人教版高中数学选修2-1 模块综合检测卷 试题+答案解析(可下载)

数学选修模块测试样题选修2-1 （人教A 版）考试时间：90分钟 试卷满分：100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．1x >是2x >的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知命题p q ,，若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，则（ ）A ．p 为真命题，q 为假命题B ．p 为假命题，q 为真命题C ．p ，q 均为真命题D ．p ，q 均为假命题3. 设M 是椭圆22194x y +=上的任意一点，若12,F F 是椭圆的两个焦点，则12||||MF MF + 等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 64．命题0p x x ∀∈≥R ：，的否定是（ ）A ．0p x x ⌝∀∈<R ：，B ．0p x x ⌝∃∈≤R ：，C ．0p x x ⌝∃∈<R ：，D ．0p x x ⌝∀∈≤R ：，5. 抛物线24y x =的焦点到其准线的距离是（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 16. 两个焦点坐标分别是12(5,0)(5,0)F F -，，离心率为45的双曲线方程是（ ） A ．22143x y -= B ． 22153x y -= C ．221259x y -= D ．221169x y -= 7. 下列各组向量平行的是( )A ．(1,1,2),(3,3,6)=-=--a bB ．(0,1,0),(1,0,1)==a bC ．(0,1,1),(0,2,1)=-=-a bD ．(1,0,0),(0,0,1)==a b8. 在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-等于( )A ．OAB ．ABC ．OCD ．AC9. 已知向量(2,3,1)=a ，(1,2,0)=b ，则-a b 等于 ( )A ．1 BC ．3D ．910. 如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB DC =，E 为BC 中点，则AE BC ⋅ 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．011. 已知抛物线28y x =上一点A 的横坐标为2，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812．设1k >，则关于x ，y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是( )A ．长轴在x 轴上的椭圆B ．长轴在y 轴上的椭圆C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线13. 一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85m C ． 2.15m D ． 2.25m14．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且M 到平面11ADD A 的距离是M 到直线BC 距离的2倍，则动点M 的轨迹为( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．命题“若0a >，则1a >”的逆命题是_____________________．16．双曲线22194x y -=的渐近线方程是_____________________． 17．已知点(2,0),(3,0)A B -，动点(,)P x y 满足2AP BP x ⋅=，则动点P 的轨迹方程是 ．AEDCB18. 已知椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，且3021=∠F PF ，6012=∠F PF ，则椭圆的离心率e 等于 ．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分8分）设直线y x b =+与椭圆2212x y +=相交于A B ,两个不同的点. （1）求实数b 的取值范围； （2）当1b =时，求AB ．20．（本小题满分10分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1CC 的中点. （1）求1AD 与DB 所成角的大小； （2）求AE 与平面ABCD 所成角的正弦值.21．（本小题满分10分）已知直线y x m =-与抛物线x y 22=相交于),(11y x A ,),(22y x B 两点，O 为坐标原点． （1）当2=m 时，证明：OB OA ⊥；（2）若m y y 221-=，是否存在实数m ，使得1-=⋅？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．A BCA 1B 1C 1D 1 DE数学模块测试样题参考答案数学选修2-1（人教A 版）一、选择题（每小题4分，共56分）1． B 2． B 3．D 4．C 5．C 6．D 7． A 8． C 9． B10．D11．B12．D13．A14．A二、填空题（每小题4分，共16分）15．若1a >，则0a > 16．23y x =±17． 26y x =+ 181三、解答题（解答题共28分） 19．（本小题满分8分）解：（1）将y x b =+代入2212x y +=，消去y ，整理得2234220x bx b ++-=．① 因为直线y x b =+与椭圆2212x y +=相交于A B ,两个不同的点，所以2221612(22)2480b b b ∆=--=->， 解得b <<．所以b 的取值范围为(． （2）设11()A x y ，，22()B x y ，， 当1b =时，方程①为2340x x +=．解得1240,3x x ==-． 相应地1211,3y y ==-．所以(AB x ==．20．（本小题满分10分）解：(1) 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(200)A ，，，(220)B ，，，1(002)D ，，则(2,2,0)DB =,1(2,0,2)D A =-． 故1111cos ,22DB D A DB D A DB D A⋅〈〉===⋅.所以1AD 与DB 所成角的大小为60． (2) 易得(021)E ，，,所以(2,2,1)AE =-． 又1(0,0,2)DD =是平面ABCD 的一个法向量，且11121cos ,323AE DD AE DD AE DD ⋅〈〉===⨯⋅． 所以AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为13． 21．（本小题满分10分）解：（1）当2=m 时，由⎩⎨⎧=-=，，x y x y 222得0462=+-x x ，解得 53,5321-=+=x x ， 因此 51,5121-=+=y y ．于是 )51)(51()53)(53(2121-++-+=+y y x x 0=， 即0OA OB ⋅=． 所以 OB OA ⊥．（2）假设存在实数m 满足题意，由于B A ,两点在抛物线上，故⎪⎩⎪⎨⎧==，，22212122x y x y 因此222121)(41m y y x x ==． 所以m m y y x x 222121-=+=⋅．由1-=⋅，即122-=-m m ，得1=m ．又当1=m 时，经验证直线与抛物线有两个交点， 所以存在实数1=m ，使得1-=⋅OB OA。

模块综合试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 2．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( ) A ．“若a >b ，则a －1≤b －1” B ．“若a >b ，则a －1<b －1” C ．“若a ≤b ，则a －1≤b －1” D ．“若a <b ，则a －1<b －1” 答案 C解析 否命题为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．3．设k <3，k ≠0，则二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1必有( )A ．不同的顶点B ．不同的准线C ．相同的焦点D ．相同的离心率 答案 C解析 当0<k <3时，0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同焦点； 当k <0时，－k >0且3－k >－k ， ∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆． a 2＝3－k ，b 2＝－k .∴a 2－b 2＝3＝c 2与已知椭圆有相同焦点．4．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．4 2 答案 C解析 依题意知，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8.5．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1，∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3 D ．－1≤a ≤1 答案 B解析 根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.7．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C. 3 D ．2答案 A解析 如图所示，双曲线的渐近线方程为y ＝±2ax ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33， ∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.8．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x答案 A解析 由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)， 故p2＝3，∴抛物线方程为y 2＝12x . 9．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( ) A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1<x ≤0) 答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1⇒k AB ＝－x 2y ⇒k PQ ＝yx ＋4＝－x2y ⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4，AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)．10．已知命题p ：“若a >b >0，则12log a <12log b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 对于命题p ，当a >b >0时，有12log a <12log b ，则必有12log a <12log b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当12log a <12log b ＋1时，得12log a <12log 2b ，得a >b2>0，不一定有a >b >0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)， ∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ， x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (2a ，3a )代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝2，故选D. 12．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12B.22 C ．－12 D ．0 答案 D解析 ∵OB ＝OC ，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →|·|BC →|＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cos π3|OA →||BC →|＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________. 答案 －2解析 因为P 与不共线三点A ，B ，C 共面，所以2＋1＋λ＝1，所以λ＝－2.14．已知命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是________． 答案 綈p解析 p 为假命题，因为a 的符号不确定，q 为假命题，因为a ，b 的大小不确定．所以p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．15．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7. 因为|PF 1|＝4，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.16．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．答案63解析 建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量． 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AB →，BD 1→〉|＝|AB →·BD 1→||AB →| |BD 1→|＝|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×6＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真， 綈p 为真，求m 的取值范围． 解 对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，∴⎩⎨⎧m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0，解得0<m <4. ∵綈p 为真，∴p 假． 又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4. 故m 的取值范围是[2＋1,4)．18．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，∴a ＝±1，符合题意， 故a ＝±1.19．(12分)已知椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共焦点，且过(2，0)，求： (1)椭圆的标准方程；(2)椭圆上斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 解 (1)依题意得，将双曲线方程标准化为 x 212－y 212＝1， 则c ＝1.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，因为椭圆过(2，0)，所以2a 2＋0a 2－1＝1，即a 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线方程为y ＝2x ＋b ，弦的中点坐标为(x ，y )，直线与椭圆交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8b 9，y 1＋y 2＝2b9，即⎩⎨⎧x ＝－4b 9，y ＝b9，所以y ＝－14x .令Δ＝0，则64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3， 所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ±3， 即当x ＝±43时，斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为 y ＝－14x ⎝⎛⎭⎫－43≤x ≤43. 20．(12分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)， 所以平面BOE 的法向量为n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n . 又FG ⊄平面BOE ，所以FG ∥平面BOE .21．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(1)证明 因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)解 由(1)知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4，0,4),设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又A 1B →＝(0,3，－4)，A 1C 1→＝(4,0,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0，令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3). 同理可得，平面BB 1C 1的法向量为m ＝(3,4,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角， 所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2－2，且右焦点到直线x ＝a 2c 的距离等于短半轴的长．已知点P (4,0)，过P 点的直线l 与椭圆C相交于M ，N 两点，点T 与点M 关于x 轴对称． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OM →·ON →的取值范围； (3)证明：直线TN 恒过某定点． (1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2－2，a2c －c ＝b ，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)解 由题意知直线MN 的斜率存在， 设直线MN 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.高中数学课程Δ＝(－16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＝16－96k 2>0，解得0≤k 2<16. 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1， x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1， y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝12k 22k 2＋1， 从而OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝44k 2－42k 2＋1＝22－262k 2＋1. 因为0≤k 2<16， 所以OM →·ON →∈⎣⎡⎭⎫－4，52.(3)证明 由(2)知T (x 1，－y 1)，直线TN 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)． 令y ＝0，得x ＝x 2－y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1. 将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入，整理得x ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8.(*) 由(2)知x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1， 代入(*)式整理，得x ＝1.所以直线TN 恒过定点(1,0)．。

数学选修2-1综合测试卷A （含答案）一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为1(0,)16 2．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为A ．25-B ．25C ．1-D ．1 4．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =u u u u r r , D A =11，A =1，则下列向量中与B 1相等的向量是A ．++-2121B ．++2121C ．+-2121D ．+--2121 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段6．已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出下列等式： ①∣++∣=∣--∣ ②c b a ⋅+)( =)(c b a +⋅ ③2)(++=222++④⋅⋅)( =)(⋅⋅其中正确的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆8．已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．已知函数f(x)=3472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是 A ．0≤k<43 B ．0<k<43 C ．k<0或k>43 D ．0<k ≤43 10．下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④=a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件。

模块综合检测（一）(时间分钟，满分分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．命题“∃∈－＞”的否定是( )．∃∈－≤．∀∈－＞．∀∈－≤．∃∈－＞解析：选由特称命题的否定的定义即知．．已知条件甲：＞；条件乙：＞，且＞，则( )．甲是乙的充分但不必要条件．甲是乙的必要但不充分条件．甲是乙的充要条件．甲是乙的既不充分又不必要条件解析：选甲乙，而乙⇒甲．．对∀∈，则方程＋＝所表示的曲线不可能的是( )．两条直线．圆．椭圆或双曲线．抛物线解析：选分＝及＞且≠，或＜可知：方程＋＝不可能为抛物线．．下列说法中正确的是( )．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真．“＞”与“＋＞＋”不等价．“＋＝，则，全为”的逆否命题是“若，全不为，则＋≠”．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选.．已知空间向量＝(，)，＝(－)，若－与垂直，则等于( )())())解析：选由已知可得－＝()－(－，)＝(，－)．又∵(－)⊥，∴－＋－＋＝.∴＝，＝.∴＝＝()).．(山东高考)已知直线，分别在两个不同的平面α，β内，则“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选由题意知⊂α，⊂β，若，相交，则，有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则，的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选.．已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一个焦点与抛物线＝的焦点重合，则该双曲线的方程是( )－＝－＝－＝－＝解析：选由已知得＝，＝，∴＝，＝，且焦点在轴，所以方程为－＝.．若直线＝与双曲线－＝(＞，＞)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( ) ．(，) ．(，＋∞)．(，] ．[，＋∞)解析：选双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为＝.由条件知，应有＞，故＝＝＝＞.．已知(－)，()是椭圆＋＝的两个焦点，点在椭圆上，∠＝α.当α＝时，△面积最大，则＋的值是( )．．．．解析：选由△＝·＝，知点为短轴端点时，△面积最大．此时∠＝，得＝＝，＝＝，故＋＝.．正三角形与正三角形所在平面垂直，则二面角­­的正弦值为( )解析：选取中点，连接，.建立如图所示坐标系，设＝，则，，.∴＝，＝，＝.由于＝为平面的一个法向量，可进一步求出平面的一个法向量＝(，－，)，。

最新人教版高中数学选修2-1模块综合试题（附解析）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关命题的说法正确的是()A．“若x>1，则2x>1”的否命题为真命题B．“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题D．命题“若x>1，则x>a”的逆命题为真命题，则a>0解析：A选项中，因为2x≤1时，x≤0，从而否命题“若x≤1，则2x≤1”为假命题，故A选项不正确；B选项中，sin β＝0时，cos β＝±1，则逆命题为假命题，故B选项不正确；D选项中，由已知条件得a≥1，故D选项不正确．答案：C2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意得，A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故为充要条件．答案：C3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是( )A ．b ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)C ．b ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)解析：若l ∥α，则b ·n ＝0.将各选项代入，知D 正确．答案：D4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D.3 答案：B5．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657答案：D6．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：因为|a |＝|b |＝2，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0. 故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A7．抛物线y 2＝－ax 的准线方程为x ＝－2，则a 的值为( )A ．4B ．－4C ．8D ．－8。

模块综合检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“存在实数，使＞”的否定是( )．对任意实数，都有＞．不存在实数，使≤．对任意实数，都有≤．存在实数，使≤解析：利用特称(存在性)命题的否定是全称命题求解．“存在实数，使＞”的否定是“对任意实数，都有≤”．故选.答案：．在命题“若∈，()＝，则函数()是奇函数”的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是( ) ．．．．解析：原命题与逆否命题是假命题，逆命题与否命题是真命题．答案：．已知直线⊥平面α，直线⊂平面β，则“∥”是“α⊥β”的( )．充要条件．必要条件．充分条件．既不充分也不必要条件解析：⇒⇒α⊥β，∴“∥”是“α⊥β”的充分条件，⇒∥.答案：．已知命题：若＋＝(，∈)，则，全为；命题：若>，则<.给出下列四个复合命题：①且；②或；③¬；④¬.其中真命题的个数是( )．．．．解析：命题为真，命题为假，故或真，¬真．答案：．已知，，是空间直角坐标系中轴、轴、轴正方向上的单位向量，且＝，＝－＋－，则点的坐标为( )．(－，－) ．(－，，－)．(，－，－) ．(－)解析：设点的坐标为(，，)，则有＝(，，－)＝(－，－)，∴(\\(＝－，＝，－＝，))解得(\\(＝－，＝，＝.))故选.答案：．如下图所示，正四棱柱－中，＝，则异面直线与所成角的余弦值为( )解析：连接，则∥，∠为与所成角，不妨设＝，则＝∠＝＝＝.答案：．以－＝－的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：双曲线－＝－，即－的焦点为(，±)，顶点为(，±)．所以对椭圆＋＝而言，＝，＝.∴＝，因此方程为＋＝.答案：．如图，在锐二面角α－－β的棱上有两点，，点，分别在平面α、β内，且⊥，∠＝°，＝＝＝，与所成角为°，则的长度为( )－．解析：＝＝＝＝＝－.答案：．设，是双曲线－＝(>)的两个焦点，点在双曲线上，且满足：·＝，·＝，则的值为( )．．解析：双曲线方程化为－＝(>)，∵·＝，∴⊥.。

模块综合检测（一）(时间分钟，满分分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．命题“∃∈－＞”的否定是( )．∃∈－≤．∀∈－＞．∀∈－≤．∃∈－＞解析：选由特称命题的否定的定义即知．．已知条件甲：＞；条件乙：＞，且＞，则( )．甲是乙的充分但不必要条件．甲是乙的必要但不充分条件．甲是乙的充要条件．甲是乙的既不充分又不必要条件解析：选甲乙，而乙⇒甲．．对∀∈，则方程＋＝所表示的曲线不可能的是( )．两条直线．圆．椭圆或双曲线．抛物线解析：选分＝及＞且≠，或＜可知：方程＋＝不可能为抛物线．．下列说法中正确的是( )．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真．“＞”与“＋＞＋”不等价．“＋＝，则，全为”的逆否命题是“若，全不为，则＋≠”．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选.．已知空间向量＝(，)，＝(－)，若－与垂直，则等于( )())())解析：选由已知可得－＝()－(－，)＝(，－)．又∵(－)⊥，∴－＋－＋＝.∴＝，＝.∴＝＝()).．下列结论中，正确的为( )①“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；②“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；③“或”为真是“綈”为假的必要不充分条件；④“綈”为真是“且”为假的必要不充分条件．．①②．①③．②④．③④解析：选∧为真⇒真真⇒∨为真，故①正确，由綈为假⇒为真⇒∨为真，故③正确．．已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一个焦点与抛物线＝的焦点重合，则该双曲线的方程是( )－＝－＝－＝－＝解析：选由已知得＝，＝，∴＝，＝，且焦点在轴，所以方程为－＝.．若直线＝与双曲线－＝(＞，＞)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( ) ．(，) ．(，＋∞)．(，] ．[，＋∞)解析：选双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为＝.由条件知，应有＞，故＝＝＝＞.．已知(－)，()是椭圆＋＝的两个焦点，点在椭圆上，∠＝α.当α＝时，△面积最大，则＋的值是( )．．．．解析：选由△＝·＝，知点为短轴端点时，△面积最大．此时∠＝，得＝＝，＝＝，故＋＝.．正三角形与正三角形所在平面垂直，则二面角--的正弦值为( )解析：选取中点，连接，.建立如图所示坐标系，设＝，则，，.∴＝，＝，＝.由于＝为平面的一个法向量，可进一步求出平面的一个法向量＝(，－，)，∴〈，〉＝，∴〈，〉＝.二、填空题(本题共小题，每小题分，共分)．在平面直角坐标系中，若定点()与动点(，)满足·＝，则动点的轨迹方程是．。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题;②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称命题;③∃x∈R,x2+2x+1≤0是全称命题.A.0B.1C.2D.3是全称命题;②是全称命题;③是特称命题.2若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),则抛物线的方程是()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1,0),∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的,其中p=2.∴抛物线的标准方程为y2=-4x.3已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A.既不充分也不必要的条件B.充分不必要的条件C.必要不充分的条件D.充要条件f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.4以双曲线x 24−y212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()A.x 2+y2=1B.x 2+y2=1C.x 2+y2=1D.x 2+y2=1由x 24−y 212=-1,得y 212−x 24=1.∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),顶点坐标为(0,2√3),(0,-2√3).∴椭圆方程为x 24+y 216=1.5如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为A 1B 1,CC 1的中点,P 为AD 上一动点,记θ为异面直线PM 与D 1N 所成的角,则θ的集合是( ) A.{π2}B.{θ|π6≤θ≤π2} C.{θ|π4≤θ≤π2}D.{θ|π3≤θ≤π2}C 1D 1的中点E ,PM 必在平面ADEM 内,易证D 1N ⊥平面ADEM.D 1N 总是垂直PM.6若向量a =(1,0,z )与向量b =(2,1,2)的夹角的余弦值为23,则z=( ) A.0B.1C.-1D.2<a ,b >=a ·b |a ||b |=2=23,解得z=0.7已知向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),若a ≠b ,设|a-b |=k ,则a-b 与x 轴上的单位向量的夹角的余弦值为( ) A.x 1-x2k B.x 2-x1kC.|x 1-x 2|kD.±(x 1-x 2)ka-b =(x 1-x 2,y 1-y 2,z 1-z 2),x 轴上的单位向量可设为n =(1,0,0)或(-1,0,0),∴(a-b )·n =±(x 1-x 2).又|a-b |=k ,|n |=1,∴夹角的余弦值为±(x 1-x 2)k.8如果命题“( p )∨( q )”是假命题,那么在下列各结论中,正确的为( )①命题“p ∧q ”是真命题 ②命题“p ∧q ”是假命题 ③命题“p ∨q ”是真命题 ④命题“p ∨q ”是假命题A.①③B.②④C.②③D.①④“( p )∨( q )”是假命题,知 p 和 q 均为假命题⇒p 为真,q 为真,则p ∧q 为真,p ∨q 为真,则①③正确,故选A.9椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为( ) A.√1010B.√1717C.2√1313D.√37372c ,短轴长为2b ,由已知,得2c=2b3,故b=3c.又∵a 2=b 2+c 2=9c 2+c 2=10c 2,∴e=c =√10.10以双曲线x 24−y 25=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是()A.y 2=12xB.y 2=-12xC.y 2=6xD.y 2=-6x由x 2−y 2=1,得a 2=4,b 2=5,∴c 2=a 2+b 2=9.∴右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0).故p=3.∴抛物线方程为y 2=12x.11设F 1,F 2是双曲线x 2-4y 2=4a (a>0)的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足:PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a 的值为( ) A.2B.√52C.1D.√5双曲线方程可化为x 2−y 2=1(a>0),∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4c 2=20a.① 由双曲线定义,知|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=±4√a , ② 又已知|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,③由①②③,得20a-2×2=16a ,∴a=1.12过点M (-2,0)的直线m 与椭圆x 22+y 2=1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P.设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ) A.2B.-2C.12D.-12m :y=k 1(x+2)代入x 22+y 2=1,得x 2+2k 12(x+2)2-2=0,整理,得(1+2k 12)x 2+8k 12x+8k 12-2=0. Δ=(8k 12)2-4(1+2k 12)(8k 12-2)>0, 解得k 12<12.设P 1P 2的中点P 0(x 0,y 0),则x 0=x 1+x22=-4k 121+2k 12,y 0=k 1(x 0+2)=2k 11+2k 12. ∴k 2=yx 0=2k 11+2k 12-4k 121+2k 12=-12k 1, ∴k 1·k 2=-12.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 24−y 212=1上一点M 的横坐标为3,则点M 到此双曲线的右焦点的距离为 .M 的横坐标可求得M (3,±√15),双曲线的右焦点的坐标为F 2(4,0).由两点间的距离公式,得 |F 2M|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 =√(3-4)2+(±√15-0)2=4.14“三角形任意两边之和大于第三边”的否定是 .,存在两边,其和小于或等于第三边15在四面体OABC 中,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .(用a ,b ,c 表示)=12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +14b +14c .+14b +14c16曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中,正确结论的序号是 .曲线C 经过原点,则当曲线C 上点P 为原点时,|PF 1||PF 2|=1,即a=1,这与a>1矛盾,所以①错误;②曲线C 关于原点对称,设曲线C 上点P 关于原点的对称点为P',则|PF 1|=|P'F 2|,|PF 2|=|P'F 1|,满足|P'F 1||P'F 2|=a 2,所以②正确;③由三角形面积公式S=12ab sin C ,得S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤1|PF 1|·|PF 2|=a 2,所以③正确.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知椭圆D :x 250+y 225=1与圆M :x 2+(y-m )2=9(m ∈R ),双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M 相切.当m=5时,求双曲线G 的方程.D :x 2+y 2=1的两个焦点为F 1(-5,0),F 2(5,0),故双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,且c=5.设双曲线G 的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),则G 的渐近线方程为y=±b ax ,即bx ±ay=0,且a 2+b 2=25.当m=5时,圆心为(0,5),半径为r=3,于是|5a |√a 2+b =3⇒a=3,b=4.故双曲线G 的方程为x 29−y 216=1.18(12分)已知命题p :不等式|x-1|>m-1的解集为R ,命题q :f (x )=-(5-2m )x 是减函数,若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数m 的取值范围.|x-1|>m-1的解集为R ,所以m-1<0,m<1.又因为f (x )=-(5-2m )x 是减函数, 所以5-2m>1,m<2. 即命题p :m<1,命题q :m<2. 因为p ∨q 为真,p ∧q 为假, 所以p 和q 一真一假.当p 真q 假时应有{m <1,m ≥2,m 无解.当p 假q 真时应有{m ≥1,m <2,1≤m<2.故实数m 的取值范围是[1,2).19(12分)已知点P (1,3),圆C :(x-m )2+y 2=92过点A (1,-3√22),点F 为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,直线PF 与圆相切.(1)求m 的值与抛物线的方程;(2)设点B (2,5),点Q 为抛物线上的一个动点,求BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.把点A 代入圆C的方程,得(1-m )2+(-3√22)2=92,∴m=1.圆C :(x-1)2+y 2=92.当直线PF 的斜率不存在时,不合题意. 当直线PF 的斜率存在时,设为k , 则PF :y=k (x-1)+3,即kx-y-k+3=0.∵直线PF 与圆C 相切,∴√k +1=3√22.解得k=1或k=-1.当k=1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去. 当k=-1时,直线PF 与x 轴的交点横坐标为4,∴p2=4.∴抛物线方程为y 2=16x.(2)BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2), 设Q (x ,y ),BQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y-5),则 BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(x-2)+(-2)(y-5) =-x-2y+12=-y 216-2y+12 =-116(y+16)2+28≤28.∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-∞,28]. 20(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC=2,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角. 求证:(1)CM ∥平面PAD. (2)平面PAB ⊥平面PAD.C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ,因为PC ⊥平面ABCD ,所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角. 所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以BC=2√3,PB=4.所以D (0,1,0),B (2√3,0,0),A (2√3,4,0),P (0,0,2),M (√32,0,32).所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,3,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,32). (1)令n =(x ,y ,z )为平面PAD 的法向量, 则{DP⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{-y +2z =0,2√3x +3y =0, 所以{z =12y ,x =-√3y ,令y=2,得n =(-√3,2,1).因为n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√3×√32+2×0+1×32=0, 所以n ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CM ⊄平面PAD ,所以CM ∥平面PAD. (2)取AP 的中点E , 则E (√3,2,1),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1).因为PB=AB , 所以BE ⊥PA.又因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1)·(2√3,3,0)=0, 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以BE ⊥DA.又因为PA ∩DA=A ,所以BE ⊥平面PAD. 又因为BE ⊂平面PAB , 所以平面PAB ⊥平面PAD.21(13分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD , AD=√2,DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60°. (1)求证:M 是侧棱SC 的中点; (2)求二面角S-AM-B 的余弦值的大小.D 为坐标原点,射线DA ,DC ,DS 为x 轴、y 轴、z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A (√2,0,0),B (√2,2,0),C (0,2,0),S (0,0,2).设SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0), 则M (0,2λ1+λ,21+λ), 所以MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,21+λ,-21+λ).又AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),<MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°, 故MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 60°, 即41+λ=√(√2)2+(21+λ)2+(-21+λ)2, 解得λ=1,即SM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以M 为侧棱SC 的中点.M (0,1,1),A (√2,0,0),得AM 的中点G (√22,12,12).所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,32,-12),MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,1,1),则GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此,<GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >等于二面角S-AM-B 的平面角, 所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-√63, 故二面角S-AM-B 的余弦值为-√6.22(13分)已知椭圆x 22+y 24=1与射线y=√2x (x ≥0)交于点A ,过A 作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一交点为点B 和点C.(1)求证:直线BC 的斜率为定值,并求出这个定值; (2)求△ABC 面积的最大值.{x 22+y 24=1,y =√2x (x ≥0)得A (1,√2).设直线AB 的斜率为k ,则直线AC 的斜率为-k. 直线AB 的方程为y=k (x-1)+√2, ① 直线AC 的方程为y=-k (x-1)+√2, ②将①代入椭圆方程并化简得 (k 2+2)x 2-2(k-√2)kx+k 2-2√2k-2=0.∵1和x B 是它的两个根, ∴x B =k 2-2√2k -2k 2+2,y B =kx B +√2-k=-√2k 2-4k+2√2k 2+2.同理可得x C =k 2+2√2k -2k 2+2,y C =-√2k 2+4k+2√2k 2+2∴k BC =y B -yC x B -x C=√2.BC 的方程为y=√2x+m ,代入椭圆方程并化简得4x 2+2√2mx+m 2-4=0,|BC|=√3|x 1-x 2|=√3√16-2m 22.∵A 到BC 的距离为d=|m |√3, ∴S △ABC =√m 2(16-2m 2)4≤4√2·2m 2+(16-2m 2)2=√2,当且仅当2m 2=16-2m 2,即m=±2时,上式等号成立. 故△ABC 面积的最大值为√2.。

模块综合检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列命题中，真命题有( )①面积相等的三角形是全等三角形；②“若＝，则＋＝.”的逆命题；③“若>，则＋>＋”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．．个．个．个．个解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．答案：．对抛物线＝，下列描述正确的是( )．开口向上，焦点为()．开口向上，焦点为．开口向右，焦点为()．开口向右，焦点为解析：抛物线方程可化为＝，则＝，＝，焦点为，开口向上．答案：．已知命题：存在∈，使＝，命题：－＋<的解集是{<<}，下列结论：①命题“且”是真命题；②命题“且¬”是假命题；③命题“¬或”是真命题；④命题“¬或¬”是假命题．其中正确的是( )．②③．①②④．①③④．①②③④解析：∵，都是真命题，∴①②③④均正确．答案：．一次函数＝－＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )．>，且< ．<．>，且< ．<，且<解析：一次函数＝－＋的图象同时经过第一、三、四象限的充要条件是(\\(－()>,()<))⇔(\\(>，<.))而<时，有(\\(>，<))或(\\(<，>.))所以必要不充分条件是<.答案：．下列双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是( )－＝和－＋＝－＝和－＋＝．－＝和－＝－＝和－＝答案：．已知＝(λ＋λ)，＝(μ－)，若∥，则λ与μ的值分别为( )，．．－，－．－，－解析：∥，则存在∈，使得＝，又＝(λ＋λ)，＝(μ－)，则有(\\(λ＋＝，＝(μ－(，λ＝，))可得(\\(λ＝()，,μ＝().))答案：．如图，空间四边形中，＝，＝，＝，点在上，且＝，为中点，则等于( )．－＋＋＋＋．－＋－＋－解析：＝＋＋＝＋－＋＝－＋＋(－)＝－＋＋＝－＋＋.答案：．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：由已知得：在椭圆中＝，＝，曲线为双曲线，由此知道在双曲线中＝，＝，故双曲线中＝，双曲线方程为－＝.答案：．已知线段在平面α内，线段⊥α，线段⊥，且＝，＝＝，线段与α所成的角为°，则线段的长为( )．．解析：如图所示，由⊥α，可知⊥，。