高三5月份理科数学综合测试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. f(x) = x^2 - 4x + 3B. f(x) = -x^2 + 2x + 1C. f(x) = 2x - 3D. f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1答案：C2. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 = 3，a3 = 7，则d = （）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A3. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，其定义域为（）A. x > 1B. x ≥ 1C. x < 1D. x ≤ 1答案：A4. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a - b > 0C. 若a > b，则|a| > |b|D. 若a > b，则|a| < |b|答案：B5. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1 = 2，a4 = 32，则q = （）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：C6. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 12x + 3C. 3x^2 - 12xD. 3x^2 - 6x + 9答案：A7. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5B. 2x + 3 ≥ 5C. 2x + 3 < 5D. 2x + 3 ≤ 5答案：C8. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，其对称轴为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -2答案：B9. 若复数z = a + bi（a，b∈R），则|z|^2 = （）A. a^2 + b^2B. a^2 - b^2C. a^2 + 2ab + b^2D. a^2 - 2ab + b^2答案：A10. 下列数列中，是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 3, 5, 7, 9, ...C. 1, 4, 9, 16, 25, ...D. 1, 3, 6, 10, 15, ...答案：A11. 已知函数f(x) = e^x - x，则f'(x) = （）A. e^x - 1B. e^x + 1C. e^xD. e^x - x答案：A12. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 < b^2B. 若a > b，则a + b > 0C. 若a > b，则|a| < |b|D. 若a > b，则|a| > |b|答案：D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 若等差数列{an}的公差为2，且a1 = 1，则a10 = _______。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数iaiz -=3(i 为虚数单位且0a <)在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}1M x x a =<<,{}13N x x =<<,则“3a =”是“M N ⊆”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若0cos 2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =()A.6π B.2π C.56πD.π4.函数xx y 2⋅=的部分图象如下,其中正确的是()5.已知32n a n =+,n ∈N ※,如果执行右边的程序框图,那么输出的s 等于()A.18.5B.37C.185D.3706.已知函数2()ln(1)f x x =+的值域为}{0,1,2,则满足这样条件的函数的个数有()个.A.8B.9C.26D.27【解析】7.设F 1、F 2分别为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点,且满足∠MAN=120o,则该双曲线的离心率为()A.337 B.37C.321D.3198.设已知,,a b m 均为整数(0m >),若a 和b 被m 除所得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为(mod )a b m ≡,若4040402240140040222⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=C C C C a ,且(mod10)a b ≡,则b 的值可以是() A.2011 B.2012 C.2013 D.20149.如图,己知3||,5||==,∠AOB 为锐角,OM 平分∠AOB,点N 为线段AB 的中点,OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r,若点P在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x、y的式子中,①x≥0,y≥0;②x－y≥0;③x－y≤0;④5x－3y≥0;⑤3x－5y≥0.满足题设条件的为()A.①②④B.①③④C.①③⑤D.②⑤10.在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,,,a b c d,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用a口令,那么第5次也使用a口令的概率是()A.727B.61243C.1108D.1243第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.在集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+0,0,032|),(y x y x y x y x 所表示的平面区域内任取一点M,则点M 恰好取自x 轴上方的概率为___ _____.考点：1.集合的含义.2.线性规划.3.三角形面积的计算.12.在△ABC 中,AB ＝2,D 为BC 的中点,若AD BC ⋅u u u r u u u r =32-,则AC ＝_____ __．13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为 .14.若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点,则实数k 的取值范围是 ．15.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为______ _____．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分13分)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米):甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133;乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图),问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义;(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列.②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;17.(本小题满分13分)在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1a =,平面向量(sin(),cos )m C C π=-u r ,(sin(),sin )2n B B π=+r ,且sin 2m n A ⋅=u r r .(Ⅰ)求△ABC 外接圆的面积;(Ⅱ)已知O 为△ABC 的外心,由O 向边BC 、CA 、AB 引垂线,垂足分别为D 、E 、F,求COF B OE A OD cos ||cos ||cos ||++的值.18.(本小题满分13分)如图长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,E 为1BB 延长线上的一点且满足111BB B E ⋅=u u u r u u u r.(Ⅰ)求证:1D E ⊥平面1AD C ; (Ⅱ)当11B E BB 为何值时,二面角1E ACD --的大小为4π.19.(本小题满分13分)已知椭圆C:22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若椭圆C 的两条切线交于点M(4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B,试利用结论:在椭圆22221x y a b+=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y ya b+=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ;(Ⅲ)试探究2211||||AF BF的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.20.(本题满分14分)已知函数ln ()xx kf x e +=(其中k R ∈),)('x f 为f (x )的导函数. (Ⅰ)求证:曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0);(Ⅱ)若在区间]1,0(中存在0x ,使得'0()0f x =,求k 的取值范围;(Ⅲ)若0)1('=f ,试证明:对任意0x >,2'21()e f x x x-+<+恒成立.然后研究函数1ln y x x x =--，通过求导求出函数的最大值.研究函数(1)xy e x =-+，通过求导得出函数考点：1.导函数的几何意义.2.函数的极值.3.导数应用.4.通过不等式的传递性证明不等式.21.(本题满分14分)(1)二阶矩阵A ,B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A ,B ;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA ,并求出曲线10x y --=在矩阵C 对应的变换作用下的曲线方程.设曲线10x y --=上任意一点为(,)m n ,变换后的点坐标为(,)x y10210x m y n ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ,12x n y m⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩，10m n --=Q 210x y ∴+-=故所求的曲线方程为210x y +-=…………7分考点：1.图形表示矩阵的变换.2.矩阵的运算.(2)已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).(Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =u u u r u u u r,求直线l 的普通方程.6sin 4θ=,10cos 4θ=±(3)已知函数()|1|f x x =-.(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；(Ⅱ)当0a >时,不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.所以23|1|a a -≥-2a ∴≥……………7分考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.。

示范性高中罗山高中2021届高三5月综合测试数学试题〔理〕第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1. 假如集合2{|320},{|1|2}M x x x N x x =-+>=->，那么〔 〕 A. MN N B. M N M C. M N N = D. M N M =2. 实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=是xy 的值是〔 〕 A. 1 B. 2 C. －2 D. －13. 函数2sin(2)6y x π=+的单调增区间为〔k z ∈〕 A. 5[,]36k k ππππ++ B. 5[,]66k k ππππ++C. [,]36k k ππππ-+D. 5[,]6k k ππππ++4. 函数2(1)3(1)y x x =--≤的反函数是〔 〕A. 13)y x =-≥-B. 10)y x =-≥C. 13)y x =+≥- D. 10)y x =≥5. 对于直线ι和平面,αβ，以下命题中，真命题是〔 〕A. 假设ι∥α且ι∥β，那么α∥βB. 假设ιβ⊂且α⊥β，那么ια⊥ C. 假设ια⊥，且ιβ⊥，那么α∥β D. 假设ιβ⊥，且α∥β，那么ι∥α 6. 直线(1)y k x =+与圆224x y +=的位置关系是〔 〕 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与k 的取值有关7. 正四棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一个球面上，假设其底面边长为4，侧棱长为，那么此球的外表积为〔 〕A. 18πB. 36πC. 72πD. 9π8. 等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，20082006220082006S S -=，那么2lim n n Sn→∞的值是〔 〕 A. 2 B. 1 C. 12D. 39. 从5名学生中选出4名学生参加百米、跳高、篮球比赛，每人只能参加一项，并且篮球有两人参加，那么不同的选派方式有〔 〕 A. 40 B. 60 C. 100 D. 12010. 在同一平面内，(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==，且0OA OB •=. 假设//(cos ,2sin ),(cos ,2sin )OA OB ααββ==，那么△//A OB 的面积等于〔 〕A.14 B. 12C. 1D. 2 11. 22的直线ι与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是 椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为〔 〕22 B. 12331312. 假如关于x 的方程213ax x+=有且仅有一个正实数解，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. {|0}a a ≤ B. {|0a a ≤或者2}a = C. {|0}a a ≥ D. {|0a a ≥假设2}a =-第二卷〔非选择题，一共90分〕二、非选择题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上. 13. 二项式72(x x的展开式的第4项第5项之和为零，那么x 等于 。

福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R I ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为 （A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 200300X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2-（B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 （A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．正视图 侧视图俯视图212215、抛物线2:4C yx =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分 非优分总计 男生 女生总计 50()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程； （Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是¼BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， 因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分 因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--u u u r ，(1,2,3)PC =--u u u r ，33(,0,)22EC =--u u u r ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n u u u r ， ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'E CODBA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分 解得2x >． 依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=， ························································································ 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

卜人入州八九几市潮王学校黄梅国际育才高级2021届高三数学5月测试试题理 考生注意：1.考试时量为120分钟，总分值是为150分。

2.在答题之前，答题卡上面本卷须知。

3.所有题目答案均写在答题卡上。

1.i R y x ,,∈是虚数单位，假设yi x +与i i ++13互为一共轭复数，那么=+y x A.O2.集合A={0352|2≤--x xx }，B={2|≤∈x Z x }，那么B A 中的元素个数为A.2B.3C.43.，由此得到以下说法，其中表达正确的选项是A.近1年以来，我国HY 储藏月增长量最大的月份是2021B.2021年4月至10月，我国HY 储藏连续下降C.2021年底，我国HY 储藏降至近年来最低D.截止2021年3月末，我国HY 储藏连续第五个月上升 4.双曲线C:12222=-b y a x (a>b>0)的离心率45=e ，且其右焦点F2(5,0)，那么双曲线 的C 方程为 A.13422=-y x B.191622=-y x C.116922=-y x D.14322=-y x 5.)'(,cos 41)(2x f x x x f +=为)(x f 的导函数，那么)'(x f 的图象是 6.函数)42sin(2)(π+=x x f 向右平移)＞0(ϕϕ个单位后，得到x y 2cos =的图象，那么ϕ的最小值为A.87πB.85πC.83πD.8π 7.某三棱锥的三视图如图，那么该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是B.23C.32D.78.等差数列{n a }的第8项是二项式4)1(y xx ++展开式的常数项，那么=-11931a a A.32 B . 2C. 4D. 6 9.抛物线：0)>(22p py x =的焦点为F ，准线为l ，点P(4，0y 〕在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且||2||PF PK =，那么0y 的取值为B.2C.32D.2 10.甲、乙、丙3人进展擂台赛，每局2人进展单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛完毕以后，经统计，甲一共打了5局，乙一共打了6局，而丙一共当了2局裁判，那么整个比赛一共进展了A.13局B. 11局 C . 9局 D. 8局11.数列{n a }中，0>),2,(2||,12111a n N n a a a n n n ≥*∈=--=--,假设数列{12-n a }单调递减，数列{n a 2}单调递增，那么=2019aA.3122019-B.3122019+C.3122019+-D.3122019+- P(a,b)能且只能向函数t tx x x f ()(3-=为给定的正常数〕的图象作两条切线，那么22)1(-+=b a z 的最小值为A.211t +B.211t +C.21t +D.21t +二、填空题〔本小题一共4题，每一小题5分，一共20分。

2021届高三数学5月质量检查测试试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.满足〔是虚数单位〕，那么在复平面内对应的点在〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】求出的HY形式，得出对应点坐标，从而得出结果.【详解】解：因为复数满足〔是虚数单位〕，所以，复数对应的点为，落在第三象限应选C.【点睛】此题考察了复数的运算与复数的几何意义，解题的关键是根据复数运算规那么得出复数的HY形式.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A、B对应的范围，根据交集规那么得出结果.【详解】解：因为集合，所以，因为，所以，故应选A.【点睛】此题考察了集合的交集问题，解题的关键是求解出两个集合中的不等式.中，点在边上，且，设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在中将向量分解为，再利用一共线定理将转化为，最后将转化为，从而解决问题.【详解】解：在中，因为，所以，又因为,所以，应选A.【点睛】此题考察了向量的线性运算问题，纯熟运用三角形法那么与一共线定理是此题解题的关键.满足约束条件，那么的最小值为〔〕A. 3B. 4C. 5D. 9【答案】B【解析】【分析】作出约束条件对应的平面区域，根据线性规划知识将直线进展平移，得出最值.【详解】解：作出约束条件对应的平面区域，如下图，，目的形式的几何意义是一条斜率为的直线，当直线平移经过点A时，获得最小，联立方程组，解得点A的坐标为〔0,2〕，故，应选B.【点睛】此题考察了线性规划的知识，解题的关键是能准确地作出不等式组对应的平面区域，还要能准确地解析出目的形式的几何意义.5.执行如下图的程序框图，假设输入的的值分别为1，2，那么输出的是〔〕A. 70B. 29C. 12D. 5【答案】B【解析】【分析】此程序框图是循环构造图，模拟程序逐层判断，得出结果.【详解】解：模拟程序：的初始值分别为1,2，4，第1次循环：，，不满足；第2次循环：，，不满足；第3次循环：，，满足，故输出.应选B.【点睛】此题考察了程序框图的循环构造，解题的关键是要读懂循环构造的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.的是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和差公式将每一个选项进展合并，再利用三角函数图像比拟每一选项的大小，从而得出结果.【详解】解：选项A：；选项B：；选项C：；选项D：，经过化简后，可以得出每一个选项都具有的形式，要使得选项的数值接近，故只需要接近于，根据三角函数图像可以得出最接近，应选D.【点睛】此题考察了两角和差公式、诱导公式、三角函数图像等知识，解题的关键是纯熟运用三角变换公式将每一个选项转变为相似的形式.中，.以下能使的是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件直三棱柱中，可以得出平面，故能得到，要证，即证明平面，从而得出答案.【详解】解：因为直三棱柱所以，又因为，所以因为，平面，所以平面，所以，那么，要证，故只需要证明平面，即证，因为直三棱柱的侧面都是长方形，当增加条件时，那么可以得到，因为，，平面，所以平面，所以.应选B.【点睛】此题考察了线面垂直、线线垂直的问题，解题的关键是从选项里面寻找出条件，得出线面垂直，从而得出线线垂直.的图像向右平移个单位长度后得到函数的局部图像，其中是其与轴的两个交点，是其上的点，，且与的值分别是〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】先由求出，然后根据是等腰直角三角形，求得，得到周期求出的值，将A点代入函数中去，解出.【详解】解：将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数为，因为是等腰直角三角形，所以，即，解得，所以周期，即，故，解得，当时，，即，解得：，因为，所以，应选D.【点睛】此题考察了根据三角函数图像求解参数的问题，三角函数中常见的几个参数的一般解法是：由的值可以解出的值，由最值可以得出的值，由特殊点可以得出的值.9.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线〞，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出阴影局部的面积，再求出矩形的面积，根据几何概型的计算公式进展求解. 【详解】解：由图可知，阴影局部的面积为，矩形的面积为，故此点取自阴影局部的概率为，应选D.【点睛】此题考察了几何概型的问题，几何概型往往以长度、面积、体积为测度，熟记几何概型的计算公式是关键.与中心在原点的双曲线交于两点，是的右焦点，假设，那么的离心率为〔〕A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】由，得到，由对称性可知是的中点，从而可得，再由直线的斜率为得到,可得到点B的坐标，将点B的坐标代入到双曲线方程得到关于的等量关系式，得出离心率.【详解】解：因为直线经过原点，所以直线与双曲线的交点A、B关于原点对称，所以，即是的中点，因为假设，所以,故，直线的斜率为，所以,故，将点代入双曲线得，，即，因为，故，即，解得：或者因为，所以，应选A.【点睛】此题考察了双曲线的离心率问题，解决问题的关键是要能从题意中将关于的等量关系式构造出来.11.按照某开展中国家2021年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比方下图.以下关于该国2021年家庭收入的判断，一定正确的选项是〔〕A. 至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入B. 收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的C. 收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的D. 收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的【答案】C【解析】【分析】设出所有家庭年收入总和、家庭数，得出所有家庭的平均收入，基于条件“按年收入从低到高的顺序〞的情况下，逐一分析各选项的正误，从而得出结果.【详解】解：设所有家庭年收入总和为100，一共有5n个家庭，那么所有家庭的平均收入为，选项A，第四组、第五组家庭的平均收入均超过，故极有可能第四组、第五组全部的家庭的收入均超过全部家庭的年平均收入，虽第三组家庭平均年收入为，由于按年收入从低到高的顺序排列，故仍有可能存在局部家庭年收入超过，这样家庭年收入超过的比率有可能超过，故A选项不正确；选项B，收入最低的那的家庭平均年收入，为全部家庭平均收入的，应选项B不正确；选项C，收入最高的那的家庭数应为第四组一半家庭数与第五组家庭数的和，由于按年收入从低到高的顺序排列，故总收入大于，收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的，选项C正确；选项D，收入最低的那的家庭数应为第三组家庭数的一半与第一、二组家庭数的和，由于按年收入从低到高的顺序排列，故总收入小于，收入最低的那的家庭年收入总和不会超过全部家庭年收入总和的，选项D不正确.故此题选C.【点睛】此题考察了条形图的知识，认识理解条形图是解题的关键.的定义域为，其导函数为.假设，且，那么以下结论正确的选项是〔〕A. 是增函数B. 是减函数C. 有极大值D. 有极小值【答案】A【解析】【分析】对化简可得，即为，设函数，研究函数的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案.【详解】解：设函数因为化简可得，即为，故，因为所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，，当时，，，当时，，，，，故恒成立；当时，，，，，故恒成立；所以在上恒成立，故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减所以选A.【点睛】此题考察了导数在函数中的应用，解题的关键是构造新函数，由新函数的性质得出原函数的性质，从而解决问题.二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕，那么__________．【答案】6【解析】【分析】先求出的值，然后再求出.【详解】解：因为函数，所以，所以.【点睛】此题考察了分段函数求函数值的问题，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论.的展开式中，的系数为__________．【答案】-30【解析】【分析】将视作为，计算出第项，从而得出的系数.【详解】解：故，因为要求的系数，所以或者5，当时，的系数为，当时，的系数为，所以的系数为.【点睛】此题考察了二项式定理的知识，解题的关键是要将转化为来求解，进而分类讨论得到结果.为焦点的抛物线上的两点满足，那么的中点到轴的间隔为__________．【答案】【解析】【分析】设出点A、B的坐标，代入抛物线方程与，求出A、B的坐标，从而得到的中点到轴的间隔 .【详解】解：设，因为两点满足，，所以，即解得：，故，的中点到轴得间隔为.【点睛】此题考察了向量的坐标运算，抛物线的定义等知识，解题时设出变量，列出方程组，得出变量的值，根据图形解决问题.16.是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的外表积为__________．【答案】【解析】【分析】当三棱锥体积最大时，分析得出点C的位置，再根据球的性质，在直角三角形中解出球的半径，从而求得球的外表积.【详解】解：取的中点，连接，设的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，因为是边长为2的等边三角形，所以面积确定，要使三棱锥体积最大，即要使点到平面的间隔最大，只有当平面平面时，体积最大，即点到边的间隔最大，三棱锥的体积最大，因为，且，外接圆的半径为，所以点在外接圆上运动，如下图当点满足时，点到边的间隔最大，三棱锥的体积最大.此时三棱锥的高即为的长，此时外接圆的圆心在上，根据球的性质可知，，，故四边形为矩形，故，在中，球的半径平方为，所以球的外表积为.【点睛】此题考察了锥体与球体的位置关系，解题的关键是要确定锥体上各点、线、面与球体之间的关系，同时还要对球体的性质有明晰的认识.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.的前项和为，且，.〔1〕求数列的前项和；〔2〕设，数列的前项和为，求证.【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕对进展退位相减，求得与之间的关系，得出的通项公式，进而求出数列的前项和；〔2〕先求出的通项公式，然后利用裂项求和法求出，再根据的单调性求出最值与极限值，便能得证.【详解】〔1〕因为①，所以当时，②，①-②得，，即，又因为，即，所以，即数列是以为首项，公比的等比数列，所以，，那么.〔2〕由〔1〕得，所以，那么，那么，所以.因为，所以.又，当时，获得最小值为，所以，即.【点睛】此题考察了数列的退位相减法、裂项求和法，利用“退位相减〞的方法解题时，一定要注意对范围的考虑，一般情况下都需要对的情况进展验证，此题还考察了数列单调性、最值的问题.18.如图，在以为顶点的五面体中，面是边长为3的菱形.〔1〕求证：；〔2〕假设，，，，，求二面角的余弦值.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕由条件中的菱形得到线线平行，利用线面平行的断定定理得到线面平行，再由线面平行的性质定理得到线线平行；〔2〕建立空间直角坐标系，求出法向量的夹角，得出二面角的大小.【详解】〔1〕因为是菱形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以.〔2〕在中，根据余弦定理，因为，，，所以，那么，所以，即.因为，，所以.又因为，平面,所以平面.设中点为，连结，,因为是菱形，，所以是等边三角形，所以，所以.作于点，那么，在中，，所以.如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.那么，，，，.设平面的一个法向量为，因为，所以，即，取，解得，，此时.由图可知，平面的一个法向量为，那么，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值是.【点睛】此题考察了线面平行的断定定理与性质定理的运用，还考察了利用空间向量求解二面角的大小问题，理清法向量的夹角与二面角的关系是解题的关键，还考察了学生的计算才能.19.某居民区有一个银行网点〔以下简称“网点〞〕，网点开设了假设干个效劳窗口，每个窗口可以办理的业务都一样，每工作日开场办理业务的时间是是8点30分，8点30分之前为等待时段.假设每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率都相等，且每位储户是否在该时段到网点互相HY.根据历史数据，统计了各工作日在等待时段到网点等待办理业务的储户人数，得到如下图的频率分布直方图：〔1〕估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值；〔2〕假设网点一共有1000名储户，将频率视作概率，假设不考虑新增储户的情况，解决以下问题：①试求每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率；②储户都是按照进入网点的先后顺序，在等候人数最少的效劳窗口排队办理业务.记“每工作日上午8点30分时网点每个效劳窗口的排队人数〔包括正在办理业务的储户〕都不超过3〞为事件，要使事件的概率不小于0.75，那么网点至少需开设多少个效劳窗口？参考数据：；；；.【答案】〔1〕10〔2〕①②4【解析】【分析】〔1〕先求出各组的频率，根据均值公式得出平均值；〔2〕①在等待时段到网点等待办理业务的储户人数服从，根据期望得出概率；②先求出，然后与参考数据进展比照，得出整数的最值.【详解】〔1〕根据频率分布直方图，各组的频率依次为：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，故所求的平均值为：.即每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值为10.〔2〕①设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为，每位储户到网点办理业务的概率为，那么，所以的数学期望，将频率视作概率，根据〔1〕的结论，所以，解得.即每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率为0.01.②由①知，，那么.设网点一共开设了个效劳窗口，那么事件即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过〞，其概率为，所以满足的最小正整数，即为所求.因为，，所以，即为的最小值.所以根据要求，网点至少需开设4个效劳窗口.【点睛】此题考察了频率分布直方图、二项分布、数学期望等知识，对题目所表述的实际问题有正确的理解是解题的关键.20.，是动点，以为直径的圆与圆：内切.〔1〕求的轨迹的方程；〔2〕设是圆与轴的交点，过点的直线与交于两点，直线交直线于点，求证：三点一共线.【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕设出，根据相切得出关于的方程，由方程对应的几何意义得出的轨迹的方程；〔2〕设出，，解出点坐标，从而得出的坐标，设过点的直线并与椭圆联立方程组，借助韦达定理进展化简、证明.【详解】解：〔1〕设，那么的中点的坐标为，因为圆与圆内切，点在圆内，所以，即，整理得，设，那么，即的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.由，，得，所以的方程为.〔2〕设，.因为是圆与轴的交点，不妨设，，那么.因为直线的方程为，所以，那么.依题意，因为直线过，斜率不为0，故可设其方程为，由消去并整理得，那么，，因为，所以，故三点一共线.【点睛】此题考察了点的轨迹求解问题、直线与圆锥曲线的问题，直线与圆锥曲线问题常见解法是借助韦达定理，将多元问题转化为少元〔单元〕问题，属于中档题..〔1〕讨论极值点的个数；〔2〕假设有两个极值点，，且，务实数的取值范围.【答案】〔1〕当时，有两个极值点；当时，没有极值点.〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据的根的情况，对的值进展讨论，从而得出极值点的个数；〔2〕由〔1〕得，借助此等式将不等式中的进展换元，构造出新函数，研究其性质，得出的取值范围.【详解】〔1〕由，得.令，得，即，令，那么，且，由得.当时，，在单调递增；当时，，在单调递减.所以，，且当时，；当时，.所以，当，方程有两解，不妨设为故当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，即时，有两个极值点；当，恒成立，故单调递减，即时，没有极值点.〔2〕不妨设，由〔1〕知，，那么，两边取对数，所以，所以，即. 令，，那么，.因为，即，所以，即，设，那么，且.易知.记，那么，且，考察函数，.①当时，，那么，即，所以在上单调递减，所以当时，，所以当时符合题意.②当时，，有两个不同零点，，且，，不妨设，那么，当时，，那么，所以在上单调递增，故存在，使得，所以，当时，不符合题意，综上，的取值范围是.【点睛】此题考察了利用导数求解函数的单调性、极值、最值等问题，研究较难的函数问题时往往需要屡次求导，还需要结合函数图像更为直观地处理问题，此题还考察了分类讨论的思想.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的参数方程为〔为参数〕.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为. 〔1〕求的极坐标方程；〔2〕设与，异于原点的交点分别是，求的面积.【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕先求出圆的普通方程，然后再借助极坐标公式求出圆的极坐标方程；〔2〕直线的极坐标方程，与两圆联立方程组得出，，进而求出，，然后利用割补法求出的面积.【详解】〔1〕由得，化为.即.因为，，所以的极坐标方程为.〔2〕因为直线的斜率为，即倾斜角为，所以其极坐标方程为.设，.由，得，即，由，得，即.由的极坐标方程得，所以，.因为，所以的面积为.【点睛】此题考察了曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为；在解决直线与圆相交的问题时，有时直接利用极坐标方程能优化运算过程，解题时应灵敏应用.23.选修4-5：不等式选讲设函数.〔1〕求的最小值及获得最小值时的取值范围；〔2〕假设集合，务实数的取值范围.【答案】〔1〕，此时〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用绝对值不等式公式进展求解；〔2〕集合表示，，令，根据几何意义可得的图像恒在图像上方，数形结合解决问题.【详解】解〔1〕因为，当且仅当，即时，上式“〞成立，故函数的最小值为3，且取最小值时的取值范围是.〔2〕因为，所以，.函数化为.令，其图像为过点，斜率为的一条直线.如图，，.那么直线的斜率，直线的斜率.因为，所以，即，所以的范围为.【点睛】此题考察了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵敏运用. 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

2023届高三5月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}022<--=x x x M ，{}012>+∈=x Z x N ，则=N M （）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛-2321，B .⎥⎦⎤ ⎝⎛-121C .{}2,1,0D .{}1,02.在复平面内，设复数21,z z 对应的点分别为()()1,12021-Z Z ，，，则=21z z （）A .2B .3C .2D .13.映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分原则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.下面是某省选考科目的赋分规则：若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A 的原始分期间为[81,87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（）A .91B .92C .93D .94等级原始分占比赋分区间A 3%[91，100]B+7%[81，90]B 16%[71，80]C+24%[61，70]C 24%[51，60]D+16%[41，50]D 7%[31，40]E3%[21，30]4.已知不共线的平面向量b a ,满足a b 2=，()a b a⊥+，则平面向量b a ,的夹角为（）A.6πB .3πC .2πD .32π5.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≤--010201y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A .1B .2C .3D .316.学校安排老师到小区对指定的学生进行家访.甲、乙两位老师被安排从A,B,C,D,E 五个小区中各选两个小区进行家访，且甲、乙两位老师选择的小区最多可以有一个相同.若甲必须去A 小区，则甲、乙两位老师不同的安排方法有（）A .48种B .36种C .32种D .24种7.已知函数()x f 在[]2,2-上的图象如图所示，则()x f 的解析式可能是（）A .()x e x f --=22B .()22--=x x x fC .()xex x f -=22D .()()122ln 2-+-=x x x f 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A .28B .36C .64D .89.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，84=a ，3612=S ，则满足n n a S >的正整数n 的最大值为（）A .16B .15C .12D .810.已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且位于第一象限，直线PO 与椭圆C 的另一个交点为A ，直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为B .若直线AB 平行于x 轴，且213PF PF =，则椭圆C 的离心率为（）A .21B .22C .23D .4211.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2()00<<->ϕπω，，()30=f ，且()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，则下列说法不正确的个数是（）①存在ω值，使得函数()x f 在[]π,0上有两个极小值点；②ω的取值范围为⎦⎤⎝⎛619613，；③函数()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛50π，上单调递增；④若Z ∈ω，则函数()x f 图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛092π.A .1B .2C .3D .412.已知正三棱锥ABC S -的底面ABC ∆的中心为O ，M 为棱SC 的中点，⊥OG 平面SAC ，且GM AG 2=.若MAB ∆的面积为6，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积为（）A .π12B .π64C .π26D .π8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为.14.若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，222341+==S a a ，，则等比数列{}n a 的公比为.15.在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）.根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31.设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是.16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的焦距为c 2，过双曲线C 的左焦点F 作圆M ：04222=+++b cx y x 的切线，切点为B ，该切线交双曲线C 的右支于点A ，若FB F A 4=,则双曲线C 的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，交C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c C a Cb cos cos 32cos 22+=.（1）若2π≠C ，求a b的值；（2）若32π=C ,ABC ∆的面积为23，求c 的值.18.（12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，G F E ,,分别为棱BC DD AD ，，1的中点，M 为线段G D 1上一点.（1）求证：∥AM 平面CEF ；（2）当12MD GM =时，求二面角C EF M --的正弦值.19.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当点A 的坐标为()0,4y 时，有BA MB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A 关于x 轴的对称点为点P ，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标.20.（12分）已知函数()0ln 12≠--=a x a x ex f ，.（1）求函数()x f 的单调区间；（2）当1=a 时，若关于x 的方程()m x f =（m 为实数）有两个不相等的实数根21,x x ，且21x x <，求证：()112+<-m e x x .21.（12分）某公司生产B A ,两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒又12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式.（1）小明看中了A 型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他已经拥有.小明从中随机购买2款，若他购买到1宽他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积-3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积-1分；购买到1款其他款式的玩偶，积1分.记X 表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X 的分布列和数学期望；（2）五一前，该公司推出D C ,两种新型号盲盒，现规定每一名爱好者一次只能购买其中一种型号的盲盒.据统计，爱好者第一次购买D C ,两种型号盲盒的概率都是21.如果上次购买C 型号盲盒，则这次购买C 型号盲盒的概率为32，购买D 型号盲盒的概率为31；如果上次购买D 型号盲盒，那么这次购买D C ,型号盲盒的概率都为21.如此重复，设一名爱好者第n 次购买C 型号盲盒的概率为n P .（1）求n P ；（2）如果这名爱好者长期购买D C ,型号盲盒，试判断该爱好者购买C 型号盲盒的概率能否达到53.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 21cos t y t x （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PN PM -的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正实数..（1）若1=ac ，求证：()()b c b b a 4≥++；（2）若1112121=++++cb a ，求c b a ++的最小值.参考答案一、选择题1.D解析：由已知得{}21<<-=x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧->∈=21x Z x N ，∴=N M {}1,0.2.C解析：由题意，知i z 21=，i z -=12，∴i i i z z +-=-=11221，∴221=z z .3.C解析：根据赋分公式得9110081828287--=--T T，解得935.92≈=T .4.D 解析：设向量b a ,的夹角为θ，∵()a b a ⊥+，∴()0=⋅+a b a ，即2a b a -=⋅，∴2cos a b a -=⋅θ ,∴212cos 22-=⋅-=⋅-=a a a b a aθ.∵[]πθ，0∈，∴向量b a ,的夹角为32π.5.B 解析：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≤--010201y x y x y x 所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由y x z +=2得z x y +-=2.作出直线x y 2-=，然后平移该直线，当直线经过点()01，A 时，z 取得最大值，即2012max =+⨯=z .6.B解析：（1）若甲、乙两位老师选择的家访小区完全不同，则有2314C C 种安排方法.（2）若甲、乙两位老师选择的家访小区有一个相同：①若甲、乙两位老师选择了A 小区，则有24A 种安排方法；②若甲、乙两位老师选择的相同小区不是A 小区，则有1314C C 种安排方法.综上，甲、乙两位老师不同的安排方法有361314242314=++C C A C C 种.7.C解析：由题图知函数()x f 的图象关于y 轴对称，∴函数是偶函数，故排除A；对于B，()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=0,20,222x x x x x x x f ，虽然函数()x f 为偶函数且在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛221上单调递增，但()02=f ，与图象不吻合，排除B；对于D，∵()()()x f x x x f -=-+-=122ln 2，∴函数()x f 是偶函数，但()012ln 2<-=f ，与图象不吻合，排除D；对于C，函数()x f 为偶函数，图象关于y 轴对称，下面只分析y 轴右侧部分.当()+∞∈,0x 时，()xe x xf -=22，()xe x xf -='4，令()xe x x -=4ϕ，求导得()xe x -='4ϕ.当()4ln ,0∈x 时，()0>'x ϕ，()x f '单调递增，当()2,4ln ∈x 时，()0<'x ϕ，()x f '单调递减，∴()x f '在4ln =x 处取得最大值.又∵()00<'f ，()04ln >'f ，()02>'f ，∴()4ln ,00∈∃x ，使得()00='x f ,当()0,0x x ∈时，()0<'x f ，()x f 为减函数，当()2,0x x ∈时，()0>'x f ，()x f 为增函数，与图象吻合，故选C.8.A解析：如图，在棱长为4的正方体中，C 为棱的中点，三棱锥BCD A -即为该几何体.其中ABD ∆为直角三角形，BD AB BD AB ⊥==，，424，∴其面积为2824421=⨯⨯；BCD ∆为等腰三角形，4==BD CD BC ，，点C 到边BD 的距离为4，∴其面积为84421=⨯⨯；ABC ∆为等腰三角形，2452===AB AC BC ，，∴点C 到边AB 的距离为32，∴其面积为64243221=⨯⨯；ACD ∆为等腰三角形，3452===AD CD AC ，，∴点C 到边AD 的距离为22，∴其面积为64243221=⨯⨯；综上，该几何体各个面中面积最大的面为ABD ∆，其面积为28.9.B解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+3666128311d a d a ，解得⎩⎨⎧-==2141d a ，∴n n S n a n n 152162+-=-=，.由n n a S >得n n n 216152->+-，即016172<+-n n ，解得161<<n ，∴正整数n 的最大值为15.10.B 解析：由椭圆的对称性，知点A 与点P 关于原点对称.∵直线AB 平行于x 轴，∴点B 与点A 关于y 轴对称，∴点P 与点B 关于x 轴对称，即2PF ⊥x 轴，∴a b PF 22=.又213PF PF =，∴a b PF 213=.又a PF PF 221=+，∴a b a b a 2232+=，即2122=a b ，∴椭圆C 的离心率22122=-==ab ac e .11.C 解析：∵()30=f ，∴23cos =ϕ.∵0<<-ϕπ，∴6πϕ-=.当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6,66πωπππωx ，∵()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，∴ππωππ362<-≤得619613<≤ω，∴根据图象可以判断，()x f 在[]π,0上有两个极大值点，一个极小值点，∴①错误，②错误；当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈5,0πx 时，6566ππωπωππ-<-≤-，显然065>-ππω，不符合题意∴③错误；由Z ∈ω得3=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63cos 2πx x f ，令Z k k x ∈+=-，263πππ，得Z k k x ∈+=，923ππ，当0=k 时，92π=x ，∴④正确.故选C.12.A 解析：如图，连接SG 并延长交AC 于点D ，连接BD ∵GM AG 2=，∴M G A ,,三点共线，且GM AG 2=.又∵AM 为SAC ∆的中线，∴G 为SAC ∆的重心，∴D 为AC 的中点，且GD SG 2=.又O 为正三角形ABC 的中心，∴B O D ,,三点共线，且OD BO 2=，∴BS OG ∥，且BS OG 31=，∵⊥OG 平面SAC ，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA BS SC BS ⊥⊥，.又∵三棱锥ABC S -为正三棱锥，∴SA SC ⊥.设a SA 2=，则a MB MA a AB 522===，.在MAB ∆中，512cos 222=⋅⋅-+=∠MB MA AB MB MA AMB ，∴562sin =∠AMB ，∴265625521sin 21a a a AMB MB MA S MAB =⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆，即662=a ，解得1=a .由SB SA SB SC SA SC ⊥⊥⊥，，,且2===SC SB SA ，知正三棱锥ABC S -的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，棱长为2的正方体的体对角线长32即为外接球的直径，∴正三棱锥ABC S -的外接球的半径3=R ，表面积为ππ1242=R .二、填空题13.01=--y x 解析：2ln 1xxy -='，当1=x 时，1='y .又当1=x 时，0=y ，∴曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为1-=x y ，即01=--y x .14.3解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，由2234+=S a 得()22211131+++=qa q a a q a .又21=a，∴032223=---q q q ，即0323223=--+-q q q q ，∴()()0132=++-q q q ，解得3=q .15.72973解析：由题意，乙在第一局负的情况下获胜，则乙还需要胜四局比赛.若再比赛四局乙获胜，则概率为811314=⎪⎭⎫⎝⎛，若再比赛五局乙获胜，则概率为24383132414=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯C ，若再比赛六局乙获胜，则概率为7294031324225=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C .综上，一在第一局负的情况下获胜的概率是72973729402438811=++.16.5解析：圆M ：04222=+++b cx y x 可化为42222a y c x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2c M ，半径2a r =.连接BM ，则AF BM ⊥.设双曲线C 的离心率为e ，右焦点为F '，连接F A '.∵c F F c FM 22='=，，∴41='F F FM .又FB F A 4=,∴41=F AFB ，∴F AFBF F FM ='，∴A F MB '∥，∴a MB A F 24=='，︒='∠90AF F ，即AF F A ⊥'.根据双曲线的定义，得a a A F F A 42=+'=.在F AF Rt '∆中，由勾股定理得222F F A F F A'='+，∴()()()222224c a a =+，即225c a =，∴5222==e ac ，∴双曲线C 的离心率为5.三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由A c C a Cb cos cos 32cos22+=得()A c C a C b cos cos 3cos 1+=+.由正弦定理得：()A C C A C B cos sin cos sin 3cos 1sin +=+,∴()C A C A C B B ++=+sin cos sin 2cos sin sin ,∵()B C A sin sin =+，∴C A C B cos sin 2cos sin =.∵2π≠C ，∴0cos ≠C ，∴A B sin 2sin =，∴a b 2=，∴2=ab.（2）由（1）知a b 2=.∵32π=C ,ABC ∆的面积为23，∴232332sin 212==a ab π，解得12=a ，即1=a ，∴22==a b .由余弦定理得724132cos2222=++=-+=πab b a c ，∴7=c .18.解：（1）如图，连接AG AD ，1，∵F E ,分别为棱1DD AD ，的中点，∴EF AD ∥1.∵⊄1AD 平面CEF ，⊂EF 平面CEF ，∴1AD ∥平面CEF ，∵BC AD ∥，且BC AD =，G E ,分别为棱BC AD ，的中点，∴CG AE ∥且CG AE =，∴四边形AECG 为平行四边形，∴CE AG ∥.∵⊄AG 平面CEF ，⊂CE 平面CEF ，∴AG ∥平面CEF .又∵A AG AD = 1，⊂AG AD ,1平面G AD 1，∴平面G AD 1∥平面CEF .∵⊂AM 平面G AD 1，∴∥AM 平面CEF .（2）如图，以1,,DD DC F A 所在的直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系.设()c b a M DA ,,2，=，则()()()020021001，，，，，，，，C G E ，()()4002001，，，，，D F .∵12MD GM =，∴132GD GM =，即()()4,2,132,2,1--=--c b a ，解得383231===c b a ，，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛38,32,31M ，∴()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=32323138,32,32220021，，，，，，，，，FM EM FC EC .设平面MEF 的法向量为()1111,,z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FM n EM ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++-03232310383232111111z y x z y x ，令11=z ，则2211-==y x ，，∴平面MEF 的一个法向量为()1,2,21-=n.设平面CEF 的法向量为()2222,,z y x n =，在⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n FC n EC ，∴⎩⎨⎧=-=+-022022222z y y x ，令12=y ，则1222==z x ，，∴平面CEF 的一个法向量为()1,1,22=n.∴66633,cos 212121==⋅=n n n n n n.设二面角C EF M --的平面角为θ，∴630661,cos1sin 2212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n nθ，即二面角C EF M --的正弦值为630.19.解：（1）设()B B y x B ,，由BA MB =得B 诶线段MA 的中点.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p M ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=02242y y p x B B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2420y y p x B B ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B ，把⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B 代入px y 22=中，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛422220p p y ，把()0,4y A 代入px y 22=中，得p y 820=，∴p p p 2422=⎪⎭⎫⎝⎛-.又0>p ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）由题意，知直线l 的斜率存在且不为0，∵()02，-M ，∴可设直线l 的方程为2-=my x .设()()2211,,y x B y x A ，，则点()11,y x P -.由⎩⎨⎧=-=xy my x 822消去x 得01682=+-my y ，∴0>∆，根据根与系数的关系得1682121==+y y m y y ，.直线BP 的斜率12212212121288y y y y y y x x y y k -=-+=-+=，直线BP 的方程为()21228x x y y y y --=-，∴()()()221222122122128181********y y y y y y y x y y y y y y x ++--=+---=()28112+-=y y y ，即直线BP 的方程可表示为()28112+-=y y y x .∴直线BP 过定点，且定点坐标为()02，.20.解：（1）()exaex x a e x f -=-='22.①当0<a 时，()0>'x f 恒成立，∴()x f 在()∞+，0上单调递增；②当0>a 时，令()0>'x f ，解得2ae x >，令()0<'x f ，解得20aex <<，∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae 上单调递增.综上所述，当0<a 时，()x f 的单调递增区间为()∞+，0，无单调递减区间；当0>a 时，()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，，单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae .（2）当1=a 时，()x x ex f ln 12--=，由（1）可知()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，，单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae .∵方程()m x f =有两个不相等的实数根21,x x ，且21x x <，因此2120x ex <<<.由于2x 时()m x f =的实数根，∴m x x e=--22ln 12，整理得()2221ln x m e x e x -+=-.令()x e x x h ln -=，且2ex >，则()x e x x e x h -=-='1，令()0>'x h ，解得e x >，令()0<'x h ，解得e x e<<2，∴()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛e e ,2上单调递减，在()∞+，e 上单调递增，∴()()0ln =-=≥e e e e h x h ，即0ln 22≥-x e x ，∴()012≥-+x m e ，而01>x ，因此()0112>+-+x x m e ，即()112+<-m e x x .21.解：（1）由题意知X 的所有可能取值为-4，-2,0,2,4,6，且()221663421213===-=C C X P ；()22366922122316==+=-=C C C X P ；()331066200212121613==+==C C C C X P ；()22766212212261213==+==C C C C X P ；()112661242121612====C C C X P ；()661621222===C C X P ，∴X 的分布列为：∴()()()16616112422723310022322214=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=X E .（2）①记一名爱好者第1+n 次购买C 型号盲盒的概率为1+n P ，则()n n n P P P -+=+121321，即21611+=+n n P P ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+5361531n n P P .∵211=P ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+531n P 是以101531-=-P 为首项，61为公比的等比数列，∴16110153-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P ，即53611011+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P .②∵5353611011<+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P ，∴这名爱好者购买C 型号盲盒的概率不能达到53.（二）选考题22.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ，∴θθρcos 2sin 2+=，即θρθρρcos 2sin 22+=.X -4-2246P2212233310227112661又θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x .（2）依题意，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：()043cos 2sin 2=-+-t t αα.设点N M ,所对应的参数分别为21,t t ，则43cos 2sin 2121-=+=+t t t t ，αα.∵点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴1t PM =，2t PN =.∵021<t t ，∴2121t t t t PN PM +=-=-()ϕααα+=+=sin 5cos 2sin ，其中552sin 55cos ==ϕϕ，.由()03cos 2sin 2>++=∆αα，得R ∈α，∴当()1sin ±=+ϕα时，PN PM -最大，且最大值为5.23.解：（1）∵c b a ,,都是正实数，∴02>≥+ab b a ，02>≥+bc c b ，∴()()bc ab c b b a 22⋅≥++，当且仅当1===c b a 时，等号成立，即()()ac b c b b a 4≥++.又∵1=ac ，∴()()b c b b a 4≥++.（2）∵1112121=++++c b a ，∴12212422=++++cb a .由柯西不等式，得()()[]()22122212142221242++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++++++c b a c b a ，即()22215222+≥+++c b a ，即222+≥++c b a ，当且仅当()c b a 21222=+=+，即222222+===c b a ，，时等号成立，∴c b a ++的最小值为222+.。

8.对应泄义域和值域均为［0,1］的函数/(x),宦义：/；(%) = fW ，= lword 版本可编辑•欢迎下载支持.华南师范大学附属中学高三综合测试数学(理)第I 卷(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的1. 已知i 是虚数单位，则复数Z = / + 2/2+3Z 3所对应的点落在扎第一象限： B.第二象限： C.第三彖限；D.第四象限2. 已知全集U =R, A = {x\-\<x<2］. B = {xlx>0},则C b .(A\jB) = A. {xl0<x<2) ； B ・{x\x>0}:C. {xlx>-l ： D ・{xlx<-l}3. 公比为2的等比数列{%}的各项都是正数，且勺终2 =16,则log 2= A. 4：B. 5；C. 6：D ・ 7x + y > 04. 若x 、y 满足约束条件{ 丁「.，则2x+y 的取值范围是Q + y < 1C.\/5j ：5. M 、N 分别是正方体AG 的棱的中点，如图是过M 、N. A 和Q 、N 、C x 的两个截而截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为6.若将函数/(x) = 2x 5表示为/(%) = 6/() +(1 + x) + a 2(\ + x)2+・・・+冬(1 +人・几 其中q, a 2,…，山为实数，则如= A. 10；B ・ 20；C. 一20；D. -107.在MBC 中，已知向^AB = (cos 18°, cos72°), BC = (2cos63°, 2cos27°),则 AABC 的面积为扎迟：B.竺：C.遇：D. 4124 2九（X）=/L/；T（X）］，“ = 2,34…，方程Z,（x） = x^e［0,l］的零点称为/的畀阶不动点。