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完全平方公式

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- - -总结. 10、完全平方公式

雷银光

一、公式推导

运用多项式乘法法则计算，通过计算，你能发现什么规律？

（x+2）2=（x+2）（x+2） （m+3）2=（m+3）（m+3） （y+6）2=（y+6）（y+6）

= = =

= = =

（a-4）2=（a-4）（a-4） （b-7）2=（b-7）（b-7） （c-8）2=（c-8）（c-8）

= = =

= = =

一般地：

（a+b）2=（a+b）（_________＋_________）=a2+__________ +b2

（a-b）2=（a-b）（_________—_________）=a2—__________ +b2

由此可得 （a+b）2＝a2＋2ab ＋b2 （a-b）2＝a2－2ab＋b2

我们把具备这种规律的等式叫做完全平方公式.

即：两数和或差的平方等于这两数的平方和加上这两数的积的2倍.

可以简记为：“首平方，尾平方；2倍乘积放中央；同加异减看前方”

下面这两个图形的面积能否说明这两个公式？ -

- - -总结.

例题1、利用完全平方公式计算

(1)(x+32)2 （2） (2x -45y)2 （3）(-3a-2b)2

练习题1：

1、利用完全平方公式计算

（1）(3m-4n)2 (-3x-7y)2 (-2a+3b)2

（2）（-13a+15b）2 （－a－b）2 （－a+12）2

（3）（a+1）2－a2 （a+2b）（a－2b）－（a+b）2 （x－12）2－（x－1）（x－2）

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- - -总结.

2、下面每一组两个代数式有什么不同？请你计算，计算的结果相同吗？为什么？

（1）（2a+b）2 （-2a-b）2

（2）（3m-2b）2 （-3m+2b）2

3、计算:

（1）（2a+1）2=（_____）2+2·____·_____+（____）2=________；

（2）（2x－3y）2=（_____）2－2·____·_____+（_____）2=_______．

4、（____）2=a2+12ab+36b2；（______）2=4a2－12ab+9b2．

5、（3x+A）2=9x2－12x+B，则A=_____，B=______．

6、m2－8m+_____=（m－_____）2．

7、下列计算正确的是（ ）

A．（a－b）2=a2－b2 B．（a+2b）2=a2+2ab+4b2

C．（a2－1）2=a4－2a2+1 D．（－a+b）2=a2+2ab+b2

8、运算结果为1－2ab2+a2b4的是（ ）

A．（－1+ab2）2 B．（1+ab2）2 C．（－1+a2b2）2 D．（－1－ab2）2

9、计算（x+2y）2－（3x－2y）2的结果为（ ）

A．－8x2+16xy B．－4x2+16xy C．－4x2－16xy D．8x2－16xy -

- - -总结. 10、计算（a+1）（－a－1）的结果是（ ）

A．－a2－2a－1 B．－a2－1 C．a2－1 D．－a2+2a－1

二、完全平方式常见的变形式:

abbaba2)(222 abbaba2)(222 （a-b）2=（a+b）2-4ab

（a+b）2=（a-b）2+4ab abbaba4)(22）（ （a-b）2-（a+b）2=-4ab

练习题、应用上述公式填空：

1、若（a+b）2+M=（a－b）2，则M=_____; 2、已知（a－b）2=8，ab=1，则a2+b2=_____．

3、（2m+n）2+mn=（2m-n）2+______________;4、（x-2y）2-2xy=（x+2y）2+______________

三、三项式的完全平方公式

请计算（a+b+c）2=（a+b+c）（a+b+c）

=

=

由此可得三项式完全平方公式 （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

例题2、计算

1、（m+2n-3）2 2、（2a-3b+3）2

练习题2、计算

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- - -总结. 1、（2x-3y++5）2 2、（3x+y-2）2 2、（-x+3y-1）2

4、（32a+2b+21c）2 5、（-x-3y-23）2 6、（-21x+y-23m）2

四、公式的应用

例题3、计算 (m-n+3)(m+n-3) (a+b-5)(a-b+5)

练习题3、计算

1、 (m-x+1)(m+x-1) (2a+b-3)(2a-b+3)

2、(2x-3y+1)(2x+3y-1) (5-a+3b)(a-3b+5)

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- - -总结. 例题3、计算

2012 99.52

练习题3、计算

（1）1000.1 （2） 197 （3） 501 （4） 99.8

例题4、化简求值：

1、已知（x-2y）2=（x+2y）2+m 求m

2、已知a+1a=5，求下列代数式的值

（1）a2+21a （2）（a－1a）2．

练习题4：化简求值

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- - -总结.

课后作业：

1、计算 （1）（-3m-2n）2 （2）（-4a+3b-2c）2

（3）1012 （4）1982 （5）19.92

2、解方程（x－12）2 =（x－1）（x－2）

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- - -总结.

3、化简求值

（1）（3x+2）（3x-2）-5x（x-1）-（2x-1）2，其中，x=-31

（2）已知a+b=4，ab=-2， 求下列代数式的值：（1）a2+b2 （2）（a-b）2

（3）已知x+1x=3，试x2+21x和（x－1x）2的值．

（4）已知（x+y）2 =9，求（x—x1）2的值

3、解不等式：（2x－5）2+（3x+1）2>13（x2－10）+2．

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- - -总结.

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完全平方式是什么？完全平方公式的证明推导过程讲解

完全平方式是什么？完全平方公式的证明推导过程讲解

小升初数学重难点总结：G老师讲奥数 完全平方公式的证明推导过程

完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。

先用代数方法证明，

a²+2ab+b²

=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b) （乘法分配律）

=(a+b)x(a+b)=(a+b)²同理，

a²-2ab+b²=axa-axb-axb+bxb

=ax(a-b)-bx(a-b) （乘法分配律）=(a-b)x(a-b)=(a-b)²

完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，

一起来看看完全平方式的几何证明吧。

如下图所示，两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方

形边长比小正方形多b，求大正方形面积。

显然，大正方形的面积为(a+b)²。它也等于①②③④四部分的面积

和。分别计算四部分的面积，如下图：

小升初数学重难点总结：G老师讲奥数

那么，

大正方形的面积=a²+ab+ab+b²(a+b)²=a²+2ab+b²

同样，我们再来证明(a-b)²=a²-2ab+b²。如下图，大正方形边长为

a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求

小正方形①面积。

小正方①的面积为(a-b)²。

同样，

①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。和G

老师一起分小升初数学重难点总结：G老师讲奥数 别计算下②③④的面积吧

大正方形的面积为a²，小正方形①的面积=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb

即，

(a-b)²=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb展开后，得

(a-b)²=a²-2ab+b²

完全平方式又常常写成：

(a±b)²=a²±2ab+b²

小学阶段对于完全平方式并不要求，但是某些小升初试题中会考到

简单的计算，知道该怎么简便计算即可。

更多小升初数学知识，和“G老师讲奥数”一起学习吧

完全平方公式经典例题

完全平方公式经典例题

第 1 页 共 2 页 完全平方公式经典例题

【原创实用版】

目录

1.完全平方公式的定义和基本形式

2.经典例题解析

3.完全平方公式的应用场景和技巧

正文

一、完全平方公式的定义和基本形式

完全平方公式，又称平方差公式或完全平方差公式，是指两个数的平方和与这两个数的乘积的二倍之间的关系。其基本形式为：(a+b)=a+2ab+b

和 (a-b)=a-2ab+b。

二、经典例题解析

例题 1：求解 (3x+2y) 的值。

解答：根据完全平方公式，(3x+2y)= (3x) + 2*3x*2y + (2y) = 9x +

12xy + 4y。

例题 2：求解 (x-3y+2z) 的值。

解答：根据完全平方公式，(x-3y+2z)= x - 2*x*3y + (3y) - 2*x*2z

+ (2z) = x - 6xy + 9y - 4xz + 4z。

三、完全平方公式的应用场景和技巧

完全平方公式在代数运算中具有广泛的应用，例如求解平方和、平方差、完全平方等。在解题过程中，熟练掌握完全平方公式可以简化运算过程，提高解题效率。

技巧 1：注意符号。在运用完全平方公式时，要特别注意符号。例如，(a+b) 中的 + 号，在展开后应分别与 a 和 b 相乘。 第 2 页 共 2 页 技巧 2：化简表达式。利用完全平方公式，可以将复杂的平方和或平方差表达式化简为更容易计算的形式。

技巧 3：结合其他代数公式。在解题过程中，完全平方公式可以与其他代数公式相结合，如乘法公式、分配律等，以达到更快速地解决问题。

完全平方公式十二种变形

完全平方公式十二种变形

完全平方公式十二种变形

《完全平方公式十二种变形》是数学中的一个重要内容，它是指数的平方和的形式变形，使求解更加简单的方法。这种变形一共有十二种，包括：

1.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

2.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

3.a^2-b^2=(a-b)(a+b)

4.(a+b)^2-(a-b)^2=4ab

5.(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

6.(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

7.a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

8.a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

9.(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

10.(a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac

11.(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

12.(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4这些变形在代数运算、解方程、证明等数学问题中都有广泛的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学水平。

初中数学完全平方公式

初中数学完全平方公式

初中数学完全平方公式

完全平方公式是指一些特定的二元二次方程式可以通过一个完全平方公式来求解。完全平方公式的形式通常为x^2 + bx + c = (x + m)^2，其中b为常数，m为待求解的常数。为了解决完全平方公式，可以通过解方程x^2 + bx + c = 0来找到x的值。

在初中数学中，我们通常遇到的是一元二次方程，即方程的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。解一元二次方程可以通过两种常用方法：配方法和因式分解方法。完全平方公式就是在配方法的基础上发展而来的。

完全平方公式的基本形式是(x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2，其中m为常数。将该公式与一元二次方程ax^2 + bx + c = 0进行比较，可以得到如下关系：

x^2 + 2mx + m^2 = ax^2 + bx + c。

通过比较系数，我们可以得到以下等式：

a=1，2m=b，m^2=c。

解完全平方公式的步骤如下：

1.将一元二次方程的系数与完全平方公式的系数进行比较，确定a、b、c的值。

2.通过等式2m=b，可以解出m的值。

3.将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值。 4.验证一下解是否正确，将a、b、c的值代入一元二次方程中进行计算。

下面举一个例子来说明完全平方公式的应用。

例题：解方程x^2+10x+25=0。

解：比较一元二次方程与完全平方公式的系数：

a=1，b=10，c=25

根据等式2m=b，可以解出m的值：

2m=10，m=5

将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值：

5^2=c，c=25

验证解的正确性，将a、b、c的值代入一元二次方程中计算：

1(x^2)+10x+25=0。

式子两边都乘以1，得到：

x^2+10x+25=0。

由此可见，方程x^2+10x+25=0的解为x=-5

完全平方公式的应用不仅限于解方程，还可以用来化简一些特定的代数表达式。例如，我们可以通过完全平方公式化简(x+m)^2-(x+n)^2这样的表达式。