【精选高中试题】云南省大理州高三上学期第二次统测考试理数试题 Word版含答案

一、单选题二、多选题1. 若复数z 满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 在数列中,若,则（ ）A．B．C．D．3. 已知，则（ ）A ．1B ．2C．D．4. 一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．2∶95. 已知两条不重合的直线m ，n 和两个不重合的平面α，β，m ⊥α，n ⊂β.给出下列四个命题：①若α∥β，则m ⊥n ；②若m ⊥n ，则α∥β；③若m ∥n ，则α⊥β；④若α⊥β，则m ∥n .其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36. 已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）A．B．C．D．7. 已知定义在上的函数（）的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18. 学校田径运动会有 15名运动员参加跳高比赛，预赛成绩各不相同，取前 8 名参加决赛，某同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道这15 名运动员成绩的（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差9. 已知某正方体的平面展开图如图所示，点，分别是棱，的中点，是棱（不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A．四面体的体积为定值B ．存在点使得平面C ．存在点使得平面D．当为棱的中点时，平面截正方体所得上、下两个几何体的体积之比为10.定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．B．云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题(2)云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题(2)三、填空题四、解答题C．D．11.若动点满足（且）其中点是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则（ ）A．圆的方程为B．若圆与线段交于点，则C ．圆上有且仅有两个点到直线的距离为D ．设动点，则的最大值为12. 小爱同学在一周内自测体温（单位：℃）依次为36.1，36.2，36.1，36.5，36.3，36.6，36.3，则该组数据的（ ）A ．平均数为36.3B ．方差为0.04C ．中位数为36.3D ．第80百分位数为36.5513. 在正四棱锥中，底面的边长为2，为正三角形，点分别在，上，且，，过点的截面交于点，则四棱锥的体积为_________.14.定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和（，），令（），若数列的变号数为2，则实数的取值范围是___________.15.椭圆的左、右焦点分别为，过点作的角平分线交椭圆的长轴于点，则点的坐标为__________.16. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．设数列的前项和为，满足________，．(1)求数列的通项公式；(2)若存在正整数，使得对恒成立，求的值．17. 已知函数，.(1)若，求的取值范围；(2)当时，证明：.18. 在四棱锥中，．(1)证明：平面平面﹔(2)若，直线与平面所成的角为，求的长．19. 关于二次函数,若对任意的恒成立，求实数的取值范围.20.已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为.（1）求的值以及的单调递减区间；（2）若且，求的值.21. 在平面四边形中，，，，内角与互补，若平分，求的长.。

云南省大理白族自治州高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·连城期中) 已知i为虚数单位，则复数所对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2017高一上·南涧期末) 记全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A . {4，6，7，8}B . {2}C . {7，8}D . {1，2，3，4，5，6}3. （2分）(2014·天津理) 如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②③D . ①②④4. （2分）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，在取到的都是红球的前提下，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·浙江模拟) 函数的图像可能是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·内江模拟) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）点有顶点A，O为坐标原点，以A为圆心与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°且 =2 ，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1 ， BC的中点，则过A、M、N三点的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面形状是（）A . 平行四边形B . 直角梯形C . 等腰梯形D . 以上都不对8. （2分） (2017高三下·静海开学考) 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高三上·渭南期末) 设数列{an}是正项等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则公比q=（）A .B . 3C .D . 210. （2分）为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里,求的面积（）平方海里。

云南省大理州2024届高中毕业生第二次复习统一检测数 学（全卷四个大题，共22个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）考生注意：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,i x R ∈是虚数单位，则不等式1i 2x +<的解集为（ ）A.(B.()1,1-C.(D.()2,2-2.已知{}{}2410xax x b -+==∣，其中,a b R ∈，则b =（ ） A.0 B.14或12 C.12 D.143.已知向量,,a b c均为单位向量，且0a b +=，则a与b的夹角为（ ） A.π6 B.π4 C.π3 D.2π34.已知12π,cos,lgπ3a ebc -===，则（ ） A.a b c << B.c b a << C.b a c << D.c a b <<5.函数()()πsin 0,0,2f x A x h A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()π16g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ）A.ππ,π,2k k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ B.ππ,π,2k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C.πππ,π,22k k k Z ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D.()()()1π,1π,k k k Z -+∈6.如图，圆锥的高SO =2,AB C =是圆O 上一点，且1AC =，若SA 与BC 所成角为θ，则22sin cos 22θθ-=（ ）A.4 B.4- C.58 D.4-7.已知,a b 为实数，则直线0ax by -=与圆220x y ax by ++-=的位置关系是（ ） A.相交且过圆心 B.相交但不过圆心 C.相离 D.相切8.若m 为函数()()2()f x m x m n x =--（其中0m ≠）的极小值点，则（ ）A.0m n >>B.0m n <<C.2mn m >D.2mn m <二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列四个选项中，说法正确的是（ ）A.从人群中随机选出一人，设事件A =“选出的人患有心脏病”，B =“选出的人是年龄大于60岁的心脏病患者”，则有：()()P A P B >B.抛一枚骰子，设事件A =“掷出2点”，B =“掷出的点数不大于4点”，则有：()56P A B ⋃=C.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A =“第一枚正面朝上”，B =“第二枚反面朝上”，则有：()()P B A P B =∣ D.两批同种规格的产品，第一批占50%，次品率为6%；第二批的次品率为4%，从混合产品中任取1件，设事件A =“取出的产品为合格品”，则有：()0.95P A =10.如图所示，在平行六面体1111A B C D ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，11,,A A AC AB M N ==分别为线段11,A A A B 的中点，下列结论正确的是（ ）A.1C C∥平面OMNB.平面1A CD ∥平面OMNC.直线MN 与平面1A BD 所成的角为45D.1OM D D ⊥11.激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.tanh 函数是常用的激活函数之一，其答案解析式为()221e 1exxf x ---=+，则（ ） A.tanh 函数是奇函数 B.tanh 函数是减函数C.对于实数a ，当01a <<时，函数()y f x a =-有两个零点D.曲线()y f x =存在与直线20x y +=垂直的切线12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12F F ､，离心率为2，.过2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A B ､两点，若H G ､分别为12AF F 与12BF F 的内心，则（ ）A.双曲线C的焦距为B.点H 与点G 均在同一条定直线上 C.直线HG 不可能与l 平行D.HG的取值范围为3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭第II 卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下表对应数据：x 1 3 4 5 7 y1520304045根据表中数据得到y 关于x 的经验回归方程为5ˆˆ5.yx a =+，则当7x =时，残差为__________.（残差=观测值-预测值）14.已知抛物线()2:,0C y mxm R m =∈≠过点()1,2P ，则拋物线C 的准线方程为__________.15.函数()12ln f x x x =--的最大值为__________.16.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为PQ ，取PQ 的中点1M ，以1PM 为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为1S ，再取1M Q 的中点2M ，以12M M 为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为2S ，以此类推，则3S =__________，11114nk k k kS S +=+=∑__________.四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥O ABCD -中，OA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2OA =，点M N Q ､､分别为OA BC CD ､､的中点.（1）证明：DN OQ ⊥； （2）求点D 到平面AMN 的距离. 18.（本小题满分12分）如图所示，在平行四边形ABCD 中，有：()cos 2cos AC BAC AB BC ABC ∠∠=-.（1）求ABC ∠的大小；（2）若3,BC AC ==，求平行四边形ABCD 的面积.19.（本小题满分12分）学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分.现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.（1）若小明先进行“定位球传准”考核，记X 为小明结束考核后的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由. 20.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，1232,6,12a a a ===，且数列{}1n n a a +-是等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(1)nn n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求20T .21.（本小题满分12分）已知函数()2ln ,f x ax x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()()0,a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明： （i ）1x =时，()g x 取得极小值； （ii ）ln 20a b +<. 22.（本小题满分12分）已知点()()1,0,1,0A B -，点D 是圆22:4O x y +=上一动点，动点E 满足2BE BD = ，线段BE 的中垂线与直线AE 交于点P .（1）求点P 的轨迹C 的标准方程；（2）已知点Q 在直线:40l x -=上，过点Q 作曲线C 的两条切线，切点分别为M N ､，若四边形OMQN 的面积S ，求MN S的最大值，并求出此时Q 点的坐标.参考答案一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCBABDC1.【答案解析】由于1i 2x +<2<，解得：x <<.故选A.2.【答案解析】由题意知：b 为方程2410ax x -+=的根，当0a =时，14b =；当0a ≠时，有24101640ab b a ⎧-+=⎨-=⎩，此时12b =，故选B.3.【答案解析】因为||||||1a b c === ，且0a b ++= ，则a b += ，两边平方可得222||||23||a b a b c ++⋅= ，即21a b ⋅=，所以1,2a b a ⋅= 与b 的夹角为π3，故选C.4.【答案解析】因为1212a eb -==>=，所以a b >；又1lgπ2c =<=即b c >，故c b a <<，故选B.5.【答案解析】依题意可得31A h A h +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A h =⎧⎨=⎩，又311ππ3π41264T =-=，所以2ππT ω==，解得2ω=，所以()()2sin 21f x x ϕ=++，又函数过点π,36⎛⎫⎪⎝⎭， 所以ππ2sin 21366f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.故()2cos2g x x =，其单调递减区间为ππ,π,2k k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.故选A. 6.【答案解析】建立如图所示的空间直角坐标系得：()()0,1,0,0,1,0A B -，(1,,,022S C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，而,AS BC 的夹角为π,02θθ<≤又(3,,,022AS BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭则cos 4||||AS BC AS BC θ⋅== ，由于22sin cos cos 224θθθ-=-=-，故选B.7.【答案解析】圆()222200x y ax by a b ++-=+>，可化为2222224a b a b x y +⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故圆心为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭，半径r =，而圆心到直线0ax by -=的距离d r ===， 所以直线0ax by -=与圆220x y ax by ++-=相切，故选D.8.【答案解析】若m n =，则()3()f x m x m =--为单调函数，无极值点，不符合题意，故m n ≠.由于()()()32f x m x m x m n =--++'，且m n ≠，故()0f x '=有两根为x m =或23m nx +=①当0m>时，若m 为极小值点，则需满足：23m nm +<，故有0m n << ②当0m<时，若m 为极小值点，则需满足：23m nm +>，故有：0m n >>，故A ，B 选项错误，综合①②有：2mn m >，故选C.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案ACDBCDACBD9.【答案解析】对于A ，设事件C =“选出的人年龄大于60岁”，则有：()()()()()1P AC P B P CA P A P A ==<∣故()()P A P B >，故A 正确；对于B ，事件A 与B 不互斥，故()()()()23P A B P A P B P AB ⋃=+-=，故B 不正确； 对于C ，事件,A B 相互独立，则()()P BA PB =∣，所以C 正确； 对于D ，根据全概率公式可得()0.50.940.50.960.95P A =⨯+⨯=，故D 正确故选ACD.10.【答案解析】如图所示，对于A ，若1C C ∥平面OMN ，因为1C C ∥1A A ，则1A A ∥平面OMN ，或1A A ⊂平面OMN ，而1A A 和平面OMN 相交，故A 错；对于B ，因为,M N 分别为线段11,A A A B 的中点，所以MN∥AB ∥,CD MN ⊄平面1,ACD CD ⊂平面1A CD ，所以MN ∥平面1A CD ，因为,O N 分别为线段1,BD A B 的中点，所以ON ∥1,A D ON ⊄平面11,ACD A D ⊂平面1A CD ，所以ON ∥平面1,,ACD MN ON N MN ⋂=⊂平面OMN ，ON ⊂平面OMN ，所以平面1A CD ∥平面OMN ，故B 正确；对于C ，由于AC BD ⊥，且11A A A C =，故1AC A O ⊥，而1A O BD O ⋂=，故AO ⊥平面1A BD ，而MN∥AB ，故MN 与平面1A BD 所成的角即为AB 与平面1A BD 所成的角，即为45ABO ∠= ，故C 正确.对于D ，设11A A AC AB a ===，则AC =，显然22211A A A C AC +=，故11AC A A ⊥，由MO ∥1A C ，所以1MO A A ⊥，而1D D ∥1A A ，所以1OM D D ⊥，故D 正确.故选BCD.11.【答案解析】()2211e x f x -=-+定义域为()()2222R,1101e 1ex xf x f x --+=-+-=++， 所以()2211e xf x -=-+为奇函数，A 正确；()()2224e 01e xxf x --=>+'恒成立，所以tanh 函数是增函数，故B 错误；当0x >时，()22111e xf x -=-<+恒成立，所以()y f x =在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()[)0,1y f x =∈，故当01a <<时，()y f x =与直线y a =有两个交点，故函数()y f x a =-有两个零点. C 正确；()()222224e 41e e 21e xx x xf x ---'==≤=+++，且()(]0,1f x '∈， 所以()2f x '≠，故曲线()y f x =不存在与直线20x y +=垂直的切线.D 错误. 故选AC.12.【答案解析】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，双曲线C 的右焦点()2,0F cb ==，由题意知2c e a ====，所以22,a c ===，故双曲线C 的方程为22126x y -=， 故双曲线C的焦距为，故A 不正确；对于B 选项，记12AF F 的内切圆在边1212AF AF F F ､､上的切点分别为M N E ､､，由切线长定理可得1122,,AM AN F M F E F N F E ===， 由122AF AF a -=，即()122AM MF AN NF a +-+=， 得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记H 的横坐标为0x ，则()0,0E x ，于是()002x c c x a +--=，得0x a =，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG x ⊥轴，即H G ､均在直线x a =上，故B 正确； 对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，HG ∥l ，故C 错误； 对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则22OF G θ∠=，2902HF O θ∠=- （O 为坐标原点），在2HF G 中，()()sin 90sin 22tan tan 9022cos cos 9022HG EG HE c a c a θθθθθθ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=-+-=-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()()sin cos 1222sin sin cos sin sin cos2222c a c a c a θθθθθθθθ⎛⎫ ⎪-+=-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ 由于直线l 与C 的右支交于两点，且C的一条渐近线的斜率为ba=60 ， 结合图形可知60120θ<<，即sin 12θ<≤，所以，sin 3HG θ⎡⎫=∈⎪⎢⎪⎣⎭，故D 正确.故选BD. 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号1314151613.【答案解析】()()11134574,15203040453055x y =⨯++++==⨯++++=， 故回归直线方程过点()4,30，代入5ˆˆ5.yx a =+，可得ˆˆ30 5.54,8a a =⨯+=， 当7x =时， 5.57838.5846.5ˆy=⨯+=+=， 所以残差为4546.5 1.5-=-，故答案为：-1.5.14.【答案解析】由题可得，2212m m =⋅⇒=，故221:22C y x x y =⇒=. 故拋物线C 的准线方程为18y =-.故答案为：18y =- 15.【答案解析】由题可得，当1x ≥时，()()112ln ,20f x x x f x x=--∴--'=< ()f x ∴在[)1,∞+为减函数，()max ()11f x f ∴==-；当01x <<时，()()12112ln ,2x f x x x f x x x-+=-+∴=-+='， ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，max 11()ln ln222f x f ⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭，综上可知，max ()ln2f x =-.故答案为：ln2-.16.【答案解析】由题可得，11sin6024S ==， 从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的14， 故可构成一个以1S 为首项，14为公比的等比数列，则12111141111111444414n n nn S S S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++==-⎢⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦- ，所以3311464S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 1441nn n S =-11111111114414144414134141n n n n n n n n n n n S S ++++++∴⋅⋅==⨯⨯---- 111194141n n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭112231111111111149414141414141nk n n k k k S S ++=+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 11119341n +⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭故答案为：364S =， 1111111149341nk n k k k S S ++=+⎛⎫=⨯- ⎪-⎝⎭∑ 四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.【答案解析】（1）证明：由题意可知AO AB AD ､､两两垂直，以点A 为坐标原点，AB AD ､､AO 所在直线分别为x y z ､､轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，从而可得以下各点的坐标.()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,1,2,1,0A B D O M N ， ()1,2,0Q ，则()()2,1,0,1,2,0DN OQ =-=()211200,DN OQ DN OQ ∴⋅=⨯+-⨯+=∴⊥所以DN OQ ⊥（2）解：设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，则00n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020z x y =⎧⎨+=⎩，令1x =，可得平面DMN 的法向量()1,2,0n =-，故点D 到平面AMN的距离5DN n d n ⋅===. 18.【答案解析】（1）由()cos 2cos AC BAC AB BC ABC ∠∠=-，由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos ACB ABC BAC ABC ABC BAC ∠∠∠∠∠∠=+()()2sin cos sin sin πsin ACB ABC BAC ABC ACB ACB ∠∠∠∠∠∠∴=+=-=，又()0,πACB ∠∈ ，则1sin 0,cos 2ACB ABC ∠∠≠∴=， ()π0,π,;3ABC ABC ∠∠∈∴=（2）在平行四边形ABCD中，π,3,3ABC BC AC ∠===， 在ABC 中，由余弦定理得，2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯，即2179232AB AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭解得：1AB =或2AB =，当1AB =时，平行四边形ABCD 的面积：1π122sin 21323222ABC S S AB BC ==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 当2AB =时，平行四边形ABCD 的面积：1π122sin 2232322ABC S S AB BC ==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= . 19.【答案解析】（1）由已知可得，X 的所有可能取值为0,4,10，则()()()010.80.2,40.810.70.24P X P X ==-===⨯-=，()100.80.70.56P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 0 4 10 P0.20.240.56（2）小明应选择先进行“定位球传准”考核，理由如下： 由（1）可知小明先进行“定位球传准”考核，累计得分的期望为()00.240.24100.56 6.56,E X =⨯+⨯+⨯=若小明先进行“20米运球绕杆射门”考核，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0,6,10，()()()010.70.3,60.710.80.14P Y P Y ==-===⨯-=， ()100.70.80.56P Y ==⨯=，则Y 的期望为()00.360.14100.56 6.44E Y =⨯+⨯+⨯=，因为()()E X E Y >，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行“定位球传准”考核. 20.【答案解析】（1）因为21324,6a a a a -=-=，所以()32212a a a a ---=.所以数列{}1n n a a +-是首项为4，公差为2的等差数列，所以()142122n n a a n n +-=+-=+.当2n …时， ()()()()2112211221222n n n n n a a a a a a a a n n n n ---=-+-++-+=+-++⨯+=+⋅当1n =时，12a =也满足上式.所以2n a n n =+.（2）由（1）知，()()2(1)(1)1nn n b nn n n =-+=-+.当*2,n k k N =∈时，()()()()21223344511224;2n n n T n n n n n +=-⨯+⨯-⨯+⨯---++=+++=()20202022202T ⨯+∴==21.【答案解析】（1）由函数()2ln f x ax x =-知，定义域为()0,∞+，()21212ax f x ax x x-=-='∴， 当0a …时，()0f x '<恒成立，()f x 在()0,∞+单调递减，当0a >时，()00,()022f x x f x x a a''<⇒<<>⇒>，所以()f x 在0,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；（2）()()2ln g x f x bx ax x bx =+=-+，()12g x ax b x=-+'，由条件()1210g a b =-+='，所以12b a =-， （i ）()()()()221212111212ax a x ax x g x ax a x x x'+--+-=-+-==， 由于0a >，故01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减， 当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增， 所以1x =时，()g x 取极小值成立，（ii ）设()()1ln 2ln 24,4h a a b a a h a a '+=+=-=-，易知()h a 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递减. 故()11ln404h a h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭…，故ln 20a b +<. 22.【答案解析】（1）由2BE BD =，可知D 为线段EB 的中点， 所以PD 是线段EB 的垂直平分线，故PE PB =因为点P 在直线AE 上，所以242PA PB PA PE AE OD AB +=+===>=.由椭圆的定义可知，P 点轨迹是以()()1,0,1,0A B -为焦点，以4为长轴长的椭圆，即24,1a c ==，解得2,a b ==，另当D 点坐标为()2,0±时，P 与D 重合，不符合题意，故C 的标准方程为()221243x y x +=≠±（2）设()()()1122,,,,4,M x y N x y Q t ，所以曲线22:143x y C +=点()11,M x y 处的切线QM 的方程为11143x x y y ⋅⋅+=，又因为切线QM 过()4,Q t ，所以1113t y x ⋅+=. 同理可得2213t y x ⋅+=，故直线MN 的方程为13tyx +=.所以12MN y =-.设点,M N 到直线OQ 的距离分别为12,d d 因为直线OQ 的方程为40tx y -=，所以12d d ==又因为,M N 在直线OQ 的两侧， 所以()121122114422S OQ d d tx y tx y =+=+=--+ 由于点,M N 的坐标满足方程13ty x +=，即有：11221313ty x ty x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()12123tx x y y -=-，故可得： 211222111444223t S tx y tx y y y ⎛⎫=--+=+- ⎪⎝⎭，所以2221223121423MN S t t y y ====++- ⎪⎝⎭，令3u =≥，则23MNSu u=+， 令()33y u u u =+≥，故可知()33y u u u=+≥的最小值为4， 当且仅当3u =时，等号成立，此时0t =故2132MNSu u=≤+，其最大值为12，此时Q 点的坐标为()4,0.。

秘密★启用前 【考试时间：1月2日 15∶00 — 17∶00】大理、丽江、怒江2020届高中毕业生第二次复习统一检测理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3,0xM y y x ==>，(){}2lg 3N x y x x==-，则M N I为（ ）A ．∅B ．()1,+∞C ．[)3,+∞D ．()1,32．设i 是虚数单位，如果复数2a ii++的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．33．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m α⊂，//n α，则m ，n 为异面直线； ②若m β⊥，αβ⊥，m γ⊥，则αγ⊥；③若//αγ，//βγ，则//αβ； ④若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥． 则上述命题中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④5．若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为(mod )n r m ≡，例如103(mod 7)≡．下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（ ） A ．29 B ．30 C ．31D ．326．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ）A ．210B ．10 C ．10-D ．210±7．已知函数4,0()4,0x x e x f x e x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，2g()x x =，则函数()g()y f x x =⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈L L å，1238a a a=，则8S =（ ）A ．510B ．255C ．127D ．65409．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．92πB ．9πC ．12πD ．16π10．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则（ ） A ．235x y z << B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<11．设1F 、2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，1PQ PF =，则椭圆的离心率为（ ）A 32B 63-C ．22D ．962-12．已知函数()4sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，460,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，，n x ，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，则1231222n n x x x x x -+++⋅⋅⋅++=（ ）A ．12763πB ．445πC ．455πD ．14573π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是 ．14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 ． 15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐进线均与圆22:8120C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则双曲线的方程为 ．16．平行四边形ABCD 中，=3AB ，=2AD ，=120BAD ∠o ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =．若AP x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则32x y +的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2226b c a +-=-， 且sin sin 4sin sin b C c B a B C +=． （1）求cos A ； （2）求ABC ∆的面积．18．（12分）某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，ABMDP把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =．（1）设AC 与BD 相交于点M ，若存在点N 使得()0AN mAP m =>u u u r u u u r，且//MN 平面PCD ，求实数m 的值；（2）若AB AD DP ==，60BAD ∠=o ，2PB =，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值．20．（12分）设函数()()11xxf x xe a e=+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,+∞有零点，证明：2a >．21．（12分）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设弦AB 的中点为N ，过点A 、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为E ，过点E 作直线l ，交抛物线于P 、Q 两点，连接NP 、NQ ． 证明：2EA EB NP NQ AB k k k k k +=+=.请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长度．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()1f x x =-．（1）求不等式()()336f x f x ++-≥的解集；（2）若不等式()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，求a b +的取值范围．大理、丽江、怒江2020届高中毕业生第二次复习统一检测理科数学参考答案及评分标准一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACCDAABBDBC12、函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令262x k πππ-=+得123x k ππ=+,k Z ∈，即()f x 的对称轴方程为123x k ππ=+,k Z ∈． ()f x Q 的最小正周期为T π=，4603x π≤≤，当30k =时,可得463x π=，()f x ∴在460,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知： 函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与3y =的交点1x ，2x 关于3π对称，2x ,3x 关于56π对称，，故31n =．即12226x x π+=⨯,23526x x π+=⨯，，30318926x x π+=⨯， 将以上各式相加得：123303125892222666x x x x x πππ⎛⎫+++⋯++=++⋯+⎪⎝⎭()258894553ππ=+++⋯+⨯=．故选C ．二、填空题13、0 14、429 15、221124x y -= 16、2三、解答题17、解：（1）因为sin sin 4sin sin ,b C c B a B C +=由正弦定理得：sin sin sin sin 4sin sin sin ,B C C B A B C += …………………………2分 又sin sin 0B C ≠，所以4sin 2,A =即1sin 2A =又2226b c a +-=-，由余弦定理得cos 0A < ………………………………………4分 所以23cos 1sin 2A A =--=-……………………………………………………6分 （2）因为222cos 2b c a A bc+-=…………………………………………………………8分所以362bc-=，即23bc =…………………………………………………… 10分 所以1113sin 23222ABC S bc A ∆==⨯=…………………………………………12分 18、解：（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈…………………………………………………………………2分方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩. …5分（2）设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）……8分 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）…………………………………11分所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.…………………………………………………12分19、解：（1）因为//AB CD ，所以11,23AM AB AM MC CD AC ==∴=．……………………1分 因为//MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面PCD PC =， 所以//MN PC ．………………………………………………………………3分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =．…………………………………………4分（2）因为,60AB AD BAD =∠=︒，可知三角形ABD 为等边三角形，所以BD AD PD ==，又2BP =，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥．由已知,PD AD AD BD D ⊥⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，,DA DP u u u v u u u v的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系， 设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====，所以()1,0,0A ，()(13,0,1,0,32B P C ⎛- ⎝⎭则(13,1,,1,322PB PC ⎛=-=-- ⎝⎭u u u v u u uv ，()1,1,0PA =-u u u v …………………………6分 设平面PBC 的一个法向量为()1111,,n x y z =u v，则有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 即111111230,30.x y z x y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令11x =，则112,3y z == 即(11,3n =u v ，………………………………………………………………………8分设平面APC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u v，则有2200n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v 即222220,30.x y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令223x y ==22z =， 即)23,3,2n =u u v．…………………………………………………………………10分所以121212·5315cos ,2210n n n n n n ===⨯⋅u v u u vu v u u v u v u u v 设二面角A PC B --的平面角为θ，则15cos θ=………………………………12分 20、解：（1）()()11xxf x xe a e=+-+Q()()1xf x x a e ∴=--⎡⎤⎣⎦'，………………………………………………………………2分1x a ∴>-时，()0f x '>，函数()f x 在()1,a -+∞上单调递增；1x a <-时，()0f x '<，函数()f x 在(),1a -∞-上单调递减；………………4分（2）证明：函数()f x 在()0,+∞有零点，可得方程()0f x =有解，()1111111xx x x x x e x xe x a x e e e -++++∴===+---有解， 令()11xx g x x e +=+-， 则()()()222111(1)(1)x xx x x x e e x e x e g x e e ----+=+=--'，…………………………………6分 设函数()2xh x e x =--，()10xh x e ='->，∴函数()h x 在()0,+∞上单调递增,又()130h e =-<，()2240h e =->，………………………………………………8分又函数()h x 在()0,+∞上单调递增，∴存在()01,2x ∈，当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，∴函数()gx 存在唯一最小值点0x ，满足002xe x =+，()()00000112,31x x g x x x e +∴=+=+∈-， ()11x x a g x x e +==+-Q 有解，()02a g x ∴≥>，2a ∴>．……………………………………………………………… 12分21、解：设()()1122,,,,A x y B x y 则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+= （1）直线AB 的斜率21122114AB y y x x k x x -+===- …………………………………… 3分 （2）由（1）知，等价于证明2EA EB NP NQ k k k k +=+=，1'12EA x x x k y ===Q ，2'22EB x x x k y === 12122222EA EB x x x x k k +∴+=+==………………………………………………5分 设直线:AB l y x m =+过()11,A x y 点的切线方程为()11112y y x x x -=-，整理得2111124y x x x =- 同理，过()22,B x y 点处切线的方程为2221124y x x x =-， 联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：2111112,4x y x x x y m ==-=-=- ()2,E m ∴-………………………………………………………………………… 7分 设()()3344,,,,P x y Q x y 易知割线的斜率存在，因为()2,E m -，设割线的方程为()2y m k x +=-，代入抛物线24x y =，整理得24840x kx k m -++=， 则34344,84x x k x x k m +=⋅=+． 所以()2222343434341112442444y y x x x x x x k k m ⎡⎤+=+=+-⋅=--⎣⎦， ()22222343434111444416y y x x x x k km m ⋅=⋅==++， ()2223434433443341184444x x x y x y x x x x x x k mk +=⋅+⋅=+=+ …………… 8分 因为()2,2N m +，1212(2,2)22x x y y m ++==+所以343422,22NP NQ y m y m k k x x ----==-- 所以()()()()343443343434343422122842224NP NQ y m y m k k x y x y m x x y y m x x x x x x ----+=+=+-++-+++⎡⎤⎣⎦---++()()2218884242442842848444m k km m k k k m m k m k m +⎡⎤=+-+⋅---++==⎣⎦+-++ ……………………………………………………………………………………… 11分综上可得2EA EB NP NQ k k k k +=+=所以2EA EB NP NQ AB k k k k k +=+= ………………………………………………12分 22、解：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，……………………………………2分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.……………………………………………………5分 （2）设()11,P ρθ，则由=32cos ρθπθ⎧=⎪⎨⎪⎩解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭；…………7分 设()22,Q ρθ，则由2sin 3333πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭⎨=⎪⎪⎪⎩解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭；…9分 所以212PQ ρρ=-=.……………………………………………………………………10分23、（1）()()2,233224,222,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++-=++-+=-≤≤⎨⎪>⎩………………………3分由()6f x ≥，得(][),33,x ∈-∞-+∞U .……………………………………………………5分（2）()()5,3142321,325,2x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=---≤≤⎨⎪->⎩，()()14y f x f x =--+的图象如图所示：…………………………………………………8分由()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，可得0a =，5b <-，即5a b +<-.………………………………………………………………………………10分。

大理州2017届高中毕业生第二次复习统一检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合{}032>-=x x x A ，则=A C U （ ）A ．]3,0[B ．)3,0(C ．),3()0,(+∞-∞D ．),3[]0,(+∞-∞ 2.i 为虚数单位，若复数))(1)(1(R a i ai z ∈+-=的虚部为3-，则=z （ ） A ．23 B ．4 C ．34 D ．53.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=⋅CB AE （ ） A ．4- B ．3- C ．4 D ． 524.某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为（ ） A ．31 B ．32 C.43 D ．655.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 3-=上，则=θ2sin （ ）A ．21 B ．23 C.21- D ．23-6.将函数x x x f 3cos 3sin )(+=的图像沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．12πB ．12π-C.4πD ．07.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果=n （ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．78.已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,,c f b f a f D c b a ∈∀分别为某个三角形的三边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)0)(1lg()(>+=x x x f ；②x -x f cos 4)(=；③)161()(21≤≤=x x x f ；④1323)(++=x x x f其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．49.在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，AB PA =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（ ）A ．31 B ．21 C.32 D ．43 10.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， 60,2,22=∠==BAC AC AB ，则此球的体积等于（ ）A ．328π B ．29πC.3105π D ．334π 11.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（ ） A ．33 B ．23 C.22 D ．21 12.已知函数2)2ln()(x x a x f -+=在)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p >，若不等式2)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]24,(-∞B ．]12,(-∞ C.),12[+∞ D ．),24[+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+209203y y x y x ，若使)0(>+=a y ax z 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数=a ．14.32)33(+-x x 的展开式中，x 项的系数为 ．15.在平面直角坐标系y xO 中，圆C 的方程为08622=+-+x y x ，若直线22-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．16.在ABC ∆中，角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，已知3231)cos(,5,4=-==A B b a ，则=B cos ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足d qa a a n n +==+11,4（d q ,为常数）. （1）当2,1==d q 时，求2017a 的值； （2）当2,3-==d q 时，记11-=n n a b ，n n b b b b S +⋅⋅⋅+++=321，证明：21<n S .18. （本小题满分12分）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了一个有奖闯关游戏，游戏分为两个环节.第一环节“解锁”：给定6个密码，只有一个正确，参赛选手从6个密码中任选一个输入，每人最多可输三次，若密码正确，则解锁成功，该选手进入第二个环节，否则直接淘汰. 第二环节“闯关”：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得10个、20个、30个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏，也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束.设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为324354，，，选手选择继续闯关的概率均为21，且各关之间闯关成功与否互不影响. （1）求某参赛选手能进入第二环节的概率；（2）设选手甲在第二环节中所得学豆总数为X ，求X 的分布列和期望. 19. （本小题满分12分）如图（1）所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC AB BAD BC AD 21,2,===∠π∥，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将ABE ∆沿BE 折起到BE A 1∆的位置，如图（2）所示.（1）证明：⊥CD 平面OC A 1；（2）若平面⊥BE A 1平面BCDE ，求平面C B A 1与平面CD A 1所成锐二面角的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于B A 、两点，且满足43-=⋅OB OA . （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点M 在抛物线C 的准线上运动，其纵坐标的取值范围是]1,1[-，且9=⋅MB MA ，点N 是以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线的一个公共点，求点N 的纵坐标的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数xebxax x f +=2)(，（e 为自然对数的底数，R b a ∈,），若)(x f 在0=x 处取得极值，且0=-ey x 是曲线)(x f y =的切线. （1）求b a ,的值；（2）用{}n m ,min 表示n m ,中的最小值，设函数)0(1),(min )(>⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=x x x x f x g ，若函数2)()(cx x g x h -=为增函数，求实数c 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t ty t x (31为参数).曲线C 的极坐标方程为θρ212sin +=.（1）求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线C 与曲线C 交于B A ,两点，与x 轴的交点为M ，求BMAM 11+的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式01323≥--++t x x 的解集为R ，记实数t 的最大值为a .（1）求a ；（2）若正实数n m ,满足a n m =+54，求nm n m y 33421+++=的最小值.大理州2017届高中毕业生第二次复习统一检测理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:ACABD 6-10: ACBDB 11、12：AD 附： 12.由2)1()1(>-+-+qp q f p f 得)(2)1()1(q p q f p f ->+-+，则)1(2)1()1(2)1(+-+>+-+q q f p p f ，所以函数x x f x g 2)()(-=在)2,1(上单调递增， 从而02222)()(≥--+=-'='x x ax f x g 在)2,1(∈x 上恒成立 即)]22)(2[(++≥x x a ，亦即max )]22)(2[(++≥x x a又函数)23(2)22)(2(2++=++=x x x x y 在]2,1[∈x 上单调递增 所以24)]22)(2[(=++max x x ，所以24≥a二、填空题13. 1 14. 81- 15.]56,0[ 16.169 附：16.由3231)cos(,5,4=-==A B b a 知0)sin(,>->A B A B ， 所以3273)3231(1)(cos 1)(22=-=--=-A B A B sin 由正弦定理得B b A a sin sin =，所以BA sin 5sin 4=，即sinB sinA 45=， 又因为)sin(cos )cos(sin )](sin[sin A B B A B B A B B A ---=--=，所以B B B cos 3273sin 3231sin 54-=，化简得B B cos 75sin 9=， 由B B cos 75sin 9=，0sin >B 知0>B cos ，由256811sin cos 75sin 9222=⇒⎩⎨⎧=+=B cos B B cos B B ，所以169cos =B . 三、解答题17.解：（1）当2,1==d q 时，21=-+n n a a ， 所以数列{}n a 是首项41=a ，公差2=d 的等差数列， 所以222)1(4+=⨯-+=n n a n ，所以40362017=a .（2）当2,3-==d q 时，231-=+n n a a 变形得）（1311-=+n n a -a 所以数列{}1-a n 是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以n n n -a 33311=⨯=-，所以n n n a b )31(11=-=，数列{}n b 是以31为首项，31为公比的等比数列，所以21)311(21311)311(31321<-=--=+⋅⋅⋅+++=n n n n b b b b S ，所以21<n S . 18.解：（1）选手能进入第二环节，说明该选手可能是第一次解锁成功，可能是第二次解锁成功，也可能是第三次才解锁成功.第一次解锁成功的概率为：61，第一次解锁成功的概率为：615165=⨯， 第一次解锁成功的概率为：61415465=⨯⨯，所以该选手能进入第二环节的概率为：21616161=++.（2）X 的所有可能取值为60,30,10,0207)321(21432154)431(2154)541()0(=-⨯⨯⨯⨯+-⨯⨯+-==X P 52)211(54)10(=-⨯==X P ，203)211(432154)30(=-⨯⨯⨯==X P ，10132********)60(=⨯⨯⨯⨯==X P 所以X 的分布列为5.1410602030510200)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .19.（1）证明：在图（1）中，因为AD BC AB 21==,E 是AD 的中点，且2π=∠BAD ，所以CD BE AC BE ∥,⊥，即在图（2）中，OC BE OA BE ⊥⊥,1，又O OC OA = 1，⊂1OA 平面OC A 1，⊂OC 平面OC A 1，从而⊥BE 平面OC A 1，又CD E B ∥，所以⊥CD 平面OC A 1. （2）由已知，平面⊥BE A 1平面BCDE ，且交线为BE ， 又由（1）知，1OA BE ⊥，所以⊥1OA 平面BCDE ，如图，以O 为原点，1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设121===AD BC AB ，所以)0,22,0(),22,0,0(),0,0,22(),0,0,22(1C A E B -， 得)0,0,2(),22,22,0(),0,22,22(1-==-=-=A . 设平面BC A 1的法向量),,(111z y x =，平面CD A 1的法向量),,(222z y x =， 平面BC A 1与平面CD A 1的夹角为θ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,01C A n 得⎩⎨⎧=-=+01111z y y x -，取)1,1,1(=，同理，取)1,1,0(=，从而36322cos cos =⨯<=θ， 即平面BC A 1与平面CD A 1所成锐二面角的余弦值为36. 20.解：（1）设抛物线的标准方程为)0(22>=p px y ，其焦点F 的坐标为)0,2(p 直线l 的方程为2pty x +=，),(),,(2211y x B y x A ， 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==222p ty x px y 消去x 得：0222=--p pty y ，所以4)2)(2(,,22212122121p p ty p ty x x p y y pt y y =++=-==+，因为434322121-=-=+=⋅p y y x x ，解得1=p ，所以所求抛物线C 的标准方程为x y 22=.（2）设点11),,21(≤≤--m m M ， 由（1）知，t y y y y x x 2141212121=+-==，，，所以12221+=+t x x ，因为221m)-t m y m y x x ())(()21)(21(21=--+++=⋅，所以9)(2=-m t 得3+=m t 或3-=m t ， 因为11≤≤m -，∴42≤≤t 或24-t -≤≤，由抛物线定义可知，以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切， 所以点N 的纵坐标为t y y =+221， 所以点N 的纵坐标的取值范围是]4,2[]2,4[ --.21.解：（1）xx x x e bx b a x a e e bx ax e b ax x f +-+-=+-+=')2()()()2()(222，因为)(x f 在0=x 处取得极值，所以0)0(='f ，即0=b ，此时xx e axax x f e ax x f 2)(,)(22+-='=，设直线0=-ey x 与曲线)(x f y =且于点),(00y x P ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==0002020211x x e ax ax ee ax x e ，解之得1=a . （2）记函数0,1)1()()(2>+-=--=x xx e x x x x f x F x0,11)2()(2>---='x x e x x x F x 当2≥x 时，0)(<'x F 恒成立，当20<<x 时，1]2)2([)2(2=-+≤-x x x x ， 从而0111111111)2()(2222<-=--<--≤---='x x x e x e x x x F x x所以0)(<'x F 在),0(+∞上恒成立，故)(x F 在),0(+∞上单调递减. 又0234)2(,01)1(2<-=>=e F e F ，所以0)2()1(<⋅F F ， 又曲线)(x F y =在]2,1[上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的）（2,10∈x ，使0)(0=x F 的， 所以0)(),,(;0)(),,0(00<+∞∈>∈x F x x x F x x ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=02,011),(min )(x x e x x x x x x x x f x g x ， 从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<--=-=022022,01)()(x x cx ex x x cx x x cx x g x h x ，所以，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-+='002,2)2(0211)(x x cx e x -x x x cx x x h x ， 由函数2)()(cx x g x h -=为增函数，且曲线)(x h y =在),0(+∞上连续不断， 知0)(≥'x h 在),(),,0(00+∞x x 上恒成立. ①当0x x >时，02)2(≥-cx ex -x x 在),(0+∞x 上恒成立， 即x e x -c 22≤在),(0+∞x 上恒成立，记x e x -x u 2)(=，则x e -x x u 3)(='， 从而)(x u 在)3,(0x 单调递减，在),3(+∞单调递增，所以3min 1)3()(e u x u -== 故“x e x -c 22≤在),(0+∞x 上恒成立”只需3min 1)(2e x u c -=≤，所以321ec -≤. ②当00x x <<时，cx x x h 211)(2-+='， 当0≤c 时，0)(>'x h 在),0(0x 上恒成立，综上所述，实数c 的取值范围为：321e c -≤. 22.解：（1）由直线l 的参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x 31（t 为参数）化为普通方程为033=--y x ，直线l 的倾斜角为3π，将曲线C 的极坐标方程θρ2sin 12+=化为直角坐标方程为1222=+y x . （2）易知直线l 与x 轴的交点为)0,1(M ，从而直线l 的参数方程的标准形式为T T y T x (23211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数). 将直线l 的方程代入1222=+y x ，得02232211(22=++-T T ）（）， 整理得04472=-+T T ，所以74,742121-=-=+T T T T ，故224)(112121212121=-+=-=+=+T T T T T T T T T T BM AM BM AM BM AM . 23.解：（1）因为01323≥--++t x x ，所以t x x ≥-++1323， 又因为3)31()23(1323=-++≥-++x x x x ，所以3≤t ，从而实数t 的最大值3=a .（2）因为)54)(33421(n m n m n m ++++)]33()2)[(33421(n m n m nm n m ++++++= 9)33334221(2=+⋅+++⋅+≥n m n m n m n m ， 所以9)33421(3≥+++nm n m ，从而3≥y ， 当且仅当n m n m 33221+=+，即31==n m 时取等号， 所以n m n m y 33421+++=的最小值为3.。

2021年云南省大理州高考数学第二次复习试卷（理科）（二模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x≥2}2．设复数z＝+3i，则z在复平面中对应的点为（）A．（1，4）B．（2，5）C．（4，1）D．（5，2）3．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．5．已知a＝20.2，b＝log20.2，c＝log0.22，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a6．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．27．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣18．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．219．已知四面体A﹣BCD所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，若AB＝2，∠BCD＝120°，BC＝CD＝1，则球O的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π10．已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）（）A．是偶函数B．其图象关于直线对称C．在上是增函数D．在区间上的值域为11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2e x，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（e，4] B．（e+，4] C．（e+，4）D．（，4]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知||＝1，＝（0，2），且＝1，则向量与的夹角为．14．中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作（这四种著作每种各一本），要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有种．（请用数字作答）15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1B上移动，有下列判断：①平面BDP∥平面B1D1C；②平面PAC1⊥平面B1D1C；③三棱锥P﹣B1D1C的体积不变；④PC1⊥平面B1D1C．其中，正确的是（把所有正确的判断的序号都填上）．16．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设a n＝log2（F n﹣1），S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且a（cos B+cos C）＝b+c．（1）求证：A＝；（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．18．如图甲，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝3，D，E分别在AC，AB上，且满足，将△ADE沿DE折到△PDE位置，得到四棱锥P﹣BCDE，如图乙．（1）已知M，N为PB，PE上的动点，求证：MN⊥DE；（2）在翻折过程中，当二面角P﹣ED﹣B为60°时，求直线CE与平面PCD所成角的正弦值．19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”于机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.53837.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：：模型②：﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程﹣14.4182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣≈4.1）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式＝＝；a＝）（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布N（0.52，0012）．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%但不超过53%，每部芯片奖励2元：若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励，求E（Y）（精确到0.01）．（附：若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545）20．已知椭圆C的两个焦点为F1，F2，焦距为，直线l：y＝x﹣1与椭圆C相交于A，B两点，为弦AB的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于不同的两点M，N，Q（0，m），若（O为坐标原点），求m的取值范围．21．已知函数f（x）＝x sin x+cos x+ax2，x∈[﹣π，π]．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，讨论f（x）的零点个数．请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ+8sinθ，P是C1上一动点，，Q的轨迹为C2．1（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M（0，1），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C2的交点为A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．（1）求不等式|f（x）|＜4的解集；（2）记f（x）的最大值为m，设a，b，c＞0，且a+2b+3c＝m，证明：++≥．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x≥2}解：∵集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∪B＝{x|x≥﹣2}．故选：C．2．设复数z＝+3i，则z在复平面中对应的点为（）A．（1，4）B．（2，5）C．（4，1）D．（5，2）解：∵＝＝1+4i，∴z在复平面中对应的点为（1，4）．故选：A．3．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】可知充分，当θ＝0°时可知不必要．故选：A．4．在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）圆心到直线y＝k（x+3）的距离为，要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣，]上随机取一个数k，使y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为＝．故选：D．5．已知a＝20.2，b＝log20.2，c＝log0.22，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a解：a＝20.2＞20＝1，，，∴a＞c＞b，故选：D．6．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．2解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得＝，即：，解得a＝b，双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的渐近线方程为：y＝±x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：＝2．故选：D．7．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1解：设等比数列的公比为q，∵a5﹣a3＝12，∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），∴q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴12a1＝12，∴a1＝1，∴S n＝＝2n﹣1，a n＝2n﹣1，∴＝＝2﹣21﹣n，故选：B．8．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21解：模拟程序的运行，可得k＝3，n＝1，S＝1满足条件S＜kn，执行循环体，n＝2，S＝3满足条件S＜kn，执行循环体，n＝3，S＝6满足条件S＜kn，执行循环体，n＝4，S＝10满足条件S＜kn，执行循环体，n＝5，S＝15此时，不满足条件S＜kn＝15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．9．已知四面体A﹣BCD所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，若AB＝2，∠BCD＝120°，BC＝CD＝1，则球O的表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π解：，设球O的半径为R，三角形BCD的外接圆半径为r，则，r＝1，所以，所以球O的表面积为S＝4πR2＝8π．故选：C．10．已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）（）A．是偶函数B．其图象关于直线对称C．在上是增函数D．在区间上的值域为解：函数＝2sin（ωx+）的零点依次构成一个公差为的等差数列，∴•＝，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+）．把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）＝2sin2x的图象，故g（x）是奇函数，故A错误；令x＝，可得g（x）＝0，故g（x）的图象关于点（，0）对称，故B错误；当x∈，2x∈[，π]，g（x）是减函数，故C错误；当x∈[，]，2x∈[，]，g（x）∈[﹣，2]，故D正确，故选：D．11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为（）A．B．C．D．解：如图所示：因为圆的方程为x2+y2﹣4x+3＝0即为（x﹣2）2+y2＝1，所以圆心（2，0），半径R ＝1，因为2|AP|+|QB|＝2（|AF|﹣R）+（|BF|﹣R），所以2|AP|+|QB|＝2|AF|+|BF|﹣3，因为|AF|＝x A+＝x A+2，|BF|＝x B+＝x B+2，所以2|AP|+|QB|＝2x A+x B+3，设l：x＝my+2，所以，整理得x2﹣（4+8m2）+4＝0，所以x A x B＝4，则2|AP|+|QB|＝2x A+x B+3≥2+3＝4+3，当x A＝，x B＝2时取等号，综上可知2|AP|+|QB|最小值为4+3，故选：D．12．已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2e x，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（e，4] B．（e+，4] C．（e+，4）D．（，4]解：f（x）＝﹣x2+a在[﹣，2]的值域为[a﹣4，a]，但f（x）在（，2]递减，此时f（x）∈[a﹣4，a﹣）．g（x）＝x2e x的导数为g′（x）＝2xe x+x2e x＝x（x+2）e x，可得g（x）在[﹣1，0]递减，（0，1]递增，则g（x）在[﹣1，1]的最小值为g（0）＝0，最大值为g（1）＝e，即值域为[0，e]．对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），可得[0，e]⊆[a﹣4，a﹣），可得a﹣4≤0＜e＜a﹣，解得e+＜a≤4．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知||＝1，＝（0，2），且＝1，则向量与的夹角为．解：||＝1，＝（0，2），且＝1，可得：||||cos＝1×＝1，可得cos＝，可得＝．故答案为：．14．中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作（这四种著作每种各一本），要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有36 种．（请用数字作答）解：根据题意，分2步进行分析：①将4本著作分为3组，有C42＝6种分法，②将分好的三组全排列，分配给3人，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种不同的阅读方案；故选：15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1B上移动，有下列判断：①平面BDP∥平面B1D1C；②平面PAC1⊥平面B1D1C；③三棱锥P﹣B1D1C的体积不变；④PC1⊥平面B1D1C．其中，正确的是①②③（把所有正确的判断的序号都填上）．解：由题意可知，BD∥B1D1，BP∥CD1，所以平面BDP∥平面B1D1C，故命题①正确；因为AC1⊥平面B1D1C，且AC1⊂平面PAC1，所以平面PAC1⊥平面B1D1C，故命题②正确；因为BA1∥平面B1D1C，所以点P不论在A1B上什么位置，它到平面B1D1C的距离都相等，所以三棱锥P﹣B1D1C的体积不变，故命题③正确；当点P在线段A1B上移动时，PC1与平面B1D1C不一定垂直，故命题④错误．故答案为：①②③．16．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设a n＝log2（F n﹣1），S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是 5 ．解：a n＝log2（F n﹣1）＝log22＝2n，S＝＝2n+1﹣2，n则＝＝﹣，所以++…+＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣，由﹣＜，可得＞，解得n＜6，所以最大正整数n的值为5．故答案为：5．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且a（cos B+cos C）＝b+c．（1）求证：A＝；（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．解：（1）证明：∵a（cos B+cos C）＝b+c∴由余弦定理得a•+a•＝b+c．∴整理得（b+c）（a2﹣b2﹣c2）＝0．∵b+c＞0，∴a2＝b2+c2．故A＝．（2）∵△ABC外接圆半径为1，A＝，∴a＝2．∴b+c＝2（sin B+cos B）＝2sin（B+）．∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴2＜b+c≤2．∴4＜a+b+c≤2+2，故△ABC周长的取值范围是（4，2+2]．18．如图甲，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝3，D，E分别在AC，AB上，且满足，将△ADE沿DE折到△PDE位置，得到四棱锥P﹣BCDE，如图乙．（1）已知M，N为PB，PE上的动点，求证：MN⊥DE；（2）在翻折过程中，当二面角P﹣ED﹣B为60°时，求直线CE与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在图甲中，∵＝＝2，∴DE∥BC，∵AB⊥BC，∴DE⊥BE，且DE⊥AE，在图乙中，DE⊥BE，DE⊥PE，∴DE⊥平面PBE，∵MN⊂平面PBE，∴MN⊥DE．（2）解：∵DE⊥BE，DE⊥PE，∴∠PEB是二面角P﹣ED﹣B的平面角，∴∠PEB＝60°，在△PBE中，BE＝2，PE＝4，∠PEB＝60°，由余弦定理得PB＝2，满足PB2+BE2＝PE2，∴PB⊥BE，由（1）得BC⊥平面PBE，∴PB⊥BC，如图，以点B为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E（2，0，0），P（0，0，2），C（0，3，0），D（2，2，0），∴＝（0，3，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（2，﹣3，0），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，），∴直线CE与平面PCD所成角θ的正弦值为：sinθ＝＝＝．19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”于机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.53837.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：：模型②：﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程﹣14.4182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣≈4.1）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式＝＝；a＝）（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布N（0.52，0012）．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%但不超过53%，每部芯片奖励2元：若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励，求E（Y）（精确到0.01）．（附：若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545）解：（1）由表格中的数据，182.4＞79.2，∴＞，∴1﹣＜1﹣，∴模型①的相关指数R12小于模型②的相关指数R22，∴回归模型②的拟合效果更好，∴当x＝17亿时，科技升级直接收益的预测值为：＝21.3﹣14.4≈72.93（亿元）．（2）当x＞17时，由已知可得＝＝23，＝＝67.2，∴＝67.2+0.7×23＝83.3，∴当x＞17时，y与x满足的线性回归方程为＝﹣0.7x+83.3，当x＝20亿元，实际收益的预测值为：＝﹣0.7×20+83.3＝69.3亿元，当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3+5＝74.3亿元＞72.93亿元，∴技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．（3）∵μ﹣2σ＝0.5，μ+σ＝0.53，∴P（0.50＜X≤0.53）＝P（μ﹣2σ＜X≤μ+σ）＝P（μ﹣2σ＜X≤μ﹣σ）+P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝+0.6827＝0.8186．P（X＞0.53）＝P（X＞μ+σ）＝，∴E（Y）＝0+2×0.8186+4×＝2.2718≈2.27（元）．20．已知椭圆C的两个焦点为F1，F2，焦距为，直线l：y＝x﹣1与椭圆C相交于A，B两点，为弦AB的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于不同的两点M，N，Q（0，m），若（O为坐标原点），求m的取值范围．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），，两式相减可得+＝0，可得＝﹣，由题意可得＝1，x1+x2＝2×，y1+y2＝2×（﹣），所以可得＝，而由题意可得2c＝2，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝3，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：，整理可得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，△＝36k2m2﹣4×（1+3k2）（3m2﹣3）＞0，可得m2＜3k2+1①，且x1+x2＝﹣，x1x2＝，因为，可得M，N，Q三点共线，所以＝+，所以+＝1，解得：λ＝2，且x1+x2＝0，可得x1＝﹣2x2，将x1＝﹣2x2，代入两根之和及两根之积可得：x2＝，﹣2x22＝，所以﹣2×（）2＝，整理可得3k2＝≥0②，①②联立可得+1﹣m2＞0，整理可得m2（1﹣m2）（9m2﹣1）＜0，解得＜m2＜1，解得：＜m＜1或﹣1＜m所以m的取值范围：{m |＜m＜1或﹣1＜m}．21．已知函数f（x）＝x sin x+cos x +ax2，x∈[﹣π，π]．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，讨论f（x）的零点个数．解：（1）当a＝0时，f（x）＝x sin x+cos x，x∈[﹣π，π]．f'（x）＝sin x+x cos x ﹣sin x＝x cos x．当x在区间[﹣π，π]上变化时，f'（x），f（x）的变化如下表x﹣π（﹣π，﹣）﹣（﹣，0）0（0，）（，π）πf'（x）+0﹣0+0﹣f（x）﹣1极大值极小值1极大值﹣1∴f（x ）的单调增区间为（﹣π，﹣），（0，）；f（x）的单调减区间为（﹣，0），（，π）．（2）任取x∈[﹣π，π]．∵f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+cos（﹣x）+a（﹣x）2＝x sin x+cos x+ax2＝f （x），∴f（x）是偶函数．f′（x）＝ax+x cos x＝x（a+cos x）．当a≥1时，a+cos x≥0在[0，π）上恒成立，∴x∈[0，π）时，f′（x）≥0．∴f（x）在[0，π]上单调递增．又∵f（0）＝1，∴f（x）在[0，π]上有0个零点．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）在[﹣π，π]上有0个零点．当0＜a＜1时，令f′（x）＝0，得cos x＝﹣a．由﹣1＜﹣a＜0可知存在唯一x0∈（，π）使得cos x0＝﹣a．∴当x∈[0，x0）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈（x0，π）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∵f（0）＝1，f（x0）＞1，f（π）＝aπ2﹣1．①当aπ2﹣1＞0，即＜a＜1时，f（x）在[0，π]上有0个零点．由f（x）是偶函数知f（x）在[﹣π，π]上有0个零点．②当aπ2﹣1≤0，即0＜a≤时，f（x）在[0，π]上有1个零点．由f（x）是偶函数知f（x）在[﹣π，π]上有2个零点．综上，当0＜a≤时，f（x）有2个零点；当a＞时，f（x）有0个零点．请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ+8sinθ，P是C1上一动点，，Q的轨迹为C2．1（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M（0，1），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C2的交点为A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线l的普通方程．解：（Ⅰ）根据题意，设点P，Q的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有ρ＝ρ＝2cosθ+4sinθ，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ+4sinθ，变形可得：ρ2＝2ρcosθ+4ρsinθ，故C2的直角坐标方程为x2+y2＝2x+4y，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；（Ⅱ）设点A，B对应的参数分别为t1、t2，则|MA|＝t1，|MB|＝t2，设直线l的参数方程，（t为参数），代入C2的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5中，整理得t2﹣2（cosα+sinα）t﹣3＝0．由根与系数的关系得t1+t2＝2（cosα+sinα），t1t2＝﹣3，则|MA|+|MB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝＝≥2，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立，此时l的普通方程为x+y﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．（1）求不等式|f（x）|＜4的解集；（2）记f（x）的最大值为m，设a，b，c＞0，且a+2b+3c＝m，证明：++≥．解：（1）f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|＝．∵|f（x）|＜4，∴，∴，∴不等式的解集为．（2）由（1）知，f（x）的最大值为6，∴a+2b+3c＝m＝6，∴＝，当且仅当a＝2b＝3c，即时等号成立，∴++≥．。

一、单选题二、多选题1. 若复数z为纯虚数，且，则（ ）A．B．C．D ．22. 过双曲线的一个焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为1，则的焦距为（ ）A．B ．3C．D ．53. 实数x ，y ，z 分别满足，，，则x ，y ，z 的大小关系为（ ）A．B．C．D．4. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B两点，若的中点的纵坐标为2，且，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 已知数列{}为首项为2，公差为2的等差数列，设数列{}的前n 项和为，则=（ ）A ．2021B ．2022C ．2023D ．20246. “”是“”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（ ）A ．命题（1）和（2）均为真命题B ．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题C ．命题（1）和（2）均为假命题D ．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题8. 若集合，，，则的子集共有A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个9. 设，．若，则称序列是长度为n 的0—1序列．若，，则（ ）A ．长度为n 的0—1序列共有个B ．若数列是等差数列，则C．若数列是等差数列，则D ．数列可能是等比数列10.如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面ABCD，三棱锥的体积是，底面ABCD 和的中心分别是O 和，E 是的中点，过点E 的平面分别交，，于F ，N ，M 点，且平面，G 是线段MN 任意一点（含端点），P 是线段上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（）A ．侧棱的长为云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题三、填空题四、解答题B ．四棱柱的外接球的表面积是C ．当时，平面截四棱柱的截面是六边形D ．当G 和P变化时，的最小值是511.已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则（ ）A ．直线与所成角的正切值为B．直线平面C ．平面平面D．到直线的距离为12.设正六面体的棱长为2，下列命题正确的有（ ）A．B ．二面角的正切值为C ．若，则正六面体内的P点所形成的面积为D．设为上的动点，则二面角的正弦值的最小值为13.设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是______.14. 函数的最小值为__________.15. 已知函数则____________.16. 已知离心率为的椭圆：的右顶点为，左焦点为，点为平面内一点，到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，分别为椭圆上第一、三象限内的点，且，若时，求的面积．17. 如图，在棱长为1的正方体中，，截面，截面．(1)证明：平面和平面互相垂直；(2)证明：截面和截面面积之和是定值，并求出这个值；(3)若与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．18. 在平面直角坐标系中，已知，两点在椭圆：上，且直线与椭圆：有且仅有一个交点，射线与椭圆交于点．(1)证明：四边形是平行四边形；(2)求四边形的面积．19. 广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级人，他们的测试成绩的频数分布如下表：市一诊分数段人数51015137“过关”人数13886（1）由以上统计数据完成如下列联表，并判断是否有的把握认为市一诊数学成绩不低于分与测试“过关”有关？说明你的理由；分数低于分人数分数不低于分人数合计“过关”人数“不过关”人数合计（2）根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数.下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0252.072 2.7063.841 5.02420. 已知椭圆的离心率为，过C的右焦点且垂直于x轴的直线被C截得的线段长为3．(1)求C的方程；(2)过点的直线l交C于A，B两点，点B关于y轴的对称点为D，直线AD交y轴于点E，若△的面积为3，求l的方程．21. 如图，在五面体中，底面为正方形，.(1)求证：；(2)若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

一、单选题二、多选题1. 在复平面内，复数的对应点为，则=( )A．B．C．D．2. 已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线3. 双曲线的焦点为（ ）A．B．C．D．4.设，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <c <bD ．b <a <c5. 函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C．可以取到最大值D．可以取到最小值6.已知实数满足，设，则（ ）A．B．C．D．7. 已知函数的零点是以为公差的等差数列．若在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．8.集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数对任意，都有，且，则函数的图像（ ）A ．经过坐标原点B．与曲线且经过相同的定点C ．关于原点对称D．关于轴对称10.已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）A ．实轴长为4B ．双曲线为等轴双曲线C．离心率为D．渐近线方程为11. 已知，且，则下列结论中正确的是（ ）A．有最小值B ．可以取到0C ．有最大值D ．有最小值2云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题(1)云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题(1)三、填空题四、解答题12. 下列说法正确的是（ ）A ．残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高B ．在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数C ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9D ．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675人13. 复数（其中i 为虚数单位）的共轭复数为________.14.抛物线的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在x 轴上方），点E 为坐标轴上F 右侧的一点，已知，，若点N 在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为________．15. 已知是奇函数，且，若，则________.16. 已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808，0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？17. 已知定义域为的函数满足.（1）若，求；又若，求.（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.18. 已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；（2）记函数g（x）= +3x，求函数g（x）的值域；（3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．19. 在中，分别是角的对边.设，已知(1)求角的大小；(2)设，当时，求函数的最小值.20. 已知函数（），其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求x的取值范围；（3）当时，若，为函数（）的两个零点，试证明：.21. 应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”，近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车某区域销售在2021年11月至2022年3月这5个月的销售量（单位：百辆）的数据如下表：月份2021年11月2021年12月2022年1月2022年2月2022年3月月份代码：12345销售量（单位：百辆）4556646872(1)依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车区域销售量（单位；百辆）是否具有较高的线性相关程度?（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01.(2)求销售量与月份代码之间的线性回归方程，并预测2022年4月份该区域的销售量（单位：百辆）参考数据：，，，参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.。

一、单选题二、多选题1.已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 设曲线与有一条斜率为1的公切线，则（ ）A．B．C．D．3. 已知离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若的数学期望，则（ ）A ．19B ．16C．D．4. 若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四5. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．6. 二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为（ ）A．B．C ．6D ．157.已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是A．B．C．D．8. 已知复数，则其共轭复数的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．iD ．-i9. 已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，，且满足，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C ．若的最小值为，则双曲线方程为D ．存在点，使得10.已知正方体的棱长为3，P 为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，.则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 在侧面（含边界）内时，为定值B ．当点P 在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为C ．当点P 在侧面（含边界）内时，对任意点P ，总存在点Q，使得D ．点P的轨迹长度为11.已知点，，是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12云南省大理市2022届高三上学期复习统一检测数学（理）试题(2)云南省大理市2022届高三上学期复习统一检测数学（理）试题(2)三、填空题四、解答题12. 已知m ，n ，l 是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）A ．若，，则B ．若m ，，，，则C ．若，，，则D ．若，，则13. 已知是第二象限角，且，则的值为______．14. 圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为____________.15. 已知向量，，则向量在向量的方向上的数量投影为__．16. 的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求周长的最大值.17. 一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为．(1)求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；(2)求的分布列与数学期望．18. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的方程.(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A ，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.20. 已知函数（为常数，）.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.21. 已知椭圆的离心率为，且过点.点P 到抛物线的准线的距离为.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)如图过抛物线的焦点F作斜率为的直线交抛物线于A，B两点（点A在x轴下方），直线交椭圆于另一点Q.记，的面积分别记为，当恰好平分时，求的值.。

一、单选题二、多选题1. 已知集合，，则A．B．C．D．2. 下列各命题中正确命题的序号是① “若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是“不是偶数，则都不是奇数”；② 命题“”的否定是“” ；③ “函数的最小正周期为” 是“”的必要不充分条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④3. 已知是等差数列的前 项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为A ．2020B ．2019C ．2018D ．20174. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知双曲线的左､右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．6. 如图所示，垂直于圆所在的平面，是圆的直径，，是圆上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是A．B．C．D．7. 等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若，，则=（ ）A ．32B ．31C ．64D ．638.若，则z =（ ）A．B．C．D ．9. 已知O 为坐标原点，椭圆E 的方程为，离心率为，为E 上一点，过点A 作两条直线分别与E 交于B ，C 两点，且直线AB 与直线AC 的倾斜角互补，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆E的长轴长为B ．直线BC 的斜率为定值C ．点O 到直线BC 的距离为定值云南省大理、丽江2023届高三毕业生第二次复习统一检测数学试题(1)云南省大理、丽江2023届高三毕业生第二次复习统一检测数学试题(1)三、填空题四、解答题D ．若，则直线BC的方程为10. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（）A ．的值为0.015，的值为40B ．平均分为72，众数为75C ．中位数为75D ．已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人11. 设函数，已知在上有且仅有1个极大值点，则下列四个结论中正确的有（ ）A ．在内有5个零点B ．在有2个极小值点C ．在上单调递增D ．可以取12. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（）A．B．C ．函数在上单调递减D ．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为13. 如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为_________．（牛顿是物理的力学单位）14. 已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则___________.15. 已知两条直线：和：，与函数的图象从左到右相交于点，与函数的图象从左到右相交于点，记线段和在轴的投影长度分别为，当变化时，的最小值为__________．16. 为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A ”、“B ”、“C ”三个等级，等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：等级A B C频数1007525（表二）合格品次品合计甲80乙5合计在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有的把握认为产品的合格率与技术升级有关？（2）每件玩具的生产成本为20元，等级产品的出厂单价分别为m元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A等级产品的出产单价为多少元？附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.841 5.024 6.6357.87910.82817. 在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，.(1)证明：平面平面；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知函数与有相同的极值点．(1)求函数的解析式；(2)证明：不等式（其中为自然对数的底数）；(3)不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．19. 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．20. 在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下．（1）计算图中的值；（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求X的分布列及数学期望．21. 在中，内角所对的边长分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.。

一、单选题二、多选题1. 设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（ ）A．B．C．D．2.设等差数列的前项和为若,，则A ．45B ．54C ．72D ．813. 若复数，则的虚部是（ ）A．B ．C ．-1D ．14.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）A．B．C．D．5. 当时，函数取得最大值，则（ ）A．B．C．D ．16. 已知，下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．7. 右图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，48.若,其中是虚数单位,则的值分别等于（ ）A．B．C．D．9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．B．C ．点是函数图象的一个对称中心D ．直线是函数图象的一条对称轴10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则与同向的单位向量为C ．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D ．若，则的最小值为云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题(3)云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题(3)三、填空题四、解答题11. 在正三棱锥中，分别为棱的中点，分别在线段上，且满足，则下列说法一定正确的是（ ）A ．直线与平面平行B．直线与垂直C ．直线与异面D ．直线与所成角为12. 下列命题中，正确的命题是（ ）．A ．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70％分位数是7B．若随机变量，则C ．在回归分析中，可用相关系数R 的值判断模型的拟合效果，越趋近于1，模型的拟合效果越好D ．若随机变量，，则13. 已知向量共线，则t=____.14. 已知复数，，则复数_______．15. 《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.16. 设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．17. 在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.(1)求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间内的概率.18.等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为（），且，.（1）求与；（2）求数列的前项和.19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，△PAD 为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AD ，CD 的中点.(1)证明：BD⊥PF；(2)若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；20. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若E是侧棱上的一点，且与底面所成的是为45°，求二面角的余弦值.21. 已知椭圆的离心率为，为的左焦点，，是上的两个动点，且直线经过的右焦点，的周长为．(1)求的标准方程；(2)若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），证明：的面积为定值．。

一、单选题1. 如图所示，直线a 、b 和c 、d 是处于匀强电场中的两组平行线，M 、N 、P 、Q 是它们的交点，四点处的电势分别为、、、。

一电子由M 点分别运动到N 点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，则（ ）A ．直线a位于某一等势面内，B ．直线c位于某一等势面内，C ．若电子由M 点运动到Q 点，电场力做正功D ．若电子由P 点运动到Q 点，电场力做负功2. 跳台滑雪是运动员以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得速度，比拼跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目。

某次比赛中，滑雪运动员从起跳点跳起后斜向上飞跃，运动至最高点后，最终下落至水平地面上，忽略运动员在空中运动时受到的阻力，以起跳点为零势能点，E p 、E k 和E 分别表示运动过程中运动员的重力势能、动能和机械能，h 表示运动过程中竖直向上的位移。

则下列说法正确的是（ ）A． B．C． D．3. 如图所示，固定在地面上的光滑斜面足够长，一小球从斜面上某位置以沿斜面向上的初速度开始运动，则小球在运动过程中（）A ．速度大小和方向都不变B ．速度大小不断变化，方向不变C ．加速度大小和方向都不变化D ．加速度大小不断变化，方向不变4. 某同学利用如图甲所示的装置，探究物块a 上升的最大高度H 与物块b 距地面高度h 的关系，忽略一切阻力及滑轮和细绳的质量，初始时物块a 静止在地面上，物块b 距地面的高度为h ，细绳恰好绷直，现将物块b 由静止释放，b 碰到地面后不再反弹，测出物块a 上升的最大高度为H ，此后每次释放物块b 时，物块a 均静止在地面上，物块b 着地后均不再反弹，改变细绳长度及物块b 距地面的高度h ，测量多组（H ，h ）的数值，然后做出H -h 图像（如图乙所示），图像的斜率为k ，已知物块a 、b 的质量分别为m 1、m 2，则以下给出的四项判断中正确的是（ ）2024届云南省大理白族自治州高三上学期第二次复习统一检测—理科综合试卷突破二、多选题①物块a ，b的质量之比 ②物块a 、b的质量之比③H -h 图像的斜率为k 取值范围是0<k <1 ④H -h 图像的斜率为k 取值范围是1<k <2A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④5. 如图所示，质量为m 、带电量为q 的带正电小滑块（可视为质点），从绝缘斜面顶端由静止开始匀加速下滑，下滑高度为2h 后进入匀强电场区域，再下滑高度h 后到达斜面底端，匀强电场区域有理想边界，电场强度E 方向竖直向下，且qE =mg ，小滑块与斜面间的摩擦因数μ恒定。

2024届云南省大理白族自治州高三第二次复习统一检测数学试卷一、单选题1. 已知是虚数单位，则不等式的解集为（）A．B．C．D．2. 已知，其中，则（）A．0B．或C．D．3. 已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．4. 已知，则（）A．B．C．D．5. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．6. 如图，圆锥的高，底面直径是圆上一点，且，若与所成角为，则（）A．B．C．D．7. 已知D，E为正实数，则直线与圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心8. 若为函数（其中）的极小值点，则（）A．B．C．D．二、多选题9. 下列四个选项中，说法正确的是（）A．从人群中随机选出一人，设事件“选出的人患有心脏病”，“选出的人是年龄大于60岁的心脏病患者”，则有：B．抛一枚骰子，设事件“掷出2点”，“掷出的点数不大于4点”，则有：C．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有：D．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批的次品率为，从混合产品中任取1件，设事件“取出的产品为合格品”，则有：10. 如图所示，在平行六面体中，为正方形的中心，分别为线段的中点，下列结论正确的是（）A．平面B．平面平面C．直线与平面所成的角为D．11. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数. 函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则（）A．函数是奇函数B．函数是减函数C．对于实数，当时，函数有两个零点D．曲线存在与直线垂直的切线12. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则（）A．双曲线的焦距为B．点与点均在同一条定直线上C．直线不可能与平行D．的取值范围为三、填空题13. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下表对应数据：1345715根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当时，残差为__________ .（残差观测值-预测值）14. 已知抛物线过点，则拋物线的准线方程为 __________ .15. 函数的最大值为 __________ .16. 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 __________ ， __________ .四、解答题17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点分别为的中点.(1)证明：；(2)求点到平面的距离.18. 如图所示，在平行四边形中，有：.(1)求的大小；(2)若，求平行四边形的面积.19. 学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分.现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.(1)若小明先进行“定位球传准”考核，记为小明结束考核后的累计得分，求的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.20. 在数列中，，且数列是等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.21. 已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设，且是的极值点，证明：（i）时，取得极小值；（ii）.22. 已知点，点是圆上一动点，动点满足，线段的中垂线与直线交于点.(1)求点的轨迹的标准方程；(2)已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，若四边形的面积，求的最大值，并求出此时点的坐标.。