最优人教版高一数学模块综合检测及答案A

模块综合检测时间：分钟分值：分一、选择题：本大题共题，每题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．已知集合＝{<<}，＝{≤}，则∩等于( )．() ．(]．() ．(]答案：解析：＝{<<}＝{<<}，＝{≤}所以∩＝{<≤}．如果幂函数()＝α的图象经过点(，)，则()的值等于( )答案：解析：由α＝得α＝－，故()＝＝.．函数＝的定义域是( )．(－，＋∞)．[－，＋∞)．(－)∪(，＋∞)．[－)∪(，＋∞)答案：解析：要使函数有意义，需(\\(＋>－≠，))解得>－且≠.∴函数定义域为(－)∪(，＋∞)．．设()＝(\\(－，＜，(－(，≥，)))则[()]的值为( )．．．．答案：解析：[()]＝()＝，故选.．函数＝＋(－≤≤)的值域是( )．[] ．[－，]．[－，] ．[，]答案：解析：画出函数＝＋(－≤≤)的图象，由图象得值域是[－，]，故选.．函数()＝(\\(＋－，≤，－，＞))的所有零点之和为( )．．．．答案：解析：当≤时，令＋－＝，解得＝－；当＞时，令－＝解得＝，所以已知函数所有零点之和为－＋＝.．三个数，的大小顺序是( )．＜＜．＜＜．＞＞．＞＞答案：解析：∵＞＝＜＜，＜＜＝，∴＞＞.．函数()＝(＋)是奇函数，则实数等于( )．－．－．．－或答案：解析：(法一)(－)＝(＋)＝－()，∴(－)＋()＝，即[(＋)(＋)]＝，∴＝－.(法二)由()＝得＝－.．某种生物的繁殖数量(只)与时间(年)之间的关系式为＝(＋)，设这种生物第一年有只，则第年它们发展到( )．只．只．只．只答案：解析：由题意得＝(＋)，∴＝，∴第年时，＝(＋)＝.．函数()＝(－)的大致图象是( )答案：解析：∵(－)＝(－)[(－)－]＝－(－)＝－()∴＝(－)为奇函数，排除、.又<<时，<.故选.．已知()是上的偶函数，且满足(＋)＝()，当∈()时，()＝＋，则()等于( )．．－．．－答案：解析：由条件知()＝(－＋)＝(－)．又因为(－)＝()，当∈()时，()＝＋，所以()＝.所以()＝(－)＝()＝.．函数()＝(\\((＜(，,(－(＋(≥())满足对任意≠，都有＜成立，则的取值范围是( ) ．(，) ．(，]．() ．[，＋∞)答案：解析：由题意知()在上是减函数，∴＜＜，又－＋≤≤，≤，∴＜≤.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．已知函数()对任意，∈，都有(＋)＝()＋()，且()＝，则(－)等于．答案：－解析：由题意得()＝()＋()∴()＝.又(－)＝()＋(－)＝∴()为奇函数．()＝()＋()＝∴()＝，则(－)＝－.．若函数()＝(＋)(>，且≠)的定义域和值域都是[]，则的值是．答案：解析：∵≤≤，∴≤＋≤，又函数()值域[]，∴>，∴()＝(＋)＝，∴＝.．对于任意实数、，定义{，}＝(\\(，≤，＞)).设函数()＝－＋，()＝，则函数()＝{()，()}的最大值是．。

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或x>3}，则A∩B＝( )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}2．(2024·河北辛集中学月考)若幂函数f(x)]＝xα的图象经过点，则α的值为( )A．2 B．－2C．D．－3．(2024·湖北武汉期末)已知函数f(x)]＝x－e－x的部分函数值如表所示：x 10.50.750.6250.562 5f(x)0.632 1－0.106 50.277 60.089 7－0.007那么函数f(x)]的一个零点的近似值(精确度为0.01)为( )A．0.55 B．0.57C．0.65 D．0.74．(2024·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2024·福建厦门双十中学月考)将y＝图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)] 的图象，再将y＝g(x)]图象向左平移，得到y＝φ(x)]的图象，则y＝φ(x)]的解析式为( )A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 9x D．y＝sin6．(2024·山东青岛期末)在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1 ，点P从初始位置(0，1)起先，在圆C上按逆时针方向，以角速度rad/s均速旋转3 s后到达P′点，则P′的坐标为( )A．B．C．D．7．(2024·浙江杭州四中期末)已知实数x，y，z满意x＝40.5，y＝log53，z＝sin ，则( )A．z<x<y B．y<z<xC．z<y<x D．x<z<y8．(2024·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·山东新泰一中期末)下列结论中正确的是( )A．若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，且a<b，则<C.若>，则a>bD．当x>0时，x＋的最小值为210．(2024·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )A．sin B．sinC．cos D．cos11．(2024·浙江省杭州七中期末)已知函数f(x)]＝sin ，则fA．是奇函数B．是偶函数C．关于点(π，0)成中心对称D．关于点成中心对称12．(2024·山东泰安期末)已知f(x)]是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是( )A．f(x)]在(0，＋∞)上单调递减B．f(x)]最多有两个零点C．f(log0.53)>f(log25)D．若实数a满意f(2a)>f，则a<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2a＝3b＝，则＋的值为________．14．的值为________．15．(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)]＝ax2＋bx＋c，满意不等式f(x)]<0的解集为(－∞，－2)∪(t，＋∞)，且f(x－1)为偶函数，则实数t＝________．16．某化工厂产生的废气必需经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·e t ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量)．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还须要过滤n小时，则正整数n的最小值为________(参考数据：log52≈0.43)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·浙江高校附属中学期末)(1)计算：＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；(2)已知tan α＝2，求cos ·cos(π－α)的值．18．(本小题满分12分)(2024·山东临沂期末)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)求实数a的取值范围，使________成立．从①A⊆∁R B，②B⊆∁R A，③(∁R A)∩B＝∅中选择一个填入横线处求解．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin2x＋cos x－2.(1)求函数f(x)的零点；(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．20．(本小题满分12分)(2024·湖北华中师大一附中期末)函数f(x)]＝－sin2x＋sin x cos x.(1)若f＝－＋，α∈(0，π)，求sin α；(2)若函数y＝f(ω)(0<ω<3)的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围(不须要证明唯一性)．21．(本小题满分12分)(2024·湖北沙市中学期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满意5≤t≤20，t∈N.经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满意：p(t)＝其中t∈N.(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．(本小题满分12分)(2024·山东烟台期末)已知函数f(x)＝4log2x＋，g(x)＝m·4x ＋2x+1－m，m<0.(1)求函数f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1，2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)＋g(x2)>7成立，求实数m的取值范围．模块综合测评1．A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2x－1}．]2．C [由已知可得f (3)＝3α＝，解得α＝．故选C．]3．B [函数f (x)＝x－在R上单调递增，由数表知：f (0.5) f (0.562 5)0 f (0.625) f (0.75) f (1)，由函数零点存在定理知，函数f (x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，所以函数f (x)的一个零点的近似值为0.57．故选B．]4．A [sin x＝1，x＝＋2kπ，k∈Z，cos x＝0，x＝＋kπ，k∈Z；sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件，故选A．]5．A [将y＝sin 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象，再将y＝g(x)图象向左平移，得到φ(x)＝sin＝sin x的图象，故选A．]6．D [点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3 s后点P按逆时针方向旋转到达P′点，点P′落在角β＝＋3×的终边上，cos β＝cos ＝－cos ＝－，sin β＝sin ＝－sin ＝－，故P′的坐标为．故选D．]7．C [x＝40.5＝>1，0＝log51y＝log53log55＝1，z＝sin 0，综上所述，故z y x．故选C．]8．C [f (x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x．选项A中：2x∈，此时f (x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈，此时f (x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈，此时f (x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈，此时f (x)先递减后递增，D错误．故选C．]9．AC[对于A，若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3－＝(A＋B)－ab(A＋B)＝(A＋B)(a－b)2>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，且a<b，则－＝>0，所以>，故B错误；对于C，因为>，又c2>0，故a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，故D错误．故选AC．] 10．BC[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin ．由于y＝sin ＝sin ＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos ＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将代入，得sin ＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin ＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC．]11．BD[因为f ＝sin ＝sin ＝cos x，故函数f 为偶函数，因为函数f 的对称中心坐标为，所以函数f 的图象关于点成中心对称．故选BD．]12．ACD[因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；函数零点个数无法确定，故B错误；f ＝f (log23)，因为log23<log25，所以f (log23)>f (log25)，故C正确；若实数a满意f (2a)>f ，即f (2a)>f ，则2a<＝，解得a<，故D正确．故选ACD．]13．2 [因为2a＝3b＝，所以a＝log2，b＝log3，所以＋＝＋＝＋＝＝2．]14．1 [原式＝＝＝＝1．]15．0 [依据解集易知：a<0 ，由f (x－1)为偶函数，可得f (x)关于直线x＝－1对称，即b－2a＝0．易知ax2＋bx＋c＝0的两根为t，－2，则依据根与系数的关系可得t－2＝－＝－2，解得t ＝0．]16． 4 [明显，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝4%P0，则有P0＝P0·e4ln k，于是得k4＝，而k>0，解得k＝，设经过m小时后能够按规定排放废气，则有P0·e m ln k≤0.25%P0⇔k m≤，即≤⇔≥400⇔m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44，于是得还须要过滤时间n＝m－4≥3.44，则正整数n的最小值为4．所以k＝，正整数n的最小值为4．]17．解：(1)＋log23·log34＋lg 2＋lg 50＝＋log23×2log32＋lg 100＝＋2＋2＝．(2)cos ·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝＝＝－．18．解：(1) A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0<x－1<4}＝{x|1<x<5}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)][x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1<x<a＋1}，当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，所以A∪B＝{x|0<x<5}．(2)由(1)知，A＝{x|1<x<5}，B＝{x|a－1<x<a＋1}，所以∁R A＝{x|x≤1或x≥5},∁R B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．若选①，A⊆∁R B，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选②，B⊆∁R A，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选③，(∁R A)∩B＝∅，则解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．19．解：(1)由sin2x＋cos2x＝1得：f (x)＝－2cos2x＋cos x，令f (x)＝0，解得cos x＝0或cos x＝，当cos x＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；当cos x＝时，x＝2kπ±，k∈Z．所以函数f (x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z．(2)因为f (x)＝－2cos2x＋cos x，令cos x＝t，则f (x)＝g(t)＝－2t2＋t，因为f (x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1(等号可取)，解得－≤t≤1(等号可取)，即－≤cos x≤1(等号可取)，因为x∈，且cos ＝－，由－≤cos x≤1(等号可取)，x∈可得－≤α<．所以α的取值范围为．20．解： f (x)＝－sin2x＋sin x cos x＝－＋＝sin －．(1)由f ＝－＋，∴sin ＝，∵α∈(0，π)，∴<α＋<π．又sin ＝<＝sin ，∴<α＋<π，∴cos ＝－．故sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝．(2) y＝f (ωx)＝sin －，设t＝2ωx＋，由x∈，则t∈，由0<ω<3，则<＋<，<ωπ＋<，由题意y＝sin t－，在t∈时，有且仅有一条经过最高点的对称轴，即y＝sin t－的对称轴x＝或x＝仅有一条在定义域内．所以或解得<ω<或<ω<．又0<ω<3，故ω的取值范围为∪．21．解：(1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．(2)∵y＝－10，∴当5≤t<10时，y＝－10＝110－，任取5≤t1<t2≤6，则y1－y2＝－＝6(t2－t1)＋－＝6(t2－t1)＋＝，∵5≤t1<t2≤6，∴t2－t1>0，25<t1t2<36，∴y1－y2<0，∴函数y＝110－在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10)上单调递减，∴当t＝6时，y取得最大值38；当10≤t≤20时，y＝－10＝－10，该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．解：(1)当x∈(1，＋∞)时，log2x>0，所以4log2x ＋≥ 2＝4，当且仅当4log2x ＝，即x ＝时，等号成立，所以，函数f (x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4．(2)g(x)＝m·4x＋2x+1－m＝m(2x)2＋2·2x－m，x∈[1，2]，令2x＝t，则上述函数化为y(t)＝mt2＋2t－m，t∈[2，4]．因为m<0，所以对称轴t ＝－>0，当－≤2，即m ≤－时，函数y(t)在[2，4]上单调递减，所以当t＝2时，y max＝3m＋4；当2<－<4，即－<m<－时，函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以y max＝y＝－m －；当－≥4，即－≤m<0时，函数g(t)在[2，4]上单调递增，所以y max＝y(4)＝15m＋8．综上，当－≤m<0时，g(x)的最大值为15m＋8；当－<m<－时，g(x)的最大值为－m －；当m ≤－时，g(x)的最大值为3m＋4．(3)对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)＋g(x2)>7成立，等价于g(x2)>7－f (x1)成立，即g(x)max>[7－f (x)]max，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，[7－f (x)]max＝7－f (x)min，因此，只须要g(x)max>3．所以当－≤m<0时，15m＋8>3，解得m>－，所以－≤m<0；当－<m<－时，－m －>3，解得m <或<m<0，所以，<m<－；当m ≤－时，3m＋4>3，解得m>－，此时解集为空集．综上，实数m 的取值范围为<m<0．。

一、 选择题（每小题5分，共60分）1.设集合A 二{3的倍数}, B 二{2的倍数}・则AUB 是（ ）.A. {偶数}B. {被2或3整除的数}C. {6的倍数}D. {2和3的公倍 数}2•若 U 二 R,集合 A 二{x I xNl,或 x<-l},B 二{x I xW-l}・则 BQ （C L A ）为（ ）.A. 0B. {x | x<-l}C. {x | —lWx 〈l}D. {-1}3.已知集合A={x | aTWxWa+2}, B={x | 3<x<5}.则能使AoB 成立的实数a p 二 07. 若集合A 二{x | kx?+4x+4二0, XGR}只有一个元素.则集合A 中实系数k 的值为 （ ）・A. 1B. 0C. 0或1D.以上答案 都不对8. 已知集合A={x | -2<x<4） ,B={x | x^a}，若AGB 二0,且AUB 中不含元素6•则 下列值中a 可能是（ ）.A. 4B. 5C. 6D. 7 9•已知集合A, B, C 满足A 尝古则下列各式中错误的是( ).A. (AUB^ CB. AAC $C. A (BPC) 隅(AUC) B的取值范圉是（A. {a I 3<aW4} 4. 满足条件MU {2, 3} = {1, 2, 3}的集合M 的个数是（A. 1B. 25. 下列集合中，只有一个子集的集合是（ A. {x | x'WO} B. {x I x'WO}6•已知集合A 、B 、C 为非空集合，M 二AQC, A. 一定有 c n p=c B . 一定有 c n P =P)・ B. {a I C ・{a I 3<a<4}C. 3 )・C. {x | x 2<0} N=BAC, P=MU Nc. 一定有 cnp=cup )・ D. 0 D. 4 D. {x | x 3<0} ( )・ D.—定有CQ 10.设全集I 二{（x, y) I x, yWR},集合 M 二{(x, y) N 二{(x, y) | y Hx+1}・那么Ci (M UN)等于(A. 0B. {(2, 3)}D. {(x, y) | y 二x+1} ). C. (2, 3)11.已知1］二匕 A={x | x>3 V2 }, a=—— ・贝lj (2-V3 ).A. a c Ci AB. Ci AC. {a} G A C.A12 •设A,B非空集合，且A QB二0,若M二{A的子集},W二{x | x 15}・则（).A.MPW= 0B. APB^MUW c.Mnw={ 0 } D. AUB^MnW二、填空题(每小题4分，共16分)13•方程x2-3ax + 2a2=0 (aHO)的解集为______________________________ 。

模块综合测试一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{2，2k }，若B ⊆A ，则实数k 的值为( D )A ．1或2 B.12 C ．1 D ．2解析：∵集合A ＝{1,2}，B ＝{2，2k }，B ⊆A ，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知2k ＝1，解得k ＝2.故选D.2．设U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则图中阴影部分所示的集合为( D )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪(∁U S )C ．(M ∩P )∪SD ．(M ∩P )∩(∁U S )解析：由题图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中，故阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁U S )．3．已知锐角α的终边上一点P (sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝( B )A ．80°B ．70°C ．20°D ．10°解析：点P 到坐标原点的距离为sin 240°＋(1＋cos40°)2＝2＋2cos40°＝2＋2×(2cos 220°－1)＝2cos20°，由三角函数的定义可知cos α＝sin40°2cos20°＝2sin20°cos20°2cos20°＝sin20°.∵点P 在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°.故选B.4．lg2－lg 15－e ln2－(14)－12 ＋(－2)2的值为( A )A ．－1 B.12 C ．3 D ．－5解析：原式＝lg2＋lg5－2－2＋2＝lg10－2＝1－2＝－1.故选A.5．设角α＝－35π6，则2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋sin (π－α)－cos 2(π＋α)的值为( D )A.12B.32C.22D. 3解析：因为α＝－35π6，所以2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋sin (π－α)－cos 2(π＋α)＝2sin αcos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos αsin α＝cos (－35π6)sin (－35π6)＝cos π6sin π6＝3.故选D.6．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12 a ，(12)b ＝log 12 b ，(12)c ＝log 2c ，则( A )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：因为a ，b ，c 均为正数，所以由指数函数和对数函数的单调性得log 12 a ＝2a >1⇒0<a <12，log 12b ＝(12)b ∈(0,1)⇒12<b <1，log 2c ＝(12)c >0⇒c >1，所以a <b <c ，故选A.7．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( D )A ．f (x )在(0，π2)上单调递增B ．f (x )在(π4，3π4)上单调递减C ．f (x )在(π4，3π4)上单调递增D ．f (x )在(π2，π)上单调递增解析：f (x )＝2cos(ωx ＋φ－π4)，因为T ＝π，所以ω＝2.又因为f (－x )＝f (x )，|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2cos2x ，经检f (x )在(π2，π)上单调递增，故选D.8．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象可以是( D )解析：因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图象在(－∞，0)内有交点，观察题中图象可知只有D 中图象满足要求．9．若函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则a 的取值X 围为( D )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,4]C ．[－4,4)D ．[－4,4]解析：令t ＝x 2－ax ＋3a >0，则y ＝log 12t ，由t ＝x 2－ax ＋3a 图象的对称轴为直线x ＝a 2，且y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，可得t ＝x 2－ax ＋3a 在区间(2，＋∞)上为增函数，则2≥a 2，4－2a ＋3a ≥0，解得a ∈[－4,4]，故选D.10．如果将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，函数g (x )＝cos(2x －π6)的图象向右平移φ个单位长度后，二者能够完全重合，则φ的最小值为( C )A.π3B.2π3C.π12D.5π12解析：将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y ＝sin[2(x ＋φ)]＝sin(2x ＋2φ)的图象，将函数g (x )＝cos(2x －π6)的图象向右平移φ个单位长度后，可得函数y ＝cos[2(x －φ)－π6]＝cos(2x －2φ－π6)＝sin[π2－(2x －2φ－π6)]＝sin(2π3－2x ＋2φ)＝sin(2x －2φ＋π3)的图象．二者能够完全重合，由题意可得2x ＋2φ＝2x －2φ＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝12k π＋π12(k ∈Z )，又φ>0，故当k ＝0时，φmin ＝π12.故选C.11．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (13)＝0，则满足f (log 18x )>0的x 的取值X 围是( B )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)解析：由题意知f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，所以f (|log 18x |)>f (13)．因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以|log 18x |>13，又x >0，解得0<x <12或x >2.12．具有性质f (1x )＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换．给出下列函数：①y ＝ln 1－x 1＋x ；②y ＝1－x 21＋x 2；③y ＝⎩⎨⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的是( C )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：①f (1x )＝ln 1－1x 1＋1x＝ln x －1x ＋1，－f (x )＝－ln 1－x 1＋x ＝ln 1＋x 1－x ，f (1x )≠－f (x )，不满足“倒负”变换．②f (1x )＝1－(1x )21＋(1x )2＝x 2－1x 2＋1＝－1－x 21＋x 2＝－f (x )，满足“倒负”变换． ③当0<x <1时，1x >1，f (x )＝x ，f (1x )＝－x ＝－f (x )；当x >1时，0<1x<1，f (x )＝－1x ，f (1x )＝1x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x ＝1，f (x )＝0，f (1x )＝f (1)＝0＝1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上，②③是符合要求的函数，故选C.二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是[－3,1]．解析：要使函数有意义，必须使3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，∴－3≤x ≤1.14．如图所示，已知A ，B 是单位圆上两点且|AB |＝3，设AB 与x 轴正半轴交于点C ，α＝∠AOC ，β＝∠OCB ，则sin αsin β＋cos αcos β＝32.解析：由题意得∠OAC ＝β－α，因为A ，B 是单位圆上两点且|AB |＝3，所以sin αsin β＋cos αcos β＝cos(β－α)＝cos ∠OAC ＝12|AB |1＝32.15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么函数y ＝f (f (x ))－1的零点的个数为2.解析：当x ≤0时，f (f (x ))＝f (2x )＝log 22x ＝x ；当0<x ≤1时，f (f (x ))＝f (log 2x )＝2log 2x ＝x ；当x >1时，f (f (x ))＝f (log 2x )＝log 2(log 2x )．所以由f (f (x ))＝1得x ＝1，或x ＝4，即函数有2个零点．16．给出以下四个命题：①若集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，A ＝B ，则x ＝1，y ＝0； ②若函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)；③函数f (x )＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)；④若f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 014)f (2 013)＋f (2 016)f (2 015)＝2 016.其中正确的命题有①②.(写出所有正确命题的序号)解析：①由A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，A ＝B 可得⎩⎨⎧ y ＝0，x ＝x 2或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝x 2.(舍)故x ＝1，y ＝0正确；②由函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数f (2x ＋1)中x 应满足－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0，即函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，正确；③函数f (x )＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不能用并集符号，错误；④由题意f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 014)f (2 013)＋f (2 016)f (2 015)＝f (1)·f (1)f (1)＋f (3)·f (1)f (3)＋…＋f (2 013)·f (1)f (2 013)＋f (2 015)·f (1)f (2 015)＝f (1)＋f (1)＋…＋f (1)＝1＋1＋…＋1＝1 008，错误．三、解答题(共70分)17．(本小题10分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tan α的值； (2)若cos αcos β＋sin αsin β＝0，求sin(α＋β)的值．解：(1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825. (2)∵cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0，且0<β<α<π，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，log a x ，x >0，且点(4,2)在函数f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(2)求不等式f (x )<1的解集；(3)若方程f (x )－2m ＝0有两个不相等的实数根，某某数m 的取值X 围．解：(1)∵点(4,2)在函数的图象上，∴f (4)＝log a 4＝2，解得a ＝2.∴f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2，x ≤0，log 2x ，x >0.函数的图象如图所示．(2)不等式f (x )<1等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x <1或⎩⎨⎧ x ≤0，x ＋2<1，解得0<x <2或x <－1，∴原不等式的解集为{x |0<x <2或x <－1}．(3)∵方程f (x )－2m ＝0有两个不相等的实数根，∴函数y ＝2m 的图象与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点．结合图象可得2m ≤2，解得m ≤1.∴实数m 的取值X 围为(－∞，1]．19．(本小题12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈[－π2，5π12]时，求函数y ＝f (x ＋π12)－2f (x ＋π3)的最值．解：(1)由题图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π，∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.由f (116π)＝0，得A sin(116π＋φ)＝0，∴116π＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－116π，k ∈Z .∵0<φ<π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由f (0)＝2，得A sin φ＝2，∴A ＝4.∴f (x )＝4sin(x ＋π6)． (2)将f (x )＝4sin(x ＋π6)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝4sin(2x ＋π6)的图象，再将图象向右平移π6个单位长度得到g (x )＝4sin[2(x －π6)＋π6]＝4sin(2x －π6)的图象．由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)y ＝f (x ＋π12)－2f (x ＋π3)＝4sin[(x ＋π12)＋π6]－2×4sin[(x ＋π3)＋π6]＝4sin(x ＋π4)－42sin(x ＋π2)＝4(sin x cos π4＋cos x sin π4)－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin(x －π4)．∵x ∈[－π2，512π]，∴x －π4∈[－34π，π6]，∴sin(x －π4)∈[－1，12]，∴4sin(x－π4)∈[－4,2]，∴函数的最小值为－4，最大值为2.20．(本小题12分)某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元．该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人，将有一名职工下岗)．据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机器人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台，则工厂的年利润y ＝8 202＋lg x 万元(x 为机器人台数且x <320)．(1)写出工厂的年利润y 与购进智能机器人台数x 的函数关系．(2)为获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？(参考数据：lg2≈0.301 0)解：(1)当购进智能机器人台数x ≤100时，工厂的年利润y ＝(320－x )(20＋0.2x )－4x －2x ＝－0.2x 2＋38x ＋6 400，∴y ＝⎩⎨⎧ －0.2x 2＋38x ＋6 400，0≤x ≤100，x ∈N ，8 202＋lg x ，100<x <320，x ∈N .(2)由(1)知，当0≤x ≤100时，y ＝－0.2(x －95)2＋8 205， 当x ＝95时，y max ＝8 205；当x >100时，y ＝8 202＋lg x 为增函数，8 202＋lg x <8 202＋lg320＝8 202＋1＋5lg2≈8 204.505<8 205.综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时的最大年利润为8 205万元．21．(本小题12分)已知函数f (x )＝1x 2－x 是定义在(0，＋∞)上的函数．(1)用定义法证明函数f (x )的单调性；(2)若关于x 的不等式f (x 2＋2x ＋m x)<0恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)证明：任取0<x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)＝(1x 21－x 1)－(1x 22－x 2)＝x 22－x 21x 21x 22＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1x 21x 22＋1)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1x 21x 22＋1>0，即f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)． 故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f (x )在其定义域内是减函数，且f (1)＝0，∴当x ∈(0，＋∞)时，原不等式恒成立等价于f (x 2＋2x ＋m x)<f (1)恒成立，即x 2＋2x ＋m x>1恒成立，即m >－x 2－x . ∵当x ∈(0，＋∞)时，－x 2－x ＝－(x ＋12)2＋14<0，∴m ≥0，即实数m 的取值X 围是[0，＋∞)．22．(本小题12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f (x )＝g (x )x .(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]时恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，当a >0时，g (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎨⎧ g (2)＝1，g (3)＝4，即⎩⎨⎧4a －4a ＋1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝0. 当a <0时，g (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎨⎧ g (2)＝4，g (3)＝1，即⎩⎨⎧4a －4a ＋1＋b ＝4，9a －6a ＋1＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝3. ∵b <1，∴a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知，g (x )＝x 2－2x ＋1，f (x )＝x ＋1x －2. 不等式f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x＋12x －2≥k ·2x ，即1＋(12x )2－22x ≥k .令12x ＝m ，则k ≤m 2－2m ＋1.∵x ∈[－1,1]，∴m ∈[12，2]．记h (m )＝m 2－2m ＋1，则h (m )min ＝0.∴k ≤0. ∴k 的取值X 围是(－∞，0]．。

模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U={x|x<6,且x ∈N *},集合A={1,3},B={3,5},则∁U (A ∪B )等于( ) A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}解析:由已知可得U={1,2,3,4,5},A ∪B={1,3,5},故∁U (A ∪B )={2,4}. 答案:C2.函数y=-1+l og 14x (x ≥4)的值域是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,0]C.[-2,+∞)D.[2,+∞)解析:∵函数y=-1+l og 14x 在[4,+∞)上单调递减,∴y ≤-1+l og 144=−2,∴所求函数的值域为(-∞,-2].答案:A3.函数y =√3x -1+1x -1的定义域为( ) A.(-∞,0] B.[1,+∞) C.[0,1)D.[0,1)∪(1,+∞)解析:函数有意义时{3x -1≥0,x -1≠0,解得x ≥0,且x ≠1.故函数定义域为[0,1)∪(1,+∞).答案:D4.下列函数中,在区间(0,+∞)内是增函数的是()A.y=x2-2xB.y=(12)x C.x=logπx D.x=x-12解析:对于A,函数y=x2-2x在区间(0,1)内递减,在(1,+∞)内递增,故A不正确,B,D在(0,+∞)内为减函数;对于C,因为π>1,所以y=logπx在(0,+∞)内为增函数.答案:C5.函数f(x)=e x−1x的零点所在的区间是()A.(0,12)B.(12,1)C.(1,32)D.(32,2)解析:∵x(12)=e12−2<0,x(1)=e−1>0,∴x(12)·f(1)<0,∴函数f(x)=e x−1x的零点所在的区间是(12,1).答案:B6.设a=70.3,b=0.37,c=log70.3,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a解析:∵a=70.3>1,0<b=0.37<1,c=log70.3<0,∴c<b<a.答案:B7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,y=f(x)是减函数,若|x1|<|x2|,则()A.f(x1)-f(x2)<0B.f(x1)-f(x2)>0C.f(x1)+f(x2)<0D.f(x1)+f(x2)>0解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f (x )的图象关于y 轴对称.又当x<0时,y=f (x )是减函数,∴当x>0时,y=f (x )是增函数. ∴当|x 1|<|x 2|时,f (|x 1|)<f (|x 2|),即f (x 1)<f (x 2),即f (x 1)-f (x 2)<0. 答案:A8.已知一次函数f (x )=kx+b 的图象过第一、第二、第三象限,且f (f (x ))=9x+8,则f (2)等于( ) A.-10B.-4C.2D.8解析:∵f (x )=kx+b ,∴f (f (x ))=k (kx+b )+b=k 2x+kb+b.又f (f (x ))=9x+8,∴{x 2=9,xx +x =8,解得{x =3,x =2或{x =-3,x =-4.∴f (x )=3x+2或f (x )=-3x-4.又f (x )的图象过第一、二、三象限,∴f (x )=3x+2,∴f (2)=8.答案:D9.已知函数f (x )=log a (2x+b-1)(a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则a ,b 满足的关系是( )A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析:由题图,可知函数f(x)在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log a b),由题图可知-1<log a b<0,得a-1<b<1.综上,0<a-1<b<1,选A.答案:A10.给出下列集合A到集合B的几种对应:其中,是从A到B的映射的有()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④解析:根据映射的定义知,③中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x,y,则此对应不是映射;④中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素,则此对应也不是映射.仅有①②符合映射的定义,故①②是映射.答案:A11.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p%为()A.10%B.12%C.25%D.40%解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1000×2%=180(万元),纳税180·p %万元, 共纳税300·p %+180·p %=120(万元), 故p %=25%. 答案:C12.如果函数f (x )对其定义域内的任意两个实数x 1,x 2都满足不等式x (x 1+x 22)<x (x 1)+x (x 2)2,那么称函数x (x )在定义域上具有性质x .给出函数:①x =√x ;②x =x 2;③x =2x ;④x =log 2x .其中具有性质x 的是( ) A.①②B.②③C.③④D.①④解析:分别画出它们的图象,可知函数y =√x 与函数y=log 2x 满足x (x 1+x 22)>x (x 1)+x (x 2)2;函数y=x 2与函数y=2x满足x (x 1+x 22)<x (x 1)+x (x 2)2.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若幂函数f (x )的图象过点(3,√274),则x (x )的解析式是____________________.解析:设f (x )=x α,则由已知得3α=√274=334,∴α=34,∴x (x )=x 34.答案:f (x )=x 3414.已知f (x )={x 2+1,x ≤0,-2x ,x >0,则x (x (1))=___________________.解析:∵f (1)=-2,∴f (f (1))=f (-2)=(-2)2+1=5.答案:515.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,并且当x ∈(0,+∞)时,f (x )=1+ln x ,则当x<0时,f (x )= . 解析:设t<0,则-t>0.∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )=1+ln x , ∴f (-t )=1+ln(-t ).又f (x )是定义在R 上的奇函数,∴-f (t )=1+ln(-t ),∴f (t )=-1-ln(-t ). ∴当x<0时,f (x )=-1-ln(-x ).答案:-1-ln(-x )16.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且函数x (x )=x (x )+x −x 有且只有一个零点,则实数x 的取值范围是___________________.解析:由题意可画出函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0的图象,如图所示,函数h (x )=f (x )+x-a 有且只有一个零点,即y=f (x )的图象与y=a-x 的图象有且只有一个交点,显然当a>1时满足条件.答案:(1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算下列各式的值:(1)2-12√2√2-1√(1-√5)0;(2)log 3√27+lg 25+lg 4+7log 72+(−9.8)0. 解:(1)原式=2-12√2√2-1−√1=2-12+2-12+√2+1−1=2×2-12+√2=√2+√2=2√2.(2)原式=log 3332+lg 100+2+1=32+2+2+1=132.18.(12分)设全集是实数集R ,集合A={x|y=log a (x-1)+√3-x },x ={x |2x +x ≤0}. (1)当m=-4时,求A ∩B 和A ∪B ; (2)若(∁R A )∩B=B ,求实数m 的取值范围.解:(1)由{x -1>0,3-x ≥0,得1<x ≤3,即集合A=(1,3];由2x-4≤0,得2x≤22,x ≤2, 即集合B=(-∞,2].故A ∩B=(1,2],A ∪B=(-∞,3]. (2)由(1)得∁R A={x|x>3,或x ≤1}.∵(∁R A )∩B=B ,∴B ⊆∁R A. ①若B=⌀,则m ≥0;②若B ≠⌀,则m<0,∴2x ≤-m.∴x ≤log 2(-m ). ∵B ⊆∁R A ,∴log 2(-m )≤1,即log 2(-m )≤log 22,因此0<-m ≤2,-2≤m<0.综上所述,实数m 的取值范围是[-2,+∞).19.(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (单位:万元)与年产量x (单位:吨)之间的函数解析式可以近似地表示为y =x 25−48x +8 000,已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时,其生产的总成本最低?最低成本是多少?(2)如果每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)由y =x 25−48x +8000=15(x −120)2+5120(0≤x ≤210),所以当年产量为120吨时,其生产的总成本最低,最低成本为5120万元. (2)设该工厂年获得总利润为f (x )万元,则f (x )=40x-y=40x −x 25+48x −8000=−x 25+88x −8000=−15(x −220)2+1680(0≤x ≤210).因为f (x )在区间[0,210]上是增函数,所以当x=210时,f (x )有最大值为−15(210−220)2+1680=1660.故当年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.20.(12分)已知函数f (x )是定义在区间[-1,1]上的奇函数,若当x ,y ∈[-1,1],x+y ≠0时,有(x+y )·[f (x )+f (y )]>0. (1)比较x (12)与x (13)的大小;(2)判断f (x )的单调性,并加以证明; (3)解不等式x (x +12)<x (1−2x ).解:(1)令x =12,x =−13,因为12+(-13)≠0, 由[12+(-13)][x (12)+x (-13)]>0,得x (12)>−x (-13),所以x (12)>x (13).(2)f (x )在区间[-1,1]上是增函数.证明如下:在区间[-1,1]上任取x 1,x 2,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0.由题意(x 2-x 1)[f (x 2)+f (-x 1)]>0, 因为f (x )为奇函数, 所以(x 2-x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0. 所以f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1). 所以f (x )在区间[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知,f (x )在区间[-1,1]上是增函数, 所以{-1≤x +12≤1,-1≤1-2x ≤1,x +12<1-2x ,解得0≤x <16.即不等式x (x +12)<x (1−2x )的解集为[0,16).21.(12分)设f (x )=l og 121-xxx -1为奇函数,x 为常数.(1)求a 的值;(2)证明f (x )在区间(1,+∞)内单调递增;(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值,不等式f (x )>(12)x+m 恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)∵f (-x )=-f (x ),∴lo g 121+xx-1-x=-lo g 121-xxx -1=lo g 12x -11-xx .∴1+xx -x -1=x -11-xx ,即(1+ax )(1-ax )=-(x+1)(x-1),∴a=-1.(2)由(1)可知f (x )=lo g 12x +1x -1. 任取x 1>x 2>1,则f (x 1)-f (x 2)=lo g 12x 1+1x 1-1-lo g 12x 2+1x 2-1=lo g 12(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1).由x 1>x 2>1易知(x 1+1)(x 2-1)>0,(x 1-1)·(x 2+1)>0,现比较(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)与1的大小.(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)-1=(x 1+1)(x 2-1)-(x 1-1)(x 2+1)(x 1-1)(x 2+1)=2(x 2-x 1)(x 1-1)(x 2+1)<0, 所以0<(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)<1,lo g 12(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)>0,即f (x 1)>f (x 2).故f (x )在区间(1,+∞)内单调递增. (3)设g (x )=lo g 12x +1x -1−(12)x,则g (x )在区间[3,4]上为增函数.∴g (x )>m 对x ∈[3,4]恒成立,∴m<g (3)=-98.∴实数m 的取值范围是m<-98.22.(12分)(1)当m 为何值时,f (x )=x 2+2mx+3m+4.①有且仅有1个零点? ②有2个零点,且均比-1大?(2)若函数F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,求实数a 的取值范围. 解:(1)①若函数f (x )=x 2+2mx+3m+4有且仅有1个零点,则等价于Δ=4m 2-4(3m+4)=0,即4m 2-12m-16=0,即m 2-3m-4=0,解得m=4或m=-1. ②设2个零点分别为x 1,x 2,且x 1>-1,x 2>-1,x 1≠x 2,则x 1+x 2=-2m ,x 1·x 2=3m+4,故只需{x =4x 2-4(3x +4)>0,(x 1+1)+(x 2+1)>0,(x 1+1)(x 2+1)>0⇔{x 2-3x -4>0,-2x +2>0,3x +4+(-2x )+1>0⇔{x <-1或x >4,x <1,x >-5.故m 的取值范围是-5<m<-1.(2)F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,即|4x-x 2|+a=0有4个实数根,即|4x-x 2|=-a 有4个实数根.令g (x )=|4x-x 2|,h (x )=-a.在同一坐标系中作出g (x )和h (x )的图象,如图所示.由图象可知要使|4x-x 2|=-a 有4个实数根,则需g (x )的图象与h (x )的图象有4个交点, 故0<-a<4,即-4<a<0.所以实数a 的取值范围为-4<a<0.。

模块综合检测时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共 12题，每题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有 题目要求的.1.已知集合 A= {x|0<log 4X<1} , B = {x|xW2},则 An B 等于() A. (0,1) B. (0,2]C. (1,2)D. (1,2]答案：D解析：A= {x|0<log4x<1} ={ x|1<x<4} , B = {x|x< 2}所以 AA B = {x|1<x<2}2 .如果哥函数f(x)=x'的图象经过点(3,坐),则f(8)的值等于() 答案：B3 .函数 y =ig £±l_扁定义域是( )x — 1A . (- 1 ,)B. [-1, +8 )C. (-1,1)U (1 ,+8 )D. [-1,1)U(1,+8 )答案：Cx+ 1>0解析：要使函数有意义，需1 解得x> — 1且x W 1.l x - 1 w 1,，函数定义域为(―1,1)U(1, +8).2e x 1, xv 2,f(x)=l og3(x 2-1 -2, )则伏2)]的值为(A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：f[f(2)] =f(1) = 2,故选 C.5,函数y=x 2+x(-1<x<3)的值域是( ) 解析:a= — 1,故 f(8)= 8 2 =乎.个选项是符合 A.22 B.42c.43 D.234.设1A. [0,12]B. [-4, 12] 1 3C. [ —2p 12]D. [4, 12]答案：B解析：画出函数y=x2+x(—1WxW3)的图象，由图象得值域是[―J 12],故选B.X2 + 2x—3, x<0,6.函数f(x)=< 的所有零点之和为( )lgx — 1 , x> 0A. 7B. 5C. 4D. 3答案：A解析：当x< 0时，令x2+2x-3=0,解得x= —3;当x>0时，令lgx—1 = 0解得x=10,所以已知函数所有零点之和为—3+10=7.7.三个数2°.3，0.32, 10g0.32的大小顺序是( )A. 1og0.32<20.3<0.32B . 20.3< 0.32V 10g0.32C.10g0.32 >2°.3>0.32D.20.3>0.32>log0.32答案：D解析：.••20.3>20=1,0v0.32v1, log0.32vlog0.32vlog0.31 = 0, •. 2°.3>0.32>log0.32.28.函数f(x)=lg(1 ~ + a)是前函数，则头数 a等于( )A . — 3 B. - 1C. 1D. — 1 或 1答案：B2 .2 2.•.f(-x) + f(x) = 0,即 lg[(氐 + a)(：+ a)] = 0，•• a = 1 1.(法二)由 f(0) = 0 得 a=- 1.9.某种生物的繁殖数量y(只)与时间x(年)之间的关系式为y= alog2(x+1),设这种生物第一年有100只, 则第7年它们发展到( )A. 300 只B. 400 只C. 500 只D. 600 只答案：A解析：由题意得 100=alog2(1 + 1),，a= 100,，第 7 年时，y= 10010g2(7+ 1) = 300.解析：(法一)f(—x)= lg(年x +a) = —f(x),10.函数f(x)= x(x2—1)的大致图象是( )答案：A解析：• 1 f(-x)=(-x)[(-x)2- 1] = — x(x2— 1)=— f(x)・•.y=x(x2—1)为奇函数，排除 C、D.又0<x<1时，y<0.故选A.11.已知f(x)是R上的偶函数，且满足 f(x + 4) = f(x),当xC(0,2)时，f(x)=x+1,则f(3)等于( )A. 2B. — 2C. 1D. - 1答案：A解析：由条件知 f(3) = f(-1+4) = f(-1).又因为 f(-1)=f(1),当 xC(0,2)时，f(x) = x+1,所以 f(1)=2.所以 f(3) = f(—1)=f(1)=2.a x112.函数f(x)= " 满足对任意x产x2,都有^一匚‘一)v 0成立，则a的取值范围是(a-3 x+4a (x> 1) x1 一x2( )A. (0, 4)B. (0, 3]C. (0,1)D. [3, i )答案：B3 3解析：由题息知f(x)在R上是减函数，，0vav1,又a —3+ 4a< a,4a< 3, a< 4,，0vaw-.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.已知函数 f(x)对任意 x, yCR,都有 f(x+y) = f(x)+f(y),且 f(2) = 4,则 f(—1)等于.答案：—2解析：由题意得f(0)=f(0)+f(0).•.f(0)=0.又 f(x-x) = f(x)+f(-x)=0・•.f(x)为奇函数.f(2) = f(1)+f(1) = 4.•.f(1)=2,则 f(-1) = - 2.14.若函数f(x) = loga(x+ 1)(a>0,且aw 1)的定义域和值域都是[0,1],则a的值是答案：2解析：0< x< 1, K x+ 1W2,又函数 f(x)值域[0,1],，a>1 ,，f(1)= log a (1 + 1)= 1,a= 2.a, a< b .设函数 f(x)= —x+3, g(x)=log 2x,则函数 h(x) b, a>b =min{ f(x), g(x)}的最大值是答案：116 .已知 y = f(x) + x 是偶函数，且 f(2) = lg32 + log 416+6lg1+lg1,若 g(x)=f(x)+1,贝U g(-2) = 2 5答案：6因为 y= f(x) + x 是偶函数，所以 f( -x) - x= f(x)+x,所以 f(-x) = f(x)+ 2x,所以 g( —2)=f(—2)+1=f(2)+2X2+1 = 6.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 . (10分)求下列各式的值：⑴1.5 葭[-6，+ 80.25X 42+ (32X #)6-\(-亍)；32 2log 5 3(2)2log 32-log 3 丁+ 10g 38 —59. AWB, B = { —2}.，方程 x 2+bx+c= 0 的判别式 A= b 2—4c=0,2b-c= 4, ① b 2-4c=0, ②由①得c= 2b —4,代入②整理得：(b —4)2=0, b= 4, c= 4.19. (12分)函数y=lg(3 —4x+x 2)的定义域为 M, xC M 时，求f(x) = 2*2—3X 4x 的最大值. 解：要使函数y=lg(3-4x+x 2)有意义，需3-4x+ x2>0,解得x< 1或x> 3设t = 2x,则0vtv2或t >8, f(x) = g(t)=4t —3t 2(0vt<2 或 t>8).而 g ⑴= 4t —3t2=— 3(t —刍2+A ，所以当 0V t<2, t=2时,g ⑴取 3 3 3 最大值2当t>8时，g(t)是减函数，所以g(t) v g(8) = — 160.总之，t=4时，g(t)最大为即f(x) = 2"2—3X 4x 3 3 3 的最大值为4.320. (12分)某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出 60个.商店经理到市场 上做了一番调查后发现， 若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售就增加10个.为了每日获得最大利润， 此商品的售价应定为每个多少元？解：设此商品每个售价为 x 元时，每日利润为y 元.当 18Wx<30 时，有 y = [60 - 5(x-18)]( x- 10) = - 5(x- 20)2+500.15.对于任意实数 a 、b,定义 min{ a, b}=解析：依题意，h(x) = iog 2x(0vxw 2)—x+ 3(x>2 j ,结合图象，易知h(x)的最大值为1. 解析: f(2)= lg32 + log 416 + 6lg ；+ lg5T= 5lg2 +2 — 6lg2 -lg5=2-(lg2 + lg5) = 2-1 = 1 解: ⑴原式=即在商品提价时，当x= 20时，每日利润y最大，最大利润是 500元.当 10Vx<18 时，有 y=[60 + 10(18—x)](x— 10) = — 10(x- 17)2+490,即在商品降价时，当x= 17时，每日利润y最大，最大利润是 490元.因为500>490,所以此商品的售价应定为每个20元.21.(12 分)已知函数 f(x)= alog2x- blog1x,其中常数 a, b 满足 abw0. 3(1)若a>0, b>0,证明函数f(x)在定义域内为增函数；(2)若 a=ln(m2+2m+ 3), b= ln10,解不等式 f(3x— 1)<f(x+3).1斛：f(x)= alog2x— blog3x= alog2x+ blog3x,其TE义域为(0, +°° ).(1)任取x1, x2 € (0, +8), x1vx2,则f(x1)一 f(&)= alog2x〔 + blogM — (alog 2x2+ blog a x2)= a(log 2x1 — log2x2)+ b(log3x1 一 log3x2). •-1 0v x〔 vx2且 y= log2x 和 y= log3x在(0, +°° )上为增函数，1 lOg2x1< lOg2K2, lOg3x1< lOg3K2,当 a >0, b>0 时，a (log2x1_log2x2)< 0, b(log3x1 — log3x2)v 0,•• f(x〔)—f(x2)V 0,即 f(x1)Vf(x2),函数 f(x)在(0, )上为增函数.(2)「a=ln(m2+2m+3)=ln[(m+1)2+2]Rln2>ln1 =0, b=ln10>ln1 =0,，由(1)可知函数f(x)在(0, +8 )上为增函数，，3x- 1 >0,•.f(3x—1)wf(x+3)? ^x+3>0, ..Lxw 2,，“二3i3x— 1 w x+ 3,••・原不等式的解集为{xljv x< 2}. 322.(12分)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：①对任意的xC [0,1],总有f(x)>0;② f(1) = 1;③当 x1, x2C[0,1],且 x[+x2C [0,1]时，f(x〔 +*2)>%)+ 可刈成立.称这样的函数为“友谊函数”.请解答下列各题：(1)已知f(x)为“友谊函数”，求 f(0)的值；(2)函数g(x) = 2x—1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；(3)已知 f(x)为“友谊函数”，假定存在x oC [0,1],使得 f(x0)C [0,1],且 f[f(x0)] = x0,求证：f(x0)=x0. 解：(1)令 x1=1, x2= 0,则 x1 + x2= 1 e [0,1].由③，得 f(1)>f(0)+f(1),即 f(0)< 0.又由①，得f(0)>0,所以f(0) = 0.(2)g(x)=2x—1是友谊函数.任取 x1, x2c [0,1], x1 + x2c [0,1],有 2x1>1,2x2>1.则(2x1—1)(2x2—1)>0.即 g(x[ + x2)>g(x1)+g(x2).又 g(1)=1,故g(x)在[0,1]上为友谊函数.⑶证明：取 0Wx1<x2W1,则 0<x2-x1<1.因此，f(x2)>f(x1)+ f(x2 —x1) > f(x1).假设 f(x0)Wx0,若 f(x0)>x0,则 f[f(x0)] >f(x0)>x0.若 f(x0)<x0,则 f[f(x0)]Wf(x0)<x0.都与题设矛盾，因此f(x0) = x0.1 + (23) 4 X2 4+ (2 3)6X (3 1 2)6- [(| )3] 23?■,= [|j3+(23X 2) 4+ 22X 33- ?= 2 + 4X 27= 110.(2)原式=21og32-(1og325-1og332)+ 1og323- 51og 59=210g32 — 510g32 + 210g33 + 310g 32 — 9=2 — 9= - 7.18. (12 分)已知集合 A={x|x2+ax-6=0}, B= {x|x2+bx+c= 0},且 AwB, AUB={-2,3}, AAB = {— 2},求a, b, c的值.解：.An B={ -2} , 2C A 且一2C B,将一2代入方程：x2+ax—6=0中，得a=- 1,从而 A={—2,3}.将一2 代入方程 x2 + bx+c=0,得 2b—c=4.•. AU B = {-2,3}, AU B = A, • . B? A.。

模块综合测试卷班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．－3290°角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：D解析：－3290°＝－360°×10＋310° ∵310°是第四象限角 ∴－3290°是第四象限角2．在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的弧长l 为( ) A.23π B.34π C.56π D．π 答案：A解析：设该弦AB 所对的圆心角为α，由已知R ＝1，∴sin α2＝AB2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π，∴l ＝αR ＝23π.3．下列函数中周期为π2的偶函数是( )A ．y ＝sin4xB ．y ＝cos 22x －sin 22x C ．y ＝tan2x D ．y ＝cos2x 答案：B解析：A 中函数的周期T ＝2π4＝π2，是奇函数．B 可化为y ＝cos4x ，其周期为T ＝2π4＝π2，是偶函数．C 中T ＝π2，是奇函数，D 中T ＝2π2＝π，是偶函数．故选B.4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 答案：A解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3.5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 答案：D解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， 且|AD →|≠|BC →|∴四边形ABCD 是梯形．6．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,2] C ．[1,2] D ．[2，2] 答案：D解析：|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos θ，因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以2＋2cos θ∈[2,4]，所以|a ＋b |的取值范围是[2，2]．7．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A ．－17 B ．7C.17D ．－7 答案：B解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，tan α＝－34， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 8．函数f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2的部分图象是( )答案：C解析：∵f (x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －π2， ∴f (π－x )＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π－x －π2＝2sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－x ＝f (x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．排除A 、B 、D.9．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋2k π，58π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋2k π，π8＋2k π(k ∈Z ) 答案：A解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π≤2x －π4≤π＋2k π，(k ∈Z )得π8＋k π≤x ≤58π＋k π(k ∈Z )时，y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4单调递减．故选A. 10．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案：A解析：因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数图象中相邻的两条对称轴，所以5π4－π4＝T 2，即T2＝π，T ＝2π.又T ＝2πω＝2π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为直线x ＝π4是函数图象的对称轴，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z .因为0<φ<π，所以φ＝π4，检验知，此时直线x ＝5π4也为对称轴．故选A.11．若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)，则|a ＋b |的最小值为( ) A.2－1 B ．2－ 2 C. 2 D ．2 答案：C解析：|a ＋b |＝x 2＋2x ＋≥ 2.12．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33C.539 D ．－69 答案：C解析：∵α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2＝13×33＋223×63＝3＋439＝539. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知|a |＝4，a 与b 的夹角为π6，则a 在b 方向上的投影为__________．答案：2 3解析：由投影公式计算：|a |cos π6＝2 3.14．函数y ＝2sin x cos x －1，x ∈R 的值域是______． 答案：[－2,0]解析：y ＝2sin x cos x －1＝sin2x －1，∵x ∈R ， ∴sin2x ∈[－1,1]，∴y ∈[－2,0]．15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析：由f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，易知：ω＝2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，则f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)①若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是43②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) ③函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 是奇函数④函数y ＝tan x 2－1sin x的最小正周期是π答案：①④解析：①sin y －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，∴sin x ＝－1时，最大值为43.②2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8.③定义域不关于原点对称．④y ＝tan x 2－1sin x ＝－1tan x，∴T ＝π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．解：∵tan α＝y x ＝－34∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.18．(12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋tan A ·sin x (x ∈R )的值域． 解：(1)∵m ·n ＝0， ∴sin A －2cos A ＝0.∴tan A ＝sin Acos A＝2.(2)f (x )＝cos2x ＋tan A sin x ＝cos2x ＋2sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.∵－1≤sin x ≤1∴sin x ＝12时，f (x )取最大值32，sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝2 5，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )．∵|c |＝2 5，∴x 2＋y 2＝2 5，即x 2＋y 2＝20.① ∵c ∥a ，a ＝(1,2)∵2x －y ＝0，即y ＝2x ，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入上式得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－525×52＝－1.又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π.20．(12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)若对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32.(2)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－12(1－cos2x ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋32cos2x ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32.所以对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c .故当对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.21．(12分)已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45， 于是sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2β＝725，又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，∴sin α＝15⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.22．(12分)如图，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2是函数y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ(其中A >0，φ∈[0，π))的图象与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．解：(1)∵函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴sin φ＝12， 又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6.令y ＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π，(k ∈Z )，∴可得x ＝－14，54， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.又∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2，∴PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－A 2，PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－A 2. ∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，解得A ＝52.。

模块综合评价(一)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．设集合＝{≤≤}，为整数集，则集合∩中元素的个数是( )．．．．解析：因为∩＝{，，，，}，所以∩中有个元素．答案：．设集合＝{<<}，＝{<}．若⊆，则的范围是( )．≥．≤．≥．≤解析：在数轴上作出两个集合所在的区间，可知满足⊆的≥.答案：．已知幂函数()＝的图象过点(，)，若()＝，则实数的值为()．±．±．解析：依题意有＝，得＝，所以()＝，当()＝＝时，＝.答案：．设＝，＝，＝，则( )．<<．<<．<<．<<解析：数形结合，画出三个函数的图象．由图象可知<，<<，>，因此<<.答案：．已知∩{－，，}＝{，}，且∪{－，，}＝{－，，，}，则满足上述条件的集合共有( )．个．个．个．个解析：因为∩{－，，}＝{，}，所以，∈且－∉.又因为∪{－，，}＝{－，，，}，所以∈且至多－，，∈.故，∈且至多－，∈，所以满足条件的只能为{，}，{，，－}，{，，}，{，，，－}，共有个．答案：．已知集合＝{＝}，＝{＝＋}，则∩＝( )．∅．[－，]．[－，＋∞) ．[，＋∞)解析：＝{＝}＝{≥－}，＝{＝＋}＝{≥}．所以∩＝[，＋∞)．答案：．设()是上的偶函数，且在(，＋∞)上是减函数，若<，＋>，则( )．(－)>(－)．(－)＝(－)．(－)<(－)．(－)与(－)大小不确定解析：由<，＋>得>－>，又()是上的偶函数，且在(，＋∞)上是减函数，所以(－)＝()<(－)．答案：。

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知＝{>或 <}，＝{＝}，则∩(∁)等于( )．[]．()．[]．∅解析：因为＝{>或<}，所以∁＝[]，又＝{＝}＝[，＋∞)，故∩(∁)＝[]．答案：．已知幂函数＝()的图象过点，则()的值为( )．－．－．解析：设()＝α，则＝α，故α＝，()＝，所以()＝＝.答案：．函数＝的定义域为( )．(，＋∞) ∪(，＋∞)解析：要使函数有意义，则(－)>，∴<－<，∴<<.答案：．函数()＝＋的零点所在的一个区间是( )．(－)．(－，－)．()．()解析：∵(－)·()＝－<，∴函数()的零点所在区间为(－)．答案：．设全集＝，＝{<－，或>}，＝{<<}，则图中阴影部分所表示的集合是( )．{－≤≤}．{－≤<}．{<}．{<≤}解析：阴影部分所表示集合是∩(∁)，又∵∁＝{－≤≤}，∴∩(∁)＝{<≤}．答案：．若＝＝，则＋等于( )．．－．．解析：∵＝，＝，∴＋＝＋＝＝，故选.答案：．若一次函数()＝＋有一个零点，则函数()＝－的图象可能是( )解析：依题意有×＋＝，得＝－；又由－＝，解得＝或＝，那么函数()＝－有零点和－，也就是该函数图象与轴交点的横坐标分别为和－，故选.答案：．已知＝，＝，＝，则，，之间的大小关系是( )．<<．<<．<<．<<解析：∵＝∈()，＝<，＝>.∴>>.答案：．已知是函数()＝－的零点，若<<，则()的值满足( )．()>．()<．()>或()<．()＝解析：易判断()＝－是增函数，∵<<，∴()<()＝，故选.答案：．设函数()是定义在上的奇函数，当∈(，＋∞)时，()＝，则满足()<的的取值范围是( )．()．(－∞，)．(－∞，)．(－∞，－)∪()解析：根据已知条件画出函数()的图象如图所示．。

最新人教版数学精品教学资料数学·必修1(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个命题中，设U为全集，则错误命题是()A．A∩B＝∅⇒(∁U A)∪∁U B)＝U B．A∩B＝∅⇒A＝B＝∅C．A∪B＝U⇒(∁U A)∩(∁U B)＝∅D．A∪B＝∅⇒A＝B＝∅答案：B2．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D3．已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)等于()A.x2－2|x|＋1B．x2－2|x|＋1C ．|x 2－1|D.x 2－2x ＋1解析：A 中x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2＝||x |－1|，画图知选A.B 、C 、D 均错．答案：A4．函数y ＝x －1x ＋1，x ∈(0,1)的值域是( ) A ．[1,0) B ．(－1,0] C ．(－1,0) D ．[－1,0]解析：因y ＝x －1x ＋1，x ∈(0,1)上为单调增函数， 故所求其值域为(－1,0)．答案：C5．在下列各图中，能表示从集合A ＝[0,3]到集合B ＝[0,2]的函数的是( )答案：．B6．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＞1，则A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ 0＜y ＜12 B ．{y |0＜y ＜1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12＜y ＜1 D ．∅答案：A7．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)＜f (2) B ．f (－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (2)C ．f (2)＜f (－1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＜f (－1)答案：D8．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.答案：B9．(2013·辽宁卷)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案：D10．函数y ＝1－11＋x 的图象是( )答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填写在题中的横线上)11．设a ，b ∈R 集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案：212．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，f (x )＝x －43. 显然其定义域为R.②当m ≠0，Δ＝(4m )2－4m ×3<0，解得0<m <34. 综合①②知0≤m <34. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3413．我国2001年底的人口总数为M，要实现到2011年底我国人口总数不超过N(其中M<N)，则人口的年平均自然增长率p的最大值是______．答案：10NM－114．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．解析：x∈(1,2)时，x2＋mx＋4<0恒成立．∵x2＋mx＋4<0，∴m<－x－4 x.∵y＝－x－4x在x∈(1,2)上是单调增函数，∴y>－5，∴m≤－5.答案：m≤－5三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．(1)求A∪B；(2)求(∁R A)∩B；(3)若A C，求a的取值范围．解析：(1)A＝{x|3≤x≤7}B＝{x|2＜x＜10}∴A∪B＝{x|2＜x＜10}．(2)∵A＝{x|3≤x≤7}，∴∁R A＝{x|x＜3或＞7}(∁R A)∩B＝{x|x＜3或x＞7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|2＜x＜3或7＜x ＜10}．(3)∵A C ，∴a ＞7.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3) (a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，得－3＜x ＜1， 所以函数的定义域{x |－3＜x ＜1}，f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2，所以t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}．当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}．(2)由(1)知：当0＜a ＜1时，函数有最小值，所以log a 4＝－2，解得a ＝12.17.(本小题满分14分)某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为120 6t 吨，其中0≤t ≤24.(1) 从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2) 若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解析：设供水t 小时，水池中存水y 吨．(1)y ＝400＋60t －1206t ＝60(t －6)2＋40(1≤t ≤24)．当t ＝6时，y min ＝40(吨)，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量40吨．(2)依条件知⎩⎪⎨⎪⎧60(t －6)2＋40＜80，1≤t ≤24， 解得83＜t ＜323，即323－83＝8. 答：一天24小时内有8小时出现供水紧张.18．(本小题满分14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解析：(1)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋ 40x －250.当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80，x ∈N *)，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x (x ≥80，x ∈N *). (2)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950(万元)． 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x －100x 2－200≤1 000. 故当x ＝100x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元，即生产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．19.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)，常数a ∈R.(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x 1≤x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2·[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)＜0恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2＞4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)＞16.∴a 的取值范围是(－∞，16]．20．(本小题满分14分)函数f (x )定义在区间(0，＋∞)上，且对任意的x ∈R ＋，y ∈R 都有f (x y )＝yf (x )．(1)求f (1)的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(1)解析：令x ＝1，y ＝2，则有f (12)＝2f (1)，则f (1)＝0.(2)证明：对任意0＜x 1＜x 2，存在s 、t 使得x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12s ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，且s ＞t ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0， 则f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12s －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＝(s －t )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。