表示两个变量之间的关系

领航两个变量之间的关系一、知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

相关关系因果关系共变关系相关关系、因果关系和共变关系是统计学中常用的概念。

它们可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，从而做出更准确的分析和预测。

相关关系是指两个或多个变量之间的关系。

当一个变量的值发生变化时，另一个变量的值也会发生变化。

相关关系可以用相关系数来衡量，相关系数的取值范围为-1到1。

当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有相关关系。

因果关系是指一个变量的变化会导致另一个变量的变化。

因果关系可以用实验来验证，例如在实验中改变一个变量的值，观察另一个变量的变化。

如果改变一个变量的值确实导致了另一个变量的变化，那么就可以认为这两个变量之间存在因果关系。

共变关系是指两个变量之间存在相关关系，但是不能确定其中一个变量是另一个变量的原因。

例如，两个变量之间可能存在正相关关系，但是不能确定哪个变量是因，哪个变量是果。

在这种情况下，需要进一步的研究来确定两个变量之间的因果关系。

在实际应用中，相关关系、因果关系和共变关系都有很重要的作用。

例如，在市场营销中，可以通过分析顾客的购买记录和个人信息来确定哪些因素与购买行为有关系，从而制定更有效的营销策略。

在医学研究中，可以通过实验来确定某种药物对疾病的治疗效果，从而为临床治疗提供依据。

总之，相关关系、因果关系和共变关系是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，从而做出更准确的分析和预测。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来分析数据之间的关系，从而得出有用的结论。

领航两个变量之间的关系一、知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

BL—01(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

变量之间的关系讲解【根底知识】知识点一：有关变量的根本概念1、变量：在某一过程中发生变化的量,其中包括自变量与因变量.2、自变量是最初变动的量,它在研究对象反响形式、特征、目的上是独立的；3、因变量是由于自变量变动而引起变动的量,它“依赖于〞自变量的改变.4、常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量^知识点二：变量的表示方法1 .列表法采用数表相结合的形式,运用表格可以表示两个变量之间的关系.列表时一般第一行代表自变量,第二行代表因变量,选取能代表自变量的一些数据,并按从小到大的顺序列出,再分别求出对应的因变量的值.优点：直观,可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值,缺点：具有局限性,只能表示因变量的一局部.2 .图象法对于在某一变化过程中的两个变量,把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出这些点,这些点所组成的图形就是它们的图象〔这个图象就叫做平面直角坐标系〕.它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法.特点：非常直观.缺乏之处是所画的图象是近似的、局部的,通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的.表示的步骤是：①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值.一般给出的数越多,画出的图象越精确.②描点：在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴〔横轴或x轴〕上的点来表示自变量,用竖直方向的数轴〔纵轴或y轴〕上的点来表示因变量.③连线：根据自变量从小到大的顺序, 用平滑的曲线把所描的各点连结起来. 注意：a.认真理解图象的含义,注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义〔坐标〕^3 .关系式法〔解析法〕关系式〔即解析式〕是利用数学式子来表示变量之间关系的等式,利用关系式,可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值,也可以因变量的值求出相应的自变量的值.注意：三种表示方法的关系表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系,关系式可以列出表格,画出图象,表格、图象却不一定有相应的关系式.但是,关系式确实定也是根据表格、图象所提供的信息,用从特殊到一般的数学思想,经过类比、比拟和归纳,从而猜测得出结论进行验证后的结果.知识点三：事物变化趋势的描述对事物变化趋势的描述一般有两种：1 .随着自变量x的逐渐增加〔大〕,因变量y逐渐增加〔大〕〔或者用函数语言描述也可：因变量y 随着自变量x的增加〔大〕而增加〔大〕〕；2 .随着自变量x的逐渐增加〔大〕,因变量y逐渐减小〔或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加〔大〕而减小〕注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样,可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加〔大〕,因变量y逐渐增加〔大〕等等. 知识点四：估计〔或者估算〕对事物的估计〔或者估算〕有三种：1.利用事物的变化规律进行估计〔或者估算〕.例如：自变量x每增加一定量, 因变量y的变化情况；平均每次〔年〕的变化情况〔平均每次的变化量=〔尾数—首数〕/次数或相差年数〕等等；2 .利用图象：首先根据假设干个对应组值,作出相应的图象,再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；3 .利用关系式：首先求出关系式,然后直接代入求值即可^知识点五：两种图像的区别 ---平行于横轴的意义1、v-t 〔速度与时间〕说明：线段.■OA表示汽车正在加速行驶:/ \/Jt.X_L——OC p T线段AB 表小汽车正在匀速行驶,线段BC 表小汽车正在减速行驶；线段CD 表不 汽车停止了行驶.1、s-t (距离与时间)1 .某校办工厂现在年产值是 15万元,方案以后每年增加 2万元.(1) 写出年产值y (万元)与年数 x 之间的关系式.(2) 用表格表示当x 从0变化到6 (每次增加1) y 的对应值. (3)求5年后的年产值.说明：线段OA 表小汽车正在离开出发地,线段AB 表小汽车停止了行驶(V=0, S 不变)线段BC 表示汽车正在返回出发地,线段CD 表示汽车已经回到了出发地并停止了. (S=0, V=0) 注意：理解平行于横轴的线段的不同含义(在这段时间内因变量不变)、 知识点六：变化速度的比拟在相同时间内因变量变化速度的比拟,哪一支图像更陡一些,这支图像代表 的因变量的变化会更快一些.1、增长速度2 .如图10,反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图.(1) 图中反映了哪两个变量之间的关系？⑵.超市离家多远？ (2) 小明到达超市用了多少时间？⑸.小明往返花了多少时间？ (3) 小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？(4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少?甲图像更陡,所以甲增长的更快.2、下降速度3 .如图,它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况.到十点时,甲大约走了13千米.根据图象答复：甲图像更陡,所以甲速度下降的更快. 【例题讲解】（1）甲是几点钟出发？（2）乙是几点钟出发,到十点时,他大约走了多少千米?（3）到十点为止,哪个人的速度快？（4）两人最终在几点钟相遇？（5）你能将图象中得到信息,编个故事吗？【随堂练习】-、选择题1.下面的图表列出了一项试验的统计数据,表示将皮球从高处d落下时,反弹高度b与的是〔〕A. b=2d B, b=2 C, b=d+25 D, b = d-252 .皮球从空中落下时从地面弹起的高度y 〔米〕与其下落的高度x 〔米〕存在一定的关系.下表是一组试验数据.以下能表示这种关系的是〔〕卜落的局度x 〔米〕50100150200弹起的高度y 〔米〕2550751002A. y=x B,y=2x C, y=x-251D, y=2x33 .三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水,如果平均每天流入库区的水量为am ,平均每天流出的水量限制为bm 3,当蓄水水位低于135m时,b<a；当蓄水水位到达135m时,b=a,设库区的蓄水量y〔m3〕是随时间t 〔天〕变化而变化4 .如图是反映两个变量关系的图,以下的四个情境比拟适宜该图的是〔〕A.一杯热水放在桌子上,它的水温与时间的关系B, 一辆汽车从起动到匀速行驶,速度与时间的关系C, 一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系D,踢出的足球的速度与时间的关系5.如图,射线l甲、l乙分别表示甲、乙两名运发动在自行车比赛中所走路程与6.如图,以下图是汽车行驶速度〔千米/时〕,和时间〔分〕的关系图,以下说法其中正确的个数为〔〕〔1〕汽车行驶时间为40分钟；〔2〕 AB表示汽车匀速行驶；〔3〕在第30分路程〔千米〕钟时,汽车的速度是 90千米/时；〔4〕第40分钟时,汽车停下来了 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个某校办工厂今年前5个月每月生产某种产品总量〔件〕与时间〔月〕的关系如以下图所示,那么对于该厂生产这种产品的说法正确的选项是〔〕A. 1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月每月生产总量逐月减少B. 1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月每月生产总量与 3月持平C. 1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月均停止生产D. 1月至3月每月生产总量不变,4、5两月均停止生产如图、是某地一天的气温随时间变化的图像,根据图像可知,在这一天中最高气温与到达最高气温的时刻分别是〔〕A. 14 C, 12 时B. 4 C, 2 时C. 12C, 14 时D. 2 C, 4 时〔不超过局部仍按每立方米2元计算〕.现假设该市某户居民某月用水X 立方米 水费为y 元,那么y 与x 的函数关系用图象表示正确的选项是〔〕10.甲乙两同学约定游戏规那么：甲先骑自行车到终点后跑步回起点,而乙那么跑步到 终点后骑自行车回起点,两人同时出发,最后两人同时回到起点.甲骑自行车速度比乙骑自行车速度快,假设某人离开起点的距离与所用时间的关系 可用图象表示,那么以下选项正确的选项是〔〕2004年6月3日中央新闻报道,为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民 用水收费标准：①假设每月每户居民用水不超过4立方米,那么按每立方米2元计算;②假设每月每户居民用水超过4立方米,那么超过局部按每立方米4.5元计算13 .长方形白^宽为6cm,那么它的周长L 与长a 之间的关系为14 .声音在空气中传播的速度y 〔m/s 〕与气温x 〔oC 〕之间在如下关系：CD ,与文t 博］A.甲是图〔1〕,乙是图〔2〕; C.甲是图〔1〕,乙是图〔4〕;、填空题：B.甲是图〔3〕,乙是图〔2〕; D.甲是图〔3〕,乙是图〔4〕;11 _________________________________________________ .假设x 是自变量,y 是因变量,那么 y 应随x 的 而 12.某人以每小时 m 千米的速度从甲地向乙地行走,假设甲、乙两地相距S 千米,那么当他行走了 x 小时后,他距乙地还有y 千米,在这个问题中,与 是常量,—是自变量；—是因变量. 7. 8. 9.3 y =-x +331.5 (1)当气温 x=15 oC 时,声音的速度 y= m/s o (2)当气温 地相距x=22 oC 时,某人看到烟花燃放 5s 后才听到声响,那么此人与燃放 间的关系的图象如图.根据图象解决以下问题：(1)谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间? (2)分别求出甲、乙两人的行驶速度 .(3)乙经过几分钟追上甲？这时两人距B 地还有多远？m. 15. 汽车以60km/h 速度匀速行驶,随着时间 也随着变化,那么它们之间的关系式为t (时)的变化,汽车的行驶路程 s 16. 一辆汽车以45km/h 的速度行驶,设行驶的路程为s(km),行驶的时间为t(h),那么s 与t 的关系式为,自变量与因变量分别是17. 拖拉机工作时,油箱中的余油量 Q (升)与工作时间t (时)的关系式为Q=4018. 19. 20. 21. 22. 23. —6to 当 t=4 时,Q=小时一个长方形周长为 关系式是,从关系式可知道这台拖拉机最多可工作12, 一边长为x,―,当x=2时,等腰三角形的底角的度数为x, 为.在弹性限度内,一弹簧长度 y (cm)小明某天上午9时骑自行车离开家,15时回家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图面积y 随x 的变化而变化,那么y 与x 的y=顶角的度数为y,那么y 关于x 的关系式与所挂物体的质量x (kg)之间的关系(1) (2) (3)(4)(5)(6)图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量? 10时和13时,他分别离家多远？ 他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ 11时到12时他行驶了多少千米？ 他可能在哪段时间内休息,并吃午餐？ 他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？式是y= 2 x+10 ,如果该弹簧最长可以拉伸到20cm ,那么它所挂物体的最大质5量是.一圆锥的底面半径是 5cm,当圆锥的高由2cm 变到10cm 时,圆锥的体积由 3 一〜,cm 变到 3 cm 小雨拿5元钱去邮局买面值为 80分的邮票,小雨买邮票后所剩钱数y (元) 与买邮票的枚数x (枚)之间的关系式为 . 解做题：甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A 地到B 地,行驶过程中路程与时24.时间/分1 2 3 4 5 6 7卜表是佳佳往妹妹家打长途 的几次收费记载:费/元0.6 1. 2 1. 8 2. 4 3. 0 3. 6 4. 2(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)如果用x表示时间,用y表示费,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么？(3)佳佳某次打所用时间为5分钟,那么需付费多少元？(4)你能帮佳佳预测一下,如果她打用时间是10分钟,那么需付多少电话费？【课后练习】1、如图,L甲、L乙分别表示甲、乙两名运发动在自行车比赛中所走路程与时间的关系,那么它们的平均速度的关系是()A.甲比乙快B,乙比甲快C.甲、乙同速D.不一定信」2、李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行驶,中途由于自行车发生故障,停卜修车耽误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度,但仍保持匀速行驶, 结果准时到校.在课堂上,李老师请学生画出表示自行车行驶路程s(km)与行驶时间；(h)关系的示意图,同学们画出的示意图有如下四种,你认为哪幅图能较好地刻画李老师行驶的路程与时间的变化关系()3、某人骑车上路,一开始以某一速度行进,途中车子发生故障,只好伊F来修车,车修好后,因怕耽误上路时间,于是就加快了车速.如用s表示此人离家的距离,t为时间,在下面给出的四个表示s与t的关系的图象中,符合以上情况的是()山……一人申…r「4、某校举行趣味运动会,甲、乙两名学生[/同时从A地到B地,甲先骑自行车到B地后//跑步回A地,乙那么是先跑步到B地,后骑自,,一* 为1口c1Q| J(C)(D)/.1行车回A地(骑自行车速度快于跑上/一步速度),最后两人恰好同时回到A门g 1r '门心'地；甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,假设学生离开A地的距离S与所用时间t的关系用图象表示(实线表示甲的图象,虚线表示乙的图象),那么图中正确的选项是()ji S t L^*本~~/ o r O f °(A)(H)(C)U»5、“龟兔赛跑〞讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟,骄傲起来, 睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还时先到达了终点••….・用S I、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,那么以下图象中与故事情节相吻合的是()(A)(B)(C)<D)6、如图,以下图是汽车行驶速度〔千米/时〕和时间〔分〕 的关系图,以下说法其中正确的个数为(1) (2) (3) (4)A.7、某气象研究中央观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程. /h. 4h 后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均增速9、某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为 Q1吨,加油飞机的加油油箱余 油量为Q2吨,加油时间为t 分钟,Q1、Q2与t 之间的函数图象如下图,结合 图象答复以下问题：〔1〕加油飞机的加油油箱中装载了 吨油,将这些油全部加给运输飞机需 分钟.〔2〕运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用？请说明理由.速保持不变,当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少 1km/ h,最终 停止.结合风速与时间的图象,答复以下问题.8、一位农民带上假设干千克自产的土豆进城出售.为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数 〔含备用零钱〕的关系,如图,结合图象答复以下问题：〔1〕农民自带的零钱是多少？ 〔2〕求出降价前每千克的土豆价格是多少？〔3〕降价后他按每千克 0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱〔含备用零钱〕10、汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,我们称这段距离为 刹车距离岁同类车而言,速度越大,刹车距离〞越长；速度越小,“刹车距离〞越短.交警同志在处理交通撞车事故时,通常把 刹 车距离〞作为一重要分析数据,现有一个限速 40km/h 以内的弯道上,甲、乙两车 相向而行,各自发现情况后,同时刹车,但还是相撞了,事故后,现测得甲车的是26元,试问他一共带了多少千克土豆?开始时平均增速 2 km4km/h. 一段时间内风汽车行驶时间为 40分钟；AB 表示汽车匀速行驶；在第30分钟时,汽车的速度是 第40分钟时,汽车停下来了B. 2个C. 3个刹车距离为5m,乙车的刹车距离超过10m,但小于12m,甲车的刹车距离S甲米？何时到达终点？〔2〕摩托车何时开得最快？2〔m〕与车速V甲〔km/h〕有以下关系：S? 二一V甲,乙车的刹车距离S乙〔m〕151与车速V乙〔km/h〕有如下关系：5乙=-V乙,假假设你是一名交警,这次事故谁应4摩托车何时第一次停驶？此时离家多远？摩托车第二次停驶了多长时间？摩托车在11:00到12:00这段时间内的平均速度是多少求摩托车在全部行驶时间内的平均速度？该负主要责任?【拓展练习】1、地向一个如下图的容器中注水,最后把容器注满,在注水的过程中水面的高度h随时间t变化的函数图象大致是〔34.,•就；160 ♦14.■120 ,10.小80 •40 -20时间［时->-►13 14 1511、下页这张曲线图〔图6T2〕表示某人骑摩托车旅行情况,他上午8:00离开家,请仔细观察曲线图, 答复以下问题：〔1〕他从家到达终点共骑了多少千2、的向一个容器中注水,最后把容器注满,在注水过程中,时间t〔s〕的变化规律如下图, 〔图中OABC为一折线〕D水面高度h 〔cm〕随,这个容器的形状是图中⑶(4)⑸(6)为保证航行平安,只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m 时,才能进出该 港.根据题目中所给的条件,答复以下问题：(1)要使该船能在当天卸完货并平安出港,那么出港时水深不能少于 m,卸货最多只能用 小时；(2)该船装有1200吨货,先由甲装卸队单独卸,每小时卸180吨,工作了一段时间后,交由乙队接着单独卸,每小时卸120吨.如果要保证该船能在当天 卸完货并平安出港,那么甲队至少应工作几小时,才能交给乙队接着卸？5、动车出发前油箱内有 42升油,行驶假设干小时后,途中在加油站加油假设干升.油箱中余油量 Q (升)与行驶时间t (小时)之间的函数关系如下图,根据下 图答复以下问题：(1)机动车行驶几小时后加油？加了多少油？(2)试求加油前油箱余油量 Q (L)与行驶时间t (h)之间的函数关系式；(3如果加油站离目的地还有 230公里,车速为40公里/小时,要到达目的地,油 箱中的油是否够用？请说明理由.4、如图,长方形 ABCD 中,当点P 在边AD (不包括A 、D 两点)上从 A 向D 移动时,有的线段的长度和三角形的面积始终保持不变,而有些那么发生了变化.、(1)试分别列举出长度变化与不变化线段的长度、以及面积变化与不变化的二)三角形；L 二1(2)假设长方形的长 AD 为10 cm,宽CD 为4 cm,线段AP 的长度为x cm, 匚口分别写出线段 PD 的长度y (cm)、△ PCD 的面积S ( cm 2)与x (cm)之间的关系式,并指出自变量 x 的取值范围.。

两个变量之间的关系(经典和完整版)(强力推荐)领航两个变量之间的关系一、知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

变量之间的关系及常见题型一、基础知识1、常量：在变化过程中一组数据中或者关系式中数值保持不变的量；2、变量：数值发生变化的量在一变化过程中一般有两个变量1自变量：在一定范围内主动发生变化的变量；2因变量：随自变量的变化而变化的变量.二、表示方式1、表格法1一般第一栏表示自变量,第二栏表示因变量；2从表格中可以获取一些信息,发现因变量随自变量的变化存在一定规律；2、关系式1表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫关系式；关系式一般用含自变量的代数式表示因变量的等式2能利用关系式进行计算；3、图像法（1）水平方向的数轴横轴表示自变量；竖直方向的数轴纵轴表示因变量；（2）利用图像尽可能地获取自变量因变量的信息,特点是直观.练习：1、明明从广州给远在上海的爷爷打电话,电话费随着时间的变化而变化,在这个过程中,因变量是A、明明B、电话费C、时间D、爷爷2、某城市大剧院地面的一部分为扇形,观众席的座位按下列方式设置：上述问题中,第五排、第六排分别有个、个座位；第排有个座位.3、据世界人口组织公布,地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势,即随时间的变化,地球上的人口数量在逐渐地增加,如果用t表示时间,y表示人口数量, 是自变量, 是因变量.4、下表中的数据是根据某地区入学儿童人数编制的：1上表反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量2随着自变量的变化,因变量变化的趋势是什么3你认为入学儿童的人数会变成零吗5、心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x单位：分之间有如下关系其中0≤x≤301上表中反映了哪两个变量之间的关系那个是自变量哪个是因变量2当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少3根据表格中的数据,你认为提出概念几分钟时,学生的接受能力最强4从表格中可知,当时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强当时间x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低5 根据表格大致估计当时间为23分钟时,学生对概念的接受能力是多少6 下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：1时间为8分钟时,水的温度是多少2上表反应了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量3水的温度是怎样随时间变化的4根据表格,你认为13分钟、14分钟时水的温度是多少5为了节约能源,在烧开水时,你认为应在几分钟左右关闭煤气巩固练习：一、选择题每小题3分,共24分1．我们都知道,圆的周长计算公式是c=2πr,下列说法正确的是A. c,π,r 都是变量B. 只有r 是变量C. 只有c 是变量D. c,r 是变量2．一汽车以平均速度60千米/时速度在公路上行驶,则它所走的路程s 千米与所用的时间t 时的关系式为 A.t s +=60 B. ts 60= C. 60ts =D. t s 60= 3．雪撬手从斜坡顶部滑了下来,下图中可以大致刻画出雪撬手下滑过程中速度—时间变化情况的是4．“人间四月芳菲尽,山寺桃花始盛开”,说明温度随者海拔的升高而降低,已知某地面温度为20℃,且每升高1千米温度下降6℃,则山上距离地面h 千米处的温度t 为 A. 206t h =- B. 206h t =-C. 206h t -= D. 206t h -=5．根据图示的程序计算变量y 的对应值,若输入变量x 的值为-1,则输出的结果为A. –2B. 2C. –1D. 0 6．如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆部分的面积为S 阴影部分,则S 与t 的大致图象为7．星期天,小王去朋友家借书,下图是他离家的距离y 千米与时间x 分钟的图象,根据图象信息,下列说法正确的是 A ．小王去时的速度大于回家的速度 B ．小王在朋友家停留了10分钟C ．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D ．小王去时走上坡路,回家时走下坡路DCBA时间时间时间速度速度速度时间速度100y 千米x 分钟220 30 40 stOA ．st OB ．stOC ．stOD ．8．如图,四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形,动点P 在ABCD 的边上沿A B C D →→→的路径以1cm/s 的速度运动点P 不与A D ，重合．在这个运动过程中,APD △的面积2(cm )S 随时间()t s 的变化关系用图象表示,正确的为二、填空题：每小题3分,共24分9．某公司销售部门发现,该公司的销售收入随销售量的变化而变化,其中________是自变量, 是因变量.10．在体积为20的圆柱中,底面积S 高h 的关系式是 ．11．飞机着陆后滑行的距离s 单位：米与滑行时间t 单位：秒之间的关系是s=60t －,当t=40时,s=______________.12．小雨拿5元钱去邮局买面值为80分的邮票,小雨买邮票后所剩钱数y 元与买邮票的枚数x 枚之间的关系式为 .13．声音在空气中传播的速度y m/s 与气温x oC 之间在如下关系：33153+=x y .当气温x =15 oC 时,声音的速度y = m/s.若某人看到烟花燃放5s 后才听到声音响,则此人与燃放的烟花所在地相距 m.14．如图所示的图象反映的过程是：小明从家去书店,又去学校取封信后马上回家,其中x 表示时间,y 表示小明离他家的距离,则小明从学校回家的平均速度为 千米∕小时15．一支原长为20cm 的蜡烛,点燃后,其剩余长度与燃烧时间的关系可以从下表看出：则剩余长度y cm 与燃烧时间x 分的关系式为______________,估计这支A ． O t s 1 2ＢO ts12ＣO ts 12 ＤO ts12 AＤ ＣＢ P蜡烛最多可燃烧___________分钟.16．有一本书,每20页厚为1mm,设从第1页到第x 页的厚度为y mm,则y 与x 之间的关系式为_______________.三、解答题：本大题共8小题,共52分17．本题6分小华粉刷他的卧室共花去10小时,他记录的完成工作量的百分数如下:15小时他完成工作量的百分数是 ； 2小华在 时间里工作量最大；3如果小华在早晨8时开始工作,则他在 时间没有工作.18．本题8分弹簧挂上物体后会伸长, 已知一弹簧的长度cm 与所挂物体的质量kg 之间的关系如下表：1上表反映的变量之间的关系中哪个是自变量 哪个是因变量 2当所挂物体是3kg 时,弹簧的长度是多少 不挂重物时呢19．本题8分如图,长方形ABCD 的边长分别为AB=12cm,AD=8cm,点P 、Q 都从点A 出发,分别沿AB,AD 运动,且保持AP=AQ,在这个变化过程中,图中的阴影部分的面积也随之变化.当AP 由2cm 变到8cm 时,图中阴影部分的面积是增加了,还是减少了增加或减少了多少平方厘米20．本题10分如图是一辆汽车的速度随时间变化的图象.根据图象填空： 1汽车在整个行驶过程中,最高时速是________千米/时；2汽车在________,________保持匀速行驶,时速分别是________,________；3汽车在________、________、________时段内加速行驶,在________、________时 段内减速行驶；4出发后,12分到14分之间可能发生________情况；21．本题10分如图,小明的爸爸去参加一个重要会议,小明坐在汽车上用所学知识绘制了一张反映小车速度与时间的关系图,第二天,小明拿着这张图给同学看,并向同学提出如下问题,你能回答吗 1在上述变化过程中,自变量是什么因变量是什么 2小车共行驶了多少时间最高时速是什么 3小车在哪段时间保持匀速行驶,时速达到多少 4用语言大致描述这辆汽车的行驶情况PQ DCBA102030405060708090100110102040503060速度(千米/时)时间/分课后练习：1、骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而变化,在这一问题中,因变量是A、沙漠B、体温C、时间D、骆驼2、正常人的体温一般在37℃左右,但一天中的不同时刻不尽相同.下图反映了一天24小时内小明体温的变化情况,下列说法错误的是A．清晨5时体温最低 B．下午5时体温最高C．这一天中小明体温T单位：℃的范围是≤T≤D．从5时至24时,小明体温一直是升高的.3、下列图象中,哪个图象能大致刻画在太阳光的照射下,太阳能热水器里面的水的温度与时间的关系.水温水温水温水温0 时间 0 时间 0 时间 0A．B．C． D．4.某市一天的温度变化如图所示,看图回答下列问题：1这一天中什么时间温度最高是多少度什么时间温度最低是多少度2在这一天中,从什么时间到什么时间温度开始上升在这一天中,从什么时间到什么时间温度开始下降5某种动物的体温随时间的变化图如图示：1一天之内,该动物体温的变化范围是多少2一天内,它的最低和最高体温分别是多少是几时达到的．3一天内,它的体温在哪段时间内下降．4依据图象,预计第二天8时它的体温是多少课堂检测1、在平地上投掷手榴弹,下面哪幅图可以大致刻画出手榴弹投掷过程中落地前速度变化情况A B C D2、某种储蓄的月利率是%,现存入本金100元,本金与利息的和y 元与所存月数x 月之间的关系式为A 、x y 36.0100+=B 、x y 6.3100+=C 、x y 36.11+=D、x y 36.1001+= 3、有一旅客携带了30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20公斤行李,超重部分每公斤按飞机票价格的%购买行李票,现该旅客购买了120元的行李票,则他的飞机票价格应是A 、1000元B 、800元C 、600元D 、400元4、某人骑车外出,所行的路程S 千米与时间t 小时的关系如图所示,现有下列四种说法：①第3小时中的速度比第1小时中的速度快； ②第3小时中的速度比第1小时中的速度慢； ③第3小时后已停止前进； ④第3小时后保持匀速前进.其中说法正确的是A 、②、③B 、①、③C 、①、④D 、②、④5、李老师骑车外出办事,离校不久便接到学校要他返校的紧急电话,李老师急忙赶回学校.下面四个图象中,描述李老师与学校距离的图象是 S 距离距离 S 距离距离0 0 0 0t 时间 t 时间 t 时间t 时间A 、B 、C 、D 、6、三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水,如果平均每天流入库区的水量为a 立方米米时,a b <；当天变化的大致图象是A 、B 、C 、D 、。