完全平方公式

- 1 - 完全平方公式12种变形公式

完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。它具有广泛的应用，如科学、工程等。

完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。下面分别介绍它们的变形过程和形式：

1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。

2.方相加变形：即左边的方程可以变成

[x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为

[ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。

3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。

4.方相减变形：即左边的方程可以变成

[x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为

[ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。

5.项变形：即左边的方程可以变成

[x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为

[ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。

6.积变形：即左边的方程可以变成

[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为 - 2 - [ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。

7. 乘积变形：即左边的方程可以变成

[x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为

[ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。

第三讲 完全平方公式

【基础知识精讲】

1．完全平方公式

（1）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a－b）2＝a2－2ab＋b2 右边是三项

（2）公式特征

左边：二项式的平方

右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．

注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．

（3）公式中字母可代表的含义

公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．

（4）几何解释

图1－5

图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2 ②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．

2．三个数的完全平方式

（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc

【学习方法指导】

［例1］计算

（1）（3a＋2b）2 （2）（mn－n2）2

［例2］计算

（1）（－m－n）2 （2）（－5a－2）（5a＋2）

［例3］计算

（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）

（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）

［例4］计算：（x＋2y）2－（x－2y）2

［例5］计算：（a－2b＋1）（a＋2b－1）

［例6］利用公式计算：1962

例7］某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？

完全平方公式练习

1．填空：

（1）2)2(nm________； （2）2)13(x________；

（3）23243nm________； （4）2)32(yx________；

（5）223.032aa________； （6）2261zyx________；

（7）227)3(a________；

完全平方公式

在数学的奇妙世界里，有一个非常重要的公式，那就是完全平方公式。它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们轻松解决许多数学问题。

完全平方公式包括两个：一个是两数和的完全平方公式，即\（（a

＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）；另一个是两数差的完全平方公式，即\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。

咱们先来看看两数和的完全平方公式\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab

＋ b^2\）。为了更好地理解它，我们可以通过一个实际的例子来感受一下。

假设小明有一个边长为\（a\）的正方形花坛，后来他在旁边又扩建了一个宽为\（b\）的长方形花坛。那么现在整个花坛的面积是多少呢？

原来正方形花坛的面积是\（a^2\），扩建的长方形花坛的面积是\（2ab\）（因为长方形的长是\（a\），宽是\（b\），面积就是\（ab\），两边都有所以是\（2ab\）），新扩建的小正方形花坛面积是\（b^2\）。所以整个花坛的面积就是\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），而这恰好就是\（（a

＋ b)＾2\）展开后的结果。

再来说说两数差的完全平方公式\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。

比如小红有一块边长为\（a\）的正方形布料，她从中间裁掉了一个边长为\（b\）的小正方形。那么剩下布料的面积是多少呢？ 原来正方形布料的面积是\（a^2\），裁掉的小正方形面积是\（b^2\），由于裁掉的部分在原来正方形的内部，所以重叠了两次，重叠部分的面积是\（2ab\）。那么剩下布料的面积就是\（a^2 2ab ＋

b^2\），这正好就是\（（a b)＾2\）展开后的式子。

掌握完全平方公式对于解决代数问题非常有帮助。比如在进行因式分解的时候，如果我们遇到了形如\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）或者\（a^2

2ab ＋ b^2\）的式子，就可以直接利用完全平方公式将其转化为\（（a

完全平方公式知识讲解

二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c是已知常数，而x是未知数。完全平方公式的形式为 x = (-b ± √(b^2 -

4ac)) / 2a。

让我们详细解释一下完全平方公式的推导过程。

首先，我们要将二次方程写成平方的形式。我们可以通过配方来完成这一步骤。

将二次方程移项，我们得到 ax^2 + bx = -c。

接下来，我们需要创建一个完全平方。我们可以通过将b的一半平方加入方程的两边来实现这一点。

这意味着我们需要将b/2平方并加入方程两边。形式上写为(b/2)^2

通过这样做，我们可以将方程转变为一个完全平方的形式。现在方程变为 (ax^2 + bx + (b/2)^2) = (b/2)^2 - c。

简化方程，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。

将方程再次移项，我们得到 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。

注意到，左边的式子是两个平方的差。这是一个重要的公式，称为平方差公式。

平方差公式是 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2、应用这个公式，我们可以将方程进一步简化为 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。

通过移项，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。 然后，我们可以开始解方程。首先，我们要对两边的式子开根号，可以得到 ax + b/2 = ±√((b^2/4) - c)。

接下来，我们继续化简。我们将b/2移项，得到 ax = -b/2 ±

√((b^2/4) - c)。

最后，我们将x与a相除，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。这就是完全平方公式的最终形式。

需要注意的是，完全平方公式只适用于二次方程。对于高次方程，我们需要采用其他方法来求解。

总结起来，完全平方公式是一个用于求解二次方程的重要公式。它通过将二次方程转化为完全平方的形式，然后应用平方差公式和开根号运算，最终得到方程的解。了解和掌握完全平方公式对于学习和解决二次方程问题非常重要。