1-2命题及其关系充分条件与必要条件检测题

命题及其关系、充分条件与必要条件专项训练自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若綈p则綈q(綈p⇒綈q)；逆否命题：若綈q则綈p(綈q⇒綈p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p 叫做q的充要条件．自我检测1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题答案 C解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 (2011·邯郸月考)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三 充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0， 可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用 例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0， 解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数， [8分]∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津模拟)给出以下四个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 C解析 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．(2010·浙江)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵0<x <π2，∴0<sin x <1. ∴x sin x <1⇒x sin 2x <1，而x sin 2x <1x sin x <1.故 选B.3．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )可得到cos 2α＝12. 由cos 2α＝12得2α＝2k π±π3(k ∈Z )． ∴α＝k π±π6(k ∈Z )． 所以cos 2α＝12不一定得到α＝π6＋2k π(k ∈Z )． 4．(2011·威海模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真答案 D解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．(2011·枣庄模拟)集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4，a >4a >5，但a >5⇒a >4.故选B.二、填空题(每小题4分，共12分)6．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．答案 充要7．(2011·惠州模拟)已知p ：(x －1)(y －2)＝0，q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则p 是q 的 ____________条件．答案 必要不充分解析 由(x －1)(y －2)＝0得x ＝1或y ＝2，由(x －1)2＋(y －2)2 ＝0得x ＝1且y ＝2，所以由q 能推出p ，由p 推不出q, 所以填必要不充分条件．8．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零．解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(4分)(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(8分)(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．(12分)10．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，(2分)B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．(4分)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p 綈q .则{x |綈q }Ø{x |綈p }，(6分)而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，∴{x |－4≤x <－2}Ø{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，(10分)则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0.(11分) 综上，可得－23≤a <0或x ≤－4.(12分)11．(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.(2分)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．(4分)于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)， 即数列{a n }为等比数列．(6分)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n 1(p －1)＝p .(10分) ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q＝p ， 即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.(13分)综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．(14分)。

1-21．(2018·成都一诊)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c【解析】 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.【答案】 A2．命题“如果x ≥a 2＋b 2，那么x ≥2ab ”的逆否命题是( ) A ．如果x <a 2＋b 2，那么x <2ab B ．如果x ≥2ab ，那么x ≥a 2＋b 2C ．如果x <2ab ，那么x <a 2＋b 2 D ．如果x ≥a 2＋b 2，那么x <2ab【解析】 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若q ，则p ”，“≥”的否定是“<”．故答案C 正确．【答案】 C3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．【答案】 C4．(2018·南昌一模)已知α，β均为第一象限角，那么α>β是sin α>sin β的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋π3，β＝π3，有α>β成立，但sin α＝sin β，即α>β不是sin α>sin β的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝π3，β＝2π＋π6，有sin α>sin β成立，但α<β，即α>β不是sin α>sin β的必要条件．综上所述，α>β是sin α>sin β的既不充分也不必要条件．【答案】 D5．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.【答案】 A6．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪12<2x <8，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ≤2}C ．{m |m >2}D ．{m |－2<m <2}【解析】 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪12<2x <8＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3， 即m >2，故选C. 【答案】 C7．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由Venn 图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁UC .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件． 【答案】 C8．(2018·新疆适应性检测二)以下结论正确的是( )A ．一个圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为6和4的长方形，则这个圆柱的体积一定等于36πB ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1>0” C ．当ω≠0时，“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数”的充要条件D ．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，定点P (x 0，y 0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交【解析】 对于选项A ，这个圆柱可能是底面半径为42π、高为6的一个圆柱，此时相应的圆柱的体积等于π×⎝ ⎛⎭⎪⎫42π2×6＝24π，因此选项A 不正确；对于选项B ，命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0”，因此选项B 不正确；对于选项C ，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋k π＝cos(ωx ＋k π)是偶函数，又当f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数时，f (0)＝±1，即sin φ＝±1，φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因此选项C正确；对于选项D ，由点P 在圆O 内得x 20＋y 20<r 2，圆心O (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2x 20＋y 20>r 2r2＝r ，因此直线l 与圆O 相离，选项D 不正确，故选C.【答案】 C9．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】 ∵a －b >1，即a >b ＋1. 又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要 10．有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的序号为________．【解析】 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．【答案】 ①11．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )在[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】 若当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数． 当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)．故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立． 反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数， 此时x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数． ∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立．故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件． 【答案】 充要12．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 【答案】 [0，2]13．若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________．【解析】 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32.故所求λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞14．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确的是________．【解析】由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．【答案】①④。

第一篇集合与常用逻辑用语专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲要求】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，3. 会分析四种命题的相互关系．4．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【命题趋势】1. 判断命题的真假．2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．3．常以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．4．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等. 【核心素养】本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养.【素养清单•基础知识】1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A 的充分不必要条件是B 是指：B ⇒A 且AB ，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q(x )}，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．②若A ØB ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．【素养清单•常用结论】1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p 是q 的充分不必要条件，等价于非q 是 非p 的充分不必要条件．其他情况以此类推．【真题体验】1.（2019·全国Ⅱ卷文、理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面 2.（2019·全国Ⅲ卷文11）记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D .命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+….下面给出了四个命题①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④ 3.（2019·天津卷文、理3）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（2019·浙江卷5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.(2018·天津卷)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.(2018·北京高考) 设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7. (2018·北京高考) 设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考法拓展•题型解码】考法一四种命题的相互关系及其真假判断解题技巧：与四种命题有关的问题的解题策略(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【例1】(1)(2019·邹平双语学校月考)已知命题p：若x＜－3，则x2－2x－8＞0，则下列叙述正确的是() A．命题p的逆命题是“若x2－2x－8≤0，则x＜－3”B．命题p的否命题是“若x≥－3，则x2－2x－8＞0”C．命题p的否命题是“若x＜－3，则x2－2x－8≤0”D．命题p的逆否命题是真命题(2)(2019·长治二中月考)设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题(3)已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题考法二充分条件、必要条件的判断解题技巧:充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件．【例2】(1)(2018·北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考法三充分条件、必要条件的应用误区防范:充分条件、必要条件的应用的注意点充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．【例3】 (1)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[21，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[19，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为__________．【易错警示】易错点 逻辑关系与集合关系的转化出错【典例】 (2019·广东六校联考)“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1【错解】：A【错因分析】：是充分条件、必要条件、充要条件对应集合关系的转化上出现了失误．事实上，充要条件时参数取值集合是必要不充分条件时参数取值集合的真子集．【正解】【答案】C【解析】不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝1－4m ＜0，所以m ＞14.所以“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是m ＞0.误区防范：注意区分以下两种不同的说法(1)A 是B 的充分不必要条件，是指A ⇒B 但B ⇒/A ．(2)A 的充分不必要条件是B ，是指B ⇒A 但A ⇒/B ．以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断．【跟踪训练】 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为__________． 【递进题组】1．(2019·南昌二中月考)命题“已知a ＞1，若x ＞0，则a x ＞1”的否命题为( )A ．已知0＜a ＜1，若x ＞0，则a x ＞1B ．已知a ＞1，若x ≤0，则a x ＞1C ．已知a ＞1，若x ≤0，则a x ≤1D ．已知0＜a ＜1，若x ≤0，则a x ≤12．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．03．(2019·北京四中期中)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是“到达奇伟、瑰怪，非常之观”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．5．已知“(x －t )2>3(x －t )”是“x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数t 的取值范围为__________．【考卷送检】一、选择题1．已知命题p ：正数a 的平方不等于0，命题q ：若a 不是正数，则它的平方等于0，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定2．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．原命题为“△ABC 中，若cos A <0，则△ABC 为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．真、假、假4．(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≤4 B．a≥4C．a≤5 D．a≥56．(2019·北京东城期末)下列四个选项中错误的是()A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．存在x0∈R，使x20＋2x0＋3＝0C．“若α＝β，则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件二、填空题7．已知命题p：若a>b>0，则log12a<log12b＋1，命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．8．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．9．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．三、解答题10．写出“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．11．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A，函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B．(1)求集合A，B；(2)已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．12．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．13．(2019·商南高中模拟)在△ABC中，设命题p：asin B＝bsin C＝csin A，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件。

{ 真题演练集训 }1．[2017·北京卷]设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m ，n 共线且反向，夹角为180°，则m ·n ＝－|m |·|n |<0，故充分性成立．由m ·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A.2．[2017·浙江卷]已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：解法一：S 4＋S 6>2S 5等价于(S 6－S 5)＋(S 4－S 5)>0，等价于a 6－a 5>0，等价于d >0.故选C.解法二：∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴S 4＋S 6－2S 5＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d －2(5a 1＋10d )＝d ，即S 4＋S 6>2S 5等价于d >0.故选C.3．[2016·四川卷]设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：p 表示的区域是圆内的所有点(包括边界)，q 表示的区域如下图阴影区域所示：由图象可知，q 表示的区域是p 表示的区域的子集，所以p 是q 的必要不充分条件．故选A.4．[2017·北京卷]能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案：－1，－2，－3(答案不唯一)解析：答案不唯一，如：a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c.。

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件五年高考考点1命题及其关系1．（2012福建．3,5分）下列命题中，真命题是 ( )0,.00≤∈∃x e R x A 22,.x R x B x >∈∀0.=+b a C 的充要条件是1-=ba 1,1.>>b a D 是1>ab 的充分条件2．（2011陕西，1,5分）设a ，b 是向量，命题“若,b a -=则=||a ,|,|b 的逆命题是( )A ．若,b a -=/则||||b a =/B ．若,b a -=则||||b a =/C ．若|,|||b a =/则b a -=/ D ．若|,|||b a =则b a -=3．（2011安徽．7，5分）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 ( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数考点2 充分条件与必要条件1．（2013福建．2,5分）已知集合},3,2,1{},,1{==B a A 则a ,3=是,,B A ⊆的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2013山东．7,5分）给定两个命题p ，q ．若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2012天津．2，5分）设,R ∈ϕ则”“0=ϕ是)cos()(ϕ+=x x f “)(R x ∈为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2012安徽．6,5分）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则”“βα⊥是”“b a ⊥的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2012陕西．3，5分）设i R b a ,,∈是虚数单位，则,0=ab 是“复数i a +为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2012四川．7,5分）设a 、b 都是非零向量．下列四个条件中，使||||b b a a =成立的充分条件是 ( ) b a A -=. b a B //. b a C 2.= ||||//.b a b a D =且7．（2011山东．5，5分）对于函数|)(|,),(x f y R x x f y =∈=“的图象关于y 轴对称”是)(x f y =“是奇函数”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2011天津．2,5分）设,,R y x ∈则2≥x “且”2≥y 是22y x +“”4≥的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2011江西．8,5分）已知321,,ααα是三个相互平行的平面，．平面21,αα之间的距离为,1d 平面32,αα 之间的距离为⋅2d 直线L 与321,,ααα分别相交于321,,p p p ，那么”“3221p p p p =是”“21d d =的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2011福建．2,5分）若,R a ∈则”“2=a 是)2)(1(--a a ,0=的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．（2010山东．9,5分）设}{n a 是等比数列，则,,321a a a <<是“数列}{n a 是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12.（2010上海．15,5分）””是““1tan )(42=∈+=x Z k k x ππ成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件智力背景从一列数中获得的天文发现（二） 这仅仅是纸上谈兵的数学游戏吗？还是真和行星的位置有什么 关系？到了1781每，天王星被发现，人们算得它与太阳的距离是192.真巧，这个数不用减4，就是数列中96的2倍.这一发现，引起 了人们的极大兴趣．为了在数列中的12和48之间插入24，科学家们猜测：在与太阳距离28 (即24 +4)的地方应该有一颗行星．1801年12月7日，科学家终于找到了这颗行星—— 谷神星，它与太阳的距离约是28．解读探究知识清单1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以①____的陈述句叫做命题．其中②____ 的语句叫真命题，③____的语句叫假命题．2．四种命题及其关系·(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系a ．两个命题互为逆否命题，它们有⑩____的真假性；b ．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性3．充分条件与必要条件(1)如果,q p ⇒则p 是q 的 ，q 是p 的(2)如果,,p q q p ⇒⇒则p 是q 的(3)从集合角度理解 若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即=A )},(|{)},(|{x q x B x p x =则关于充分条件、必要条件又可叙述为：a ．若,B A ⊆则p 是q 的 条件；b ．若,B A ⊇则p 是q 的 条件；c ．若,B A =则p 是q 的 条件．4．特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论．【知识拓展】2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断“若p 则q ；若q 则p ”的真假．(2)等价法：即利用A B A A B A B B A ;;￢与与⇒⌝⇒⌝⇒⌝⇒A B B ⌝⇔⌝⇔与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若,B A ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件．3．由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断.知识清单答案智力背景 黄金角05.137数学中，还有一个成为黄金角的数值是05.137这是圆的黄金分割的张角.车前草是西安地区常见的一种小草，它那轮生的叶片间的夹角正好也是05.137,按照这一角度排列的叶片，能很好地镶嵌而又互不重叠，这是植物采光面积最大的排列方式，每片叶子都可以最大限度地获得阳光，从而有效地提高植物光合作用的效率．建筑师们参照车前草叶片排列的数学模型，设计出了新颖的螺旋式高楼，最佳的采光效果使得高楼的每个房间都很明亮． 突破方法方法1 四种命题逆否关系的判定方法在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”和“逆否命题”．例1 （2012湖南．2,5分）命题“若,4πα=则,,1tan =α的逆否命题是 （ ） A ．若,4πα=/则1tan =/α B ．若,4πα=则1tan =/αC ．若,1tan =/α则4πα=/ D ．若,1tan =/α则4πα=解析 命题“若,4πα=则,,1tan =α的逆否命题是“若,1tan =/α则”，4πα=/故选C ． 答案C【方法点拨】 四种命题逆否关系的判定步骤：方法2 命题的真假判断方法要判断一个命题为真命题需给出严格的证明，但要判断一个命题为假命题，只需举一反例即可．由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．例2（2012课标全国．3,5分）下面是关于复数iz +-=12的四个命题： ,2|:|1=z p ,2:22i z p =z p :3的共轭复数为,1i + z p :4的虚部为-1．其中的真命题为 （ ）32,p p A ⋅ 21,p p B ⋅ 42,p p C ⋅ 43,p p D ⋅解题思路 解析 ,1)1)(1()1(212i i i i i z --=--+---=+-=所以||z l p ,2=为假命题；=+=--=222)1()1(i i z 2,2p i 为真命题；z 3,1p i +-=为假命题；4p 为真命题，故选C ．答案 C【方法点拨】 1．直接法：利用相关知识直接判断命题的真假．2．间接法：(1)不一定正确的命题可举反例证明；(2)利用原命题与其逆否命题的真假一致性间接证明，方法3 充分条件与必要条件的判定例3 （2012北京．3，5分）设”“0,=∈a R b a 是“复数+a bi 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解题思路 根据复数bi a +是纯虚数对实数a ，b 应满足的条件进行判断.解析 bi a b a +=/=,00时且 是纯虚数，”推不出“0=∴a “复数bi a +是纯虚数”，充分性不成立，反之，“复数bi a +是纯虚数”,0”“=⇒a 必要性成立．故选B ．答案 B【方法点拨】 充分条件与必要条件的判断方法：1．利用定义判断(1)若,q p ⇒则p 是q 的充分条件；(2)若,p q ⇒则p 是q 的必要条件；(3)若q p ⇒且,p q ⇒则p 是q 的充要条件；(4)若.q p ⇒且,p q ⇒则p 是q 的充分不必要条件；(5)若q p ⇒且,p q ⇒则p 是q 的必要不充分条件；(6)若q p ⇒且,p q ⇒则p 是q 的既不充分也不必要条件．2．利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则：若,B A ⊆则p 是q 的充分条件；若B A ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件；若,B A ⊇则p 是q 的必要条件；若,B A ≠⊃则p 是q 的必要不充分条件若,B A =则p 是q 的充要条件；若,B A ⊆/且,B A ⊇/则p 是g 的既不充分也不必要条件．3．用命题的等价性判断把p 与q 分别记作命题的条件与结论，则原命题与逆命题的真假同p 与q 之间的关系如下：(1)如果原命题真逆命题假，那么p 是q 的充分不必要条件；(2)如果原命题假逆命题真，那么p 是q 的必要不充分条件；(3)如果原命题与逆命题都真，那么p 是q 的充要条件；(4)如果原命题与逆命题都假，那么p 是q 的既不充分也不必要条件，智力背景 牛郎和织女（一） 牛郎星离地球16.5光年，也就是以光的速度运行到地球要6.5年织女星离地球26.5光年，如果牛郎和织女同时由各自的星球以最快的速度赶到地球相会，那么牛郎要在地球上等多少年才能见到织女？而见一面之后，织女又匆匆赶回，牛郎至少又要等多少年，才又能与织女相会？三年模拟A 组2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：30分钟 分值：55分选择题（每题5分，共55分）1．（2013北京东城高三上学期期末）若a ，b 是两个非零向量，则,|,|||b a b a -=+是,,b a ⊥的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2013北京西城高三上学期期末）已知函数,cos )(x b x x f +=其中b 为常数，那么”“0=b 是)(x f “为奇函数”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2013北京昌平高三上学期期末）”“2=a 是“直线+-=ax y 2与14-=x a y 垂直”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．（2013北京朝阳高三上学期期末）”“1=k 是“直线=+-k y x 0与圆122=+y x 相交”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2013江西九江一模．4）命题“若,22y x >则x>y”的逆否命题是( )A ．“若,y x <则”22y x <B ．“若,y x >则,,22y x >C ．“若,y x ≤则”22y x ≤D ．“若,y x ≥则”22y x ≥ 6．（2013河南焦作二模．4）已知,R a ∈则”“2>a 是”“a a 22>成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2013东北八校3月，4）设命题甲为⎩⎨⎧<<<+<,30,42xy y x 命题乙为⎩⎨⎧<<<<,32,10y x 那么甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2012广东汕头4月模拟．2）已知,,R y x ∈则”“y x -是“||x ”||y =的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2012山东济南三模．8）设++-≤-x a x q x p )12(:,1|34:|2,0)1(≤+a a 若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )]21,0.[A )21,0.(B ),21[]0,.(+∞-∞ C ),21()0,.(+∞-∞ D 10.（2011浙江金华十校3月模拟，6）已知βα,的终边在第一象限，则”“βα>是”“βαsin sin >的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.（2011安徽江南十校二模．2）已知p ：关于x 的不等式+-|1|x m x <-|3|有解，x m x f q )37()(-=：为减函数，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 组2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：30分钟 分值.55分一、选择题（每题5分，共45分）1．（2013北京通州高三上学期期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则”“C b a cos 2=是“△ABC 是等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件，C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2013北京丰台高三上学期期末）”“0>x 是”“21≥+xx 的 ( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2013北京海淀高三上学期期末）数列}{·n a 满足11,1+=n a a *,(N n r a r n ∈+⋅= R r ∈且0=/r )，则”“1=r 是“数列}{n a 成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2013北京石景山高三上学期期末）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即n k 5{][=.4,3,2,1,0},ln =∈+k z k 给出如下四个结论：];3[2013∈①];2[2∈-② ]3[]2[]1[]0[=z ③④];4[整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是”“]0[∈-b a 其中，正确结论的个数为 ( )1.A2.B3.C4.D5．（2013山西咸阳三模．4）”“0131≥-+x 是≥-+)1)(2(x x ”0的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件智力背景牛郎和织女（二} 答：牛郎与织女以最快的速度赶路，充其量也就是以光速行进，因此，牛郎比织女先到地球10年，牛郎需要等10年才能见到织女．织女匆匆赶回，如果立即出发的话，来回也需要53年． 牛郎要等53年才能与织女第二次相见，如果牛郎也返回自己的星座，那么路上的时间不算在内，牛郎也 要坐等20年才能与织女第二次相聚.6．（2013青海西宁一模，4）命题p ：若,,R b a ∈则1||||>+b a 是1||>+b a 的充分而不必要条件；命题q ：函数=y 2|1|--x 的定义域是),,3[]1,(+∞--∞ 则( )A ．“p 或q”为假B ．“p 且q”为真C ．“p 或q”为真D ．“p 且”q ⌝为真7．（2012浙江杭州3月模拟．2）已知复数1tan -⋅=θi z （i 是虚数单位），则”“πθ=是“z 为实数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2011山东聊城二模，3）条件,24:παπ<<p 条件=)(:x f q x αtan log 在),0(+∞内是增函数，则p是q 的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．( 2011安徽皖南八校三模．3）”“21=m 是“直线my x m 3)2(++01=+与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、解答题（共10分）10.（2013山东济宁5月，17）已知命题p ：关于x 的方程-24x 0522=++a ax 的解集至多有两个子集，命题11:≤≤-x m q ,0,>+m m 若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．。

§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题： 若tan α≠1，则α≠π4.2． (2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.3． 已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B. 4． 下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎪⎨⎪⎧y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6． 已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.7． (2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分)8． (10分)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．9． (12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，且等号不能同时取到，∴2≤m ≤4.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵mn >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n <0，当m >0，n >0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆， 当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形， 所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn >0，所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．2． 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C解析 由1x －2≥1，得2<x ≤3；由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1.若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋1>3，即2<a ≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.3． 集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4.a >4D /⇒a >5，但a >5⇒a >4.故“A ⊆B ”是“a >5”的必要不充分条件． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)解析 当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4a <0， 解得a >1. 若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a <1.由题意，可知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，a 的取值范围是 {a |a >1}∩{a |a ≤34或a ≥1}＝{a |a >1}；当p 假q 真时，a 的取值范围是 {a |a ≤1}∩{a |34<a <1}＝{a |34<a <1}；所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)．5． 若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，得1≤x <2. 点评 “A 或B ”的否定是“綈A 且綈B ”．6． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，∵m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．三、解答题7． (13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94.∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。

考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件1．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件2．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件,4．()()()0,000,x f x x x p f q x x f x ===函数在处导数存在，若：：是的极值点，则（） A ． p 是q 的充分必要条件 B ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ． p 是q 的必要条件但不是q 的充分条件D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件5．甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ． 甲是乙的充分不必要条件B ． 甲是乙的必要不充分条件C ． 甲是乙的充要条件D ． 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件6．“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7．设a ∈R ，则“a ＝－1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件8．“x 为无理数”是“x 2为无理数”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分又不必要条件9．三角形全等是三角形面积相等的A ． 充分但不必要条件B ． 必要但不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件10．甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ． 甲是乙的充分不必要条件B ． 甲是乙的必要不充分条件C ． 甲是乙的充要条件D ． 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件11．给定空间中的直线l 及平面 ，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直的（ ）．A ． 充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ． 充要条件D ． 非充分非必要条件12．i 、j 是不共线的单位向量，若a ＝5i ＋3j ，b ＝3i －5j ，则a ⊥b 的充要条件是________．13．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．14．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件； ②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；③若a <b ，则am 2<bm 2；④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)15．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的________条件． 16．下列命题的否命题为假命题的个数是________．①p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；②p ：有的三角形是正三角形；③p ：所有能被3整除的整数为奇数；④p ：每一个四边形的四个顶点共圆．17．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（用“充分且不必要条件”，“必要且不充分条件”，“充分必要条件”，“既不充分也不必要条件”填空）18．已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，x∈[34，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．。

时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列 A ． B ． C ． D ．解析：对于A ，其逆命题是：若x ＞|y|，则x ＞y ，是真命题，这是因为x ＞|y|＝⎩⎪⎨⎪⎧，－＜，必有x>y ；对于B ，否 答案：A2．(2018·锦州模拟)“a＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：函数y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π⇔a ＝1或a ＝－1，所以“a＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．答案：A3．(2018·福建)已知集合A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A ⊆B”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆Ba ＝3，所以“a＝3”是“A ⊆B”的充分而不必要条件． 答案：A4．(2018·株洲二模)给出如下三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ；②设a ，b ∈R 且ab≠0，若a b ＜1，则ba ＞1；③若f(x)＝log 2x ，则f(|x|)是偶函数．其中假A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：①ad ＝bc 不一定使a ，b ，c ，d 依次成等比数列，如取a ＝d ＝－2，b ＝c ＝2，故①错误；②如a ＝2，b ＝－4时，a b ＜1得不到ba ＞1，故a ，b 异号时不正确，故②错误；③f(|x|)＝f(x)＝f(－x)成立，故③正确．故不正确的有①②.答案：A5．(2018·潍坊一模)有下列四个 A ．①②B ．②③C ．①④D ．①②③解析：①的逆 答案：D6．(2018·郑州外国语模拟)下列命题：①△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ；②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件；③△ABC 中，A ＝B 是sinA ＝sinB 的充分不必要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为P ，Q ，则a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的充分必要条件．其中真 A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①③解析：△ABC 中，由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，得(a －b)2＋(a －c)2＋(b －c)2＝0，则a ＝b ＝c ；若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，故ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋b 2＋c 2，故 ①正确；S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的充要条件，故②错误；A ＝B 时，可得出sinA ＝sinB ，但sinA ＝sinB 时，A ＝B 或A ＋B ＝π，故A ＝B 是sinA ＝sinB 的充分不必要条件，故③正确；由于两不等式的系数符号不确定，由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2不能推出P ＝Q ；反之P ＝Q 时，若P＝Q ＝Ø，则不一定有a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，故a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的既不充分也不必要条件，故④错误．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2018·南昌一模)若“x 2－2x －8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m 的最大值为________． 解析：若“x 2－2x －8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则集合{x|x ＜m}是集合{x|x ＞4或x ＜－2}的真子集，所以m≤－2，即m 的最大值为－2.答案：－2 8． 解析：先写出其 答案：29．(2018·大同模拟)设解析：解p 得12≤x≤1，解q 得a≤x≤a＋1，由题设条件得q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，qp∴[12，，a ＋1]，∴a≤12且a ＋1≥1，解得0≤a≤12.答案：0≤a≤1210．(2018·西安调研)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0的根x ＝4±16－4n2，即n ＝2±4－n ；因为x 是整数，即2±4－n 为整数，所以4－n 为整数，且n≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知n ＝3,4符合题意；反之由n ＝3,4，可推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．答案：3或4三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11．判断 解：解法一：原 逆否 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根， ∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真 解法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴4a ＋1＞0，∴方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1＞0， ∴方程x 2＋x －a ＝0有实根． 故原 又因原∴“若a≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否 解法三：设p ：a≥0，q ：x 2＋x －a ＝0有实根，∴p ：A ＝{a ∈R|a≥0}，q ：B ＝{a ∈R|方程x 2＋x －a ＝0有实根} ＝{a ∈R|a≥－14}，即A ⊆B ，∴“若p ，则q”为真， ∴“若p ，则q”的逆否∴“若a≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否 解法四：设p ：a≥0，q ：x 2＋x －a ＝0有实根，则綈p ：a ＜0，綈q ：x 2＋x －a ＝0无实根， ∴綈p ：A ＝{a ∈R|a ＜0}，綈q ：B ＝{a ∈R|方程x 2＋x －a ＝0无实根}＝{a ∈R|a ＜－14}．∵B ⊆A ，∴“若綈q ，则綈p”为真，即“若方程x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真．12．设函数f(x)＝lg (x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数 g(x)＝3x－1的定义域为集合B.已知α：x ∈A∩B，β：x 满足2x ＋p≤0，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．解：依题意，得A ＝{x|x 2－x －2>0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)， B ＝{x|3x －1≥0}＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C ＝{x|2x ＋p≤0}，则x ∈(－∞，－p2]．∵α是β的充分条件，∴(A∩B)⊆C. 则需满足3≤－p2⇒p≤－6.∴实数p 的取值范围是(－∞，－6]．13．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是a 2＝b 2＋c 2.解：设m 是两个方程的公共根，显然m≠0. 由题设知m 2＋2am ＋b 2＝0， ① m 2＋2cm －b 2＝0，②由①＋②得2m(a ＋c ＋m)＝0， ∴m ＝－(a ＋c)，③将③代入①得(a ＋c)2－2a(a ＋c)＋b 2＝0，化简得a 2＝b 2＋c 2， ∴所给的两个方程有公共根的必要条件是a 2＝b 2＋c 2. 下面证明其充分性． ∵a 2＝b 2＋c 2，∴方程x 2＋2ax ＋b 2＝0即为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，它的两个根分别为x 1＝－(a ＋c)，x 2＝c －a ； 同理，方程x 2＋2cx －b 2＝0的两根分别为x 3＝－(a ＋c)，x 4＝a －c. ∵x 1＝x 3，∴方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根．综上所述，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是a 2＝b 2＋c 2.。