高考数学复习专题17 平面解析几何(3)(原卷版)

平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。

2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。

例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB u u u r u u u r，求|AB |．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.4．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．5．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为5． （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．8．【2017年高考全国III 卷理数】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.9．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．（注：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程：2a x c=±）10．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24，-，39()24，B ，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值．11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．12．【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．13．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．14．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．15．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1 (3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于,A B两点．若OAB△的面积为26，求直线l的方程．16．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．P MBAOyx（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．17．【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．18．【2017年高考全国I 理数】已知椭圆C ：22221()0x y a ba b +=>>，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．19．【2017年高考全国II 理数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．20．【2017年高考北京卷理数】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1，1).过点(0，12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.21．【2017年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △的面积为6，求直线AP 的方程．22．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为22，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，动直线13:l y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且|:||2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.。

【最新】高考数学《平面解析几何》专题解析一、选择题1．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-，所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6 故选：C 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.2．如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A BC ．32D 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝2，∴a ，∴e＝2. 考点：椭圆的几何性质．3．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值． 【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -．∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．4．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．【详解】解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.7．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面解析几何一．选择题（共12小题）1．（2021秋•房山区期末）圆心为（﹣2，3）且与y轴相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+3）2＝9B．（x+2）2+（y﹣3）2＝9C．（x﹣2）2+（y+3）2＝4D．（x+2）2+（y﹣3）2＝42．（2021秋•成都期末）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a 的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣13．（2021秋•唐山期末）圆C1：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0与圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．（2021秋•白云区期末）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，则圆心C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）5．（2021秋•河南月考）已知A（﹣1，2），B（3，5），则与直线AB平行且距离为2的直线方程为（）A．3x﹣4y+21＝0B．3x﹣4y﹣1＝0C．3x﹣4y+21＝0或3x﹣4y+1＝0D．3x﹣4y﹣21＝0或3x﹣4y﹣1＝06．（2021秋•嫩江市期末）已知直线l1：（a﹣2）x+ay+2＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0，则“a ＝﹣1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2021秋•平房区校级期末）若直线l：y＝kx﹣3与直线2x+3y﹣6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（2021秋•河东区期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向准线作垂线，垂足为Q，若∠FPQ＝60°，则|PF|＝（）A．1B．2C．3D．49．（2021秋•海淀区期末）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（，1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．210．（2021秋•重庆月考）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0），则m＝（）A．1B．2C．5D．911．（2021秋•榆林期末）已知直线l：mx﹣3y﹣4m+9＝0与圆C：x2+y2＝100相交于A、B 两点，则|AB|的最小值为（）A．5B．5C．10D．1012．（2021秋•重庆月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为F2，若直线F1A与抛物线E交于P，Q两点，且|P A|+|QA|＝4a，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．（2021秋•宜春期末）已知直线的倾斜角α＝30°，且过点A（4，3），则该直线的方程为．14．（2021秋•滨海新区校级期末）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．15．（2021秋•南岗区校级期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝上，则这个等边三角形的边长为．16．（2021秋•工农区校级期末）已知F1，F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点P在双曲线C的右支上，且PF1的中点N在圆O：x2+y2＝c2上，其中c为双曲线的半焦距，则sin∠F1PF2＝．三．解答题（共6小题）17．（2021秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，﹣2）、B（6，6）、C（0，6）．（Ⅰ）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程；（Ⅱ）求边AB上的高所在直线的方程．18．（2021秋•房山区期末）已知圆M：x2+y2﹣2x＝0与圆N：x2+y2﹣8x+a＝0外切．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣2＝0与圆M交于A，B两点，求弦AB的长．19．（2021秋•重庆月考）已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点M（2，1）．（1）求双曲线C的方程；（2）斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，若k1+k2＝1，求直线l的方程．20．（2021秋•西固区校级期末）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），若动点P满足条件|P A|＝2|PB|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）求直线l：y＝x被轨迹C所截得的线段长．21．（2021秋•让胡路区校级期末）以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，椭圆C的“准圆”的一条弦AB所在的直线与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；（2）当时，证明：弦AB的长为定值．22．（2021秋•1月份月考）如图所示，已知抛物线C：y2＝2x，过点A（2，0）的直线l与抛物线C有两个交点，若抛物线C上存在不同的两点M，N关于直线l对称，记MN的中点为T．（1）求点T的轨迹方程；（2）求S△AMT的最大值．2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面解析几何参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021秋•房山区期末）圆心为（﹣2，3）且与y轴相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+3）2＝9B．（x+2）2+（y﹣3）2＝9C．（x﹣2）2+（y+3）2＝4D．（x+2）2+（y﹣3）2＝4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】由所求圆与y轴相切可得，圆心P到y轴的距离等于半径，根据P点坐标求出P到y轴的距离，得到圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：点（﹣2，3）到y轴的距离为2，所以圆的半径为2，所以圆心为（﹣2，3）且与y轴相切的圆的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝4．故选：D．【点评】此题考查了圆的标准方程，要求学生会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．由圆与y轴相切，根据P点横坐标的绝对值求出P到y轴的距离得到圆的半径是解本题的关键．2．（2021秋•成都期末）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a 的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：∵直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0，l1⊥l2，∴a×1+（a﹣2）×a＝0，解得a＝0或a＝1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2021秋•唐山期末）圆C1：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0与圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．外离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，即（x﹣2）²+（y+1）²＝9的圆心（2，﹣1），半径为3；圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0，即（x+2）²+（y﹣2）²＝4的圆心（﹣2，2），半径为2；圆心距为＝5，因为5＝3+2，所以两个圆的位置关系是外切，故选：C．【点评】本题考查圆的位置关系的判断，求解圆的圆心与半径，两个圆的圆心距与半径的关系是解题的关键，属于基础题．4．（2021秋•白云区期末）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，则圆心C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）【考点】圆的一般方程．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．【分析】根据已知条件，将圆的一般式方程转化为标准方程，即可求解．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，∴（x+1）2+（y﹣2）2＝9，∴圆心C的坐标为（﹣1，2）．故选：A．【点评】本题主要考查圆心的求解，属于基础题．5．（2021秋•河南月考）已知A（﹣1，2），B（3，5），则与直线AB平行且距离为2的直线方程为（）A．3x﹣4y+21＝0B．3x﹣4y﹣1＝0C．3x﹣4y+21＝0或3x﹣4y+1＝0D．3x﹣4y﹣21＝0或3x﹣4y﹣1＝0【考点】两条平行直线间的距离．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果．【解答】解：已知A（﹣1，2），B（3，5），所以直线AB的斜率k＝，所以直线AB的方程为，整理得3x﹣4y+11＝0，设与直线AB平行的直线方程为3x﹣4y+c＝0，利用平行线间的距离公式：，解得c＝1或21．故直线的方程为3x﹣4y+21＝0或3x﹣4y+1＝0．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（2021秋•嫩江市期末）已知直线l1：（a﹣2）x+ay+2＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0，则“a ＝﹣1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用直线垂直的充要条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】解：当a＝﹣1时，则直线l1：﹣3x﹣y+2＝0，直线l2：x﹣3y﹣1＝0，则l1⊥l2，当l1⊥l2时，则（a﹣2）+a（a﹣2）＝0，整理得a2﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1或2，故“a＝﹣1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（2021秋•平房区校级期末）若直线l：y＝kx﹣3与直线2x+3y﹣6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x＝③，把③代入①，求得y＝，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到＞0，且＞0，解得：k＞1，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞1，所以θ∈（，）．故选：C．【点评】本题主要考查根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．8．（2021秋•河东区期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向准线作垂线，垂足为Q，若∠FPQ＝60°，则|PF|＝（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】根据题意作出简图，可得△FPQ为等边三角形，在Rt△QNF中求解可得|QF|＝4，从而得解．【解答】解：根据题意作出简图，如图所示：根据抛物线的定义可知|PF|＝|PQ|，结合∠FPQ＝60°，可得△FPQ为等边三角形，所以∠PQF＝∠QFN﹣60°，在RtΔQNF中，因为|NF|＝2，所以|QF|＝4，所以|PF|＝4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的定义及其简单几何性质，属于基础题．9．（2021秋•海淀区期末）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（，1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】求出渐近线方程，代入点的坐标，推出a，b关系，然后求解离心率即可．【解答】解：因为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（，1），所以渐近线y＝x经过点（，1），所以，从而e＝＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力．是基础题．10．（2021秋•重庆月考）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0），则m＝（）A．1B．2C．5D．9【考点】椭圆的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】利用椭圆方程求解a，结合焦点坐标，列出方程求解m即可．【解答】解：椭圆，可知a＝，b＝，因为椭圆的一个焦点坐标为（2，0），所以＝2，解得m＝1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．11．（2021秋•榆林期末）已知直线l：mx﹣3y﹣4m+9＝0与圆C：x2+y2＝100相交于A、B 两点，则|AB|的最小值为（）A．5B．5C．10D．10【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】求出直线恒过定点D，定点D在圆内，故当弦AB与CD垂直时，弦|AB|长度最小．【解答】解：依题意，直线mx﹣3y﹣4m+9＝0恒过定点D（4，3），∵D在圆C内部，故弦|AB|长度的最小时，直线AB与直线CD垂直，又|CD|＝＝5，此时|AB|＝2＝10．故选：D．【点评】本题考查了直线恒过定点的求法，考查了圆的弦长问题．考查逻辑思维能力和计算能力，本题属于中档题．12．（2021秋•重庆月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为F2，若直线F1A与抛物线E交于P，Q两点，且|P A|+|QA|＝4a，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由题设可得抛物线E为y2＝4cx，直线F1A为x＝y﹣c，联立方程应用韦达定理，弦长公式求，由＝，求，结合|P A|+|QA|＝|PQ|+2|P A|＝4a，得到•+﹣2a＝4a，化简可求离心率．【解答】解：由题设知：A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且抛物线方程为y2＝4cx，直线F1A为x＝y﹣c，联立抛物线方程有y2＝，整理得by2﹣4c2y+4bc2＝0，则Δ＝16c2（c2﹣b2）≥0，即c≥b，令P（x1，y1），Q（x2，y2）且y2＞y1＞0，则y2+y1＝，y2y1＝4c2，所以y1＝，＝•＝•，令d＝，如图可知＝，即＝，可得d＝y1﹣a，所以d＝﹣a，又|P A|+|QA|＝|PQ|+2d＝4a，所以•+﹣2a＝4a，整理得2c2＝3b2，又b2＝a2﹣c2，所以3a2＝5c2，所以e＝＝，故选：C．【点评】本题考查椭圆的离心率问题，属中档题．二．填空题（共4小题）13．（2021秋•宜春期末）已知直线的倾斜角α＝30°，且过点A（4，3），则该直线的方程为x﹣3y+9﹣4＝0．【考点】直线的点斜式方程．【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算．【分析】根据直线的倾斜角求出斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式方程．【解答】解：直线的倾斜角α＝30°，所以直线的斜率为k＝tan30°＝，又因为直线过点A（4，3），所以直线的方程为y﹣3＝（x﹣4），x﹣3y+9﹣4＝0．故答案为：x﹣3y+9﹣4＝0．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．（2021秋•滨海新区校级期末）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为12．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；整体思想；演绎法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而可得点E（0，1）在圆内，即可得到过点E的最长弦、最短弦弦长，即可求出四边形的面积．【解答】解：圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，圆心M（2，2），半径r＝3，点E（0，1），则（0﹣2）2+（1﹣2）2＝5＜9，所以点E（0，1）在圆内，所以过点E（0，1）的最长弦|AC|＝2r＝6，又，所以最短弦，所以．故答案为：12．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中四边形的面积问题等知识，属于基础题．15．（2021秋•南岗区校级期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝上，则这个等边三角形的边长为6．【考点】抛物线的性质．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【分析】由抛物线的对称性及等边三角形的性质可得另外两点关于x轴对称，即横坐标相同，设三角形的边长，可得顶点O到底边AB的距离，即A，B的横坐标，代入抛物线的方程可得其纵坐标，可得三角形的边长．【解答】解：由抛物线的对称性可得另两个顶点关于x轴对称，设A，B两点，△OAB 为等边三角形，设边长为2a，则O到AB的距离为a，即A的横坐标为a，代入抛物线y2＝的方程可得y A2＝•a，所以|y A|＝，由题意可得2＝2a，解得a＝3，所以三角形的边长2a＝6，故答案为：6．【点评】本题考查抛物线的对称性的性质的应用及等边三角形的性质的应用，属于基础题．16．（2021秋•工农区校级期末）已知F1，F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点P在双曲线C的右支上，且PF1的中点N在圆O：x2+y2＝c2上，其中c为双曲线的半焦距，则sin∠F1PF2＝．【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由题意可得在△F1PF2中，|PF1|＝6a，|PF2|＝|F1F2|＝4a，利用sin∠F1PF2＝即可求解．【解答】解：如图，由题意可得|OF1|＝|ON|＝c，因为O为F1F2的中点，所以|ON|＝|PF2|，所以|PF2|＝2c，|PF1|＝2a+2c，∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴c＝2a，故在△F1PF2中，|PF1|＝6a，|PF2|＝|F1F2|＝4a，∵PF1的中点N，∴F2N⊥PF1，∴∠PNF2＝90°∴sin∠F1PF2＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．三．解答题（共6小题）17．（2021秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，﹣2）、B（6，6）、C（0，6）．（Ⅰ）设线段AB的中点为M，求中线CM所在直线的方程；（Ⅱ）求边AB上的高所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】（Ⅰ）先求出线段AB的中点为M的坐标，再利用两点式求出中线CM所在直线的方程．（Ⅱ）先求出AB的斜率，可得AB边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边AB 上的高所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（6，6），C（0，6），∴线段AB的中点为M（4，2），求中线CM所在直线的方程为：＝，即x+y﹣6＝0，（Ⅱ）由于直线AB的斜率为：＝2，故边AB上的高所在直线的斜率为﹣，故边AB上的高所在直线的方程为y﹣6＝﹣（x﹣0），即x+2y﹣12＝0．【点评】本题主要考查中点公式、斜率公式、两直线垂直的性质，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．18．（2021秋•房山区期末）已知圆M：x2+y2﹣2x＝0与圆N：x2+y2﹣8x+a＝0外切．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣2＝0与圆M交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆心距等于半径和列式求解a值；（Ⅱ）求出M到直线的距离，再由垂径定理求弦长．【解答】解：（Ⅰ）由圆M：x2+y2﹣2x＝0，得（x﹣1）2+y2＝1，则M（1，0），半径r1＝1，由圆N：x2+y2﹣8x+a＝0，得（x﹣4）2+y2＝16﹣a，则N（4，0），半径．∵两圆外切，∴|4﹣1|＝1+，即a＝12；（Ⅱ）M（1，0）到直线x﹣y﹣2＝0的距离d＝，∴弦AB的长为．【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．19．（2021秋•重庆月考）已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点M（2，1）．（1）求双曲线C的方程；（2）斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，若k1+k2＝1，求直线l的方程．【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）根据条件列出关于a，b的方程组，求解a，b可得双曲线方程；（2）设出直线l的方程并与双曲线方程联立，由韦达定理结合条件可求直线方程．【解答】解：（1）由题意可得，，∴，（2）设，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，因为直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，所以Δ＝16t2+16（t2+1）＞0，x1+x2＝﹣4t，，因为k1+k2＝1，所以，整理得，解得t＝1，所以直线．【点评】本题考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，属于基础题．20．（2021秋•西固区校级期末）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），若动点P满足条件|P A|＝2|PB|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）求直线l：y＝x被轨迹C所截得的线段长．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】（1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|P A|、|PB|，代入等式|P A|＝2|PB|，整理即得点P的轨迹方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理可求弦长．【解答】解：（1）已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），由动点P满足|P A|＝2|PB|，设P 点的坐标为（x，y），则（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，即（x﹣2）2+y2＝4；（2）由（1）知轨迹C为圆，圆心为（2，0），半径r＝2，圆心到直线l：y＝x的距离d＝＝，由垂径定理可得弦长为2，所以直线l：y＝x被轨迹C所截得的线段长为2．【点评】本题考查轨迹方程的求法与弦长的求法，属中档题．21．（2021秋•让胡路区校级期末）以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．已知椭圆C的长轴长是短轴长的倍，且经过点，椭圆C的“准圆”的一条弦AB所在的直线与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程及其“准圆”的方程；（2）当时，证明：弦AB的长为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合．【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）由题意解得a，b，则可写出椭圆的方程，进而可得椭圆C的“准圆”方程．（2）分两种情况：①当弦AB⊥x轴时，设得，进而可得原点O到弦AB的距离d，进而可得|AB|．②当弦AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝kx+m，M（x1，y1）、N（x2，y2），联立直线AB与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，y1y2，由得，再求出原点O到弦AB的距离d，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意解得a＝2，所以椭圆的标准方程为椭圆C的“准圆”方程为x2+y2＝6．（2）证明：①当弦AB⊥x轴时，交点M、N关于x轴对称，又，则OM⊥ON，可设得，此时原点O到弦AB的距离，因此．②当弦AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝kx+m，且与椭圆C的交点M（x1，y1）、N（x2，y2），联列方程组，代入消元得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，Δ＝32k2﹣8m2+16＝8（4k2﹣m2+2）＞0，由，可得，由得x1x2+y1y2＝0，即，所以，此时Δ＞0成立，则原点O到弦AB的距离，则，综上得，因此弦AB的长为定值．【点评】本题考查直线与椭圆的相交的问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22．（2021秋•1月份月考）如图所示，已知抛物线C：y2＝2x，过点A（2，0）的直线l与抛物线C有两个交点，若抛物线C上存在不同的两点M，N关于直线l对称，记MN的中点为T．（1）求点T的轨迹方程；（2）求S△AMT的最大值．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；直观想象；数学运算．【分析】（1）设直线l：y＝k（x﹣2），T（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），将M，N的坐标代入抛物线方程得到y＝﹣k，再代入直线方程化简即可；（2）联立直线MN的方程和抛物线方程，将△ANM在面积表示出来，再利用S△AMT＝S求解即可．△AMN【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x﹣2），T（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），由可得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝2（x1﹣x2），所以＝＝＝＝﹣，所以y＝﹣k，代入直线方程得：x＝1，又当x＝1时，由y2＝2x得y＝，∵T在抛物线开口方向内，∴﹣＜y＜，∴点T的轨迹方程为：x＝1（﹣＜y＜）；（2）由（1）可知直线MN：y＝﹣x﹣k+，由，可得：y2+2ky+2k2﹣2＝0，∵直线MN与抛物线交于M，N两点，∴Δ＝﹣4k2+8＞0，解得：k，y1+y2＝﹣2k，y1y2＝2k2﹣2，∴|y1﹣y2|＝＝，|MN|＝，又因为|AT|＝，∴S△AMT＝S△AMN＝|MN||AT|＝＝，令t＝k2，y＝﹣t3+3t+2（t∈（0，2）），∴y'＝﹣3t2+3，令y'＝0，得t＝1（负根舍去），当t∈（0，1）时，y随t增大而增大，当t∈（1，2）时，y随t增大而减小，∴当t＝1时，y取最大值4，∴k＝±1时，（S△AMT）max＝1．【点评】本题考查了直线和抛物线相交所产生的问题及最值问题、转化思想等，属于中档题．。

高中数学《平面解析几何》期末考知识点一、选择题1．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ ∴+==，Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ． 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =. 因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得33,m ⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.3．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x yx y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点()2,2，()2,2-，()2,2--，()2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.4．已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r=( )A ．12-B ．2-C ．0D ．4【答案】C 【解析】 由题知，故，∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=-±⋅±=-+=u u u r u u u u r ，故选择C ．5．已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴23OP =POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =∴36PQ OP ==.故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.6．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.7．已知椭圆221259x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．8．已知椭圆1C ：22113x y +=，双曲线2C ：22221(,0)x y a b a b-=>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是（ ） AB ．3CD ．5【答案】A 【解析】由已知得OA =OA 的方程为()00,0y kx k x =>>，∴可设()00,A x kx ，进一步0=,A AB ∴的一个三分点坐标为，该点在椭圆上，21+=，即()2211391k k+=+，解得22k =，从而有,222222b b a a==，解得c e a ===，故选A. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1 B ．1C． D【答案】A 【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=,∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．10．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=,其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =, 最短的弦是与ME 垂直的弦,又415ME =+=,所以2219522BD r ME =-=-=,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.11．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 D ． 【答案】D 【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>，所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－ab为切线的斜率， 切点为(1，－1a b+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－ab(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0.因为切线与圆相切，所以221a b+＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ， 所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为.故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．12．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=，因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =， 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.13．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.14．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1【答案】B 【解析】 【分析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =.由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.15．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D ．4【答案】C【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可． 【详解】由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，圆22(4x y +-=的圆心为(0,，半径为2，由题意及|AB |＝2，可得22212+=，222123a a b=+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e ca==2． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出ab ，进而可得出结果. 【详解】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=. 故选D【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.17．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A【解析】 分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u u v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率. 详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+= 又∵29λμ= ∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵AP BP <u u u v u u u v∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限） ∴2(,)b P c a ，2(,)b B c a - ∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点∴直线1l 的方程为为1x y a b +=- ∴()(,)a c b A c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=.∴25230e e +-=∵(0,1)e ∈ ∴35e =故选A. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．18．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ）AB ．2C ．4 D．【答案】B【解析】【分析】 由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.【详解】∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，∴||PQ ====∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈.故选B .【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PFPA 的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．2D 【答案】C【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-． 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PFPMPAM PA PA ==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PF PA最小．设切点)P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA ∠== 故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.20．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A B C ．2-D 【答案】A【解析】【分析】根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．。

【最新】《平面解析几何》专题解析一、选择题1．设P 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．22(x 2)y 28-+=B ．22(x 2)y 7++=C ．22(x 2)y 28++=D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PFPQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】P Q 为椭圆C ：22x y 173+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，11PF PQ FQ ∴+==，Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．故选：C ． 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ⎛∈ ⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC ．2D【答案】D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=， 解得222e =+，因此，双曲线C 的离心率为22+. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.4．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．【详解】解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．5．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22525:()416C x y +-='于,A B 两点，且5AB =若过抛物线C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线2x =-的距离为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9【答案】B 【解析】 【分析】易得圆C '过原点，抛物线22y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 【详解】圆:22525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭'即为2252x y y +=,可得圆经过原点.抛物线22y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >. 由5AB =可得225m n +=， 又2252m n n +=联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人22y px =，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离11(|)422EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于6．已知椭圆221259x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．7．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C 【解析】由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F ==∵122F A F A -= ∴22F A =∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴23,3c a e a === 故选C8．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（ ）A ．22(3)4x y ++=B ．22(23)41x y -+=C ．22(3)1x y -+=D ．22(23)41x y ++=【答案】B【分析】根据已知条件可设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，再利用中点坐标公式可得到0023,2x x y y =-=，再代入圆的方程221x y +=即可得到线段PQ 的中点的轨迹方程.【详解】设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即00232x x y y =-⎧⎨=⎩，Q 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=()()222321x y ∴-+=即()222341x y -+=故选：B 【点睛】本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14) B ．1(,1)4-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为14,即(1,14)，故选A考点：抛物线的定义及几何性质的运用.10．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=,其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,最短的弦是与ME 垂直的弦,又ME ==所以122BD ===,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.11．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.12．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A．y = B．y x = C ．y x =± D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得:b =Q 双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.14．过点(11)M ， 的直线与椭圆22143x y += 交于A ，B 两点，且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为（ ） A ．3470x y +-= B ．3410x y -+= C ．4370x y +-=D ．4310x y --=【答案】A 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的方程可得222211221,14343x y x y +=+=，两式相减可得12121212()()()()044x x x x y y y y +-+-+=，又121212122,2,y y x x y y k x x -+=+==-， 即为12123()34()4x x k y y +=-=-+，则直线AB 的方程为：31(1)4y x -=--，化为3470x y +-=，故选A ． 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键．15．已知12F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上一点，2PF 与x 轴垂直，1230PF F ∠=︒，且焦距为 ） A．y = B．y =C ．2y x =±D ．3y x =±【答案】B 【解析】 【分析】先求出c 的值，再求出点P 的坐标，可得22bPF a=，再由已知求得1PF ，然后根据双曲线的定义可得ba的值，则答案可求． 【详解】解：由题意，2c =解得c =，∵()2,0F c ，设(),P c y ，∴22221x y a b -=，解得2b y a =±，∴22b PF a=，∵1230PF F ∠=︒，∴2 1222b PF PFa==，由双曲线定义可得：2122bPF PF aa-==，则222a b=，即2ba=．∴双曲线的渐近线方程为2y x=±．故选：B．【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.求解双曲线的渐近线方程，可通过找到,,a b c中任意两个量的倍数关系进行求解.16．已知抛物线22(0)y px p=>的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB，CD与抛物线分别相交于A，B以及C，D，若111AF BF+=，则四边形ACBD的面积的最小值为（）A．18B．30C．32D．36【答案】C【解析】【分析】【详解】由抛物线性质可知：112AF BF p+=，又111AF BF+=，∴2p=，即24y x=设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为1k-．直线AB的方程为y=k（x﹣1），联立214y k xy x=⎧⎨=⎩（﹣），消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，从而242A B x x k +=+，A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k +， 以1k-换k 得|CD|=4+4k 2， 故所求面积为()22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32（当k 2=1时取等号），即面积的最小值为32．故选C17．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，且124cos 5PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．257B ．4C ．5D ．57 【答案】C【解析】【分析】在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．【详解】 在12PF F △中，因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=o ， 1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，2121236sin 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555c c c a PF PF =-=-= 所以离心率5c e a==，故选C. 【点睛】 本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．18．若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( )A ．4B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>， 所以()'a f x bx ＝－，则f ′(1)＝－a b 为切线的斜率， 切点为(1，－1a b+)， 所以切线方程为y ＋1a b +＝－a b(x －1)， 整理得ax ＋by ＋1＝0. 因为切线与圆相切，所以22a b +＝1，即a 2＋b 2＝1.由基本不等式得a 2＋b 2＝1≥2ab ，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝1＋2ab ≤2，所以a ＋b ≤，即a ＋b 的最大值为. 故选D.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．19．已知椭圆22198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ）A ．12B ．642+C ．8D ．6【答案】A【解析】【分析】画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案.【详解】画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .【点睛】本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.20．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）A 75-B ．732C ．532-D ．312【答案】A【解析】【分析】 根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得2212302x y x y +-+=，所以原问题等价于，圆2212302x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】 因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r ， 因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以2212302x y x +-+=， 又()222b c x y -=-+r r 所以原问题等价于，圆2212302x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为22=. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．。

专题17 平面解析几何（3）多项选择题1．（2019秋•潍坊期末）已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且△12F PF 的面积为3，则下列说法正确的是( ) A ．P 点纵坐标为3B ．122F PF π∠>C ．△12F PF 的周长为1)D ．△12F PF 的内切圆半径为31)2【分析】由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，在焦点三角形中由余弦定理、三角形面积公式及椭圆定义求得12tan F PF ∠，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：Q 椭圆22184x y +=，a ∴=2b =，2c =．又P Q 为椭圆上一点，1F 、2F 为左右焦点，设12F PF θ∠=，12||||2F P PF a ∴+==12||4F F =，2212121212||(||||)2||||2||||F F PF PF F P PF F P PF θ∴=+--g 12323||||cos 16F P PF θ=-=g ，得1216||||cos 3F P PF θ=g ． 又121||||sin 32F P PF θ=g ，9tan 8θ∴=． 对于A ，由等面积法，得14||32P y ⨯⨯=，则32P y =±，故A 错误；对于B ，由9tan 8θ=<122F PF π∠<，故B 错误；对于C ，△12F PF 的周长为221)a c +=，故C 正确；对于D ，设△12F PF 的内切圆半径为r ，则14)32r =，得31)2r =，故D 正确．故选：CD ．2．（2019秋•烟台期末）已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若12||2||PF PF =且△12PF F 的最小内角为30︒，则( )AB ．双曲线的渐近线方程为y =C ．245PAF ∠=︒D ．直线220x y +-=与双曲线有两个公共点【分析】利用已知条件画出图形，求解双曲线的离心率以及渐近线方程，判断直线与双曲线的位置关系，推出选项即可．【解答】解：1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若12||2||PF PF =且△12PF F 的最小内角为30︒，如图，三角形△12PF F 是直角三角形，并且22tan30b c a=︒，可得：e ，所以A 正确；ca，b a =渐近线方程：y =，所以B 正确；直线220x y +-=与双曲线的渐近线不平行，所以直线与双曲线由2个交点，所以D 正确； 故选：ABD ．3．（2019秋•淮安期末）与直线0x y +=仅有一个公共点的曲线是( ) A ．221x y +=B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =【分析】判断直线与圆，椭圆，双曲线已经抛物线的交点个数，即可得到选项．【解答】解：直线0x y +-=与221x y +=相切，所以只有一个公共点；所以A 正确；直线0x y +经过椭圆2212x y +=的右顶点，经过，所以直线与椭圆2212x y +=有2个交点，所以B 不正确．直线0x y +平行于双曲线的渐近线，所以直线与双曲线只有一个交点，所以C 正确；直线0x y +与抛物线2y x =有2个交点，所以D 不正确； 故选：AC ．4．（2019秋•德州期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若||8AF =，则以下结论正确的是( ) A ．4p =B ．DF FA =u u u r u u u rC ．||2||BD BF = D ．||4BF =【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A 的坐标，再由焦半径公式求p ，进一步求出||BF ，||BD 的值，逐一判断四个选项得答案． 【解答】解：如图，(2p F ，0)，直线l)2p y x =-，联立22)2y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得22122030x px p -+=．解得：32A x p =，16B x P =， 由3||2822pAF p p =+==，得4p =． ∴抛物线方程为28y x =．1263B x p ==，则28||233BF =+=； ||||cos60BF BD =︒，||2||BD BF ∴=，816||||833BD BF +=+=，则F 为AD 中点．∴运算结论正确的是A ，B ，C ．故选：ABC ．5．（2019秋•日照期末）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( )A ．以线段AB 为直径的圆与直线y 轴相离B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当92,2AF FB AB ==u u u r u u u r 时D ．||AB 的最小值为4【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断A ；当直线AB 的斜率不存在时，显然成立；当直线AB 的斜率存在时，设为1，求得A ，B ，M 的横坐标，由直线和圆的位置关系可判断B ；以F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cos ρθ=-，设1(A ρ，)θ，2(B ρ，)πθ+，求得||AF ，||FB ，可判断C ；考虑直线AB 垂直于x 轴，取得最小值，可判断D ． 【解答】解：24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA '=，||||BF BB '=，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '''=+=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故A 错； 当直线AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y kx k =-，联立24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x k +=+，121x x =，设13x =+，23x =-，可得M 的横坐标为221k +，MB 的中点的横坐标为2212(1)2x k ++，222||1|BM x k=--，当1k =时，MB 的中点的横坐标为52，1||22MB =，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故B 错；以F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cos ρθ=-，设1(A ρ，)θ，2(B ρ，)πθ+，可得121cos ρθ=-，2221cos()1cos ρπθθ==-++， 可得111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9||||||2AB AF FB =+=，故C 正确； 显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故D 正确． 故选：CD ．6．（2019秋•佛山期末）在平面直角坐标系中，曲线C 上任意点P 与两个定点(2,0)A -和点(2,0)B 连线的斜率之和等于2，则关于曲线C 的结论正确的有( ) A ．曲线C 是轴对称图形B ．曲线C 上所有的点都在圆222x y +=外C ．曲线C 是中心对称图形D ．曲线C 上所有点的横坐标x 满足||2x >【分析】根据直线的斜率公式求得P 点轨迹方程，即可判断结论．【解答】解：设(,)P x y ，则2PA PB k k +=，即222y y x x +=+-，(2)x ≠±，整理得24x xy -=，(2)x ≠±， 所以曲线C 是中心对称图形，不是轴对称图形，故C 正确，A 错误，由22242x xy x y -=>=+，所以曲线C 上所有的点都在圆222x y +=外，故B 正确； 由24x xy -=可知，x R ∈且0x ≠，2x ≠±，故D 错误， 故选：BC ．7．（2019秋•南通期末）已知双曲线22:14y C x -=，则( )A ．双曲线C 的离心率等于半焦距的长B ．双曲线2214x y -=与双曲线C 有相同的渐近线C ．双曲线C 的一条准线被圆221x y +=D ．直线(,)y kx b k b R =+∈与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2【分析】求出双曲线的离心率以及渐近线方程，通过直线与圆的位置关系以及直线与双曲线的位置关系判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线22:14y C x -=，可得1a =，2b =，c =，所以双曲线的离心率为：e c =，所以A 正确；双曲线的渐近线方程：2y x =±，双曲线2214x y -=的渐近线方程12y x =±，所以B 不正确；双曲线C 的一条准线x =221x y +=截得的弦长为：=C 正确；直线(,)y kx b k b R =+∈，点0b =时，直线与双曲线的交点可能是0个，也可能是2个，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是1个，所以直线与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2，正确； 故选：ACD ．8．（2019秋•徐州期末）若双曲线C 的一个焦点(5,0)F ，且渐近线方程为43y x =±，则下列结论正确的是()A ．C 的方程为221916x y -=B ．C 的离心率为54C ．焦点到渐近线的距离为3D ．两准线间的距离为185【分析】利用双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程，然后双曲线方程以及离心率，求出b ，两条准线之间的距离，判断选项即可．【解答】解：双曲线C 的一个焦点(5,0)F ，且渐近线方程为43y x =±，可得5c =，焦点坐标在x 轴上，所以43b a =，因为5c =，所以4b =，3a =，所以C 的方程为221916x y -=，A 正确；离心率为53e =，所以B 不正确；4b =，所以焦点到渐近线的距离为3．不正确；两准线间的距离为：21825a c =，所以D 正确；故选：AD ．9．（2019秋•东莞市期末）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1A ，2A ，1B ，2B 为顶点，1F ，2F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有( )A ．11||A F ，12||F F ，22||F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．【解答】解：A 中若成等比数列则2(2)()()c a c a c =--，即2c a c =-或2c c a =-（舍)，解得：13c a =≠，所以A 不正确；B 若11290F B A ∠=︒，则由射影定理可得：2112OB F O OA =g ，即2b ca =，所以220c ac a +-=，即210e e +-=，(0,1)e ∈，解得e B 正确； C 若1PF x ⊥轴，所以2((,)b P c a-，又21//PO A B ，则斜率相等，所以2b b ac a =--，即b c =，所以c e a ===C 不正确；D ，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线22A B 的距离等于c ， 因为直线22A B 的方程为：1x ya b +=，即0bx ay ab +-=，所以原点到直线的距离d =，c =，又222b a c =-，整理得：222222()(2)a a c c a c -=-，42310e e -+=，2(0,1)e ∈，解得2e =所以e =，所以D 正确， 故选：BD ．10．（2019秋•连云港期末）设P 是椭圆22:12x C y +=上任意一点，1F ，2F 是椭圆C 的左、右焦点，则()A ．12PF PF +=B ．1222PF PF -<-<C ．1212PF PF g 剟D ．1201PF PF u u u r u u u u rg 剟【分析】通过椭圆方程，求出a ，b ，c ，然后利用椭圆的定义转化求解判断选项的正误即可．【解答】解：椭圆22:12x C y +=，可得a 1b c ==，P 是椭圆22:12x C y +=上任意一点，1F ，2F 是椭圆C 的左、右焦点，所以12PF PF += 1222PF PF --剟，所以B 错误；2122cos [1PF PF θ-∈g ，2]，所以C 正确；因为121212||||cos 1,sin )1,sin )PF PF PF PF F PF θθθθ=∠=+-u u u r u u u u r u u u r u u u u r g g 2222cos 1sin cos [0θθθ=-+=∈，1]，所以D 正确； 故选：ACD ．11．（2019秋•惠州期末）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中错误的是( )A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 是双曲线，则其离心率有1e < C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<【分析】举例说明A 错误；由C 为双曲线求得t 的范围，分类求得离心率说明B 正确；由C 为双曲线求得t 的范围得C 正确；由C 为椭圆，且长轴在y 轴上求得t 的范围说明D 错误．【解答】解：若2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，故A 错．对于B ，若C 为双曲线，则(3)(1)0t t --<，即1t <或3t >．当1t <时，则方程可变形为22131x y t t-=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线，离心率e e =<< 当3t >时，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线，离心率e e =<< 故B 正确．对于C ，由B 可知正确；对于D ，若方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则130t t ->->，得23t <<．故D 错． 故选：AD ．12．（2019秋•烟台期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，点P 在l 上的射影为1P ，则( )A ．若126x x +=．则||8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设(0,1)M ，则1||||PM PP +D ．过点(0,1)M 与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条 【分析】利用抛物线的性质，结合抛物线的方程，得出结论． 【解答】解：若直线的斜率存在，设(1)y k x =-， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，联立解方程组2222(24)0k x k x k -++=， 212224k x x k ++=，121x x =，A ，若126x x +=，则21k =，故1k =或1-，||8PQ =，故A 正确； 取PQ 点中点M ，M 在l 上的投影为N ，Q 在l 上的投影为Q '，根据抛物线的定义，1||||PP PM =，||||QQ QM '=，M ，N 为梯形的中点，故111||(||||)||22MN PP QQ PQ '=+=，故B 成立；对于C ，(0,1)M ，1||||||||||PM PP MP PF MF +=+=…， 过(0,1)M 相切的直线有2条，与x 轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条． 故选：ABC ．13．已知双曲线C 过点且渐近线为y =，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x --=与C 有两个公共点【分析】根据条件可求出双曲线C 的方程，再逐一排除即可．【解答】解：设双曲线C 的方程为22221x y a b -=，根据条件可知b a =，所以方程可化为222213x y b b -=，将点代入得21b =，所以23a =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 对；离心率c e a ====B 错；双曲线C 的焦点为(2,0)，(2,0)-，将2x =代入得010y e =-=，所以C 对；联立221310x y x ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，整理得220y -+=，则△880=-=，故只有一个公共点，故D 错，故选：AC ．14．（2019秋•广陵区校级月考）已知点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，AB 的斜率为k ，且0k >，C ，A 两点在x 轴上方．则下列结论中移动成立的是( ) A ．234OC OD p =-u u u r u u u r gB ．四边形ACBD 面积最小值为216pC ．111||||2AB CD p+=D ．若2||||4AF BF p =g，则直线CD的斜率为【分析】设直线AB 的方程：2px my =+，设直线AB 的倾斜角为(0)θθ≠，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用韦达定理可得22||pAB sin θ=， 设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，同理可得234y y p =-，2344p x x =，22||pCD cos θ=．A ，由3434OC OD x x y y =+u u u r u u u rg即可判定； B ，四边形ACBD 面积22222148222p p S CD AB sin cos sin θθθ===g g ，即可判定； C ，由22111||||222sin cos AB CD p p pθθ+=+=，即可判定； D ，22121212||||()()()42224p p p p AF BF x x x x x x p =++=+++=g，m ⇒=6πθ=．则直线CD 的倾斜角为23π，即可判定 【解答】解：如图所示：(2p F ，0)，设直线AB 的方程：2px my =+，设直线AB 的倾斜角为(0)θθ≠． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与抛物线的方程整理得：2220y pmy p --=．∴212y y p =-，2221212224y y p x x p p ==g ．122y y pm +=．22222||2(1)2(1)cos pAB p m p sin sin θθθ+=+=g ，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，同理可得234y y p =-，2344p x x =，22||pCD cos θ=． 对于A ，2223434344p p OC OD x x y y p =+=-=-u u u r u u u r g ，故正确； 对于B ，四边形ACBD 面积22222148222p p S CD AB sin cos sin θθθ===g g ，故其最小值为28p ，故错； 对于C ，22111||||222sin cos AB CD p p p θθ+=+=，故正确； 对于D ，22121212||||()()()42224p p p p AF BF x x x x x x p =++=+++=g ，则12127()722p px x x x p +=⇒+=．226pm p ⇒=，m ⇒=(0)m >，6πθ=．则直线CD 的倾斜角为23π，其斜率为 故选：ACD ．15．（2019秋•思明区校级月考）已知ABC ∆为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，若圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，该圆锥曲线E 的离心率可以是( )A 1B C D 1【分析】判断三角形的直角顶点，利用圆锥曲线的定义转化求解即可．【解答】解：（ⅰ）ABC ∆为等腰直角三角形，如果2C π=，圆锥曲线E 为椭圆，22c AB e a CA CB ===+， （ⅱ）ABC ∆为等腰直角三角形，如果4C π=，A 或B 为直角，圆锥曲线E 为椭圆，1AB e CA CB ===+．（ⅲ）ABC ∆为等腰直角三角形，如果4C π=，A 或B 为直角，圆锥曲线为双曲线，1||AB e CA CB ==-．故选：ABD ．16．（2019秋•葫芦岛月考）在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆222()x a y a ++=的位置不可能是()A ．B ．C ．D ．【分析】判的直线与圆的位置关系，判的曲线对应的图形即可． 【解答】解：圆222()x a y a ++=的可知0a ≠，圆的圆心(,0)a -半径为||a ，直线2y ax a =+，的斜率为a ，在y 轴上的焦距为20a >， 所以在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆222()x a y a ++=的位置不可能是ABD ． 故选：ABD ．17．（2019秋•葫芦岛月考）椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是( ) A ．1B ．3C ．4D ．8【分析】求出椭圆的a ，c ，利用椭圆的性质推出结果即可．【解答】解：椭圆22:11612x y C +=，可得4a =，b =2c =，所以椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则22||6a PF a c =-+=剟，||PF 的值可能是3，4． 故选：BC ．18．（2019秋•建邺区校级期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y xy +=+就是其中之一．给出下列四个结论，其中正确的选项是( ) A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C ．曲线C 上任意一点到原点的距离的最小值为1D ．曲线C 所围成的区域的面积小于4【分析】将x 换成x -，y 换成y -，方程不变，所以图形关于(0,0)对称；再结合基本不等式就可求解． 【解答】解：将x 换成x -，y 换成y -，方程不变，所以图形关于(0,0)对称；故A 正确；221||2||||1x y xy xy xy +=+⇒厔，要使得x ，y 均为整数，则x ，y 只能为0，1，1-，则可得整点有8个：(1,1)±±，(0,1)±，(1,0)±，故B 错误；因为221||1x y xy +=+…，曲线C 上任意一点到原点的距离的最小值为1，故C 正确； 令(0,1)x ∈，0y >可得2210y xy x -+-=，记函数22()1f y y xy x =-+-，可得△2430x =->，所以函数有两个零点，又因为(0)0f <，f （1）20x x =-<，故两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线C 上横坐标(0,1)x ∈时1y >；同理(0,1)y ∈时，1x >；即第一象限部分图象应在1y =，1x =与坐标轴围成的正方形外部，根据图象的对称性可得面积应大于4，故D 错误． 故选：AC ．19．（2019秋•海淀区校级期中）已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，△12PF F 的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 的横坐标为203B ．△12PF F 的周长为803C ．12F PF ∠小于3π D ．△12PF F 的内切圆半径为32【分析】设△12F PF 的内心为I ，连接IP ，1IF ，2IF ，求得双曲线的a ，b ，c ，不妨设(,)P m n ，0m >，0n >，运用三角形的面积公式求得P 的坐标，运用两直线的夹角公式可得12tan F PF ∠，由两点的距离公式，可得△12PF F 的周长，设△12PF F 的内切圆半径为r ，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r ．【解答】解：设△12F PF 的内心为I ，连接IP ，1IF ，2IF ，双曲线22:1169x y E -=的4a =，3b =，5c =，不妨设(,)P m n ，0m >，0n >，由△12PF F 的面积为20，可得121||5202F F n cn n ===，即4n =，由2161169m -=，可得203m =，故A 正确； 由20(3P ，4)，且1(5,0)F -，2(5,0)F ， 可得11235PF k =，2125PF k =，则121212360535tan 12123191535F PF -∠==∈⨯+⨯， 则123F PF π∠<，故C 正确；由12371350||||333PF PF +=+=， 则△12PF F 的周长为50801033+=，故B 正确； 设△12PF F 的内切圆半径为r ，可得12121211(||||||)||422r PF PF F F F F ++=g g ，可得80403r =，解得32r =，故D 正确．故选：ABCD ．20．（2019秋•常熟市校级月考）如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A ，B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆．则在下列命题中，正确的是( )A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的大小是定值为14-B ．OAB ∆的面积OAB S ∆是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和22||||OA OB +是定值5D ．设OMNOABS S λ∆∆=，则2λ… 【分析】设直线MN 斜率为k ，联立方程组，利用根与系数的关系和斜率公式判断A ；设直线OA 方程为y mx =，联立方程组，求出A ，B 坐标，计算A 到OB 的距离，代入面积公式化简判断B ；根据A ，B 的坐标和距离公式判断C ；联立方程组，求出M ，N 的坐标，用m 表示出三角形OMN 的面积，借助基本不等式即可判断D ．【解答】解：(0,1)F ，设直线MN 的方程为1y kx =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ． 联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消元得：2440x kx --=，124x x k ∴+=，124x x =-，212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x ∴=++=+++=， 211212211214y y y y k k x x x x ∴===-g ，故A 正确； 设直线OA 的方程为(0)y mx m =>，则直线OB 的方程为14y x m=-， 联立方程组2214y mxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22414x m =+，不妨设A在第三象限，则(A，， 用14m-替换m可得(B1，A ∴到OB的距离22d ==，又||OB ==211||122OABS OB d ∆∴===g g g ，故B 正确； 又2222224444||141414m m OA m m m +=+=+++，222161||41m OB m +=+， 2222520||||514m OA OB m +∴+==+，故C 正确；联立方程组24y mxx y=⎧⎨=⎩，可得(4)0x x m -=，故2(4,4)N m m，||4ON ∴=，14m-替换m 可得1(M m -，21)4m ，M ∴到直线OA的距离2211|1|1h --+ 2111||2(1)22242OMN S ON h m m m m ∴==+=+g g …，当且仅当122m m =即12m =时取等号． 2OMN OMN OABSS S λ∆∆∴==…，故D 正确．故选：ABCD ．。

专题07平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y p xp =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ，由=O P O F ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =AB ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =∴a=12a =，故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12C D 【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1-B ．2-CD 1【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒， 设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=，则212c c e a a ====，故选D ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中a ，c 满足的关系式.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.11．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点坐标为(±c ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为by x a=±； (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，焦点坐标为(0，±c )，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为a y x b=±. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△.故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】c e a ===1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.熟记结论：若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>是等轴双曲线，则a =b ，离心率e ，渐近线方程为y =±x ，且两条渐近线互相垂直.14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴，然后根据基本量之间的关系进行运算.15．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a =±， 不妨设2(,)b A c a，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=． 故选A ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ，B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ． 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．17．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则t a n 603ab≥=≥，得01m <≤； 当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab≥=，即≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞， 故选A ．【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << 故选C.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F，所以:1)NF y x =-.所以M 到直线NF=故选C.【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.20．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．解题时要注意a ，b ，c 之间满足的关系：222c a b =+，否则很容易出现错误．求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到a ，b ，c 满足的关系式，联立求解可得a ，b ，c 的值．22．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是ABC ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．23．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1，0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=.【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.24．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.25．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 26．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.27．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.29．【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==结合圆中的特殊三角形，可知AB ==【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.30．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =________________． 【答案】4【解析】在双曲线中c ==2c e a ==，=，即216a =， 因为0a >，所以4a =．【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，考查考生的运求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l 过点（1，0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】()1,0【解析】由题意可得，点()1,2P 在抛物线上，将()1,2P 代入24y ax =中，解得1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===，∴焦点坐标为()1,0.【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点()1,2，将点()1,2坐标代入可求参数a 的值，进而可求焦点坐标.34．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以2b c =， 因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .35．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =.【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±.2.已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.37．【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．【答案】2【解析】因为221,a b m ==，所以c a ==2m =. 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系，即222c a b =+，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-，1cos 21AC AFCAF AC AF⋅∠===-⋅，解得m =，由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则m=，所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=．【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆、抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是120CAF ∠=︒，会不会用向量的数量积表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为(1,)C m -，那么方程就是22(1)()1x y m ++-=，若能用向量的数量积表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了．另外，本题也可通过解三角形求得AO =m =39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF|=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =± 【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=， 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pby y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则(1010Q ，1(F ，2F ，所以四边形12F PF Q 的面积10S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．。

2017-2019高考真题数学提分秘籍专题专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ===,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则P P b y x a =⋅==112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．2．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.3．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔， 所以x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离. 结论②正确.如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．6．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点A （2，0），所以d 的最大值为OA +1=2+1=3,故选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△.故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.11．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ，故选B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．12．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以212||2||PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan 6PAF ∠=，所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠， 所以4a c =，14e =，故选D ． 【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.13．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．15．【2017年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B【解析】由题意得2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--， 故选B ．【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．16．【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 17．【2017年高考全国Ⅱ理数】若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线的距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===2224()3c a c -=， 整理可得224c a =，则双曲线的离心率2e ===． 故选A ．【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．18．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为by x a=±，在椭圆中：2212,3a b ==，2229,3c a b c ∴=-==，故双曲线C 的焦点坐标为(3,0)±，据此可得双曲线中的方程组：222,3,2b c c a b a ===+，解得224,5a b ==， 则双曲线C 的方程为2145x y 2-=．故选B ． 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可.19．【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP ，则C 的离心率为A B ．2C D【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=， 在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，2224)22b c b b c c+-∴=⋅，即223c a =，e ∴=C ．20．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为()223y x =+， 与抛物线方程联立得()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()1,0F ，所以()()0,2,3,4FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.21．【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥816=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号． 故选A ．【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=． 22．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3 C．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ． 23．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.24．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.25．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.26．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.27．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥ 由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60b a =︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由tan 60ba=︒=. 28．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.29．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.30．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2017年高考北京卷理数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_______________．【答案】2【解析】221,a b m ==，所以c a ==2m =． 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.33．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近线的距离为2c ，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以2b c =，因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =．34．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线Na b c 222c a b =+的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．1 2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．35．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________．【答案】y x = 【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．36．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别xOy F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=122=+By Ax 0>A 0>B B A ≠0<AB交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设P ，则Q ，1(F ，2F ，所以四边形12F PF Q 的面积10S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．37．【2017年高考全国I 理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点， 则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=，点(,0)A a 到直线by x a=的距离||AP =，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =， 由222c a b =+得2c b =，所以c e a ===． 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 38．【2017年高考全国II 理数】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________． 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作M B l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==， 故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．39．【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【答案】2【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+. 取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，设F 为C 的焦点. 因为90AMB ︒∠=,所以()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=. 因为M '为AB 中点，所以MM '平行于x 轴.因为M (−1,1)，所以01y =，则122y y +=，即2k =. 故答案为2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率.。

第1页（共31页）2017-2021年北京市高考数学真题分类汇编：平面解析几何
一．选择题（共8小题）
1．（2021•北京）双曲线C ：
﹣＝1的离心率为2，且过点（，），则双曲线
的方程为（
）A ．2x 2﹣y 2＝1B ．x 2﹣＝1C ．5x 2﹣3y 2＝1D ．﹣＝1
2．（2021•北京）已知直线y ＝kx +m （m 为常数）与圆x 2+y 2＝4交于M ，N ，当k 变化时，若|MN |的最小值为2，则m ＝（
）A ．±1B
．±C
．±D ．±2
3．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（
）A ．4B ．5C ．6D ．7
4．（2020•北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（
）A ．经过点O
B ．经过点P
C ．平行于直线OP
D ．垂直于直线OP 5．（2019•北京）已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），则点（1，0）到直
线l 的距离是（
）A ．B ．C ．D ．6．（2019•北京）已知椭圆+＝1（a ＞b ＞0）的离心率为，则（）A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2b D ．3a ＝4b
7．（2019•北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2＝1+|x |y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；。