【三维设计】高三物理二轮复习 运用数学方法解题专练

专题整合(一) 力与直线运动做一做——融会贯通知识联系寒假期间,检测一轮,启动二轮,学习状态保持好！1．(2018·河北定州中学期末)一物体做匀加速直线运动,通过一段位移Δx 所用时间为2t ,紧接着通过下一段位移Δx 所用时间为t 。

物体运动加速度的大小为( )A.Δx t 2B.Δx 2t 2C.Δx 3t 2D.2Δx 3t 2 解析：选C 物体做匀加速直线运动,通过一段位移Δx 所用时间为2t ,故t 时刻物体的瞬时速度是v 1＝Δx 2t ;紧接着通过下一段位移Δx 所用时间为t ,故52t 时刻物体的瞬时速度是v 2＝Δx t ;物体加速度的大小a ＝Δv Δt ＝v 2－v 152t －t ,解得a ＝Δx 3t 2,故C 正确。

2.[多选](2018·济南历城二中模拟)如图是甲、乙两物体的位移—时间图像,其中甲物体的位移—时间的关系为x ＝12t 2,乙物体的位移—时间的关系为x ＝－13t 2。

关于甲、乙两物体运动的说法正确的是( ) A ．甲、乙物体的运动是曲线运动B ．甲、乙物体的运动是匀加速运动C ．甲、乙物体运动方向相同D ．在第3 s 内甲物体的速度变化比乙物体的速度变化大解析：选BD 对应x ＝12at 2可知,甲物体沿x 正方向做匀加速直线运动,加速度a 甲＝1 m/s 2,乙物体沿x 负方向做匀加速直线运动,加速度a 乙＝－23m/s 2,在第3 s 内甲物体的速度变化比乙物体的大,选项B 、D 正确,A 、C 错误。

3．[多选](2018·河北五一联盟模拟)某同学将一块橡皮通过3段轻绳OA 、OB 、OC 悬挂在A 点,轻绳OC 拴接在轻质弹簧测力计上。

第一次,保持结点O 位置不变,拉着轻质弹簧测力计从水平位置缓慢转动到竖直位置,如图甲所示;第二次,保持轻绳OC 垂直于OA ,缓慢移动轻绳,使轻绳OA 从竖直位置缓慢转动到如图乙所示位置。

专题检测（一）明“因”熟“力”，破解平衡问题1.(2018届高三·河南名校联考)如图所示，斜面小车M静止在光滑水平面上，一边紧贴墙壁。

若再在斜面上加一物体m，且小车M、物体m相对静止，此时小车受力个数为()A．3B．4C．5 D．6解析：选B对小车和物体整体，它们必受到重力和地面的支持力，因小车、物体相对静止，由平衡条件知墙面对小车无作用力，以小车为研究对象，它受重力Mg，地面的支持力F N1，物体对它的压力F N2和静摩擦力F f，共四个力，选项B正确。

2.(2017·湖南师大附中期末)如图所示，两根直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动，一个圆筒从木棍的上部以初速度v0匀速滑下。

若保持两木棍倾角不变，将两棍间的距离减小后固定不动，仍将圆筒放在两木棍上部以初速度v0滑下，下列判断正确的是()A．仍匀速滑下B．匀加速滑下C．减速滑下D．以上三种运动均可能解析：选B圆筒从木棍的上部匀速滑下过程中，受到重力、两棍的支持力和摩擦力，根据平衡条件得知，两棍支持力的合力和摩擦力不变。

将两棍间的距离减小后，两棍支持力的合力不变，而两支持力夹角减小，则每根木棍对圆筒的支持力变小，则滑动摩擦力变小，而重力沿斜面向下的分力不变，则圆筒将匀加速滑下，故B正确，A、C、D错误。

3.如图所示，一竖直放置的大圆环，在其水平直径上的A、B两端系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小铁环。

现将大圆环在竖直平面内绕O点顺时针缓慢转过一个微小角度，则关于轻绳对A、B两点拉力F A、F B的变化情况，下列说法正确的是()A．F A变小，F B变小B．F A变大，F B变大C．F A变大，F B变小D．F A变小，F B变大解析：选A柔软轻绳上套有光滑小铁环，两侧轻绳中拉力相等。

将大圆环在竖直平面内绕O点顺时针缓慢转过一个微小角度，A、B两点之间的水平距离减小，光滑小铁环两侧轻绳间夹角2α减小，由2F cos α＝mg可知，轻绳中拉力F减小，轻绳对A、B两点的拉力F A 和F B 都变小，选项A 正确。

题型专题检测(二十一) 不等式选讲1．(2021·青岛模拟)已知a ，b ，c 均为正实数． 求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥cba＋a c b＋b a c.2．(2021·沈阳质检)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞0；(2)若f (x )＋3|x －4|＞m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．3．(2021·唐山二模)设f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝m ，求ab ＋bc 的最大值．4．(2021·邢台模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|.(1)解不等式f (x )≥2；(2)当x ∈R,0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y .5．(2021·郑州模拟)已知函数f (x )＝m －|x －1|－2|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )＞2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．6．(2021·太原模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )＝|x －1＋a |，求x 的取值范围．7．(2021·吉林长春质检)(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .8．(2021·洛阳模拟)(1)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |，x ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥a 在R 上恒成立，求实数a 的最大值；(2)已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求3x ＋2y ＋1z 的最小值．答 案1．证明：∵a ，b ，c 均为正实数， ∴b 2a ＋c 2b≥2b 2a ·c 2b＝2c b a， 同理，c 2b ＋a 2c ≥2ac b ，a 2c ＋b 2a≥2b a c ， 三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥cb a＋a c b＋b a c. 2．解：(1)当x ≥4时，f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5＞0, 得x ＞－5，所以x ≥4.当－12≤x ＜4时，f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3＞0，得x ＞1，所以1＜x ＜4.当x ＜－12时，f (x )＝－x －5＞0，得x ＜－5，所以x ＜－5.综上，原不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－5}． (2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4| ≥|2x ＋1－(2x －8)|＝9， 当－12≤x ≤4时等号成立，所以m ＜9，即实数m 的取值范围是(－∞，9)．3．解：(1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＝－1－3x ＜2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立． 此时，ab ＋bc 取得最大值1.4．解：(1)当x ≥2时，由f (x )≥2，得4≥2，故x ≥2； 当－2＜x ＜2时，由f (x )≥2，得2x ≥2，故1≤x ＜2； 当x ≤－2时，由f (x )≥2，得－4≤2，无解． 所以f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}． (2)证明：由于|x ＋2|－|x －2|≤4，又由于1y ＋11－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y1－y ≥4⎝⎛⎭⎫当且仅当y ＝12时取等号， 所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y.5．解：(1)当m ＝5时，f (x )＝5－|x －1|－2|x ＋1|. 当x ＜－1时，由f (x )＞2，得3x ＋6＞2， 解得x ＞－43，故－43＜x ＜－1；当－1≤x ≤1时，由f (x )＞2，得－x ＋2＞2， 解得x ＜0，故－1≤x ＜0；当x ＞1时，由f (x )＞2，得4－3x ＞2，解得x ＜23，无解．所以f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－34＜x ＜0.(2)y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， 该函数在x ＝－1处取得最小值2，由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＋m ，x ＜－1，－x －3＋m ，－1≤x ≤1，－3x ＋m －1，x ＞1，所以f (x )在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，解得m ≥4. 所以实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 6．解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|2x －1|＋|x －3|＝⎩⎨⎧3x －4，x ≥3，x ＋2，12＜x ＜3，4－3x ，x ≤12，其图象如图所示，与直线y ＝4相交于点A (0,4)和B (2,4)，∴不等式f (x )≤4的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x －1|＋|x －a |≥|(2x －1)－(x －a )|＝|x －1＋a |， ∴f (x )＝|x －1＋a |⇔(2x －1)(x －a )≤0， ①当a ＜12时，x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|a ≤x ≤12；②当a ＝12时，x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；③当a ＞12时，x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤a . 7．证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 由于a ，b 都是正数，所以a ＋b ＞0. 又由于a ≠b ，所以(a －b )2＞0. 于是(a ＋b )(a －b )2＞0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0， 所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.(2)由于b 2＋c 2≥2bc ，a 2＞0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )． 由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c ＞0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .8．解：(1)由确定值的性质得f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －52－(x －a )＝⎪⎪⎪⎪a －52， 即f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪52－a ， 从而⎪⎪⎪⎪52－a ≥a ，解得a ≤54， 因此a 的最大值为54.(2)由于x ，y ，z ＞0，所以3x ＋2y ＋1z ＝(x ＋2y ＋3z )·⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ＋1z ≥x ·3x ＋2y ·2y ＋3z ·1z 2＝(3＋2＋3)2＝16＋8 3.当且仅当x 3x ＝2y 2y ＝3z1z ，即x ∶y ∶z ＝3∶3∶1时等号成立．所以3x ＋2y ＋1z 的最小值为16＋8 3.。

技法专题检测 选择、填空技法专练A 组——12＋4高考提速练(限时40分钟)一、选择题1．复数z ＝1－a 2i1＋i (a ∈R )的虚部为－2，则|z |＝( )A ．1 B. 3 C ．2D. 52．(2021·河北保定模拟)设A ＝{x |y ＝1－x }，B ＝{x |y ＝ln(1＋x )}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x ＞－1} B ．{x |x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1}D ．∅3．(2021·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b >1a B.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 25．(2021·唐山一模)执行右边的程序框图，则输出的A 为( ) A.2912 B.7029 C.2970D.169706．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜07．假如a 1，a 2，…，a 20为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) A.a 3a 18a 9a 12＞1 B.a 3a 18a 9a 12＜1 C.a 3＋a 18a 9＋a 12＞1 D.a 3＋a 18a 9＋a 12＜1 8．(2021·沈阳质检)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．89．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )10．(2021·大连模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π611．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A中的那部分区域的面积为( )A.34 B ．1 C.74D ．2 12．(2021·贵州七校一联)在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值为( )A ．0B ．－4C ．8D ．4二、填空题13．已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2x ，－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，在集合A 中任意取一个元素a ，则a ∈B 的概率是________．14．若f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数，则实数a ＝__________________________________. 15．在三棱锥A -BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为________．16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.B 组——12＋4高考提速练(限时40分钟)一、选择题1．设集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0＜a ＜6}B ．{a |a ＜2或a ＞4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}2．(2021·陕西高考)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数3．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3 D ．3m4．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A. ⎣⎡⎦⎤－22，0 B.[]－1，0 C.[]－2，－1D.⎣⎡⎦⎤－33，0 5．(2021·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )6．(2021·陕西省质量检测)已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与C 交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12 B.32 C ．1D ．27．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B.⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[x ] C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[2x ] 8.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF＝32，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ) A.92 B.152 C ．5D ．69．(2021·南昌一模)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB＝1时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120°D ．不存在10．函数y ＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值是( )A ．2 B.32 C ．3D.3411．实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别为x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，则b －2a －1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，1B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，14 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 12．函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 使得f (x 1)f (x 2)＝C ，则称函数f (x )在D 上的几何平均数为C .已知f (x )＝x 3，x ∈[1,2]，则函数f (x )＝x 3在[1,2]上的几何平均数为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2二、填空题13.如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB ，AC 分别交于不同的两点P ，Q ，若AP ＝λAB ，AQ ＝μAC ，则1λ＋1μ＝________.14．已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点，若AP ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的取值范围是________________________________________．15．设a ＝ln12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为________． 16．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；命题q ：(x －1＋m )(x －1－m )≤0(m ＞0)．若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．答 案A 组1．选D 由z ＝(1－a 2i )(1－i )2＝12(1－a 2i －i －a 2)＝12(1－a 2)－12(a 2＋1)i.所以－12(a 2＋1)＝－2，得a 2＝3，所以z ＝－1－2i.所以|z |＝(－1)2＋(－2)2＝5.2．选C 由A 中y ＝1－x ，得1－x ≥0，即x ≤1，∴A ＝{x |x ≤1}，由B 中y ＝ln(x ＋1)，得1＋x ＞0，即x ＞－1， ∴B ＝{x |x ＞－1}，则A ∩B ＝{x |－1＜x ≤1}．3．选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0 ⇒/ ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0 ⇒/a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件． 4．选A 由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，选A. 5．选B i ＝0，A ＝2；A ＝2＋12＝52，i ＝1；A ＝2＋25＝125，i ＝2；A ＝2＋512＝2912，i ＝3；A ＝2＋1229＝7029，i ＝4，输出A ，故输出的A ＝7029. 6．选C 当a ＝0时，x ＝－12，故排解A ，D.当a ＝1时，x ＝－1，排解B.7．选B 可取特殊的数列，如a n ＝n ，则a 3a 18a 9a 12＝3×189×12＝12＜1.8．选D 法一：由题知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36，得(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.所以选D.9．选D 由函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排解B ；当x ＝π时，y ＝－π，排解A ；当x ＝π2时，y ＝1，排解C.10．选C 在直角三角形中，假如直角边为斜边的一半，则该直角边所对的角为π6，如图，所求的夹角为2π3，故选C.11．选C 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形． 阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C 项．12．选D 由AD ·AB ＝AD ·AC ， 得AD ·(AB －AC )＝0，即AD ·CB ＝0， 所以AD ⊥CB ，即AD ⊥CB . 又AB ＝4，∠ABC ＝30°， 所以AD ＝AB sin 30°＝2， ∠BAD ＝60°，所以AD ·AB ＝AD ·AB ·cos ∠BAD ＝2×4×12＝4.13．解析：依题意，函数y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1(－2≤x ≤2)的值域是A ＝{y |－1≤y ≤8}； 由x 2＋2x －3≤0得－3≤x ≤1，即B ＝{x |－3≤x ≤1}． 因此所求的概率等于1－(－1)8－(－1)＝29.答案：2914．解析：由于函数f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0，即2x ＋2－x lg a ＋2－x ＋2x lg a ＝0，整理得2x ＋2－x ＋(2x ＋2－x )lg a ＝0，所以lg a ＝－1， 解得a ＝110.答案：11015．解析：设AB ，AC ，AD 的长分别为x ，y ，z ，则xy ＝2，yz ＝3，xz ＝6，解得x ＝2，y ＝1，z ＝3，把这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥和补成的长方体具有共同的外接球，这个球的半径等于121＋2＋3＝62，故这个球的体积是43π⎝⎛⎭⎫623＝6π. 答案：6π16.解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，k ＝－2. 答案：－2 B 组1．选A 当A ∩B ＝∅时，由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.故当A ∩B ≠∅时，0＜a ＜6.2．选B 由于f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数为增函数，排解选项A 和C ；又由于f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排解选项D ，故选B.3．选A 法一：令m ＝13，则a ＝1，b ＝3，c ＝2，∴y ＝±3x ，F (±2,0)，d ＝ 3.法二：双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A. 4．选B 令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排解A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排解C ，故选B.5．选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排解选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π＜0，排解选项C ，故选D.6．选B 由于直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32.7．选D 当x ＝12时，可排解A ，B ，C.8．选B 连接BE ，CE ，则四棱锥E -ABCD 的体积V E -ABCD ＝13×3×3×2＝6. 又V ABCDEF ＞V E -ABCD ，故选B. 9.选A 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示． 设过点P (2,0)的直线为 y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离 d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝2 2－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k2×22－2k 21＋k 2＝1，解得k 2＝13，由图可得k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33应舍去，故直线l 的倾斜角为150°.10．选D 作出函数y ＝|log 12x |的图象，如图所示，由y ＝0，解得x＝1，由y ＝2，解得x ＝4或x ＝14.所以区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为1－14＝34.11．选A 由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝－a ，x 1·x 2＝2b .依题意可取x 1＝12，x 2＝32，则a ＝－2，b ＝38，所以b －2a －1＝38－2－2－1＝1324＞12，排解C ，D ；不妨令b －2a －1＝12，则a ＝2b －3，由于a ＝－(x 1＋x 2)∈(－3，－1)，2b∈(0,2)，所以等式a ＝2b －3可以取到，即b －2a －1可以等于12，排解B.12．选D 令x 1x 2＝m ，且1≤x 1≤2,1≤x 2≤2，则x 2≤x 1x 2≤2x 2，即x 2≤m ≤2x 2，∴⎩⎨⎧m2≥1，m1≤2，可得m ＝2，故C ＝f (x 1)f (x 2)＝x 31x 32＝m 3＝2 2. 13．解析：由题意可知，1λ＋1μ的值与点P ，Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.答案：214．解析：当P 点在G 点位置时，λ＝μ＝13，所以λ＋μ＝23，当P 点位于B 点位置时，λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1， 当P 点位于C 点位置时，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1， 综上，λ＋μ的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，1. 答案：⎝⎛⎭⎫23，115．解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c . 答案：a ＞b ＞c16．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x －13－1≤2，解得－2≤x ≤10.由(x －1＋m )(x －1－m )≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．又q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，q ⇒/p 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞)。

[课下——针对高考押题训练]一、单项选择题1．(2012·北京高考)处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动。

将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值( )A ．与粒子电荷量成正比B ．与粒子速率成正比C ．与粒子质量成正比D ．与磁感应强度成正比解析：选D 由电流概念知，该电流是通过圆周上某一个位置(即某一截面)的电荷量与所用时间的比值。

若时间为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ，则公式I ＝q /T 中的电荷量q 即为该带电粒子的电荷量。

又T ＝2πm qB ，解出I ＝q 2B 2πm。

故只有选项D 正确。

2．(2012·晋江四校联考)如图1所示，长为L 的通电直导体棒放在光滑水平绝缘轨道上，劲度系数为k 的水平轻弹簧一端固定，另一端拴在棒的中点，且与棒垂直，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中，弹簧伸长x ，棒处于静止状态。

则( )A ．导体棒中的电流方向从b 流向a图1B ．导体棒中的电流大小为kxBLC ．若只将磁场方向缓慢顺时针转过一小角度，x 变大D ．若只将磁场方向缓慢逆时针转过一小角度，x 变大解析：选B 由左手定则可知，导体棒中的电流方向从a 流向b ，选项A 错误；由BIL ＝kx 可得导体棒中的电流大小为I ＝kx /BL ，选项B 正确；若只将磁场方向缓慢顺时针转过一小角度，或逆时针转过一小角度，导体棒沿水平方向所受安培力变小，故x 都变小，选项C 、D 错误。

3.利用如图2所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。

图中板MN 上方是磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L 。

一群质量为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法错误的是( )图2A ．粒子带负电B ．射出粒子的最大速度为qB (3d ＋L )2mC ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大解析：选D 由左手定则和粒子的偏转情况可以判断粒子带负电，选项A 对；根据洛伦兹力提供向心力q v B ＝m v 2r 可得v ＝qBrm r 越大v 越大，由题图可知r 最大值为r max ＝3d ＋L 2，选项B 正确；又r 最小值为r min ＝L2r 的最大值和最小值代入v 的表达式后得出速度之差为Δv ＝3qBd2m，可见选项C 正确、D 错误。

题型专题检测(七) 不 等 式1.已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.122．(2021·贵阳监测)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d3．(2021·长春质检)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)B ．(－∞，－2 2]∪[2 2，＋∞)C ．[2－2 2，2＋2 2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)4．(2021·南昌一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－125．(2021·山西省考前质量检测)若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)6．(2021·邯郸摸底)已知x ，y ∈R ，且x ＋2y ＝1，则2x ＋4y 的最小值为________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集为________．8．(2021·云南第一次检测)某校今年方案聘请女老师a 名，男老师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年方案聘请老师最多x 名，则x ＝________.9．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a .用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，若用d 表示不等式f (x )<g (x )解集区间的长度，则当0≤x ≤3时，d ＝________.10．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．12．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )． (1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；(2)若对满足题设条件的任意b ， c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．答 案1．选B 依据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．选C A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误； C 项，∵a c 2<bc 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 3．选A 由直线与圆相切，可知|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，整理得mn ＝m ＋n ＋1， 由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22，可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)．4．选C⎩⎨⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0，y ＝m 得A (m －1，m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m 得B (4－m ，m )， 所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2， z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2.5．选B 不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.6．解析：由基本不等式可知2x ＋4y ≥2 2x ·4y ＝22x ＋2y ＝2 2，当且仅当x ＝12，y ＝14时取等号．故答案为2 2.答案：2 27．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋x 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －x 2≤2，解得0≤x ≤1或x <0，所以不等式的解集为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]8．解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：139．解析：f (x )＝[x ]·{x }＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2，由f (x )<g (x )，得[x ]x －[x ]2<x －1， 即([x ]－1)·x <[x ]2－1.当x ∈[0,1)时，[x ]＝0，不等式的解为x >1，不合题意； 当x ∈[1,2)时，[x ]＝1，不等式为0<0，无解，不合题意； 当x ∈[2,3]时，[x ]>1， 所以不等式([x ]－1)x <[x ]2－1等价于x <[x ]＋1，不等式恒成立，所以此时不等式的解为2≤x ≤3，所以不等式f (x )<g (x )解集区间的长度为d ＝1. 答案：110．解：(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0. 由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集， 得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)由于x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤22 6＝66，当且仅当x ＝6时取等号． 由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立， 故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 11．解：(1)设所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．⎝⎛⎭⎫或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]. (2)由(1)知y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810千米/小时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 12．解：(1)证明：易知f ′(x )＝2x ＋b . 由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ， 即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立， 所以(b －2)2－4(c －b )≤0， 从而c ≥b 24＋1，于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |， 因此2c －b ＝c ＋(c －b )>0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2. (2)由(1)知c ≥|b |. 当c >|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2bb ＋c .令t ＝b c ，则－1<t <1，c ＋2b b ＋c ＝2－11＋t.而函数g (t )＝2－11＋t (－1<t <1)的值域是⎝⎛⎭⎫－∞，32. 因此，当c >|b |时，M 的取值集合为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2. 此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0， 从而f (c )－f (b )≤32(c 2－b 2)恒成立．综上所述，M 的最小值为32.。

课前诊断——力学创新实验1.(2016·广州二模)一同学用电子秤、水壶、细线、墙钉和贴在墙上的白纸等物品，在家中验证力的平行四边形定则。

(1)如图(a)，在电子秤的下端悬挂一装满水的水壶，记下水壶________时电子秤的示数F。

(2)如图(b)，将三细线L1、L2、L3的一端打结，另一端分别拴在电子秤的挂钩、墙钉A和水壶杯带上。

水平拉开细线L1，在白纸上记下结点O的位置、____________和电子秤的示数F1。

(3)如图(c)，将另一颗墙钉B钉在与O同一水平位置上，并将L1拴在其上。

手握电子秤沿着(2)中L2的方向拉开细线L2，使______________和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2。

(4)在白纸上按一定标度作出电子秤拉力F、F1、F2的图示，根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若______________，则平行四边形定则得到验证。

解析：(1)要测量装满水的水壶的重力，则记下水壶静止时电子秤的示数F。

(2)要画出平行四边形，则需要记录分力的大小和方向，所以在白纸上记下结点O的位置的同时也要记录三细线的方向以及电子秤的示数F1。

(3)已经记录了一个分力的大小，还要记录另一个分力的大小，则结点O点位置不能变化，力的方向也都不能变化，所以应使结点O的位置和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2。

(4)根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若F和F′在误差范围内重合，则平行四边形定则得到验证。

答案：(1)静止(2)三细线的方向(3)结点O的位置(4)F和F′在误差范围内重合2．气垫导轨、拉力传感器、光电门替换长木板、打点计时器](2016·六安一中模拟)某学习小组利用如图所示的装置验证动能定理。

(1)将气垫导轨调至水平，安装好实验器材，从图中读出两光电门中心之间的距离s ＝________ cm ；(2)测量挡光条的宽度d ，记录挡光条通过光电门1和2所用的时间Δt 1和Δt 2，并从拉力传感器中读出滑块受到的拉力F ，为了完成实验，还需要直接测量的一个物理量是______________；(3)该实验是否需要满足砝码盘和砝码总质量远小于滑块、挡光条和拉力传感器的总质量？________(填“是”或“否”)解析：(1)光电门1处刻度尺读数为：20.0 cm ，光电门2处刻度尺读数为：70.0 cm ，故两光电门中心之间的距离s ＝70.0 cm －20.0 cm ＝50.0 cm ；(2)由于光电门的宽度d 很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度。

第四讲 万有引力定律及应用[多以选择题的形式考查，一般涉及万有引力定律和向心力多种表达形式的组合应用][典例] (2013·保定模拟)在2013年的下半年，我国将实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据。

如果该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星行程为s ，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，引力常量为G ，根据以上数据估算月球的质量是( )A.t 2Gs 3 B.s 3Gt 2C.Gt 2s3 D.Gs 3t2[思路点拨][解析] 由s ＝vt 得：v ＝s t ，由s ＝θr 得r ＝s ，再由GMm r 2＝m v 2r ，解得M ＝s 3Gt2，故B 正确。

[答案] B一、基础知识要记牢 1．万有引力定律表达式F ＝G m 1m 2r22．万有引力定律在天体运动中的主要应用公式(1)GMm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝mr 4π2T2。

(2)GMmr 2＝mg r (g r 为r 处的重力加速度)。

(3)对天体表面的物体m 0，在忽略自转时：GMm 0R2＝m 0g (式中R 为天体半径)，可得GM ＝gR 2。

二、方法技巧要用好(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体的半径R 计算天体质量和密度。

由G Mm R 2＝mg ，得M ＝gR 2G ，ρ＝M V ＝3g 4πRG。

(2)利用天体的卫星：已知卫星的周期T (或线速度v )和卫星的轨道半径r 计算天体质量和密度。

由G Mm r 2＝m v 2r ＝mr 4π2T 2，得M ＝⎩⎪⎨⎪⎧4π2r3GT 2v 2rG若测天体的密度，将天体的质量M ＝ρ43πR 3代入得ρ＝⎩⎪⎨⎪⎧3πr 3GR 3T 2――――――――→卫星在天体表面 ρ＝3πGT 23v 2r 4G πR 3――――――――→卫星在天体表面 ρ＝3v24πGR2三、易错易混要明了1．利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量，估算的是中心天体的质量而非环绕天体的质量。