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上课八年级数学上册《14.3 因式分解(第3课时)》课件

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人教版数学八年级上册： 14.3 因式分解

人教版数学八年级上册： 14.3 因式分解

因式分解一、选择题（本题共计12 小题，每题3 分，共计36分）1. 若代数式x2+5x+2与11x+9的值相等，则x为（）A.x=7B.x=1C.x=−1D.x=7或x=−12. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.3a(a+b)＝3a2+3abB.a2−2a+3b+b2＝a(a−2)+b(3+b)C.a2−2a+1＝a(a−2)+1D.a2−b2＝(a+b)(a−b)3. 将下列各式分解因式，正确的是（）A.19−m2=19(1+m)(1−m) B.2y2−4xy+2x2=2(x−y)2C.x3+2x2−x−2=(x+2)(x2−1)D.y2−6y−7=(x+1)(x−7)4. 把多项式a3+2a2b+ab2−a分解因式正确的是（）A.(a2+ab+a)(a+b+1)B.a(a+b+1)(a+b−1)C.a(a2+2ab+b2−1)D.(a2+ab+a)(a2+ab−a)5. 将多项式x2+2xy+y2−2x−2y+1分解因式，正确的是（）A.(x+y)2B.(x+y−1)2C.(x+y+1)2D.(x−y−1)26. 若多项式x2−mx+24可以分解因式，则整数m可取的值共有（）A.4个B.6个C.7个D.8个7. 对于算式20203−2020，下列说法错误的是()A.能被2019整除B.能被2020整除C.能被2021整除D.能被2022整除8. 对于任意实数x，代数式2x−x2−1的值（）A.一定是负数B.一定为正数C.不可能为正数D.不可能为负数9. 四边形的四边顺次为a、b、c、d，且满足a2+b2+c2+d2=2(ab+cd)，则这个四边形一定是（）A.对角线互相垂直的四边形B.两组对角分别相等的四边形C.平行四边形D.对角线长相等的四边形10. 若x3+x2+x+1=0，则x27+x26+...+x+1+x+...x26+x27的值是()A.1B.0C.−1D.211. 已知a<b<c，x<y<z．则下列四个式子：甲：ax+by+cz；乙：ax+bz+cy；丙：ay+bx+cz；丁：az+bx+cy中，值最大的一个必定是（）A.甲B.乙C.丙D.丁12. 已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2−ab−ac−bc的值是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本题共计4 小题，每题3 分，共计12分）13. 已知a−b＝5，ab＝1，则a2b−ab2的值为________．14. 因式分解：a2+b2−2ab−1＝________．15. 因式分解：ax2−7ax+6a=________；因式分解：(a+2)(a−2)−3a=________．16. 已知m2=2n+1，4n2=m+1(m≠2n)．则求值：m+2n=________；4n3−mn+2n2=________．三、解答题（本题共计5 小题，每题10 分，共计50分）17. 因式分解：（1）x2−2x−3；（2）m2−7m+12；（3）5−4n−n2；（4）x2−6xy−7y2；（5）3s−s2−2；（6）a4−5a2+4．18. 已知a=√3+1，b=√3−1，求代数式a2b−ab2的值．19. 已知a+b=5，ab=3，（1）求a2b+ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求(a2−b2)2的值．20. 先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如①和②：①ax+by+bx+ay＝(ax+by)+(ax+by)＝x(a+b)+y(a+b)＝(a+b)(x+y)②2xy+y2−1+x2＝(x2+2xy+y2)−1＝(x+y)2−1＝(x+y+1)(x+y−1)（2）配方法：将一个多项式的某一部分变形为完全平方式后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如③：x2+120x+3456＝x2+2⋅x⋅60+602−602+3456＝(x+60)2−144＝(x+60+12)(x+60−12)＝(x+72)(x+48)请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2+a−b2−b；（2）分解因式：x2−42x−3528．21. (1)现在的“互联网+”时代，密码与我们的生活已经密不可分．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：利用多项式的分解因式结果．如，将多项式：x3+2x2−x−2因式分解，当其结果写成(x−1)(x+1)(x+2)时，如果x=18时，x−1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920.根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3−xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（请写出三组）(2)248−1可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数．作业一、解答题（本题共计3 小题，每题10 分，共计30分）1. 因式分解．xy−x−y+1；7x2−3y+xy−21x；a2−3a−ab+3b；2x2−3x−6xy+9y．2. 运用十字相乘法分解下列因式：x2−7x+12；x2−4x−12；x2+8x+12；x2−11x−12．3. 阅读探索：知识累积：对于多项式x 2+px +q ，如果满足关系式p =a +b ，q =ab ，那么这个多项式可进行如下的因式分解：x 2+px +q =x 2+(a +b )x +ab =(x +a )(x +b )，这种因式分解的方法叫做常数项分解法．例如多项式x 2+5x +6，因为6=2×3，5=2+3，故可因式分解为x 2+5x +6=x 2+(2+3)x +2×3=(x +2)(x +3).(1)拓展提高：仿照上面的方法分解因式：x 2−x −12；(2)能力运用：若规定|a b cd |=ad −bc ，求|m m +38m +3|的结果，并将结果分解因式.。

数学八年级上册第十四章第三节《因式分解》

数学八年级上册第十四章第三节《因式分解》
设计意图：学生通过学习目标，明确本节课的学习方向以及要掌握的 主要知识点，便于更好的开展学习。
说设计
四、导学交流，探究发现一（4分钟）
想一想： a2-b2=(a+b)(a-b) ， a2-2ab+b2 = (a-b)2 ， x2-x=x(x-1) 这三个等式从运算过程看有什么共同点？ 由此你能得出因式分解 的定义吗？
且学习了整式的乘法运算。因此，对于因式分解的引入，学生不会感到 陌生，它为今天学习因式分解打下了良好基础。
学生已有的学习方式和学习习惯：由整式乘法寻求因式分解的方
法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受 起来还有一定的困难，在教学当中尽量要让学生自己去探索如何去解决 问题。本班的个别学生观察、讨论、发现归纳能力较差，因此在教学过 程中教师要多加引导，并结合星级评价提高学生自主学习及合作学习的 热情。
设计意图：学生通过观察，交流，归纳总结，得出因式分解的概念， 提升学生的分析、归纳能力，渗透化归的数学思想方法。 遵循从具 体到抽象的原则 ，让学生经历从具体实例中抽象出概念的活动，从 而顺利地掌握重点。
1
b 说设计
五、应用训练，巩固新知一（3分钟）
1.下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； (7) 据我们数学学科的特点，及数学新授课模式，确定本节课模式：

人教版(新)数学八年级上册第十四章第三节完全平方公式因式分解课件

人教版(新)数学八年级上册第十四章第三节完全平方公式因式分解课件
2 2
( 2 0 1 4 2 0 1 3 )
2
1.
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
1 2－2x＋3. x 3
小聪和小明的解答过程如下： 小聪:
×
小明:
×
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. 解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 1 1 (2)原式＝ 3 (x2－6x＋9)＝ (x－3)2 3
般先利用添括号法则， 将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式.
a2
2ab
+b2
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2· 4x· 3 + (3)2 = (4x + 3)2； (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y
D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
课堂小结
公
式
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方 公式分解 因 式 特 点
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写 成某数或式的平方，另一项则是这

14.3因式分解(共4课时)

14.3因式分解(共4课时)

a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练____(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
复习回顾
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
a aa
2
2 2
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
m 7 m 7 __m_2___14_m___4_9_
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= x2 (1–x4)
= (x+x3)(x–x3)
= x2 (1+x2)(1–x2)
① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1 ④ x2 – x6 ⑤ 6x3 – 54xy2 ⑥ (x+p)2 – (x–q)2
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)

人教版初中八年级数学上册14.3.1因式分解(全)ppt课件

人教版初中八年级数学上册14.3.1因式分解(全)ppt课件

① 16x2 + 24x + 9 ② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1 ④ 4x2 – 8xy + 4y2 ⑤ 1 – 2a2 + a4 ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
形如a2±2ab+b2的式 子叫做完全平方式。
完全平方式一定可以利 用完全平方公式因式分解
含有的因式，叫做 。
公因式
在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项 式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式， 将这个多项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。
a
b
c
mm
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解？
m ( a + b + c ) = ma + mb + mc ma + mb + mc = m ( a + b + c )
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都
⑤ 36 x 2 y 3 45 x 3 y 2
⑥ 74 a 3 b 2 c 4 111 a 4 b 3 c 4
⑦ x2y 2x3y x2y2
2
3
6
⑧ 49 4 mn 2 98 5 n 2 m

人教版八年级数学上册第十四章《 公式法》教学课件

人教版八年级数学上册第十四章《 公式法》教学课件
原式= – 40×5= –200 ．
课堂检测
能力提升题
2.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长 为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得 6.82–4×1.62
＝6.82– (2×1.6)2 ＝6.82–3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2)
素养目标
3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解 因式这两种方法进行求值和证明． 2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式．
1. 理解完全平方公式的特点．
探究新知 知识点 1 用完全平方公式分解因式
1.因式分解
回
：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
顾
旧 2.我们已经学过哪些因式分解的方法
知
∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0， ∴(a–c)(a+c+2b)=0. ∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c， ∴这个三角形是等腰三角形.
巩固练习
连接中考
1. 多项式4a–a3分解因式的结果是( B )
A．a(4–a2)
B．a(2–a)(2+a)
人教版 数学 八年级 上册
14.3 因式分解 14.3.2 公式法
第一课时 第二课时
第一课时
平方差公式
导入新知
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b
米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此
图形变换，你能得到什么公式？
a米
b米
(a–b)
a米 b米
a2– b2=(a+b)(a–b)

人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)

人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2

人教版初中八年级数学上册14.3.2因式分解的(十字相乘法)ppt课件

人教版初中八年级数学上册14.3.2因式分解的(十字相乘法)ppt课件

试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x
–2y
5x
4y
4xy – 10xy = –6xy
∴5x2–6xy–8y2 =(x– 2y)(5x+4y)
简记口诀： 首尾分解，交叉 相乘，求和凑中。
十字相乘法3随堂练习：
1）2(x2+y2)+5xy
先讨论交流，后分解因式。
=x2+3x+2
(2) (x+2)(x-1) =X2+x-2
(3) (x-2)(x-1) =x2-3x+2
(4) (x+2)(x+3)
一般地,
=x2+5x+6
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq
= (x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2 =(x+1)(x+2)
x
-4
练习一：分解因式
-4x-2x=-6x
(1) x2-2x-15
=(x-5)(x+3)
(2) －y2 －4y＋12
= - (y+6)(y-2)
对于二次项系数为1的二次三项式分解的方法是 “拆常数项，凑一次项”
例2 分解因式 3x －10x2＋3
解：3x －210x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1)
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36

新人教版初二上册数学14.3因式分解ppt课件

新人教版初二上册数学14.3因式分解ppt课件

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数 的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果， 而在分解因式，• “平方差”是得分解因式的多项式 由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这 两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多 项式可以运用平方差公式分解因式．
[例1]分解因式：（1）4x2-9 （2）(x+p)2-(x+q)
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14.3因式分解
人教新课标
问题：1、根据学习用平方差公式分解因式的经验和 方法，• 分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解 因式？ 将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的 平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公 式反过来写即分解因式的完全平方公式．
1、多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用， • 也 就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式． 问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
2．提ห้องสมุดไป่ตู้因式法的第一步是观察多项式各项是否有 公因式，如果没有公因式，• 就不能使用提公因式 法对该多项式进行因式分解．
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？
3、要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因 式，• 不能用提公因式法分解因式，但我们还可以 发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平 方差公式可以写成如下形式：
a2-b2=(a+b)(a-b)． 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式 分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件， 就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的 方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方 差公式分解因式
观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、 符号有什么特点？ （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项 的符号相反．

最新人教部编版八年级数学上册《第十四章 整式的乘法与因式分解【全章】》精品PPT优质课件

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这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情 况：am an a p amn p （m，n，p都是正整 数）.
注意：同底数幂的乘法使用范围是两个幂的底 数相同，且是相乘关系.
强化练习
计算： ① 103×104；
=107 ③ a·a3·a5；
=a9
② a·a3； =a4
④ x·x2+x2·x. =2x3
15个10
10 10 10
18个10
1 01 8
探究
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什 么规律？ （1）25 22 2( )； （2）a3 a2 a( )； （3）5m 5n 5( )．
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什
么规律？ （1）25 22 27； （2）a3 a2 a5； （3）5m 5n 5m n ．
D. a4·a4
3. 若3x+2=36，则 3 x 2 . 2
提示：3x+2=3x·32=36，3x=4.
4. 已知2a=2，2b=6，2c=18，试探求a，b，c之 间的关系.
解：∵ 2b=6，∴2b ·2b=36，2a·2c=36， 2a·2c=2b ·2b ，
∴ 2a+c=22b， ∴ a+c=2b.
（1）（32）3=32 32 32 =3（ 6 ）； （2）（a2）3=a2 a2 a2 =a（ 6 ）； （3（）am）3=am am am =a（ 3m （） m是正整数）．
计算幂的乘方时，底数不变， 指数相乘.
思考
对于任意底数a 与任意正整数m ，n，（am）n =？
am an （ a a a ）（ a a
m个a
n个a
aa a
（m n）个a

【初中数学】人教版八年级数学上册14.3因式分解ppt课件

【初中数学】人教版八年级数学上册14.3因式分解ppt课件

3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同字母的
x
最低次幂
字母：相同的字
母
所以，公因式是3x。
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数。
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。
3、定指数：
相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最
低次幂
练习：(x-y)2+y(y-x)
把下列个式分解因式
(4)2a( y z) 3b( y z) (5) p(a 2 b2 ) q(a 2 b2 )
小结
1、什么叫因式分解？
记住哟！
2、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2) ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4) 4(m+n)2+2(m+n) (5) 9m2n-6mn (6) -6x2y-8xy 2
（3） （a） （a2）
（2(m+n)） （3mn） （-2xy）
ma+ mb +mc
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
(1)ab+ac =____ (2)2x2-x =___
(3)m2-25 =_____ (4)ma+mb+mc =__
m2 – 25=(m+5)(m - 5)

人教版数学八年级上册第三课时 添括号法则课件

人教版数学八年级上册第三课时 添括号法则课件

中，正确的是
(D)
A．[(a＋c)－b][(a－c)＋b]
B．[(a－b)＋c][(a＋b)－c]
C．[(b＋c)－a][(b－c)＋a]
D．[a－(b－c)][a＋(b－c)]
第十四章 整式的乘法与因式分解
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数学·八年级 (上)·配人教
8
5．在等式的括号内填上恰当的项：
(1)x2－y2＋8y＝x2－(__y_2－__8_y_____)；
第十四章 整式的乘法与因式分解
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能力提升
数学·八年级 (上)·配人教
10
9．下列式子中不能运用乘法公式计算的是
A．(a＋b－c)(a－b＋c)
B．(a－b－c)2
C．(a＋b)(a－b)
D．(2a＋b＋2)(a－2b－2)
10．已知a－b＝－3，c＋d＝2，则(a－d)－(b＋c)的值为
第十四章 整式的乘法与因式分解
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数学·八年级 (上)·配人教
15
17．运用乘法公式计算： (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)； 解：原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－4y2＋12y－9. (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)－(a－b－c)2. 解：原式＝[(a－c)＋2b]·[(a－c)－2b]－[(a－c)－b]2＝(a－c)2－4b2－[(a－c)2 －2b(a－c)＋b2]＝(a－c)2－4b2－(a－c)2＋2b(a－c)－b2＝－5b2＋2ab－2bc.
(__________)]．
5
6．已知2a－3b2＝5，则10－2a＋3b2＝_____. －3
7．(x2＋x＋M)2＝(x2＋x)2－6(x2＋x)＋M2，则M＝_______.

人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件

人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件

针对训练：
（1）-x2y+yx-xy2 (2)-4x2+8ax+2x （3）-3ab+6abx-9aby
例2 、因式分解 2(a-b)2 -a+b =2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1)
点拨：提公因式时，将因式改变符号后，才能看出公因式。 针对训练:
提公因式法： 其中一个因式是各项的公因式m另一个因式 (a+b+c)是m(a+b+c)除以m所得的商．像这 种分解因式的方法叫做提公因式。 归纳：如果多项式各项都有公因式，可以把 这个公因式提出来，将多项式写成积的形式， 这就叫做提公因式分解因式。
指出下列各多项式中各项的公因式
⑴5xy-10x ⑵9y2+12y ⑶7x3y2-42x2y3 ⑷7(a-3)-b(a-3) 注意：1.公因式系数为各项系数的最 大公约数。 2.取各项相同的字母。 3.找出相同字母的最低次幂。
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式
• 1.了解公因式的概念和因式分解的意义，培 养逆向思维的能力；
• 2.通过独立思考、小组交流，探究整式乘法 与因式分解的区别和联系；
• 3.掌握如何用提公因式来分解因式。
运用已学过的知识填空:
⑴ x(x-2)= X2-2x ;
⑵ (x+2)(x-2)= x2-4 ;
(1) a(x-y)-x+y (2) 7(x-3)-x(3-x) (3) (a-2)2-2a(2-a) (4)(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)
归纳总结: 分解因式的一般步骤：
1. 找出，找出应提取的公因式。 2. 除以，用多项式去除以公因式。 3. 整理，把多项式写成因式积的

八年级数学上册 第十四章 因式分解(第3课时)课件 (新版)新人教版

八年级数学上册 第十四章 因式分解(第3课时)课件 (新版)新人教版
第八页，共19页。
+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2
（1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个(liǎnɡ ɡè)平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
第九页，共19页。
理解(lǐjiě)完全平方式
a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2
你能将多项式 a2+2ab+b2与多项式 a2 -2ab+b分2 解 因式吗？
追问1 你能用提公因式法或平方差公式(gōngshì)来分 解因 式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
追问3 你能利用整式的乘法公式——完全平方公 式（a b）2 =a2 2ab+b2 来解决这个问题吗？
第四页，共19页。
第十三页，共19页。
综合运用完全(wánquán)平方式
例2 分解因式： （1）3ax 2+6axy+3ay2； （ 2 ） （a+b）2 -1（2 a+b）+36．
解：（1） 3ax2+6axy+3ay2 =3（a x2+2xy+y2） =3（a x y）2；
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综合运用完全(wánquán)平方式
意什么？
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布置 (bùzhì)作 业
教材(jiàocái)习题14.3第3、5（1）（3）题．
第十九页，共19页。
探索完全(wánquán)平方公式
a2+2ab+b2 =（a+b）2 a2 -2ab+b2 =（a-b）2
你对因式分解的方法有什么(shén me)新的发现？请尝试概 括 你的发现.
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2 2
1 2 ab b 4 a _______ 4 4 2 2 4 y 5 x 2 x y ______
2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a 10a ( 25 ) ( a 5 )
2 2 2
2
(2) ( a y ) 2ay 1 ( ay 1 )
追问1 式吗？ 追问2 追问3
你能用提公因式法或平方差公式来分解因 这两个多项式有什么共同的特点？
你能利用整式的乘法公式——完全平方公 2 式 （a b） =a 2 2ab+b 2 来解决这个问题吗？
探索完全平方公式
2 a 2 + 2ab+b2 =（a+b） 2 a 2 - 2ab+b 2 =（a-b）
2 -12 （a+b） +36 解：（2） （a+b） 2 =（a+b-6） ．
综合运用完全平方式
练习2 将下列多项式分解因式： 2 2 3 （1） ax + 2a x+a ； 2 2 3 x + 6 xy 3 y ． （ 2）
1.（眉山·中考）把代数式
mx2 6mx 9m 分解因式，下列结果
先提公因 式3a 写成两数或式的 平方的两项先变 成正号
（2）－x2－4y2+4xy.
【解析】（1）3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2. （2）－x2－4y2+4xy =－（x2－4xy+4y2） =－［x2－2· x· 2y+（2y）2］
=－（x－2y）2.
x 3
2.3.（杭州·中考）式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 【解析】 9x2－y2－4y－4=9x2－（y2+4y+4）=
(3x)2 ( y 2)2 (3x y 2)(3x y 2).
答案： (3x y 2)(3x y 2).
4.（黄冈·中考）分解因式：2a2–4a+2.
中正确的是（
）
D． m( x 3)2
A． m( x 3)( x 3) C． m( x 4)2 m( x 3)2 B．
2 【解析】选D. mx 6mx 9m =m（x2－6x＋9)=m(x－3)2.
2.（常德·中考）分解因式： x2 6 x 9 ___________. 【解析】原式是一个完全平方式，所以x2+6x+9= 答案： x 32
八年级
上册
14.3 因式分解 （第3课时）
zxxk
• 学习目标： 1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方 公式进行因式分解． 2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进 行因式分解． • 学习重点： 运用完全平方公式分解因式．
探索完全平方公式
2 2 2 2 a + 2 ab + b a 2 ab + b 你能将多项式 与多项式 分解 因式吗？
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
探索完全平方公式
把整式的乘法公式——完全平方公式 2 （a b） =a 2 2ab+b 2 反过来就得到因式分解的完全平 方公式：
2 a 2 2ab+b 2 =（a b）
理解完全平方式
我们把 a 2 + 2ab+b 2 和 a 2 - 2ab+b 2 这样的式子叫做完 全平方式． 利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
2 2 3 ax + 6 axy + 3 ay 解：（1）
=3（ a x 2 + 2 xy+y 2）
2 =3（ a x y） ；
综合运用完全平方式
例2 分解因式： 2 2 2 3 ax + 6 axy + 3 ay （ a + b ） -12 （a+b） +36 ． （ 1） ；（2）
理解完全平方式
2 a 2 + 2ab+b2 =（a+b） 2 a 2 - 2ab+b 2 =（a-b）
（1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
理解完全平方式
2 a 2 + 2ab+b2 =（a+b） 2 a 2 - 2ab+b 2 =（a-b）
（2）(m+n)2－6（m +n）+9. 【解析】（1）x2+14x+49 =x2+2×7x+72 =（x+7）2. （2）(m +n)2－6(m +n)+9
=（m +n）2－2×（m +n）×3+32
=［（m +n）－3］2 =（m +n－3）2.
【例2】把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2;
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整式) 的乘积的2倍.
从符号看： 平方项符号相同 （即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
理解完全平方式
下列多项式是不是完全平方式？为什么？ 2 a （ 1） - 4 a + 4 ； （2） 1+ 4a 2 ； （3） 4b 2 + 4b+1 ； （4） a 2 +ab+b 2 ．
蒿林九年制学校 教学课件 董金盆
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： 2 x （1） +12 x+36； 2 2 2 xy x y ； （ 2） （3） a 2 + 2a+1； （4） 4 x 2 - 4 x+1．
综合运用完全平方式
例2 分解因式： 2 2 2 3 ax + 6 axy + 3 ay （ a + b ） -12 （a+b） +36 ． （ 1） ；（2）
已知：x-y=1,xy=2
3 2 2 3 求：x y-2x y +xy 的值
３.已知：x2+y2-4x+6y+13=0
求：xy的值。
绝对挑战 （2）将 4 x 2 1 再加上一项，使它成为
完全平方式，你有几种方法？ （3）你能将多项式 分解因式吗？
4 x +4
了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于 分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
3. 请补上一项，使下列多项式成 为完全平方式
2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
(3)
2
1 1 2 2 2 ( rs ) r s ( rs ) 4 2
应用完全平方式
例1 分解因式： 2 2 2 16 x + 24 x + 9 x + 4 xy 4 y （ 1） ；（2） ．
2 16 x + 24 x+9 解：（1） 2 （4 x） + 2 4 x 3+32 2 （4 x+3） ；
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.完全平方公式的两个特点：
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方， 另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 2.用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因 式在这类因式分解中的作用．
蒿林九年制学校 教学课件 董金盆
应用完全平方式
例1 分解因式： 2 2 2 16 x + 24 x + 9 x + 4 xy 4 y （ 1） ；（2） ．
2 2 x + 4 xy 4 y 解：（2）
=-（x 2 - 4 xy+ 4 y 2）
2 =-（x- 2 y） ．
【例题】
【例1】把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
心似平原之马，易放难收。 学如逆水行舟，不进则退。
蒿林九年制学校 教学课件 董金盆
【跟踪训练】
下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; 是 （3）4a2+4ab+b2; 是 （2）x2+4x+4y2; （4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9;
（6）a2+a+0.25.是
（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍.
（4）不是， ab不是a与b乘积的2倍. （5）不是，x2与－9的符号不统一.
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
完全平方式
熟知公式特征！ 用公式法正确分解因式关键是什么？ 完全平方式 a2 ±2a b + b2 = （ a ± b ）2 从项数看： 都是有 3 项
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2
阅读小明的分解因式的过程，回答问题：
把(x2-2x)2+2(x2-2x)+1 分解因式，小 明是这样做的： 解： (x2-2x)2+2(x2-2x)+1
＝（x2-2x+1)2