理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之02常用逻辑用语

历年高考集合与常用逻辑用语(含答案解析)(理科)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN(2013山东, 2,5分) 已知集合A={0,1, 2}, 则集合B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是()A. 1B. 3C. 5D. 9(2014课标Ⅰ, 1,5分) 已知集合A={x|x2-2x-3≥0}, B={x|-2≤x< 2}, 则A∩B=() A. [-2, -1] B. [-1,2) C. [-1,1] D. [1,2)(2012江西, 1,5分) 若集合A={-1,1}, B={0,2}, 则集合{z|z=x+y, x∈A, y∈B}中的元素的个数为()A. 5B. 4C. 3D. 2(2014课标Ⅱ, 1,5分) 设集合M={0,1, 2}, N={x|x2-3x+2≤0}, 则M∩N=() A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2}(2011广东, 2,5分) 已知集合A={(x, y) |x, y为实数, 且x2+y2=1}, B={(x, y) |x, y为实数, 且y=x}, 则A∩B的元素个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3(2014北京, 1,5分) 已知集合A={x|x2-2x=0}, B={0,1, 2}, 则A∩B=()A. {0}B. {0,1}C. {0,2}D. {0,1, 2}(2011福建, 1,5分) i是虚数单位, 若集合S={-1,0, 1}, 则()A. i∈SB. i2∈SC. i3∈SD. ∈S(2014山东, 2,5分) 设集合A={x||x-1|< 2}, B={y|y=2x, x∈[0,2]}, 则A∩B=() A. [0,2] B. (1,3) C. [1,3) D. (1,4)(2011北京, 1,5分) 已知集合P={x|x2≤1}, M={a}. 若P∪M=P, 则a的取值范围是()A. (-∞, -1]B. [1, +∞)C. [-1,1]D. (-∞, -1]∪[1, +∞)(2014辽宁, 1,5分) 已知全集U=R, A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, 则集合∁U(A∪B)=()A. {x|x≥0}B. {x|x≤1}C. {x|0≤x≤1}D. {x|0< x< 1}(2011辽宁, 2,5分) 已知M, N为集合I的非空真子集, 且M, N不相等, 若N∩∁I M=⌀, 则M∪N=()A. MB. NC. ID. ⌀(2014浙江, 1,5分) 设全集U={x∈N|x≥2}, 集合A={x∈N|x2≥5}, 则∁U A=() A. ⌀ B. {2} C. {5} D. {2,5}(2013江苏, 4,5分) 集合{-1,0, 1}共有个子集.(2014广东, 1,5分) 已知集合M={-1,0, 1}, N={0,1, 2}, 则M∪N=()A. {0,1}B. {-1,0, 2}C. {-1,0, 1,2}D. {-1,0, 1}(2014四川, 1,5分) 已知集合A={x|x2-x-2≤0}, 集合B为整数集, 则A∩B=() A. {-1,0, 1,2} B. {-2, -1,0, 1} C. {0,1} D. {-1,0}(2014陕西, 1,5分) 设集合M={x|x≥0, x∈R}, N={x|x2< 1, x∈R}, 则M∩N=() A. [0,1] B. [0,1) C. (0,1] D. (0,1)(2014大纲全国, 2,5分) 设集合M={x|x2-3x-4< 0}, N={x|0≤x≤5}, 则M∩N=() A. (0,4] B. [0,4) C. [-1,0) D. (-1,0](2013广东, 1,5分) 设集合M={x|x2+2x=0, x∈R}, N={x|x2-2x=0, x∈R}, 则M∪N=()A. {0}B. {0,2}C. {-2,0}D. {-2,0, 2}(2013浙江, 2,5分) 设集合S={x|x> -2}, T={x|x2+3x-4≤0}, 则(∁R S) ∪T=() A. (-2,1] B. (-∞, -4] C. (-∞, 1] D. [1, +∞)(2013辽宁, 2,5分) 已知集合A={x|0< log4x< 1}, B={x|x≤2}, 则A∩B=()A. (0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. (1,2](2013北京, 1,5分) 已知集合A={-1,0, 1}, B={x|-1≤x< 1}, 则A∩B=()A. {0}B. {-1,0}C. {0,1}D. {-1,0, 1}(2013课标全国Ⅱ, 1,5分) 已知集合M={x|(x-1) 2< 4, x∈R}, N={-1,0, 1,2, 3}, 则M∩N=()A. {0,1, 2}B. {-1,0, 1,2}C. {-1,0, 2,3}D. {0,1, 2,3}(2013重庆, 1,5分) 已知全集U={1,2, 3,4}, 集合A={1,2}, B={2,3}, 则∁U(A∪B) =()A. {1,3, 4}B. {3,4}C. {3}D. {4}(2012山东, 2,5分) 已知全集U={0,1, 2,3, 4}, 集合A={1,2, 3}, B={2,4}, 则(∁U A) ∪B为()A. {1,2, 4}B. {2,3, 4}C. {0,2, 4}D. {0,2, 3,4}(2012浙江, 1,5分) 设集合A={x|1< x< 4}, 集合B={x|x2-2x-3≤0}, 则A∩(∁R B)=()A. (1,4)B. (3,4)C. (1,3)D. (1,2) ∪(3,4)(2012北京, 1,5分) 已知集合A={x∈R|3x+2> 0}, B={x∈R|(x+1) (x-3) > 0}, 则A∩B=()A. (-∞, -1)B.C.D. (3, +∞)(2011山东, 1,5分) 设集合M={x|x2+x-6< 0}, N={x|1≤x≤3}, 则M∩N=()A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3](2014江苏, 1,5分) 已知集合A={-2, -1,3, 4}, B={-1,2, 3}, 则A∩B=.(2014重庆, 11,5分) 设全集U={n∈N|1≤n≤10}, A={1,2, 3,5, 8}, B={1,3, 5,7, 9}, 则(∁U A) ∩B=.(2011天津, 13,5分) 已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=, 则集合A∩B=.答案和解析[答案] C[解析]①当x=0时, y=0,1, 2, 此时x-y的值分别为0, -1, -2;②当x=1时, y=0,1, 2, 此时x-y的值分别为1,0, -1;③当x=2时, y=0,1, 2, 此时x-y的值分别为2,1, 0.综上可知, x-y的可能取值为-2, -1,0, 1,2, 共5个, 故选C.[答案] A[解析]由不等式x2-2x-3≥0解得x≥3或x≤-1, 因此集合A={x|x≤-1或x≥3}, 又集合B={x|-2≤x< 2}, 所以A∩B={x|-2≤x≤-1}, 故选A.[答案] C[解析]集合{z|z=x+y, x∈A, y∈B}={-1,1, 3}, 故选C.[答案] D[解析]由已知得N={x|1≤x≤2}, ∵M={0,1, 2}, ∴M∩N={1,2}, 故选D.[答案] C[解析]解法一: A为圆心在原点的单位圆, B为过原点的直线, 故有2个交点, 故选C.解法二: 由可得或故选C.[答案] C[解析]A={0,2}, B={0,1, 2}, ∴A∩B={0,2}. 故选C.[答案] B[解析]i2=-1, -1∈S, 故选B.[答案] C[解析]A={x||x-1|< 2}={x|-1< x< 3}, B={y|y=2x, x∈[0,2]}={y|1≤y≤4},∴A∩B={x|-1< x< 3}∩{y|1≤y≤4}={x|1≤x< 3}.[答案] C[解析]由P∪M=P, 有M⊆P, ∴a2≤1, ∴-1≤a≤1, 故选C.[答案] D[解析]A∪B={x|x≥1或x≤0}, 因此∁U(A∪B) ={x|0< x< 1}. 故选D.[答案] A[解析]∵N∩∁I M=⌀, ∴N⊆M. 又M≠N, ∴N⫋M, ∴M∪N=M. 故选A.[答案] B[解析]∵A={x∈N|x≥}={x∈N|x≥3},∴∁U A={x∈N|2≤x< 3}={2}, 故选B.[答案]8[解析]集合{-1,0, 1}的子集有⌀, {-1}, {0}, {1}, {-1,0}, {-1,1}, {0,1}, {-1,0, 1}, 共8个.[答案] C[解析]由集合的并集运算可得, M∪N={-1,0, 1,2}, 故选C.[答案] A[解析]由x2-x-2≤0得-1≤x≤2, 故集合A中的整数为-1,0, 1,2. 所以A∩B={-1,0, 1,2}.[答案] B[解析]∵N=(-1,1), ∴M∩N=[0,1), 故选B.[答案] B[解析]M={x|x2-3x-4< 0}={x|-1< x< 4}, 则M∩N={x|0≤x< 4}. 故选B.[答案] D[解析]化简两个集合, 得M={-2,0}, N={0,2}, 则M∪N={-2,0, 2}, 故选D.[答案] C[解析]∁R S={x|x≤-2}, 又T={x|-4≤x≤1}, 故(∁R S) ∪T={x|x≤1}, 选C.[答案] D[解析]A={x|0< log4x< 1}={x|log41< log4x< log44}={x|1< x< 4}, A∩B=(1,2], 故选D.[答案] B[解析]∵A={-1,0, 1}, B={x|-1≤x< 1}, ∴A∩B={-1,0}, 故选B.[答案] A[解析]化简得M={x|-1< x< 3}, 所以M∩N={0,1, 2}, 故选A.[答案] D[解析]A∪B={1,2, 3}, ∁U(A∪B) ={4}. 故选D.[答案] C[解析]由题意知∁U A={0,4}, 又B={2,4},∴(∁U A) ∪B={0,2, 4}, 故选C.[答案] B[解析]B={x|-1≤x≤3}, A∩(∁R B) ={x|3< x< 4}, 故选B.[答案] D[解析]∵A=x x> -, B={x|x< -1或x> 3}, ∴A∩B={x|x> 3}, 故选D.[答案] A[解析]∵M={x|-3< x< 2}, N={x|1≤x≤3}, ∴M∩N={x|1≤x< 2}.[答案]{-1,3}[解析]由集合的交集定义知A∩B={-1,3}.[答案]{7,9}[解析]∵U={n∈N|1≤n≤10}, A={1,2, 3,5, 8}, ∴∁U A={4,6, 7,9, 10}, 又∵B={1,3, 5,7, 9}, ∴(∁U A) ∩B={7,9}.[答案]{x|-2≤x≤5}[解析]由|x+3|+|x-4|≤9得或或∴A={x|-4≤x≤5}. 又当t> 0时, x=4t+-6≥2-6=-2, 当且仅当t=时取等号,∴B={x|x≥-2}, 故A∩B={x|-2≤x≤5}.。

"⎪ ⎪ 全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（02 常用逻辑用语）一.选择题：1. (2006 春招上海) 若 k ∈ R ，则“ k > 3”是“方程x 2 - k - 3 y 2k + 3= 1表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.2．（2006 安徽文）“ x > 3”是 x 2> 4 “的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.解：条件集是结论集的子集，所以选 B 。

⎛ a + b ⎫2a 2 +b 23.(2006 安徽理)设 a , b ∈ R ，已知命题 p : a = b ；命题 q : 2 ≤ ，则 p 是 q 成立的（ ）2 ⎝ ⎭ A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件⎛ a + b ⎫2a 2+ b 23.解：命题 p : a = b 是命题q : 2 ≤ 等号成立的条件，故选 B 。

2 ⎝ ⎭4.（2006 北京文、理）若 a 与b - c 都是非零向量，则“ a ⋅ b = a ⋅ c ”是“ a ⊥ (b - c ) ”的（）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.解： a ⋅ b = a ⋅ c ⇔ a • b －a • c ＝0 ⇔ a •（b －c ）＝0 ⇔ a ⊥（b －c ）, 故选 C5. (2006 福建理)设 a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是（ ） A. ad －bc =0 B.ac －bd =0 C. ac +bd =0 D.ad +bc =05．解： a , b , c ∈ R , 复数(a + bi )(c + di ) = (ac - bd ) + (ad + bc )i 为实数，∴ ad + bc = 0 ，选 D.π6. (2006 福建文) " tan α= 1" 是"α="的（ ）4（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件π6．解：若" tan α= 1" ，则α= k π+ ，α不一定等于4π ；而若"α=4π"则 tanα=1，4∴ " tan α= 1" 是"α= π的必要不而充分条件，选 B. 47. (2006 湖南文、理) “a=1”是“函数 f (x ) =| x - a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．解：若“ a = 1”，则函数 f (x ) =| x - a |= | x -1| 在区间[1,+∞) 上为增函数；而若 f (x ) =| x - a |在区间[1,+∞) 上为增函数，则 0≤a ≤1，所以“ a = 1”是“函数 f (x ) =| x - a |在区间[1,+∞) 上为增函数” 的充分不必要条件，选 A.8. .(2006 湖北文)甲：A 1、A 2 是互斥事件；乙：A 1、A 2 是对立事件，那么（ ） A. 甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件8.解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。

专题02 常用逻辑用语考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.命题及四种命题间的关系1.理解命题的概念2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系Ⅱ选择题★★☆2.充分条件与必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的含义Ⅲ选择题★★★3.逻辑联结词“或”“且”“非”了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义Ⅱ选择题★★☆4.全称量词与存在量词1.理解全称量词和存在量词的意义2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定Ⅲ选择题★★★分析解读1.本节主要考查充分必要条件的推理判断及四种命题间的相互关系问题.2.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,考查四种命题的真假判断以及充分条件、必要条件的判定和应用,考查学生的逻辑推理能力.3.会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.4.能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学内容.5.本节内容在高考中约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．2018年浙江卷已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 2．2018年理数天津卷设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．2018年理北京卷设a ，b 均为单位向量，则“”是“a ⊥b ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2017年高考全景展示1.2017天津，理4设θ∈R ，则“||1212θ-<”是“sin 2θ<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 2.2017，理3已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（ ）（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q3.2017北京，理13能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c ”是假命题的一组整数a ， b ，c 的值依次为______________________________．2016年高考全景展示1.2016浙江理数命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <2.2016理数已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 2016天津理数设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件。

高考真题理科数学分类汇编（解析版）常用逻辑用语1、（高考（安徽卷））"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= .)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y故前者是后者的充分必要条件。

所以选C2、（高考（北京卷））“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、（高考（福建卷））已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．4、（高考（福建卷））设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确5、（高考（湖北卷））在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A.()()p q ⌝∨⌝B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.p q ∨【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ） A ．{}1,3,4 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2,3,4,93．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}0,1,2 C ．{}2- D ．{}25．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,911．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ） A ．{}1,4,9 B ．{}3,4,9 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,52．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a c C ．{},b d D ．{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时，集合{}1,0M =，{}1,0,1N =-，可得M N ⊆，满足充分性，若M N ⊆，则0a =或1a =-，不满足必要性，所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件，故选：A.考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C3．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C 【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--， 所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．5．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]：直接法因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ；4x =代入集合{}11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B = ．故选：A.8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=， 故选：B.11．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【名师点评】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ，故选：D.3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ .故选：B.4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【名师点评】本题考查集合并集，考查基本详细分析求解能力，属基础题.考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =， 则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D 2．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ） A ．()U M N ð B ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确； {}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项．【答案详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð， 故选：B.7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a cC ．{},b dD ．{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选：C考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ， 若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ， 例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一：由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可. 【答案详解】解法一： 因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-， 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-， 所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选：C5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【答案详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+， 因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+， 即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x > D ．x ∀∈R ，20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45<易知B 错误； C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误； D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D.。

20202020年新课标高考数学理科试题分类精编2常用逻辑用语第2部分-常用逻辑用语一、选择题1.( 2018年陕西理9).关于数列｛a n ｝，〝a n+1＞∣a n ∣〔n=1，2…〕〞是〝｛a n ｝为递增数列〞的【 】 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件[来源:学+科+网](C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当),2,1(1 =>+n a a n n 时，∵n n a a ≥，∴n n a a >+1，∴{}n a 为递增数列.当{}n a 为递增数列时，假设该数列为1,0,2-，那么由12a a >不成立，即知：),2,1(1 =>+n a a n n 不一定成立.故综上知，〝),2,1(1 =>+n a a n n 〞是〝{}n a 为递增数列〞的充分不必要条件.应选B .2.〔2018年全国理5〕命题1p ：函数22x xy -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，那么在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是〔A 〕1q ，3q 〔B 〕2q ，3q 〔C 〕1q ，4q 〔D 〕2q ，4q【答案】C 解析：易知1p 是真命题，而对2p ：112ln 2ln 2ln 2(2)22x x x x y '=-=-， 当[0,)x ∈+∞时，122x x ≥，又ln 20>，因此0y '≥，函数单调递增；同理得当(,0)x ∈-∞时，函数单调递减，故2p 是假命题．由此可知，1q 真，2q 假，3q 假，4q 真． 另解：对2p 的真假能够取专门值来判定，如取1212x x =<=，得1251724y y =<=；取3412x x =->=-，得3451724y y =<=即可得到2p 是假命题，下略． 3.〔2018年天津理3〕命题〝假设()f x 是奇函数，那么()f x -是奇函数〞的否命题是 〔A 〕假设()f x 是偶函数，那么()f x -是偶函数〔B 〕假设()f x 是奇数，那么()f x -不是奇函数〔C 〕假设()f x -是奇函数，那么()f x 是奇函数〔D 〕假设()f x -是奇函数，那么()f x 不是奇函数【答案】B 【解析】因为一个命题的否命题是只对其结论进行否定，因此选B 。

专题02常用逻辑用语（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (10)【考点1】充分、必要条件的判定 (10)【考点2】充分、必要条件的应用 (13)【考点3】全称量词与存在量词 (17)【分层检测】 (20)【基础篇】 (21)【能力篇】 (26)【培优篇】 (29)考试要求：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A是B真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2023·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·北京·高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·天津·高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2021·全国·高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：1．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d da d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n S n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S SD S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C3．C 【分析】解法一：由2x yyx +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2xyyx +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y yx y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x+=-”的充要条件.解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.故选：C4．B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选：B5．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.6．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数.若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件.故选：C.7．B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====- ,当AB OC ⊥时，a b - 与c垂直，，所以成立，此时a b ≠ ，∴不是a b =的充分条件，当a b = 时，0a b -= ，∴()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r ,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.9．A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.10．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.【考点1】充分、必要条件的判定一、单选题1．（2024·北京海淀·一模）设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·全国·模拟预测）已知(21)(1)i()z a a a =-++∈R，则“||z 是“25a =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知ABC 中角A ，B 的对边分别为a ，b ，则可作为“a b >”的充要条件的是（）A ．sin sin A B>B ．cos cos A B<C ．tan tan A B >D ．sin 2sin 2A B>4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数()2sin f x x x =+，设12,R x x ∈，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（）A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．12x x >三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的条件．6．（2021·陕西渭南·二模）下列四个命题是真命题的序号为.①命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”.②曲线3y x =在0x =处的切线方程是0y =.③函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数的充要条件是05a <<.④根据最小二乘法，由一组样本点(,i i x y )(其中1,2,...,300i =)求得的线性回归方程是y bx a =+$$$，则至少有一个样本点落在回归直线y bx a =+$$$上.参考答案：1．A【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A.2．B【分析】由||z a 的等量关系，求解a ，从而判断选项.【详解】因为z ==化简得2520a a -=，解得0a =或25a =，故“z =”是“25a =”的必要不充分条件.故选：B ．3．AB 【分析】由三角形中的大边对大角，利用正弦定理和三角函数的性质，结合充要条件的定义，判断各选项的正误【详解】ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=可知，sin sin A B >时有a b >，a b >时有sin sin A B >，A 选项正确；余弦函数在()0,π上单调递减，ABC 中，当a b >时有A B >，则有cos cos A B <；当cos cos A B <时有A B >，则有a b >，B 选项正确；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，tan 0tan A B <<，C 选项错误；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，sin 20sin 2A B <<，D 选项错误.故选：AB 4．CD【分析】根据给定函数，探讨函数的奇偶性，利用导数探讨函数的单调性，再利用性质即可判断作答.【详解】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，22()||sin ()||sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，即函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2()sin f x x x =+，求导得()12sin cos 1sin 20f x x x x '=+=+≥，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，对于A ，取122,3x x ==-，满足12x x >，而(2)(3)(3)f f f <=-，A 不是；对于B ，取121,2x x ==，满足120x x +>，而(1)(2)f f <，B 不是；对于CD ，221212||||x x x x >⇔>，于是12(||)(||)f x f x >，由函数()f x 是偶函数得12()()f x f x >，CD 是.故选：CD 5．充分必要【分析】先由函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称求得0x 的值，再解方程0sin20x =求得0x 的值，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】函数tan y x =图象的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以由“函数y =tan x 的图象关于(x 0,0)中心对称”等价于“0π,2k x k =∈Z ”．因为0sin20x =等价于02π,x k k =∈Z ，即0π,2k x k =∈Z ．所以“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的是充分必要条件．故答案为：充分必要6．①②【分析】①由含有一个量词的命题的否定的定义判断；②利用导数的几何意义判断；③利用分段函数的单调性求解判断；④根据回归直线恒过样本中心，但样本点不一定在回归直线上判断；【详解】①由含有一个量词的命题的否定知：命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”，故正确.②因为3y x =，所以()()2300,0,0y x y y ''===，所以曲线在0x =处的切线方程是0y =，故正确；③若函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数，则05a a >⎧⎨≤⎩，解得05a <≤，所以函数为增函数的充要条件是05a <≤，故错误；④回归方程y bx a =+$$$恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误；故答案为：①②反思提升：充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.【考点2】充分、必要条件的应用一、单选题1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．14a -≤B ．0a ≤C ．6a ≥D ．8a ≥2．（22-23高二下·湖南·阶段练习）已知集合{}2|120A x x x =--≤，{22|3210}B x x mx m m =-++-<，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．[]3,2-B ．[]1,3-C ．51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题3．（2021·福建宁德·模拟预测）已知命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，那么命题p 的一个必要不充分条件是（）A ．112a -<<-B ．203a -<<C ．10a -≤≤D ．1a ≥-4．（2023·广东·模拟预测）已知函数()1e ln xf x x -=+，则过点(),(0)a b a >恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（）A ．211b a =-<B ．211b a =->C ．()211f a a <-<D ．()211a f a ->>三、填空题5．（2022·吉林长春·模拟预测）设命题():0ln 2ln 3p x <-≤，命题()():2230q x m x m ---≤．若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是．6．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.参考答案：1．D【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数a 的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.【详解】若命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题，则命题的否定“[]2,1x ∀∈-，20x x a --≤”为真命题，即2a x x ≥-，[]2,1x ∈-恒成立，221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，当2x =-，取得最大值6y =，所以6a ≥，选项中只有{}8a a ≥是{}6a a ≥的真子集，所以命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件为8a ≥.故选：D 2．C【分析】解不等式，确定集合A ，讨论m 的范围，确定B ，根据题意推出B A ，由此列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意集合{}2|120[3,4]A x x x =--≤=-，{22|3210}{|(1)(21)0}B x x mx m m x x m x m =-++-<=---+<，若m>2，则211m m ->+，此时(1,21)B m m =+-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故214513,222m m m m -≤⎧⎪+≥-∴<≤⎨⎪>⎩；若2m <，则211m m -<+，此时(21,1)B m m =-+，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故14213,122m m m m +≤⎧⎪-≥-∴-≤<⎨⎪<⎩；若2m =，则211m m -=+，此时B =∅，满足BA ,综合以上可得51,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：C 3．CD【分析】求出命题p 成立时a 的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，则2440a a ∆=+<，解得10a -<<又()1,0-[]1,0-，()1,0-[)1,-+∞，故选：CD ．4．AB【分析】设切点坐标为0100(,e ln )x x x -+，则有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，所以问题转化为方程010000e (1)ln 10(0)x a x a x b x x ----++-=>恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x ag x x a x b x x-=---++->，然后利用导数求解其零点即可.【详解】由()1e ln x f x x -=+，得11()e (0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101e x k x -=+，所以有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，整理可得：010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知：此方程有且恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x -=---++->，()()()112;0,;,;g b a x g x x g x =+-→→-∞→+∞→-∞，112211()e ()()(e 0)x x a g x x a x a x x x x--'=--+=-->，令121()e0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x -'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，因为11(1)e 10F -=-=，所以当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1<<a x 时，()()()()()()0,1,21,21g x g a g b f a b a f a a ->--<-'，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，所以只要()0g a =或(1)0g =，即()1e ln a b af a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1x a <<时，()()()()0,1,21,g x g g a f a a >-'函数()g x 单调递减，当x a >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =可得：211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=；③当1a =时，121()(1)(e )0x g x x x -'=-->，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：当01a <<时，()211b f a a =<-<或211b a =-<；当1a >时，211b a =->或()211b f a a =>->，所以选项A 正确，B 正确，C 错误，D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>恰有两个解，构造函数1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x-=---++->，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.5．312m ≤≤【分析】化简命题p 和q ，利用真子集关系列式可求出结果.【详解】由():0ln 2ln 3p x <-≤，得123x <-≤，即35x <≤；由()():2230q x m x m ---≤，得223m x m ≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，所以5}|3{x x <≤是{|223}x m x m ≤≤+的真子集，所以23235m m ≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取，解得312m ≤≤.故答案为：312m ≤≤6．3q =（或2q =-,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】212a ，4a ，32a 成等差数列，则4232122a a a =+，即26q q =+，解得3q =或2q =-，故“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是3q =（或2)q =-．故答案为：3q =（或2q =-,答案不唯一）反思提升：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【考点3】全称量词与存在量词一、单选题1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（）A ．“1,1a b >>”是“1ab >”的必要条件B ．0,e 2x x x ∀>>C ．20,2x x x >≥∀D ．0a b +=的充要条件是1ab=-2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知0a >，()212f x ax bx =-，则0x 是方程ax b =的解的充要条件是（）A ．()()0,x f x f x ∃∈≥R B ．()()0,x f x f x ∃∈≤RC ．()()0,x f x f x ∀∈≥RD ．()()0,x f x f x ∀∈≤R 二、多选题3．（2023·海南·模拟预测）已知命题p :“2,260x R x x a ∃∈-++=”，:q "2,10x R x mx ∀∈++>”，则下列正确的是（）A ．p 的否定是“2,260x R x x a ∀∈-++≠”B ．q 的否定是“2,10x R x mx ∃∈++>”C ．若p 为假命题，则a 的取值范围是5a <-D ．若q 为真命题，则m 的取值范围是22m -<<4．（2023·山西·模拟预测）下列结论正确的是（）A ．sin sin ()e e x x f x =+是偶函数B ．若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则11a -≤≤C ．设x ，y ∈R ，则“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”的必要不充分条件D ．0ab ∃>，111a b b a-=-三、填空题5．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则实数a 的取值范围是．6．（2024·辽宁·模拟预测）命题p ：存在[]1,1m ∈-，使得函数()22f x x mx =-在区间[),a +∞内单调，若p 的否定为真命题，则a 的取值范围是.参考答案：1．B【分析】举反例来判断ACD ，利用指数函数的性质判断B.【详解】对于A ，当2,1a b ==时，满足1ab >，但不满足1,1a b >>，故“1,1a b >>”不是“1ab >”的必要条件，故错误；对于B ，根据指数函数的性质可得，对于e 0,12xx ⎛⎫∀>> ⎪⎝⎭，即e 2x x >，故正确；对于C ，当3x =时，22x x <，故错误；对于D ，当0a b ==时，满足0a b +=，但1ab=-不成立，故错误.故选：B.2．C【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.【详解】因为0a >，所以函数()212f x ax bx =-的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：122b bx a a -=-=⨯，函数的最小值为b f a ⎛⎫⎪⎝⎭.若“0x 是方程ax b =的解”，则0b x a =，那么()0b f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是函数()f x 的最小值，所以“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，即“0x 是方程ax b =的解”是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”的充分条件；若“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，则()0f x 为函数()f x 的最小值，所以0bx a=，即0ax b =，所以“0x 是方程ax b =的解”，故“0x 是方程ax b =的解”是“R x ∀∈，()()0f x f x ≥”的必要条件.综上可知：“0x 是方程ax b =的解”的充要条件是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”.故选：C 3．AD【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A 、B ；C 选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算a 的取值范围；D 选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A 正确，B 不正确；C 选项，若p 为假命题，则p 的否定“2,260x R x x a ∀∈-++≠”是真命题，即方程2260x x a -++=在实数范围内无解，44(6)0a ∆=-+<，得5a >-，C 不正确；D 选项，2,10x R x mx ∀∈++>，等价于240m ∆=-<，解得22m -<<，D 正确；故选：AD.4．ABD【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项A ；根据特称命题的的真假判断选项B ；根据必要不充分条件的判断即可判断选项C ；根据等式的性质判断选项D .【详解】对于A ，函数sin sin ()e e x x f x =+的定义域为R ，且sin sin sin sin ()e e e e ()x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数为偶函数，故选项A 正确；对于B ，若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则2210x ax ++≥恒成立，所以2(2)40a ∆=-≤，解得11a -≤≤，故选项B 正确；对于C ，若1x ≥，且1y ≥，则222x y +≥成立，反之不一定成立，例如：2,3x y =-=-满足222x y +≥，但是0,0x y <<，故“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”充分不必要条件，故选C 错误；对于D ，若111a b b a -=-，则2230a ab b -+=，当32b a =时方程有解，所以0ab ∃>，111a b b a -=-，故选项D 正确；故选：ABD .5．(,5)-∞【分析】首先求命题为真命题时a 的取值范围，再求其补集，即可求解.【详解】若命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x ”为真命题，则max 4a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，设4y x x =+，(1,3)x ∈，44x x +≥=，当2x =时，等号成立，由对勾函数的性质可知，当()1,2x ∈时，函数单调递减，当()2,3x ∈单调递增，()15f =，()43353f =+<，所以445x x≤+<，即5a ≥，所以命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则a 的取值范围为(),5-∞.故答案为：(),5-∞6．(),1-∞-【分析】先给出命题p 的否定，由函数2()2f x x mx =-的单调性进行求解.【详解】命题p 的否定为：任意[]1,1m ∈-，使得函数2()2f x x mx =-在区间[,)a +∞内不单调，由函数2()2f x x mx =-在(),m -∞上单调递减，在(),m +∞上单调递增，则a m <，而[]1,1m ∈-，得1a <-，故答案为：(),1-∞-反思提升：(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在量词命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p 与¬p 的关系，转化成¬p 的真假求参数的范围.【基础篇】一、单选题1．（2024·四川成都·三模）已知圆C ：221x y +=，直线l ：0x y c -+=，则“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．（2023·四川泸州·一模）已知命题:R p x ∀∈，2212x x +>，命题0:R q x ∃∈，0ln 2x =-，则下列命题是真命题的为（）A ．()p q⌝∧B ．p q∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3．（2024·全国·模拟预测）已知向量(1,2)a = ，(2,)b x = ，则“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，当0n n >时，0n S <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，若p 为真命题，则a 的值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．36．（2021·江苏·一模）下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有（）A ．0a =B ．3a ≥-+C ．0a >D ．3a ≤--7．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A ．1x <B ．20.50.5log log x x >C ．233x x<D ．()()11x x x x -=-三、填空题8．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“0a ∃<，1a b a+>”是假命题，则实数b 的取值范围为．9．（2024·辽宁大连·一模）“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．10．（2022·全国·模拟预测）已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值.四、解答题11．（2023·河南南阳·模拟预测）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足2680x x -+≤．(1)若1a =，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．12．（2023·重庆酉阳·一模）命题p ：任意x ∈R ，2230x mx m -->成立；命题q ：存在x ∈R ，2x +410mx +<成立.(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 和q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.参考答案：1．A【分析】利用圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，等价于()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.【详解】因为圆C ：221x y +=的圆心()0,0O ，半径为1r =，当圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12时，则()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，12=，解得c =当2c =时，由上可知()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，此时圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，即充分性成立；所以“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的充分不必要条件.故选：A.2．A【分析】判断两个命题的真假后逐项分析即可【详解】1x =时2212x x+=，故p 假20e x -=时0ln 2x =-，故q 真故()p q ⌝∧为真故选：A【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由题意，得(3,2)a b x +=+ ，()1,2a b x -=-- ，若()()a b a b +⊥- ，则()()0a b a b +⋅-= ，即2340x -+-=，解得1x =±，所以“1x =”推得出“()()a b a b +⊥- ”，即必要性成立，但“()()a b a b +⊥- ”推不出“1x =”，即充分性不成立，所以“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的必要不充分条件．故选：B ．4．C【分析】根据等差数列的通项以及前n 项和的函数性质，即可结合充要条件的定义求解.【详解】因为{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，若“{}n a 为递减数列”，可得{}n a 的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数0n ，当0n n '>时,有0n a <，故存在0n ，当0n 远远大于0n '时，0n n >时，此时0n S <，故充分性成立，若存在正整数0n ，当0n n >时，21022n d d S n a n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+，故二次函数开口向下，因此0d <，故{}n a 为递减数列，故必要性成立.故选：C ．5．BCD【分析】将条件转化为对应方程有根问题，分0a =和0a ≠两种情况，进行求解即可．【详解】命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，p 为真命题，即2440ax x --=有根，当0a =时，=1x -成立，当0a ≠时，需满足2(4)4(4)0a ∆=--⨯⋅-≥，解得1a ≥-且0a ≠，a ∴的取值范围为[1,)-+∞，故选：BCD ．【分析】先找其充要条件，然后取它的子集.【详解】0a ≥时必有解，当a<0时，()21803a a a ∆=-+>⇒<--或30a -+<，故AC 符合题意.故选：AC7．BC【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10x x ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC8．[)2,-+∞【分析】将问题转化命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题求解.【详解】解：因为命题“0a ∃<，1a b a +>”是假命题，所以命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题，又当0a <时，112a a a a ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当1a a-=-，即1a =-时等号成立，所以max 12a a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2b ≥-，所以实数b 的取值范围为[)2,-+∞，故答案为：[)2,-+∞.9．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.10．2【分析】先解出2560x x -+<的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.【详解】由2560x x -+<，得23x <<,令{}|321A x a x a =-<<-，{}23|B x x =<<，“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，B A ∴.32132213a a a a -<-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩（等号不同时成立），解得25a ≤≤，故整数a 的值可以为2,3,4,5.故答案为：2,3,4,5中任何一个均可.11．(1)[)2,3；(2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据一元二次不等式求解p ，q 为真命题时的范围，即可求解，（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.【详解】（1）当1a =时，由22430x ax a -+<，得2430x x -+<，解得13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是()1,3由2680x x -+≤，解得24x ≤≤，即q 为真命题时，实数x 的取值范围是[]2,4．所以若p ，q 均为真命题，则实数x 的取值范围为[)2,3．（2）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a a <，故p ：3a x a <<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以234a a <⎧⎨>⎩，解可得423a <<．故实数a 的取值范围是4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭。

专题一 集合与常用逻辑用语第二讲 常用逻辑用语答案部分2019年1.解析：对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除；对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除．故选B ．AC BC AB AC AB AC +>⇔+>-u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r220AB AC AB AC AB AC ⇔+>-⇔⋅>⇔uu u r “AB uu u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”.所以“AB uu u r 与AC uuu r AC BC +>u r uuu r uu u r 的充要条件．故选C ．11-<，得02x <<，因为05x <<不能推出02x <<， 但02x <<可以推出05x <<，所以05x <<是02x <<的必要不充分条件， 即0x <<11-<的必要不充分条件. 故选B ．2010-2018年1．C 【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a a b b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．2．A 【解析】通解 由11||22x -<，得01x <<，所以301x <<；由31x <，得1x <，不能推出01x <<．所以“11||22x -<”是“31x <”的充分而不必要条件，故选A ．优解 由11||22x -<，得01x <<，所以301x <<，所以充分性成立； 取14x =-，则1131||4242--=>，311()1464-=-<，所以必要性不成立．故选A ． 3．A 【解析】由1>a 可得11<a 成立；当11<a ，即1110--=<a a a ， 解得0<a 或1>a ，推不出1>a 一定成立；所以“1a >”是“11a<”的充分非必要条件．故选A ．5．B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i (i)a b z a b a b -==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．6．C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．7．A 【解析】由ππ||1212θ-<，得06πθ<<，所以1sin 2θ<，反之令0θ=，有1sin 2θ< 成立，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件．选A ．8．B 【解析】0x ∀>，11+>x ，所以ln(1)0x +>，所以p 为真命题；若0a b >>，则22a b >，若0b a <<，则0a b <-<-，所以22a b <，所以q 为假命题．所以p q ⌝∧为真命题．选B ．9．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．10．D 【解析】取0-≠a =b ，则||||0=≠a b ，|||0|0+==a b ，|||2|0-=≠a b a ，所以||||+≠-a b a b ，故由||||=a b 推不出||||+=-a b a b ．由||||+=-a b a b ， 得22||||+=-a b a b ，整理得0⋅=a b ，所以⊥a b ，不一定能得出||||=a b ，故由||||+=-a b a b 推不出||||=a b ，故“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的既不充分也不必要条件，故选D ．11．A 【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则,P a P b ∈∈，又,a b αβ⊂⊂，所以 ,P P αβ∈∈，故,αβ相交．反之，若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A ．12．C 【解析】由题意得，111(0)n n a a q a -=>，222121211n n n n a a a qa q ---+=+= 221(1)n a q q -+，若0q <，因为1q +得符号不定，所以无法判断212n n a a -+的符号； 反之，若2120n n a a -+<，即2(1)1(1)0n a q q -+<，可得10q <-<，故“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要不充分条件，故选C.13．C 【解析】命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题．14．A 【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q成立的充分不必要条件，选A ．15．B 【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B ．16．A 【解析】解不等式|2|1x -<可得，13x <<，解不等式220x x +->可得，2x <-或1x >，所以“21x -< ”是“220x x +-> ”的充分而不必要条件．17．D 【解析】 根据全称命题的否定是特称命题，因此命题“**N ,()N n f n ∀∈∈且 ()f n n ≤”的否定为“**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >”可知选D ．18．B 【解析】因为，β是两个不同的平面，是直线且m α⊂．若“m βP ”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出αβ∥，反过若αβ∥，m Ìα，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件．19．A 【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．20．C 【解析】设3()f x x =，(0)0f '=，但是()f x 是单调增函数，在0x =处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C ．21．A 【解析】由正弦定理sin sin a b A B=，故“b a ≤”⇔“B A sin sin ≤”． 22．C 【解析】 把量词“∀”改为“∃”，把结论否定，故选C ．23．A 【解析】 当1a b ==时，22()(1)2a bi i i +=+=，反之，若i bi a 2)(2=+，则有1a b ==- 或1a b ==，因此选A ．24．C 【解析】由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p q ∧为假命题，②p q ∨为真命题，③q ⌝为真命题，则()p q ∧⌝为真命题，④p ⌝为假命题，则()p q ⌝∨为假命题，所以选C ．25．A 【解析】 从原命题的真假人手，由于12n n n a a a ++<{}1n n n a a a +⇔<⇔为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A ．26．D 【解析】 2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，因为与a 的符号不确定，所以A不正确；当20b =时，由""a c >推不出22""ab cb >，所以B 不正确；“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有0x <”，所以C 不正确．选D ．27．C 【解析】当a =0 时，()f x x =，∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增；当0a <时， ()1f x a x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中一个根10a <，另一个根为0，由图象可知()f x 在区间 ()0,+∞内单调递增；∴"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的充分条件，相反，当()1f x a x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(0,+)∞内单调递增，∴0a =或10a<，即0a ≤；"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的必要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选C ．28．A 【解析】当ϕπ=时，sin 2y x =-过原点；()sin 2y x ϕ=+过原点，则,,0,,ϕππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅等无数个值．选A ．29．C 【解析】abi b a z R b a bi a z 2,,222+-=⇒∈+=设．对选项A 为实数则若z b z ⇒=≥0,02,所以为实数z 为真．对选项B 为纯虚数且则若z b a z ⇒≠=<0,0,02,所以为纯虚数z 为真．对选项C 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02≥z 为假．对选项D 00,0,2<⇒≠=z b a z 且则为纯虚数若,所以02<z 为真． 所以选C ．30．B 【解析】由f ()是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+π，∈，所以选项B 正确． 31．D 【解析】否定为：存在0x R ∈，使得200x <，故选D ．32．C 【解析】由命题的否定易知选C ．33．A 【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．34．D 【解析】存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉．35．C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是 “若tan 1α≠，则4πα≠”．36．A 【解析】①,,,b m m b αβαββ⊥⊥⋂=⊂,b a b a αα⇒⊥⊂⇒⊥②如果//a m ；∵b m ⊥，一定有a b ⊥但不能保证b α⊥，既不能推出αβ⊥37．D 【解析】∵,0xx R e ∀∈>，故排除A ；取=2,则2222=，故排除B ；0a b +=，取0a b ==，则不能推出1a b=-，故排除C ；应选D ． 38．B 【解析】0a =时i a b +不一定是纯虚数，但i a b +是纯虚数0a =一定成立，故“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的必要而不充分条件．39．B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B ．40．A 【解析】p ：“函数()xa x f =在R 上是减函数 ”等价于10<<a ；q ：“函数()()32x a x g -=在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件．选A ．41．C 【解析】命题p 为假,命题q 也为假,故选．42．A 【解析】3a b c ++=的否定是3a b c ++≠，222a b c ++≥3的否定是222a b c ++<3，故选A ．43．A 【解析】由1a b +==>得， 1cos 2θ>-， 20,3πθ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭。

专题02 常用逻辑用语二元一次不等式表示的平面区域、全称命题与特称命题真假的判定导数与极值的关系、充要条件的判定 考点5 命题及其关系1．（2020新课标III 理16）关于函数()1sin sin f x x x=+． ①()f x 的图像关于y 轴对称；②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于2x π=对称；④()f x 的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ．【答案】②③ 【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误．综合可得出结论． 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误，故答案为：②③． 2.（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p 【答案】B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i(i)a b z a b a b-==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．3.（2011新课标）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p πθ+>⇔∈a b 2:p ||1+>a b ⇔2(,]3πθπ∈ 3:||1[0,)3p πθ->⇔∈a b 4:p ||1->a b ⇔(,]3πθπ∈ 其中真命题是A ．14,p pB ．13,p pC ．23,p pD ．24,p p 【答案】A 【解析】由得， ，。

专题二常用逻辑用语考纲解读分析解读1.本节主要考查充分必要条件的推理判断及四种命题间的相互关系问题.2.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,考查四种命题的真假判断以及充分条件、必要条件的判定和应用,考查学生的逻辑推理能力.3.会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.4.能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学内容.5.本节内容在高考中约为5分,属中低档题.2018年高考展示1．【2018年浙江卷】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．2．【2018年理数天津卷】设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2018年理北京卷】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．2017年高考展示1.【2017天津，理4】设θ∈R，则“ππ||1212θ-<”是“1sin2θ<”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin2θ⇒<，但10,sin2θθ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 【考点】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件.2.【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（ ）（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【解析】试题分析：由0x >时11,ln(1)x x +>+有意义，知p 是真命题，由222221,21;12,(1)(2)>>->--<-可知q 是假命题，即⌝,p q 均是真命题，故选B.【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题.【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.3.【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一） 【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题. 【考点】不等式的性质【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一2016年高考展示1.【2016浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D 【解析】试题分析： ∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 2.【2016山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 试题分析：“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”⇒“直线a 和直线b 相交”，所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.3. 【2016天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．Welcome To Download欢迎您的下载，资料仅供参考！。

【热点聚焦】常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．【重点知识回眸】一、充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、全称量词和存在量词1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】 1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词． 2.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断pqp 且q p 或q 非p真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假真3.提醒：“命题的否定”与“(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：“有真则真，全假才假”，即p ，q 中只要有一个真命题，则p ∨q 为真命题，只有p ，q 都是假命题时，p ∨q 才是假命题．(2)p ∧q ：“有假则假，全真才真”，即p ，q 中只要有一个假命题，则p ∧q 为假命题，只有p ，q 都是真命题时，p ∧q 才是真命题． (3) p ： p 与p 的真假相反．【典型考题解析】热点一 充分、必要条件的判定【典例1】（2022·天津·高考真题） “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件【典例2】（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【典例3】（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【典例4】（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【规律方法】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 热点二 充分条件、必要条件的探求与应用【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【典例6】（2017·上海·高考真题）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0cD ．20a b c -+=【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x 的不等式220x ax a -+> 对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．01a << B ．01a ≤≤C ．103a <<D ．0a ≥【总结提升】充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． 热点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 热点四 全称命题、特称命题的否定与真假判断【典例9】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【典例10】（2016·浙江·高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠ B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠ C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =【典例12】（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立，若p 是真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围为 _____. 【总结提升】1．全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．【精选精练】一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（ ） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin f x x x =-，命题P ： 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ）A ．P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B ．P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C ．P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D ．P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，4．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2017·山东·高考真题（文））已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝11．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-12．（2023·全国·高三专题练习）“2log (1)0x +<”成立的一个必要而不充分条件是（ ） A ．112x -<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x <二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ） A ．8- B ．5- C ．1 D ．4三、填空题14．（2018·北京·高考真题（理））能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，sin ≤x m ”是真命题，则实数m 的最小值为__.16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣（a +1）x +4≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为__.17．（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式102x x+≥-的解集为条件p ，关于x 的不等式222310x mx m m +---<（23m >-）的解集为条件q ． (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 的充分不必要条件是q ，求实数m 的取值范围．。

高考真题和模拟题分类汇编数 学专题02 常用逻辑用语一、选择题部分1.(2021•高考全国乙卷•文T3)已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. ()p q ⌝∨ 【答案】A ．【解析】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选A ．2.(2021•山东聊城三模•T 4.)已知直线l:(a −1)x +y −3=0，圆C:(x −1)2+y 2=5．则“ a =−1 ”是“ l 与C 相切”的（）．A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与圆的位置关系【解析】圆C:(x −1)2+y 2=5的圆心为(1,0)，半径r =√5，由直线l 和C 相切可得：圆心到直线的距离d =√(a−1)2+1=√5，解得2a 2−a −3=0，解得a =−1或a =32，故a =−1是a =−1或a =32的充分不必要条件，故答案为：B. 【分析】根据直线与圆相切的性质解得a =−1或a =32，再由充分必要条件即可判断B 正确。

3.(2021•安徽蚌埠三模•文T 3．)下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要不充分条件是（ ）A ．a ﹣2＞bB ．a +2＞bC ．|a |＞|b |D ．【答案】B ．【解析】a ＞b 无法推出a ﹣2＞b ，故A 错误；“a ＞b ”能推出“a +2＞b ”，故选项B 是“a ＞b ”的必要条件，但“a +2＞b ”不能推出“a ＞b ”，不是充分条件，满足题意，故B 正确；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”即a 2＞b 2，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，故C 错误；a ＞b 无法推出＞，如a ＞b ＞1时，故D 错误．b ＞4.(2021•上海嘉定三模•T13．)已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x +b 1y +c 1＝0，l 2：a 2x +b 2y +c 2＝0，那么“＝0是“两直线l1，l2平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】若“＝0则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2，若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，∴＝0，故“＝0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件．5.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T11．)下列结论中正确的是（）①设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β；②x＝是函数y＝sin x+sin（β﹣x）取得最大值的充要条件；③已知命题p：∀x∈R，4x＜5x；命题q：∃x＞0，x2＞2x，则￢p∧q为真命题；④等差数列{a n}中，前n项和为S n，公差d＜0，若a8＝|a9|，则当S n取得最大值时，n＝15．A．①③B．①④C．②③D．③④【答案】A．【解析】对于①：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m∥n，直线m相当于平面α的法向量，由于n∥β，则α⊥β，故①正确；对于②，函数f（x）＝sin x+sin（﹣x）满足f（0）＝f（），故x＝不是取得最大值的充要条件，故②错误；③已知命题p：∀x∈R，4x＜5x；当x＝﹣1时，不成立，命题q：∃x＞0，x2＞2x，当x＝3时，成立，则￢p∧q为真命题，故③正确；④等差数列{a n}中，前n项和为S n，公差d＜0，若a8＝|a9|，即a8＝﹣a9，则当S n取得最大值时，n＝8或9，故④错误．6.(2021•上海浦东新区三模•T14．)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D＝0是该方程组有解的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D．【解析】系数行列式D≠0时，方程组有唯一的解，系数行列式D＝0时，方程组有无数个解或无解．∴当系数行列式D＝0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．∴系数行列式D＝0是方程有解的既不充分也不必要条件．7.(2021•福建宁德三模•T3) 不等式x2−2x−3<0成立的一个充分不必要条件是( )A. −1<x<3B. −1≤x<2C. −3<x<3D. 0≤x<3【答案】D．【解析】∵x2−2x−3<0，∴−1<x<3，∵[0,3)⊊(−1,3),∴不等式x2−2x−3<0成立的一个充分不必要条件是[0,3),故选：D.先解不等式x2−2x−3<0的解集，利用子集的包含关系，借助充分必要条件的定义即可．本题考查了充分必要条件的判定，一元二次不等式的解法，属于基础题．8.(2021•宁夏中卫三模•理T2．)命题“若a2+b2＝0，则a＝0且b＝0”的否定是（）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2+b2＝0，则a≠0且b≠0C．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0D．若a2+b2＝0，则a≠0或b≠0【答案】D．【解析】命题“若a2+b2＝0，则a＝0且b＝0”的否定是“若a2+b2＝0，则a≠0或b≠0”．8.(2021•江西南昌三模•理T7．)随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5；③P（X＞k+1）＜P（X＜k﹣2）；④P（k﹣1＜X＜k）＞P（k+1＜X＜k+2）．若只有一个假命题，则该假命题是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C．【解析】因为4个命题中只有一个假命题，又①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5，由正态分布的相知可知，①②均为真命题，所以μ＝k，则P（X＞k+1）＞P（X＞k+2）＝P（X＜k﹣2），故③错误；因为P（k﹣1＜X＜k）＝P（k＜X＜k+1）＞P（k+1＜X＜k+2），故④正确．9.(2021•江西上饶三模•理T 1．)设x∈R，则“﹣2＜x＜2”是“1＜x＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】∵（1,2）⊊(﹣2,2),∴﹣2＜x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件．10.(2021•安徽马鞍山三模•理T5．)已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜0【答案】C．【解析】由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p是∀x∈R，x2﹣x+1≥0．11.(2021•浙江杭州二模•理T3．)设，是非零向量，则“⊥”是“函数f（x）＝（x+）•（x﹣）为一次函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】f（x）＝（x）•（x﹣）＝•x2+（﹣）x﹣•，若⊥，则•＝0，如果同时有||＝||，则函数恒为0，不是一次函数，故不充分；如果f（x）是一次函数，则•＝0，故⊥，该条件必要．12.(2021•江西鹰潭二模•理T5．)下列命题中，真命题的是（）A．函数y＝sin|x|的周期是2πB．∀x∈R，2x＞x2C．函数y＝ln是奇函数D．a+b＝0的充要条件是＝﹣1【答案】C．【解析】对于A，函数y＝sin|x|不是周期函数，故A是假命题；对于B，当x＝2时2x＝x2，故B是假命题；对于C，函数y＝f（x）＝ln的定义域（﹣2，2）关于原点对称，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，故C是真命题；对于D，“a+b＝0”的必要不充分条件是“＝﹣1”，即D是假命题．13.(2021•北京门头沟二模•理T6)“sinα=cosα”是“α=π4+2kπ,(k∈Z)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】由“sinα=cosα”得：α=kπ+π4，k∈Z，故sinα=cosα是“α=π4+2kπ,(k∈Z)”的必要不充分条件，故选：B.根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查三角函数以及集合的包含关系，是一道基础题．14.(2021•天津南开二模•T2．)已知x∈R，则“”是“x2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】由＜0，解得x＜1；由x2＜1，解得﹣1＜x＜1，∵（﹣1，1）⊆（﹣∞，1）∴“”是“x2＜1”的必要不充分条件．15.(2021•辽宁朝阳二模•T4．)已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个不同的实根x1，x2，则当“x1＞1且x2＞1”时，整理得：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”．当x1＝0.99，x2＝2，满足：“x1+x2＞2且x1•x2＞1”但是“x1＞1且x2＞1”不成立，故“x1＞1且x2＞1”是“x1+x2＞2且x1•x2＞1”的充分不必要条件．16.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T6．)“关于x的方程＝|x﹣m|（m∈R）有解”的一个必要不充分条件是（）A．m∈[﹣2，2]B．m∈[﹣，]C．m∈[﹣1，1]D．m∈[1，2]【答案】C．【解析】化简＝|x﹣m|，得2x2﹣2mx+m2﹣1＝0，关于x的方程＝|x﹣m|有解的充要条件是△≥0，即4m2﹣8（m2﹣1）≥0，解得﹣≤m．因此关于x的方程＝|x﹣m|，有解的必要不充分条件是﹣≤m的真子集．17.(2021•安徽淮北二模•文T5．)在△ABC中，“sin A＞cos B”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】若B为钝角，A为锐角，则sin A＞0，cos B＜0，则满足sin A＞cos B，但△ABC为锐角三角形不成立，若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cos B ＜cos（﹣A），即cos B＜sin A，故“sin A＞cos B”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．18.(2021•宁夏银川二模•文T4．)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥α”是“m∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B．【解析】因为m⊄α，n⊂α，当m∥α时，m与n不一定平行，即充分性不成立；当m∥n时，满足线面平行的判定定理，m∥α成立，即必要性成立；所以“m∥α”是“m∥n”的必要不充分条件．19.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T3．)已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cos x0≥1B．￢p：∀x∈R，cos x≥1C．￢p：∀x∈R，cos x＞1D．￢p：∃x0∈R，cos x0＞1【答案】D．【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，cos x≤1，￢p：∃x0∈R，cos x0＞1．20.(2021•山西调研二模•文T3.)已知p：a∈(1,3)，q：f(x)=log a x在(0,+∞)单调递增，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】∵q：f(x)=log a x在(0,+∞)单调递增，∴a>1，∵(1,3)⊊(1,+∞)，∴p是q的充分不必要条件，故选：A.根据对数函数单调性的性质，求出a的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题部分21.(2021•安徽马鞍山三模•文T13．)已知命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，写出这个命题的否定：．【答案】∀x∈R，x2﹣x+1≥0．【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0的否定：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．22.(2021•贵州毕节三模•文T13．)命题“若sinα＝sinβ，则α＝β”的否命题为真命题．（填“真”或“假”）【答案】真．【解析】命题“若sinα＝sinβ，则α＝β”的否命题为若sinα≠sinβ，则α≠β”其否命题为真命题．23.(2021•福建宁德三模•T15) 能够说明“若ax >ay，a<0，则x>y”是假命题的一组整数x，y的值依次为______ .【答案】−1，1(满足x<0，y>0，x，y∈Z均可)【解析】当ax >ay，a<0，可得1x<1y，①当x，y同号时，可得x>y，②当x，y异号时，y>0>x。

专题02 常用逻辑用语1.本节主要考查充分必要条件的推理判断及四种命题间的相互关系问题.2.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,考查四种命题的真假判断以及充分条件、必要条件的判定和应用,考查学生的逻辑推理能力.3.会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.4.能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学内容.5.本节内容在高考中约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．2．【2018年理数天津卷】设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2018年理北京卷】设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．2017年高考全景展示1.【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 【考点】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件.2.【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（ ）（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【解析】试题分析：由0x >时11,ln(1)x x +>+有意义，知p 是真命题，由222221,21;12,(1)(2)>>->--<-可知q 是假命题，即⌝,p q 均是真命题，故选B.【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题.【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.3.【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一） 【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题.【考点】不等式的性质【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一2016年高考全景展示1.【2016浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D 【解析】试题分析： ∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 考点：全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 2.【2016山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 试题分析：“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”⇒“直线a 和直线b 相交”，所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.3. 【2016天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a2n−1+a2n<0”的（）（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．。

专题 02 常用逻辑用语年份题号 考点考查内容2011 课标卷 理 10 命题及其关系 平面向量模与夹角、命题真假推断 2023 新课标理 2 命题及其关系 复数的概念与运算、命题真假的判定卷 1 理 9 全称量词与特称量词 二元一次不等式表示的平面地域、全称命题与特称命题 真假的判定2023卷 2文 3 充分条件与必要条件 导数与极值的关系、充要条件的判定 2023 卷 1 理 3 全称量词与特称量词 特称命题的否认 2023卷 1 理 2 命题及其关系 复数的有关概念与运算卷 2 理 7充分条件与必要条件面面平行的判定与性质、充要条件判定2023卷 3文 11 1. 全称量词与特称量词 2. 简单逻辑联结词二元一次不等式表示的平面地域、全称命题与特称命题 真假推断、含逻辑联结词命题的判定 卷 2文理16 简单逻辑联结词 含逻辑联结词命题真假的推断2023 卷 3理 16命题及其关系命题真假的推断，三角函数图象及其性质考点出现频率2023 年预测考点 5 命题及其关系 4/10 考点 6 简单逻辑联结词 2/10 考点 7 全称量词与特称量词 3/10 考点 8 充分条件与必要条件 2/102023 年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻辑连接词的敏体真假推断、特称命题与全称命题真假推断及其否认的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点.考点 5 命题及其关系1．(2023 新课标 III 理 16)关于函数 f ( x ) = sin x + 1．sin x① f ( x ) 的图像关于 y 轴对称；② f ( x ) 的图像关于原点对称； ③ f ( x ) 的图像关于 x = π对称；④ f ( x ) 的最小值为2 ．2 其中全部真命题的序号是．12（答案）②③（解析）（分析）利用特别值法可推断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可推断命题②的正误；利用对称性的 定义可推断命题③的正误；取-π< x < 0 可推断命题④的正误．综合可得出结论．（详解）对于命题①， f ⎛ π⎫ = 1 + 2 = 5， f ⎛ - π⎫ = - 1 - 2 = - 5 ，则 f ⎛ - π⎫≠f ⎛ π⎫ ，6 ⎪ 2 26 ⎪ 2 2 6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象不关于 y 轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数 f ( x ) 的定义域为{x x ≠ k π, k ∈ Z} ，定义域关于原点对称，f (-x ) = sin (-x )+ 1 = - sin x -1 = - ⎛sin x +1 ⎫= - f(x ) ， sin (-x ) sin x sin x ⎪⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象关于原点对称，命题②正确；f ⎛ π- x ⎫ = sin ⎛ π- x ⎫ +1= cos x + 1对于命题③， 2⎪ 2⎪⎛ π⎫cosx ， ⎝⎭⎝⎭ sin ⎝ - x ⎪⎭f⎛π+ x ⎫ = sin ⎛π+ x ⎫ +1= cos x + 1⎛π ⎫ ⎛π ⎫2 ⎪ 2⎪ ⎛π⎫cos x ，则 f - x = f+ x ，⎝ ⎭ ⎝⎭ sin + x2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = π对称，命题③正确；对于命题④，当 -π< x < 0 时， sin x < 0 ，则2f ( x ) = sin x +1sin x< 0 < 2 ，命题④错误，故答案为：②③． 2.(2023 新课标Ⅰ)设有下面四个命题p 1 ：假设复数 z 满足 z∈ R ，则 z ∈ R ；p ：假设复数 z 满足 z 2∈ R ，则 z ∈ R ； p 3 ：假设复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ； p 4 ：假设复数 z ∈ R ，则 z ∈ R ．其中的真命题为 A. p 1 ， p 3B. p 1 ， p 4C. p 2 ， p 3D. p 2 ， p 4（答案）B （解析）设 z = a + b i ( a , b ∈ R )，则 1= z 1 = (a + b i) a - b i a 2 + b 2∈ R ，得b = 0 ，所以 z ∈ R ， p 1 正222⎭确；z 2 = (a + b i)2 = a 2 - b 2+ 2ab i ∈ R ，则 ab = 0 ，即 a = 0 或b = 0 ，不能确定 z ∈ R ，p 不正确；假设 z ∈ R ，则b = 0 ，此时 z = a - b i = a ∈ R ， p 4 正确．选 B ．3.(2011 新课标)已知a ， b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题p :| a + b |> 1 ⇔ θ∈0, 2π 13 p : | a + b |> 1 ⇔ θ∈ (2π,π] 23p 3 :| a - b |> 1 ⇔ θ∈ π0, )3p 4 : | a - b |> 1 ⇔ θ∈ π( ,π3其中真命题是 A. p 1, p 4B. p 1, p 3C. p 2 , p 3D. p 2 , p 4（答案）A （解析）由 a + b 1 得，cos θ> - 1， 2⇒θ∈ ⎡0, 2π⎫。