1.2常用逻辑用语。

高考数学一轮复习专题1.2 常用逻辑用语1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理的核心素养；2.以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念A B B A A B 2.全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”. 2.存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题.（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”. 3.全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. （2）含有一个量词的命题的否定充分条件、必要条件的判断【方法储备】充要关系的几种判断方法：（1）定义法：①若p ⇒q,q ⇏p ，则p 是q 的充分而不必要条件； ②若p ⇏q,q ⇒p ，则p 是q 的必要而不充分条件； ③若p ⇒q,q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ⇏q,q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.（2）等价转化法：即利用p ⇒q 与¬q ⇒¬p ；q ⟹p 与¬p ⇒¬q ；p ⟺q 与¬q⇒¬p的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价转化法. （3）集合关系法：从集合的观点理解，根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系.【精研题型】1.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.（多选）下列命题中为真命题的是A.“a-b=0”的充要条件是“=1”B.“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件C.命题“x R,-<0”的否定是x R,-0”D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件3.某班从A，B，C，D四位同学中选拔一人参加校艺术节展演，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教师预测如下：甲说：“C或D被选中，”乙说：“B被选中，”丙说：“A，D均未被选中，”丁说：“C被选中．”若这四位教师中只有两位说的话是对的，则被选中的是A.AB.BC.CD.D【思维升华】4.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是A. B.C. D.5.设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件充分条件、必要条件的应用【方法储备】1.求参数的取值范围：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，由集合之间的关系列不等式(或不等式组)求解；（2）要注意区间端点值的检验．．．．．．．．，不等式是否能够取等号决定端点值得取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.2.探求某结论成立的充分、必要条件：（1）准确化简条件，即求出每个条件对应的充要条件；（2）问题的形式：①“p是q的……”，②“p的……是q”，②要转化为①，再求解；（3）准确判断两个条件之间的关系：①转化为两个命题关系的判断；②借助两个集合之间的关系来判断.【精研题型】6.设p：2x2-3x+1≤0，q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B.C. D.7.“，”为真命题的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【思维升华】8.“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是A. B.C. D.9.已知函数的定义域是，不等式的解集是．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求的取值范围．【特别提醒】对于不等式问题：小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围全称命题与特称命题【方法储备】1.全称(或特称)命题的否定：①将全称(或存在)量词改为存在 (或全称) 量词； ②结论否定；即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 2. 全称命题与特称命题真假的判断：3.常见词语的否定形式有：【精研题型】10.命题“∃x∈R，”的否定是A.∀x∈R，B.∃x∈R，C.∀x∈R，D.∃x∈R，11.（多选）若“∀x∈M，|x|＞x”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是A.{x|x＜-5}B.{x|-3＜x＜-1}C.{x|x＞3}D.{x|0≤x≤3}12.公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”．被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．其中“一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为A.∀x，y，z，n，m，p∈Z且n≥2，x n＋y m≠z p恒成立B.∀x，y，z，n，p∈Z且n＞2，x n＋y n≠z p恒成立C.∀x，y，z，n∈Z且n＞2，x n＋y n≠z n恒成立D.∀x ，y ，z ，n ∈Z 且n≥2，x n ＋y n ≠z n 恒成立【思维升华】13. （多选）下列四个关于三角函数的全称量词命题与存在量词命题，其中真命题为 A.， B.，C.，D.，14. 在①∃x ∈R ，x 2+2x +2-a ＝0，②存在集合A ＝{x |2＜x ＜4}，非空集合B ＝{x |a ＜x ＜3a }，使得A ∩B ＝∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a ．问题：求解实数a ，使得命题p ：∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2-a ≥0，命题q ：_______都是真命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．全称（存在）量词命题的综合应用【方法储备】含有量词的命题求参数的问题是恒成立或有解问题：（1）全称量词命题()x M a f x ∀∈>，（或()a f x <）为真：不等式恒．成立问题，通常转化为求()f x 的最大值（或最小值），即max ()a f x >（或min ()a f x <）；（2）存在量词命题()x M a f x ∃∈>，（或()a f x <）为真：不等式能．成立问题，通常转化为求()f x 的最小值（或最大值），即min ()a f x >（或max ()a f x <）．【精研题型】15. 若“,使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 ．16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且在[0，+∞）上单调递减，若对任意的x∈R，f(x2−a)+f(x)<2恒成立，则实数a的取值范围为A. B.（-∞，-1） C. D.（1，+∞）17.若∃x0∈R，为假，则实数a的取值范围为．【思维升华】18.已知函数f(x)＝x，g(x)＝-x2+2x+b，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，9]，19.（多选）已知p:，q:,则下列说法正确的是A.p的否定是：B.q的否定是：C.p为真命题时，D.q为真命题时，。

第一章1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词基础过关练1．已知下列语句：①一束美丽的花；②x＞3；③2是一个偶数；④若x=2，则x²-5x+6=0．其中是命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．42．下列语句中不是命题的是( )A．3≥6B．二次函数的图像不一定关于y轴对称C．x＞0D．对任意x∈R，总有x²＞03．给出命题“方程x² +ax+1=0没有实数根”，则使该命题为真命题的n的一个值可以是( ) A．4 B．2 C．1 D．-34．如果命题“若m<3，则q”为真命题，那么该命题的结论q可以是( )A.m<2B.m<4C.m＞2D.m＞45．给出下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy=0，则|x|+|y|=0；③若a ＞b，则ac²＞bc²；④矩形的对角线互相垂直，其中假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．46．有下列语句：①集合{a，b}有2个子集；②x² -4≤0；③今天天气真好啊；④若A∪B=A ∩B，则A=B．其中真命题的序号为____________________。

7．下列命题不是“∃x∈R，x²⁰＞3”的表述的是( )A．有一个x∈R，使x²ᴼ＞3B．对有些x∈R，使x²ᴼ＞3C．任选一个x∈R，使x²ᴼ＞3D．至少有一个x∈R，使x²ᴼ＞38．下列说法中正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∨x∈R，x²+2<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R，x²+4x+4≤0”是存在量词命题．A．0 B．1 C．2 D．39．下列命题中是全称量词命题的是_____________（填序号）．①三角形两边之和大于第三边；②所有的x∈R，x³+1＞0；③有些相似三角形也全等；④平行四边形对角相等．10.命题“有些负数满足不等式（1+x）(1-9x）＞0”用“∃”或“∈”可表述为_____________. 11．下列语句是真命题的是( )A．所有的实数x都能使x² -3x+6＞0成立B．存在一个实数x，使不等式x²-3x+6<0成立C．存在一条直线与两条相交且不重合的直线都平行D．存在实数x，使x²<0成立12．若a、b∈R，且a²+b²≠0，则有下列命题：①a、b全为0；②a、b不全为0；③a、b 全不为0；④a、b至少有一个不为0．其中真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．313．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )A ．对任意的a ，b∈R ，都有a²+b²-2a -2b+2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x∈R ，以x x =2D ．一次函数的图像是一条直线14．有下列四个命题：①∈x∈R ，2x²-3x+4＞0；②∈x∈{1，-1，0}，2x+1＞0；③∃x∈N ，使x²≤x ；④∃x∈N*，使x 为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．已知命题p ：∈x ＞3，x ＞m 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m≤3B ．m≥3C ．m<3D ．m ＞316．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．(1) ∈x∈R ，x²+2x+1＞0；(2)∃x∈R ，｜x ｜≤0；(3)∈x∈{3，5，7}，3x+1是偶数；(4)∃x∈Q ，x²=3．能力提升练一、单选题 1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x²≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使x1＞2 2．“若2x -8<0，则p”为真命题，那么p 可以是( )A ．x<4B ．2<x<4C ．x<-2D ．x ＞83．下列命题中是假命题的是 ( )A ．∈x∈R ，x²+2＞0B ．∃x∈Z ，x³<1C ．∈x∈N ，x⁴≥1D ．∃x∈R ，x² -3x+2=0二、多选题4．如果命题“若m ＞5，则q”为真命题，那么q 可以是( )A.m ＞0B.m<8C.m ＞2D.m ＞6E.m<65．下列命题中是假命题的是( )A ．形如6b a +的数是无理数B ．一个数不是正数就是负数C ．在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边D ．若x+y 为有理数，则x ，y 都是有理数E ．能被2整除的数一定能被4整除三、填空题6．下列命题中，是全称量词命题的是______；是存在量词命题的是_____．（填序号） ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．7．已知下列四个命题：(1)∃x∈Z ，x²=3； (2)∃X∈R ，x²=3；(3)∈x∈R ，x²+x+1＞0； (4) ∈x∈R ，x²+x+1<0.其中真命题有____________个．8．下列存在量词命题中是真命题的序号是________。

高中数学-必修一1.2常用逻辑用语-知识点
1、命题是可以判断真假的语句，通常用陈述句表述，分成条件和结论，判断一个命题是真命题，需给出证明，判断为假命题，只需要举一个反例即可。

2、如果“若α，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作α⇒β。

推出关系具有传递性，若α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ。

这是逻辑推理的基础，可用“小推大”来简记。

3、已知原命题：若α，则β。

则①逆命题：若β，则α。

②否命题:若α，则β。

③逆否命题：若β，则α。

其中，逆命题⇔否命题；逆否命题⇔原命题。

所以，当一个命题直接证明较复杂时，可以证明它的等价命题（即逆否命题）。

4、已知原命题：若α，则β。

则命题的否定为：若α，则β。

命题的否定≠否命题。

原命题和命题的否定，一定是一真一假，但原命题和否命题可能一真一假，也可能同真同假。

5、①若α⇒β，但β不能⇒α，则α是β的充分非必要条件。

②若α不能⇒β，但β⇒α，则α是β的必要非充分条件。

③若α⇔β，则α是β的充要条件。

④若α不能⇒β，且β不能⇒α；则α是β的既不充分也非必要条件。

6、充要条件的证明，分成两步：①证充分性，②证必要性。

非充分性和非必要性的证明，只需要举出一个反例即可。

7、反证法的三个步骤：①假设原命题的结论不成立，或假设原命题的反面成立，
②由假设出发，结合已知条件进行推理，得出与已知不相符的结论，或得出明显错误的结论，③判断假设不成立，即原命题得证。

8、一些常用的否定形式
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1.2 常用逻辑用语课标要求精细考点素养达成1.理解命题、定理、定义和全称量词与存在量词的概念及意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定2.熟练掌握充要条件的判断,并能根据充要条件确定参数的取值范围3.能正确地对充要条件进行证明,区分充分性和必要性命题、全称量词与存在量词通过判断命题和对全称量词命题、存在量词命题的否定,提升逻辑推理素养充分条件、必要条件与充要条件通过判断充分条件、必要条件,提升逻辑推理的素养;根据充分条件、必要条件、命题的真假求参数的取值范围,提升数学运算素养充要条件的证明根据命题的条件与结论,证明充分性与必要性,提升逻辑推理和数学运算素养1.(概念辨析)(多选)下列结论正确的是( ). A.“x 2>1”是“x>1”的充分不必要条件B.设M ⫋N,则“x ∉M ”是“x ∉N ”的必要不充分条件C.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要条件2.(对接教材)命题“∃x∈R,1<f(x)≤2”的否定是.3.(对接教材)“x1=0”是“(x1)(x+4)=0”的条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).4.(易错自纠)已知p:4xm<0,命题q:1≤3x≤4,若p是q的一个必要不充分条件,则实数m的取值范围为.5.(真题演练)(2023·新高考天津卷)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件全称量词与存在量词典例1(1)(多选)下列命题中是存在量词命题且为真命题的有( ).A.中国所有的江河都流入太平洋B.有的四边形既是矩形,又是菱形C.存在x∈R,使得x2+x+1=0D.有的数比它的倒数小(2)已知命题p是“∀x∈R,e x+1e x≥2”,则p的否定为( ).A.∃x∈R,e x+1e x ≥2 B.∃x∈R,e x+1e x< 2 C.∃x∈R,e x+1e x≤2 D.∀x∈R,e x+1e x≤2(3)若命题“∃x∈R,x2+(a1)x+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围是.训练1 (1)下列命题是存在量词命题且为真命题的是( ).A.∀x ∈R,x 2x1>0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x ∈R,x 2x+1=0 D.∃x ∈R,使得x 3+1=0(2)已知命题p:∀x ∈[1,+∞),x 2a ≥0,命题q:∃x ∈R,x 2+2ax+2a=0,若命题p,q 均为真命题,则实数a 的取值范围为 .充分条件、必要条件与充要条件典例2 (1)(多选)对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是( ).A.“a<5”是“a<3”的必要条件B.“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C.“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件D.“a ≥2且b ≥2”是“a 2+b 2≥4”的充分不必要条件 (2)(多选)若p:x 2+x6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a 的值为( ). A.2 B.12 C.13D.3训练2 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道:“而世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也.”则“有志”是“到达奇伟、瑰怪,非常之观”的( ).A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件 (2)已知命题p:1c<x<1+c(c>0),命题q:x>7或x<1,并且p 是q 的既不充分也不必要条件,则实数c 的取值范围是 .(3)关于x 的方程x 2ax+1=0,x 2+(a1)x+16=0,x 22ax+3a+4=0中至少有一个方程有实根的充要条件是 .充要条件的证明典例3 已知x,y 都是非零实数,且x>y,求证:“1x <1y”的充要条件是“xy>0”.训练3 证明:“m<0”是“关于x 的方程x 22x+m=0有一正根一负根”的充要条件.双量词逻辑问题典例 已知函数f(x)=2x,x ∈[0,12],函数g(x)=kx2k+2(k>0),x ∈[0,12],若存在x 1∈[0,12]及x 2∈(0,12],使得f(x 1)=g(x 2)成立,求实数k 的取值范围.训练 已知函数f(x)=3x 2+2xa 22a,g(x)=196x 13,若对任意x 1∈[1,1],总存在x 2∈[0,2],使得f(x 1)=g(x 2)成立,求实数a 的取值范围.一、单选题1.下列命题中为真命题的个数是( ).①mx 2+2x1=0是一元二次方程;②函数y=2x1的图象与x 轴有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集. A.1B.2C.3D.42.若命题“∀x ∈R,都有mx 2+4x1≠0”为假命题,则实数m 的取值范围为( ). A.4<m<0 B.m>0 C.m ≥4D.4≤m ≤03.(2024·江苏南通开学定位考)“a 2>b 2”是“a>b>0”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2024·江苏徐州期初测试)若不等式|x1|<a 的一个充分条件为“0<x<1”,则实数a 的取值范围是( ). A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)二、多选题5.命题“∀x ∈R,2kx 2+x 38<0”为真命题的充分不必要条件可以是( ). A.k ∈(∞,3) B.k ∈(-∞,-13) C.k ∈(-3,-13)D.k ∈(-13,+∞)6.若“x<k 或x>k+3”是“4<x<1”的必要不充分条件,则实数k 的值可以是( ). A.8B.5C.1D.4三、填空题7.命题“∃x<0,x 22x1>0”的否定是 . 8.已知p:{x +2≥0,x -10≤0,q:{x|1m ≤x ≤1+m,m>0}.若p 是q 的充分不必要条件,实数m 的取值范围为 . 四、解答题9.(2023·山东德州统考)已知命题“∃x ∈[1,4],使得不等式x 24xm>0成立”是真命题.求实数m 的取值集合A.10.已知命题p:∀1≤x≤2,x≤a2+1,命题q:∃1≤x≤2,一次函数y=x+a的图象在x轴下方.(1)若命题p的否定为真命题,求实数a的取值范围;(2)若命题p为真命题,命题q的否定也为真命题,求实数a的取值范围.11.(2023·江苏南京二模)在运动会中,甲、乙、丙报名了跑步、铅球、标枪三个项目,每人报名的比赛项目不同.已知:①乙没有报名跑步;②若甲报名铅球,则丙报名标枪;③若丙没有报名铅球,则甲报名铅球.下列说法正确的为( ).A.丙报名了铅球B.乙报名了铅球C.丙报名了标枪D.甲报名了标枪12.已知集合A={x∈R|0<ax+1≤5},B=x∈R1<x≤2(a≠0).2(1)集合A,B能否相等?若能,求出实数a的值;若不能,请说出理由.(2)若命题p:x∈A,命题q:x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.。

第一章集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语命题与量词考点1命题及命题的真假1.(2019·某某四中月考)已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x2-5x+6=0。

其中是命题的个数是()。

A.1B.2C.3D.4答案：B解析：①陈述句,但未表示判断;②表示判断,但是缺少必要的陈述条件;③是陈述句且有判断,是命题;④是陈述句,也有判断,是命题。

故选B。

2.(2019·新泰二中期中)下列说法中正确的是()。

A.横坐标为0的点在x轴上B.点M(-3,-5)到x轴的距离为-5C.在平面直角坐标系内,点A(1,-4)和点B(-4,1)表示同一个点D.若a=0,则点P(2,a)在x轴上答案：D解析：A.横坐标为0的点在y轴上,故A错误;B.点M(-3,-5)到x轴的距离为|-5|=5,故B错误;C.在平面直角坐标系内,点A(1,-4)和点B(-4,1)表示不同的点,故C错误;D.若a=0,则点P(2,a)在x轴上,故D正确。

故选D。

3.(2019·某某三中月考)下列命题是真命题的是()。

A.4∈{2,3}B.1既是奇数又是素数C.2即是偶数又是素数D.周长或面积相等的两个三角形全等答案：C解析：A.4∉{2,3},故A错;B中1不是素数,故B错;C中2是偶数也是素数,故C正确;D中周长或面积相等的两个三角形不一定全等,所以D错。

故选C。

4.已知非空集合M∩P=⌀,有下列命题:①M的元素都不是P的元素;②M中有属于P的元素;③M 中没有P的元素;④M中元素不都是P的元素。

其中,真命题的个数为()。

A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解析：∵M,P均为非空集合,且M∩P=⌀,∴M中不存在P中元素,故①③为真命题,②④为假命题。

选B。

5.(2019·海淀区实验中学调考)有下列语句:①集合{a,b}有4个子集;②x2-4≤0;③今天天气真好啊!④若A∪B=A∩B,则A=B。