【名师解析】广东省中山一中2014届高三第二次统测数学(理)试题 Word版含解析

2014届高三六校第二次联考数学试题一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B ＝ （ ） A ．{0,2,4}-- B ．{0,2,4}- C ．{0,2,4} D ．{0,1,2} 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 （ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<4.一个物体的运动方程为1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒5.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于 （ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]6.“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.函数1()(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是 （ ）A B C D18.如图：正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是111,AA A D →→ 黑蚁爬行的路线是1.AB BB→→ 它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中*i N ∈）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为____________.10.若函数()y f x =是函数(0,xy a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()y f x =的图像经过点)a ， 则()f x = ____________.11.已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.13.由曲线xy e =与直线0x =、直线y e =所围成的图形的面积为____________.14.设函数221()lg ()(0)2f x ax x b b a ⎡⎤=++-+≠⎢⎥⎣⎦,若对任意实数b ，函数()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =+,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .18.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在区间),1(+∞上为增函数，求a 的取值范围； （3）讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数．．．k 的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x =； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明；（3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小.2014届六校十月联考理科数学参考答案9.{}|43x x x <≠且 10. 12log x 11.18 12.3sin(2)3y x π=+ 13. ____1____ 14. (1,)+∞15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ，求(2)3f πθ+.解: （1）())12f x x π=-())6612f πππ∴-=-- ……2分)sin()44ππ=-= ……4分1=- ……5分（2）43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ∴==……7分 24sin 22sin cos 25θθθ∴==- ……8分27cos 22cos 125θθ=-=- ……9分(2))34f ππθθ∴+=+ ……10分2coscos 2sin )44ππθθ=+=24731252525--=- ……12分16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值. 解：(1)3()65f x x x =-+2'()36f x x ∴=- ……2分令'()0,f x = x ∴=……3分'(),()f x f x x 随着的变化情况如下表：……5分由上表可知()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(. ……6分（2）由（1）可知函数()f x 在2,⎡-⎣ 上单调递增，在⎡⎣ 上单调递减，在2⎤⎦上单调递增， ……7分()f x ∴的极大值(5f ==+……8分()f x 的极小值5f ==-……9分又(2)15(f f =<+= ， ……10分(2)95f f -=>-= ……11分∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+，最小值为5-……12分17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈ （1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin 226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ……3分所以函数()f x 的最小正周期为22||2T πππω=== ……4分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx . 所以当262ππ-=-x 时，函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为12-. ……7分（2）由()()32f A f A +-=得：2362sin 62sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππA A . 化简得：212cos -=A ，又因为20π<<A ，解得：3π=A . ……10分 由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ， 解得8=bc ，又7=+c b ， ……12分 由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=，5a ∴=. ……14分18. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.解：（1）因为2()ln f x x a x =+，故()2af x x x'=+， ……1分 函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴，所以(1)202f a a '=+=⇒=- ……3分 （2）函数)(x f 在),1(+∞为增函数，所以当(1,)x ∈+∞时，()20af x x x'=+≥恒成立，分离参数得：22a x ≥-，从而有：2a ≥-. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令12()01,2ag x x x '=⇒==，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以 （1）当02a≤，即0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； ……11分（2）当012a <<，即02a <<时，函数()g x 在(0,)2a上递增， 在(,1)2a 上递减，在(1,)+∞上递增 ……12分（3）当12a=，即2a =时，函数()g x 在(0,)+∞上递增； ……13分 （4）当12a >，即2a >时，函数()g x 在(0,1)上递增，在(1,)2a上递减，在(,)2a +∞上递增.…14分19.（本小题满分14分）已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）因为(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-，故22ln ()(1)x x f x x --'=-, ……2分 0x 为函数)(x f 的极值点,0()0f x '∴=, ……3分即002ln 0x x --=,于是0011ln x x -=+, 故00000000(1ln )(1)()11x x x x f x x x x +-===-- ……5分(2) ln (1)0x x k x k +-+>恒成立,分离参数得(1ln )()1x x k f x x +<=- ……7分则1>x 时，()f x k >恒成立，只需min ()f x k >，22ln ()(1)x x f x x --'=-，记()2ln g x x x =--，1()10g x x'∴=->， ……9分()g x ∴在),1(+∞上递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->， ()g x ∴在),1(+∞上存在唯一的实根0x ， 且满足0(3,4)x ∈， ……11分∴当01x x <<时()0g x <，即()0f x '<；当0x x >时()0g x >，即()0f x '>,min 00()()(3,4)f x f x x ==∈,故正整数k 的最大值为3 ……14分20. （本小题满分14分）解:（1）21()12!(1)!n n x x f x x n -'=++++-显然,当0x >时,()0n f x '>,故()n f x 在(0,)+∞上递增. ……2分 又11(1)1102!!n f n =-++++≥ ，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212n n n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<- 故存在唯一的1[,1]2n x ∈，满足()0n n f x = ……4分（2）由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增 因为21111()12!!n n n n n n x x f x x n ++++=-++++所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n n n n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 111()0()(1)!n n n n n n x f x f x n +++=-<=+，由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增故1n n x x +<，即数列{}n x 单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列{}n x 单调递减，故0n n px x +-> 而2()102!!nn nn n n x x f x x n =-++++=21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合0n p n x x +-<，以及1[,1]2n x ∈211111!!11!!(1)111111k k kn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有1||n n p x x n+-< ……14分。

12014年中山一中理科数学调研联考试卷本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）.满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：①锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ②22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++③()22333311234n n n +++++=第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一个是符合题目要求的.1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂= （ ） A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3]2.复数2(1)z i =+的实部是 ( )A.1B.0C.1-D. 23. 已知)(x f 是定义在R 上的函数， 命题:p )(x f 满足R x ∈∀，)()(x f x f -=-， 命题q ：0)0(=f ，则命题p 是命题q 的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件4、已知(3,2)a =-，(1,0)b =-， 向量a b λ+与向量2a b -垂直， 实数λ值为( )A ．17-B. 17C. 16-D. 165. 已知点F 是抛物线24y x =焦点， ,M N 是该抛物线上两点， ||||6MF NF +=则MN 中点到准线距离为 （ ）A ．32B ．2C ．3D ．46、已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 （ ）A. 若//l α，//l β，则//αβB. 若βα⊥，//l α，则β⊥l . C ．若//l α，βα//，则//l β D. 若α⊥l ，//l β，则 βα⊥7.设0ω>，函数sin()3y x πω=+的图象向右平移43π个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为 （ ）A ．23B ．43C ．32 D ．3 8. 非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意的,,a b G ∈都有,a b G ⊕∈(2)存在,e G ∈都有,a e e a a ⊕=⊕= (3) 对任意的,,,a b c G ∈ 都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}1,2A =，{}2,1,2B =--，则()UAB ð等于（ ）A.{}1B.{}1,2C.{}2D.{}0,1,22.复数()231i i += （ ）A.2B.2-C.2iD.2i -3.如图所示，该程序运行后输出的结果为 （ ）A.14B.16C.18D.644.函数()1,10 cos,02 x xf xx x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A.32B.1C.2D.1 2考点：1.分段函数；2.定积分5.已知a b a b ==-，则a 与b 的夹角为 （ ） A.6π B.4π C.3πD.2π6.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1n n n b a a +=-.若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A.0B.3C.8D.11考点：累加法求数列通项7.如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，ABC ∆内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点.现有结论：①BC PC ⊥；②//OM 平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长.其中正确的是 （ ）A.①②B.①②③C.①D.②③8.已知A 、B 是圆22:1O x y +=上的两个点，P 是AB 线段上的动点，当AOB ∆的面积最大时，则AO AP ⋅-2AP 的最大值是（ ）A.1-B.0C.81D.21 【答案】C 【解析】第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9.某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是.10.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为________________.11.曲线2x y e =在点()0,1处的切线方程为________________.12.下列命题中所有真命题的序号是________________.①“a b >”是“22a b >”的充分条件；②“a b >”是“22a b >”的必要条件； ③“a b >”是“”的充要条件. 【答案】②③ 【解析】13.在ABC ∆中，120A =，5AB =，7BC =，则sin sin BC的值为______________.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a n -=⋅，则n S =______________.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设()ln 4f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值.16.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. （1）证明：AD ⊥平面PBC ；（2）在ACB ∠的平分线上确定一点Q ，使得//PQ 平面ABD ，并求此时PQ 的长.（2）取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得2CQ CO ，点Q 即为所求．17.已知向量13,cos 3a x ⎛⎫=- ⎪⎭，()sin ,1b x =，函数()f x a b =⋅.将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若a b ⊥，求()y g x = 的值.试题解析：（1）()113sin cos 2sin 363f x a b x x x π⎛⎫=⋅=+-=+- ⎪⎝⎭，18.在三棱锥ABC P -4AC =，2AB =，BC =D 、E 分别为PC 、BC 的中点.（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）求二面角C DA E --的平面角.OB OP OP OB PB ⊥∴+=∴,222.又ABC OB AC O BO AC 面、且⊂= OP ∴⊥平面ABC ，332131=⨯⨯=-BC AB OP V ABC P法二：以O 为原点，以OP OC 、为z y 、轴建系，则)0,21,23(),49,1,0(E D ，)0,2,0(-A ， 设),,1(z y =为平面DEA 的法向量，则有19.已知数列{}n a ，{}n b ，11=a ，112--+=n n n a a ，111+-+=n n n n a a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：312->n T n .放缩法1121112122(21)k k k k S ++-==---1111123222232k k k=-≥-⋅⋅+-，然后利用累加法即可证明所要证的不等式.20.已知函数()1x af x e-=，()2bxf x e =.（1）若()()()()122f x f x f x bf x =++-，是否存在a 、b R ∈，使()y f x =为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由； （2）若2a =，1b =，求()()()12g x f x f x =+在R 上的单调区间；（3）已知[)0,ln 2b ∈，[]00,1x ∃∈对[]0,1x ∀∈，，有()()1201f x f x -<成立，求a 的取值范围.综上所述：)(x g y =的增区间为[)+∞,1，减区间为()1,∞-；。

一．基础题组1.【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】等差数列{}n a 中，“13a a <”是“1n n a a +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a（ ）A. 50B. 35C. 55D. 463.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==，则9S =（ ）A.72-B.54-C.54D.724.【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++= （ ）A.33B.72C.84D.1895.【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】已知等差数列{}n a ，满足381,6a a ==，则此数列的前10项的和10S =6.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】已知数列{}n a 的首项11a =，若n N *∀∈，12n n a a +⋅=-，则n a = .7.【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】设数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b += .8.【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】已知}{n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则 )cos(82a a +的值为________.9.【广东省百所高中2014届高三11月联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为912,243n S S S =+若，则数列{}n a 的公差d 为 . 二．能力题组1.【广东省中山市实验高中2014届高三11月阶段考试】数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且n b =1n na a +-．若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A.0B.3C.8D.112.【广东省佛山市石门中学2014届高三第二次月考】数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为（ ） A.12 B.23 C.32D.23.【广东省佛山市石门中学2014届高三第二次月考】数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-()2,3,4,n =，若数列{}n a有一个形如()n a n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .4.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】若数列{}n a 中，13a =，14(2)n n a a n -+=≥，则2013a ＝________.三．拔高题组1.【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S2.【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】已知214)(x x f +-=，数列}{n a 的前n 项和为n S ， 点11(,)n n n P a a +-在曲线)(x f y =上)(*N n ∈，且11a =，0n a > （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）数列}{n b 的前n 项和为n T ，且满足212211683n n n n T Tn n a a ++=+--，11=b ，求数列}{n b 的通项公式； （3）求证：*,11421N n n S n ∈-+>.3.【广东省中山市实验中学2014届高三11月阶段考试】已知数列{}n a ，{}n b ，11=a ，112--+=n n n a a ，111+-+=n n n n a a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：312->n T n .4.【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有()1n n S m ma =+-（m 为正常数）.（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）数列{}n b 满足112b a =，()112,1n n n b b n n N b -+-=≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；5.【广东省佛山市石门中学2014届高三第二次月考】数列{}n a 中，11a =，前n 项的和是n S ，且21n n S a =-，n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2log 2n n b a =，求123n n T b b b b =++++.6.【广东省佛山市石门中学2014届高三第二次月考】已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =. （1）求n x 与1n x +的关系式； （2）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （3）若3nn n c b λ=-（λ为非零整数，n N *∈），试确定λ的值，使得对任意n N *∈，都有1n n c c +>成立.7.【广东省增城市2014届高三调研考试】已知数列{}n a 满足111,2 1.2n n a a a +=-=（1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：12...1na a a n+++<.8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且*11()2n n S a n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程122311112551n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+= 的正整数n 的值．9.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】已知数列{},{}n n a b 中，111a b ==，且当2n ≥时，10n n a na --=，1122n n n b b --=-.记n 的阶乘(1)(2)321n n n n --⋅⋅=！（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}2nn b 为等差数列； （3）若22n nn n n a c b a +=+-，求{}n c 的前n 项和.10.【广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三10月期中联考】设1a 、d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，55S =. （1）求通项n a 及n S ；（2）设{}2n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .11.【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1122n n S -=-， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21222log log log,n n T a a a =+++求证：()231112,2nn N n T T T *+++>-∈≥. 12.【广东省百所高中2014届高三11月联考】已知数列{}n a 的通项公式为13n n a -=，在等差数列数列{}n b 中，()0n b n N *>∈，且12315b b b ++=，又11a b +、22a b +、33a b +成等比数列.（1）求数列{}n n ab ⋅的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .。

第Ⅰ卷(共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,2,3M =，{}14N x Z x =∈<<，则 ( )A.N M ⊆ B 。

N M = C.{}2,3M N =D.()1,4MN =2。

等差数列{}na 中，“13aa <”是“1n n a a +<"的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点：充分必要条件3.化简21sin 352sin 20-=（ )A.12B 。

12-C.1-D.14。

已知等比数列{}na 的首项11a=，公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a （ ）A.50B 。

35C 。

55D 。

465.已知平面向量()1,2a =-，()4,b m =，且a b ⊥，则向量53a b -= ( ）A.()7,16--B.()7,34-- C 。

()7,4-- D.()7,14-【解析】6.命题,:p α∃、R β∈，使()tan tan tan αβαβ+=+；命题:q x R ⌝∀∈，210x x ++≥．则下列命题中真命题为（ ）A 。

q p ∧B 。

()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝⌝∧D.()p q ⌝∧7。

奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2012f +()()20132014f f +的值为（ )A.2B.4C 。

6 D.8【解析】8.如下图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =xOA yOB +,则（ ）A 。

01x y <+<B 。

1x y +> C.1x y +<-D 。

10x y -<+<考点：1。

图1 图22014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN =A ．{0,1}B ．{1,0,2}-C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-2．已知复数z 满足(34)25i z +=，则z =A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i -3．若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等5．已知向量(1,0,1)-a =，则下列向量中与a 成60夹角的是A ．(1,1,0)-B ．(1,1,0)-C ．(0,1,1)-D ．(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．1l 与4l 既不垂直也不平行 D ．1l 与4l 的位置关系不确定 8．设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=　，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ++++≤≤”的元素个数为AFED CB图3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式125x x -++≥的解集为 ．10．曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 ．11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ． 12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,. 已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba． 13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x π=+，x ∈R ，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．图4PABCED F随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E --的余弦值．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足21234n n S na n n +=--，*n ∈N ，且315S =．（1）求123,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的一个焦点为，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）设函数()f x =2k <-．（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）．2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. (,3][2,)-∞-+∞10. 530x y+-=11.1612. 2 13.50（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(1,1)15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1）5523()sin()sin12124322f A A Aππππ=+===，解得A=（2）由（1）得())4f x xπ=+，所以()()sin()sin()44f fππθθθθ+-=++-33()3()22222θθθθθ=+-==所以cos4θ=，又因为)2,0(πθ∈，所以sin4θ==，所以33()sin())44444fππθπθπθθ-=-+=-===PA BC EDFGH18．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥.因为在正方形ABCD中CD AD⊥，又CD PD D=，所以AD⊥平面PCD.因为CF⊂平面PCD ，所以AD CF⊥.因为AF CF⊥，AF AD A=，所以CF⊥平面ADF.（2）方法一：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，则(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(4D A C PE F由（1）得(3,1,0)CP=-是平面BCDE的一个法向量.设平面AEF的法向量为(,,)x y z=n，3(0,,0)4EF=，(4EA=-，所以3434EF yEA x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩nn.令4x=，则0y=，z==n是平面AEF的一个法向量.设二面角D AF E--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cosCPCPθ⋅===⋅nn，所以二面角D AF E--.方法二：过点D作DG AE⊥于G，过点D作DH AF⊥于H，连接GH.因为CD PD⊥，CD ED⊥，EDAD D=，所以CD⊥平面ADE.因为FE∥CD，所以FE⊥平面ADE.因为DG⊂平面ADE，所以FE DG⊥.因为AE FE E=，所以DG⊥平面AEF.根据三垂线定理，有GH AF⊥，所以DHG∠为二面角D AF E--的平面角.设正方形ABCD的边长为1，在Rt△ADF中，1AD=，2DF=，所以7DH=.在Rt△ADE中，因为1124FC CD PC==，所以14DE PD==DG=. 所以GH==，所以cos19GHDHGDH∠==，所以二面角D AF E--.19. 解：（1）当2n =时，2123420S a a a =+=-，又312315S a a a =++=，所以3342015a a -+=，解得37a =. 当1n =时，11227S a a ==-，又128a a +=，解得123,5a a ==. 所以1233,5,7a a a ===.（2）21234n n S na n n +=-- ①当2n ≥时，212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=----- ② ①-②得12(22)61n n n a na n a n +=----. 整理得12(21)61n n na n a n +=-++，即1216122n n n n a a n n+-+=+. 猜想21n a n =+，*n ∈N . 以下用数学归纳法证明： 当1n =时，13a =，猜想成立； 假设当n k =时，21k a k =+，当1n k =+时，21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++， 猜想也成立，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N .20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得c =c e a ==， 所以3a =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22194x y += （2）当过点P 的两条切线12,l l 的斜率均存在时，设100:()l y y k x x -=-，则2001:()l y y x x k-=--联立2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩， 得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=， 所以22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=， 整理得2200()49y kx k -=+， 即2220000(9)240x k x y k y --+-=，因为12l l ⊥，所以201220419y k k x -==--，整理得220013x y +=；当过点P 的两条切线12,l l 一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 为(3,2)±或(3,2)-±，均满足220013x y +=.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.21. 解：（1）()f x =由22(23)(21)0x x k x x k +++++->，得223x x k ++<-或221x x k ++>， 即2(1)2x k +<--或2(1)2x k +>-+，所以11x -<-1x <-1x >-2k <-.所以函数()f x 的定义域(,1(11(1)D =-∞-⋃--⋃-+∞. （2）令222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-，则()f x =，x D ∈ 22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++，令()0g x '=，解得11x =-21x =-，31x =-2k <-.因为1311111x x -<--<-<- 所以(),()g x g x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,1-∞-和(1,1--上是增函数，在(11)--和(1)-+∞上是减函数. （3）因为(1)(1)g x g x --=-+，所以(1)(1)f x f x --=-+， 所以函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线1x =-对称， 所以(1)(3)f f =-.因为6k <-，所以1311-<-<<-①当(11x ∈--时，要使()(1)f x f >，则(13)(1,1x ∈--⋃-；②当(,1(1)x ∈-∞-⋃-+∞时，令()(1)f x f =，即()(1)g x g =，22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++，令22t x x k =++(1)t >，则(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++， 整理得222(815)0t t k k +-++=，即[(3)][(5)]0t k t k -+++=，因为1t >且6k <-，所以(5)t k =-+，即225x x k k ++=--，所以22250x x k +++=，解得1x =-(,1(1)∈-∞-⋃-+∞，所以()(1)(1f x f f ==-.要使()(1)f x f >，则(11(11x ∈--⋃--. 综上所述，当6k <-时，在D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合为(11(13)(1,1(11--⋃--⋃-⋃--.。

中山一中2014届高三级第二次统测理科综合试题本试题卷分两部分，请把第一部分（选择题）答案填在机读答题卡上，第二部分（非选择题）答案填在对应科目答题卷上。

满分300分，考试时间共150 分钟第一部分（选择题118分）一、单选题：（本题共16小题，每小题4分，共64分；在给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，多选、错选、没答题均不得分。

）1选项科学方法实验目的A 光学显微镜观察认识细胞膜磷脂双分子层B 35S标记噬菌体的DNA，并以此侵染细菌证明DNA是遗传物质C 构建物理模型研究DNA分子结构D 标志重捕法调查鼠的种群年龄组成2．生物膜将真核细胞分隔成不同的区室，使得细胞内能够同时进行多种化学反应，而不会相互干扰。

下列叙述正确的是：A．细胞核是mRNA合成和加工的场所B．高尔基体是肽链合成和加工的场所C．线粒体将葡萄糖氧化分解成CO2和H2O D．溶酶体合成和分泌多种酸性水解酶3．下图是水生植物黑藻在光照等环境因素影响下光合速率变化的示意图。

正确的是：A．t1→t2，叶绿体类囊体膜上的色素吸收光能增加，基质中水光解加快、O2释放增多B．t2→t3，暗反应（碳反应）限制光合作用。

若在t2时刻增加光照，光合速率将再提高C．t3→t4，光照强度不变，光合速率的提高是由于光反应速率不变、暗反应增强的结果D．t4后短暂时间内，叶绿体中ADP和Pi含量升高，C3化合物还原后的直接产物含量降低4．对下列生命现象及其生物学意义的表述正确的是：A．光合作用推动碳循环过程，促进了生物群落中的能量循环B．细胞分裂使细胞趋向专门化，提高了机体生理功能的效率C．主动运输使膜内外物质浓度趋于一致，维持了细胞的正常代谢D．细胞凋亡使细胞自主有序死亡，有利于生物体内部环境的稳定5．甲（ATGG）是一种单链DNA片段，乙是该片段的转录产物，丙（A-P~P~P）是转录过程中的一种底物。

下列叙述错误的是：A．甲、乙、丙的组分中均有糖 B．乙的水解产物中含有丙C．丙可作为细胞内的直接能源物质 D．甲乙共由6种核苷酸组成6．某男子表现型正常，但其一条14 号和一条21 号染色体相互连接形成一条异常染色体，如图甲。

U AB图1图22013～2014学年度 高三第二次联考理 科 数 学命题人: 宝安中学 胡士军 南海中学 钱耀周★祝同学们考试顺利★本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z关系的韦恩图如图1所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无穷多个2. 若复数()()2321iaa a -++-是纯虚数,则实数a 的值为( ) A ．2B ．1C ．2-D ．1或23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．74. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．45. 如图2,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落 在椭圆外的黄豆数为96颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的 面积约为( )A ．16.32 B. 15.32宝安中学 潮阳一中 桂城中学南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学2 3 1 正视图侧视图图3C ．8.68 D. 7.686. 已知平面α、β和直线m ,给出条件:①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.能推导出//m β的是( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤7. 若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则35z x y =+的取值范围是( )A ．(],9-∞ B ．[)3,+∞ C ．[]8,9- D ．[]8,3-8. 对任意实数,x y ,定义运算x y ax by cxy ⊗=++,其中,,a b c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=,234⊗=,并且有一个非零常数m ,使得x ∀∈R ,都有x m x ⊗=,则34⊗的值是( )A. 4-B. 4C. 3-D. 3二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图3所示(均为直角三角形),则 该三棱锥的俯视图的面积为 .10.二项式5的展开式中常数项为_______. 11．不等式215x x ++-≤的解集为___________．12. 已知函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则()22d f x x π-⎰的值等于 .13. 已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,且120c b B ===︒,则ABC ∆的面积等于________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)若直线πsin 4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭与直线31x ky +=垂直,则常数k = ．15.(几何证明选讲选做题)如图4,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD , 若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)设函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω,R ∈x ． (Ⅰ) 若21＝ω,求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合； （Ⅱ）若8π=x 是)(x f 的一个零点,且100<<ω,求ω的值和)(x f 的最小正周期.17．(本题满分12分)某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面图5PABCDEFABCD ,且PA PD AD ==,E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证://EF 平面PAD ； (Ⅱ) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13?说明理由.19.(本题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且有111,1n n a S a +=+=(*n ∈N ).(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项n a ；(Ⅱ) 若n n a nb 4=,求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）是否存在最小正整数m ,使得不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,若存在,求出m 的值；若不存在,说明理由.20.(本题满分14分)已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PF F F PF 成等差数列.(Ⅰ) 求点P 的轨迹1C 的方程； (Ⅱ) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t -+=+(0t <≤),过点()0,2-A 的直线l与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.21.(本题满分14分)已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R ).(Ⅰ) 若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； (Ⅲ) 若函数()f x 在区间()1,2上单调递增,求实数a 的取值范围.2013～2014学年度 高三第二次联考理 科 数 学 参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分9．1； 10．40； 11．[]3,2-； 12．3；； 14．3-； 15.92三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算宝安中学 潮阳一中 桂城中学南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学步骤.16．【解析】(Ⅰ)xx x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=…………………………2分当21＝ω时,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－， 而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ,所以)(x f 的最大值为2, …………………………4分 此时π+π=π-k x 2242,k ∈Z ,即π+π=k x 423,Z ∈k , 相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x . …………………………6分 （Ⅱ）依题意048sin 8=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ,即π=π-πk 48ω,Z ∈k , (8)分整理,得28+=k ω, …………………………9分又100<<ω,所以10280<+<k ,141<<-k , …………………………10分而Z ∈k ,所以0=k ,2=ω,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ,)(x f 的最小正周期为π.…………12分17.【解析】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为()()35:222:1++=， (1)分所以,从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=． (2)分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ，则113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528．………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3,且 ………5分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………9分所以,X 的分布列为………………10分G z yxO P FEDC B A 5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………12分18.【解析】(Ⅰ)证明:连结AC BD F =,ABCD 为正方形,F 为AC 中点,E 为PC 中点.所以在CPA ∆中,EF //PA .……2分又PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , 所以//EF 平面PAD ……………3分(Ⅱ)证明:因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ⊂平面ABCD ,所以CD ⊥平面PAD . (4)分又PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥.又PA PD AD ==,所以PAD ∆是等腰直角三角形,且2APD π∠=,即PA PD ⊥.………5分又CD PD D =,且CD 、PD ⊂面PDC ,所以PA ⊥面PDC .………6分 又PA ⊂面PAB , 所以面PAB ⊥面PDC ……………………7分(Ⅲ) 如图,取AD 的中点O ,连结OP ,OF ,因为PA PD =,所以PO AD ⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =, 所以PO ⊥平面ABCD ,而,O F 分别为,AD BD 的中点,所以//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥, 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz-如图所示, ……………………………………………8分 则有(1,0,0)A ,()1,2,0C -,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P , (9)分若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13,连结,PG DG ,设(1,,0)(02)G a a ≤≤,则(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-,………………10分设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z =.则00n DP n GD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即020x z x ay +=⎧⎨--=⎩,解得22a z y a x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 令2y =-,得(),2,n a a =--,……………………………………………………………………11分所以1cos ,32n PA n PA n PA⋅<>===,解得12a =(舍去12-).………………13分所以,在线段AB 上存在点11,,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭(此时14AG AB=),使得二面角C PD G --的余弦值为13.…14分19.【解析】(Ⅰ) 当1n =时,211112a S a =+=+=；……………………………1分当2n ≥时,11n n S a ++=,11n n S a -+=,相减得12n n a a +=……………………………2分又212a a =, 所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12-=n n a ……………………4分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知12-=n n a ,所以112244+-=⋅==n n n n n n a n b所以23411232222n n n T +=++++ 12n T = 34121212222n n n n ++-++++ 两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--,所以1212n n n T ++=-(或写成11122n n n T ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭,11122n n n n T +=--均可给至8分) …………8分（Ⅲ）()()()11221211211121122k kk k k k k k k S T k k ++++==+⋅++⎛⎫⎛⎫-⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111211221212121k k k k k +++⎛⎫==-⎪---⋅-⎝⎭ …………11分所以()1111211122121212121nnk k n k k k k k S T k ++==+⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⋅++---⎝⎭⎝⎭∑∑若不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,则2≥m ，所以存在最小正整数2m =,使不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立…………14分 20.【解析】(Ⅰ)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12F F >…………………1分根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆,其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴322=-=c a b ,故1C 的方程为13422=+y x . ……4分(Ⅱ)设l:()2y k x=+,由过点()0,2-A的直线l与曲线2C相切得()()2122+=++t tktk,化简得⎥⎦⎤⎝⎛∈+=22,12，tkkt(注:本处也可由几何意义求k与t的关系)…………6分由0t<=≤,解得201k<≤…………7分联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222yxxky,消去y整理得()0121616342222=-+++kxkxk,…………………8分直线l被曲线1C截得的线段一端点为()0,2-A,设另一端点为B,解方程可得()22224312,4343k kBk k⎛⎫--⎪⎪++⎝⎭,所以AB==……………………11分(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)令nk=+12,则21212,1414nAB nn nn==∈--,考查函数nny14-=的性质知nny14-=在区间上是增函数,所以n=时,nny14-=取最大值,从而minAB==. ……………… 14分21.(本题满分14分)已知函数()()()22211xf x ax a x a a e⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a∈R).(Ⅰ) 若0x=为()f x的极值点,求a的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x⎛⎫>-++⎪⎝⎭；(Ⅲ) 若函数()f x在区间()1,2上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(Ⅰ)因为()()()22211xf x ax a x a a e⎡⎤=+-+--⎣⎦所以()()()()()22222221111x x xf x a x a e a x a x a a e a x⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦…2分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =……………3分检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =.……………4分(Ⅱ)当a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭,整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩…6分令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-,当0x >时,()10x h x e '=->；当0x <时,()10x h x e '=-<,所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =；故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭,所以原不等式的解集为{}01x x x <>或；………………………………………………………………9分(Ⅲ) 当0a ≥时,()()221x f x ax a x a e ⎡⎤'=+++⋅⎣⎦因为()1,2x ∈,所以()0f x '>,所以()f x 在()1,2上是增函数. ……………………11分当0a <时,()()1xf x a x a x e a ⎛⎫'=++⋅ ⎪⎝⎭, ()1,2x ∈时,()f x 是增函数,()0f x '>. ① 若1a <-,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得2a ≤-；② 若10a -<<,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++⋅>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得102a -≤<.③ 若1a =-,()()210xf x x e '=--⋅≤,不合题意,舍去.综上可得,实数a 的取值范围是(]1,2,2⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭ ………………………………………14分 (亦可用参变分离或者图像求解).。