完全平方公式

小升初数学重难点总结：G老师讲奥数 完全平方公式的证明推导过程

完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。

先用代数方法证明，

a²+2ab+b²

=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b) （乘法分配律）

=(a+b)x(a+b)=(a+b)²同理，

a²-2ab+b²=axa-axb-axb+bxb

=ax(a-b)-bx(a-b) （乘法分配律）=(a-b)x(a-b)=(a-b)²

完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，

一起来看看完全平方式的几何证明吧。

如下图所示，两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方

形边长比小正方形多b，求大正方形面积。

显然，大正方形的面积为(a+b)²。它也等于①②③④四部分的面积

和。分别计算四部分的面积，如下图：

小升初数学重难点总结：G老师讲奥数

那么，

大正方形的面积=a²+ab+ab+b²(a+b)²=a²+2ab+b²

同样，我们再来证明(a-b)²=a²-2ab+b²。如下图，大正方形边长为

a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求

小正方形①面积。

小正方①的面积为(a-b)²。

同样，

①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。和G

老师一起分小升初数学重难点总结：G老师讲奥数 别计算下②③④的面积吧

大正方形的面积为a²，小正方形①的面积=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb

即，

(a-b)²=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb展开后，得

(a-b)²=a²-2ab+b²

完全平方式又常常写成：

(a±b)²=a²±2ab+b²

小学阶段对于完全平方式并不要求，但是某些小升初试题中会考到

简单的计算，知道该怎么简便计算即可。

更多小升初数学知识，和“G老师讲奥数”一起学习吧

课题：§1·6 完全平方公式（第1课时）

【北师大版七年级下学期】

内容分析

1．课标要求

数学课标要求在数学课程中，应该当注重发展学生的符号意识、运算能力、推理能力和模型思想．而学生已经学习并掌握了有理数的运算，合并同类项，多项式与多项式相乘等知识，通过学习本节课的学习，能够进一步发展学生的符号意识，运算能力和归纳能力等，同时利用完全平方公式进行运算过程中，有助于学生理解运算的算理，为下一节课解决有些类型的 简便运算的问题打下坚实的基础．

2．教材分析

（1）知识技能：学生在已经学习了有理数的运算，整式及其加减，幂的有关运算，整式的乘法等知识之后，自然过渡到多项式与多项式的乘法的特殊情况即两个相同的多项式相乘，本节课所学知识对今后学习因式分解，分式的计算以及解一元二次议程也奠定了坚实的基础．

（2）数学能力：学生已经具备了合并同类项法则，幂的有关计算法则，多项式乘以多项式的法则等有关整式计算的能力，也从以往的学习过程中累积了一定的归纳与推理能力．本节课是继“平方差公式”之后学习的另一个公式．对于这个公式的学习，本质上还是归纳与推理的一个过程，通过例子总结归纳出完全平方公式的含义，继而运用完全平方公式进行准确计算．

（3）数学思想：本节课的学习让学生经历从特殊到一般的推理过程，掌握推理过程中的归纳思想．并让学生用几何图形理解完全平方公式中，渗透数形结合的思想，体会模型的作用．

3．学情分析

学习本节课知识应该具备的知识和能力有：有关有理数的运算，整式的加减，整式的乘法等计算能力．而学生对于本节课要学习的知识已经具备的有：学生已经具备了多项式乘以多项式的能力，能够整理出公式的右边形式，主要是让学生在学习学习过程中归纳出从特殊到一般的规律，从而总结出完全平方公式，并能正确的使用公式．

教学目标

1．知识技能：经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算． 2．数学能力：经历推导完全平方公式的过程，发展符号意识和推理能力及归纳能力．

完全平方公式十二种变形

《完全平方公式十二种变形》是数学中的一个重要内容，它是指数的平方和的形式变形，使求解更加简单的方法。这种变形一共有十二种，包括：

1.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

2.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

3.a^2-b^2=(a-b)(a+b)

4.(a+b)^2-(a-b)^2=4ab

5.(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

6.(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

7.a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

8.a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

9.(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

10.(a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac

11.(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

12.(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4这些变形在代数运算、解方程、证明等数学问题中都有广泛的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学水平。

初中数学完全平方公式

完全平方公式是指一些特定的二元二次方程式可以通过一个完全平方公式来求解。完全平方公式的形式通常为x^2 + bx + c = (x + m)^2，其中b为常数，m为待求解的常数。为了解决完全平方公式，可以通过解方程x^2 + bx + c = 0来找到x的值。

在初中数学中，我们通常遇到的是一元二次方程，即方程的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。解一元二次方程可以通过两种常用方法：配方法和因式分解方法。完全平方公式就是在配方法的基础上发展而来的。

完全平方公式的基本形式是(x + m)^2 = x^2 + 2mx + m^2，其中m为常数。将该公式与一元二次方程ax^2 + bx + c = 0进行比较，可以得到如下关系：

x^2 + 2mx + m^2 = ax^2 + bx + c。

通过比较系数，我们可以得到以下等式：

a=1，2m=b，m^2=c。

解完全平方公式的步骤如下：

1.将一元二次方程的系数与完全平方公式的系数进行比较，确定a、b、c的值。

2.通过等式2m=b，可以解出m的值。

3.将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值。 4.验证一下解是否正确，将a、b、c的值代入一元二次方程中进行计算。

下面举一个例子来说明完全平方公式的应用。

例题：解方程x^2+10x+25=0。

解：比较一元二次方程与完全平方公式的系数：

a=1，b=10，c=25

根据等式2m=b，可以解出m的值：

2m=10，m=5

将m的值代入m^2=c中，可以解出c的值：

5^2=c，c=25

验证解的正确性，将a、b、c的值代入一元二次方程中计算：

1(x^2)+10x+25=0。

式子两边都乘以1，得到：

x^2+10x+25=0。

由此可见，方程x^2+10x+25=0的解为x=-5

完全平方公式的应用不仅限于解方程，还可以用来化简一些特定的代数表达式。例如，我们可以通过完全平方公式化简(x+m)^2-(x+n)^2这样的表达式。