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九年级数学上册5年高考3年模拟人教版全文共5篇示例，供读者参考九年级数学上册5年高考3年模拟人教版篇1一、指导思想：初三数学是以党和国家的教育教学方针为指导,按照九年义务教育数学课程标准来实施的,其目的是教书育人,使每个学生都能够在此数学学习过程中获得最适合自己的发展。
通过初三数学的教学，提供参加生产和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能，进一步培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决简单的实际问题，培养学生的数学创新意识、良好个性品质以及初步的唯物主义观。
二、教学内容：本学期所教初三数学包括第二十七章圆，第二十八章一元二次方程，第二十九章相似形，第三十章, 反比例函数，第三十一章命题与证明,第三十二章,三角函数,第三十三章频率与概率。
其中圆，证明(二)，相似形，这三章是与几何图形有关的。
一元二次方程，反比例函数这两章是与数及数的运用有关的。
频率与概率则是与统计有关。
三、教学目的：在新课方面通过讲授《证明(二)》的有关知识，使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力，并能运用这些知识进行论证、计算、和简单的作图。
进一步掌握综合法的证明方法，能证明与三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、以及正方形等有关的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关的结论。
在《相似形》这一章通过具体活动，积累数学活动经验，进一步增强学生的动手能力发展学生的空间思维。
在《频率与概率》这一章让学生理解频率与概率的关系，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。
在《一元二次方程》和《反比例函数》这两章，让学生了解一元二次方程的各种解法，并能运用一元二次方程和函数解决一些数学问题，逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学方法。
同时学会对知识的归纳、整理、和运用。
从而培养学生的思维能力和应变能力。
四、教学重点、难点本册教材包括几何部分圆，《证明(二)》，《相似形》。
代数部分《一元二次方程》，《反比例函数》。
§9.5抛物线及其性质挖命题【考情探究】分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法及数学语言的考查.破考点【考点集训】考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2019届广东顶级名校期中联考,3)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是()A.2B.3C.4D.5答案C2.(2018河南中原名校12月联考,11)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为3,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=yB.x2=4yC.x2=12yD.x2=24y答案D3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为.答案考点二抛物线的几何性质1.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B2.(2017广东中山一调,5)已知抛物线x2=2py(p>0)的准线与椭圆+=1相切,则p的值为()A.4B.3C.2D.1答案A3.(2019届安徽皖中地区9月调研,9)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A. B. C. D.答案D考点三直线与抛物线的位置关系1.(2019届安徽皖东第二次联考,8)若抛物线x2=2y在点(a>0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8,则此切线方程是()A.x-4y-8=0B.4x-y-8=0C.x-4y+8=0D.4x-y+8=0答案B2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A. B.6 C.12 D.7答案C3.(2019届福建福州9月质检,9)抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点,若P(1,1)为线段AB 的中点,则抛物线C的方程为()A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x答案B4.(2018广东深圳二模,15)设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A,B两点,直线OP 与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q,则=.答案3炼技法【方法集训】方法1求抛物线的标准方程的方法1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x答案B2.(2019届湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是()A.y2=8xB.x2=8yC.y2=4xD.x2=4y答案A3.(2017河北六校模拟,14)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为.答案y2=16x方法2抛物线定义的应用策略1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|=()A.8B.C.6D.答案D3.(2019届河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则 PAF周长的最小值为.答案13方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l与C交于A,B两点.若|AB|=10,则 OAB的重心的横坐标为()A. B.2 C. D.3答案B2.(2018湖北武汉模拟,9)过点P(2,-1)作抛物线x2=4y的两条切线,切点分别为A,B,PA,PB分别交x轴于E,F两点,O为坐标原点,则PEF与 OAB的面积之比为()A. B. C. D.答案C3.(2019届河南洛阳期中检测,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点P的纵坐标为3,且|PF|=4,过M(m,0)作抛物线C的切线MA(斜率不为0),切点为A.(1)求抛物线C的方程;(2)求证:以FA为直径的圆过点M.解析(1)∵|PF|=y P+,∴4=3+,∴p=2.∴抛物线C的方程为x2=4y.(4分)(2)证明:设A(x0≠0),切线MA的斜率为k(k≠0).∵x2=4y,∴y=,∴y'=,∴k=.(5分)∴切线MA的方程为y-=(x-x0),即y=x-.(6分)∵切线过M(m,0),∴-=0.又∵x0≠0,∴x0=2m.(8分)∵F(0,1),M(m,0),A(x0≠0),∴·=(-m,1)·-=(-m,1)·(m,m2)=0,(10分)∴∠FMA=90°,因此,以FA为直径的圆过点M.(12分)过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A. B.1 C. D.2答案D2.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由-得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=+=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)==-=0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.3.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q 两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0,且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=-=-==-=-b=k2.-所以AR∥FQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S PQF=-.由题设可得2×|b-a|-=-,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得=(x≠1).-而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-B.-1C.-D.-答案C2.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B-.,故直线FN的斜率为--.又直线AB的斜率为-从而得直线FN:y=--(x-1),直线BN:y=-.-.所以N-设M(m,0),由A,M,N三点共线得-=--,于是m=-.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得k AN=k AM,最终求出结果.考点二抛物线的几何性质1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D2.(2014安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A3.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)4.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-2=1考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-∞,-1)∪(1,+∞)2.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求 PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由-消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故--解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=,设 PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.C组教师专用题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2013课标Ⅰ,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则 POF的面积为()A.2B.2C.2D.4答案C2.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则 ABP 的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C3.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=±x考点二抛物线的几何性质1.(2013课标Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)答案C2.(2014陕西,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为.答案x=-13.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案x=-2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案D2.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则 ABO 与 AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.答案B3.(2014浙江,22,14分)已知 ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若||=3,求点M的坐标;(2)求 ABP面积的最大值.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M-或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0,于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以---由=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又因为|AB|=4,点F(0,1)到直线AB的距离为d=,所以S ABP=4S ABF=8|m-1|=-.记f(m)=3m3-5m2+m+1-.令f'(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可得f(m)在-上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f,所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,ABP面积的最大值为.4.(2014福建,21,12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|---=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以--=y+1,化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2,设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=,由y'=x,得切线l的斜率k=y'=x0,所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由-得A.由-得M.又N(0,3),所以圆心C,半径r=|MN|=,|AB|=-=--=.所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.5.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即-=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).-由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③若由②③解得k<-1或k>,即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或由②③解得k∈-或-≤k<0,即当k∈-时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈-时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈-∪-时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若由②③解得-1<k<-或0<k<,即当k∈--∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈-∪-时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈--∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.6.(2014大纲全国,22,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4).则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E-,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)7.(2012课标全国,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解析(1)由已知可得 BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为 ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m在y轴上的截距b1=,所以=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.8.(2010全国Ⅰ,22,12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)证明:点F在直线BD上;(2)设·=,求 BDK的内切圆M的方程.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m≠0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=0,从而y1+y2=4m,y1y2=4.①·(x-x2),直线BD的方程为y-y2=-·-.即y-y2=-令y=0,得x==1.所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由(1)知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=,解得m=±.所以l的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0.又由①知y2-y1=±-=±,故直线BD的斜率为=±,-因而直线BD的方程为3x+y-3=0,或3x-y-3=0.因为KF为∠BKD的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1<t<1),M(t,0)到l及BD的距离分别为,-.由=-得t=或t=9(舍去),故圆M的半径r==.所以圆M的方程为-+y2=.【三年模拟】时间:60分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019届安徽淮北第一中学期中考试,11)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点P(m,-3)到焦点的距离为5,则抛物线的方程为()A.x2=8yB.x2=4yC.x2=-4yD.x2=-8y答案D2.(2019届贵州贵阳重点中学第一次联考,11)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则||=()A.3B.2C.D.答案D3.(2019届福建泉州五中11月月考,9)已知抛物线C:y2=4x,那么过抛物线C的焦点,长度不超过2015的整数的弦的条数是()A.4024B.4023C.2012D.2015答案B4.(2019届湖南湖北八市十二校第一次调研,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于()A. B. C.2 D.4答案C5.(2019届湖北武汉重点中学期初调研,12)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN 的中点,则|FN|=()A.4B.6C.8D.10答案B6.(2019届广东韶关第一中学9月月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则·=()A. B. C.2a D.4a答案B7.(2019届广东佛山第一中学9月月考,11)已知P为抛物线y=ax2(a≠0)准线上一点,过点P作抛物线的切线PA,PB,切点分别为A,B.若切线PA的斜率为,则切线PB的斜率为()A.-aB.-3C.-D.-答案B8.(2017江西新余、宜春联考,11)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=,设线段AB 的中点M在l上的投影为N,则的最大值是()A. B. C. D.答案C二、填空题(共5分)9.(2017安徽黄山二模,14)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于点B,则 AOB的面积为.答案4三、解答题(共20分)10.(2018广东惠州调研,20)已知圆x2+y2=12与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,点B的横坐标为2,F为抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值.解析(1)设B(2,y0),由题意得解之得所以抛物线的方程为x2=4y.(2)设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P1,P3在圆上,P2,P4在抛物线上.因为直线l过点F且斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1.联立得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-,所以|P1P3|=-=×---=.由得x2-4x-4=0,所以x2+x4=4,x2x4=-4.所以|P2P4|=-=×--=8.由题意易知|P1P2|=|P1P3|-|P2P3|①,|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|②,①-②得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,∴|P1P2|-|P3P4|=-8.11.(2019届广东佛山第一中学9月月考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点M(2,y0)到F的距离为3.(1)求抛物线C的方程;(2)斜率存在的直线l与抛物线相交于相异的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4.若线段AB的垂直平分线交x轴于点G,且·=5,求直线l的方程.解析(1)由抛物线定义知|MF|=2+,所以2+=3,解得p=2,所以,抛物线C的方程为y2=4x.(2)设线段AB的中点坐标为(2,m),则y1+y2=2m.因为直线l的斜率存在,所以m≠0,k AB=--=--=,所以直线AB的方程为y-m=(x-2),即2x-my+m2-4=0.由--得y2-2my+2m2-8=0,其中Δ>0,即m2<8,-线段AB的垂直平分线方程为y-m=-(x-2),令y=0,得x=4,所以G(4,0),所以=(x1-4,y1),=(x2-4,y2).因为·=5,所以(x1-4)(x2-4)+y1y2=5,即x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2=5,也即-4×4+16+y1y2=5③,把②代入③得(m2-4)2+8(m2-4)-20=0,化简,得(m2+6)(m2-6)=0,所以m2=6<8,所以m=±.所以直线l的方程为2x-y+2=0或2x+y+2=0.。
抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。
§ 8.3抛物线本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理思考探究1.抛物线的定义中，定点F能否在定直线/上?提示：不能.定义中还有一个隐含条件，就是定点F不在定直线/上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是一条直线.如到点F(1,O)与到直线Z： x+j-l=O的距离相等的点的轨迹方程应为兀一y —1=0,轨迹为过F且与Z垂直的一条直线.2.抛物线标准方程中，p的几何意义是什么？提示：表示焦点到准线的距离，恒为正数.课前热身（2011•高考陕西卷）设抛物线的顶点在原点，准线方程为兀则抛物线的方程是（A. y2=—8xD. y2=4x解析：选B•因为抛物线的准线方程为x=-2,所以纟=2,所以p=4,所以抛物线的方程是犷=0C.所以选B.2. （2011•高考辽宁卷）已知F是抛物线j2=x的焦点，A, B是该抛物线上的两点，IAFI+\BF\=3,则线段4B的中点到y轴的距离为（）A4B. 1D2^•4Uy解析：选C.・・・|AFI+IBFI=%+XB+2=3,■ •兀A+X£=2»・•・线段4B的中点到歹轴的距离为也弓卫=壬.3.若点P 到直线兀=一1的距离始终比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为()B.椭圆答案：DA.圆 C.双曲线 D.抛物线4.抛物线尸=8兀的焦点坐标为答案:(2,0)5.设抛物线y2=lx,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过AB中点M作兀轴平行线交y轴于N,若IMNI=2,贝!|IABI =答案:考点1抛物线的定义抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有重要作用.点，又有点A(3,2),求IB4I + IPF啲最小值，并求出取最小值时P点的坐标.【思路分析】要求最小值问题，可考虑抛物线的定义，通过定义转化为“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”这些结论.【解】 将兀=3代入抛物线方程/=2x,得y=土也. •・• &>2,・・・4在抛物线内部.如图，设抛物线上的点P 到准线Z ：兀=一寸的距离为d 9由定义知\PA\ + \PF\ = \PA\+d.当E4丄2 |7-2 为 ,即IMI+IFFI 的最小值 此7-Y为时P点纵坐标为2,代入y=2x,得x=2,所以点P坐标为(2,2).【领悟归纳】若点Po（xo,旳）是抛物线y2=2px（p>0）上的任一点,则该点到抛物线的焦点F的距离IPoFI=xo+纟焦半径公式）, 这一公式的直接应用会为我们求解有关到焦点或准线的距离问题带来方便. 考点2求抛物线的标准方程求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，标准方程有四种形式，在设方程形式之前，首先要确定抛物线的开口方向.求下列各抛物线的方程:(1)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点M(一2, -4);(2)顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点0(加，—3)到焦点的距离等于5.【思路分析】⑴中抛物线开口方向不定;(2)利用抛物线定义求解.【解】(1)设抛物线为或则（一4）2=祝（一2）今加=—8,或（_2）2=〃（_4）=>M =_1,(2)依题意，抛物线开口向下,•••所求的抛物线方程为/=-8x或x2=—y.故设其方程为x2 = —2py(p>Q).则准线方程为又设焦点为F, 则I0FI=$—X0 艮吋_（一3）=5=>p=4・故抛物线方程为X2=-8J.【易错警示】这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去另一解.跟踪训练求焦点在直线工一2y—4=0上的抛物线的标准方程.解：直线x-2y-4=0与兀轴的交点为(4,0),与丿轴的交点为(0, -2),故抛物线的焦点为(4,0)或(0，-2). 当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2 = 2px(p>Q),所以抛物线方程为y2=16x.当焦点为(0, —2)时，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)9—2=—2, p=4.所以抛物线方程为x2 = —8y.考点3抛物线的几何性质及应用抛物线的性质和椭圆、双曲线比较差别较大，它的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线、它没有中心，能正确地应用抛物线的几何性质解决一些简单的问题，结合抛物线的定义，解决与之有关的基本运算，以提高应用知识解决问题的能力.如图，过抛物线尸=2px(p>0)的焦点F 的直线与抛物线 相交于M 、N 两点,自M 、N 向准线M 乍垂线，垂足分别为.也可用向量计算罚1•两1.【证明】法一：由抛物线的定义得 \MF\ = \MMi\9 INFI = INMI ，设准线I 与X 轴的交点为F1，•:MM\//NN\//FF\, :. ZMFMi=ZMMiF= ZF x FM ly Mi 、N 、・ 求证：加1丄FA"【思路分析】 可用几何法，挖掘梯形MMiMN 的性质计算 MyZNFN、= ZNN\F= ZF、FN\,而ZF/M1+ ZMFM1 + ZF1FM + 180°, 即2ZF1FM1 + 2ZF1FM = 180°,A ZF I FM I+ZF I FM=90°,:.FM I丄FN\・,0),准线/的方程为兀=—纟设 点M, N 的坐标分别为M (X1，Ji), N(x 2f J2)»直线MN 的方 p，丿1)，Ni(—，y 2), FMi = (—p f Ji),兩i = (—p, j 2)，由 y 2=2px2 2 2 得，y —2mpy —p =0,于是，力+力=2加卩，y\yi=~p\ ••• FM V FN 1 =p 2+yiy2=p 2-p 2=0, ••• FM1 丄FN\・【思维总结】 本题体现了抛物线的焦点弦的常用性质：如 法二：依题意，焦点为 程为x=my+^9则有Mi(—跟踪训练2•在本例中，点P 为MN 的中点, 求证：M0丄N0・IP0l=*(IMMil + lNNil) =£(IMFI+ INFI)=*IMNI ・又TP 为MV 的中点.••• IP0I = \PM\ = \PN\, A 2(ZMQP+ZNQP)=180°, 证明：在直角梯形MM\N\N 中,P0丄l 于Q 点,如图.ZMQP+ZNQP=9Q°, :.MQ丄N0方法技巧1.抛物线的定义体现了抛物线上的点到定点距离与到定直线距离相互转化的应用.2.为避免开口方向不一定而分成y2=2px（p>Q）或y2= — >0）两种情all况求解的麻烦，可以设成y2=mx或兀2=与（加工0, 兀H0）,若加>0,开口向右，/wVO开口向左，加有两解，则抛物线的标准方程有两个.3.抛物线比较常见的结论⑴若直线Z过焦点交抛物线y2=2px（p>0）于A（M，力）、2B（x2,力）两点，贝!lyij2=—/A 兀1兀2=^；(2)抛物线顶点到焦点的距离为抛物线上任意一点到焦点距离的最小值；(3)抛物线的通径长为过抛物线的焦点的弦长的最小值；过焦点的弦长IABI=xi+x2+p=s^^(6>为AB的倾斜角),通径长为②;(4)若抛物线方程为y2=2px(p>0)f过(切,0)的直线与抛物线交于A、〃两点，则04丄OB.反之成立.失误防范1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求P值，但首先要判点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程. 2.直线与抛物线相交，要注意直线是否过焦点.命题预测对于抛物线的考查，主要涉及抛物线的定义、几何性质、标准方程及直线与抛物线的位置关系，多以选择、填空题为主, 属于中档题.解答题多与其它曲线结合，综合考查解析几何的基本思想方法和运算、求解能力.2012年的高考中，四川卷、重庆卷等考查了抛物线的定义、方程、性质等综合应用，浙江卷、福建卷等以解答题型出现, 综合考查了解析几何的思想和解题方法，属难度较大题目.预测2014年的高考中，着重考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，仍将以选择题、填空题为主，也可能出现与其他知识结合起来的综合题，若出现与向量、三角、列不等式求解式证明定点、定值、最值.存在性等问题,则综合性较强且难度较大.规范解答2px(p>Q)的焦点，斜率为2、任的直线交抛物线于A(x P jx), B(xi，yi)(x I<X2)两点，且\AB\ = 9.⑴求该抛物线的方程.(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，^OC=OA+2OB9求2的值.【解】（1）直线AB的方程是丿=2長-分与y2=2px联立，从而有4x2—5px+p2=0, 所以衍+兀2=乎・（3分）由抛物线定义得IABI=xi+x2+p = 9,所以p=4f从而抛物线方程是y2=8x.（6分）(2)由p=4知4x2—5px+p2=0 可化为X2-5X+4=0,从而X!=l, X2=4, J1 = —2V2,丿2=4、/1,从而A(l, -2V2), B(4A母(9 分)设荒=(兀3,山)=(1，一2血)+2(4,4问=(42+1,4问一2佝，又ji=8x3,所以[2血(22 -1)]2=8⑷ +1),即(22-1)2=42+1,解得2=0或2=2.(13分)【名师点评】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质, 平面向量的交点设而不求，应用根与系数的关系解决问题.在设点的坐标时，应尽可能的应用已知条件，在求解过程中减少繁杂的化简运算.点击进入本部分内容讲解结束。
§8.6抛物线Ａ组基础题组1.(2014安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-22.(2015浙江杭州六中期末)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. B. C.2 D.-16.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .7.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷一,14)过抛物线y2=2x的焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,且|AB|=4,则AB的中点的横坐标是.8.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,11)已知点F为抛物线x2=4y的焦点,O为坐标原点,点M是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且|AF|=2,则|OA|= ;|MA|+|MO|的最小值是.9.(2015浙江新高考研究卷四(舟山中学),11)已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为的点到焦点的距离为3.(1)p= ;(2)点M在抛物线C上运动,点N在直线x-y+5=0上运动,则|MN|的最小值等于.10.(2016超级中学原创预测卷七,11,6分)已知正六边形ABCDEF的边长是2,抛物线y2=2px(p>0)恰好经过该正六边形的四个顶点,,过抛物线的焦点Q的直线交抛物线于M,N两点.若焦点Q是弦MN靠近点N的三等分点,则该抛物线的标准方程是,直线MN的斜率k等于.11.(2015浙江冲刺卷一,14,4分)已知直线x=my+2与抛物线y2=8x交于A,B两点,点C(-1,0),若∠ACB=90°,则m= .12.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,14)已知M(a,4)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,N为y轴上的动点,当sin∠MNF的值最大时,△MNF的面积为5,则p的值为.13.(2015浙江七校联考,18)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.14.(2015福建,19,12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.15.(2013浙江,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.16.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,19)已知抛物线C1:x2=4y的焦点为F,过点F且斜率不为零的直线l与抛物线C1相交于不同的两点A,C,并与曲线C2:x2=-4(y-2)相交于不同的两点B,D,其中A,B两点在y轴右侧.(1)求A,B两点的横坐标之积;(2)记直线OA,OB,OC,OD的斜率分别为k1,k2,k3,k4,是否存在常数λ,使得k1+k3=λ(k2+k4)?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.B组提升题组1.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)2.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.83.(2015宁波高考模拟考试,5,5分)已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=12,则线段AB的中点到y轴的距离为( )A.4B.5C.6D.114.(2015河南焦作期中,11)已知点P在抛物线y2=4x上,点M在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,点N的坐标为(1,0),则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5B.4C.3D.+15.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )A. B.6 C.12 D.76.已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与x轴平行,若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴相切于点Q,则( ) A.Q点位于原点的左侧B.Q点与原点重合C.Q点位于原点的右侧D.以上均有可能7.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)8.(2015稽阳联考,13,6分)过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B,若|AF|=3|BF|,则l的斜率是.9.(2015浙江六校联考,13,4分)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点,设|FA|>|FB|,则= .10.(2015杭州二中高三仿真考,13,4分)已知点A在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,点M,N 在抛物线C上,且位于x轴的两侧,O是坐标原点,若·=3,则点A到动直线MN的最大距离为.11.(2015嘉兴教学测试二,14,4分)抛物线y2=4x的焦点为F,过点(0,3)的直线与抛物线交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点D,若|AF|+|BF|=6,则点D的横坐标为. 12.(2016超级中学原创预测卷五,14,6分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,则点F的坐标为,若A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,且线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(4,0),则|AB|的最大值为.13.(2015稽阳联考文,19,15分)点P是在平面坐标系中不在x轴上的一个动点,满足:过点P 可作抛物线x2=y的两条切线,切点分别为A,B.(1)设点A(x1,y1),求证:切线PA的方程为y=2x1x-;(2)若直线AB交y轴于R,OP⊥AB于点Q,求证:R是定点并求的最小值.14.(2015浙江五校二联文,19,15分)已知抛物线y2=2x上有四点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),点M(3,0),直线AB、CD都过点M,且都不垂直于x轴,直线PQ过点M且垂直于x轴,交AC于点P,交BD于点Q.(1)求y1y2的值;(2)求证:MP=MQ.15.(2015浙江冲刺卷一,22)已知点M(0,-1),抛物线E:x2=4y,过点N(-4,1)的直线l交抛物线E于A,B两点,点A在第一象限.(1)若直线MA与抛物线相切,求直线MA的方程;(2)若直线MA交抛物线E于另一点C,问直线BC是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.16.(2014浙江,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若||=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值.Ａ组基础题组1.A 由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-1.故选A.2.D 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1,易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.3.D 易知直线AB的方程为y=,与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-.S△OAB=|OF|·|y1-y2|=×==.故选D.4.C 点A是抛物线的准线与x轴的交点,过P作抛物线准线的垂线,记垂足为B,则由抛物线的定义可得==sin∠PAB,当∠PAB最小时,的值最小,此时,直线PA与抛物线相切,可求得直线PA的斜率k=±1,所以∠PAB=45°,的最小值为,故选C.5.B 依题意不妨设A(x1,),B(x2,-),·=2⇒x1x2-=2⇒=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则S△ABO+S△AFO=2+=;当x1≠x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是S△ABO+S△AFO=×2×(+)+×=+≥2=3当且仅当=时取“=”,而>3.故选B.6.答案 2解析抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-(p>0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.7.答案解析由已知得AB为抛物线的焦点弦,则|AB|=xA+x B+1=4,∴x A+x B=3,故AB的中点的横坐标是.8.答案;解析易知F(0,1).设A(x,y),由|AF|=2,得y+1=2,∴y=1,代入x2=4y得x=±2,所以A(±2,1),则|OA|=.设B(0,-2),因点M在抛物线准线上,则|MO|=|MB|,从而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因A,B为定点,则|MA|+|MB|的最小值即为|AB|=,故|MA|+|MO|的最小值是.9.答案(1)1 (2)解析(1)依题意得+=3,解得p=1.(2)设M(x,y),则y2=2x.则|MN|的最小值等于点M到直线x-y+5=0的距离d的最小值.而d====,则当y=1时,d min=,故|MN|的最小值等于.10.答案y2=x;±2解析 如图所示,根据对称性,可设正六边形ABCDEF 的顶点A,B,C,F 在抛物线y 2=2px(p>0)上,A(x 1,1),F(x 2,2),则即x 2=4x 1,又|AF|==2,即(x 1-x 2)2=(x 1-4x 1)2=3,所以=,x 1=,则p===,则抛物线的方程是y 2=x,则Q,设直线MN 的方程为x=my+.将直线MN 的方程与抛物线的方程联立,消去x 得y 2-my-=0.设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),所以y 3+y 4=m ①,y 3y 4=-②,因为焦点Q 是弦MN 靠近点N 的三等分点,所以=2,所以y 3=-2y 4③,联立①②③消去y 3,y 4,得m=±,所以直线MN 的斜率k=±2.11.答案 ±解析 设A(x1,y 1),B(x 2,y 2),联立得消去x 得y 2-8my-16=0,则有y 1+y 2=8m,y 1y 2=-16.由∠ACB=90°,知·=0,即有(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0, 则有(my 1+3)(my 2+3)+y 1y 2=0, 即(m 2+1)y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=0, 则-16(m 2+1)+24m 2+9=0,解得m=±. 12.答案 2或8解析 设N(0,n),当sin ∠MNF 的值最大时,有∠MNF=,从而有·=0,得ap+n 2-4n=0.又2ap=16,所以n 2-4n+4=0,所以n=2,所以N 的坐标为(0,2)时,sin ∠MNF 的值最大.过M 作MM'⊥y 轴,垂足为M',则梯形OFMM'的面积为10,10=·4,又ap=8,得p=2或8. 13.解析 (1)直线AB 的方程是y=2,由消去y 得4x 2-5px+p 2=0, 所以x 1+x 2=.由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p=9, 所以p=4,从而抛物线方程是y 2=8x. (2)由p=4,4x 2-5px+p 2=0可得x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2,y 2=4, 从而A(1,-2),B(4,4). 设=(x 3,y 3)=(1,-2)+λ(4,4) =(4λ+1,4λ-2),由=8x 3,得[2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1, 解得λ=0或λ=2.14.解析 (1)由抛物线的定义得|AF|=2+. 因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2, 所以抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上, 所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.15.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标x M===.同理,点N的横坐标x N=.所以|MN|=|x M-x N|==8=.令4k-3=t,t≠0,则k=.当t>0时,|MN|=2>2.当t<0时,|MN|=2≥.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.16.解析(1)设A(x 1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0.又易知F(0,1),则由A,B,F三点共线得=,即x2=x1,得(x1+x2)x1x2=4(x1+x2),∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴x1x2=4,故A,B两点的横坐标之积为4.(2)存在.显然直线l的斜率存在,且不为零,故可设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得x2-4kx-4=0.设C(x3,y3),则有x1+x3=4k,且x1x3=-4.则k1+k3=+=+=+==k.由得x2+4kx-4=0.设D(x4,y4),则有x2+x4=-4k,且x2x4=-4.则k2+k4=+=+=+--=+k=+k=3k,∵k≠0,∴k1+k3=(k2+k4).故存在常数λ=,使得k1+k3=λ(k2+k4).B组提升题组1.B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.2.A 由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.3.B 记A,B在抛物线准线x=-1的投影分别为A',B',故|AA'|+|BB'|=|AF|+|BF|=12,由中位线定理可得所求距离d=-1=5,故选B.4.C 因为抛物线y2=4x的焦点为N(1,0),所以|PM|+|PN|的最小值等于点M到抛物线的准线x=-1的距离的最小值.而点M在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,则点M到准线x=-1的距离的最小值等于圆心(3,1)到准线的距离减去半径1,即(|PM|+|PN|)min=4-1=3,故选C.5.C 焦点F的坐标为,直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=,即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+=+=12,故选C.6.B 如图,设直线l,x轴分别与抛物线的准线交于C,D两点,由抛物线的定义知|PC|=|PF|,由圆的切线性质知|PA|=|PB|,于是|AC|=|BF|.又|AC|=|DO|,|BF|=|FQ|,所以|DO|=|FQ|,而|DO|=|FO|,得O,Q两点重合.故选B.7.D 显然0<r<5.当直线l的斜率不存在时,存在两条满足题意的直线,所以当直线l的斜率存在时,存在两条满足题意的直线,设直线l的斜率为k,由抛物线和圆的对称性知,k>0、k<0时各有一条满足题意的直线.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),k====.记圆心为C(5,0).∵k CM=,k·k CM=-1,∴x0=3.∴r2=(3-5)2+>4(y0≠0),即r>2.另一方面,由AB的中点为M,知B(6-x1,2y0-y1),∴(2y0-y1)2=4(6-x1),又∵=4x1,∴-2y0y1+2-12=0.∴Δ=4-4(2-12)>0,即<12.∴r2=(3-5)2+=4+<16,∴r<4.综上,r∈(2,4).故选D.8.答案±2=4x,得y2-4ty-4=0,∴解析由题意设l:x=ty+1,A(xy1+y2=4t,y1y2=-4.又=3,∴y1=-3y2,∴∴t2=,即k=±.9.答案3+2解析过抛物线C的焦点,斜率为1的直线方程为y=x-,代入抛物线C的方程,整理得4x2-12px+p2=0.又由题意可得x A>x B,解得x A=p,x B=p,所以====3+2.10.答案解析由题意知抛物线的准线方程为x=-=-,解得p=1,所以抛物线的方程为y2=2x.设直线MN的方程为x=ty+m,M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN与x轴的交点为D(m,0),联立直线MN与抛物线的方程,得y2-2ty-2m=0,所以y1y2=-2m.因为·=3,所以x1x2+y1y2=3,即(y1y2)2+y1y2-3=0.因为M,N位于x轴的两侧,所以y1y2=-6,所以m=3,则直线MN恒过点D(3,0).当直线MN绕定点D(3,0)旋转时,旋转到AD⊥MN时,点A到动直线MN的距离最大,且为=.11.答案 4解析设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y-3=kx(k<0),即y=kx+3,联立直线AB的方程与抛物线方程消去y,得k2x2+(6k-4)x+9=0,所以x1+x2=.又p=2,根据抛物线的定义有|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2=6,所以x1+x2==4,解得k=(舍)或k=-2,所以y1+y2=-2(x1+x2)+6=-2,所以线段AB的中点坐标为(2,-1),所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-2),即x-2y-4=0,令y=0,得x=4,所以点D的横坐标为4.12.答案(1,0);6解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的垂直平分线与x 轴的交点为M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(x1-4)2+=(x2-4)2+,又A,B是抛物线上两点,所以=4x1,=4x2,代入上式并化简得-=4x1-4x2,又x1≠x2,所以x1+x2=4,所以|AB|≤|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=6(当且仅当A,B,F三点共线时取等号),所以|AB|的最大值为6.2=y联立得13.解析(1)证明:设以A(xx2-kx+kx1-=0,由Δ=k2-4kx1+4=(k-2x1)2=0得k=2x1,所以切线PA的方程为y=2x1x-.(2)设B(x2,y2),由(1)知点P的坐标为,设直线AB的方程为y=kx+m,与x2=y联立得x2-kx-m=0,所以P,由题意知k·k OP=k·=-2m=-1⇒m=,即R.|PQ|=,|QR|==,所以==|k|+≥2,当且仅当|k|=时,的最小值为2.14.解析(1)设直线AB的方程为x=my+3,与抛物线联立得:y2-2my-6=0,∴y 1y2=-6.(2)证明:直线AC的斜率为=,∴直线AC的方程为y=(x-x1)+y1,∴点P的纵坐标为y P===,同理,点Q的纵坐标为y Q=,∴y P+y Q=0,又PQ⊥x轴,∴MP=MQ.2=4y联立消去y,得15.解析(1)设A(xx1x2-(+4)x+4x1=0,由Δ=-16=0,得=4,而x1>0,故x1=2,即有A(2,1).则直线MA的方程为y=x-1.(2)显然直线BC的斜率存在,设直线BC的方程为y=kx+n,与x2=4y联立消去y,得x2-4kx-4n=0.设B(x2,y2),C(x3,y3),则有x2+x3=4k,x2x3=-4n.由(1)知x1,x3是方程x1x2-(+4)x+4x1=0的两根,且x1≠2.则有x1x3=4,即x1=,从而y1==.因为N,A,B三点共线,所以===+,即有-1=+x2++,化简得x2+x3+x2x3+4=0,即有4k-4n+4=0,得n=k+1.从而直线BC的方程为y=kx+k+1=k(x+1)+1,故直线BC过定点,且定点坐标为(-1,1).16.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得x2-4kx-4m=0,于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又因为|AB|=4·,点F(0,1)到直线AB的距离为d=,所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f'(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f,所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.。
五年高考三年模拟第四章曲线运动五年高考三年模拟第四章曲线运动五年制高考和三年制联考彻底突破了新的一系列课程标准：必修2第04单元曲线运动在过去的五年里，这个考试中心的知识已经成为高考的热门内容之一，有时以选择题的形式出现，有时以计算题的形式出现。
重点考核内容包括：平面投掷运动规律及其研究方法，圆周运动的角度、线速度和向心加速度，圆周运动物体的力与运动的关系，以及，还可以利用带电粒子电磁场的运动知识对其进行全面检查；关键的检查方法包括运动合成和分解。
对于垂直面上的圆周运动，应掌握最高点和最低点的处理方法第一部分五年高考题荟萃两年高考精选（2021～2021）测试点1曲线运动和平抛运动1.（09上海43）右图为一种早期的自行车，这种下带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了（a）a、提高速度B.提高稳定性c.骑行方便d.减小阻力【答案】a【分析】对于这种没有链条的老式自行车，直线速度v？？t、可以看出这辆自行车的速度很高，所以a是正确的。
2.（09广东理科基础7）滑雪运动员以20m／s的速度从一平台水平飞出，落地点与飞出点的高度差3．2m。
不计空气阻力，g取10m／s。
运动员飞过的水平距离为s，所用时间为t，则下列结果正确的是（b）a、 s=16m，t=0.50sb.s=16m，t=0.80s2c、 s=20m，t=0.50sd。
s=20m，t=0.80s解析：做平抛运动的物体运动时间由高度决定，根据竖直方向做自由落体运动得58t?2h?0.80s。
根据水平方向做匀速直线运动可知s?vot?20?0.80?16m，b正确。
g3。
天津的垂直坐标系（xoy）如图18所示平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应为b,方向垂直xoy平面向里，电场线平行于y轴。
一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的a点水平向右抛出，经x轴上的m点进当进入电场和磁场时，它只能做匀速圆周运动。
5年高考3年模拟数学答案【篇一：五年高考三年模拟(数学)-极限】部分五年高考荟萃2009年高考题一、选择题2x2?ax?b)?2，其中a,b?r，则a?b的值为 1、（09重庆理8）已知lim(x??x?1a.?6 【解析】2（）b.?2c.2d.6lim2x?ax?ax?bx?b(2?a)x?(a?b)x?b?limlimx??x??x??x?1x?122(2?a)x?(a?b)?1?1xb?2?2?a?0则?,解得a?2,b??4,故a?b?2?(?4)?6 ??(a?b)?2答案 d2、（09湖北理6）设?x)2n?a0?a1x?a2x2?...?a2n?1x2n?1?a2nx2n， 222则lim[(a0?a2?a4?...?a2n)?(a1?a3?a5?...?a2n?1)]?n??（）a.-1b.0c.1d.【解析】令x?0得a0?令x??22n1?n令x?1时?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 21)2n?a0?a1?a2?????a2n两式相加得：a0?a2?????a2n??1)2n??1)2n21)2n?1)2n2两式相减得：a1?a3?????a2n?1?代入极限式可得，故选b 答案 b二、填空题3、（09陕西理13）设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则limsn?n??n2?a6?12?a1?5d?12?a1?2snn?1snn?1解析：???s?n(n?1)???lim?lim?1???n2n??n2n??ns?12a?d?12d? 2nn??1?3答案 12005—2008年高考题一、选择题x3?x21、（2007年江西）limx?1x?1Ａ．等于0 答案 bＢ．等于1（）Ｃ．等于3Ｄ．不存在p?1??1???1n?2、（2007年湖北）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim? ?（）qn→??1??1???1?n?a．0 答案Ｃ3、（2006湖南）数列{an}满足:a1?b．1pqd．p?1q?11,且对于任意的正整数m,n都有am?n?am?an,则 3()lim(a1?a2?n???an)?123b.c. d.2 2321【解析】数列{an}满足: a1?, 且对任意正整数m,n都有3111am?n?am?ana2?a1?1?a1?a1?，an?1?an?a1?an，∴数列{an}是首项为，393a.公比为1a11?，选a. 的等比数列。
