第 1 页 共 21 页 新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义 解三角形
内容简介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
解三角形应用举例
【知识要点】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点诠释：
要点二、解三角形应用题的基本思路 实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点B的方位角是0135。 第 2 页 共 21 页
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
1 1.2 第3课时三角形中的几何计算
A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b＝4，cos C＝45，则△ABC的面积是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
解析：因为cos C＝45，C∈(0，π)，
所以sin C＝35，
所以S△ABC＝12absin C＝12×5×4×35＝6.
答案：B
2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为( )
A．45° B．60° C．120° D．150°
解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以4·12bcsin A＝2bccos A，
所以tan A＝1，
又因为A∈(0°，180°)，
所以A＝45°.
答案：A
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为( )
A.12 B.32 C.3 D．23
解析：S△ABC＝12AB·AC·sin A＝32.
答案：B
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝π3，当△ABC的面积等于3时，tan C等于(
)
A.3 B．－3 C．－23 D．－2
解析：S△ABC＝12acsin B＝12·1·c·32＝3，所以c＝4， 2 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
所以b＝13，
所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝－113，
所以sin C＝1213，
所以tan C＝sin Ccos C＝－12＝－23.
答案：C
5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝6，cos A＝78，则△ABC的面积等于( )
A.152 B.15 C．2 D．3
解析：因为b2－bc－2c2＝0，
所以(b－2c)(b＋c)＝0，
所以b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4，
1
科目 数学 课题 27.2.2相似三角形应用举例（1） 课型 新授
学习
目标 1、 学会运用两个三角形相似解决实际问题。
2、 培养自己的观察、归纳、建模、应用能力。
3、 经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展自己的抽象概括能力。
重点 运用两个三角形相似解决实际问题。
难点 在实际问题中建立数学模型。
活动一：复习引入
1、什么是相似三角形？什么是相似三角形的相似比？ 导学说明 反思
2
2、怎样判定两个三角形相似？
活动二：探究新知
利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
“相似三角形对应边的比相等” 四条对应边中若已知___条则可求第四条
例题1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原
理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图（一）所示，如果木杆EF长2米，它的影长FD为3米，测得OA为201米，求金字塔的高度BO。
解：由太阳光是平行光线可知
BF∥ED
∴BAO_______
又∵90AOBDFE
∴ABO∽_________
∴BOOAEFFD 以旧引新，建立新旧知识间的联系。
通过解决“泰勒斯测量金字塔的高度”问题，培养自己学习数学的兴趣，并在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法。
B
O A(F) D E
图（一）
3
∴BO_______________________
答：__________________________________________。
例题2、如图（二）所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得45QSm，90STm，60QRm，求河的宽度PQ.
相似三角形
1．某一时刻，身高1.6 m的小明在阳光下的影子是0.4 m．同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度为( C )
A．1.25 m B．10 m C．20 m D．8 m
2．[2013·北京]如图27－2－52，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( B
)
图27－2－52
A. 60 m B. 40 m C. 30 m D. 20 m
【解析】 由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴ABCD＝BECE
∵BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，
∴AB20＝2010，
解得：AB＝40，故选B.
3. [2013·白银]如图27－2－53，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长__5__米．
图27－2－53
【解析】根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知ABOC＝AMOA＋AM，即1.68＝AM20＋AM，
解得AM＝5，则小明的影长为5米．
4. [2013·巴中]如图27－2－54，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 m的位置上，则球拍击球的高度h为__1.5__m__．
图27－2－54
第4题答图
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即DEBC＝AEAB，
则0.8h＝44＋3.5，
∴h＝1.5 m.
故答案为：1.5 m.
5．如图27－2－55，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝__2.5__mm.
