一次函数图像
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一次函数的图像与性质函数图象性质经过象限变化规律y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)k>0b>0b=0b<0 k<0b>0b=0b<0☆一次函数y=kx+b(k≠0)中k、b的意义:k(称为斜率)表示直线y=kx+b(k≠0)的倾斜程度;b(称为截距)表示直线y=kx+b(k≠0)与y轴交点的,也表示直线在y 轴上的。
☆同一平面内,不重合的两直线 y=k1x+b1(k1≠0)与 y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系:当时,两直线平行。
当时,两直线垂直。
当时,两直线相交。
当时,两直线交于y轴上同一点。
☆特殊直线方程:X轴 : 直线 Y轴 : 直线与X轴平行的直线与Y轴平行的直线一、三象限角平分线二、四象限角平分线1、对于函数y=5x+6,y的值随x值的减小而___________。
2、对于函数1223y x =-, y 的值随x 值的________而增大。
3、一次函数 y=(6-3m)x +(2n -4)不经过第三象限,则m 、n 的范围是__________。
4、直线y=(6-3m)x +(2n -4)不经过第三象限,则m 、n 的范围是_________。
5、已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限,那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。
6、无论m 为何值,直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
7、已知一次函数(1)当m 取何值时,y 随x 的增大而减小? (2)当m 取何值时,函数的图象过原点?练习:理解解析式和图象的关系,掌握一次函数图象的有关性质. 一、选择题1.函数y =kx 的图象经过点P (3,-1),则k 的值为( )A.3B.-3C.31D.-31 2.下列函数中,图象经过原点的为( ) A.y =5x +1 B.y =-5x -1 C.y =-5xD.y =51-x 3.若一次函数y =kx +b 中,y 随x 的增大而减小,则( ) A.k <0,b <0 B.k <0,b >0 C.k <0,b ≠0 D.k <0,b 为任意数4.当x =5时一次函数y =2x +k 和y =3kx -4的值相同,那么k 和y 的值分别为( ) A.1,11 B.-1,9 C.5,11 D.3,35.若直线y =kx +b 经过A (1,0),B (0,1),则( ) A.k =-1,b =-1 B.k =1,b =1 C.k =1,b =-1 D.k =-1,b =1 二、填空题6.把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的______和______,在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的______.7.作函数图象的一般步骤为______,______,______;一次函数的图象是一条______. 8.直线y =3-9x 与x 轴的交点坐标为______,与y 轴的交点坐标为______.9.一次函数y =5kx -5k -3,当k =______时,图象过原点;当k ______时,y 随x 的增大而增大.10.在一次函数y =2x -5中,当x 由3增大到4时,y 的值由______;当x 由-3增大到-2时,y 的值______.。
一次函数图像和性质小结一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,且k≠0•)的函数,•叫做一次函数(•linear function).一次函数的定义域是一切实数.当b=0时,y=kx+b即y=kx(k是常数,且k≠0•).所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.当k=0时,y等于一个常数,这个常数用c来表示,一般地,我们把函数y=c(c是常数)叫做常值函数(constant function)它的定义域由所讨论的问题确定.一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距,简称直线的截距.一般地,直线y=kx+b(k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k0)的截距是b.一次函数的图像:k>0 b>0 函数经过一、三、二象限k>0 b<0 函数经过一、二、三象限k<0 b>0 函数经过一、二、四象限k<0 b<0 函数经过二、三、四象限上面性质反之也成立1.b的作用在坐标平面上画直线y=kx+b (k≠0),截距b相同的直线经过同一点(0,b).2.k的作用k值不同,则直线相对于x轴正方向的倾斜程度不同.(1)k>0时,K值越大,倾斜角越大(2)k<0时,K值越大,倾斜角越大说明(1)倾斜角是指直线与x轴正方向的夹角;(2)常数k称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义,将在高中数学中讨论.3.直线平移一般地,一次函数y=kx+b(b0)的图像可由正比例函数y=kx的图像平移得到.当b>0时,向上平移b个单位;当b<0时,向下平移|b|个单位.4.直线平行如果k1=k2 ,b1b2,那么直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行.如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行,那么k1=k2 ,b1b2 .1.一次函数与一元一次方程的关系一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解;反之,一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想.2.一次函数与一元一次不等式的关系由一次函数y=kx+b的函数值y大于0(或小于0),就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0).在一次函数y=kx+b的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解.。
5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,k ≠0)的函数,叫做一次函数.y kx = (k 为常数,且k ≠0)的函数,叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点:当b =0时,y kx b =+即y kx =,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的,要注意其中对常数k ,b 的要求,一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+(k 、b 为常数,且k ≠0)的图象是一条直线:当b >0时,直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的; 当b <0时,直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+(k 、b 为常数,且k ≠0)的图象与性质: 正比例函数的图象是经过原点(0,0)和点(1,k )的一条直线; 一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下:3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响:k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势,b 决定它与y 轴交点的位置,k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限.4. 两条直线1l :11y k x b =+和2l :22y k x b =+的位置关系可由其系数确定: (1)12k k ≠⇔1l 与2l 相交; (2)12k k =,且12b b ≠⇔1l 与2l 平行; 三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+(k ,b 是常数,k ≠0)中有两个待定系数k ,b ,需要两个独立条件确定两个关于k ,b 的方程,这两个条件通常为两个点或两对x ,y 的值.要点:先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知数的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数,所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k 和b 为未知数),解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示,而需要分情况(自变量的不同取值范围)用不同的解析式表示,因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围,分段考虑问题.要点:对于分段函数的问题,特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1.已知正比例函数34y x =-,则下列各点在该函数图象上的是( )A .()4,3-B .()4,3--C .()2,1-D .()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入,即可判断.【解答】A .当4x =时,=3y -,故点()4,3-在函数图象上,A 项符合题意; B .当4x =-时,33y =≠-,故点()4,3--不在函数图象上,B 项不符合题意; C .当2x =-时, 1.51y =≠,故点()2,1-不在函数图象上,C 项不符合题意; D .当3x =-时, 2.254y =≠,故点()3,4-不在函数图象上,D 项不符合题意; 故选:A .【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征,掌握正比例函数的定义是解题的关键. 2.已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-,且平行于直线2y x =-,则b 的值为( ) A .2- B .1C .3-D .4【答案】C【提示】根据两直线平行,一次项系数相等求出k 的值,再利用待定系数法求解即可. 【解答】解:∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行, ∴一次函数解析式为2y x b =-+,∵一次函数2y x b =-+经过点()21-,, ∴()122b =-⨯-+, ∴3b =-, 故选:C .【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移,求一次函数解析式,正确求出2k =-是解题的关键. 3.关于函数21y x =--,下列结论正确的是( ) A .图象必经过点()2,1- B .y 随x 的增大而增大C .当12x >时,0y < D .图象经过第一、二、三象限 【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项.【解答】解:由函数21y x =--可知:20k =-<,10b =-<,则y 随x 的增大而减小,且该函数图象经过第二、三、四象限,故B 、D 选项错误;当2x =-时,则()2213y =-⨯--=,所以函数图象经过点()2,3-,故A 选项错误; 当12x >-时,0y <,所以当12x >时,0y <说法正确;故选:C .【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质,熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.4.已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ,2)B y ,3(5,)C y ,则123,,y y y 的大小关系是( ) A .123y y y << B .132y y y <<C .321y y y <<D .231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可. 【解答】解:∵3m <, ∴(3)0k m =-<, ∴y 随x 的增大而减小,又∵点1)A y ,2)B y ,3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上,∵()()22277,525,2728===,∴7527<<, ∴231y y y <<, 故选:D .【点睛】本题考查了一次函数的性质,无理数的估算,熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键. 5.三个正比例函数的表达式分别为①y ax =;②y bx =③y cx =,其在平面直角坐标系中的图像如图所示,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a b c >>B .c b >>aC .b a c >>D .b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >,0b >,0c <,再根据直线越陡,k 越大得出答案. 【解答】解:∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限,y cx =的图象经过二、四象限, ∴0a >,0b >,0c <, ∵直线y bx =比直线y ax =陡, ∴b a >, ∴b a c >>, 故选:C .【点睛】本题考查了正比例函数的图象,当0k >时,函数图象经过一、三象限;当0k <时,函数图象经过二、四象限;直线越陡,k 越大.6.将直线21y x =+向下平移2个单位长度后,得到直线y kx b =+,则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是( ) A .与x 轴交于点20(,) B .与y 轴交于点()0,1-C .y 随x 的增大而减小D .与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则,向下平移2个单位,则给函数解析式右端减2,即可得到平移后的直线方程;接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积,交点坐标以及y 随x 的变化关系,即可得解.【解答】解:将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-,A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭,故本选项不合题意;B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-,故本选项,符合题意;C 、直线21y x =-,y 随x 的增大而增大,故本选项不合题意;D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=,故本选项不合题意;故选:B .【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质,熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键. 7.如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =(m 、n 是常数,mn≠0)图象的是( )A .B .C .D .【答案】C【提示】根据“两数相乘,同号得正,异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号,然后根据m 、n 同正时,同负时,一正一负或一负一正时,利用一次函数的性质进行判断.【解答】解:①当0mn >,y mnx =过一,三象限,m ,n 同号,同正时y mx n =+过一,二,三象限,同负时过二,三,四象限;②当0mn <时,y mnx =过二,四象限,m ,n 异号,则y mx n =+过一,三,四象限或一,二,四象限.观察图象,只有选项C 符合题意, 故选:C .【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质,要掌握它的性质才能灵活解题. 一次函数y kx b =+的图象有四种情况:①当00k b >>,,函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限; ②当00k b ><,,函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限; ③当00k b <>,时,函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限; ④当00k b <<,时,函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限.8.已知一次函数y kx b =+(0k ≠),如表是x 与y 的一些对应数值,则下列结论中正确的是( )A .y 随x 的增大而增大B .函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C .函数的图象不经过第三象限D .若()11,A x y ,()22,B x y 两点在该函数图象上,且12x x <,则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式,解方程组,即可求得一次函数的解析式,再根据一次函数的性质即可解答.【解答】解:把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式,得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+,故该函数图象经过一、二、四象限,不经过第三象限,故C 正确;20k <,∴y 随x 的增大而减小,故A 错误;若()11,A x y ,()22,B x y 两点在该函数图象上,且12x x <,则12y y >,故D 错误; 将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象,故B 错误;故选:C .【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质,熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键. 9.如图,直线l :12y x m =+交x 轴于点A ,交y 轴于点()01B ,,点()2P n ,在直线l 上,已知M 是x 轴上的动点.当以A ,P ,M 为顶点的三角形是直角三角形时,点M 的坐标为( )A .()2,0-或()3.0B .()2,0或()3.0C .()1,0或()4.0D .()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意,可以求得点A 点B 和点P 的坐标,设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标. 【解答】解:∵直线l :12y x m =+交x 轴于点A ,交y 轴于点()01B ,∴当0y =,102x m +=,1012m ⨯+=, 解得1m =,2x =-,∴点A 坐标为(20)-,, ∵点()2P n ,在直线l 上 ∴当2y =,1212n =+, 解得2n =,即()22P ,设M 点坐标为()0a ,当AM PM ⊥ 时,此时点P 与点M 横坐标相同,即2a n == , ∴(20)M ,; ②当AP PM ⊥时,此时()222AM a =+ ,()2224PM a =-+ ,222[(2(2)]220AP =--+= ,根据勾股定理得()()2224202a a -++=+,解得,3a =,∴(30)M ,;综上所述∴(20)M ,或(30)M ,; 故选B .【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征,动点中的直角三角形,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.10.已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ,M 是OB 上的一点,若将ABM 沿AM折叠,点B 恰好落在x 轴上的点B '处,则直线AM 的函数解析式是( )A .142y x =-+ B .243y x =-+ C .132y x =-+ D .133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标,从而得出,OA OB 的长度,运用勾股定理求出AB 的长度,然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==,OM x =,则8B M BM BO MO x '==-=-,1064B O AB AO ''=-=-=,运用勾股定理列方程得出OM 的长度,即点M 的坐标已知,运用待定系数法求一次函数解析式即可.【解答】解:当0x =时,4883y x =-+=,即(0,8)B ,当0y =时,6x =,即(6,0)A ,所以226810AB AB '=+=,即(4,0)B '-,设OM x =,则8B M BM BO MO x '==-=-,1064B O AB AO ''=-=-=, ∴在Rt B OM '中,B O OM B M ''+=, 即2224(8)x x +=-, 解得:3x =, ∴(0,3)M , 又(6,0)A ,设直线AM 的解析式为y kx b =+,则063k b b =+⎧⎨=⎩,解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AM 的解析式为132y x =-+.故选:C .【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题,折叠的性质,勾股定理,待定系数法求一次函数解析式,根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键.二、填空题11.正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限,则a 的取值范围是______. 【答案】23a >##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限,得k>0,即320a ->,计算即可得解. 【解答】解:由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限, 可得:320a ->,则23a >.故答案为:23a >.【点睛】本题考查了正比例函数的性质,对于正比例函数y=kx (k≠0),当k>0时,图象经过一、三象限,y 随x 的增大而增大;当k<0时,图象经过二、四象限,y 随x 的增大而减小. 12.已知直线1L :26y x =-,则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______. 【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可. 【解答】解:∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数, ∴直线1L :y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称, 则直线2L 的解析式为-y=2x-6,即y=-2x+6. 故答案为:y=-2x+6.【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键.13.如图,正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A (),当2x <时,1y ___________2y (填“>”或“<”)【答案】<【提示】根据两函数图象及交点坐标,即可解答.【解答】解:正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A (),∴由图象可知:当2x <时,12y y <, 故答案为:<.【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小,采用数形结合的思想是解决此类题的关键. 14.已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点,当3m >时,t 的取值范围是______. 【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后,由单调性判断即可.【解答】将点A 与点B 代入y kx = ,得:141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩() , 两式相减,得:3k =- , 3y x ∴=-,∴ y 随x 的增大而减小,当3m = 时,339t =-⨯=-, ∴ 当m >3时,t <-9,故答案为:t <-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质,将未知点代入求出解析式为关键,属于中等题.15.在平面直角坐标中,点()3,2A --、()1,2B --,直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点,则k 的取值范围为______. 【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y =kx (k≠0)与线段AB 有交点,所以当直线y =kx (k≠0)过()1,2B --时,k 值最大;当直线y =kx (k≠0)过A (﹣3,﹣2)时,k 值最小,然后把B 点和A 点坐标代入y =kx (k≠0)可计算出对应的k 的值,从而得到k 的取值范围. 【解答】解:∵直线y =kx (k≠0)与线段AB 有交点,∴当直线y =kx (k≠0)过B (﹣1,﹣2)时,k 值最大,则有﹣k =﹣2,解得k =2; 当直线y =kx (k≠0)过A (﹣3,﹣2)时,k 值最小,则﹣3k =﹣2,解得k =23, ∴k 的取值范围为232k ≤≤.故答案为:232k ≤≤. 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是熟悉一次函数图象的性质.16.直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ,C 两点,两直线相交于x 轴上同一点A . (1):m n =________(2)若8ABC S =△,点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点,则横坐标相同,即可;设A 的坐标为:()0a ,,根据8ABC S =△,则12ABCSBC a =⨯⨯,解出a ,即可. 【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-,012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭,直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =;设A 的坐标为:()0a , ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ,C 两点 ∴点()0,8B -,()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-. 故答案为:2:3;()4,0或()4,0-.【点睛】本题考查一次函数的知识,解题的关键是掌握一次函数图象与性质.17.已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3,0),与y 轴交于点B ,O 为坐标原点. 若△AOB 的面积为6,则该一次函数的解析式为_____________ .【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况:当点B 在y 轴正半轴时,当点B 在y 轴负半轴时,然后利用待定系数法进行计算即可解答.【解答】解:点(3,0)A ,3OA ∴=,AOB ∆的面积为6,∴162OA OB ⋅=, ∴1362OB ⨯⋅=,4OB ∴=,(0,4)B ∴或(0,4)-,将(3,0)A ,(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得: 304k b b +=⎧⎨=⎩,解得:434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴一次函数的解析式为:443y x =-+,将(3,0)A ,(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得:304k b b +=⎧⎨=-⎩,解得:434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴一次函数的解析式为:443y x =-,综上所述:一次函数的解析式为:443y x =-+或443y x =-,故答案为:443y x =-+或443y x =-.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征,分两种情况讨论是解题的关键.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线4y x =-+与坐标轴交于A ,B 两点,OC AB ⊥于点C ,P 是线段OC 上的一个动点,连接AP ,将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒,得到线段'AP ,连接'CP ,则线段'CP 的最小值为______.【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ,当线段'CP 与MN 垂直时,线段'CP 的值最小.【解答】解:由已知可得()()0,44,0A B , ∴三角形OAB 是等腰直角三角形,OC AB ⊥,()2,2C ∴,又P 是线段OC 上动点,将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒, P 在线段OC 上运动,所以P'的运动轨迹也是线段,当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点,'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ,∴当线段'CP 与MN 垂直时,线段'CP 的值最小,在AOB 中,4AO AN ==,42AB =424NB ∴=,又Rt HBN 是等腰直角三角形,422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=.故答案为2.【点睛】此题考查了直角三角形的性质,一次函数图象上点的坐标特点,动点运动轨迹的判断,垂线段最短,熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键.三、解答题19.已知一次函数()2312y k x k =--+.(1)当k 为何值时,图像与直线29y x =+的交点在y 轴上? (2)当k 为何值时,图像平行于直线2y x =-? (3)当k 为何值时,y 随x 的增大而减小? 【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】(1)先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标,把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值;(2)根据两直线平行时其自变量的系数相等,列出方程,求出k 的值即可; (3)根据比例系数0<时,数列出不等式,求出k 的取值范围即可. 【解答】(1)解:当0x =时,9y =,∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09,, ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上, ∴()203129k k -⨯-+=, 解得:1k =;(2)解:∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-,即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合,∴22k -=-且3120k -+≠,20k -≠, 解得:0k =.(3)解:∵y 随x 的增大而减小,解得:2k <.【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质,图形平移等知识点.熟练掌握一次函数的性质是题的关键.20.如图,直线OA 经过点()4,2A --.(1)求直线OA 的函数的表达式;(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上,直接写出12n n 、的大小关系; (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ,求m 的值. 【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】(1)设函数解析式为y kx =,将()4,2A --代入函数解析式中,可求出k 的值; (2)根据函数的增减性分析即可;(3)先求出平移后的函数解解析式,由此可求出m 的值. (1)解:设函数解析式为y kx =,将()4,2A --代入函数解析式中得:24k -=-,12k =, 故函数解析式为:12y x =; (2)解:∵0k >,∴y 随x 的增大而增大, ∵()12,P n ,()25,Q n 中,2<5,(3)解:设平移后函数解析式为:12y x b =+, 将()2,4M 代入函数解析式中得:1422b =⨯+,解得:3b =, 故函数的解析式为:132y x =+, 故m=3.【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式,求函数的增减性,函数图象的平移. 21.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 经过点O 和点A ,将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒,再向上平移2个单位长度得到直线2l .求直线1l 与2l 的解析式.【答案】直线1l 的解析式是2y x =;直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标,利用待定系数法求直线1l 的解析式;同理求出旋转90︒后的直线解析式,再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式.【解答】解:由图象可知:点A 的坐标是(2,4),点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-, 设直线1l 的解析式是1y k x =, 则可得:124k =, 解得:12k =,故直线1l 的解析式是2y x =.设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =, 把点(4,2)A '-代入2y k x =,得242k -=,解得212k =-,即12y x =-.故可得直线2l 的解析式是122y x =-+. 【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移,解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式,并掌握函数图象平移的规律. 22.如图,直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B .直线2y kx b =+经过()30D ,,与直线13342y x =+交于点()3C m ,.(1)求直线CD 的解析式;(2)判断ACD 的形状,并说明理由. 【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形,理由见解析【提示】(1)先求出点C 的坐标,然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可; (2)先求出点A 的坐标,进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案.【解答】(1)解:∵直线2y kx b =+经过()30D ,,与直线13342y x =+交于点()3C m ,, ∴33342m =+,∴2m =,∴点C 的坐标为()23,, ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩,∴39k b =-⎧⎨=⎩,∴直线CD 的解析式为39y x =-+; (2)解:ACD 是等腰三角形,理由如下: 对于13342y x =+,当0y =时,2x =-,∴点A 的坐标为()20-,, ∴()()22522035AD AC ==--+-=,,()()22233010CD =-+-=,∴AD AC =,∴ACD 是等腰三角形.【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式,勾股定理,等腰三角形的判定,熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.23.如图,在平面直角坐标系中,一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ,B 两点,OM AB ⊥,垂足为点M .(1)求点A ,B 的坐标; (2)求OM 的长;(3)存在直线AB 上的点N ,使得12OAN OAB S S ∆∆=,请求出所有符合条件的点N 的坐标. 【答案】(1)A (160),,B (0)12,; (2)9.6OM =; (3)N (86),或(246)-,.【提示】(1)利用坐标轴上点的特点直接得出点A ,B 坐标; (2)利用三角形的面积的计算即可求出OM ;(3)设出点N 的坐标,利用三角形的面积列方程求解即可. 【解答】(1)解:令0x =, ∴12y =, ∴B (0)12,, 令0y =, ∴31204x -+=,∴16x =, ∴A (160),;(2)解:由(1)知,A (160),,B (0)12,, ∴1612OA OB ==,,∴196202OAB S OA OB AB =⨯===,△,∵OM AB ⊥, ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△, ∴9.6OM =;(3)解:由(2)知,96OAB S =△,16OA =, ∵直线AB 上的点N , ∴设N 3(12)4m m -+,, ∵12OAN OAB S S =△△, ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△,∴38|12|484m ⨯-+=,∴8m =或24m =, ∴N (86),或(246)-,. 【点睛】此题是一次函数综合题,主要考查了坐标轴上点的特点,三角形的面积公式,绝对值方程的求解,列出方程是解本题的关键,是一道比较简单的基础题目.24.当m ,n 为实数,且满足1m n +=时,就称点(),m n 为“和谐点”,已知点()0,7A 在直线l :y x b =+,点B ,C 是“和谐点”,且B 在直线l 上. (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”; (2)求点B 的坐标;(3)若AC =C 的横坐标. 【答案】(1)7b =,点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -,(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】(1)将点()0,7A 代入直线l :y x b =+,可得b 的值,根据“和谐点”的定义即可判断; (2)点B 是“和谐点”,所以设出点B 的横坐标,表示出纵坐标,因为点B 在直线l :7y x =+上,把点B 代入解析式中求得横坐标,进而求得点B 的坐标;(3)点C 是“和谐点”,所以设出点C 的横坐标为c ,表示出纵坐标1c -,根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标.【解答】(1)解:∵点A 在直线y x b =+上, ∴把()0,7A 代入y x b =+, ∴7b =,∵点()2,1F -,()211+-=, ∴点()2,1F -是“和谐点”; (2)解:∵点B 是“和谐点”,∴设点B 的横坐标为p ,则纵坐标为1p -,点B 的坐标为(),1p p -, ∵点B 在直线l :7y x =+上,∴把点(),1B p p -代入y=x+7得,3p =-, ∴14p -=,∴()34B -,; (3)解:设点C 的横坐标为c , ∵点C 是“和谐点”, ∴纵坐标1c -,当52AC =时,()221752AC c c =+--=, 解得7c =-或1,∴点C 的横坐标为1或7-.【点睛】本题考查待定系数法求解析式,一次函数图象上点的坐标特征,根据定义判断一个点是不是“和谐点”,勾股定理等知识,理解新定义是解题的关键.25.对于函数y x b =+,小明探究了它的图象及部分性质.下面是他的探究过程,请补充完整:(1)自变量x 的取值范围是 ;(2)令b 分别取0,1和2-,所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表,则表中m 的值是 ,n 的值是 .(3)根据表中数据,补全函数y x =,1y x =+,2y x =-的图象;(4)结合函数y x =,1y x =+,2y x =-的图象,写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况;(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上,当12>0x x 时,若总有12<y y ,结合函数图象,直接写出1x 和2x 大小关系.【答案】(1)任意实数(2)3,1-(3)见解析(4)当0x>时,函数y 随x 的增大而增大,当<0x 时,函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】(1)根据解析式即可确定自变量取值范围;(2)把2x =-代入1y x =+,求得3m =,把=1x -代入2y x =-,求得1n =-;(3)根据表格数据补全函数y x =,1y x =+,2y x =-的图像即可;(4)观察图像即可求得;(5)根据图像即可得到结论.【解答】(1)解:函数y x b =+中,自变量x 可以是全体实数,故答案为:全体实数;(2)解:把2x =-代入1y x =+,得3y =,把=1x -代入2y x =-,得1y =-,∴3,1m n ==-,故答案为:3,1-;(3)解:补全函数y x =,1y x =+,2y x =-的图像如下:(4)解:由图知,当0x >时,函数y 随x 的增大而增大,当0x <时,函数y 随x 的增大而减小; 故答案为:当0x >时,函数y 随x 的增大而增大,当0x <时,函数y 随x 的增大而减小; (5)解:∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上,当120x x >时,∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧,观察图像,当120x x >时,若总有12y y <,即210x x <<或120x x <<.【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析,画出函数图像,并研究和总结函数的性质;数形结合是解题的关键.。