )＝(b ⊗b )；④若b ⊗a ＝0，则a ＝0或b ＝1.其中结论正确的序号是( D )A ．②④B ．②③C ．①④D ．①③5．(2018·湘潭)阅读材料：若a b＝n ，则b ＝log Na ，称b 为以a 为底N 的对数．例如23＝8，则log 82＝log232＝3.根据材料填空：log 93＝__2__.6．(原创题)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 为二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，那么当x ＝1时，二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 10 x －1的值为__0__.7．(改编题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的“直角距离”为d (A ，B )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|；已知点A (1,1)，那么d (A ，O )＝__2__.8．已知以点C (a ，b )为圆心，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.例如：已知以点A (2,3)为圆心，半径为2的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －3)2＝4，则以原点为圆心，过点P (1,0)的圆的标准方程为__x 2＋y 2＝1__.9．设a ，b 是任意两个实数，规定a 与b 之间的一种运算“⊕”为a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b aa ＞0a －b a ≤0.如1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x 2＋1)⊕(x －1)＝x －1x 2＋1.(因为x 2＋1＞0)参照上面材料，解答下列问题： (1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；(2)若x ＞12，且满足(2x －1)⊕(4x 2－1)＝(－4)⊕(1－4x )，求x 的值．解：(2)∵x>12，∴2x －1＞0，∴(2x －1)⊕(4x 2－1)＝4x 2－12x －1＝2x ＋12x －12x －1＝2x ＋1，(－4)⊕(1－4x )＝－4－(1－4x )＝－4－1＋4x ＝－5＋4x.∴2x ＋1＝－5＋4x ，解得x ＝3.10．(2018·内江)对于三个数a ，b ，c 用M {a ，b ，c }表示这三个数的中位数，用max{a ，b ，c }表示这三个数中最大数，例如：M {－2，－1,0}＝－1，max{－2，－1,0}＝0，max{－2，－1，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥－1－1 a ＜－1.解决问题：(1)填空：M {sin45°，cos60°，tan60°}＝__sin__45°__，如果max{3,5－3x,2x －6}＝3，则x 的取值范围为__23≤x ≤92__；(2)如果2·M {2，x ＋2，x ＋4}＝max{2，x ＋2，x ＋4}，求x 的值； (3)如果M {9，x 2,3x －2}＝max{9，x 2,3x －2}，求x 的值．解：(2)当x ＋4＞x ＋2＞2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋2，max {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，∴2·(x ＋2)＝x ＋4，解得x ＝0；当2＞x ＋4＞x ＋2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，max {2，x ＋2，x ＋4}＝2，∴2·(x ＋4)＝2，解得x ＝－3，当x ＋4＞2＞x ＋2时，M {2，x ＋2，x ＋4}＝2，max {2，x ＋2，x ＋4}＝x ＋4，∴2·2＝x ＋4，解得x ＝0；所以综上所述，x 的值为0或－3；(3)∵将M {9，x 2,3x －2}中的三个元素分别用三个函数表示，即y ＝9，y ＝x 2，y ＝3x －2，在同一个直角坐标系中表示如下：由几个交点划分区间，分类讨论：当x ≤－3时，可知M {9，x 2,3x －2}＝9，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得x 2＝9，x ＝±3，x ＝3(舍)，∴x ＝－3；当－3＜x ＜1时，可知M {9，x 2,3x －2}＝x 2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得x 2＝9，∴x ＝±3(舍)；当1≤x ≤2时，可知M {9，x 2,3x －2}＝3x －2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得3x －2＝9，∴x ＝113(舍)；当2＜x ≤3时，可知M {9，x 2,3x －2}＝x 2，max {9，x 2,3x －2}＝9，得x 2＝9，∴x ＝±3，x ＝－3(舍)，∴x ＝3；当3＜x ≤113时，可知M {9，x 2,3x －2}＝9，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得x 2＝9，∴x ＝±3(舍)；当x ＞113时，可知M {9，x 2,3x －2}＝3x －2，max {9，x 2,3x －2}＝x 2，得3x－2＝x 2，∴x 1＝1(舍)；x 2＝2(舍)．综上所述，满足条件的x 的值为3或－3.11．(2018·德州)【阅读教材】 宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN ＝2)第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DE ，使DE ⊥ND ，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】(1)图③中AB ＝保留根号)；(2)如图③，判断四边形BADQ 的形状，并说明理由；(3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 【实际操作】(4)结合图④.请在矩形BCDE 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．解：(2)四边形BADQ 是菱形．理由如下：∵四边形ACBF 是矩形，∴BQ ∥AD ，∴∠BQA ＝∠QAD ，由折叠得：∠BAQ ＝∠DQA ，AB ＝AD ，∴∠BQA ＝∠BAQ ，∴BQ ＝AB ，∴BQ ＝AD ，∵BQ ∥AD ，∴四边形BADQ 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形BADQ 是菱形；(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE 、矩形MNDE ，以黄金矩形BCDE 为例，理由如下：∵AD ＝5，AN ＝AC ＝1，∴CD ＝AD －AC ＝5－1，又∵BC ＝2，∴CD BC ＝5－12，故矩形BCDE 是黄金矩形； (4)如图，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所要作的黄金矩形长GH ＝5－1，宽BG ＝3－5，BG GH ＝3－55－1＝5－12.12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .【特例探索】(1)如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝22时，a ＝，b ＝；如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝，b ＝；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a 2，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；【拓展应用】(3)如图4，在▱ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝25，AB ＝3.求AF 的长．解：(2)猜想：a 2，b 2，c 2三者之间的关系是：a 2＋b 2＝5c 2，证明：如图3，连接EF ，∵AF ，BE 是△ABC 的中线，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，且EF ＝12AB ＝12c ，∴PE PB ＝PF PA ＝12，设PF ＝m ，PE ＝n 则AP ＝2m ，PB ＝2n ，在Rt △APB 中，(2m )2＋(2n )2＝c 2①，在Rt △APE 中，(2m )2＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22②，在Rt △BPF 中，m 2＋(2n )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22③，由①得：m 2＋n 2＝c 24，由②＋③得：5(m 2＋n 2)＝a 2＋b 24，∴a 2＋b 2＝5c 2；(3)如图4，连接AC ，EF 交于H ，AC 与BE 交于点Q ，设BE 与AF 的交点为P ，∵点E ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴EG ∥AC ，∵BE ⊥EG ，∴BE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝25，∴∠EAH ＝∠FCH ，∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，BF ＝12BC ，∴AE ＝BF ＝CF ＝12AD ＝5，∵AE∥BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴EF ＝AB ＝3，AP ＝PF ，在△AEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAH ＝∠FCH ，∠AHE ＝∠FHC ，AE ＝CF ，∴△AEH ≌△CFH ，∴EH ＝FH ，∴EP ，AH 是△AFE 的中线，由(2)的结论得：AF 2＋EF 2＝5AE 2，∴AF 2＝5(5)2－EF 2＝16，∴AF ＝4.。