2020高考数学大一轮复习板块命题点专练十文

板块命题点专练（十）解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2．答案：F ＋V －E ＝22．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A3．(2015·陕西高考)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为_________________________________________． 解析：等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n． 答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n1．(2014·江西高考)已知数列{a n } 的前 n 项和 S n ＝2，n ∈N *．(1)求数列{a n } 的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得 a 1，a n ，a m 成等比数列． 解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时也适合． 所以数列{a n }的通项公式为：a n ＝3n －2． (2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列， 只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)， 即m ＝3n 2－4n ＋2，而此时m ∈N *，且m >n ．所以对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．2．(2015·北京高考节选)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数． 解：(1)6,12,24．(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n >18可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k >1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数． 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．n n ∈N ，n ≥2．(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和 g n (x )的大小，并加以证明．解：(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n－2， 则F n (1)＝n －1＞0，F n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12－2＝－12n ＜0，所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内至少存在一个零点． 又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1＞0，故F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内单调递增，所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有且仅有一个零点x n ． 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0， 即1－x n ＋1n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1n ． (2)由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n，g n (x )＝n ＋x n ＋2，x ＞0．当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )＜g n (x )． ①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2＜0，所以f 2(x )＜g 2(x )成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )＜g k (x )． 那么，当n ＝k ＋1时，f k＋1(x )＝f k (x )＋xk ＋1＜g k (x )＋xk ＋1＝k ＋＋xk2＋xk ＋1＝2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12．又g k ＋1(x )－2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12＝kx k ＋1－k ＋x k ＋12，令h k (x )＝kx k ＋1－(k ＋1)x k＋1(x ＞0)，则h k ′(x )＝k (k ＋1)x k－k (k ＋1)x k －1＝k (k ＋1)xk －1·(x －1)．所以当0＜x ＜1时，h k ′(x )＜0，h k (x )在(0,1)上递减； 当x ＞1时，h k ′(x )＞0，h k (x )在(1，＋∞)上递增． 所以h k (x )＞h k (1)＝0， 从而g k ＋1(x )＞2xk ＋1＋k ＋x k ＋k ＋12．故f k ＋1(x )＜g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①和②知，对一切n ≥2的整数，都有f n (x )＜g n (x )．。

测评手册小题必刷卷十立体几何考查范围：第39讲~第43讲角度1空间几何体的结构特征、三视图与直观图1. [2018 •全国卷川]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 分叫卯眼，图X10-1中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木 构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）2. [2018 •全国卷I 某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图X10-3所示.圆柱表面上的 点M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ,则在此圆柱侧面 上,从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 （ ）A .2B .2C .3D .2图 X10-3■题组一刷真题•构件的凸出部分叫榫头，凹进部 图 X10-1 诩觇巾冋图 X10-23. [2017・全国卷口如图X10-4,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A.90 nB.63 nC.42 nD.36 n4. [2016 •全国卷I如图X10-5,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径•若该几何体的体积是——，则它的表面积是（）A.17 nB.18 nC.20 nD.28n\图X10-65. [2014 •全国卷I如图X10-6，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱图 X10-76.[2017 •北京卷]某三棱锥的三视图如图 X10-7所示，则该三棱锥的体积为（ ） A .60B .30 7.[2016 •天津卷]将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视 图与俯视图如图X10-8 所示,则该几何体的侧（左）视图为 （ ）角度2空间几何体的表面积与体积8.[2016 •全国卷口体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ ） A .12 n B .— n C .8 nD .4n 9.[2018 •全国卷I 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O 1Q2,过直线O 1O 2的平面截该圆 柱所得的截面是面积为 8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A .12 n B .12 nC .8 nD .10 n10.[2018 •全国卷1在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2AC 1与平面BB 1C 1C 所成的C .20D .10图 X10-8角为30°则该长方体的体积为（）A.8B.6C.8D.811. [2015 •山东卷]已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A. -----B. ---------C.2 nD.4 n12. [2018 •全国卷川]设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ ABC为等边三角形且其面积为9 一,则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A.12 —B.18 —C.24 一D.54 -13. [2017 •天津卷]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为_________ .14. _______________________________________ [2018 •全国卷q已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30° 若厶SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.角度3空间点、线、面的位置关系15. [2018 •全国卷q在正方体ABCD-A i B i C i D i中,E为棱CC i的中点，则异面直线AE与CD 所成角的正切值为（）A.—B.—C. —D.—16. [20i6 •浙江卷]已知互相垂直的平面a,卩交于直线I.若直线m,n满足m // a n丄3则（）A.m // IB.m // nC. n 丄ID.m 丄n■题组二刷模拟i7.[20i8 •永州三模]若三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，M,N分别是棱AD,BC的中点，则A .B .2异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为 （ ）18.[2018・重庆三模]一个几何体的三视图如图 X10-10所示，其中正视图是半径为 1的半圆, 则该几何体的体积为 （A.—B.—C.— D . n图 X10-10 19.[2018 •成都二诊]如图X10-11 所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）20.[2018 •绵阳三诊]如图X10-12①所示，在四棱锥P-ABCD 中,PD 丄底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形 该四棱锥的俯视图如图 X10-12②所示，则AD 的长是（）图 X10-11A .①是棱台B .②是圆台C .③是棱锥D .④不是棱柱(D ② ③ @积与球的表面积之比为21.[2018 •长春二模]如图X10-13,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线条画出的是一个三棱 锥的三视图则该三棱锥的体积为（ ） A.- B._ C .2 D.-22.[2018 •贵州黔东南州模拟]已知某几何体的三视图如图 X10-14所示,则该几何体的最长 的棱长为 （则下列说法正确的是C .若 m ? a ,m 丄卩,则m //aD .若aQ® =mn 丄m 贝U n 丄a24.[2018 •大连二模]已知圆锥的底面直径为 1,母线长为1,过该圆锥的顶点作圆锥的截面则截面面积的最大值为 _________ . A . B .C .D .223.[2018 •成都二诊]已知 m ,n 是空间中两条不同的直线，a ,卩为空间中两个互相垂直的平面A .若m ? a ,则m 丄卩B .若m ? a ,n ?卩,则m 丄n25. [2018 •雅安三诊]若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为26. [2018・合肥二模]已知四棱锥P-ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为3 —的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上,则四棱锥P -ABCD的体积为 _____________ .27. [2018 •天津和平区高三期末]一个由棱锥和半球组成的几何体，其三视图如图X10-15所示,则该几何体的体积为 ________ .28. [2018 •马鞍山二模]在三棱锥A - BCD 中,AB= 1 ,BC= _,CD=AC= 一,当三棱锥A - BCD的体积最大时，其外接球的表面积为_________ .。

2019-2020年高考数学大一轮复习板块命题点专练十二文直，则l 的方程是 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0．故选D ．A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选D 圆的半径r ＝－2＋－2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2．2．(xx·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．43解析：选B ∵A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，△ABC 为等边三角形，故△ABC 的外接圆圆心是△ABC 的中心，又等边△ABC 的高为3，故中心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213． 3．(xx·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2544．(xx·山东高考)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ―→·PB ―→＝________．解析：如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，|OP |＝1＋3＝2，又|OA |＝|OB |＝1，可以求得|AP |＝|BP |＝3，∠APB ＝60°，故PA ―→·PB ―→＝3×3×cos 60°＝32．答案：325．(xx·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π． 答案：4π6．(xx·江西高考)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．解析：如图所示，圆心在直线x ＝2上，所以切点A 为(2,1)．设圆心C 为(2，t )，由题意， 可得|OC |＝|CA |， 故4＋t 2＝(1－t )2， 所以t ＝－32，半径r 2＝254．所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254．答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547．(xx·湖北高考)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：由题意得，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即|a |2＝22⇒a 2＝1，同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2＝2． 答案：28．(xx ·重庆高考)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，圆心与点P 的连线的斜率k OP ＝2， ∴切线的斜率k ＝－12．由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0． 答案：x ＋2y －5＝09．(xx ·全国丙卷)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 在Rt△BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：410．(xx·北京高考)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4． (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1．所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2． 因此a ＝2，c ＝2． 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22． (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0． 因为OA ⊥OB ，所以OA ―→·OB ―→＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0．当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2， 故直线AB 的方程为x ＝±2． 圆心O 到直线AB 的距离d ＝2． 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )． 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0．d ＝|2x 0－ty 0|y 0－2＋x 0－t2．又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝2．此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．11．(xx·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ―→·ON ―→＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |． 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1． 因为直线l 与圆C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73．所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0． 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2．OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k＋k1＋k2＋8． 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1． 故圆心C (2,3)在直线l 上， 所以|MN |＝2．。

考点 10 函数的图像1、为了得到函数y＝lg x＋3y＝lg x 的图象上所有的点向__ __( 填“左”或“右”)10的图象，只需把函数平移 ___个单位长度，再向__( 填“上”或“下” ) 平移 ___个单位长度．【答案】左 3 下 1x＋ 3【解析】因为 y＝lg10 ＝lg(x＋3)－lg10＝lg(x＋3)－1，所以只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度．2、已知 y＝ f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数f(x)＝f(x)g(x)的图象可以是____． ( 填序号 )①②③④【答案】①【解析】根据f(x) 和 g(x) 的图象，可得g(x) 在 x＝0 处无意义，所以函数f(x) ＝ f(x)g(x)在x＝0处无意义；因为 f(x)与g(x)都为奇函数，所以函数f(x) ＝ f(x)g(x)是偶函数，故排除④；当x 取很小的正数时，f(x)<0，g(x)>0，所以f(x)g(x)<0，故①符合要求．3、已知偶函数f(x)(x∈ R)满足f (－4)＝ f (1)＝0，且在区间[0，3]和(3，＋∞)上分别单调递减和单调递增，则不等式xf ( x)<0的解集为___．【答案】 (1，4) ∪ (－1，0)∪( －∞，－ 4)【解析】因为定义在R上的偶函数 f ( x)满足 f (－4)＝f (1)＝0，所以函数 f ( x)的图象关于 y 轴对称，且 f (4) ＝ f (1)＝ f (－1)＝ f (－4)＝0，则由函数在区间[0 ， 3] 和 (3 ，＋∞ ) 上分别单调递减和单调递增，不等式xf (x)<0 ，可得x>0，或x<0，解得 1< <4 或－1<<0或x<－ 4，故所求不等式的解集为(1 ，4) ∪f （ x）<0 f （ x）>0，x x( －1，0) ∪( －∞，－ 4) ．4、已知图 1 是函数 y＝ f(x) 的图象，则图 2 中的图象对应的函数可能是___． ( 填序号 )图1图2① y ＝ f(|x|) ； ② y ＝ |f(x)| ；③ y ＝ f( －|x|) ； ④ y ＝－ f( － |x|) ． 【答案】③【解析】由图 2 可知，对应的函数为偶函数，所以②错误，且当 x>0 时，对应的是 f(－ x) ，显然①④不正确，故填③ .5、将函数 y ＝ f(x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的1x 轴方向向左平移 2( 纵坐标不变 ) ，再将此图象沿3个单位长度，所得图象对应的函数为 ____．【答案】 y ＝ f(3x ＋6)1【解析】函数 y ＝ f(x) 的图象所有点的横坐标变为原来的 3( 纵坐标不变 ) ，得到的函数为y ＝ f(3x) ，再将此图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位长度得到函数为y ＝ f[3(x ＋ 2)] ＝f(3x ＋ 6) ，故所得图象对应的函数为 y＝ f(3x＋6)．6、 若 0<a<1，则函数 y ＝ log a (x ＋ 5) 不经过第 __ __ 象限． 【答案】一【解析】函数 log a (x ＋ 5) 的图象可以看作函数 y ＝log a x 的图象向左平移 5 个单位长度得到的，由 0<a<1，知函数 y ＝ log a x 的图象过第一、四象限且单调递减，与 x 轴交于点 (1 ， 0) ，故函数 y ＝ log a (x ＋ 5) 的图象也 单调递减，且过点 ( － 4， 0) ，由此图象特征知，函数 y ＝log a (x ＋ 5) 的图象不经过第一象限．7、若函数 y ＝ log 2(x ＋ 1) 的图象与 y ＝ f(x) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称，则函数 f(x)的表达式是 __ __ ．【答案】 y ＝ log 2(3 － x)【解析】因为与 y ＝ f(x) 的图象关于直线 x ＝1 对称的函数为 y ＝ f(2 － x) ．又因为函数 y ＝log (x ＋ 1) 的图2象与 y ＝f(x) 的图象关于直线x ＝ 1 对称，所以 f(2－ x) ＝ log 2(x ＋ 1) ，设 t ＝2－ x ，则 x ＝ 2－ t ，所以 f(t)＝ log 2(2 －t ＋ 1) ＝ log (3 － t) ，故函数 f(x) 的表达式是 f(x)＝ log (3 －x) ．22x 2＋ x ， x<0， 8、 已知函数 f(x) ＝－ x 2，x ≥0， 若 f(f(a))≤2，则实数 a 的取值范围是 ____．【答案】 ( －∞，2]【解析】当 a ≥0 时， f(a)＝－ a 2≤0，故 f(f(a))＝f( － a 2) ＝a 4－ a 2≤2，解得 0≤a ≤2；当－ 1<a<0 时，2＋1)<0 ，则 f(f(a))22222 22f(a) ＝ a ＋a ＝ a(a ＝ f(a ＋ a) ＝ (a ＋ a) ＋ (a ＋a) ≤2，即 (a ＋ a) ＋ (a ＋ a) －2≤0，所21＋ 5 －1＋ 5 ，所以－ 1<a<0；当 a ≤－ 1 时， f(a) 2＋1) ≥0，以－ 2≤a ＋a ≤1，解得－ 2 ≤a ≤ 2 ＝ a ＋ a ＝a(a则 f(f(a)) ＝ f(a 2＋ a) ＝－ (a 2＋a) 2≤2，得 a ∈ R ，所以 a ≤－ 1.a9、设函数 f ( x ) ＝ | x | x ＋ bx ＋ c ，则下列命题中正确命题的序号有________．( 请将你认为正确的命题序号都填上 )①当 b >0 时，函数 f ( x ) 在 R 上是单调增函数；②当 b <0 时，函数 f ( x ) 在 R 上有最小值；③函数 f ( x ) 的图象关于点 (0 ， c ) 对称；④方程 f ( x ) ＝ 0 可能有三个实数根．【答案】①③④x 2＋ bx ＋ c ，x ≥0，【解析】 f ( x ) ＝－x 2 结合图象可知①正确， ②不正确， 对于③， 因为 | | x ＋ bx 是奇函数，＋ bx ＋ c ，x <0，x其图象关于原点 (0,0) 对称，所以 f ( x ) 的图象关于点 (0 ，c ) 对称，③正确；当 c ＝ 0，b <0 时 f ( x ) ＝ 0 有三个实数根，故④正确．10、已知函数 f ( x ) ＝ | x －a | x ＋ b ( a ，b ∈ R)，给出下列命题：(1) 当 a ＝0 时， f ( x ) 的图象关于点 (0 ，b ) 成中心对称；(2) 当 x >a 时， f ( x ) 是递增函数；a 2(3) 当 0≤x ≤ a 时， f ( x ) 的最大值为＋b .4其中正确的序号是 ________．【答案】 (1)(3)【解析】当a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ | x | ＋ ，因为函数 ＝ | x | 是奇函数，所以 y ＝ | x | 的图象关于点 (0,0) 对称，x b y x x所以 f ( x ) 的图象关于点 (0 ， b ) 成中心对称，故 (1) 正确；当 x >a 时， f ( x ) ＝ x 2－ ax ＋b ，其单调性不确定，a2a 2aa 2故 (2) 错误；当 0≤ x ≤ a 时， f ( x ) ＝－ ( x － 2) ＋ 4 ＋ b ，所以当 x ＝ 2时， f ( x ) 的最大值为 4 ＋ b ，故(3)正确．13答案：3xx ＝ 1 的实根个数是 ________． 11、关于 x 的方程 e ln 【答案】 1x11 x【解析】由 e ln x ＝1( x >0) 得 ln x ＝ e x ( x >0) ，即 ln x ＝ ( e ) ( x >0) ．令 y 1＝ ln x ( x >0) ，1 xy 2＝ ( e ) ( x >0) ，在同一直角坐标系内绘出函数y 1， y 2 的图象，图象如图所示．根据图象可知两函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.x3【答案】向上平移3 个单位x【解析】 g ( x ) ＝ log 2 8＝log 2 x － 3＝f ( x ) － 3，因此只需将函数 g ( x ) 的图象向上平移 3 个单位即可得到函数f ( x ) ＝ log 2 x 的图象．13、已知函数 f ( x ) ＝2x ＋， ( ) ＝log 2 ＋ ， ( ) ＝ x 3＋ x 的零点依次为 a ， ， 则 ， ， c 由小到大的顺xg xx x h xb ca b序是 ________．【答案】 a <c <b【解析】因为函数 f ( x ) ＝ 2x ＋ x 的零点在 ( － 1,0) 上，函数 g ( x ) ＝ log 2x ＋x 的零点在 (0,1) 上，函数 h ( x ) ＝x 3＋ x 的零点为 0，所以 < < .a c b14、已知函数设，且函数 的图象经过四个象限，则实数 的取值范围为 ______.【答案】【解析】当 x ≤0时， f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使 f(x)-g(x) 过第三象限，所以 f(-3)-g(-3)<0,解之得 k ＜ .当 x ＞ 0 时， f(x)-g(x)=,因为，所以须使 f(x)-g(x)过第四象限，必须综合得 -9 ＜k ＜ .15、定义在 R 上的偶函数 f （ x ），且对任意实数 x 都有 f （ x+2）＝ f （ x ），当 x ∈ [0 ， 1] 时， f （ x ）＝ x 2， 若在区间 [ ﹣ 3， 3] 内，函数 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ kx ﹣ 3k 有 6 个零点，则实数k 的取值范围为 __．【答案】【解析】由定义在 R 上的偶函数 f （ x ），且对任意实数 x 都有 f （x+2）＝ f （x ），当 x ∈ [0 ， 1] 时， f （ x ）＝ x 2，可得函数 f （ x ）在区间 [ ﹣3， 3] 的图象如图所示，在区间[ ﹣ 3， 3] 内，函数 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ kx ﹣ 3k 有 6个零点，等价于 y＝f （ x）的图象与直线y＝ k（x+3）在区间 [ ﹣ 3， 3] 内有 6 个交点，又y＝ k（ x+3）过定点（﹣ 3，0），观察图象可知实数k 的取值范围为：，16、已知函数 f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f(a)＜4＋f(－a)，则实数a 的取值范围是_____．【答案】【解析】∵ f ( x)为奇函数，∴∴f ( a)＜4＋ f (－a)可转化为 f ( a)＜2作出的图象，如图：由图易知： a＜ 217、已知函数. 若函数存在5个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】【解析】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示( 图中黑色的曲线) ，当 a=1 时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1 只有四个交点，即函数存在 4 个零点，不合题意.当 1＜ a＜3 时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1 有 5 个交点，即函数存在 5 个零点，符合题意.当 a=3 时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1 有 6 个交点，即函数存在 6 个零点，不符合题意.所以实数 a 的取值范围为.故答案为：18、对于任意实数，定义设函数，，则函数的最大值是 ________.【答案】 1【解析】∵ x＞ 0，∴ f （ x） =﹣ x+3＜ 3， g（ x）=log 2x∈ R，分别作出函数f （ x） =﹣ 3+x 和 g（ x） =log 2x的图象，结合函数 f （ x）=﹣ 3+x 和 g（ x） =log 2x 的图象可知，h （ x ） =min{f （ x ），g （ x ） } 的图象，在这两个函数的交点处函数h （ x ） =min{f （ x ），g （ x ） } 的最大值．解方程组得 ，∴函数 h （x ） =min{f （ x ）， g （ x ） } 的最大值是 1．故答案为： 1．19、函数 的递增区间是 ___________．【答案】【解析】当 时，，开口向下，对称轴为 ，所以递增区间是 ，当时，，开口向上，对称轴是 ，所以在定义域内无递增区间。

§1.2集合的运算考情考向分析集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型主要为填空题，低档难度．集合的基本运算概念方法微思考由运算A∩B＝A可以得到集合A，B具有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意非空集合A，B，都有(A∩B)(A∪B)．(×)(2)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(3)对于任意集合A，都有∅A.(×)(4)对于任意集合A，B，∁S(A∪B)＝(∁S A)∩(∁S B)．(√)题组二教材改编2．[P14习题T11]若全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)＝________. 答案{1,4,5}3．[P10习题T4]已知集合A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1,1，－3,3}，∁U B ＝{－1,0,2}，则集合B ＝________. 答案 {1,4,6，－3,3}解析 ∵∁U A ＝{－1,1，－3,3}，∴U ＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}． 又∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝{1,4,6，－3,3}．4．[P14习题T10]设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个． 答案 3解析 ∵全集U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}， ∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，∴共有3个元素．题组三 易错自纠5．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 1解析 显然a 2＋4≠3，由a ＋2＝3得a ＝1，符合题意．6．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．7．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素.题型一 集合的运算1．已知集合A ＝{1,4}，B ＝{x |1≤x ≤3}，则A ∩B ＝________. 答案 {1}解析 依题意，根据集合交集的定义与运算， 可得A ∩B ＝{1}．2．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 {x |－3<x ≤－1}解析 由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}． 因为B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．所以A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．3．已知M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1]解析 由题意得M ＝[0，＋∞)，由x 2＋y 2＝1，得到－1≤y ≤1，即N ＝[－1,1]，则M ∩N ＝[0,1]． 4.已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是________．答案 {x |0≤x <6}解析 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6， 所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x <1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}． 又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ， 因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．思维升华 在进行集合的运算时，若集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；若集合中的元素是连续的，可用数轴表示集合，要特别注意端点的取舍．题型二 利用集合的运算求参数例1 (1)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________． 答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(2)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 利用集合的运算求参数值或范围，要根据集合中元素的关系，灵活使用数轴工具，找出参数适合的条件，求参数的值要检验元素的互异性，求参数的取值范围要对端点的情况单独考虑．跟踪训练1 (1)集合A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，若A ∪B ＝{1,2,3}，则实数a 的值为________． 答案 0解析 ∵A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，且A ∪B ＝{1,2,3}， ∴a 2＋2＝2，a 2＝0，a ＝0，即实数a 的值为0.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________． 答案 [－1，＋∞)解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型三 集合的新定义问题例2 (1)(2018·江苏洪泽中学月考)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}， A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为________． 答案 21解析 由x 2－2x －3≤0，x ∈N ，得(x ＋1)(x －3)≤0，x ∈N ，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)＝________.答案 3解析因为C(A)＝2，A*B＝1，所以C(B)＝1或C(B)＝3.由x2＋ax＝0，得x1＝0，x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0，当Δ＝0，即a＝±22时，易知C(B)＝3，符合题意；当Δ>0，即a<－22或a>22时，易知0，－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根，故C(B)＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a<22时，方程x2＋ax＋2＝0无实数解，当a＝0时，B＝{0}，C(B)＝1，符合题意，当－22<a<0或0<a<22时，C(B)＝2，不符合题意．综上，S＝{0，－22，22}，故C(S)＝3.1．已知集合A＝{1，a}，B＝{2,3,4}，A∩B＝{3}，则A∪B＝________.答案{1,2,3,4}解析由集合A＝{1，a}，B＝{2,3,4}，A∩B＝{3}，则a＝3，故A∪B＝{1,2,3,4}．2．已知全集为R，集合A＝{x|2x≥4}，B＝{x|x2－3x≥0}，则A∩(∁R B)＝________.答案[2,3)解析A＝{x|2x≥4}＝{x|x≥2}，B＝{x|x2－3x≥0}＝{x|x≤0或x≥3}，∁R B＝(0,3)，则A∩(∁R B)＝[2,3)．3．设全集U＝{x|x∈N*，x≤9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁U B)＝{2,4}，则B＝________.答案{5,6,7,8,9}解析因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，所以A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A∩(∁U B)＝{2,4}知，{2,4}⊆A，{2,4}⊆∁U B.所以B＝{5,6,7,8,9}．4．已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，则A∩(∁R B)＝________.答案(－2,2]解析由题意得B＝{x|y＝lg(x－2)}＝(2，＋∞)，∴∁R B＝(－∞，2]，∴A∩(∁R B)＝(－2,2]．5．(2018·苏州调研)已知集合A＝{1,2a}，B＝{－1,1,4}，且A⊆B，则正整数a＝________.答案 2解析 ∵A ＝{1,2a }，B ＝{－1,1,4}，且A ⊆B ， ∴2a ＝4＝22，a ＝2.6．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝________. 答案 {1,3}解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．7．已知全集U ＝{x ∈N |x 2－5x －6<0}，集合A ＝{x ∈N |－2<x ≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A )∩B ＝________. 答案 {3,5}解析 由题意知，U ＝{0,1,2,3,4,5}，A ＝{0,1,2}，则(∁U A )∩B ＝{3,5}．8．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1. 经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．9．已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}解析 由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ，所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0<x <e ，所以Q ＝(0，e)，则P ∩Q ＝{1,2}．10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．11．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x }，则A ×B ＝________. 答案 (－∞，3)解析 集合A 即为函数y ＝x 2－3x 的定义域，由x 2－3x ≥0⇒x ≤0或x ≥3，故集合A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，集合B 即为函数y ＝3x 的值域，故B ＝(0，＋∞)，从而有A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，由定义知A ×B ＝(－∞，3)．12．设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪(∁R B )＝∁R B ，则a 的取值范围是________． 答案 [－1,2]解析 由补集的定义知∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∵A ∪(∁R B )＝∁R B ，∴A ⊆∁R B .由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＝－1，则B ＝{x |－1<x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)， 当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意．当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝log 36－x x －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 [5，＋∞)解析 由6－xx －2>0可得(x －2)(x －6)<0，∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a,1＋a ]． 由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5. ∴实数a 的取值范围是[5，＋∞)．。

第8讲n次独立重复试验与二项分布[考纲解读] 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念．(重点)2.能够利用n次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测2020年将会考查：①条件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立重复试验与二项分布的应用. 题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型.1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做□01条件概率，用符号□02P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝□03P(AB)P(A) (P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB)(n(AB)表示AB共同发生的基本事件的个数)．n(A)(2)条件概率具有的性质①□040≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)□05P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称□01A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝□02P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝□03P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则□04A与B，□05A与B，□06A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则□07A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在□01相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝□02P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作□03X ～B (n ，p )，并称p 为□04成功概率．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X＝k )＝□05C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )．1．概念辨析(1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝(1－p )．( )(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.215 D.115答案 C 解析 ∵P (B |A )＝P (AB )P (A )，P (A )＝25且P (B |A )＝13，∴P (AB )＝P (A )×P (B |A )＝25×13＝215.(2)设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (ξ＝3)的值是( )A.10243 B.32243 C.40243D.80243答案 C解析 因为ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243. (3)两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16答案 B解析 两个零件恰好有一个一等品的概率为23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.(4)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．答案 49解析 所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49.题型 一 条件概率1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12答案 B解析 解法一：事件A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个． 事件AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n (AB )n (A )＝14.故选B.解法二：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.故选B. 2．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.答案 14解析 由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.条件探究1 若将举例说明1中的事件B 改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (B )＝C 23C 25＝310.又B ⊆A ，则P (AB )＝P (B )＝310， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝34.条件探究2将举例说明1条件改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值．解从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A25种方法；其中第一次取到的是奇数，有A13A14种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有A13 A12种方法．则P(A)＝A13A14 A25＝35，P(AB)＝A13A12A25＝310，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．第二步，计算概率，这里有两种思路：提醒：要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．1．(2019·大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45答案 A解析 设某天的空气质量为优良是事件B ，随后一天的空气质量为优良是事件A ，所以题目所求为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.60.75＝0.8. 2．一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.答案 14解析 如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4， ∴n (AB )＝1，∴P (AB )＝19，P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.题型 二 相互独立事件的概率某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 解 (1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，且有⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·P (C )＝112，P (B )·P (C )＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧[1－P (A )]·[1－P (C )]＝112，P (B )·P (C )＝14，所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A )·P (B )·P (C )＝14×58×13＝596， 有1个家庭回答正确的概率为P 1＝P (A B －C －＋A B C ＋A －B －C )＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率； 第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果． 此外，也可以从对立事件入手计算概率.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率．解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C12C23＝23，P(B)＝C24C35＝35.∵事件A与B相互独立，A与B相互独立，则A·B表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(A B)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝23×25＝415.即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是4 15.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝C24C35＝35，依题意，A，B，C相互独立，A，B，C相互独立，且AB C，A B C，A BC，ABC彼此互斥．又P(X＝2)＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝3375＋1875＝1725，故“X≥2”的事件的概率为17 25.题型三独立重复试验与二项分布(2018·贵州铜仁模拟)医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有A，B，C三种不同配方的药剂，根据分析，A，B，C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5,0.6,0.75，能控制V指标的概率分别为0.6,0.5,0.4，能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响．(1)求A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；(2)某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列．解(1)A，B，C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为P＝P(A B－C－)＋P(A B C)＋P(A－B－C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)∵A有治疗效果的概率为P A＝0.5×0.6＝0.3，B有治疗效果的概率为P B＝0.6×0.5＝0.3，C有治疗效果的概率为P C＝0.75×0.4＝0.3，∴A，B，C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成3次独立重复试验，即X～B(3,0.3)．∵X的可能取值为0,1,2,3，∴P(X＝k)＝C k3×0.3k×(1－0.3)3－k，即P(X＝0) ＝C03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C33×0.33＝0.027.故X的分布列为X 012 3P 0.3430.4410.1890.0271．独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程．2．判断某概率模型是否服从二项分布P n(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的．(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.。

课后限时集训(一)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A．4 B．2 C．0 D．0或4A[由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解或两个相等的根．当a＝0时，方程无实根，则a≠0，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4，故选A.]2．(2019·济南模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1,1}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{－1,1,3}C．{－3，－1,1} D．{－3，－1,1,3}C[A＝{－3,1}，B＝{－1,1}，则A∪B＝{－3，－1,1}，故选C.]3．(2019·重庆模拟)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{x|3x－x2≥0}，则A∩B的子集的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．8C[B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4个．]4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5B[当m＝2时，n＝3或4，此时x＝6或8.当m＝3时，n＝4，此时x＝12.所以B＝{6,8,12}，故选B.]5．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2B[满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．]6．(2019·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}A[由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]7．(2019·青岛模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1] [A ＝{x |1＜x ＜2 018}，B ＝{x |x ≥a }， 要使A ⊆B ，则a ≤1.]9．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝________. {x |x ≥0} [A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}．]10．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．－2或1 [由A ∩B ＝{－1,2}得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.]B 组 能力提升1．(2019·潍坊模拟)已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝(3,10)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]D [由M ＝{x |lg x ＜1}得M ＝{x |0＜x ＜10}；由－3x 2＋5x ＋12＝(－3x －4)(x －3)＜0得N ＝x ⎪⎪⎪x ＜－43或x ＞3，所以∁R N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－43≤x ≤3，则有M ∩(∁R N )＝(0,3]，故选D.] 2．(2019·南昌模拟)在如图所示的Venn 图中，设全集U ＝R ，集合A ，B 分别用椭圆内图形表示，若集合A ＝{x |x 2＜2x }，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则阴影部分图形表示的集合为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |1≤x ＜2}D [由x 2＜2x 解得0＜x ＜2，∴A ＝(0,2)，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，阴影部分图形表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}，故选D.]3．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [由A ∩B ≠∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.]4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(－∞，4] [当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]。

板块命题点专练(一) 集合与常用逻辑用语命题点一集合及其运算1.(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1.答案：12．(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}3．(2015·江苏高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：因为A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，所以A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素个数为5.答案：54．(2018·浙江高考改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝________.解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．答案：{2,4,5}5．(2018·北京高考改编)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0,1,2}，则A∩B＝________.解析：∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．答案：{0,1}6．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝________.解析：A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．答案：{0,2}命题点二充分条件与必要条件1．(2017·浙江高考改编)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的________条件．解析：因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d＞0⇔S4＋S6＞2S5.答案：充要2．(2018·天津高考改编)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的________条件．解析：由x 3＞8⇒x ＞2⇒|x |＞2，反之不成立， 故“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分不必要条件． 答案：充分不必要3．(2018·天津高考改编)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的________条件．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2016·上海高考)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的____条件．解析：由a ＞1可得a 2＞1，由a 2＞1可得a ＞1或a ＜－1.所以“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．(2016·天津高考改编)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的________条件．解析：设数列{a n }的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )＜0，即q ＜－1，故q ＜0是q ＜－1的必要不充分条件． 答案：必要不充分 命题点三 命题及其真假性1．(2012·全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为________． 解析：因为复数z ＝2－1＋i＝－1－i ，所以|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．答案：p 2，p 42．(2015·山东高考改编)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________．解析：根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0命题点四 全称量词和存在量词1．(2015·全国卷Ⅰ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为________． 解析：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n”． 答案：∀n ∈N ，n 2≤2n2．(2016·浙江高考改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是________． 解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．答案：∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 23．(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：1板块命题点专练（二） 函数及其图象和性质命题点一 函数的概念及其表示1．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．解析：由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}2．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．解析：要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．答案：[－3,1]3．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝____，b ＝________.解析：因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1，所以f (a )＝a 3＋3a 2＋1， 所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3， ①a 2＋2ab ＝0， ②a 3＋3a 2＝a 2b . ③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案：－2 14．(2018·全国卷Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x的取值范围是________．解析：法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )，即为1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，2x ＜0，2x ＜x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x ＜0，∴x ＜0.答案：(－∞，0)命题点二 函数的基本性质1.(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－252．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0； 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.由f (x )＞x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＞x ，x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ＞x ，x ＜0，解得x ＞5或－5＜x ＜0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝ f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________.解析：法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案：24．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________． 解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：由已知得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12， 又函数f (x )是奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝12. 答案：126．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x∈ [－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (x )的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f (919)＝f (1)． 又f (x )为偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：6命题点三 函数的图象1.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i＋y i )＝m .答案：m2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 解析：因为f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， 所以4＝a ×(－1)3－2×(－1)， 解得a ＝－2. 答案：－2板块命题点专练(三) 基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程命题点一 基本初等函数(Ⅰ)1．(2017·全国卷Ⅰ改编)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则2x,3y,5z 的大小关系为________．解析：设2x＝3y＝5z＝k ＞1， 所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k 98log k 2·log k 3＞0， 所以2x ＞3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5＜0， 所以3y ＜5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5＜0， 所以5z ＞2x .所以5z ＞2x ＞3y . 答案：5z ＞2x ＞3y2．(2018·天津高考改编)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：∵c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 35＞log 372＞log 33＝1，∴c ＞a ＞1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，即b ＜1. ∴c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b3．(2015·江苏高考)不等式22x x－＜4的解集为________． 解析：因为2x 2－x ＜4，所以22x x－＜22，所以x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，所以－1＜x ＜2. 答案：(－1,2)4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.答案：15．(2018·上海高考)已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎪⎫q ，－15，若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.解析：因为函数f (x )的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15，所以f (p )＋f (q )＝2p2p ＋ap ＋2q 2q ＋aq ＝2p ＋q ＋aq 2p ＋2p ＋q ＋ap 2q2p ＋q ＋aq 2p ＋ap 2q ＋a 2pq ＝65－15＝1，化简得2p ＋q ＝a 2pq .因为2p ＋q ＝36pq ，所以a 2＝36且a ＞0，所以a ＝6.答案：66．(2016·江苏高考)已知函数f (x )＝a x ＋b x(a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x＝2， 亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，即2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，所以m ≤f x2＋4f x 对于x ∈R 恒成立．而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x4f x＝4，且f 2＋4f＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2＝a x＋b x－2有且只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b xln b ，又由0＜a ＜1，b ＞1知ln a ＜0，ln b ＞0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln a ln b .令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )＞0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )＜g ′(x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0＜0，则x 0＜x 02＜0，于是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＜g (0)＝0.又g (log a 2)＝aa log 2＋ba log 2－2＞aa log 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0＜a ＜1，所以log a 2＜0.又x 02＜0，所以x 1＜0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0＞0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．(2016·上海高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a ＞0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：(1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋5＞0，得1x＋5＞1，解得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪(0，＋∞)．(2)由原方程可得1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，即(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0.①当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意． ②当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意． ③当a ≠3且a ≠4时，x 1＝1a －4，x 2＝－1，x 1≠x 2. 若x 1是原方程的解，则1x 1＋a ＞0，即a ＞2；若x 2是原方程的解，则1x 2＋a ＞0，即a ＞1. 由题意知x 1，x 2只有一个为方程的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ＞1，于是满足题意的a ∈(1,2]．综上，a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}． (3)易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立．因为a ＞0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，当t ＝12时，y 有最小值34a －12.由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.命题点二 函数与方程1.(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x ＜10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10＜1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：82．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解析：①当0＜x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e.②当1＜x ＜2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根． 答案：43．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．解析：令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)4．(2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．解析：法一：作出函数f (x )的大致图象如图所示．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0.由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)． 综上可得a 的取值范围是(4,8)．法二：当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x ＞0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0.作出直线y ＝a ，y ＝2a ，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a 24＜2a ，解得4＜a ＜8. 答案：(4,8)命题点三 函数模型及其应用1．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝__________，y ＝__________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.答案：8 112．(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值．(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2.设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 两点，y ′＝－2 000x3， 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32 t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3. 故当t ＝102时，公路l 的长度最短， 最短长度为153千米．3．(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．板块命题点专练(四) 导数及其应用命题点一 导数的运算及几何意义1.(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－32．(2018·天津高考)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________．解析：∵f (x )＝e xln x ，∴f ′(x )＝e xln x ＋exx，∴f ′(1)＝e.答案：e3．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.解析：∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x，∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－34．(2017·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y－a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：15．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x ＞0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以当x ＞0时，f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －1命题点二 导数的应用1．(2018·江苏高考)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．解析：法一：f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(x ＞0)． ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (0)＝1，∴f (x )在(0，＋∞)上无零点． ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞a3；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜a3，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增． 又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，∴a ＝3. 此时f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈[－1,1]时，f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减． 又f (1)＝0，f (－1)＝－4，∴f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3. 法二：令f (x )＝2x 3－ax 2＋1＝0， 得a ＝2x 3＋1x 2＝2x ＋1x2.令g (x )＝2x ＋1x 2，则g ′(x )＝2－2x3.由g ′(x )＜0，得0＜x ＜1；由g ′(x )＞0，得x ＞1， ∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∵f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点， ∴a ＝g (1)＝3，此时f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈[－1,1]时，f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减．又f (1)＝0，f (－1)＝－4，∴f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3. 答案：－32．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，123．(2017·全国卷Ⅱ改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________．解析：因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)ex －1＝(x ＋2)(x －1)ex －1.令f ′(x )＞0，解得x ＜－2或x ＞1， 令f ′(x )＜0，解得－2＜x ＜1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1. 答案：－14．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间； (2)证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x－1x.由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x .可知f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(2)＝0， 所以当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥exe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e xe －1x.可知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝0， 所以当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0；当x ＞1时，g ′(x )＞0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x ＞0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.5．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a ＞0，b ∈R)有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2＞3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23.当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0，又a ＞0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根， 从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＞0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a ＞3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的极值点是x 1，x 2. 从而a ＞3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2. 当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )＞0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增． 因为a ＞3，所以a a ＞33， 故g (a a )＞g (33)＝3，即ba＞ 3. 因此b 2＞3a .(3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )， 因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a ＞3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2＜0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减． 因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a 的取值范围为(3,6]．6．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝e x ＋e －x，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)＜a (－x 30＋3x 0)成立．试比较ea －1与ae －1的大小，并证明你的结论．解：(1)证明：因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x＋e －(－x )＝e －x ＋e x＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x－1在(0，＋∞)上恒成立． 令t ＝e x(x ＞0)，则t ＞1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t ＞1成立．因为t －1＋1t －1＋1≥2 t －1t －1＋1＝3， 所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13， 当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立． 因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. (3)令函数g (x )＝e x ＋1e x －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x －1e x ＞0，x 2－1≥0，又a ＞0，故g ′(x )＞0.所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a . 由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e 0x ＋e －x 0－a (－x 30＋3x 0)＜0成立，当且仅当最小值g (1)＜0.故e ＋e －1－2a ＜0，即a ＞e ＋e－12.令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x.令h ′(x )＝0，得x ＝e －1，当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )＜0， 故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数； 当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )＞0， 故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)． 注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )＜h (1)＝0. 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )＜h (e)＝0. 所以h (x )＜0对任意的x ∈(1，e)成立．①当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时，h (a )＜0，即a －1＜(e －1)·ln a ，从而e a －1＜a e －1； ②当a ＝e 时，ea －1＝ae －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )＞h (e)＝0， 即a －1＞(e －1)ln a ，故ea －1＞ae －1.综上所述，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e 时，e a －1＜a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，ea －1＞ae －1.7．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x(cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e xsin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 8．(2018·江苏高考)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解：(1)如图，设PO 的延长线交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，所以OH ＝10.过点O 作OE ⊥BC 于点E ， 则OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ， 故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10) ＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．过点N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于点G 和K ，则GK ＝KN ＝10. 连结OG ，令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1. 答：矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600(cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1. (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k (k ＞0)，乙的单位面积的年产值为3k (k ＞0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ) ＝8 000k (sin θ cos θ ＋cos θ)，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2. 设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2， 则f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1) ＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)． 令f ′(θ)＝0，得θ＝π6，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π6时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)为增函数； 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)为减函数． 所以当θ＝π6时，f (θ)取到最大值．答：当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．板块命题点专练(五) 三角函数的诱导公式及图象与性质命题点一 同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________.解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝13.综上可得sin β＝13.法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝13. 法三：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z)．答案：132．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.解析：因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425. 答案：64253．(2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－4＋3310.4．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.命题点二 三角函数的图象与性质1.(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.答案：－π62．(2016·江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．解析：法一：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，y ＝cos x 的最小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在[0,3π]上的图象，如图所示．通过观察图象可知，在区间[0,3π]上两个函数图象的交点个数是7. 法二：联立两曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin 2x ，y ＝cos x ，两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2x ＝cos x 解的个数．方程可化为2sin x cos x ＝cos x ，即cos x (2sin x －1)＝0，所以cos x ＝0或sin x ＝12.①当cos x ＝0时，x ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为x ∈[0,3π]，所以x ＝π2，3π2，5π2，共3个；②当sin x ＝12时，因为x ∈[0,3π]，所以x ＝π6，5π6，13π6，17π6，共4个．综上，方程组在[0,3π]上有7个解，故两曲线在[0,3π]上有7个交点． 答案：73．(2016·全国卷Ⅱ改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为____________．解析：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)． 答案：x ＝k π2＋π6(k ∈Z) 4．(2016·全国卷Ⅱ改编)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数解析式为________．解析：由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，又|φ|＜π2，所以φ＝－π6，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π65．(2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，∴当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝1，∴π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ， ∴ω＝8k ＋23，k ∈Z.∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23.答案：236．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .。

§1.4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析　逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示　p ∨q ：一真即真；p ∧q ：一假即假；p ，綈p ：真假相反．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(　√　)(2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．(　√　)(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　)(4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 都是真命题．(　√　)题组二　教材改编2．[P13习题T3]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________．答案　2解析　p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题．3．[P16例1]命题“∃x ∈N ，x 2≤0”的否定是____________．答案　∀x ∈N ，x 2>04．[P23测试T6]命题“对于函数f (x )＝x 2＋(a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________ax 命题．(填“真”或“假”)答案　真解析　当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．题组三　易错自纠5．命题“綈p为真”是命题“p∧q为假”的________条件．答案　充分不必要解析　由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案　③解析　当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案　(－∞，－2]解析　由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号)①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )．答案　①解析　如图所示，若a ＝，b ＝，c ＝，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨qA 1A → AB → B 1B →为真命题．2．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝的值域13x ＋1为(0,1)，则下列命题中是真命题的为________．(填序号)①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④綈q .答案　②解析　函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x >0，得0<<1，13x ＋1所以函数y ＝的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．13x ＋1所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题．3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案　②解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二　含有一个量词的命题命题点1　全称命题、存在性命题的真假例1 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，x <x；(12)(13)②∃x ∈(0,1)，；1123log log x x >③∀x ∈(0，＋∞)，x>；(12)12log x ④∀x ∈，x <.(0，13)(12)13log x 其中真命题序号为________．答案　②④解析　对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有x >x成立，故①是假命题；(12)(13)对于②，当x ＝时，有成立，故②是真命题；121112331111log log log 232==>对于③，当0<x <时，>1>x ，故③是假命题；1212log x (12)(0，13)(12)1log x对于④，∀x∈，x<1<，故④是真命题．3命题点2　含一个量词的命题的否定例2　(1)命题：“∃x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________．答案　∀x∈R，sin x＋cos x≤2(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是__________．答案　∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立．(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)设命题p：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x；命题q：∃x∈(－∞，0)，3x>2x，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q)．答案　②解析　∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，所以命题p为真命题；∀x∈(－∞，0)，3x<2x，所以命题q为假命题，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题，p∧(綈q)为真命题，故填②.(13)(2)命题“∀x∈R，x>0”的否定是______________．(13)答案　∃x∈R，x≤0解析　全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．(3)已知命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，则a 的取值范围是________．答案　[0，＋∞)解析　因为命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，所以e x ＋a ≥0恒成立，所以a ≥(－e x )max 的最大值．∵－e x <0，∴a ≥0.题型三　命题中参数的取值范围例3 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________．答案　[e,4]解析　若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实(12)数m 的取值范围是________________．答案　[14，＋∞)解析　当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，14得0≥－m ，所以m ≥.1414引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案　[12，＋∞)解析　当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝－m ，12由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥－m ，∴m ≥.1212思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案　1解析　由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈时，函数f (x )＝x ＋[12，2]>恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．1x 1c答案　∪(1，＋∞)(0，12]解析　由命题p 为真知，0<c <1，当x ∈时，2≤x ＋≤，[12，2]1x 52要使x ＋>恒成立，需<2，即c >，1x 1c 1c 12即由命题q 为真，知c >.12若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤；12当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是∪(1，＋∞)．(0，12]常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.答案　①解析　命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝是定义域上的减函数，则下列命题中12x 为真命题的是________．(填序号)①p ∨(綈q )；②p ∧q ；③(綈p )∨q ；④(綈p )∧(綈q )．答案　①解析　命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此綈p 为假命题；命题q ：y ＝在定义域上是增函数，故命题q 是12x 假命题，綈q 是真命题．因此①是真命题，②③④均为假命题．二、充要条件的判断例2 (1)“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的________条件．答案　充分不必要解析　由题意，函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增，则f ′(x )≥0恒成立，即f ′(x )＝a －sin x ≥0，即a ≥sin x ，因为－1≤sin x ≤1，即a ≥1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －y ＋3＝03的距离为1，则p 是q 的________条件．答案　充要解析　圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝＝2.3|1－3×0＋3|2当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1.又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r<3，故p是q 的充要条件．三、求参数的取值范围例3 (1)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析　因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q 为假命题，则实数m的取值范围为____________．答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析　由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2<m<2，因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题，当p真q假时，m≤－2；当p假q真时，－1<m<2；当p假q假时，m≥2，所以m≤－2或m>－1.1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2π2对称，则下列判断正确的是________．(填序号)①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案　③解析　函数y ＝sin 2x 的最小正周期为＝π，故命题p 为假命题；x ＝不是y ＝cos x 的对称轴，2π2π2故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．2．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为________．答案　∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0解析　∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0.3．命题p 的否定是“对所有正数x ，>x ＋1”，则命题p 可写为__________．x 答案　∃x ∈(0，＋∞)，≤x ＋1x 解析　因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号)①锐角三角形有一个内角是钝角；②至少有一个实数x ，使x 2≤0；③两个无理数的和必是无理数；④存在一个负数x ，>2.1x答案　②解析　①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x ，都有<0，不满足>2，所以④是假命题．1x 1x5．设命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋>3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的1x是________．(填序号)①p ∧(綈q )；②(綈p )∧q ；③p ∧q ；④(綈p )∨q .答案　①解析　命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋>3，当x ＝3时，x ＋＝>3，命题p 为真；命题q ：∀x ∈(2，＋1x 1x 103∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，42＝24，命题q 为假．所以p ∧(綈q )为真．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号)①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q .答案　②解析　当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质可知，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题．故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题．7．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________．答案　(－4,0]解析　“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．12答案　(－1,3)解析　原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－124×2×<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.129．若∃x ∈，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．[12，2]答案　(－∞，2]2解析　因为∃x ∈，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈，2x 2－λx ＋1≥0恒[12，2][12，2]成立是真命题，即∀x ∈，λ≤2x ＋恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋，则当x ∈时，f (x )∈[12，2]1x 1x [12，2]，当且仅当x ＝时，f (x )min ＝2，所以λ≤2.[22，92]222210．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案　[2，＋∞)解析　依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得Error!即m ≥2.11．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案　0解析　若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.12．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：32p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________．答案　q 1，q 4解析　因为y ＝x 在R 上是增函数，即y ＝x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命(32)(32)题；sin θ＋cos θ＝sin ≤，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，2(θ＋π4)2q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题．13．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}．现有以下结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．其中正确结论的序号为____________．答案　①②③④解析　∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且綈q ”是假命题，“綈p 或q ”是真命题，“綈p 或綈q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．答案　[0,2]解析　若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝，x ≠0，e x x 设f (x )＝，x ≠0，则f ′(x )＝＝，e x x x e x －e x x 2(x －1)e xx 2当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，e x x函数f (x )＝在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，e x x所以函数f (x )＝的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.e x x当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实4x [12，1]数a 的取值范围是______________．答案　(－∞，－3]解析　由题意知f (x )min ≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在上为减函数，g (x )在[2,3](x ∈[12，1])[12，1]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知p ：∀x ∈，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”[14，12]为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________．答案　[817，1)解析　∀x ∈，2x >m (x 2＋1)，[14，12]即m <＝在上恒成立，2x x 2＋12x ＋1x[14，12]当x ＝时，max ＝，14(x ＋1x)174∴min ＝，∴由p 真得m <.(2xx 2＋1)817817设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1.又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假，则Error!或Error!解得≤m <1.817故所求实数m 的取值范围是.[817，1)。

小题必刷卷(十四)1.B[解析] 若空白框填入i=i+1,则满足循环条件后依次得到N=+++…,T=+++…,当i不满足i<100时,输出的是S=N-T=+++…+-+++…+,显然不符合题意;当空白框填入i=i+2时,则满足循环条件后依次得到N=+++…,T=+++…,当i不满足i<100时,输出的是S=N-T=+++…+-+++…+=1-+-+…+-,符合题意.所以选B.2.B[解析] 第一次运行,=10是整数,T=1,i=3;第二次运行,不是整数,i=4;第三次运行,是整数,T=2,i=5,符合判断框内的条件i≥5,退出循环,输出T=2.故选B.3.D[解析] 程序框图运行过程如下表所示:第2次循环结束时S=90<2为满足条件的正整数N 的最小值.4.D[解析] 根据程序框图可知,判断框中如果满足条件则再次进入循环,不满足则结束循环,所以不能填“A>1000”,只能填“A≤1000”.由于要求解的是最小偶数n,而n的初始值为0,所以处理框中应填“n=n+2”,于是选D.5.B[解析] 将运动员按成绩由好到差分为七组,则第一组(130,130,133,134,135),第二组(136,136,138,138,138),第三组(139,141,141,141,142),第四组(142,142,143,143,144),第五组(144,145,145,145,146),第六组(146,147,148,150,151),第七组(152,152,153,153,153),故成绩在[139,151]内的恰有四组,故有4人,选B.6.分层抽样[解析] 由于个体差异明显,客户量大,根据分层抽样特点,最适合的抽样方法是分层抽样.7.18[解析] 丙种型号的产品在所有产品中所占比例为=,所以应从丙种型号的产品中抽取60×=18(件).8.A[解析] 题设中农村的经济收入增加了一倍,根据两个饼图,新农村建设后,种植收入虽然从60%变为37%,看似减少了,但实际是增加了,故A中结论错误;新农村建设后,其他收入从4%变为5%,又因为题设中农村的经济收入增加了一倍,所以其他收入增加了一倍以上,故B中结论正确;新农村建设后,养殖收入仍为30%,又因为题设中农村的经济收入增加了一倍,所以养殖收入增加了一倍,故C中结论正确;新农村建设后,养殖收入和第三产业收入的总和为58%,超过了经济收入的一半,故D中结论正确.故选A.9.B[解析] 根据标准差的概念,可知标准差是刻画一组数据波动与稳定程度的一个量,所以选B.10.A[解析] 由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量是减少的,故A选项错误.11.A[解析] 由茎叶图知,甲组的中位数为65,当乙组的中位数也为65时,y=5,此时乙组的平均数为=66,所以甲组中的未知数为66×5-(56+65+62+74)=73,所以x=3.故选A.12.0.1[解析] 因为=5+--=5.1,所以s2=×(0.42+0.32+0.32+0.42)=0.1.13.C[解析] 易知==22.5,==160.因为=4,所以160=4×22.5+,解得=70,所以回归直线方程为=4x+70,当x=24时,=96+70=166.故选C.14.A[解析] 因为分层抽样的抽取比例为=,所以从初中生中抽取的男生人数是=12.故选A.15.A[解析] 由题知81=,解得x=0,∵乙同学5次数学成绩的中位数为73,即y=3,∴x+y=3,故选A.16.A[解析] 由题意可得该程序框图的功能是求分段函数y=---的函数值.当x≤2时,由-2x-3=1,解得x=-2,符合题意;当x>2时,由log3(x2-2x)=1,得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1(舍去).综上可得,x=-2或x=3.故选A.17.D[解析] 估计该商品的日平均需求量为14×0.1+15×0.2+16×0.3+18×0.2+20×0.2=16.8,故选D.18.D[解析] 由表中数据可得==3.5,==42,∵点(,)在回归直线=x+上,且为9.4,∴42=9.4×3.5+,解得=9.1,故线性回归方程为=9.4x+9.1,令x=6,得=65.5,故选D.19.B[解析] 根据2×2列联表中的数据,计算得K2的观测值k=-≈5.0585>5.024,则这种推断犯错误的概率不超过0.025,故选B.20.B[解析] 大于或等于60分的共四组,它们是[59.5,69.5),[69.5,79.5),[79.5,89.5),[89.5,99.5).分别计算出这四组的频率为0.15,0.30,0.25,0.05,因此可得,60分及以上的频率为0.15+0.3+0.25+0.05=0.75,则估计这次数学竞赛的及格率为75%,故选B.21.D[解析] 由题知,乙组数据为84,86,86,88,88,88,90,90,90,90.甲、乙两组数据的众数分别为88,90,故A错误;甲、乙两组数据的平均数分别为86,88,故B错误;甲、乙两组数据的中位数分别为86,88,故C错误;甲=×[(82-86)2+2×(84-86)2+3×(86-86)2+4×(88-86)2]=4,则s甲=2,乙=×[(84-88)2+2×(86-88)2+3×(88-88)2+4×(90-88)2]=4,则s乙=2,故D正确.故选D.22.D[解析] 根据题意得i=1,S=0;i=2,S=5;i=3,S=8;i=4,S=9;i=5,S=12,此时输出i=5,说明S=9满足判断框中的条件,S=12不满足判断框中的条件.故选D.23.002[解析] 由系统抽样法知抽取的20个样本的编号构成公差为8的等差数列,设首项为a1,∵a9+a10=140,∴2a1+17×8=140,解得a1=2,∴第1组中用抽签的方法确定的编号是002.24 ②④[解析] ①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数|r|越接近1,故①不正确;②回归直线一定经过样本点的中心(,),故②正确;③若线性回归方程为=0.2x+10,则当样本数据中x=10时,可以预测y=12,但是会存在误差,故③不正确;④回归分析中,相关指数R2的值越大说明残差平方和越小,故④正确.综上可得,正确说法的序号为②④解答必刷卷(六)1.解:(1)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).2.解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少为80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多为79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.)(2)由茎叶图知m==80.列联表如下:(3)由于K2=-=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.3.解:(1)B地区用户满意度评分的频率分布直方图如图.通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记C A表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;C B表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(C A)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(C B)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.4.解:(1)因为这80名学生中,有12名学生的成绩等级为B,所以该校高二年级学生成绩等级为B的概率为=,则估计该校高二年级学生成绩等级为B的人数为1000×=150.(2)这80名学生成绩等级对应的平均分为×[9×5+12×4+31×3+22×2+6×1]=2.95(分),因为2.95<3,所以该校高二年级此阶段教学未达标.(3)依题意,抽样比例为=,则从成绩等级为A的学生中抽取3人,设这3人为x,y,z,从成绩等级为B 的学生中抽取4人,设这4人为a,b,c,d.从7人中抽取2人,有(x,y),(x,z),(x,a),(x,b),(x,c),(x,d),(y,z),(y,a),(y,b),(y,c),(y,d),(z,a),(z,b),(z,c),(z,d),(a,b),(a,c),(a,d ),(b,c),(b,d),(c,d),共21种可能.其中恰好抽到1人成绩等级为A的有(x,a),(x,b),(x,c),(x,d),(y,a),(y,b),(y,c),(y,d),(z,a),(z,b),(z,c),(z,d),共12种可能.则所求概率P==.5.解:(1)由题意知样本容量为20,频率分布表如下:则频率分布直方图为(2)因为(1)中[30,40]的频率为+=,所以1名女生累计观看冬奥会时长不少于30 h的概率为.(3)因为(1)中[0,20)的频率为,故可估计100名女生中累计观看冬奥会时长小于20 h的人数是100×=40.2×2列联表如下:则K2的观测值k=-≈7.143>6.635,所以有99%的把握认为“该校学生累计观看冬奥会的时长是否小于20 h与性别有关”.。