2019年云南省第二次省统测理科数学试卷及答案详解

云南省昆明市2019届高三第二次统测数学试题（理）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x ﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A． B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，设二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为θ，则sinθ=（ ）A ．B ．C ．D ．12．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，抛物线M 的焦点F 在x 轴正半轴上，抛物线M 的准线与曲线x 2+y 2﹣6x +4y ﹣3=0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上的一点，若•=﹣4，则点A 的坐标是（ ）A ．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B ．（1，2）或（1，﹣2）C ．（1，2）D ．（1，﹣2）第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2019年云南省高考数学二模试卷（理科）一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知集合S＝{﹣4，﹣3，6，7}，T＝{x|x2＞4x}，则S∩T＝（）A．{6，7}B．{﹣3，6，7}C．{﹣4，6，7}D．{﹣4，﹣3，6，7}2．（3分）已知i为虚数单位，设z＝1+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）已知P（3，4）是角α的终边上的点，则cos（π+α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（3分）在等比数列{a n}中，若a4，a3，a5成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．0或1或﹣2B．1或2C．1或﹣2D．﹣25．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A．3B．4C．5D．66．（3分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．7．（3分）已知直线x+ay﹣1＝0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（）A．2B．6C．4D．28．（3分）已知点O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），．若点P在y轴上，则实数m的值为（）A．B．C．D．9．（3分）若A、B、C、D、E五位同学随机站成一排照相，则A站正中间且B与C相邻的概率为（）A．B．C．D．10．（3分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝2，BC＝2，若球O的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是（）A．16B．15C．8D．11．（3分）若椭圆E：＝1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，双曲线﹣＝1的一条渐近线与椭圆E在第一象限交于点P，线段PF2的中点的纵坐标为0，则椭圆E的离心率等于（）A．B．C．D．12．（3分）已知a＝3，b＝log2425，c＝log2526，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a二、填空题．13．（3分）（1+2x）7的展开式中第4项的系数是（用数字作答）。

2019年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知为虚数单位，设，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知是角终边上的点，则（）A. B.C. D.4.在等比数列中，若，，成等差数列，则数列的公比为（）A. 0或1或-2B. 1或2C. 1或-2D. -25.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 107.已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A. 2B. 6C. D.8.已知点，，，.若点在轴上，则实数的值为（）A. B.C. D.9.若、、、、五位同学随机站成一排照相，则站正中间且与相邻概率为（）A. B.C. D.10.已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（）A. 16B. 15C. D.11.若椭圆：的上、下焦点分别为、，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，线段的中点的纵坐标为0，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.12.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.二、填空题。

13.在的二项展开式中，第4项的系数为______．14.若实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为_______．15.已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是_____．16.已知平面向量，，若函数在上是单调递增函数，则的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第1页曲靖市2019年高中毕业生（第二次）复习统一检测理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D 提示：{}1≠∈=x R x x A 且，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=21y y B ，则()+∞⎪⎭⎫⎢⎣⎡=,11,21B A ．2.A 提示：i i z -=+=225，i z +=2，z 对应点的坐标为()1,2，在第一象限．3.C2=3=52cos 2440=-=-θ，21cos -=θ，又[]πθ,0∈，所以32πθ=．4.C 提示：12)(--=x e x f x 是偶函数，0≥x 时，12)(--=x e x f x ，2)('-=x e x f ，令0)('>x f ，解得2ln >x ，即)(x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又0)0(=f ，则选项C 符合．5.D提示：由题意，22-=-p ，4=p ，x y C 8:2=，)0,2(F ，直线AF 的方程为0643=-+y x ，则原点到直线AF 的距离为56=d ，也就是所求的圆的半径．6.D 提示：由231,21,2a a a 成等差数列，可得q a a q a 11212+=，∴022=--q q ，而0>q ，∴2=q ．14a =，∴422162==-+n m ，∴6=+n m ，第2页∴3)82210(618210(61)82)((6182=⋅+≥++=++=+nm m n n m m n n m n m n m ，当且仅当n m m n 82=即4,2==n m 时，等号成立．7.B提示：若输入的[]1,0∈m ，则输出的[]34-，-∈n ；若输入的[)0,1-∈m ，则输出的(]2,2-∈n ，即输出的[](]2,234-∈ -，-n ，由几何概型的概率公式得事件“输出的[]1,1-∈n ”发生的概率为52412=+=P ．8.A提示：由随机变量ξ的分布列知：2ξ的所有可能取值为0，1，4，9，且124)0(2==ξP ，124121123)1(2=+==ξP ，123122121)4(2=+==ξP ，121)9(2==ξP ，∵1211)(2=<x ξP ，∴实数x 的取值范围是94≤<x ．9.B提示：由三视图可知，其对应的几何体是棱长为2的正方体中挖掉一个底面直径为2，高也为2的圆锥，其体积为正方体的体积与圆锥的体积之差，823==正方体V ，3221312ππV =⋅⋅⋅=圆锥，故几何体体积为328π-，即是不规则几何体的体积.10.C 提示：)32sin(2)(πx ωx f -=．由πx <<0得，32323πωππx ωπ-<-<-，根据正弦函数图像知，当)(x f 在区间()π,0内有且只有一个极值点时，23322ππωππ≤-<且0>ω，解得1211125≤<ω．11.A提示：由题意，1622=+b a ，根据双曲线1C 与椭圆2C 的对称性可得，21F PF ∆的面积为63，设点())0,0(,0000>>y x y x P ，则第3页⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⋅⋅19256382120200y x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==463410500y x ，即463,4105(P ，代入双曲线1C 的方程，并将2216a b -=代入，化得02503524=+-a a ，则0)25)(10(22=--a a ，又40=<<c a ，解得10=a ，所以双曲线1C 的离心率为51021041===a c e ，而椭圆2C 的离心率为542=e ，所以5410221+=+e e ．12.B提示：当0>x 时，由2)()(2'>+x xf x f 得，02)()(2'2>-+x x f x x xf ，即0)]1)(([]1)([]1)([)('2'2'2>-=-+-x f x x f x x f x ，令]1)([)(2-=x f x x g ，则)(x g 在()()+∞∞-,00, 上也为偶函数，且当0>x 时，0)('>x g 总成立，)(x g 在区间),0(+∞上是增函数．()()22424x f x f x -<-可化为)2()(g x g <，则2<x ，又()()+∞∞-∈,00, x ，解得)2,0()0,2( -∈x ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.4提示：画出可行域，易知当⎩⎨⎧=-+=-,03,02y x y x 即⎩⎨⎧==21y x 时目标函数422min =+=z ．14.80提示：r r n r r r n r x C a ax C T ==+)(1，3x 的二项式系数为35310C C n ==，则5=n ，当3=r 时，3x 的系数为80103353-==a C a ，解得2-=a ，所以4x 的系数为80)2(454=-C ．15.π64提示：取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，取CE 的三等分点为O ，使得CO =2OE ，则O 为等边△BCD 的中心．由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，CE ⊥BD ，所以平面ACE ⊥平面ABD ．而48222==+BD AD AB ，所以△ABD 为等腰直角三角形，且E 为△ABD 的外心，第4页所以OA =OB =OD ．又OB =OC =OD ，所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，其半径4342332=⋅⋅=r ．故四面体ABCD 外接球的表面积为ππS 64442=⋅=．16.[]1,1-提示：由1()1n n n n a a a +-=+得111)1(111+-=+=-++n n n n n a n a n n ，于是n a n a n 1111-=-，则*∈-=N n n a n ,12，124124121+-=++=++n n n n a n ，单调递增，所以31212min12=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-++n a at t n ，即0422≤-+t ta 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,23a 时恒成立，只需⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--04304322t t t t ，化得⎩⎨⎧≤≤-≤≤-1441t t ，解得11≤≤-t ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）解：（1）依题意，由正弦定理得：CA B c a b C B sin sin 2sin 2cos cos -=-=于是：CB C B B A cos sin sin cos cos sin 2=-即：()AC B C B C B B A sin sin sin cos cos sin cos sin 2=+=+=又()0sin ,,0>∈A A π，所以21cos =B ，又()π,0∈B ，所以3πB =；……………6分（2）由余弦定理：()212212222cos 22222=-=--+=-+=ac ac ac b ac c a ac b c a B 解得4=ac ，又因为3πB =，所以23sin =B ，所以323421sin 21=⨯⨯==∆B ac S ABC ．……………………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（1）从六组数据中随机选取4组数据，剩余2组数据的方法数为1526=C ，“剩余的2组数据中至少有一组是20日”分两种情况：第一种两组都是20日的方法数为323=C ，第二种只有一组是20日的方法数为91313=C C ，根据两个互斥事件有一个发生的概率公式得，剩余的2组数据中至少有一组是20日的概率为：54159153=+=P ；……………4分（2）①由所选数据得1148121311=+++=x ，24416262925=+++=y ，由参考公式得718114812131124114168261229132511ˆ22222=⨯-+++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=b ，……………7分则7301171824ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ．所以y 关于x 的线性回归方程为730718ˆ-=x y．……………………………………………10分②当10=x 时，7150ˆ=y ，174227150<=-；当6=x 时，778ˆ=y ，17612778<=-，所以该小组所得线性回归方程是理想的．……………………………………………12分19.（本小题满分12分）解：（1）由2212122222=+-+++++x y x x y x 可化得22)1()1(2222=+-+++y x y x ，设)0,1('-F ，则等式即为22'=+PF PF ，且222'<=FF ，所以曲线C 是椭圆，焦点为',F F （在x 轴上），长半轴长2=a ，半焦距1=c ，短半轴长122=-=c a b ，所以曲线C 的方程为2212x y +=.………………………………………………………4分（2）①当直线l 的斜率不存在时，1:=x l ，代入2212x y +=，解得22±=y ，即)22,1()22,1(B A ，-，又)0,2(M ，所以2212)22(01=---=k ，22122202-=--=k ，所以120k k +=；………………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得2222(21)4220k x k x k +-+-=，2880k ∆=+>，设l 与C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1242221+=+k k x x ，12222221+-=k k x x ，…………………………………………………9分11212y k k x +=+-222y x -=11(1)2k x x --2)1(22--+x x k 12121223()4(2)(2)kx x k x x kx x -++=--因为3331212244128423()4021k k k k k kx x k x x k k --++-++==+，所以120k k +=．综上，1k 与2k 满足120k k +=．………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）（1）证明：取PC 中点M ，连结BD ，设BD 交AC 于O ，连结OM ，EM ．在菱形ABCD 中，OD AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，∴OD PA ⊥，又PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，∴OD ⊥平面PAC ，∵O ，M 分别是AC ，PC 的中点，∴PA OM //，12OM PA =，又PA DE //，12DE PA =，∴DE OM //，且OM DE =，∴四边形OMED 是平行四边形，则EM OD //，∴EM ⊥平面PAC ，又EM ⊂平面PCE ，∴平面PAC ⊥平面PCE ．……………………………………5分（2）解：由（1）中证明知，OM ⊥平面ABCD ，则OB ，OC ，OM 两两垂直，以OB ，OC ，OM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由222PA AB BF DE ====及ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒得，32,2==BD AC ,则(3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(0,1,2)P -，)1,0,3(-E ，(0,2,2)PC =- ，(3,1,2)PB =- ，)1,1,3(--=，设PBC 平面的一个法向量为),,(c b a m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PC m PB m ，即⎩⎨⎧=-=-+022023c b c b a ，取1=a ，求得3==c b ，所以)3,3,1(=m ，同理，可求得PCE 平面的一个法向量为)1,1,0(=，……………………………………9分设PBC 平面与PCE 平面构成的二面角的平面角为θ，则7422732,cos cos =⋅=⋅⋅=><=nm nm n m θ，又[]πθ,0∈，0sin ≥θ，∴77cos 1sin 2=-=θθ，∴PBC 平面与PCE 平面构成的二面角的正弦值为77．…………………………12分21.（本小题满分12分）解：（1）0,))(1(1)('>++=+++=x x a x x a x x a x f ，当0≥a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在区间),0(+∞上是增函数；当0<a 时，令0)('>x f ，解得a x ->，则函数)(x f 在区间),0(a -上是减函数，在区间),(+∞-a 上是增函数．综上得：当0≥a 时，函数)(x f 的单调递增区间是),0(+∞，无单调递减区间；当0<a 时，函数)(x f 的单调递减区间是),0(a -，单调递增区间是),(+∞-a ．……4分证明：（2）由题意得，x x a x φ-=ln )(．因为21,x x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根，所以⎩⎨⎧=-=-0ln 0ln 2211x x a x x a ，两式相减得()1212ln ln ()0a x x x x ---=，解得1212ln x x a x x -=．要证：12ln ln 2ln 0x x a -+<，即证：212x x a <，即证：()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()221211221221ln 2x x x x x x x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，……………………………………………8分令12(0,1)x t x =∈（因为210x x <<），则只需证21ln 2t t t <-+．设()21ln 2g t t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭；令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，()h t 在()01，上为减函数，∴()()1h t h >0=，∴()0g t '>，()g t 在()01，为增函数，∴()()10g t g <=．即21ln 2t t t <-+在()01，上恒成立，∴12ln ln 2ln 0x x a -+<．……………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（1）由)(2为参数t ty t x ⎩⎨⎧=+=消去参数t ，即得直线1C 的普通方程为20x y --=，……………………………………………2分将θρy θρx sin ,cos ==代入9sin 9cos 2222=+θρθρ，得9922=+y x ，即椭圆2C 的直角坐标方程为1922=+y x ……………………………………………5分（2）由（1）知直线1C ：20x y --=与x 轴的交点E 的坐标为()2,0，直线1C 的标准参数方程为：)(22222为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，………………………………………………7分代入1922=+y x ，化得052252=-+m m ，设点A ，B 对应的参数值分别为21,m m ，则1,5222121-=-=+m m m m ，且21,m m 异号，所以5364)(212212121=-+=-=+=+m m m m m m m m EB EA ……………10分23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（1）()23f x x ≥+即23x a x +≥+，平方整理得，()22312290x a x a +-+-≤，由题意知3,1--是二次方程()22312290x a x a +-+-=的两实根，所以212243933a a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩，解得0a =．…………………………………………………5分（2）()()()2f x x a x a x a a +-≥+--=，因为对任意x R ∈，()22f x x a a a +-≥-恒成立，所以222a a a ≥-．当0a ≥时，222a a a ≥-，解得04a ≤≤；当0a <时，222a a a -≥-，此时满足条件的a 不存在，综上可得，实数a 的取值范围是[]0,4．…………………………………………10分。

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1 7．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年云南省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x＞0}，则∁U A=（）A．[0，3]B．（0，3）C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）2．i为虚数单位，若复数z=（1﹣ai）（1+i）（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．B．4 C．D．53．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=（）A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．4．某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为（）A．B．C．D．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则sin2θ=（）A．B． C． D．6．将函数f（x）=sin3x+cos3x的图象沿x轴向左平移∅个单位后，得到一个偶函数的图象，则∅的一个可能取值为（）A． B．C． D．07．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n=（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f （b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4﹣cosx；③；④其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（）A．B．C．D．10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B．C．D．11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12．已知函数f（x）=aln（x+2）﹣x2在（0，1）内任取两个实数p，q，且p＞q，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，24]B．（﹣∞，12]C．[12，+∞）D．[24，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y（a＞0）取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a=．14．（x2﹣3x+3）3的展开式中，x项的系数为．15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=2kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是．16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B﹣A）=，则cosB=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=qa n+d（q，d为常数）．（1）当q=1，d=2时，求a2017的值；（2）当q=3，d=﹣2时，记，S n=b1+b2+b3+…+b n，证明：．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了一个有奖闯关游戏，游戏分为两个环节．第一环节“解锁”：给定6个密码，只有一个正确，参赛选手从6个密码中任选一个输入，每人最多可输三次，若密码正确，则解锁成功，该选手进入第二个环节，否则直接淘汰．第二环节“闯关”：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得10个、20个、30个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏，也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求某参赛选手能进入第二环节的概率；（2）设选手甲在第二环节中所得学豆总数为X，求X的分布列和期望．19．如图（1）所示，在直角梯形ABCD中，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE 的位置，如图（2）所示．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．20．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[﹣1，1]，且，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围．21．已知函数，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f （x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线．（1）求a，b的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为为参数）．曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线C与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为M，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．若关于x的不等式|3x+2|+|3x﹣1|﹣t≥0的解集为R，记实数t的最大值为a．（1）求a；（2）若正实数m，n满足4m+5n=a，求的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x＞0}，则∁U A=（）A．[0，3]B．（0，3）C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】由二次不等式的解法，可得集合A，再由补集的定义，计算即可得到所求．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣3x＞0}={x|x（x﹣3）＞0}={x|x ＞3或x＜0}，则∁U A={x|0≤x≤3}=[0，3]．故选：A．2．i为虚数单位，若复数z=（1﹣ai）（1+i）（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．B．4 C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，结合已知求得a，代入复数z，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=（1﹣ai）（1+i）=（1+a）+（1﹣a）i的虚部为﹣3，∴1﹣a=﹣3，解得a=4，∴z=5﹣3i，则|z|=．故选：C．3．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=（）A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先用表示出，，再计算数量积．【解答】解：=（）•（﹣）=（）•（﹣）=﹣﹣，∵正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，∴=4，=0，∴=﹣4．故选：A．4．某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数m=，由此能求出6位员工中甲不在1日值班的概率．【解答】解：某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，基本事件总数n=，6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数m=，∴6位员工中甲不在1日值班的概率p===．故选：B．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则sin2θ=（）A．B． C． D．【考点】二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2θ的值．【解答】解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，∴tanθ=﹣则sin2θ====﹣，故选：D．6．将函数f（x）=sin3x+cos3x的图象沿x轴向左平移∅个单位后，得到一个偶函数的图象，则∅的一个可能取值为（）A． B．C． D．0【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用辅助角公式化积，得到平移后的函数解析式，由题意可得3φ+=k，k∈Z，得到φ=，取k=0得到φ值．【解答】解：f（x）=sin3x+cos3x=，沿x轴向左平移φ个单位后，得y=，由y=为偶函数，可得3φ+=k，k∈Z．∴φ=．取k=0，得φ=．故选：A．7．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，n，S的值，当S=10.2时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为6，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=0，S=0，n=1S=1不满足条件S≥9，执行循环体，n=2，a=1.4，S=3.4不满足条件S≥9，执行循环体，n=3，a=2.1，S=5.1不满足条件S≥9，执行循环体，n=4，a=2.8，S=6.8不满足条件S≥9，执行循环体，n=5，a=3.5，S=8.5，不满足条件S≥9，执行循环体，n=6，a=4.2，S=10.2，退出循环，输出n的值为6．故选：C8．已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f （b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4﹣cosx；③；④其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，若f（x）为“三角形函数，则满足f（x）max﹣f（x）min＜f（x）min，即可．【解答】解：若f（x）为“三角形函数，则f（x）max﹣f（x）min＜f（x）min，①若f（x）=lg（x+1）（x＞0），则f（x）∈（0，+∞），不满足条件；②若f（x）=4﹣cosx，则f（x）∈[3，5]，满足条件；③若，则f（x）∈[1，4]，不满足条件；④若=1+，则f（x）∈（1，2），满足条件；故选：B9．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图可得：该几何体是过BD且平行于PA 的平面截四棱锥P﹣ABCD所得的几何体．设AB=1，则截取的部分为三棱锥E﹣BCD，V剩余部分=V四棱锥P﹣ABCD﹣V三棱锥E﹣BCD．即可得出．【解答】解：根据几何体的三视图可得；该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P﹣ABCD所得的几何体．设AB=1，则截取的部分为三棱锥E﹣BCD，V三棱锥E﹣BCD=××1×1×=．V四棱锥P﹣ABCD===．剩余部分的体积V剩余部分=V四棱锥P﹣ABCD﹣V三棱锥E﹣BCD=﹣=．∴剩余部分体积与原四棱锥体积的比值==．故选：D．10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】画出球的内接三棱柱ABC﹣A1B1C1，作出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：设AA1=h，则∵棱柱的体积为，AB=2，∴∴h=1，∵AB=2，∴BC==，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP==则球的半径为OA，由题意OP=，∴OA==，所以球的体积为：πR3=π故选B．11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+a12=0，a1=3a2，e1•e2===1即3e12=1∴e1=故选：A．12．已知函数f（x）=aln（x+2）﹣x2在（0，1）内任取两个实数p，q，且p＞q，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，24]B．（﹣∞，12]C．[12，+∞）D．[24，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】根据题意，利用，将其变形可得f（p+1）﹣2（p+1）＞f（q+1）﹣2（q+1），从而构造函数g（x）=f（x）﹣2x，分析可得函数g（x）为增函数，利用导数分析可得在x∈（1，2）上恒成立，分析可得a≥[（x+2）（2x+2）]恒成立，结合三角函数的性质分析可得[（x+2）（2x+2）]的最大值，由恒成立的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由，变形可得得f（p+1）﹣f（q+1）＞2（p﹣q），则f（p+1）﹣2（p+1）＞f（q+1）﹣2（q+1），令g（x）=f（x）﹣2x，则有g（p+1）＞r（q+1）又由实数p、q∈（0，1），且p＞q，所以函数g（x）=f（x）﹣2x在（1，2）上单调递增，从而在x∈（1，2）上恒成立即a≥[（x+2）（2x+2）]，亦即a≥[（x+2）（2x+2）]max又函数y=（x+2）（2x+2）=2（x2+3x+2）在x∈[1，2]上单调递增所以[（x+2）（2x+2）]max=24，所以a≥24；故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y（a＞0）取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a=1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=ax+y取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y，得y=﹣ax+z，a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=3平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣1，即a=1．故答案为：1．14．（x2﹣3x+3）3的展开式中，x项的系数为﹣81．【考点】二项式系数的性质．【分析】（x2﹣3x+3）3的展开式的通项公式T r+1=×33﹣r（x2﹣3x）r，（x2﹣3x）r的通项公式T k+1=，令2r﹣k=1，r=0，1，2，3，k≤r，k∈N*．解得r=k=1，即可得出．【解答】解：（x2﹣3x+3）3的展开式的通项公式T r+1=×33﹣r（x2﹣3x）r，（x2﹣3x）r的通项公式T k+1==，令2r﹣k=1，r=0，1，2，3，k≤r，k∈N*．∴r=k=1，∴x项的系数=×=﹣81．故答案为：﹣81．15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=2kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由于圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，由题意可知，只需（x ﹣3）2+y2=4与直线y=2kx﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，整理得：（x﹣3）2+y2=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=2kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣3）2+y2=4与直线y=2kx﹣2有公共点即可．设圆心C′（3，0）到直线y=2kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即5k2﹣6k≤0，∴k∈，故答案为．16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B﹣A）=，则cosB=．【考点】正弦定理．【分析】由题意和边角关系可得B＞A，由条件和平方关系求出sin（B ﹣A），由正弦定理化简得sinA与sinB关系，由sinA=sin[B﹣（B﹣A）]、两角差的正弦公式化简后，结合条件和平方关系求出cosB的值．【解答】解：由得，B＞A，sin（B﹣A）＞0，所以，由正弦定理得，则，即sinA=sinB，因为sinA=sin[B﹣（B﹣A）]=sinBcos（B﹣A）﹣cosBsin（B﹣A），所以，化简得，由，sinB＞0知，cosB＞0，由得，，所以，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=qa n+d（q，d为常数）．（1）当q=1，d=2时，求a2017的值；（2）当q=3，d=﹣2时，记，S n=b1+b2+b3+…+b n，证明：．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当q=1，d=2时，a n+1﹣a n=2，从而数列{a n}是首项a1=4，公差d=2的等差数列，由此能求出a2017．（2）当q=3，d=﹣2时，a n+1=3a n﹣2变形得a n+1﹣1=3（a n﹣1），从而数列{a n﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，进而数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，由此能证明．【解答】（1）解：∵数列{a n}满足a1=4，a n+1=qa n+d（q，d为常数）．∴当q=1，d=2时，a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是首项a1=4，公差d=2的等差数列，∴a n=4+（n﹣1）×2=2n+2，∴a2017=2×2017+2=4036．（2）证明：当q=3，d=﹣2时，a n+1=3a n﹣2变形得a n+1﹣1=3（a n﹣1）∴数列{a n﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴，∴，∴数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了一个有奖闯关游戏，游戏分为两个环节．第一环节“解锁”：给定6个密码，只有一个正确，参赛选手从6个密码中任选一个输入，每人最多可输三次，若密码正确，则解锁成功，该选手进入第二个环节，否则直接淘汰．第二环节“闯关”：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得10个、20个、30个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏，也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求某参赛选手能进入第二环节的概率；（2）设选手甲在第二环节中所得学豆总数为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）选手能进入第二环节，说明该选手可能是第一次解锁成功，可能是第二次解锁成功，也可能是第三次才解锁成功．第一次解锁成功的概率为：，第二次解锁成功的概率为：，第三次解锁成功的概率为：，即可得出．（2）X的所有可能取值为0，10，30，60．利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）选手能进入第二环节，说明该选手可能是第一次解锁成功，可能是第二次解锁成功，也可能是第三次才解锁成功．第一次解锁成功的概率为：，第二次解锁成功的概率为：，第三次解锁成功的概率为：，所以该选手能进入第二环节的概率为：．（2）X的所有可能取值为0，10，30，60．，，，．所以X的分布列为X 0 10 30 60P．19．如图（1）所示，在直角梯形ABCD中，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE 的位置，如图（2）所示．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）BE⊥平面A1OC，又BE∥CD，即可证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：在图（1）中，因为，E是AD的中点，且，所以BE⊥AC，BE∥CD，即在图（2）中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC=O，OA1⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC，从而BE⊥平面A1OC，又BE∥CD，所以CD⊥平面A1OC．（2）解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且交线为BE，又由（1）知，BE⊥OA1，所以OA1⊥平面BCDE，如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，所以，得．设平面A1BC的法向量，平面A1CD的法向量，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，则得，取，同理，取，从而，即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为．20．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[﹣1，1]，且，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出抛物线方程，联立方程消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，利用韦达定理及向量的数量积公式，求出p，即可求抛物线的方程；（2）由（1）知，，结合，确定t的范围，根据抛物线的定义可知，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，可得点N的纵坐标为，即可求出点N的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），其焦点F 的坐标为直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，所以，因为，解得p=1，所以所求抛物线C的标准方程为y2=2x．（2）设点，由（1）知，，所以，因为，所以（t﹣m）2=9得t=m+3或t=m﹣3，因为﹣1≤m≤1，∴2≤t≤4或﹣4≤t≤﹣2，由抛物线定义可知，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，所以点N的纵坐标为，所以点N的纵坐标的取值范围是[﹣4，﹣2]∪[2，4]．21．已知函数，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f （x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线．（1）求a，b的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，由f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线，可得b=1，且，由此可得a值；（2）记函数，求其导函数，可得当x ≥2时，F'（x）＜0恒成立，当0＜x＜2时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，有，得到，分离参数c后利用导数求得答案．【解答】解：（1），∵f（x）在x=0处取得极值，∴f'（0）=0，即b=0，此时，设直线x﹣ey=0与曲线y=f（x）切于点P（x0，y0），由题意得，解之得a=1；（2）记函数，当x≥2时，F'（x）＜0恒成立，当0＜x＜2时，，从而∴F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．又，∴F（1）•F（2）＜0，又曲线y=F（x）在[1，2]上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，∴x∈（0，x0），F（x）＞0；x∈（x0，+∞），F（x）＜0，故，从而，∴．由函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，且曲线y=h（x）在（0，+∞）上连续不断，知h'（x）≥0在（0，x0），（x0，+∞）上恒成立．①当x＞x0时，在（x0，+∞）上恒成立，即在（x0，+∞）上恒成立，记，则，从而u（x）在（x0，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增，∴．故在（x0，+∞）上恒成立，只需，∴．②当0＜x＜x0时，，当c≤0时，h'（x）＞0在（0，x0）上恒成立，综上所述，实数c的取值范围为：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为为参数）．曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线C与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为M，求的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程，可得直线l的倾斜角；利用互化公式将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）易知直线l与x轴的交点为M（1，0），从而直线l的参数方程的标准形式为为参数）．将直线l的方程代入，得7T2+4T﹣4=0，利用根与系数的关系、参数的意义进而得出．【解答】解：（1）由直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程为，直线l的倾斜角为，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为．（2）易知直线l与x轴的交点为M（1，0），从而直线l的参数方程的标准形式为为参数）．将直线l的方程代入，得，整理得7T2+4T﹣4=0，所以，故=====2．[选修4-5：不等式选讲]23．若关于x的不等式|3x+2|+|3x﹣1|﹣t≥0的解集为R，记实数t 的最大值为a．（1）求a；（2）若正实数m，n满足4m+5n=a，求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）问题转化为|3x+2|+|3x﹣1|≥t，求出|3x+2|+|3x﹣1|的最小值，从而求出t的范围即可；（2）根据柯西不等式的性质求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）因为|3x+2|+|3x﹣1|﹣t≥0，所以|3x+2|+|3x﹣1|≥t，又因为|3x+2|+|3x﹣1|≥|（3x+2）+（1﹣3x）|=3，所以t≤3，从而实数t的最大值a=3．（2）因为=，所以，从而y≥3，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3．。

2019年云南省毕业生复习统一检测理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则（）A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应点位于（）A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（）A. B.C. D.4. 已知平面向量、都是单位向量，若，则与的夹角等于（）A. B. C. D.5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向右平移个单位________B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位________D. 向左平移个单位6. 执行如下图所示程序框图，如果输入的，那么输出的（）A. B. C. D.7. 如图是由圆柱与两个半球组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积与表面积分别为（）A. B. C. D.8. 在的二项展开式中，若第四项的系数为，则（）A. B. C. D.9. 已知，直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围为（）A. B. C. D.10. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积= （弦矢矢矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于米，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则（）A. B. C. D.11. 若偶函数满足则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题13. 已知实数满足则的最小值是 __________ ．14. 在棱长为的正方体中，是直线上的两个动点.如果，那么三棱锥的体积等于 __________ ．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】。

2019届云南省高三第二次统一检测数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知角的终边经过点 ,则（）A． B． C．D．2. 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3. 已知是平面向量, 如果 ,那么与的数量积等于（）A．___________________________________ B． C．___________________________________ D．4. 已知等差数列的前项和为 , 如果当时 ,最小，那么的值为（）A． B．___________________________________ C．___________________________________ D．5. 若运行如图所示程序框图，则输出结果的值为（）A．____________________________________________ B．______________________________________ C．_______________________________________ D．6. 下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图）正视图、侧视图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为 , 那么这个几何体的表面积为（）A． B．C．___________________________________ D．7. 现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券 , 则此人得奖金额的数学期望为（）A． B． C．___________________________________ D．8. 设是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过 ,若 , 则椭圆的离心率为（）A．______________________________ B．________________________ C．____________________________ D．9. 设 ,则（） A．___________________________________ B．_________________________________ C．______________________________D．10. 已知体积为的长方体的八个顶点都在球的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为、 ,那么球的体积等于（）A．______________________________ B．________________________ C．________ D．11. 已知焦点在轴上的双曲线的中心是原点，离心率等于，以双曲线的一个焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．12. 已知, 下列结论正确的是（）A． B．C． D．二、填空题13. 某工厂生产的、、三种不同型号的产品数量之比依次为 ,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_________ ．14. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列 , 则实数的取值范围为 _________ ．15. 若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ,则实数的值为 _________ ．16. 已知实数满足约束条件 ,那么的最小值为 _________ ．三、解答题17. 的内角、、对的边分别为、、 ,与垂直.（1）求的值；（2）若 , 求的面积的最大值 .18. ―个盒子里装有若干个均匀的红球和白球 , 每个球被取到的概率相等 . 若从盒子里随机取一个球 , 取到的球是红球的概率为 , 若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为 .（1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？（2）若一次从盒子中随机取出个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率 .19. 如图，三棱柱中，为的中点 , 为的中点 .（1）求证：直线平面；（2）若三棱柱是正三棱柱， , 求平面与平面所成二面角的正弦值 .20. 已知抛物线的焦点为，准线为 , 经过上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为、 .（1）求证：以为直径的圆经过点；（2）比较与的大小 .21. 已知是自然对数的底数 , . （1）设 ,当时, 求证：在上单调递增；（2）若 , 求实数的取值范围 .22. 选修4-1：几何证明选讲如图 , 是的内接三角形，是的切线，是线段上一点 , 经过作的平行直线与交于点，与交于点.（1）求证：；（2）若 ,求的面积.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直用坐标系中，直线的参数方程为为参数〕 . 在以原点为极点 , 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心的极坐标为，圆的半径为 .（1）直接写出直线的直角坐标方程，圆的极坐标方程；（2）设是线上的点，是圆上的点，求的最小值.24. 选修4-5：不等式选讲已知常数是实数，的解集为 . （1）求实数的值；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019届云南省毕业生复习统一测试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知为虚数单位，复数，则（）A ．________________________B ．________________________C ．______________ D ．2. 已知平面向量，如果，那么（）A ．________________________B ．____________________C ． 3____________________________D ．3. 函数的最小值为（）A ． - 4______________B ．___________C ．____________________ D ． - 24. 的展开式中的系数等于（）A ． 45____________________________B ． 20C ． - 30______________D ． - 905. 若运行如图所示程序框图，则输出结果的值为（）A ． 94B ． 86______________C ． 7 3______________D ． 566. 下图是底面半径为 1 ，高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，俯视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．7. 为得到的图象，只需要将的图象（）A ．向右平移个单位______________B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位______________D ．向左平移个单位8. 在数列中，，则 ( )A ．___________B ．________C ．_________D ． 59. 已知都是实数，直线与圆相切，则是的A ．充分不必要条件______________B ．必要不充分条件_________C ．充要条件_________________________________D ．既不充分也不必要条件10. 若满足约束条件，则的最小值为（）A ． 6________________________B ． 5______________________________C ． 3______________________________D ． 111. 在长为 3 的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于 1 的概率等于（）A ．______________B ．______________C ．______________D ．12. 已知双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线上，且，如果抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，那么（________ ）A ． 21____________________________B ． 14______________________________C ． 7___________________________________D ． 0二、填空题13. 已知函数的定义域为实数集，，则的值为________________________ .14. 在中，内角所对的边分别为，如果的面积等于 8 ， , , 那么=________________________ .15. 已知实数都是常数，若函数的图象在切点处的切线方程为与的图象有三个公共点，则实数的取值范围是________________________ .三、解答题16. 设数列的前项和为，对任意正整数， .（Ⅰ ）求数列的通项公式；（Ⅱ ）求证： .17. 某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出 8 名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有 2 名女生；高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出4 人参加比赛 .（Ⅰ ）设“选出的 4 人中恰有 2 名女生，而且这 2 名女生来自同一个学部”为事件 , 求事件的概率；（Ⅱ ）设为选出的 4 人中女生的人数，求随机变量的分布列和数学期望 .18. 如图，在三棱锥中，为的中点 . ( Ⅰ ) 求证：；( Ⅱ ) 设平面平面，求二面角的正弦值 .19. 已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率等于，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且 .( Ⅰ ) 求椭圆的方程；( Ⅱ ) 是否存在，使？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 .20. 已知 .（Ⅰ ）求证：当时，取得极小值；（Ⅱ ）是否存在满足的实数，当时，的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 .21. 如图，是⊙ 的直径，与⊙ 相切于是⊙ 的弦，是弧的中点，的延长线与交于 .（Ⅰ ）求证：；（Ⅱ ）若，求 .22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为 , （为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 .( Ⅰ ) 直接写出直线、曲线的直角坐标方程；( Ⅱ ) 设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围 .23. 已知 .( Ⅰ ) 求证：；( Ⅱ ) 若对任意实数都成立，求实数的取值范围 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2019年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题求得集合T，再利用交集的定义求得结果.【详解】由题，求得集合，所以故选D【点睛】本题主要考查了交集的概念，属于基础题.2.已知为虚数单位，设，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接对复数进行化简，求得，得出结果.【详解】复数，在复平面中对应的点为（2，-2）在第四象限故选D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.3.已知是角的终边上的点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得cosα，结合诱导公式可得结果.【详解】解：∵角α的终边上一点P（3，4），∴|OP|5，∴cosα，∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，考查计算能力，属于基础题．4.在等比数列中，若，，成等差数列，则数列的公比为（）A. 0或1或-2B. 1或2C. 1或-2D. -2【答案】C【解析】【分析】由题意，可得，再利用等比的通项，可得，解出答案即可.【详解】由题，，，成等差数列，所以又因为等比数列，即，解得或【点睛】本题考查了等差等比的性质，解题的关键是不要把性质弄混淆了，属于基础题型.5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题，根据程序框图的定义，结合对数的运算，求得满足题意的结果即可.【详解】输入n=1,S=0，可得S=，n=2,S<3，S=，n=3,S=,n=4故输出n=4故选B【点睛】本题主要考查了程序框图的算法以及对数的运算，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】由题，得知几何体是三棱锥，再求出表面积即可.【详解】由题，该几何体是一个侧面垂直底面，且底面和侧面都是等腰直角三角形的三棱锥，如图，面SAC垂直面ABC的三棱锥；所以故选A【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，还原几何体是解题的关键，属于基础题.7.已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A. 2B. 6C. D.【答案】B【解析】【分析】由题，求得圆的圆心和半径，易知直线：过圆心，求得a=-1，再利用切线的性质求得，得出答案.【详解】由题，可得圆C的标准方程：，直线：是圆：的对称轴，故过圆心，即2+a-1=0，可得a=-1，所以，半径r=2所以故选B【点睛】本题考查了直线与圆的的定义，性质以及位置关系，属于中档题型.8.已知点，，，.若点在轴上，则实数的值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用坐标表示平面向量的运算，又因为点P在y轴上，即横坐标为0，可得结果.【详解】由题，可得所以点在轴上，即故选A【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及运算，属于基础题.9.若、、、、五位同学随机站成一排照相，则站正中间且与相邻的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n120，站正中间且与相邻包含的基本事件个数m，由此能求出站正中间且与相邻的概率．【详解】解：A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，基本事件总数n120，站正中间且与相邻包含的基本事件个数m，∴站正中间且与相邻的概率为p．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（）A. 16B. 15C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可.【详解】由题，，因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，故三棱柱的高故体积故选A【点睛】本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.11.若椭圆：的上、下焦点分别为、，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，线段的中点的纵坐标为0，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题，得出和渐近线方程，再利用线段的中点的纵坐标为0，求得P点的坐标，再带入椭圆方程求得，得出离心率即可.【详解】由题，易知椭圆E的交点双曲线的一条渐近线方程为：因为的中点纵坐标为0，故点P 的纵坐标为点P 在双曲线的一条渐近线上，带入可得点再将点P 代入椭圆方程：解得所以离心率故选C【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，性质，渐近线，离心率，本题的计算量较大，这是本题的易错点，属于中档偏上的题型. 12.已知，，，则，，的大小关系为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】 先由题，易知，而，再将b ，c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案. 【详解】因为，故所以 ，即故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.二、填空题。