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习题课曲线运动合运动与分运动的关系合运动的性质[ 要点归纳 ]等效性1.合运动与分运动的关系等时性独立性在解决此类问题时，要深刻理解“等效性” ；利用“等时性”把两个分运动与合运动联系起来；坚信两个分运动的“独立性” ，放心大胆地在两个方向上分别研究。
2.合运动性质的判断分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度 v0和合加速度 a，然后进行判断。
(1)判断是否做匀变速运动：若 a 恒定，物体做匀变速运动；若 a 变化，物体做变加速运动。
(2)判断轨迹曲直：若 a 与 v0共线，则做直线运动；若 a 与 v0不共线，则做曲线运动。
[ 精典示例 ][例 1]质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如图 1(a)、 (b)所示，求：图1(1)物体所受的合力；(2)物体的初速度；(3)t＝8 s 时物体的速度；(4)t＝4 s 内物体的位移。
解析 (1)物体在 x 方向： a x＝；y 方向： a y＝v y＝ 0.5 m/s2 t根据牛顿第二定律： F 合＝ma y＝ 1 N，方向沿 y 轴正方向。
(2)由题图可知 v x0＝3 m/s， v y0＝0，则物体的初速度v0＝3 m/s，方向沿 x 轴正方向。
(3)由题图知， t＝8 s 时，v x＝ 3 m/s，v y＝4 m/s，物体的合速度为 v＝22＝5 v x＋ v y4m/s， tan θ＝3，θ＝53°，即速度方向与 x 轴正方向的夹角为53°。
12(4)t＝4 s 内， x＝ v x t＝ 12 m，y＝2a y t ＝4 m。
物体的位移 l ＝x2＋ y2≈12.6 my 1tan α＝x＝3。
答案(1)1 N，沿 y 轴正方向(2)3 m/s，沿 x 轴正方向(3)5 m/s，方向与 x 轴正方向的夹角为53°1(4)12.6 m，方向与 x 轴正方向的夹角的正切值为3互成角度的两个直线运动的合运动的性质(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
[第5节圆周运动[精讲精析]知识精讲]知识点1. 描述匀速圆周运动的物理量(1)轨道半径(R):对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径.(2)线速度(v):是描述质点沿圆周运动快慢的物理量。
大小等于物体在一段时间内运动的弧长(s)与时间(t)的比值,方向为圆周的切线方向.公式: v=s/t=2πr/T=2πrf (3)角速度(ω,又称为圆频率):是描述质点绕圆心转动快慢的物理量。
大小等于一段时间内转过的角度(θ)与时间t的比值.公式: ω=θ/t=2π/T=2πf(4)周期(T):质点做圆周运动一周所需要的时间.(5)频率(f,或转速n):质点在单位时间内完成的圆周运动的次数.[例1]静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( )A.它们的运动周期都是相同的B.它们的线速度都是相同的C.它们的线速度大小都是相同的D.它们的角速度是不同的[思路分析]地球绕自转轴转动时,所有地球上各点的周期及角速度都是相同的。
地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的,只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也个不相同.[答案] A[总结]线速度是描述物体运动快慢的物理量,若比较两物体做匀速圆周运动的快慢,则只看其线速度的大小即可.角速度、周期和转速都是描述物体转动快慢的物理量。
物体做匀速圆周运动时,角速度越大、周期越小、转速越大，则物体转动的越快，反之则越慢,由于线速度和角速度的关系为v=ωr,所以在半径不确定的情况下，不能由角速度大小判断线速度的大小，也不能由线速度大小判断角速度大小.[误区警示]有的同学往往误认为物体转动半径为地球半径，进而导致失误.在解决圆周运动问题时,转动中心的确定至关重要.地球本身匀速转动，地表各点角速度相等(但两极ω=0),角速度又称整体量；线速度随着半径不同而不同，线速度又称局部量. [变式训练1] 由于地球自转，乌鲁木齐和广州两地所在处物体具有的角速度和线速度相比较( )A.乌鲁木齐处物体的角速度大，广州处物体的线速度大B.乌鲁木齐处物体的线速度大，广州处物体的角速度大C.两处地方物体的角速度、线速度都一样大D.两处地方物体的角速度一样大，但广州的线速度比乌鲁木齐处物体线速度要大[答案] D知识点2。
第5节向心加速度学习目标核心提炼1.理解匀速圆周运动中的速度变化量和向心加速度的概念。
1个概念——向心加速度2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
4个表达式——a n＝2vr24π2r an＝a n＝ω2rTa n＝ωv3.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
一、匀速圆周运动中加速度的方向阅读教材第20页的内容，知道向心加速度的概念，知道向心加速度方向的变化特点。
1.任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心。
这个加速度叫做向心加速度。
2.由于匀速圆周运动中向心加速度的方向时刻发生变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀加速运动，而是变加速运动。
思维拓展如图1所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，小球系在细线的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：图1(1)图甲中地球受什么力的作用？这个力沿什么方向？加速度方向呢？地球的运动状态发生变化吗？向心加速度的作用是什么？(2)图乙中的小球受几个力的作用？合力沿什么方向？加速度方向呢？小球的运动状态变化吗？向心加速度的作用是什么？答案(1)地球受太阳的引力作用。
这个力由地球指向太阳，加速度沿半径指向圆心，地球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。
(2)小球受重力、支持力和绳子的拉力三个力作用。
合力和产生的加速度沿半径指向圆心，小球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。
二、向心加速度的大小阅读教材第21 页的内容，了解向心加速度与线速度、角速度及半径的几个关系表达式。
向心加速度公式(1)基本公式a n＝2v2r。
r ＝ω(2)拓展公式a n＝24π2r＝ωv。
T(3)向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。
思维拓展2v(1)有人说：根据a n＝r 可知，向心加速度与半径成反比，根据 an＝ω2r 可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的。
你认为呢？(2)试分析做变速圆周运动的物体，其加速度的方向是否指向圆心。
第5节向心加速度一、匀速圆周运动中加速度的方向阅读教材第20页的内容，知道向心加速度的概念，知道向心加速度方向的变化特点。
1.任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心。
这个加速度叫做向心加速度。
2.由于匀速圆周运动中向心加速度的方向时刻发生变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀加速运动，而是变加速运动。
思维拓展如图1所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，小球系在细线的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：图1(1)图甲中地球受什么力的作用？这个力沿什么方向？加速度方向呢？地球的运动状态发生变化吗？向心加速度的作用是什么？(2)图乙中的小球受几个力的作用？合力沿什么方向？加速度方向呢？小球的运动状态变化吗？向心加速度的作用是什么？答案(1)地球受太阳的引力作用。
这个力由地球指向太阳，加速度沿半径指向圆心，地球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。
(2)小球受重力、支持力和绳子的拉力三个力作用。
合力和产生的加速度沿半径指向圆心，小球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。
二、向心加速度的大小阅读教材第21页的内容，了解向心加速度与线速度、角速度及半径的几个关系表达式。
向心加速度公式(1)基本公式a n＝v2r＝ω2r。
(2)拓展公式a n＝4π2T2r＝ωv。
(3)向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。
思维拓展(1)有人说：根据a n＝v2r可知，向心加速度与半径成反比，根据a n＝ω2r可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的。
你认为呢？(2)试分析做变速圆周运动的物体，其加速度的方向是否指向圆心。
答案(1)不矛盾。
说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾。
(2)做变速圆周运动的物体，加速度的方向并不指向圆心。
预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中向心加速度的理解[要点归纳]1.物理意义：描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2.方向：不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。
3.无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。
[精典示例][例1] (多选)关于向心加速度，以下说法正确的是()A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心解析向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项A、B正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项D 正确；物体做变速圆周运动时，物体的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，选项C错误。
答案ABD[针对训练1]下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是()A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B.向心加速度表示角速度变化的快慢C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢D.匀速圆周运动的向心加速度不变解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是时刻变化的，所以D项错误。
答案 C向心加速度公式的理解和应用[要点归纳]1.向心加速度表达式a n＝v2r，a n＝ω2r2.由于v＝ωr，所以向心加速度也可以是a n＝ωv。
3.由于ω＝2πT＝2πf，所以向心加速度也可以是a n＝4π2T2r＝4π2f2r。
[精典示例][例2](多选)一个小球以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r ＝1 m，则下列说法正确的是()A.小球运动的角速度为2 rad/sB.小球做圆周运动的周期为πsC.小球在t＝π4s内通过的位移大小为π20mD.小球在πs内通过的路程为零解析由a＝ω2r得角速度ω＝ar＝2 rad/s，A对；周期T＝2πω＝πs，B对；小球在t＝π4s内通过14圆周，位移大小为2r＝ 2 m，C错；小球在πs内通过的路程为一个圆周的长度2πr＝2πm，D错。
答案AB向心加速度公式的应用技巧(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
(3)向心加速度公式a n＝v2r和a n＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
[针对训练2](2017·徐州高一检测)如图2所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点。
下列说法中正确的是()图2A.A、B两点具有相同的角速度B.A、B两点具有相同的线速度C.A、B两点具有相同的向心加速度D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心解析A、B都随球体一起绕轴O1O2旋转，转一周所用时间相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，A正确；A做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，设球半径为R，故A的轨道半径r A＝R sin 60°，B的轨道半径r B＝R sin 30°，所以两者的线速度v A＝r Aω＝32Rω，v B＝r Bω＝12Rω，显然，v A＞v B，B错误；两者的向心加速度a A＝r Aω2＝32Rω2，aB＝r Bω2＝12Rω2，显然，两者的向心加速度也不相等，C错误；又两者的向心加速度指向各自的圆心，并不指向球心，所以D错误。
答案 A1.(对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法正确的是( )A.向心加速度越大，物体速率变化越快B.向心加速度越大，物体转动得越快C.向心加速度方向始终与速度方向垂直D.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的答案 C2.(对向心加速度公式的理解)(多选)一小球被细绳拴着在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，向心加速度为a n ，那么( )A.小球运动的角速度ω＝a nRB.小球在时间t 内通过的路程s ＝t a n RC.小球做匀速圆周运动的周期T ＝Ra nD.小球在时间t 内可能发生的最大位移为2R解析 由a n ＝Rω2，可得ω＝a nR ，A 正确；由a n ＝v 2R 可得v ＝a n R ，所以t 时间内通过的路程s ＝v t ＝t a n R ，B 正确；由a n ＝Rω2＝4π2T 2R ，可知T ＝2πRa n ，故C 错误；位移用由初位置指向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运动的小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R ，D 正确。
答案 ABD3.(向心加速度公式的应用)(2017·广州高一检测)(多选)如图3所示的皮带传动装置，主动轮的半径与从动轮的半径之比R 1∶R 2＝2∶1，A 、B 分别是两轮边缘上的点，假定皮带不打滑，则下列说法正确的是( )图3A.A 、B 两点的线速度之比为v A ∶v B ＝1∶2B.A 、B 两点的线速度之比为v A ∶v B ＝1∶1C.A 、B 两点的加速度之比为a A ∶a B ＝1∶2D.A 、B 两点的加速度之比为a A ∶a B ＝2∶1解析 皮带不打滑，两轮边缘线速度的大小相等，A 错误，B 正确；由a ＝v 2r 知两轮上A 、B 点的向心加速度跟两轮的半径成反比，故C 正确，D 错误。
答案 BC4.(向心加速度公式的应用)如图4所示，定滑轮的半径r ＝2 cm 。
绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a ＝2 m/s 2向下做匀加速运动。
在重物由静止下落1 m 的瞬间，滑轮边缘上P 点向心加速度多大？图4解析 由v 2＝2ah 得重物下落1 m 的速度v ＝2×2×1m/s ＝2 m/s ，P 点线速度v P ＝v ＝2 m/s ，由a ＝v 2r 得a ＝v 2r ＝220.02 m/s 2＝200 m/s 2。
答案 200 m/s 2基础过关1.关于向心加速度，下列说法正确的是( )A.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C.向心加速度的大小恒定，方向时刻改变D.向心加速度是平均加速度，大小可用a ＝v －v 0t 来计算解析 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度方向变化快慢的物理量，选项A 错误，B 正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，选项C 错误；公式a ＝v －v 0t 适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D 错误。
答案 B2.关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A.线速度大，加速度一定大B.角速度大，加速度一定大C.周期大，加速度一定大D.加速度大，速度一定变化快解析 由a n ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2r T 2可知，当r 一定时，a n 与线速度v 的平方成正比，与角速度ω的平方成正比，与周期T 的平方成反比，A 、B 、C 错误；加速度是描述速度变化快慢的物理量，加速度越大，速度变化越快，D 正确。
答案 D3.(多选)(2017·石家庄高一检测)“摩天转轮”可以在竖直平面内转动，其直径达98 m 。
游人乘坐时，转轮始终不停地做匀速转动，每转动一圈用时25 min ，则( )A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零B.每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C.乘客在乘坐过程中，向心加速度并不是零，只是很微小D.乘客在乘坐过程中的速度始终不变解析 “摩天转轮”匀速转动，其上的人随之做匀速圆周运动，而匀速圆周运动属于变速运动，必定有加速度(向心加速度)，根据牛顿第二定律，人所受合力一定不为零；同时，人在竖直平面内做匀速圆周运动，向心加速度的方向随时改变，但大小一定，a n ＝ω2r ＝4π2T 2r ＝4π2（25×60）2×982 m/s 2＝8.6×10－4m/s 2；另外，乘客随转轮做匀速圆周运动，其速度的大小不发生变化，但速度的方向时刻变化。
所以选项A、C正确。
答案AC4.自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分(如图1)，行驶时()图1A.大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大B.后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大C.大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比D.后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比答案 C5.(多选)如图2所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是()图2A.向心加速度的大小a P＝a Q＝a RB.任意时刻P 、Q 、R 三点向心加速度的方向相同C.线速度v P ＞v Q ＞v RD.任意时刻P 、Q 、R 三点的线速度方向均不同解析 R 、Q 、P 三点的轨道圆心都在轴AB 上，且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴AB ，由a n ＝rω2可知：a P ＞a Q ＞a R ，又由v ＝ωr 可知v P ＞v Q ＞v R ，选项A 错误，B 、C 正确；三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，选项D 错误。
