人教A版高中数学必修三 3-3-1《几何概型》同步检测

人教 A 版高中数学必修 3 同步检测第三章3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生A 级基础巩固一、选择题1．下列关于几何概型的说法中，错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型．答案： A2．有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ()311解析： A 中奖概率为8， B 中奖概率为4，C 中奖概率为3，D 中1.奖概率为3答案： A人教 A 版高中数学必修 3 同步检测3．在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为() A．0.008B．0.004C．0.002D．0.005答案： D4．在 2016 年春节期间， 3 路公交车由原来的每15 分钟一班改为现在的每 10 分钟一班，在车站停 1 分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ()A.1B.1C.1D.91091110解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件 A，则 A 所占时间区域长度为 1 分钟，而整个区域的时间长度为 10 分钟，故由几何1概型的概率公式，得P(A)＝10.答案： A5．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于 1 的概率为 ()ππππA.16B.8C.4D.2解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以1直角顶点为圆心、 1 为半径的14ππ4圆内．所以所求的概率为1＝8.× 2×22答案： B二、填空题6．在正方体 ABCD- A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥 A1- ABC 内的概率是 ________．2VA1-ABC1解析： P＝＝6.VABCD-A1B1C1D11答案：67．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任9意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为10，那么该台每小时约有 ________分钟的广告．9解析： 60× 1－10＝6(分钟 )．答案： 68．有一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于 1 m 的概率是 ________．解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点．如上图，记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A 发生．由于中间一11段的长度等于绳长的3，于是事件 A 发生的概率 P(A)＝3.1答案：3三、解答题9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽 20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率．解：如下图所示，四边形 ABCD 是长 30 m、宽 20 m 的长方形．图中的阴影部分表示事件A“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”．可化求海豚嘴尖出在阴影部分的概率．因 S 长方形ABCD＝30×20＝ 600(m2)，S 长方形＝(30－4)× (20－4)＝416(m2)，A′B′C′D′所以 S 阴影部分＝S 长方形－S长方形＝600－416＝184(m2)，ABCD A′B′C′D ′184 23根据几何概型的概率公式，得P(A)＝600＝75≈0.31.10．一个路口的灯亮的30 秒，黄灯亮的 5 秒，灯亮的40 秒，当你到达路口，看下列三种情况的概率各是多少？(1)灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是灯亮．解：在 75 秒内，每一刻到达路口亮灯的是等可能的，属于几何概型．( 1)P＝灯亮的302全部＝＋＋＝5.30405黄灯亮的51(2)P＝全部＝75＝15.不是灯亮的黄灯亮或灯亮的＝45＝3，(3)P＝全部＝全部75 5 2 3或P＝1－ P(灯亮 )＝1－5＝5.B能力提升1．(2016 ·全国Ⅱ卷)从区 [0，1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，⋯，x n，y1，y2，⋯， y n，构成 n 个数 (x1，y1)，(x2， y2)，⋯， (x n，y n)，其中两数的平方和小于 1 的数共有 m 个，用随机模的方法得到的周率π的近似 ()4n2n4m2mA. mB.mC. nD. n答案： C2．小波通做游的方式来确定周末活，他随机地往位1内投一点，若此点到心的距离大于2，周末去看影；若此点1到心的距离小于4，去打球；否，在家看．小波周末不在家看的概率 ________．解析：“小波周末去看影” 事件A，1 2π·23P(A)＝ 1－π＝4，“小波周末去打球” 事件B，1 2π·411P(B)＝π＝16，点到心的距离大于2与点到心的距离小于14不可能同生，所以事件 A 与事件 B 互斥，小波周末不在家看3 113事件 A＋B.P(A＋ B)＝P(A)＋P(B)＝4＋16＝16.13答案：163.如所示，已知AB 是半 O 的直径， AB＝8，M，N，P 是将半周四等分的三个分点．(1)从 A，B，M ，N，P 这 5 个点中任取 3 个点，求这 3 个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点 S，求△ SAB 的面积大于 8 2的概率．解：(1)从 A，B，M ，N，P 这 5 个点中任取 3 个点，一共可以组成 10 个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN ，△AMP ，△ANP，△ BMN，△BMP ，△BNP，△ MNP ，其中是直角三角形的3只有△ABM，△ ABN，△ABP 3 个，所以组成直角三角形的概率为10.(2)如下图所示，连接MP ，取线段 MP 的中点 D，则 OD⊥MP .易求得 OD＝ 2 2.1当点 S 在线段 MP 上时， S△ABS＝2×2 2×8＝8 2，所以只有当点 S 落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于8 2，1π1而 S 阴影＝S 扇形MOP－S△OMP＝2·2·42－2×42＝4π－8，所以由几何概4π－8π－2型的概率公式得△SAB 的面积大于 8 2的概率为8π＝2π.。

3-3-1几何概型一、选择题1．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )A.13B.12C.14D.16[答案] B[解析] 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.2．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )A.15B.25C.35D.45[答案] C[解析] 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值，所以发生的概率为35.3．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于2 m 的概率是( )A.12B.15C.13 D ．不能确定 [答案] B[解析] 如图所示，拉直后的绳子看成线段AB ，且C 、D 是线段AB 上的点，AC ＝2m ，BD ＝2m ，由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置，属于几何模型．设剪得两段的长度都不小于2 m 为事件E ，设M 是事件E 的一个剪断点，则M ∈CD ，则事件E 构成线段CD ，则P (E )＝CD AB ＝5－2－25＝15. 4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32[答案] C[解析] 矩形的面积S ＝6×4＝24，设椭圆的面积为S 1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A ，则P (A )＝S 1S ＝S 124＝300－96300，解得S 1＝16.32. 5．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则事件“0≤sin x ≤1”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析] 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若0≤sin x ≤1，则0≤x ≤π2，设“0≤sin x ≤1”为事件A ，则P (A )＝π2－0π2－－π2＝π2π＝12. 6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6D ．1－π6[答案] B[解析] 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为：23π8＝π12，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－π12.7．在△ABC 中，E 、F 、G 为三边的中点，若向该三角形内投点，且点不会落在三角形ABC 外，则落在三角形EFG 内的概率为( )A.18B.14C.34D.12[答案] B8．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23[答案] C9．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是()A.14B.13C.34D.23[答案] C10．如图，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2 B.π－22C.4－π4D.π－24[答案] B 二、填空题11．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________． [答案] 13[解析] [－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以所求概率是13.12．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．[答案] 0.005[解析] 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 13．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．[答案]3π6[分析] 解答本题从正面考试较繁琐，所以从反面来解答，先计算事件“使点P 到三个顶点的距离都大于1”的概率，利用对立事件的概率公式计算．[解析] 边长为2的正三角形ABC 内，到顶点A 的距离等于或小于1的点的集合为以点A 为圆心，1为半径，圆心角为∠A ＝60°的扇形内．同理可知到顶点B 、C 的距离等于或小于1的点的集合．故使点P 到三个顶点的距离都大于1的概率为12×2×3－3×16×π×1212×2×3＝1－3π6， 故所求的概率为1－(1－3π6)＝3π6. 14．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P ，则点P 落在剩余几何体上的概率为______． [答案]53125[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R ＝5，圆柱底面半径r ＝4，高h ＝6，故球体积V ＝43πR 3＝500π3，圆柱体积V 1＝πr 2·h ＝96π，∴所求概率P ＝500π3－96π500π3＝53125.三、解答题15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 16．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？[分析] 石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率．[解析] 记事件C ＝{钻到油层面}，在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，故属于几何概型． 事件C 构成的区域面积是40平方千米， 全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米， 则P (C )＝贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆架的面积＝4010 000＝0.004.17．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为其内一点； ②求四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．[解析] 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M －ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h <16， 又S 四边形ABCD ＝1，则h <12，即点M 在正方体的下半部分．故所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.18．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？[解析] (1)设事件A ＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件，由几何概率公式知P (A )＝12.(2)设事件B ＝“弦长超过3”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P (B )＝14.(3)设事件C ＝“弦长超过3”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在BC ︵上时，才有|AD |>|AB |＝3，由几何概率公式知P (C )＝13.。

《3.3 几何概型》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在掷一枚公平的六面骰子的实验中，事件A为“掷出的点数为偶数”，事件B 为“掷出的点数大于3”。

那么事件A与事件B的关系是：A、互斥事件B、对立事件C、相互独立事件D、互不相交事件2、在掷一枚均匀的骰子两次的实验中，事件A：“至少掷出一个6点”与事件B：“两次掷出的点数相同”的概率分别为P(A)和P(B)，则下列结论正确的是（）A、P(A) > P(B)B、P(A) < P(B)C、P(A) = P(B)D、无法确定P(A)与P(B)的大小关系3、在区间[0,4]上随机取一个实数，则该数大于1的概率是（）)A.(14)B.(34)C.(12)D.(134、从装有5个红球、4个蓝球和3个黄球的袋子里，随机取出2个球，取出的两个球颜色相同的概率是：A. 5/21B. 8/21C. 12/21D. 15/215、在一个圆盘上随机投针，圆盘的半径为10cm，针的长度为6cm，恰好针完全落在圆盘内的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.66、在下列四个事件中，属于古典概型的是（）A、抛掷一枚硬币，它落地时是正面的概率B、从一副52张的扑克牌中，随机抽取一张，抽取到红桃的概率C、从0,1,2,3,4中任取两个不同的自然数，所取得的两个数的和为偶数的概率D、从10000个零件中随机抽取一个，它是合格品的概率7、在等边三角形ABC中，D为BC边上的中点，E为AD上的中点，F为CE的延长线与AB的交点，若AB=6，则AF与BF的比值是：A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:18、在一个正方形中，随机取一点，该点距离正方形中心的距离与正方形边长的比值是：A. 0.5B. 0.1C. 0.4D. 0.6二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在下列事件中，属于几何概型的是（）A. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率B. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率C. 从0到1之间随机取一个数，这个数小于0.5的概率D. 从5个不同的球中随机抽取3个，抽到3个特定颜色的概率2、设在长为2的线段上随机取两个点，将线段分为三段，若这三段可以构成三角形的概率为P，则P的值为：A、1/4B、1/2C、1/3D、1/63、在一个等边三角形ABC中，内角A的对边长度为8cm，现从顶点A向BC边引一高AD，并假设在BC边上有一点P使得AP与AD垂直。

几何概型一、选择题一、取一根长度为3cm的绳索，拉直后在任意位置剪断，那么间的两段的长都不小于m 的概率是（）A、23B、13C、14D、不能确信二、某人睡午觉醒来，觉察表停了，他打开收音机想听电台整点报时，那么他等待的时刻小于10分钟的概率是（）A、16B、112C、160D、1723、在线段[0，3]上任取一点，那么此点坐标大于1的概率是（）A、34B、23C、12D、134、在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油，假假设在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是（）A、140B、125C、1250D、1500二、填空题五、已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，那么乘客抵达站台当即乘上车的概率是__________________________。

六、边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落在圆及正方形夹的部份的概率是__________________________。

7、在等腰直角三角形ABC中，在斜线段AB上任取一点M，那么AM的长小于AC的长的概率是_______________________。

八、几何概率的两个特点：（1）________________________________________________________。

（2）________________________________________________________。

九、在400ml自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机掏出2ml水样放到显微镜下观看，那么发觉大肠杆菌的概率是________________________________。

10、关于几何概率，概率为0的事件是不是可能发生？_________________。

1一、在线段[0，a]上随机地投三个点，试求由点O到三个点的线段能组成一个三角形的概率是_____________________________________。

高中必修三-第三章-3.3.1 几何概型（检测学生版）班级：姓名：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于几何概型和古典概型的区别,下列说法中正确的是A．几何概型中基本事件有有限个,而古典概型中基本事件有无限个B．几何概型中基本事件有无限个,而古典概型中基本事件有有限个C．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等,而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等D．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等,而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等2．在区间[0,1]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是A．B．C．D．3．如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为A．B．C．D．4．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．B．C．D．5．在区间(0，1)内任取一个数，能使方程有两个不相等的实根的概率为A．B．C．D．6．在长为10 cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与64 cm2之间的概率为A．B．C．D．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．在区间[0,4]内随机取两个数a、b,则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为.8．已知实数x∈[1,8],执行如图所示的程序框图,则输出的x大于33的概率为.9．已知函数f(x)=-3x+6,x∈[-1,4],若任取一点x0∈[-1,4],则使得f(x0)≥0成立的概率为.10．在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线与轴，围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到两个区间和上的均匀随机数.。

必修3 3.3 几何概型班别 姓名 学号 成绩一、选择题1. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.A.21 B.31 C.41 D.不确定2. 已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是 A.101 B.91 C.111 D.81 3. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.2511 B.2491 C.2501 D.2521 二、填空题1. 如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.2. 如下图，在一个边长为a 分别为31a 与21a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.aa a11233. 两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________.4. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是________.x yOAT5. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.A BCD三、解答题1. 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？2. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.3. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率.4. 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.参考答案一、选择题 1. B 2. A 3. C 二、填空题1.94 2. 125 3. 31 4. 61 5. π21 三、解答题1. 解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则P （A ）=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦锈病种子的概率为1001. 2. 解：在AB 上截取AC ′=AC ，于是P （AM ＜AC ）=P （AM ＜C A '）=22=='AB AC AB C A. 答：AM 的长小于AC 的长的概率为22. 3. 解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形.图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A 的面积为30×20－26×16=184（m2）.∴P （A ）=7523600184=≈0.31.24. 解：记事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看下图，这样线段OM长度（记作|OM|）的取值范围是［0，a］，只有当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，所以P（A）=(][]araaar-=的长度，的长度,.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第3章 3.3 几何概型 同步测试试卷（数学人教A 版必修3）一、选择题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）1. 在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.232. 在半径为1的圆周上有一定点A ，以A 为端点连一弦，另一端点在圆周上等可能的选取(即在单位长度的弧上等可能选取)，则弦长超过3的概率为( ) A.14 B.23 C.13 D.333．向如图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是( )A.18B.29 C.79 D.7164．已知实数x 、y ，可以在0<x <2,0<y <2的条件下随机取数，那么取出的数对(x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2<1的概率是( ) A.π4 B.4πC .π2D.π35.在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是（ ）A.2511B.2491C.2501 D.2521二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）6. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．7. 广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为910，那么该台每小时约有________分钟广告．8. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.A BCD9. 如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分内的概率是________.三、计算题（本题共3小题，共55分）10．（18分）一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽20 m的长方形，求此海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．11．（18分）如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM<AC的概率．12．（19分）在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)?第3章 3.3 几何概型同步测试试卷（数学人教A版必修3）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6． 7． 8. 9.二、计算题10.11.12.第3章 3.3 几何概型 同步测试试卷（数学人教A 版必修3）答案一、选择题1.C 解析：如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|P A ||BA |＝34.2.C 解析：如图，另一端落在圆周上任一点，可用圆周长来度量．圆内接正三角形ABC 的边长为3.若任一端点落在劣弧上，则弦长超过3，而落在劣弧之外，则弦长不超过 3.劣弧之长为圆周的13.事件A＝“弦长超过3”意味着另一端点落在劣弧上，A 可用弧长来度量，故P (A )＝＝13.故选C.3.B 解析：符合面积型几何概型问题，故选B.4.A 解析： 0<x <2,0<y <2表示图形为正方形内部点，(x －1)2＋(y －1)2<1表示圆内部点，此圆内切于正方形，由几何概型概率计算公式知，概率值等于面积比，即π2×2＝π4.5.C 解析：. 二、填空题6. 解析：圆周上使的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧的长度为2，B 点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23.7.解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为910，则看到广告的概率约为110，故60×110＝6. 8.π21解析：=. 9. 解析：P =.三、解答题10．解：如图，四边形ABCD 是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中的阴影部分表示事件A ：海豚嘴尖离岸边不超过2 m ．问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．∵ S 长方形ABCD ＝30×20＝600(m 2)，S 长方形A ′B ′C ′D ′＝(30－4)×(20－4)＝416(m 2)， ∴ S 阴影部分＝S 长方形ABCD －S 长方形A ′B ′C ′D ′＝600－416＝184(m 2)，根据几何概型的概率公式，得P (A )＝184600＝2375≈0.31.11．解：这是几何概型问题且射线CM 在∠ACB 内部．在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <AC }．则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴ P (A )＝67.590＝34.12．解：由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为15，所以红色所占角度为周角的15，即α1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即α2＝360°3＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°. 将α3分成四等份， 得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.。

《几何概型》同步练习1．下列关于几何概型的说法中，错误的是()A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A.13B.23C.14D.343．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.564．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)。

若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2 D.π4 5．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB＝( ) A.12 B.14 C.32 D.746．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )7．在正方体ABCD ­A 1B1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1­ABC内的概率是______。

8．如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________。

9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________。

10．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为多少？11．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点。

几何概型1.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 162.1升水中有1只微生物,任取0.1升水化验,则有微生物的概率为( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.43.在半径为1的半圆内,放置一个边长为12的正方形ABCD,向半圆内任投一点,落在正方形内的概率为( ) A. 12 B. 14 C. 14π D. 12π 4.一个游戏盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4,则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( ) A. 613 B. 713 C. 413 D. 10135.某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 456.函数f(x)=x 2-x-2,x ∈[-5,5],那么任取一点x 0,使f(x 0)>0的概率为( )A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.87. (2009·辽宁)ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A. 4π B. 1-4π C. 8π D. 1-8π 8. (2009·福建)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为___________.9.如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA.求射线OA 落在∠xOT 内的概率.10.(改编题)在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，则“钻到油层面”的概率是多少?11.取一个边长为a的正三角形及其内切圆，随机地向正三角形内丢一粒豆子，求：(1) “豆子落在圆内”的概率；(2) “豆子落在圆上”的概率；(3) “豆子落在圆外”的概率.12. (2010·唐山高一综测)某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图，并规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被分成20个相等的扇形）.甲顾客购物花了120元，他获得购物券的概率是多少？他得到的100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？答案1. B2. A3. D4. B5. C6. C7. B8. 2 39. 记事件M为“射线OA落在∠xOT内”，因为∠xOT=60°，所以P(M)=60360=16.10. 记“钻到油层面”为事件A,则P(A)= 贮藏石油的大陆架面积所有海域的面积=4010000=0.004.答:“钻到油层面”的概率是0.004.11. 边长为a的正三角形的内切圆半径r=6a，记“豆子落在圆内”，“豆子落在圆上”，“豆子落在圆外”分别为事件A，B，C，则（1）P（A）=2rSπ2)π9.（2）P（B）=0.（3）P（C）=1-P（A）=99-.12. 转盘被等分成20个扇形，并且每一个顾客自由转动转盘，说明指针落在每个区域的概率相同，对于参加转动转盘的顾客来说，每转动一次转盘，获得购物券的概率相同，获得100元、50元、20元购物券的概率也相同，因此游戏是公平的.这是一个几何概型问题. 根据题意，甲顾客的消费额在100元到200元之间，因此可以获得一次转动转盘的机会，由于转盘被等分成20个扇形，其中1个红色，2个黄色，4个绿色，因此对于甲顾客来说P（获得购物券）=12420++=720;P(获得100元购物券)= 1 20;P(获得50元购物券)= 220=110;P（获得20元购物券）=420=15.。