九年级数学 (一元二次方程测试题(有答案))

一、选择题1．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ≥﹣14B ．k ≥﹣14且k ≠0C ．k ＜﹣14 D ．k ＞－14且k ≠0 2．已知方程240x x n ++=可以配方成()23x m +=，则()2015m n -=（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．43．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ）A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x+1）＝45 C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x+1）＝45 4．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定 5．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．12x +=B ．21x y +=C ．243x x -=D ．35-=xy 6．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 7．若关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．−2B ．−1C ．1D ．2 8．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 9．用配方法解方程28110x x -+=的过程中，配方正确的是（ ）A ．228(4)5x x -+-=B ．228(4)31x x -+-=C ．2(4)5x +=D ．2(4)11x -=- 10．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（ ）A ．2000(1)2420x +=B ．2000(12)2420x +=C ．22000(1)2420x -=D ．22000(1)2420x +=11．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定12．一元二次方程2x ＝﹣3x 的根是（ ） A ．x ＝﹣3B ．x ＝0C ．1x ＝0，2x ＝﹣3D ．1x ＝0，2x ＝3 二、填空题13．设m 、n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根，则2mn m n --=______．14．设12,x x 是一元二次方程2750x x --=的两个实数根，则实数1211+x x 的值为____． 15．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt ABC 和Rt BED 边长，易知2=AE c ，这时我们把关于x 的形如220++=ax cx b 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若1x =-是“勾系一元二次方程”220++=ax cx b 的一个根，且2ABC S =，则四边形ACDE 的周长是_________．16．三角形一边长为10，另两边长是方程214480x x -+=的两实根，则这是一个_____三角形．17．一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝_________． 18．已知：（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣1）＝20，那么x 2+y 2＝_____．19．定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+；当a b <时，a b ab a ⊕=-．若(21)(2)0x x -⊕+=，则x =______________．20．对于实数a b 、，定义新运算“⊗”：2a b a ab ⊗=-，如2424428⊗=-⨯=．若44x ⊗=-，则实数x 的值是_______．三、解答题21．阅读下面材料，并完成问题．任意给定一个矩形A ，若存在另一个矩形B ，使它的周长和面积分别是矩形A 的一半，则称矩形,A B 是“兄弟矩形”．探究：当矩形A 的边长分别为7和1时，是否存在A 的“兄弟矩形”B ？小亮同学是这样探究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意，得472x y xy +=⎧⎪⎨=⎪⎩①② 由①，得4y x =-，③把③代入②，得7(4)2x x -=， 整理，得22870-+=x x ．24645680b ac -=-=>，A ∴的“兄弟矩形”B 存在．（1）若已知矩形A 的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A 的“兄弟矩形”B 是否存在？（2）若矩形A 的边长为m 和n ，当A 的“兄弟矩形”B 存在时，求,m n 应满足的条件． 22．解方程：2(2)3(2)x x +=+23．解方程(1)2523x x += (2)22(21)(34)x x -=-24．已知：关于x 的方程x 2+kx -6＝0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是3，求另一个根及k 值．25．阅读下列材料：已知实数x ，y 满足()()22221163x y x y +++-=，试求22x y +的值． 解：设22x y a +=，则原方程变为(1)(1)63a a +-=，整理得2163a -=，264a =，根据平方根意义可得8a =±，由于220x y +，所以可以求得228x y +=．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x ，y 满足(223)(223)27x y x y +++-=，求x y +的值． （2）已知a ，b 满足方程组22223212472836a ab b a ab b ⎧-+=⎨++=⎩；求112a b +的值； （3）填空：已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩的解是_______． 26．在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠===，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/s 的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，设点P 运动时间为(s)t ，PCQ △的面积为()2cm S ．当P 运动到几秒时625ABC S S =？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k2≠0，且△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．【详解】解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0．解得k≥-14且k≠0．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．2．A解析：A【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m、n的值，由此可求得答案．【详解】解：由（x+m）2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，∴2m＝4，m2﹣3＝n，∴m＝2，n＝1，∴（m﹣n）2015＝1，故选：A．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．A解析：A【分析】关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．【详解】解：本次比赛共有x 个参赛棋手， 所以可列方程为：12x （x -1）=45． 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 4．A解析：A【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=，∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ，∵40k -<<，∴1640k -<<，∴16+4k ＞0，∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．5．C解析：C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】A 、是一元一次方程，不符合题意；B 、是二元一次方程，不符合题意；C 、是一元二次方程，符合题意；D 、是二元二次方程，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x 2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230x x -+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；C.22x x -=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；D.23420x x -+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．7．C解析：C【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，解得：a≤178且a≠2， 则整数a 的最大值为1．故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．8．A解析：A【分析】根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．【详解】解：由题意可知：1☆x=x 2-x-1=0，∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 9．A解析：A【分析】用配方法解方程即可．【详解】解：28110x x -+=，移项得，2811-=-x x ，配方得，228(4)1116x x -+-=-+，即228(4)5x x -+-=，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，能够熟练按照配方法的步骤进行解题是关键． 10．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．【详解】设每天的增长率为x ，依题意，得：22000(1)2420x +=．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题． 12．C解析：C【分析】移项，利用因式分解求解即可.【详解】解：∵2x ＝﹣3x ，移项，得2x +3x ＝0，分解因式，得x （x+3）＝0，∴x ＝0，或x+3＝0，解得1x ＝0，2x ＝﹣3，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键.二、填空题13．-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3mn=-7将其代入中即可求出结论【详解】解：∵mn 分别为一元二次方程的两个实数根∴m+n=-3mn=-7则故答案为：-11【点睛】本题解析：-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3，mn=-7，将其代入22()mn m n mn m n --=-+中即可求出结论．【详解】解：∵m ，n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根，∴m+n=-3，mn=-7，则22()2(7)(3)14311mn m n mn m n =--=-+⨯---=-+=-．故答案为：-11．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-2，mn=-1是解题的关键．14．【分析】根据根的判别式变形计算即可；【详解】∵是一元二次方程的两个实数根∴∴；故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系准确计算是解题的关键 解析：75- 【分析】根据根的判别式变形计算即可；【详解】∵12,x x 是一元二次方程2750x x --=的两个实数根， ∴127b x x a+=-=，125c x x a ==-， ∴2112121175x x x x x x ++==-； 故答案是：75-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键． 15．12【分析】根据题意可以求得a+b 的值再根据勾股定理可以求得c 的值从而可以求得四边形ACDE 的周长【详解】解：∵x=-1是勾系一元二次方程的一个根∴∴∵S △ABC=2a2+b2=c2∴=2得ab=4解析：12【分析】根据题意可以求得a +b 的值，再根据勾股定理可以求得c 的值，从而可以求得四边形ACDE 的周长．【详解】解：∵x =-1是“勾系一元二次方程”20++=ax b 的一个根，∴0a b -+=，∴a b +=，∵S △ABC =2，a 2+b 2=c 2，∴2ab =2，得ab =4， ∴（a +b ）2=a 2+2ab +b 2=c 2+2ab =c 2+8， （a +b ）2=()2222c c =，∴c 2+8=2c 2，解得，c =22或22-（舍去），∵四边形ACDE 的周长是：a +b +a +b +2c =22c +2c =32c =12，故答案为：12．【点睛】本题考查一元二次方程的解、三角形的面积、勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形【详解】解：x2-14x+48=0分解因式得：（x-6）（x-8）=0解得：x=6或x=8∵62+8解析：直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形．【详解】解：x 2-14x+48=0，分解因式得：（x-6）（x-8）=0，解得：x=6或x=8，∵62+82=102，∴这是一个直角三角形．故答案为：直角【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．17．3【分析】先根据根与系数的根据求得x1＋x2和x1x2的值然后代入计算即可【详解】解：∵一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两根是x1x2∴x1＋x2=4x1x2=1∴x1＋x2－x1x2＝4-1解析：3【分析】 先根据根与系数的根据求得x 1＋x 2和x 1⋅x 2的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2∴x 1＋x 2=4，x 1⋅x 2=1∴x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝4-1=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根是x 1、x 2，则x 1＋x 2=b a -、x 1⋅x 2=c a． 18．5【分析】应用换元法得到一元二次方程解方程问题可解【详解】解：设t ＝x2+y2（t≥0）则t （t ﹣1）＝20整理得（t ﹣5）（t+4）＝0解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）所以x2+y2＝5故答案是：5【解析：5【分析】应用换元法，得到一元二次方程，解方程问题可解．【详解】解：设t ＝x 2+y 2（t ≥0），则t （t ﹣1）＝20．整理，得（t ﹣5）（t +4）＝0．解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）．所以x 2+y 2＝5．故答案是：5．【点睛】本题考查了换元法和解一元二次方程的知识，解答关键是根据题意选择合适未知量使用换元法法解题．19．或【分析】分类讨论当和当两种情况时根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可注意所求的解要符合题意【详解】分类讨论①当时即此时解得：由于所以两个根都舍去②当时即此时解得：由于所以两个根都符合题意故 解析：12或1-． 【分析】分类讨论当212x x -≥+和当212x x -<+两种情况时，根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可．注意所求的解要符合题意．【详解】分类讨论①当212x x -≥+时，即3x ≥．此时2212(21)(2)(2)240x x x x x x x -⊕+=-+++=+=，解得：1202x x ==-，．由于3x ≥，所以两个根都舍去．②当212x x -<+时，即3x <．此时2212(21)(2)(21)210x x x x x x x -⊕+=-+--=+-=，解得：34112x x ==-，． 由于3x <，所以两个根都符合题意． 故答案为：12或1-． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算和解一元二次方程．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．20．【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可【详解】解：由题意可知：∴即解得：x ＝2故答案为：2【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法正确理解新运算法则熟练掌握解一元二次方程的方 解析：2【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可．【详解】解：由题意可知：2a b a ab ⊗=-，∴2444x x x ⊗=-=-，即244x x -=-，解得：x ＝2．故答案为：2．【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．三、解答题21．（1）不存在；（2）2260m mn n -+【分析】（1）按照小亮的方法，进行计算即可；（2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可．【详解】解：（1）设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意，得5,23.x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩①②由①，得52y x =-，③ 把③代入②，得532x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，整理，得22560x x -+=，242548230b ac -=-=-<，A ∴的“兄弟矩形”B 不存在．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 由题意，得,2.2m n x y mn xy +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 由①，得2m n y x +=-，③ 把③代入②，得22m n mn x x +⎛⎫-=⎪⎝⎭， 整理，得22()0x m n x mn -++=，22224()86b ac m n mn m mn n -=+-=-+，又,x y 都是正数，∴当2260m mn n -+时，A 的“兄弟矩形”B 存在．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．22．122,1x x =-=．【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】∵2(2)3(2)x x +=+，∴()()22320x x +-+= ∴()()2230x x ++=⎡⎤⎣⎦-∴()()210x x +-=解得：122,1x x =-=．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的实质，灵活准确求解是解题的关键．23．（1）12x =，213x =-；（2）13x =，21x = 【分析】（1）将方程化为一般式，利用公式法求解即可．（2）直接运用开平方法求解方程即可．【详解】（1）23520x x --=3a =，5b =-，2c =-224(5)43(2)490b ac -=--⨯⨯-=>557236x ±±∴==⨯ 12x ∴=，213x =- （2）()()222134x x -=-方程两边直接开平方得，()2134x x -=±- ∴2134x x -=-，2134x x -=-+解得：13x =，21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和公式法是解答此题的关键． 24．（1）见解析；（2）k=-1，另一根为-2【分析】（1）由于方程有两个不相等的实数根，则△＞0，据此列出关于k 的方程，解答即可； （2）将x ＝3代入方程x 2+kx -6＝0，求出k 的值，根据求出的k 的值，得到一元二次方程，从而求出方程的根．【详解】解：（1）证明：2240k =+＞∴方程x 2+kx -6＝0有两个不相等的实数根；（2）把x =3代入方程x 2+kx ﹣6＝0，得：9+3k-6=0，解得k=-1，将k=-1代入原方程得x 2-x -6＝0，解得123,2x x ==-∴k=-1，另一根为x =-2．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握根的判别式和一元二次方程的解法．25．（1）±3；（2）54±；（3）45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩【分析】（1）设22x y a +=，则原方程变为(3)(3)27a a +-=，解之求得a 的值，继而可得x y +的值；（2）设a ²+4b ²=x ，ab=y ，可将原方程组变形为二元一次方程组，解出x 、y 的值再代入即可.（3）将原方程组变为21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩，由题意得出2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩，即可得出答案． 【详解】解：（1）设22x y a +=，则原方程变为(3)(3)27a a +-=，整理，得：2927a -=，即236a =，解得：6a =±，则226x y +=±，3x y ∴+=±；（2）令224a b x +=，ab y =，则原方程变为：3247236x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之得：172x y =⎧⎨=⎩， ∴22417a b +=，2ab =，∴()22224417825a b a ab b +=++=+=， ∴25a b +=±， ∴1125224b a a b ab ++==±； （3）由方程组21111122222222a x a x b yc a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩，得21111122222222a x a x a b y c a x a x a b y c ⎧-++=⎨-++=⎩， 整理，得：21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩， 方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩， ∴方程组21112222(1)(1)a x b y c a x b y c ⎧-+=⎨-+=⎩的解是：2(1)95x y ⎧-=⎨=⎩， 13x ∴-=±，且5y =，解得：45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩． 【点睛】本题主要考查换元法解方程、方程组及因式分解，根据方程和代数式的特点设出合适的新元是解题的关键．26．4秒、6秒或12秒【分析】先根据三角形面积公式可得S △ABC ，根据S ＝625S △ABC ，可求△PCQ 的面积，再分两种情况：P 在线段AB 上；P 在线段AB 的延长线上；进行讨论即可求得P 运动的时间．【详解】解：∵S△ABC=12AB•BC=50cm2，625S△PCQ=12cm2，设当点P运动x秒时，S＝625S△ABC，当P在线段AB上，此时CQ=x，PB=10-x，S△PCQ=12x（10-x）=12，化简得 x2-10 x+24=0，解得x=6或4，P在线段AB的延长线上，此时CQ=x，PB=x-10，S△PCQ=12x（x-10）=12，化简得 x2-10 x+24=0，x2-10 x-24=0，解得x=12或-2，负根不符合题意，舍去．所以当点P运动4秒、6秒或12秒时，S＝625S△ABC．【点睛】此题主要考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知分两种情况进行讨论是解题关键．。

解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。

一、选择题1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值是（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．3 2．一个菱形两条对角线的长是方程28120x x -+=的两个根，则该菱形的面积为（ ） A ．12B ．6或12C ．8D ．6 3．一元二次方程x 2+4x=3配方后化为（ ） A ．(x+2)2=3 B ．(x+2)2=7 C ．(x-2)2=7 D ．(x+2)2=-1 4．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x 元，则符合题意的方程是（ ） A ．(1612)(36040)1680x x +--=B ．(12)(36040)1680x x --=C ．(12)[36040(16)]1680x x ---=D ．(1612)[36040(16)]1680x x +---=5．关于x 的一元二次方程()22120x m x m +--=的根的情况是（ ）A ．无法确定B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无实数根6．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长30cm ，宽20cm 的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为cm x ，则x 满足的方程是（ ）A ．()()3022023020=++⨯x xB ．()()30203020++=⨯x xC ．()()30220223020--=⨯⨯x xD ．()()30220223020++=⨯⨯x x 7．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程22350x x +-=即(2)35x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是2(2)x x ++．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24352⨯+，因此5x =．则在下面四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，则4353x x x +-+的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x 个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．()1132x x +=B ．()1132x x -=C ．1(1)1322x ⨯+=D ．1(1)1322x x -= 10．若12,x x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于( )A ．2020B ．2019C ．2029D ．202811．受非洲猪瘟及其他因素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）A ．23（1﹣x%）2＝60B ．23（1+x%）2＝60C ．23（1+x 2%）＝60D ．23（1+2x%）＝6012．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（ ）A ．2000(1)2420x +=B ．2000(12)2420x +=C ．22000(1)2420x -=D ．22000(1)2420x +=二、填空题13．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a 、b 为常数）的形式，则a 、b 的值分别是_______．14．已知关于x 的一元二次方程m 2x ﹣nx ﹣m ﹣3＝0，对于任意实数n 都有实数根，则m 的取值范围是_____．15．阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________． 16．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____．17．如果菱形的两对角线的长分别是关于x 的一元二次方程2240x mx ++=的两实数根，那么该菱形的面积是____．18．在实数范围内因式分解：231x x --=_______．19．如果一元二次方程()()636x x x -=-的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为__________．20．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 _________%．三、解答题21．解下列方程：（1）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．（2）2x 2﹣4x ﹣1＝0．22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m 的住房墙，另外三边用27m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门．（1）所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为296m ？（2）能否围面积为2100m 的矩形猪舍，若能，求出长和宽；若不能，请说明理由． 23．已知一元二次方程2230x x --=的正实数根也是一元二次方程()2230x k x --+=的根，求k 的值．24．解下列方程：（1）（x ﹣1）2﹣x 2＝3（x ﹣3）；（2）2121124x x x x -+=---． 25．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝﹣1时，求另一个根x 2的值．26．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】直接根据根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1x 2=-3．故选B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 2．D解析：D【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积=12对角线的积求解即可． 【详解】解：28120x x -+=，（x-6）（x-2）=0，∴x 1=6，x 2=2，∵菱形的两条对角线长分别为6，2，∴菱形面积为162=62⨯⨯， 故选：D ．【点睛】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积=12对角线的积． 3．B解析：B【分析】在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成完全平方的形式即可得出答案．【详解】解：x 2+4x=3，x 2+4x+4=7，（x+2）2=7，故选：B ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4．A解析：A【分析】根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案．【详解】解：每份盒饭涨价x 元后，利润为(16+x-12)元，销售量为(360-40x)盒，∴可得方程为(1612)(36040)1680x x +--=，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键．5．B解析：B【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22120x m x m +--=的二次项系数a=1，一次项系数b=2m-2，常数项c=-2m ，∴△=（2m-2）2-4（-2m ）=4m 2+1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．D解析：D【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得()()30220223020++=⨯⨯x x ．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据题意，画出方程x 2-3x-10=0，即x （x-3）=10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【详解】解：方程x 2-3x-10=0，即x （x-3）=10的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x-（x-3）=3，其面积为9，大正方形的面积：（x+x-3）2=4x （x-3）+9=4×10+9=49，其边长为7，因此，C 选项所表示的图形符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．8．D解析：D【分析】先求得x 2=x+1，再代入4353x x x +-+即可得出答案．【详解】解：∵x 2-x-1=0，∴x 2=x+1，∴4353x x x +-+=（x+1）2+x(x+1)-5x+3=x 2+2x+1+x²+x-5x+3=2x 2-2x+4=2(x+1)-2x+4=2x+2-2x+4=6，故选：D ．【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．9．B解析：B【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．【详解】设这段线路有x 个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，根据题意，列方程得()1132x x -=．故选择：B ．【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代入原式计算即可．【详解】解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，∴211420200x x --=，即21142020x x -=，由根与系数之间关系可知124x x +=，∴211222x x x -+=21112422x x x x -++=2020+122()x x +=2020+8=2028．所以选项D 正确．故答案为：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将211222x x x -+进行等量变形，并代入求解．11．B解析：B【分析】可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2． ∴23（1+x%）2=60．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．12．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．【详解】设每天的增长率为x ，依题意，得：22000(1)2420x +=．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题13．-421【分析】将常数项移到方程的右边两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【详解】解：∵x2-8x-5=0∴x2-8x=5则x2-8x+16=5+16即（x-4）2=21∴a=解析：-4，21【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x2-8x-5=0，∴x2-8x=5，则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，∴a=-4，b=21，故答案为：-4，21．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．m＞0或m≤-3【分析】把方程有实数根转型为根的判别式大于等于零根据n的任意性构造不等式求解即可【详解】∵关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0对于任意实数n都有实数根∴△≥0且m≠0∴≥0∴≥0解析：m＞0或m≤-3．【分析】把方程有实数根，转型为根的判别式大于等于零，根据n的任意性，构造不等式求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程m2x﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，∴△≥0，且m≠0，∴2()4(3)n m m-++≥0，∴22412n m m++≥0，∵对于任意实数n都有实数根，∴2412m m+≥0，∴30mm≥⎧⎨+≥⎩或30mm≤⎧⎨+≤⎩，∴m≥0或m≤-3，且m≠0，∴m＞0或m≤-3，故答案为：m＞0或m≤ -3．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键．15．【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式这样把原方程转化为x−3＝0或x2＋3x−1＝0然后解一次方程和一元二次方程即可【详解】解：∵x3−10x ＋3＝0∴x3−9x−x ＋3＝0x （x2−9）−解析：1233,x x x === 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程．16．且【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0即可得出关于a 的一元一次不等式组解之即可得出结论【详解】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根∴解得：a ＜3且a≠2解析：3a <且2a ≠【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴22024(2)10a a -≠⎧⎨=--⨯>⎩， 解得：a ＜3且a≠2．故答案为：a ＜3且a≠2【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．17．12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积接着通过菱形面积公式求解即可【详解】解：设的两根为则一元二次方程的两实数根为菱形的两对角线的长菱形的面积===12故答案为：12【点睛】本题主要考解析：12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积，接着通过菱形面积公式求解即可．【详解】解：设2240x mx ++=的两根为12x x 、，则1224x x =，一元二次方程的两实数根12x x 、为菱形的两对角线的长，∴菱形的面积=1212x x =1242⨯=12． 故答案为：12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理，还涉及菱形的面积运算，属于基础题，熟练掌握韦达定理及菱形的面积公式是解决本题的关键．18．【分析】令x2-3x-1=0求出方程的两个根即可把多项式x2-3x-1因式分解【详解】解：令x2-3x-1=0∵a=1b=-3c=-1∴b2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0∴∴故答案解析：(-x x 【分析】令x 2-3x-1=0，求出方程的两个根，即可把多项式x 2-3x-1因式分解．【详解】解：令x 2-3x-1=0，∵a=1，b=-3，c=-1，∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0，∴x =∴231(x --=x x x故答案为：33()(22+--x x 【点睛】 此题主要考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．19．15【分析】先解一元二次方程根据根的情况可知有两种方式用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长【详解】解：即∵336不能构成三角形∴这个等腰三角形的三边成为663周长为15故答案为：15【点睛】【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．【详解】解：()()636x x x -=-()(3)60x x --=，即123,6x x ==，∵3，3，6不能构成三角形，∴这个等腰三角形的三边成为6，6，3，周长为15．故答案为：15．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形．20．10％【分析】设平均每年下降的百分率是x 利用原有降尘量乘以（1-平均每年下降的百分率）2=现在降尘量列出方程解答即可【详解】设平均每年下降的百分率是x 解得x1=01=10x2=19（舍去）答：平均每解析：10％【分析】设平均每年下降的百分率是x ，利用原有降尘量乘以（1-平均每年下降的百分率）2=现在降尘量，列出方程解答即可．【详解】设平均每年下降的百分率是x ，250(1)40.5x -=，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9（舍去），答：平均每年下降的百分率是10%，故答案为：10%．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确理解题意并掌握增长率问题计算公式是解题的关键．三、解答题21．（1）x 1＝2，x 2＝6 （2）x 1＝1+2x 2＝1﹣2【分析】（1）先移项得到2（x ﹣2）2﹣（x ﹣2）（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程即可．解：（1）原式移项得：2（x ﹣2）2﹣（x ﹣2）（x+2）＝0，因式分解得：（x ﹣2）（2x ﹣4﹣x ﹣2）＝0，所以x ﹣2＝0或2x ﹣4﹣x ﹣2＝0；所以x 1＝2，x 2＝6；（2）x 2﹣2x ＝12 ， x 2﹣2x+1＝12+1，即（x ﹣1）2＝32，∴x ﹣1＝±2，所以x 1＝1+2x 2＝1﹣2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法中的因式分解法和配方法．此题比较简单，解题的关键是注意选择适当的解题方法，注意因式分解法与配方法的解题步骤．22．（1）长为12m 、宽为8m ；（2）不能，理由见解析【分析】（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm ，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可．（2）根据题意列出方程x （27-2x+1）=100，根据方程的解的情况可得结果．【详解】解：（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm ，可以得出平行于墙的一边的长为（27-2x+1）m ，由题意得x （27-2x+1）=96，解得：x 1=6，x 2=8，当x=6时，27-2x+1=16＞15（舍去），当x=8时，27-2x+1=12．答：所围矩形猪舍的长为12m 、宽为8m ．（2）由题意得：x （27-2x+1）=100，化简得：-2x 2+28x-100=0，△=282-4×（-2）×（-100）=-16＜0，故方程无解，∴不能围成面积为2100m 的矩形猪舍．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．23．6k【分析】解一元二次方程2230x x --=，把正实根代入一元二次方程()2230x k x --+=，解方程即可．【详解】解：2230x x --=，(1)(3)0x x +-=，10x +=或30x -=，解得，12-1=3x x =，，把2=3x 代入()2230x k x --+=得， ()93230k --+=，解得，6k =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解法，解题关键是准确的解一元二次方程，把正实根代入得到关于k 的一元一次方程．24．（1）2x =；（2）12x x ==． 【分析】（1）先利用平方差公式将方程左边进行整理，再解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以()()22x x +-，整理得到一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）原方程可整理成12390x x --+=，移项、合并同类项可得：510x =，解得2x =； （2）原方程可整理成()()1211222x x x x x -+=--+-， 方程两边同时乘以()()22x x +-，可得：()()212214x x x x -+=+-+， 移项、合并同类项可得：2270x x -=-，∴()()2241427570b ac =-=--⨯⨯-=>，解一元二次方程可得x =经检验，x =∴12x x ==． 【点睛】本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握方程的求解方法是解题的关键．25．（1）m <1；（2）另一个根x 2的值是3．【分析】(1)根据题意可得根的判别式△>0,再代入可得4-4m>0，再解即可；(2) 根据根与系数的关系可得12b x x a+=-， 再代入可得答案． 【详解】解：（1）一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．△＝4﹣4m ＞0，∴m ＜1，（2）根据根与系数的关系可知：x 1+x 2＝2，因为x 1＝-1，所以x 2＝3．【点睛】本题考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．26．（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】（1）根据分的判别式求解即可；（2）根据公式法计算即可；【详解】解：()1根据题意得： ()2()2421240m m ∆=-=-->-，解得3m <；()2当1m =时，原方程为2210x x --=，()22(41)28--∆=⨯-=，∴x =，解得1211x x ==；【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键．。

九年级数学（一元二次方程）一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。

每题3分,共24分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x 2=8 (a ≠3)B.ax 2+bx+c=0232057x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+23.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、125.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、、3 C 、6 D 、97.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-68.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>74且k ≠0 9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x =1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题:(每小题4分,共20分)11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.22____)(_____3-=+-x x x14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____.17.已知3-2是方程x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.19.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）21.22(3)5x x -+= 22.22330x x ++=四、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

九年级数学一元二次方程测试题及参考答案九年级数学一元二次方程测试题及参考答案学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。

因此，小编精心为大家整理了这篇九年级数学一元二次方程测试题及参考答案，供大家参考。

一、选择题(每小题3分，共30分)1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )A、(x-p)2=5B、(x-p)2=9C、(x-p+2)2=9D、(x-p+2)2=52、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于( )A、-1B、0C、1D、23、若、是方程x2+2x-2019=0的两个实数根，则2+3+的值为( )A、2019B、2019C、-2019D、40104、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )A、k-B、k- 且k0C、k-D、k- 且k05、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是( )二、填空题(每小题3分，共30分)11、若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是 .12、一元二次方程x2-3x-2=0的解是 .13、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么a+b的值是 .14、等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值是 .15、2019年某市人均GDP约为2019年的1.2倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为 .16、科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为 cm.(精确到0.1cm) 17、一口井直径为2m，用一根竹竿直深入井底，竹竿高出井口0.5m，如果把竹竿斜深入井口，竹竿刚好与井口平，则井深为 m，竹竿长为 m.18、直角三角形的周长为2+ ，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为 .19、如果方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根，则的值是 .20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为、，则 + 的值为 .三、解答题(共60分)21、解方程(每小题3分，共12分)(1)(x-5)2=16 (2)x2-4x+1=0(3)x3-2x2-3x=0 (4)x2+5x+3=022、(8分)已知：x1、x2是关于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根，且(x1+2)(x2+2)=11，求a的值.23、(8分)已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0(1) 当m取何值时，方程有两个实数根?(2) 为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.24、(8分)已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根(1) 求k的取值范围(2) 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.25、(8分)已知a、b、c分别是△ABC中A、B、C所对的边，且关于x的方程(c-b)x2+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.26、(8分)某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2求：(1)该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.27、(分)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克(1) 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?(2) 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多?小编再次提醒大家，一定要多练习哦!希望这篇九年级数学一元二次方程测试题及参考答案，能够帮助你巩固学过的相关知识。

九年级数学一元二次方程测试题(含答案)一、选择题（每题3分）1.用配方法解方程x-2x-5=时，原方程应变形为（）B．(x-1)²=62.若关于x的一元二次方程kx-2x-1=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-13.关于x的方程(a-6)x-8x+6=有实数根，则整数a的最大值是（）D．94.方程x-9x+18=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）C．155.设a，b是方程x²+x-2009=的两个实数根，则a+2a+b的值为（）B．20076.为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程（）B．60.05(1+x)=63%7.如图5，在△ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x²+2x-3=的根，则ABCD的周长为（）C．2+228.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm²，设金色纸边的宽为xcm，那么CB+CE满足的方程是（）B．x²+65x-350=0二、填空题：（每题3分）9.一元二次方程x²=16的解是±4.10.若关于x的一元二次方程x+(k+3)x+k=的一个根是-2，则另一个根是-1.2022年3月23日，第1页共5页1.（2009年包头）解：根据韦达定理，x1+x2=m，x1x2=2m-1，所以(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=（m²-8m+4）-4(2m-1)=m²-8m+8.答案：m²-8m+8.2.（2009年甘肃白银）解：根据定义，43=4²-3²=7，所以7x=24，x=5.答案：5.3.（2009年包头）解：设两段铁丝长度分别为x和20-x，则两个正方形的边长分别为x/4和（20-x）/4，根据均值不等式，两个正方形面积之和的最小值为2(x/4)(20-x)/4=5(x-5)²，当x=10时取得最小值，即最小值为125.答案：125.4.（2009年兰州）解：根据韦达定理，x1+x2=-6，x1x2=3，所以bc=x1x2=3，x1·x2=3/a=3/1=3.答案：3.5.（2009年甘肃白银）解：根据定义，43=1，所以1x=24，x=25.答案：25.6.（2009年广东省）解：设2x-3=t，则原方程转化为t=0，新方程为2t=3，解得t=3/2，所以x=3/4.答案：3/4.7.解方程：x-3x-1=0，移项得x=1/3.答案：1/3.8.（2009年鄂州）解：根据韦达定理，k+2±√(k²-4k)≠0，所以k²-4k>0，解得k4.又因为当k=0或k=4时，方程的两根相等，所以k∈(0,4)的范围内，方程有两个不相等的实数根。

一、选择题1．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ≥﹣14B ．k ≥﹣14且k ≠0C ．k ＜﹣14D ．k ＞－14且k ≠0 2．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2+b 2+a +b 的值是（ ） A ．0 B ．2020 C ．4040 D ．4042 3．若关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．44．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．211x x +=C ．x 2＋2x ＝y 2－1D ．3（x ＋1）2＝2（x ＋1） 5．一元二次方程20x x +=的根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 6．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有121人感染，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（ ）A ．()1121x x x ++=B ．()11121x x ++=C ．()21121x +=D ．()1121x x += 7．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程22350x x +-=即(2)35x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是2(2)x x ++．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24352⨯+，因此5x =．则在下面四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x 个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染．则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．()221y x =+B ．()22y x =+C ．222y x =+D ．()212y x =+ 9．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm ，宽40cm ．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm ，设丝绸花边的宽为xcm ，根据题意，可列方程为（ ）A ．()()60240650x x -⋅-=B ．()()60402650x x -⋅-=C ．2402650x x x ⋅+⋅=D ．()240602650x x x ⋅+⋅-=10．关于x 的一元二次方程2430x x -+=的实数根有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个 11．受非洲猪瘟及其他因素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）A ．23（1﹣x%）2＝60B ．23（1+x%）2＝60C ．23（1+x 2%）＝60D ．23（1+2x%）＝60 12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 二、填空题13．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是________．14．已知m ，n 是一元二次方程230x x --=的两个实数根，则代数式2219m n +-的值为________．15．三角形一边长为10，另两边长是方程214480x x -+=的两实根，则这是一个_____三角形．16．用换元法解方程时1321x x x x -=--，设1x y x-=，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为______．17．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是______．18．已知一元二次方程x 2-10x +21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为_________．19．已知1x ，2x 是方程2310x x --=的两个根，则2212x x +=____．20．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为______ ．三、解答题21．已知x =2是方程280x mx +-=的一个根，求：（1）m 的值；（2）1211+x x 的值． 22．解方程：（1）2(2)3(2)0x x ++=-；（2）2101x x-=+． 23．在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ＝b ，且关于x 的方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根，求AC 边上的中线长及∠A 的度数．24．宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？25．解下列方程：（1）24830x x --=； （2）2(3)5(3)x x +=+．26．某旅游景区今年9月份游客人数比8月份增加了44%，10月份游客人数比9月份增加了69%，求该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k 2≠0，且△=b 2-4ac ≥0，建立关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．【详解】解：由题意知，k 2≠0，且△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1≥0．解得k ≥-14且k ≠0． 故选：B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．2．D解析：D【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入a 2+b 2+a +b =（a+b ）2+（a+b ）-2ab 中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+x-2020=0的两个实数根，∴a+b=-1，ab=-2021∴a 2+b 2+a +b =（a+b ）2+（a+b ）-2ab=1-1+4042=4042．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是解题的关键．3．B解析：B【分析】设220x x a ++=的两根分别为12,,x x 可得12122,,x x x x a +=-= 由关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，可得()()1211x x --＜0, 再列不等式：()21a --+＜0, 解不等式可得答案．【详解】解：设220x x a ++=的两根分别为12,,x x12122,,x x x x a ∴+=-=关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，()()1211x x ∴--＜0,()12121x x x x ∴-++＜0,()21a ∴--+＜0,a ∴＜3,-4a ∴=-符合题意，所以,,A C D 不符合题意，B 符合题意，故选：.B【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；【详解】A 、20ax bx c ++=当a=0时，不是一元二次方程，故A 错误；B 、2112x x+= ，不是整式方程，故B 错误； C 、2221x x y +=- ，含有两个未知数，故C 错误； D 、()()23121x x +=+ 是一元二次方程，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键． 5．D解析：D【分析】确定a 、b 、c 计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论；【详解】∵20x x += ，∴ △=1-0=1＞0，∴ 原方程有两个不相等的实数根；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的关系是解题的关键．6．C解析：C【分析】患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，根据共有121人感染列方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-传播问题，要注意的是患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加．7．C解析：C【分析】根据题意，画出方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【详解】解：方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x-（x-3）=3，其面积为9，大正方形的面积：（x+x-3）2=4x（x-3）+9=4×10+9=49，其边长为7，因此，C选项所表示的图形符合题意，故选：C．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．8．A解析：A【分析】用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.【详解】∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2人感染时，一轮可传染2x人，∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= ()2+人；21x∴()2=+，21y x故选A.【点睛】本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.9．D解析：D【分析】找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程．【详解】解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积，∴设丝绸花边的宽为 xcm ，根据题意，可列方程为：2×40x+60x-2x×x=650,即2x⋅40+x⋅(60−2x)=650，故选D．【点睛】本题考查方程的列法，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．10．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：一元二次方程2430-+=的根的判别式为：x xb2-4ac=（-4）2-4×3×1=4>0，所以，方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出根的判别式的值是解题关键．11．B解析：B【分析】可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2．∴23（1+x%）2=60．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．12．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．二、填空题13．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2解析：14【分析】运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；【详解】解：28120x x -+=，（x-2）（x-6）=0，x 1=2，x 2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．14．【分析】根据m与n是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根∴m+n＝1mn＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn解析：12【分析】根据m与n是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝1，mn＝-3，∵(m+n)2=m2+n2+2mnm2+n2=(m+n)2-2mn∴m2+n2=12-2×(-3)=7∴m2+n2-19=7-19=-12故答案为：-12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．15．直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形【详解】解：x2-14x+48=0分解因式得：（x-6）（x-8）=0解得：x=6或x=8∵62+8解析：直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形．【详解】解：x2-14x+48=0，分解因式得：（x-6）（x-8）=0，解得：x=6或x=8，∵62+82=102，∴这是一个直角三角形．故答案为：直角【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．16．【分析】将代入得出再化为一般形式即可【详解】根据题意原方程可化为故答案为：【点睛】本题考查利用换元法解分式方程正确的换元是解题的关键 解析：2230y y +-=【分析】 将1x y x-=代入得出32y y =-，再化为一般形式即可． 【详解】 根据题意原方程可化为32y y=-， 232y y =-，2230y y +-=．故答案为：2230y y +-=．【点睛】本题考查利用换元法解分式方程．正确的换元是解题的关键． 17．【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积经过变形得到两根差的值即可求得第三边的范围【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x ＋30＝0的两个根∴x1＋x2＝11x1x2＝30∵解析：111<<m【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．18．17【分析】先求出方程的解然后分两种情况进行分析结合构成三角形的条件即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根∴∴∴或当3为腰长时3+3<7不能构成三角形；当7为腰长时则周解析：17【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程x 2-10x+21=0有两个根，∴210210x x -+=，∴(3)(7)0x x --=，∴3x =或7x =，当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；当7为腰长时，则周长为：7+7+3=17；故答案为：17．【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．19．11【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3x1x2=-1再根据x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2即可求出答案【详解】解：根据题意x1+x2=3x1x2=-1则x12+x22=（x1+解析：11【分析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=3，x 1x 2=-1，再根据x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2即可求出答案．【详解】解：根据题意x 1+x 2=3，x 1x 2=-1，则x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=32-2×（-1）=11，故答案为：11．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2= b a -，x 1x 2= c a．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 根据该商店6月份及8月份的利润可得出关于x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 故答案为：【点睛】本题考查了 解析：()224000134560x +=【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关于 x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x()224000134560x +=故答案为：()224000134560x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 三、解答题21．（1）2；（2）14【分析】（1）由x =2是方程280x mx +-=的一个根，把x =2代入280x mx +-=即可得到关于m 的一元一次方程，求之即可；（2）将m=2代入280x mx +-=得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求的式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，将求出的两根之和与两根之积代入计算即可．【详解】解：（1）把x =2代入280x mx +-=，得 22280m +-=，解得m=2（2）将m=2代入280x mx +-=，得2280x x +-=，∴12122,8x x x x +=-=-， ∴121212112184x x x x x x +-+===-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，分式的加法，以及根与系数的关系．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，22．（1）122=1x x =-，；（2）2x =-是原方程的解．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用方程两边都乘以x(x+1)把分式方程转化为整式方程，解方程，检验即可．【详解】解：（1）2(2)3(2)0x x ++=-，因式分解()(2)230x x ++-=，化为20-1=0x x +=，，∴122=1x x =-，；（2）2101x x-=+， 方程两边都乘以x(x+1)得()210x x +-=，去括号得：2+20x x -=，移项合并得：2x =-，检验当2x =-时，()()122120x x +=-⨯-+=≠，所以2x =-是原方程的解．【点睛】本题考查一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法，掌握一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法是解题关键．23．AC 边上的中线长为2，∠A ＝30°．【分析】根据一元二次方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根求出b 的值，再判断△ABC 为直角三角形，由直角三角形的性质可得结论．【详解】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＝0，即（﹣4）2﹣4b ＝0，∴b ＝4．∴AC ＝4，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∵△ABC 为直角三角形，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴AC 边上的中线长＝2，∵AC ＝4，∴∠A ＝30°．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△=0，方程有两个相等的实数根；还考查了利用勾股定理判定直角三角形，三角形的内角和定理，并考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．24．长比宽多12步．【分析】选择合适的未知数，利用矩形这个桥梁构造一元二次方程求解即可．【详解】解：设矩形的长为x 步，则宽为60x -（）步， 根据题意，得(60)864x x -=．解得 136x =，224x =（舍去）∴当36x =时，6024x -=，362412-=．答：长比宽多12步．【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形的关系，熟练运用一元二次方程解决几何图形的面积是解题的关键．25．（1）121,1x x =+=；（2）123,2x x =-= 【分析】（1）根据配方法，可得答案；（2）根据因式分解法，可得答案．【详解】解：（1）移项，得2483x x -=．方程两边都除以4，得2324x x -=． 方程两边都加1，得232114x x -+=+． 配方，得27(1)4x -=．开平方，得12x -=±．1x ∴=+，121,1x x ∴=+=． （2）移项，得（2(3)5(3)0x x +-+=．(3)(35)0x x ∴++-=，(3)(2)0x x ∴+-=，123,2x x ∴=-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．26．该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是56%【分析】根据增长后的游客人数＝增长前的游客人数×（1＋增长率），设9月、10月游客人数的平均增长率是x ，根据今年9月份游客人数比8月份增加了44%，10月份游客人数比9月份增加了69%，据此即可列方程解出即可．【详解】解：设该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是x ，根据题意，得()()()21144%169%x +=+⨯+，解得10.5656%x ==，2 2.56x =-（不合实际，舍去）．答：该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是56%．【点睛】考查了一元二次方程的应用．若原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x ，经过第一次调整，就调整到a×（1±x ），再经过第二次调整就是a×（1±x ）（1±x ）＝a ()21a ±．增长用“＋”，下降用“−”．。

九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》测试题-人教版（含答案）一．选择题1．一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定2．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2B．2C．0D．﹣2或23．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有（）A．两个相等的实数根B．两个不相等的正数根C．两个不相等的负数根D．一个正数根和一个负数根4．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1 5．关于x的多项式N＝x﹣1，M＝2x2﹣ax﹣2，a为任意实数，则下列结论中正确的有（）个．①若M•N中不含x2项，则a＝﹣2；②不论x取何值，总有M≥N；③若关于x的方程M＝0的两个解分别为x1＝t2，x2＝2t﹣3，则实数a的最小值为﹣8；④不论a取何值，关于x的方程（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解．A．1B．2C．3D．46．下列配方中，变形正确的是（）A．x2+2x＝（x+1）2B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣17．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100C．2500[（1+x）+（1+x）2]＝9100D．9100（1+x）2＝25008．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（）①若A＝x2+6x+n2是完全平方式，则n＝±3；②B﹣A的最小值是2；③若n是A+B＝0的一个根，则4n2+＝；④若（2022﹣A）（A﹣2019）＝2，则（2022﹣A）2+（A﹣2019）2＝4．A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根10．满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（）A．B．C．D．二．填空题11．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为．12．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有人感染德尔塔病毒．13．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是．14．如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为1008平方米，则小路的宽为米．15．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D 的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，线段BF、DG、CG和GF 中，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为．三．解答题16．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代数式a2﹣2019a+的值．17．解方程：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．18．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0∴，解得．请解决以下问题：（1）若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求y x的值；（2）若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？19．【阅读材料】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1）当x取何值时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？（2）当x＝时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值为．20．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表：A型销售数量（台）B型销售数量（台）总利润（元）51025001052750（1）每台A型空气净化器的销售利润是元；每台B型空气净化器的销售利润是元；（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器台；B型空气净化器台．（3）已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？参考答案一．选择题1．【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝25﹣8＝17＞0，∴一元二次方程2x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．2．【解答】解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故选：A．3．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，所以方程有两个不相等的实数根，设方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为e、f，则ef＝﹣5＜0，则e和f异号，即方程有一个正数根和一个负数根，故选：D．4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．5．【解答】解：M•N＝（x﹣1）（2x2﹣ax﹣2）＝2x3﹣（a+2）x2+（a﹣2）x+2，若M•N中不含x2项，则a+2＝0，∴a＝﹣2，故①正确；当x＝0时，N＝﹣1，M＝﹣2，此时M＜N，故②错误；若关于x的方程2x2﹣ax﹣2＝0的两个解分别为x1＝t2，x2＝2t﹣3，则t2+2t﹣3＝，∴a＝2（t+1）2﹣8，∴当t＝﹣1时，a的最小值是﹣8，故③正确；由（M+N）2﹣（M+N）＝6得（M+N﹣3）（M+N+2）＝0，∴M+N﹣3＝0或M+N+2＝0，由M+N﹣3＝0得2x2+（1﹣a）x﹣6＝0，Δ＝（1﹣a）2+48＞0，∴M+N﹣3＝0有两个不相同的实数根，由M+N+2＝0得2x2+（1﹣a）x﹣1＝0，Δ＝（1﹣a）2+8＞0，∴M+N+2＝0有两个不同的实数根，∴（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解，故④正确，∴正确的有①③④，共3个，故选：C．6．【解答】解：x2+2x＝x2+2x+1﹣1＝（x+1）2﹣1，A错误．x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣4﹣3＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）＝（x﹣2）2﹣7．B错误．2x2+4x+3＝2（x2+2x）+3＝2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3＝2（x+1）2﹣2+3＝2（x+1）2+1．C正确．﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）＝﹣（x2﹣2x+1）+1＝﹣（x+1）2+1D错误．故选：C．7．【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，故选：B．8．【解答】解：①∵A＝x2+6x+n2是完全平方式，∴n＝±3，故结论正确；②∵B﹣A＝2x2+4x+2n2+3﹣（x2+6x+n2）＝x2﹣2x+n2+3＝（x﹣1）2+n2+2，而（x﹣1）2+n2≥0，∴B﹣A≥2，∴B﹣A的最小值是2，故结论正确；③∵A+B＝x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3＝3x2+10x+3n2+3，把x＝n代入3x2+10x+3n2+3＝0，得3n2+10n+3n2+3＝0，即6n2+10n+3＝0，解得n＝，当n＝时，2n+＝+＝﹣，∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；当n＝时，2n+＝+＝﹣，∴4n2+＝（2n+）2﹣4＝﹣4＝；故结论错误；④∵（2022﹣A+A﹣2019）2＝（2022﹣2019）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2（2022﹣A）（A﹣2019）＝（2022﹣A）2+（A﹣2019）2+2×2＝9，∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝5；故结论错误；故选B．9．【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C．10．【解答】解：令＝t，则（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6可变形为：（x﹣3）2+（tx﹣3）2＝6，整理得：（t2+1）x2﹣6（t+1）x+12＝0，则Δ＝[﹣6（t+1）]2﹣4×（t2+1）×12＝36（t+1）2﹣48（t2+1）≥0，t2﹣6t+1≤0，由t2﹣6t+1＝[t﹣（3﹣2）][t﹣（3+2）]知t2﹣6t+1≤0的解集为3﹣2≤t≤3+2，故取最小值，此最小值为3﹣2；故选：A．二．填空题11．【解答】解：分两种情况：当x≥﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，当x＜﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），综上所述：x＝3，故答案为：3．12．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：1+x+x（1+x）＝144，整理得：x2+2x﹣143＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．144+11×144＝1728（人）．答：经过三轮传染后，一共有1728人感染德尔塔病毒．故答案为：1728．13．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n﹣＝＝＝3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．14．【解答】解：小路的宽为x米．由题意可得：（40﹣2x）（30﹣x）＝1008，解得：x1＝2，x2＝48（不合题意，舍去），答：小路的宽为2米，故答案为：2．15．【解答】解：设DG＝m，则GC＝1﹣m．由题意可知：△ADG≌△AHG，F是BC的中点，∴DG＝GH＝m，FC＝0.5，根据勾股定理得AF＝．∵S正方形＝S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，∴m＝．∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝，∴取正值为x＝．∴这条线段是线段DG．故答案为：DG．三．解答题16．【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+﹣1＝﹣1＝﹣1＝2020﹣1＝2019．17．【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x﹣＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣．18．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，∴x2+4xy+4y2+y2﹣4y+4＝0，∴（x+2y）2+（y﹣2）2＝0，∴x+2y＝0，y﹣2＝0，解得x＝﹣4，y＝2，∴y x＝2﹣4＝；（2）已知等式整理得：（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，解得：a＝6，b＝4，由△ABC中最长的边是c，∴6≤c＜10，∵c为偶数，∴c可能是6或8．19．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；故答案为：﹣2；4．20．【解答】解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是y元，根据题意得：，解得：故答案为：200，150；（2）设购进a台A型空气净化器，总利润为w元，则：w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，∵80﹣a≥2a，∴a≤26，∴a的最大值为：26，∵w随a的增大而增大，∴当a＝26时，w有最大值，此时．80﹣a＝54，故答案为：26，54；（3）设要购买A型空气净化器a台，由题意得：150a+100（7﹣a）≥300×3，解得：a≥4，所以a的最小值为：4，答：至少要购买A型空气净化器4台．。

试卷第1页，总3页 第二十一章《一元二次方程》 测试题一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分）1．下列方程为一元二次方程的是 ( )A ．ax 2+bx+c=0B ．x 2－2x －3C ．2x 2＝0D ．xy ＋1＝02．把方程x （3-2x ）+5=1化成一般式后二次项系数与常数项的积是（ ）A ．3B ．-8C ．-10D ．153．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个解是x ＝0，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．04．若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0(a 0≠)必有一个根是（ ）A ．0 B ．1C ．-1 D ．b a -5．用配方法解一元二次方程2x 2﹣4x+1=0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣12）2=0 B ．（x ﹣12）2=12 C ．（x ﹣1）2=12 D ．（x ﹣1）2=06．已知直角三角形的两边长是方程x 2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（ ） A ．7 B ．5C 7D ．577．若关于 x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣3m ＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（）A ．m 12>B ．m 112<C ．m ＞﹣112D ．m 112< 8．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－139．已知关于x 的一元二次方程(2a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0的两个根相等，则a 的值等于( )A ．－1或－5B ．－1或5C ．1或－5D ．1或510．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米11．是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．3x 2+5x+1=0、 B ．3x 2﹣5x+1=0、 C ．3x 2﹣5x ﹣1=0、 D ．3x 2+5x ﹣1=012．已知m ，n 是方程x 2﹣2018x +2019＝0的两个根，则（m 2﹣2019m +2018）（n 2﹣2019n +2018）的值是（ ）A ．1B ．2C ．4037D ．4038二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．一元二次方程4x 2= 3x 的解是_____________．14．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．15．关于a 的方程2420a a ++=的两个解为1a 、2a ，则2212a a +=_____. 16．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.三、解答题（共6小题，第17题8分，第18题12分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题12分，共52分）17、解下列方程 (1) x 2-2x-5=0 (用配方法) (2)2x 2+3x=4(公式法)18、已知关于x 的方程||(2)210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程？（2）当m 为何值时是一元二次方程？19、 已知两个方程20x px q ++=和20x qx p ++=仅有一个相同的根，求p q +的值．20、小刚在做作业时，不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数试卷第3页，总3页 21、已知关于x 的一元二次方程22(51)40x m x m m -+++=. 求证：无论m 取任何实数时，原方程总有两个实数根；22、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？参考答案1．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C2．.考点：一元二次方程的一般形式试题解析：解析：x （3-2x ）+5=1 -2x 2+3x+4=0 -2×4=-8 故选B ．答案：B3．考点：一元二次方程的解试题解析：解析：将x ＝0代入原方程得a 2－1＝0且a ＋1≠0所以a=1故选A ．答案：A4．考点：一元二次方程试题解析：解析：A 选二次项系数为字母，要强调不为0；B 选项不是等式；D 选项有两个未知数，故选C ．答案：C5．考点：配方法答案第4页，总3页试题解析：解析x 2﹣2x+12=0 x 2﹣2x+1=12（x ﹣1）2=12故选C ．答案：C6．考点：解一元二次方程和勾股定理试题解析：解析：解方程得x 1 =3, x 2=4.当3和4为直角边时，第三边为5，当4为斜边故选D ．答案：D7．考点：一元二次方程根的判别式和一元一次不等式的解法试题解析：解析：∆= b ²-4ac >0即1+12m >0 m >﹣112故选C ． 答案：C8．考点：一元二次方程根与系数的关系 试题解析：解析：11x ＋21x =(x ₁+x ₂)/(x ₁x ₂)=﹣3 故选B ． 答案：B9．考点：一元二次方程根的判别式和解一元二次方程试题解析：解析：(a ＋1)²- 4(2a －1)=0解得a ₁=1a ₂=5故选D ．答案：D10．考点：一元二次方程的应用试题解析：解析：设路宽为x,依题可得：（20-x ）(33-x)=510解得x 1 =3, x 2=50（舍去）故选C ．答案：C11．考点：一元二次方程求根公式试题解析：解析：由一元二次方程求根公式与方程给出的根可找出a=3 b=5 c = - 1 故选D ．答案：D12．考点：一元二次方程的解和根与系数的关系试题解析：解析：将m 和n 分别代入方程变形得m 2﹣2018m =-2019n 2﹣2018n =-2019将原式变形后整体代入（-2019-m+2018(-2019-n+2018)=(-1-m)(-1-n)=1+m+n+mn∵m+n=2018 mn=2019∴原式=1+2018+2019=4038故选D ．答案：D13．考点：解一元二次方程(因式分解法)试题解析：解析：4x 2 -3x= 0 x(4x-3)=0 x 1 =0, x 2=34答案：x 1 =0, x 2=3414．考点：一元二次方程的应用试题解析：答案：x （x ﹣1）＝11015．考点：一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式试题解析：解析：2212a a +=（a ₁+a ₂）²-2a ₁a ₂答案：1216．考点：一元二次方程解法和根与系数的关系试题解析：解析：∵ x₁x₂=12 x₁²+x₂²=25∴x ₁+x ₂=7或-7答案：x 2-7x+12=0或x 2+7x+12=017．考点：一元二次方程解法答案：(1)11x =21x =；(2)134x -=，234x -= 18．考点：一元一次方程和一元二次方程的概念试题解析：解析：（1）注意分三种情况讨论（2）注意指数和系数答案：（1）-2或±1或0 （2）2 19．考点：一元二次方程根和方程组试题解析：解析：x ²+px+q= x ²+qx+p (p-q)x=p-q x=1代入原方程1+p+q=0 ∴p+q=-1答案：-1；.20．考点：一元二次方程解试题解析：解析：答案：1421．考点：一元二次方程根的判别式和完全平方公式试题解析：解析：答案：∵∆= b ²-4ac =（5m+1）²-4（4m ²+m ）=9m ²+6m+1=(3m+1)²≥0∴不论m 取任何实数，原方程总有两个实数根22．考点：一元二次方程的应用和一元一次不等式试题解析：解析：（1）设增长率为x ，依题可得10（1+x ）²=12.1解得x 1 =0.1, x 2=-2.1(舍去)故增长率为10％；（2）6月总数12.1×（1+10％）=13.31>21×0.6所以不能完成任务。

一、选择题1．一元二次方程x 2﹣2x +5＝0的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 2．若x m =是方程210x x +-=的根，则22020m m ++的值为（ ）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018 3．一个菱形两条对角线的长是方程28120x x -+=的两个根，则该菱形的面积为（ ） A ．12 B ．6或12C ．8D ．64．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定5．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＞AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A→B→C 运动．设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．一元二次方程22410x x ++=的两根为1x 、2x ，则12x x +的值是（ ） A ．4B ．4-C ．2-D ．27．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm ，宽40cm ．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm ，设丝绸花边的宽为xcm ，根据题意，可列方程为（ ）A ．()()60240650x x -⋅-=B ．()()60402650x x -⋅-=C ．2402650x x x ⋅+⋅=D ．()240602650x x x ⋅+⋅-=8．关于x 的方程()()223x x a -+=（a 为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根一个负根D ．无实数根9．关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=无实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m <B ．m 1≥C ．1mD ．1m10．已知a 是方程2210x x --=的一个根，则代数式224a a -+的值应在（ ） A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间11．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ．32B ．52C ．5D ．212．一元二次方程2x ＝﹣3x 的根是（ ） A ．x ＝﹣3B ．x ＝0C ．1x ＝0，2x ＝﹣3D ．1x ＝0，2x ＝3二、填空题13．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a 、b 为常数）的形式，则a 、b 的值分别是_______．14．一元二次方程260x x --=的两根分别是1x ，2x ，则1212x x x x +-的值为__________．15．如果菱形的两对角线的长分别是关于x 的一元二次方程2240x mx ++=的两实数根，那么该菱形的面积是____．16．已知方程2560x kx ++=的一个根是2，则它的另一个根是________． 17．一元二次方程2310x x -++=的根的判别式的值是______．18．α是一元二次方程2240x x --=的一个根，2αβ+=，则22ββ-的值是________．19．将一元二次方程2310x x -+=变形为()2x h k +=的形式为________． 20．一元二次方程2320x x -+=的两根为1x ，2x ，则12x x +=________．三、解答题21．关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0有实数根． （1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，求出该方程两根． 22．按要求解下列方程： 用配方法解：（1）x 2﹣4x +1＝0．用公式法解：（2）2104x -=． 23．龙岩市某村2017年的人均收入为7500元，落实精准扶贫工作后，2019年人均收入为14700元．求人均收入的年平均增长率． 24．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0． （1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．25．关于x 的方程()22210x x m ---=有实数根，且m 为非正整数．求m 的值及此时方程的根．26．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根． （1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据根的判别式判断 ． 【详解】解：∵△＝4﹣20＝﹣16＜0， ∴方程没有实数根． 故选：D ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的情况，熟练掌握根判别式的计算方法及应用是解题关键．2．B解析：B 【分析】利用一元二次方程根的定义，代入变形计算即可． 【详解】∵x m =是方程210x x +-=的根， ∴210m m +-=， ∴21m m +=， ∴22020m m ++=2021， 故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，熟练把方程的根转化为所含字母的一元二次方程是解题的关键．3．D【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积=12对角线的积求解即可． 【详解】解：28120x x -+=， （x-6）（x-2）=0， ∴x 1=6，x 2=2，∵菱形的两条对角线长分别为6，2， ∴菱形面积为162=62⨯⨯， 故选：D ． 【点睛】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积=12对角线的积． 4．A解析：A 【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=， ∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ， ∵40k -<<， ∴1640k -<<， ∴16+4k ＞0， ∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．5．D解析：D 【分析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，结合图象可得△AOP 面积最大为6，得到AB 与BC 的积为24；当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，得到AB 与BC 的和为10，构造关于AB 的一元二方程可求解．解：当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为6． ∴12AB·12BC=6，即AB•BC=24． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10， ∴AB+BC=10．则BC=10-AB ，代入AB•BC=24，得AB 2-10AB+24=0，解得AB=4或6， 因为AB ＞BC ，所以AB=6． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．6．C解析：C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：12x x +=-ba =4-2=-2．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记12x x +=-ba ，12c x x a⋅=．7．D解析：D 【分析】找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程． 【详解】解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积， ∴设丝绸花边的宽为 xcm ，根据题意，可列方程为： 2×40x+60x-2x×x=650,即2x ⋅40+x ⋅(60−2x)=650， 故选D ． 【点睛】本题考查方程的列法，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．8．C【分析】先将方程整理为一般形式，计算0∆＞，得到方程有两个不相等的实数根，再根据两根之积为负数即可求解． 【详解】解：整理关于x 的方程()()223x x a -+=得2260x x a +--=，∴()22214162540aa ∆=-⨯⨯--=+＞，∴方程有两个不相等的实数根，∴212601a x x --=＜，∴方程了两个根一正一负． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知两个知识点是解题关键，注意在讨论一元二次方程根与系数的关系时首先要注意确保方程有实根．9．D解析：D 【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m<0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=无实数根， ∴△=（-2）2-4m<0， 解得m>1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．A解析：A 【分析】先依据一元二次方程的定义得到a 式的取值范围． 【详解】解：∵a 是方程2210x x --=的一个根， ∴2210a a --=，即221a a -=，∴原式=22(2)2a a -=+ ∵459，∴23<<，∴425<+<，即224a a -+的值在4和5之间， 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．11．B解析：B 【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长． 【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根， ∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7； 由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ， 则()222a b ab c +-=， 即49−2（c ＋7）＝2c ， 解得：c ＝5或−7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键．12．C解析：C 【分析】移项，利用因式分解求解即可. 【详解】 解：∵2x ＝﹣3x ， 移项，得2x +3x ＝0，分解因式，得 x （x+3）＝0，∴x ＝0，或x+3＝0， 解得1x ＝0，2x ＝﹣3，故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关键.二、填空题13．-421【分析】将常数项移到方程的右边两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【详解】解：∵x2-8x-5=0∴x2-8x=5则x2-8x+16=5+16即（x-4）2=21∴a=解析：-4，21 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】 解：∵x 2-8x-5=0， ∴x 2-8x=5，则x 2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21， ∴a=-4，b=21， 故答案为：-4，21． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解【详解】解：一元二次方程的两根分别是则故答案为：7【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系解题关键是知道：如果一元二次方程的两根分别是则 解析：7【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解：一元二次方程260x x --=的两根分别是1x ，2x ， 则126x x =-，121x x =+，12121(6)7x x x x +-=--=，故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是知道：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是1x ，2x ，则12bx x a +=-，12c x x a=． 15．12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积接着通过菱形面积公式求解即可【详解】解：设的两根为则一元二次方程的两实数根为菱形的两对角线的长菱形的面积===12故答案为：12【点睛】本题主要考解析：12 【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积，接着通过菱形面积公式求解即可． 【详解】解：设2240x mx ++=的两根为12x x 、， 则1224x x =，一元二次方程的两实数根12x x 、为菱形的两对角线的长，∴菱形的面积=1212x x =1242⨯=12．故答案为：12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理，还涉及菱形的面积运算，属于基础题，熟练掌握韦达定理及菱形的面积公式是解决本题的关键．16．【分析】设方程的另一个根为根据根与系数的关系得到然后解一次方程即可【详解】解：设另一个根为∴∴∴另一个根为故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的解析：35【分析】设方程的另一个根为1x ，根据根与系数的关系得到1625x =，然后解一次方程即可． 【详解】解：设另一个根为1x ， ∴1625x =， ∴135x =， ∴另一个根为35． 故答案为：35．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12x x ，是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时1212b a cx x x x a-+＝，＝．17．13【分析】根据△=b2-4ac 计算可得答案【详解】解：∵a=-1b=3c=1∴△=32-4×(-1)×1=13故答案为：13【点睛】本题主要考查根的判别式熟记判别式（△=b2-4ac ）是解题关键解析：13 【分析】根据△=b 2-4ac 计算可得答案． 【详解】解：∵a=-1，b=3，c=1， ∴△=32-4×(-1)×1=13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b 2-4ac ）是解题关键．18．4【分析】利用根与系数的关系确定为原一元二次方程的另一个根即可求出的大小【详解】设原一元二次方程的另一个根为根据根与系数的关系可知根据题意∴为原一元二次方程的另一个根∴即故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【分析】利用根与系数的关系确定β为原一元二次方程的另一个根，即可求出22ββ-的大小．【详解】设原一元二次方程的另一个根为2x ， 根据根与系数的关系可知22==21x α-+-， 根据题意=2αβ+， ∴β为原一元二次方程的另一个根，∴ 224=0ββ--，即22=4ββ-． 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数关系的公式并确定β为原一元二次方程的另一个根是解答本题的关键．19．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】解：移项得配方得即故答案为：【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程利用此方法解方程时首先将二次项系数解析：23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上232⎛⎫ ⎪⎝⎭，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】解：2310x x -+=移项得 231x x -=-， 配方得222333122x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故答案为：23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 20．3【分析】根据一元二次方程的根与系数关系两根之和等于代入求值即可【详解】解：∵一元二次方程的两根为∴故答案为：3【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系知道一元二次方程的两根之和等于两根之积等于是 解析：3【分析】 根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于b a-，代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程2320x x -+=的两根为1x ，2x ， ∴12331b x x a -+=-=-=， 故答案为：3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数关系，知道一元二次方程的两根之和等于b a -，两根之积等于c a是解题关键． 三、解答题21．（1）7；（2）1244x x ==【分析】（1）由关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0有实数根，则a ﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a ﹣6）×9＝280﹣36a ≥0，解不等式得到a 的取值范围，最后确定a 的最大整数值；（2）将a 的最大整数值代入（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0，即可求出该方程两根．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x+9＝0有实数根，∴a ﹣6≠0，且△≥0，即△＝（﹣8）2﹣4（a ﹣6）×9＝280﹣36a≥0， 解得：779a ≤； ∴a 的取值范围为779a ≤且a≠6， 所以a 的最大整数值为7； （2）将a ＝7代入（a ﹣6）x 2﹣8x +9＝0，得x 2﹣8x +9＝0，∵△＝64﹣36＝28，∴x．∴1244x x ==【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法．22．(1) x 1＝x 2＝2；(2) x 1＝2，x 2＝2． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，即可求出答案；（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）2410x x -+=，∵x 2﹣4x ＝﹣1，∴x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，则x ﹣2＝∴x1＝x 2＝2（2）2104x --=，∵a ＝1，b，c ＝﹣14， ∴△2﹣4×1×（﹣14）＝3＞0，则x即x 1，x 2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和公式法解一元二次方程． 23．40%【分析】设人均收入的年平均增长率为x ，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】解：设人均收入的年平均增长率为x根据题意得：()275001+14700x =解得：0.4x =或 2.4x =-（舍去）∴人均收入的年平均增长率为40% ．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．24．（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0， 解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．0m =，121x x ==．【分析】根据一元二次方程有实数根可以判断△≥0，又根据m 为非正整数，可以判断0m =，进而求解即可；【详解】解：∵方程有实数根，∴()()224210m =-+-≥△． 解得：0m ≥．又∵ m 为非正整数，∴ 0m =．当0m =时，方程为2210x x -+=．此时方程的解为121x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程有实数根的情况，正确掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；26．（1）1k ≤-；（2）存在，1k =-．【分析】（1）由根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，得到122x x k +=，2121x x k k =++，然后解关于k 的一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）∵此方程有两个实数根，∴0∆≥即222411k k k ∆=--⨯⨯++（）（）440k =--≥，∴1k ≤-；（2）存在．根据题意，∵一元二次方程22210x kx k k -+++=，∴122x x k +=，2121x x k k =++， ∴122121211221x x k x x x x k k ++===-++， ∴121k k ==-符合题意，即1k =-；【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k 值．。