(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.6 函数性质综合运用(练)

专题 2.10 函数最值【考纲解读】要 求备注内 容A B C函数概念与基本初等√ 1．会运用函数图像理解和研究函数的最值．函数最值函数Ⅰ2．会根据函数解析式选用恰当方法求函数的最值． 【知识清单】1 函数最值的求法:(1)利用函数的单调性:若 y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则 f(a),f(b)分别是 f(x) 在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如 yax 2 bx c (a0)型,用此种方法,注意自变量 x 的范围.(3)利用三角函数的有界性,如sin x [1, 1], cos x [1,1].(4)利用“分离常数”法:形如 y=a x bcx d或 ya xbxe2cx d(a,c 至少有一个不为零)的函数,求其最值可用此法.(5)利用换元法:形如 y ax b cx d 型,可用此法求其最值.(6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值【考点深度剖析】函数的最值是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，求函数最值的方法较多， 需结合函数解析式进行选用．【重点难点突破】考点 1 函数的最值4【2-1】求函数 y ＝x ＋ (x <0)的最大值．x 【答案】－444x(－x －x ) 【解析】∵x <0，∴x ＋ ＝－≤－4，当且仅当 x ＝－2时等号成立．- 1 -∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数 y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的最值． 【答案】最大值为 15，最小值为 0.1－x 2 【2-3】 求函数 y ＝ 的最大值． 1＋x 2 【答案】11－x 2 2 【解析】y ＝ ＝ －1， 1＋x 2 1＋x 2∵1＋x 2≥1， 2 ∴0< ≤2.1＋x 22∴－1< －1≤1.即 y ∈(－1,1]．1＋x 2 ∴ 函数的值域为(－1,1]．【2-4】 求函数 f (x )＝x － 1－2x .的最大值． 【答案】1 2. 1－t 2【解析】法一：(换元法)令 1－2x ＝t ，则 t ≥0 且 x ＝ ，21－t 2 1 于是 y ＝ －t ＝－ (t ＋1)2＋1， 2 211 由于 t ≥0，所以 y ≤ ，故函数的值域是 (, ].221 法二：(单调性法)容易判断 f (x )为增函数，而其定义域应满足 1－2x ≥0，即 x ≤ ，所以 21 1 y f ( )2 21即函数的值域是 (, ] . 2- 2 -x2－x【2-5】求函数y＝的最小值．x2－x＋11【答案】最小值为.3【思想方法】求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．【温馨提醒】求函数最值的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法；在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．【易错试题常警惕】求函数的值域或最值时，忽视函数的定义域导致错误．设f x log 1x log 3x（a 0且a 1），且f 12，则f x在区间a a 3 0,2上的最大值是．【答案】- 3 -- 4 -。

专题2.6 函数性质综合运用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数，和的图象上，则实数的值为__________．【答案】2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知函数()24,0,3,0,x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 ． 【答案】3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为 ▲ . 【答案】98【解析】设00(,)P x y ，则由2y x '=得000000022111(3)32PM y k y x x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒=---，而二次函数1(3)2y x x =--正好过,,O P M 三点，所以19()(3)28f x x x =--≤4. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数1221+=+x x y 与函数x x y 1+=的图象共有k （*∈N k ）个公共点：),(111y x A ， ),(222y x A ，… ，),(k k k y x A ，则=+∑=ki i iy x1)( ．【答案】2【解析】函数1221+=+x x y 与函数x x y 1+=的图象都关于)1,0(对称，共有2个公共点：所以220)(1=+=+∑=ki iiy x5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知()1980,()ln()xf x axg x a a=-=∈R ，若在*x ∈N 上恒有()()0f x g x ≥，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】[44,45]6.已知幂函数f(x)=x 2+m 是定义在区间[-1,m]上的奇函数,则f(m+1)=__________. 【答案】8.【解析】因为幂函数在[-1,m]上是奇函数, 所以m=1,所以f(x)=x 2+m =x 3, 所以f(m+1)=f(1+1)=f(2)=23=8. 7.已知函数f(x)=x 2+,g(x)=-m.若∀x 1∈ [1,2],∃x 2∈[-1,1]使f(x 1)≥g(x 2),则实数m的取值范围是__________. 【答案】【解析】要使∀x 1∈[1,2],∃x 2∈[-1,1],8. f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,有f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为________.【答案】(-∞,-4)∪(0,4)【解析】因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),根据已知条件可知,x<0时,[xf(x)]′<0,所以F(x)=xf(x)在(-∞,0)上递减,又因为f(x)是R上的偶函数,所以F(x)是R 上的奇函数,则F(x)在(0,+∞)上递减,因为f(-4)=0,f(x)为R上的偶函数,所以f(4)=0,则F(-4)=F(4)=0,综合图象可知xf(x)>0的解集应为(-∞,-4)∪(0,4).9已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为________.【答案】3【解析】依题意得f(x)=sgn(lnx)-lnx=令f(x)=0,得x=e,1,,所以函数有3个零点.10.已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则f(2014)与e2014f(0)大小关系为________.【答案】f(2014)<e2014f(0)【解析】构造函数g(x)=,则g′(x)==.因为∀x∈R,均有f(x)>f′(x),并且e x>0,所以g′(x)<0,故函数g(x)=在R上单调递减,所以g(2014)<g(0),即<f(0),也就是f(2014)<e2014f(0)二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

专题2.12 函数模型及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 【答案】202.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是________．(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3) 【答案】2011年【解析】 设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x＝4a .∴x ＝2lg2lg1.09≈16.3. 给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).【答案】①【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 4.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 【答案】16【解析】当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【答案】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.66.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤 才可以排放． 【答案】5 h【解析】设原污染物数量为a ，则P 0＝a .由题意有10%a ＝a e －5k，所以5k ＝ln10.设t h 后污染物的含量不得超过1%，则有1%a ≥a e－tk，所以tk ≥2ln10，t ≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h 才可以排放．7.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 【答案】9【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8.由y ＝22.6，解得x ＝9.8.某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4 000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是 【答案】3元9.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大. 【答案】60【解析】设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，利润为Q 元，依题意，①当1≤x ≤30时，y =1 800元，此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000，此时最大值是当x=30时，Q max =1 800×30-30 000=24 000(元);②当30＜x ≤75时，y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000 =-20x 2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42 000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大.10.某地西红柿从2 月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：. Q=at+b,Q=at 2+bc+c,Q=a ·b t,Q=a ·log b t 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________. (2)最低种植成本是________(元/100kg).【答案】(1)120 (2)80二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

【考纲解读】【直击考点】1.(2017·南通调研)函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为________．【解析】要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为(1，＋∞)．2. (2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－x －2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}．3. (2017·衡水中学月考)设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下：映射f 的对应法则则f [.g (1)]的值为________．【解析】由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1. 4．(2017·盐城中学一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x，log 3x x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 5. (2017·南京、盐城一模)已知函数f (x )＝则f (f (3))＝________，函数f (x )的最大值是________．6. (2017·南通中学模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．【解析】∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，7. (2017·南京、盐城模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【解析】由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.8. (2017·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.9. (2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ，x ＝，－x 2x，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的减区间是[0,1)．10. (2017·泰州一检)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 【解析】当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．当0<a <1，则y ＝a x为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14.11. (2017·南京一中模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为________．【解析】由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]， 即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)．12. (2017·南通调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0，ax x ＋，x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．13. (2017·泰安一模改编)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为________．【解析】 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0. 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.14. (2017·南通调研)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________. 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.15. (2017·无锡调研)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．16.(2017·南京模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.【解析】由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.17.(2017·苏北四市摸底)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．【解析】函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1,0)．18. (2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e|x －2|，x <1.【解析】当x ≥1时，f (x )＝e x≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.19. (2017·南京模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是________(填序号)．20. (2017·苏北四市摸底)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－－x ，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________．【解析】 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．【知识清单】1. 函数性质：定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等2．函数图像及其变换3. 函数与方程【考点深度剖析】1. 函数均是以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到函数与方程、分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等结合考查，有时单独设置题目.2. 对于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意加强对函数与方程、数形结合数学和分类讨论思想的运用.函数知识属于重点知识，考查的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适当难题为辅，加强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练.【重点难点突破】考点1 函数性质综合应用【1-1】 (x)f 是R 上的奇函数，当0x ≥时，3(x)x ln(1x)f =++，则当0x <时，()f x =_______【答案】3x ln(1x)--【解析】∵0x <，∴0x ->，∴3()()ln(1)f x x x -=-+-，又∵(x)f 是R 上的奇函数，∴3()()ln(1)f x x x -=-+-，∴3()ln(1)f x x x =--.【1-2】 定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =_______【答案】3【解析】∵不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，∴'(())0xf x >，∴函数()y xf x =在(0,)+∞上为增函数，又∵)(x f y =在R 上为奇函数，∴函数()y xf x =在(,0)(0,)-∞+∞上为偶函数，且过(3,0)和(3,0)-和(0,0)，∴函数)(x g =3个.【1-3】 定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++(0)a ≠的单调增区间为(1,1)-，若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .【1-4】设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a y ay =+，则正实数的最小值是 .【1-5】 有如下性质：若常数0a >，则函数在上是增函数.（m R ∈为常数），当()0,x ∈+∞时，若对任意x N ∈，都有()()4f x f ≥，则实数m 的取值范围是 .【答案】[]12,20 【解析】当0m <时，函数y x =(0,)+∞(0,)+∞单调递增，所以有(1)(4)f f <，不满足题意；当0m =时，()f x x =在(0,)+∞单调递增，所以有(1)(4)f f <，也不满足题意；当0m >时，根据题意可知函数()f x 在x N ∈，都有()(4)f x f ≥，则须满足(3)(4)(5)(4)f f f f ≥⎧⎨≥⎩即可，即须求解不等，解得1220m ≤≤ 【思想方法】1. 等价转换思想：将不等式恒成立，有解问题等价转化为对应函数最值问题2. 数形结合思想：利用函数图像，研究函数性质3. 函数与方程思想：将方程是否有解及实根分布转化为对应函数性质与图像问题【温馨提醒】利用函数性质解题时，须注意转化的等价性，分类的完备性．【易错试题常警惕】解对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分1a >和01a <<两种情况讨论． 如：解不等式()()2log 4log 2a a x x ->-．【分析】（1）当1a >时，原不等式等价于()2424020x x x x ⎧->-⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩，解之得6x >；当01a <<时，原不等式等价于()2424020x x x x ⎧-<-⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩，解之得46x <<．∴当1a >时，不等式的解集为()6,+∞；当01a <<时，不等式的解集为()4,6． 【易错点】本题容易忽视了对参数的讨论，以为1a >和对数中真数大于而致误．【练一练】已知f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求实数a 的取值范围.。

专题2.2 函数定义域、值域【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 【解析】 由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】 因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t)＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】98． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】 要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ； （4）0x 中的底数不等于0； （5）指数函数x y a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域 【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩得1cos 22,23355x k x k k Z x ππππ⎧≥⇒-+≤≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ 所以33x ππ-≤≤故而所求函数定义域为33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。

【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 若函数f (x )＝x 2－x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】Δ＝1－4a >0，解得a <14.2．[教材改编] 函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是________． 【解析】易知函数f (x )单调递增，且f (2)<0，f (3)>0，故存在唯一的零点． 3．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－2x 2＋x 的零点是________．【解析】 解方程x 3－2x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0和1.题组二 常错题4．(1)函数f (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上存在零点，则实数a 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝x 2－1在区间(－2，2)上零点的个数为________．5．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】二次函数图像的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.6．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是________． 【解析】Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4.题组一 常考题7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________． ①y ＝e x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝sin x ；④y ＝cos x ； ⑤y ＝ln |x |.【解析】y ＝e x 2，y ＝x 2＋1是偶函数，但没有零点；y ＝sin x 是奇函数，有零点；y ＝cosx ，y ＝ln |x |是偶函数，且有零点．8．函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2－x 2的零点个数为________.【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2 判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )；(3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论． 3 函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________． 【答案】(1,2)．【1-2】函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个． 【答案】2【解析】令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【思想方法】(1)等价转化思想． (2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质 考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0【解析】令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知当x＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．如：已知集合(){}2,20x y xmx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，显然AB ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞。

专题6.1 数列的概念与简单表示法【考纲解读】题组一 常识题1． 数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是__________________．2． 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________．【解析】由题意可知，a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝85.3． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)． 【解析】由数列{a n }的通项公式，得a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)＋3]－(2n ＋3)＝2>0，所以{a n }是递增数列． 题组二 常错题4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n ＋1，则该数列的第5项是________． 【解析】由数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1n ＋1，得a 5＝5－15＋1＝46＝23，即数列{a n }的第5项是23. 5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项．【解析】∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11，∴a 5＝14，a 6＝17，a 7＝20＝25，即25是该数列的第7项．6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为______________．【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n－1)＋1]＝6n －5.显然当n ＝1时，不满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，该实数a 的取值范围是________．【解析】∵数列{a n }是递增数列，且a n ＝f (n )，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）⇒2<a <3.题组三 常考题8． 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．9． 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________．【解析】由题易知a 8＝11－a 7＝2，得a 7＝12；a 7＝11－a 6＝12，得a 6＝－1；a 6＝11－a 5＝－1，得a 5＝2，于是可知数列{a n }具有周期性，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.10． 设数列{a n }满足a 1＝0，且a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为____________.【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（n ＋2）2＝n 2＋n －22(n ≥2)．因为a 1＝0满足上式，所以a n ＝n 2＋n －22.【知识清单】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a . 对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 考点2由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a 1. 数列的前n 项和：12n n S a a a =++⋅⋅⋅+ 2．数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩考点3由递推公式推导通项公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a - (2)n ≥ (或前几项)间的关系可用一个公式1()n n a f a -=来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． 考点4 数列的性质的应用数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 【题组全面展示】【1-1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于________． 【答案】32【1-2】已知函数()f x 满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,f f f f ====，则(12)f 的值为_______．【答案】91【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等于前一个式子的值与自变量的值加1的和，(2)(1)3,(3)(2)4,(4)(3)5,,(12)(11)13f f f f f f f f ∴-=-=-=-=，()()[][][]1314121(2)(1)(3)(2)(12)(11)33413123413912f f f f f f f f ⨯∴=+-+-++-=++++=+++++==． 【1-3】已知数列的前几项为112-⨯,123⨯,134-⨯,145⨯,…，则数列的一个通项公式为 . 【答案】()()111nn a n n =-+.【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式()()111nn a n n =-+.【1-4】已知数列的前几项为9,99,999,9 999，…，则数列的一个通项公式为 .【答案】101nn a =-【解析】这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式101nn a =-.【1-5】按数列的排列规律猜想数列23，45-，67，89-，…的第10项是_______．【答案】－2021综合点评：根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子,分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.并以此进行归纳,联想.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．【方法规律技巧】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 【新题变式探究】【变式一】将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即20145a -=_______．【答案】10102013⨯【变式二】已知数列{a n }中，*,n a N ∈对于任意*1,,n n n N a a +∈≤若对于任意正整数k ，在数列中恰有k 个k 出现，则2014a = ． 【答案】63【解析】由题意数列{}n a 就是如图数阵.确定2014a 的值，就是确定数列{}n a 第2014个数在数阵中第几行.因为(1)63(631)62(621)12,2016,1953,222n n n ++++++===所以2014a 在数阵中第63行，所以201463.a = 12,23,3,34,4,4,45,5,5,5,5【综合点评】试题一是一个根据定义求数列的通项公式，做这一类题要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，从而得数列的通项公式.试题二是一个根据数列的规律找通项公式，可根据数列的变化规律，找出2014a 在数阵中的位置，从而可求出2014a 的值.考点2由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a 【题组全面展示】【2-1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝_______． 【答案】16【解析】当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1， 又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)． ∴a n a n －1＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16. 【2-2】数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数)，则n a =_______.【答案】11()11n n r a r r -=-- 【解析】由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ， ∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴11-=-r ra a n n ，∵0r ≠， ∴{}n a 是公比为1-r r的等比数列． 又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，∴11()11n n r a r r -=--． 【2-3】已知数列{}n a 的前n 项和为S n ＝3n－1，则它的通项公式为a n ＝________. 【答案】2·3n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2·3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也满足a n ＝2·3n －1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1.【2-4】已知数列{}n a 的前n 项和2*21()n S n n n N =++∈，则n a =_______.【答案】n a =4,121,2n n n =⎧⎨+≥⎩【解析】1n =时，114a S ==，2n ≥时，221(21)[(1)2(1)1]21n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+，将1n =代入得134a =≠，所以n a =4,121,2n n n =⎧⎨+≥⎩.【2-5】数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N+++=+∈,则=n a . 【答案】综合点评：这些题都是由n a 与前n 项和n S 的关系来求数列{}n a 的通项公式，可由数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系是11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意：当1n =时，1a 若适合1n n S S --，则1n =的情况可并入2n ≥时的通项n a ；当1n =时，1a 若不适合1n n S S --，则用分段函数的形式表示． 【方法规律技巧】已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 【新题变式探究】【变式一】数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式n a =________.【答案】3n【解析】a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n. 【变式二】已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式n a =________．【答案】()()231322n n n a n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【综合点评】这两个题都是n a 与n S 的关系求通项n a 型，利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式：数列{a n }的前n 项和n S 与通项n a 的关系11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，通过纽带：=n a 1n n S S -- (2)n ≥，根据题目求解特点，消掉一个n a 或n S 然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解．如需消掉n S ，可以利用已知递推式，把n 换成(1n +)得到新递推式，两式相减即可．若要消掉n a ，只需把a n ＝S n －S n －1代入递推式即可．不论哪种形式，需要注意公式=n a 1n n S S --成立的条件2n ≥. 考点3由递推公式推导通项公式 【题组全面展示】【3-1】已知数列{}n a 满足111,2(2)n n a a a n n -==⨯≥，则4a =_______． 【答案】192【解析】∵12n n a a n -=⨯，∴12n n a n a -=，∴214a a =，326a a =，438aa =，又因为11a =，所以，41468192a =⨯⨯⨯=【3-2】 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，则数列{}n a 的通项公式n a = . 【答案】125n n n a -=+【3-3】已知数列{}n a 满足1a =1，1n a +=21n a + (n N *∈)，则数列{}n a 的通项公式n a = . 【答案】n a =21n-.【解析】构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列 即1n a p ++=2()n a p + 整理得：1n a +=2n a p +使之满足1n a +=21n a + ∴p=1即{}1n a +是首项为11a +=2，q=2的等比数列∴1n a +=122n -⋅ n a =21n-.【3-4】在数列{}n a 中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】222n n n a -+= (n N *∈).【解析】∵111n a ==时，21324312123.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪-=-⎪⎭时,这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+=且11a =也满足该式 ∴222n n n a -+= (n N *∈). 【3-5】已知数列{}n a 满足,1,13111=+=--a a a a n n n 则数列{}n a 的通项公式n a = .【答案】132n a n =-综合点评：这些题都是由递推公式推导通项公式，由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法． 【方法规律技巧】1. 数列的递推关系是相邻项之间的关系，高考对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解．2. 由递推公式推导通项公式（1）对于11()n n a aa a f n -=⎧⎨=+⎩型，求n a ，迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得1()(2)n n a a f n n --=≥，给递推式1()(2)n n a a f n n --=≥中的n 从2开始赋值，一直到n ，一共得到1n -个式子，再把这1n -个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用111221()()()n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-的方法.（2）对于11()n n a aa f n a -=⎧⎨=⎩型，求n a ，迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法），由已知关系式得1()(2)n n a g n n a -=≥，给递推式1()(2)n n ag n n a -=≥中的n 从2开始赋值，一直到n ，一共得到1n -个式子，再把这1n -个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项. 也可用迭代，即用321121nn n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⨯的方法. （3）对于11n n a aa pa q+=⎧⎨=+⎩(1,0)q b ≠≠型，求n a ，一般可以利用待定系数法构造等比数列{}n a λ+，其公比为.p 注意数列{}n a λ+的首项为1a λ+，不是1.a 对新数列的首项要弄准确. (4)形如11n n n a a ka b--=+的递推数列可以用倒数法求通项．【新题变式探究】【变式一】已知数列{}n a 满足11a =,()11n n na n a -=+(*2,n n N ≥∈),则2161n a n ++取得最小值的n 的值为_____. 【答案】7【变式二】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________. 【答案】12014xx+【解析】111()1111x x f x x x x +-===-+++，0x ≥，11x ∴+≥，111x ∴≤+，1101x∴-≥+，即()0f x ≥，当且仅当0x =时取等号，当0x =时，(0)0n f =，当0x >时()0f x >，1()(())n n f x f f x +=1()()1()n n n f x f x f x +∴=+，11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++∴==+，即1111()()n n f x f x +-= ∴数列1{}()n f x 是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列 11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+，()(0)1n x f x x nx ∴=>+，当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n x f x x nx∴=≥+，2014()12014xf x x ∴=+.【综合点评】这两个题都是由由递推关系式求数列的通项公式，第一题与不等式结合，第二题与函数结合，第一题首先由叠乘法求出通项公式，然后代入有基本不等式可得，第二题由函数的性质找出递推关系，从而找出()(0)1n xf x x nx=≥+，即可得出)(2014x f 的表达式. 考点4 数列的性质的应用 【题组全面展示】【4-1】已知()225n a n n n N +=-+∈，则数列{}n a 的最大项是_______．【答案】1213a a 或【解析】n a 是关于n 的二次函数. 【4-2】设函数6(3)3,7(),7x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈,且数列{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为_______． 【答案】(2,3)【4-3】在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，(319)2nn a n =-⋅，则当n S 最小时，n 的值为_______．【答案】6 【解析】令0n a ≤，得6n ≤，故当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，故当6n =时，n S 最小.【4-4】若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为_______．【答案】7【4-5】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2132n n S S n n -+=….若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】915,44⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：由条件213(2)n n S S n n -+=≥得21)1(3+=++n S S n n ，两式相减得361+=++n a a n n ，故9612+=+++n a a n n ，两式再相减得62=-+n n a a ，由2=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=，从而a n a n 2662-+=；3=n 得2721321=++++a a a a a ，a a 233+=，从而a n a n 23612+-=+，由条件得⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-+-<-+-<a n a n a n a n a a 26)1(6236236266212，解之得41549<<a . 综合点评：这些题都是数列的函数特征的应用，做这一类题，一是利用函数的性质，同时注意数列的性质，抓住试题的关键，灵活应用.【方法规律技巧】1.数列中项的最值的求法数列中n a 或n S 的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列n a 或n S 的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是n 只能取正整数．数列中最大项和最小项的求法求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩. 前n 项和最值的求法 (1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.2． 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究．4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．5．数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．【新题变式探究】【变式一】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+，前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，不等式216n n m S S ->恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5【变式二】定义在R 上的函数)(x f y =满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)5(x f xf =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20131(f ． 【答案】132【综合点评】这些题都是数列函数特征的应用，第一题利用函数恒成立问题，转化为求最小值；第二个题利用数列的增减性，采用赋值法，来确定函数值.【易错试题常警惕】易错典例：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．易错分析：忽略考虑1n =时情况.正确解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，6n －5，n ≥2.温馨提醒：a n 与S n 关系不清致误：在数列问题中，数列的通项a n 与其前n 项和S n 之间存在下列关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n ＝1和n ≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点．。

专题6.1 数列的概念与简单表示法一、填空题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝_______【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3；当n ＝1时， a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝2n －3(n ∈N *)，所以a 2＋a 18＝34.2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_______ 【解析】令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.3．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于_______ 【解析】在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8. ∴a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.4．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝_______【解析】由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23，故选C.5．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝_______6．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于_______ 【解析】∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.7．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________． 【解析】∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n －1＝2n，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.8．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．【解析】令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．即0.08是该数列的第10项．9．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1(a n ＋2)＝a n (n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －p )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1，b 1＝－p ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数p 的取值范围为________．10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.【解析】∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 二、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1， a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②，整理得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．。