21版：§2.6　对数与对数函数（步步高）

§2.6 对数与对数函数1.对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ). (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1). (3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0).3.对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 知识拓展1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log m n a b ＝nmlog a b .其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.( √ ) 题组二 教材改编2.[P74T3]lg 427－23lg8＋lg 75＝________.答案 12解析 原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.3.[P82A 组T6]已知132a -=，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________.答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .4.[P74A 组T7]函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________.答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析 由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1. ∴12<x ≤1. ∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠5.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A.d ＝ac B.a ＝cd C.c ＝ad D.d ＝a ＋c答案 B6.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1,0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1,0<c <1 答案 D解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7.(2017·杭州高级中学最后一模)若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________. 答案24解析 因为0＜a ＜1，所以f (x )在[a,2a ]上是减函数. 所以f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1， f (x )min ＝f (2a )＝log a 2a ＝1＋log a 2，由条件得1＝3(1＋log a 2)，解得a －2＝8，所以a ＝24.题型一 对数的运算1.(2017·湖州中学期中)设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，那么( ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b D.2c ＝1a ＋2b答案 B解析 设3a ＝4b ＝6c ＝k ，所以a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ， 变形为1a ＝log k 3，1b ＝log k 4，1c ＝log k 6，所以2c ＝log k 36，2a ＋1b ＝log k 36，故2c ＝2a ＋1b. 2.(2013·浙江)已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B.2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC.2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y D.2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x＋lg y＝2lg(xy ).故选D.3.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 题型二 对数函数的图象及应用典例(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C.(1，2)D.(2，2)答案 B解析 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22， 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.引申探究若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________. 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解， 则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 跟踪训练 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小典例设a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝log 618，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.a >c >b D.c >b >a答案 A解析 a ＝1＋log 43，b ＝1＋log 53，c ＝1＋log 63， ∵log 43>log 53>log 63，∴a >b >c . 命题点2 解对数不等式典例(1)若log a 23<1，则a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) 解析 当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 23<log a a 总成立.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 23<log a a ，得a <23，故0<a <23.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞). (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 31x ，x >0则不等式f (x )>1的解集为________.答案 ⎝⎛⎭⎫－1，13解析 若x ≤0，则不等式f (x )>1可转化为3x ＋1>1得x ＋1>0，即x >－1，∴－1<x ≤0；若x >0，则不等式f (x )>1可转化为13log 1,x >得x <13，∴0<x <13.综上，不等式f (x )>1的解集是⎝⎛⎭⎫－1，13. 命题点3 和对数函数有关的复合函数 典例已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0且a ≠1).(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a .t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华(1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响. (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题. 跟踪训练 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >bB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b答案 D解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1. 又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大. 由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，4) B.(－4,4]C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D.[－4,4) 答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一.(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，若指数相同而底数不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <a <cD.a <c <b(2)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <b <a C.c <a <bD.b <c <a(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.a <c <b(4)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >a >bD.a >c >b答案 (1)C (2)B (3)A (4)B 解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性， 可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .(2)∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. (3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有四种可能： ①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ； ④0<c <b <a <1.对照选项可知A 中关系不可能成立. (4)易知y ＝f (x )是偶函数. 当x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |， 且当x ∈[1，＋∞)时， f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)， 所以b >a >c .1.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A.b <a <cB.c <a <bC.c <b <aD.a <c <b 答案 B解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.即c <a <b ，故选B.2.(2017·杭州教学质检)设函数f (x )＝|ln x |(e 为自然对数的底数)，满足f (a )＝f (b )(a ≠b )，则( )A.ab ＝e eB.ab ＝eC.ab ＝1eD.ab ＝1 答案 D解析 ∵|ln a |＝|ln b |且a ≠b ，∴ln a ＝－ln b ，∴ab ＝1.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是( ) A.5B.3C.－1D.72答案 A解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， 331log log 2231(log )3131213,2f -=+=+=+= 所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝5. 4.(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080 ＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D. 5.已知函数f (x )＝lne x e －x ，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( )A.6B.8C.9D.12答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝2 012， ∴503(a ＋b )＝2 012，∴a ＋b ＝4.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝8， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号.6.若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ， 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0， 所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0， 所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).7.(2017·浙江绍兴一中适应性考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为________.答案 12{1，e e } 解析 由于f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝1ln 2e ＝12. 由f (f (x ))＝1可得f (x )＝0或f (x )＝e ，又当x ≤0时，f (x )＝e x ∈(0,1]，那么由f (x )＝0可得ln x ＝0，解得x ＝1；由f (x )＝e 可得ln x ＝e ，解得x ＝e e ，故对应方程的解集为{1，e e }.8.若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________. 答案 [1,2)解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1， 解得1≤a <2，即a ∈[1,2).9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________. 答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0， 所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知x ≥0.10.设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________.答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点， ∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1).11.已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1， 又2×12－a >0，所以13<a <43，且a <1，故13<a <1； 当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×12－a >0， 解得a <0，且a <1，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.12.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，12()log .f x x =(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0， 则12()log ().f x x -=-因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以x <0时，12()log (),f x x =-所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 21x ，x >0，0，x ＝0，log 21(－x )，x <0. (2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x2－1|<4，解得－5<x<5且x≠±1，而x2－1＝0时，f(0)＝0>－2成立，所以－5<x<5，即不等式的解集为(－5，5).13.(2016·浙江)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则()A.(a－1)(b－1)＜0B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0D.(b－1)(b－a)＞0答案 D解析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得，当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a ＜1时，0＜b＜a＜1，代入验证只有D满足题意.14.(2017·浙江三市联考)下列命题正确的是()A.若ln a－ln b＝a－3b，则a＜b<0B.若ln a－ln b＝a－3b，则0<a<bC.若ln a－ln b＝3b－a，则0<b<aD.若ln a－ln b＝3b－a，则b<a<0答案 C解析显然有a>0，b>0，可排除A，D；设ab＝t，则a＝bt，若ln a－ln b＝a－3b，则有ln t＝bt－3b，b＝ln tt－3，由b＝ln tt－3＞0，得0<t<1或t>3，不能确定a<b，排除B；同理若ln a－ln b＝3b－a，则ln t＝3b－bt，b＝ln t3－t>0,1<t<3，即a b>1，a >b ，C 正确，故选C.15.关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题： ①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数.其中是真命题的序号为________.答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )， 即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ， 令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x 2， 可知当x ∈(0,1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即f (x )在x ＝1处取得最小值lg 2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.16.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m (x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由x ＋1x －1>0， 解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1 ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，∴f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数.(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm(x－1)(7－x)恒成立，∴x＋1x－1>m(x－1)(7－x)>0，∵x∈[2,6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在[2,6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，∴x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。

章末复习课一、导数几何意义的应用1．导数的几何意义，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直的问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度为中低档．2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算，数学抽象等核心素养．例1 设函数f (x )＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)，直线l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，当l 的斜率最小时，直线l 与直线10x ＋y ＝6平行．(1)求a 的值；(2)求f (x )在x ＝3处的切线方程．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－a 2－9，f ′(x )min ＝－a 2－9，由题意知－a 2－9＝－10，∴a ＝1或－1(舍去)．故a ＝1.(2)由(1)得a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋2x －9，则k ＝f ′(3)＝6，f (3)＝－10.∴f (x )在x ＝3处的切线方程为y ＋10＝6(x －3)，即6x －y －28＝0.反思感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点(x 0，y 0)的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，若不是切点可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)，求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型． 跟踪训练1 已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2，3)，则b ＝________. 答案 －15解析 设f (x )＝x 3＋ax ＋1，由题意知f (2)＝3，则a ＝－3.f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝3×22－3＝9＝k ，又点(2，3)在直线y ＝9x ＋b 上，∴b ＝3－9×2＝－15.二、函数的单调性、极值、最值问题1．利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数等为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题．难度为中高档．2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．例2 已知函数f (x )＝ln x －m x(m ∈R )． (1)当m ＝－2时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若函数f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，求m 的值．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝ln x ＋2x(x >0)， 则f ′(x )＝x －2x 2， 当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f (2)＝ln 2＋1，无极大值．(2)f ′(x )＝x ＋m x 2， ①当m ≥－1时，f ′(x )≥0，x ∈[1，e]，f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4，解得m ＝－4不满足m ≥－1，故舍去，②当－e<m <－1时，x ∈(1，－m )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(－m ，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，f (x )min ＝f (－m )＝ln(－m )＋1＝4，解得m ＝－e 3，不满足－e<m <－1，故舍去．③当m ≤－e 时，f ′(x )≤0，x ∈[1，e]，f (x )在[1，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1－m e＝4， 解得m ＝－3e ，满足m ≤－e.综上m ＝－3e.反思感悟 (1)极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另外，函数有极值未必有最值，反之亦然．(2)判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：①确定函数f (x )的定义域；②解方程f ′(x )＝0的根；③检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号：若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．跟踪训练2 设函数f (x )＝13x 3－x 2－mx . (1)若f (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求m 的取值范围；(2)若x ＝－1是函数的极值点，求函数f (x )在[0，5]上的最小值．解 (1)f ′(x )＝x 2－2x －m ，由题意可知，f ′(x )＝x 2－2x －m <0在(0，＋∞)上有解，所以m >x 2－2x ，则m >－1，即m 的取值范围为(－1，＋∞)．(2)因为f ′(－1)＝1＋2－m ＝0，所以m ＝3.所以f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝3.所以当x ∈(0，3)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(3，5)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )在[0，5]上的最小值为f (3)＝9－9－9＝－9.三、导数在实际问题中的应用1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具， 多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档．2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，提升逻辑推理及数学运算等核心素养． 例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的建造成本为160πr 2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh ＋160πr 2)元，又200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上单调递增；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得极大值也为最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．反思感悟 (1)应用导数解决实际问题的关键是认真分析题意，建立函数模型．由于是实际问题，要注意根据问题的实际情况，确定函数的定义域．(2)根据所建立的函数模型，用导数求最大、最小值．跟踪训练3 某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大． 解 (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件， 则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)．(2)y ′＝5a (4－2x －12x 2)，令y ′＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍)， 当0<x <12时，y ′>0；12<x <1时，y ′<0， ∴函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)在x ＝12时取得极大值也是最大值， 此时售价为20×⎝⎛⎭⎫1＋12＝30(元)，答改进工艺后，每个配件的销售价为30元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大．四、函数方程思想1．利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图像，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度为中高档．2．通过解决函数方程问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．例4设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．解(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f(x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)可知y＝f(x)的图像的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图像有3个不同的交点，需5－42＝f(2)＜a＜f(－2)＝5＋4 2.则方程f(x)＝a有3个不同的实根时，所求实数a的取值范围为(5－42，5＋42)．(3)方法一f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值范围为(－∞，－3]．方法二直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f(1)＝0，曲线f(x)在点(1，0)处的切线斜率f′(1)＝－3，由(2)中草图知，要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，需k≤－3.故实数k 的取值范围为(－∞，－3]．反思感悟 讨论方程根的个数、研究函数图像与x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图像的草图，数形结合求解．跟踪训练4 已知函数f (x )＝e x ＋1x －a，a ∈R ，试讨论函数f (x )的零点个数． 解 函数f (x )的定义域为{x |x ≠a }．(1)当x ＞a 时，e x ＞0，x －a ＞0，∴f (x )＞0，即f (x )在(a ，＋∞)上无零点．(2)当x ＜a 时，f (x )＝e x (x －a )＋1x －a ，令g (x )＝e x (x －a )＋1，则g ′(x )＝e x (x －a ＋1)．由g ′(x )＝0得x ＝a －1.当x ＜a －1时，g ′(x )＜0；当x ＞a －1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(－∞，a －1)上单调递减，在(a －1，a )上单调递增，∴g (x )min ＝g (a －1)＝1－e a －1.∴当a ＝1时，g (a －1)＝0，则x ＝a －1是f (x )的唯一零点；当a ＜1时，g (a －1)＝1－e a －1＞0，则f (x )没有零点；当a ＞1时，g (a －1)＝1－e a －1＜0，则f (x )有两个零点．1．(2020·全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为() A ．y ＝－2x －1 B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.2．(2019·天津)已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，e]D ．[1，e] 答案 C解析 方法一 当a ＝0时，不等式f (x )≥0恒成立，排除D ；当a ＝e 时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2e x ＋2e ，x ≤1，x －eln x ，x ＞1，当x ≤1时，f (x )＝x 2－2e x ＋2e 的最小值为f (1)＝1＞0，满足f (x )≥0；当x ＞1时，由f (x )＝x －eln x 可得f ′(x )＝1－e x ＝x －e x，易得f (x )在x ＝e 处取得极小值(也是最小值)f (e)＝0，满足f (x )≥0恒成立，排除A ，B.故选C.方法二 若x ≤1，f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＝(x －a )2－a 2＋2a .当a ≤1时，可得f (x )的最小值为f (a )＝－a 2＋2a ，令f (a )≥0，解得0≤a ≤2，故0≤a ≤1；当a ＞1时，可得f (x )的最小值为f (1)＝1≥0，满足条件．所以a ≥0.若x ＞1，由f (x )＝x －a ln x 可得f ′(x )＝1－a x ＝x －a x，当a ≤1时，f ′(x )＞0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，故只需1－a ln 1≥0，显然成立；当a ＞1时，由f ′(x )＝0可得x ＝a ，易得f (x )的最小值为f (a )＝a －a ln a ，令f (a )≥0，解得a ≤e ，故1＜a ≤e ，所以a ≤e.综上，a 的取值范围是[0，e]．3．(2020·全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a.若f ′(1)＝e 4，则a ＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2， 可得f ′(1)＝a e (1＋a )2＝e 4， 即a (1＋a )2＝14，解得a ＝1. 4．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b .(1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．解 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3. 若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减； 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫a 3，0上单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．理由如下①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝b ＝－1，最大值为f (1)＝2－a ＋b ＝1.解得a ＝0，b ＝－1，此时a ，b 满足条件．②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最大值为f (0)＝b ＝1，最小值为f (1)＝2－a ＋b ＝－1.解得a ＝4，b ＝1，此时a ，b 满足条件．③当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，1]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b . 若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0<a <3矛盾． 若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0<a <3矛盾． 综上，当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]上的最小值为－1，最大值为1.。