一次函数的图像
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一次函数图象与性质
一次函数可以用于找到最佳拟 合线，以更好地描述数据的趋 势。
线性回归
一次函数可以用于进行线性回 归分析，以预测未来的数据趋 势。
结论和要点
• 一次函数是数学中最基本的函数之一，具有稳定的线性关系。 • 斜率和截距是一次函数图象的重要特征。 • 平移和缩放操作可以改变一次函数图象的位置和形状。 • 一次函数在实际问题中有广泛的应用，可以帮助解决各种实际情况。
一次函数图象的平移和缩放
通过平移和缩放操作，可以改变一次函数的图象及其性质。
1
平移
平移操作可以改变一次函数图象的位置，例如向左或向右平移。
2
缩放
缩放操作可以改变一Байду номын сангаас函数图象的形状和大小，例如拉伸或收缩。
3
组合操作
平移和缩放操作可以组合使用，以实现更灵活的一次函数图象变换。
一次函数图象的应用
一次函数的图象和性质在实际问题中有许多应用，例如经济学、物理学和工程学等领域。
一次函数图象与性质
一次函数是数学中最基本的函数之一，它具有许多重要的性质和应用。本次 演示将介绍一次函数的定义、图象特点以及与实际问题的关系。
一次函数的定义和表达式
一次函数是指一个自变量的整数次数都是1的函数。通常以y = ax + b的形式表示，其中a和b是常 数。
1 自变量
一次函数的自变量通常表示为x，它可以是任意实数。
经济学
一次函数可以描述供需关 系、市场价格等经济现象。
物理学
一次函数可以描述速度、 位移等物理量与时间的关 系。
工程学
一次函数可以描述电路、 力学系统等工程问题。
一次函数与实际问题的关系
一次函数是解决实际问题的重要工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际情况。
《一次函数的图象和性质》PPT课件
与y 轴交点的坐标为（_0_，___-_3_）_；图象经过 一_、___三__、四象限， y 随x 的增大而_增___大____．
（2）指出以下四个一次函数的共同之处.
①y=1 2 Nhomakorabeax+1；
②y =x+1；
③y =2x+1； ④y =-x+1．
tips：由组长指定除自己外的三名成员回答，每小
下列函数中：题2分
时间是一个常数,但对勤 奋者来说,是一个“变数”.
你在学业上的收获与你 平时的付出是成正比的
说出下列函数的增减性及经过的象限
(1) y =-3X+7 (2) y = πx
(3) y =3-X
(5) y = x 8
(4) y =5x+6 (6)y = -0.5x-1
tips：由老师指定该组某个组员回答，答错可由组员补 答，但得分减半，第一题6分，第二题3分。
（1）直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为（_1_._5_，__0_）_；
不同点.（4分钟）
③y=x-2 的图象。
相同点：函数的图象形状都是 直线 ，并
且倾斜程度_相__同___
y 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
不同点:
y=x+2 y=yx=x-2函点与数，y轴y函=交数x于的y=点图x_（+象_20_经的，__过图2_），原象
即它可以看作由直线
y=x向_上___平移 2 个
1 2 3 x 单位长度而得到．
函数y=x-2的图象与y轴 交于点(0,-2)，即它可以看
作由直线y=x向下 平移_2_
个单位长度而得到．
一次函数y=3x-4的图象是 什么形状？它与直线y=3x有什 么关系？
（2）指出以下四个一次函数的共同之处.
①y=1 2 Nhomakorabeax+1；
②y =x+1；
③y =2x+1； ④y =-x+1．
tips：由组长指定除自己外的三名成员回答，每小
下列函数中：题2分
时间是一个常数,但对勤 奋者来说,是一个“变数”.
你在学业上的收获与你 平时的付出是成正比的
说出下列函数的增减性及经过的象限
(1) y =-3X+7 (2) y = πx
(3) y =3-X
(5) y = x 8
(4) y =5x+6 (6)y = -0.5x-1
tips：由老师指定该组某个组员回答，答错可由组员补 答，但得分减半，第一题6分，第二题3分。
（1）直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为（_1_._5_，__0_）_；
不同点.（4分钟）
③y=x-2 的图象。
相同点：函数的图象形状都是 直线 ，并
且倾斜程度_相__同___
y 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
不同点:
y=x+2 y=yx=x-2函点与数，y轴y函=交数x于的y=点图x_（+象_20_经的，__过图2_），原象
即它可以看作由直线
y=x向_上___平移 2 个
1 2 3 x 单位长度而得到．
函数y=x-2的图象与y轴 交于点(0,-2)，即它可以看
作由直线y=x向下 平移_2_
个单位长度而得到．
一次函数y=3x-4的图象是 什么形状？它与直线y=3x有什 么关系？
一次函数图像课件(共14张PPT)
（增的大图2）而象当从_减_k左_＜小_到_0，时右这下，__时y_降随_函_x数．的
做一做
画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答 下列问题：
（2）当x取何值时,y=0? 解：(（2)因3）为当yx=取0 何所值以时-,2yx＞+20=?0 ，x=1
（3）因为 y＞0 所以 -2x+2 ＞ 0 ，x < 1
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升；
y x 2
y x 2
（增的大图2）而象当从_减_k左_小＜_到_0，时右下这，__时y降_随_函_x数．的
y减少
x增大
概括
一次函数y＝kx＋b有下列性质： （1） 当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函 数的图象从左到右上升；
一次函数的性质(1)
说一说：
1、一次函数的一般式。 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
2、一次函数的图象是什么？
一条直线。
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。 2.能根据k与b的值说出函数的有关性质。
y 2 x 1 3
x 0 3 2
y10
y 3x 2 y 2 x 1 3
y增大 x增大
解：方法一 把两点的坐标代入函数关系式
当 x=2 时, m= 4
3
1
当 x= -3 时, n= 2
所以 m > n。
方法二因为
1
K= 6
>0，所以函数y随x增大而增大。
从而直接得到 m > n。
小结
经过本节课的学习，你有哪些收获？
（2） 当k＜0时，Байду номын сангаас随x的增大而减___小__，这时函 数的图象从左到右下__降___．
一次函数图像和性质小结
一次函数图像和性质小结一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linear function）．一次函数的定义域是一切实数.当b=0时，y=kx+b即y=kx（k是常数，且k≠0•）．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.当k=0时，y等于一个常数，这个常数用c来表示，一般地，我们把函数y=c（c是常数）叫做常值函数（constant function）它的定义域由所讨论的问题确定．一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.一般地，直线y=kx+b(k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k0)的截距是b.一次函数的图像：k>0 b>0 函数经过一、三、二象限k>0 b<0 函数经过一、二、三象限k<0 b>0 函数经过一、二、四象限k<0 b<0 函数经过二、三、四象限上面性质反之也成立1．b的作用在坐标平面上画直线y=kx+b (k≠0)，截距b相同的直线经过同一点(0,b). 2．k的作用k值不同，则直线相对于x轴正方向的倾斜程度不同.(1)k>0时，K值越大，倾斜角越大(2)k<0时，K值越大，倾斜角越大说明（1）倾斜角是指直线与x轴正方向的夹角；（2）常数k称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论.3．直线平移一般地，一次函数y=kx+b(b0)的图像可由正比例函数y=kx的图像平移得到.当b>0时，向上平移b个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位.4．直线平行如果k1=k2 ,b1b2，那么直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行.如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，那么k1=k2 ,b1b2 .1．一次函数与一元一次方程的关系一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解；反之，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想.2．一次函数与一元一次不等式的关系由一次函数y=kx+b的函数值y大于0（或小于0），就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）.在一次函数y=kx+b的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解.。
一次函数的图像和性质
图象关系 图象平移得到，b>0，向上平移 b 个单位；b<0，向
下平移b个单位
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直 线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可
第14讲┃ 考点聚焦
(2)正比例函数与一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限
k>0
_一__、__三__象__限_
一次函数图象的
解即两函数图象的交点坐标
交点坐标
一条直线与坐标 轴围成的三角形
的面积
直线y＝kx＋b与x轴交点坐标为－bk，0，与y轴交
点为(0，b)，三角形面积为S△＝12－kb
×
|b|
第14讲┃ 考点聚焦 考点5 由待定系数法求一次函数的表达式
因在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知系数k和b，所 以要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点
图 11－1
B．m<1
C．m<0
D．m>0
[解析] 根据函数的图象可知m－1＜0，求出m的取 值范围为m＜1.故选B.
第14讲┃ 归类示例
► 类型之二 一次函数的图象的平移 命题角度： 1．一次函数的图象的平移规律； 2．求一次函数的图象平移后对应的关系式． [2012·衡阳] 如图11－2，一次函数y＝kx＋b的图
y随x增 大而增大
_一__、__二__、__四__象__限__ _二__、__三__、__四__象__限__
y随x增 大而减小
第14相交
__k_1_≠__k_2_⇔l1 和 l2 相交
＋b1 和 l2：y＝k2x 平行 ＋b2 的位置关系
y＝kx (k≠0)
k<0
一次函数课件ppt
奇偶性
一次函数既不是奇函数也不是偶函数 ，因为它们的图像不关于原点或 y 轴 对称。
02 一次函数的表达式与系数
一次函数的表达式
01
一次函数的一般表达式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常 数，且 $a neq 0$。
02
当 $a > 0$ 时，函数为增函数； 当 $a < 0$ 时，函数为减函数。
已知函数与$x$轴和$y$轴的截距，使用截 距式$y = frac{x}{a} + frac{b}{a}$求函数解 析式。
一次函数的解题技巧
数形结合
利用函数图像直观理解 函数性质，如增减性、
最值等。
整体代入
在求解过程中，将表达 式整体代入，简化计算
。
分类讨论
根据不同情况分类讨论 ，得出不同情况下的函
斜率与图像
斜率决定了图像的倾斜程 度，当 a > 0 时，图像向 右倾斜；当 a < 0 时，图 像向左倾斜。
一次函数的性质
单调性
无界性
一次函数的单调性由斜率决定，当 a > 0 时，函数单调递增；当 a < 0 时 ，函数单调递减。
一次函数的值域是全体实数，即对于 任意实数 x，y = ax + b 总有一个对 应的值。
一次函数的系数
一次函数的斜率为 $a$，表示函数图 像的倾斜程度。
当 $a > 0$ 时，函数图像从左下到右 上倾斜；当 $a < 0$ 时，函数图像从 左上到右下倾斜。
一次函数的应用
一次函数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
在实际生活中，一次函数可以用来描述一些简单的问题，如速度与时间的关系、 价格与数量的关系等。
一次函数图象课件
物理问题
利用一次函数图象描述物 理现象，如速度与时间的 关系、力与位移的关系等 。
经济问题
通过一次函数图象分析成 本、收益、利润等经济指 标的变化趋势。
一次函数图象在数学建模中的应用
建立数学模型
利用一次函数图象描述实 际问题的变化趋势，建立 数学模型进行预测和决策 。
参数估计
通过一次函数图象的拟合 ，估计模型参数，提高预 测精度。
一次函数图象ppt课 件
目录
• 一次函数图象的基本概念 • 一次函数图象的性质 • 一次函数图象的应用 • 一次函数图象的变换 • 一次函数图象的解题技巧
01
一次函数图象的基本概念
一次函数图象的定义
01 一次函数图象
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。
02 斜率
一次函数图象的斜率为k，反映了函数值y随自变 量x的变化率。
THANKS
感谢观看
利用待定系数法解题
总结立关于待定系数的方程或方程组，通过解方程或方 程组得到待定系数的值，从而确定一次函数的解析式。这种方法能够避免对函数 性质和图像的复杂分析，提高解题效率。
利用方程组法解题
总结词：逻辑严谨
详细描述：根据题目条件建立关于未知数的方程组，通过解方程组得出未知数的值，进一步确定一次函数的解析式。这种方 法需要严谨的逻辑思维和计算能力，能够确保解题的准确性和完整性。
一次函数图象的对称性
总结词
关于y轴对称
详细描述
一次函数图象是关于y轴对称的。这是因为一次函 数的表达式为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距 。无论k和b取何值，图象总是关于y轴对称。
03
一次函数图象的应用
利用一次函数图象解决实际问题
一次函数的图象(描点)
一次函数的表示方法
01
02
03
点斜式
通过已知的点$(x_1, y_1)$和斜率$k$，可以表 示为$y-y_1=k(x-x_1)$。
两点式
通过已知的两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，可 以表示为$frac{y-y_1}{xx_1}=frac{y_2-y_1}{x_2x_1}$。
一般式
一次函数的标准形式为 $y=kx+b$，其中$k$和 $b$是常数，且$k neq 0$。
02 一次函数的图象
一次函数图象的形状
线性形状
一次函数的图像是一条直线，这是因为一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k 和b为常数，k不为0。
斜率与截距
一次函数的图像有确定的斜率和截距，斜率是k，截距是b。斜率决定了图像的 倾斜程度，截距决定了图像与y轴的交点位置。
实际问题举例
一次函数图象在经济学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在经济学中， 消费和收入之间的关系可以用一次函数来表示，通过分析这种关系可以了解消费者的消
费习惯和预测未来的消费趋势。
应用价值
一次函数图象能够直观地表示两个变量之间的线性关系，帮助人们更好地理解和分析实 际问题。
对未来研究的展望
一次函数图象可以用来描述物体在恒力作用下的匀速直线运 动，如速度与时间的关系。
弹簧问题
弹簧的伸长量与作用力之间的关系也可以用一次函数来表示 ，通过图象可以直观地分析弹簧的弹力与形变量之间的关系 。
一次函数图象在数学问题中的应用
线性规划
一次函数图象可以用来表示线性规划 问题中的约束条件和目标函数，通过 图象可以直观地分析最优解。
一次函数的图象(描点)
一次函数的图像课件
02
图像是一条直线，其上每一个点 的坐标 $(x, y)$ 都满足该函数的 解析式。
解析式中参数对图像的影响
$k$ 的影响
当 $k > 0$ 时，图像为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下降直线。
$b$ 的影响
当 $b > 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于 正半轴；当 $b < 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于负半轴。
如果将一次函数的x替换 为x+h（h>0），则图 像向左移动h个单位。
如果将一次函数的x替换 为x-h（h>0），则图像
向右移动h个单位。
03 一次函数的应用
一次函数在实际生活中的应用
一次函数在经济学中的应用
一次函数可以用来描述经济活动中的关系，例如成本与产量的关 系、价格与需求的关系等。
一次函数在物理学中的应用
截距
一次函数的截距为b，表示函数图像 与y轴的交点。当b>0时，交点在y轴 的正半轴上；当b<0时，交点在y轴的 负半轴上。
一次函数图像的平移
上平移
下平移
左平移
右平移
如果一次函数的b值增加 （即向上平移），则图 像向上移动相应的距离。
如果一次函数的b值减小 （即向下平移），则图 像向下移动相应的距离。
在物理学中，一次函数可以用来描述线性关系，例如速度与时间的 关系、力与位移的关系等。
一次函数在统计学中的应用
在统计学中，一次函数可以用来拟合数据，例如线性回归分析等。
一次函数在数学题目中的应用
一次函数在代数题中的应用
在代数题目中，一次函数可以用来解决方程和不等式问题，例如求解一元一次方 程、一元一次不等式等。
描点，最后将这些点连接成一条直线。
图像是一条直线，其上每一个点 的坐标 $(x, y)$ 都满足该函数的 解析式。
解析式中参数对图像的影响
$k$ 的影响
当 $k > 0$ 时，图像为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下降直线。
$b$ 的影响
当 $b > 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于 正半轴；当 $b < 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于负半轴。
如果将一次函数的x替换 为x+h（h>0），则图 像向左移动h个单位。
如果将一次函数的x替换 为x-h（h>0），则图像
向右移动h个单位。
03 一次函数的应用
一次函数在实际生活中的应用
一次函数在经济学中的应用
一次函数可以用来描述经济活动中的关系，例如成本与产量的关 系、价格与需求的关系等。
一次函数在物理学中的应用
截距
一次函数的截距为b，表示函数图像 与y轴的交点。当b>0时，交点在y轴 的正半轴上；当b<0时，交点在y轴的 负半轴上。
一次函数图像的平移
上平移
下平移
左平移
右平移
如果一次函数的b值增加 （即向上平移），则图 像向上移动相应的距离。
如果一次函数的b值减小 （即向下平移），则图 像向下移动相应的距离。
在物理学中，一次函数可以用来描述线性关系，例如速度与时间的 关系、力与位移的关系等。
一次函数在统计学中的应用
在统计学中，一次函数可以用来拟合数据，例如线性回归分析等。
一次函数在数学题目中的应用
一次函数在代数题中的应用
在代数题目中，一次函数可以用来解决方程和不等式问题，例如求解一元一次方 程、一元一次不等式等。
描点，最后将这些点连接成一条直线。
一次函数图像及其性质
一次函数图像及其性质一、一次函数图像1、一次函数y=kx+b 的k 、b 的值对一次函数图象的影响：① ② ③ ④①k ﹥0,b ﹥0, y ＝kx +b 的图象在一、二、三象限；②k ﹥0, b ﹤0, y ＝kx +b 的图象在一、三、四象限； ③k ﹤0,b ﹥0, y ＝kx +b 的图象在一、二、四象限；④k ﹤0, b ﹤0, y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限。
2、一次函数的性质⑴正比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过一、三象限，y 随x 的增大而_增大__； 当k<0时，图象过__二、四__象限；y 随x 的增大而_减小___.⑵一次函数y=kx ＋b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得，当k>0时，y 随x 的增大而_增大_； 当k<0时，y 随x 的增大而__减小_k>0时，k 越大，y 增长得越快；k<0时，k 越大，减小得越快；⑴在一次函数y=kx ＋b 中，令y=0，得一元一次方程kx ＋b=0，它的根就是一次函数y=kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标.⑵一元一次不等式kx ＋b>0(或kx ＋b<0)的解集可以看作一次函数y=kx ＋b 当函数值大于或小于0时相应的自变量x 值的取值范围.⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解.题型考点一：一次函数的增减性例1、已知关于x 的一次函数2(3)2y m x m =-++-．(1) m 为何值时，函数的图象和直线y=－x 平行? (2)m 为何值时，y 随x 的增大而减小？【变式】已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？ （2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？ （4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=x ？ （5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？题型考点二：一次函数图像与象限关系例2、直线y=x+b （b>0）与直线y=kx （k<0）的交点位于（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【练习】若实数a ，b 满足ab ＜0，且a ＜b ，则函数y=ax+b 的图象可能是（ ）题型考点三：一次函数图像的交点例3、如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的坐标为A （-2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（） A 、-5 B 、-2 C 、3 D 、5【练习】如图，直线l ：233y x =--与直线y a =（a 为常数）的交点在第四象限， 则a 可能在（）A 、1<a<2B 、-2<a<0C 、32a -≤≤-D 、-10<a<-4二、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
一次函数图像及性质总结(表格)zhyane
一次函数图像及性质总结
目 录
• 一次函数图像 • 一次函数的性质 • 一次函数的实际应用 • 一次函数与其他数学知识的联系 • 一次函数的应用题解析
01 一次函数图像
图像形状
直线
一次函数的标准形式为y=kx+b，其 中k为斜率，b为截距。当k≠0时，图 像为一条直线；当k=0时，图像为y轴。
斜率决定方向
02
二次函数的最值问题可以通过求 导找到一阶导数等于0的点，这些 点就是函数的极值点，从而转化 为一次函数的问题。
与线性方程的联系
一次函数与一元一次方程紧密相关， 因为一元一次方程的解就是函数的零 点。
线性方程组的解可以通过消元法或代 入法得到，这些方法在解决一次函数 问题时也经常用到。
与三角函数的联系
详细描述
在日常生活中，我们经常面临各种选择和决策，其中最优化问题是最常见的。例如，在 购物时，我们希望找到价格和质量的最佳平衡点，这可以通过比较不同产品的价格和质
量（即一次函数的斜率和y轴上的截距）来实现。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
斜率k决定了直线的倾斜方向。当k>0 时，直线从左下到右上倾斜；当k<0 时，直线从左上到右下倾斜。
图像与坐标轴的交点
与x轴交点
令y=0，解得x的值即为与x轴的交 点。
与y轴交点
令x=0，解得y的值即为与y轴的交 点。
图像的增减性
单调性
根据斜率k的正负判断。k>0时，函数为增函数；k<0时，函数为减函数。
高度与时间的关系
总结词
高度与时间的关系也是一次函数的应用之一。
详细描述
在航空学中，高度和时间的关系通常用一次函数来表示。例如，一个物体从静止开始自由落体运动时，其高度与 时间的关系就是一次函数。
目 录
• 一次函数图像 • 一次函数的性质 • 一次函数的实际应用 • 一次函数与其他数学知识的联系 • 一次函数的应用题解析
01 一次函数图像
图像形状
直线
一次函数的标准形式为y=kx+b，其 中k为斜率，b为截距。当k≠0时，图 像为一条直线；当k=0时，图像为y轴。
斜率决定方向
02
二次函数的最值问题可以通过求 导找到一阶导数等于0的点，这些 点就是函数的极值点，从而转化 为一次函数的问题。
与线性方程的联系
一次函数与一元一次方程紧密相关， 因为一元一次方程的解就是函数的零 点。
线性方程组的解可以通过消元法或代 入法得到，这些方法在解决一次函数 问题时也经常用到。
与三角函数的联系
详细描述
在日常生活中，我们经常面临各种选择和决策，其中最优化问题是最常见的。例如，在 购物时，我们希望找到价格和质量的最佳平衡点，这可以通过比较不同产品的价格和质
量（即一次函数的斜率和y轴上的截距）来实现。
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感谢您的观看
斜率k决定了直线的倾斜方向。当k>0 时，直线从左下到右上倾斜；当k<0 时，直线从左上到右下倾斜。
图像与坐标轴的交点
与x轴交点
令y=0，解得x的值即为与x轴的交 点。
与y轴交点
令x=0，解得y的值即为与y轴的交 点。
图像的增减性
单调性
根据斜率k的正负判断。k>0时，函数为增函数；k<0时，函数为减函数。
高度与时间的关系
总结词
高度与时间的关系也是一次函数的应用之一。
详细描述
在航空学中，高度和时间的关系通常用一次函数来表示。例如，一个物体从静止开始自由落体运动时，其高度与 时间的关系就是一次函数。
一次函数图像(共14张PPT)
-2
向上平移b个单位而来。
-3
-4
会用两点作一次函数图象； 会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 会判断点是否在函数图象上及图象所经过的象限； 会求两函数的交点坐标，理解其实际意义。
思考
在同一坐标系中画出下列直线
y =—2x-1 ； y = —2x+3.
y 1 x2 2
y 1x2 2
观察图像，你发现了什么？
智力冲 浪
一个长方形的周长是12厘米，一边长是X厘米，
另一边长为y厘米，下列表示y关于x的函数关
系的图像中，正确的是（ ）B
4
A C
B D
(1)一次函数y=kx+b的图像是一条直线； 正比例函数y=kx的图像是一条过原点的直线。
y
7
6
y=2x+1
5
4
y=2x
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
练一练
1.下列各点中，在直线y=2x－3上的是（ C ）
（A）（0，3）
（B）（1，1）
（C）（2，1） （D）（ －1，5）
2.若点（a，3）在直线y=2x－5上，则a=__4____
3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 x -1
-2
描点法
-3
-4
-5
-6
-7
画函数y=2x+1的图象。
1.列表 x y=2x+1 点（ x， y）
2.描点
3.连线
…
-2
第11节 一次函数的图象和性质
解：因为 a，b，c 均不为 0，直线方程可化为：y=﹣ x﹣ ，则直线的斜率为﹣
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
一次函数与二次函数的图像与性质
一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。
它们在图像和性质上有着明显的区别。
本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质进行介绍。
一、一次函数的图像与性质一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。
斜率为正值时，直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。
2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。
当x=0时，直线与y轴的交点为截距b。
3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的线性关系。
直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。
二、二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的根。
零点也是方程y=0的解。
3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。
当抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程为x=-b/(2a)。
对称轴把抛物线分为两个对称的部分。
5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。
总结：一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。
而二次函数的图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等性质。
了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解决和实际应用具有重要意义。
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(1)k、b的值；
(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
分析直线经过点,即点在图像上,所以点的坐标满足直线解析式,根据条件,建立k、b的方程组,解方程组,就可求得k、b的值.
解 (1)因为直线y=kx+b经过点A(-20,5)、B(10,20)，所以
解得 k= , b=15.
(2)这条直线的表达式为 y= x+15.
过点A、B画直线，则直线AB就是函数y= x-2的图像.
(图略).
说明(1)画直线y=kx+b时,通常先描出直线与x轴、y轴的交点,如果直线与x轴、y轴的交点坐标不是整数,为了画图方便、准确, 通常是描出直线上的整数点.
(2)本例讲述了求直线与坐标轴交点的方法,同时,为引出直线的截距概念作好铺垫.
由点A的横坐标x=0，可知点A在y轴上；由点B的纵坐标y=0，可知点B在x轴上.又点A、B在直线y= x-2上，所以点A、B是直线y= x-2分别与y轴、x轴的交点.
上海市顾路中学数学学科电子教案（随堂课）
班级
课题
课时
1
备注（修改）
二（1）（4）
20.2（1）一次函数的图像
日期
教学
内
容
本课时
教学
内容
一次函数的图像、直线截距、交点坐标
教学
目标
知识
与技能
1.了解一次函数图像是一条直线，会用描点法画一次函数图像；
2.掌握直线的截距的概念，并能根据解析式写出直线的截距；
四、课堂小结(学生归纳,教师引导)
1、一次函数y=kx+b (k≠0)的图像是什么样的形状? 如何画一次函数的图像?
2、什么叫直线的截距? 如何求直线的截距?
3、用什么方法求直线解析式? 如何求直线与坐标轴交点的坐标?
五、作业布置
配套练习册习题20.2(1)
教学反思
通过列表、描点、连线三个步骤的操作活动，学习画一次函数的图像，并和正比例函数图像进行比较；在此基础上归纳得到一次函数的图像是直线，通过例题1的学习，使学生明白画一次函数图像时，一般是先确定图像上两个点，再作经过这两个点的直线.并由此给出直线的截距概念.通过例题2和例题3的分析与解决，帮助学生学会如何求直线的截距及如何求直线与坐标轴的交点坐标.通过拓展，学习如何用点的坐标表示线段的长，进而求出直线的解析式.
3．思考
我们知道,正比例函数是特殊的一次函数,而正比例函数的图像是一条直线,那么一次函数的图像是直线吗?
二、学习新课
1．概念辨析
一般来说,一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.
3.理解一次函数图像与x轴、y轴交点含义，并会求出交点坐标.
过程
与方法
情感态度
与价值观
地画出一次函数图像，并能准确地写出直线的截距;
2.能求出直线与坐标轴交点坐标.
教学难点
1.能正确地画出一次函数图像，并能准确地写出直线的截距;
2.能求出直线与坐标轴交点坐标.
教学辅助
教具
由y= x+15,令y=0，得 x+15=0，解得x=-30；令x=0，得y=15.
所以这条直线与x轴的交点的坐标为(-30,0),与y轴的交点的坐标为(0,15).
说明本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法.强化重难点.
5．问题拓展
已知直线y=mx+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,点O为坐标原点，如果OA= OB,求直线的表达式.
(3)连线:用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来.
(图略)
2．观察
观察表格和图像,对于x的每一个相同值,函数y= x+3的对应值比函数y= x的对应值都大多少?
说明不论从表中或图像上都可以看出, 对于x的每一个相同值, 函数y= x+3的对应值比函数y= x的对应值都大3个单位.因此, 函数y= x+3的图像是由函数y= x的图像向上平移3个单位得到的.
解:由y=mx+2,令y=0，得mx+2=0，解得x=- ,得点A坐标(- ,0)；令x=0，得y=2.得点B坐标为(0,2)
所以OA=│- │, OB=2
由OA= OB, 得│- │=1, 所以m=±2
所以直线的表达式为y=2x+2 或 y=-2x+2
说明本题要求出直线的表达式，只要求出待定系数m的值即可，解决问题的关键是正确运用点的坐标表示线段的长度.本题谨防漏解.
解 (1)直线y=-4x-2的截距是-2.
(2)直线y=8x的截距是0.
(3)直线y=3x-a+1的截距是-a+1.
(4)直线y=(a+2)x+4(a -2)的截距是4.
说明本例是巩固对直线截距概念的理解, 直线的截距是由x=0,求得对应的y值,同时,注意截距与距离的区别.
例3 已知直线y=kx+b经过A(-20,5)、B(10,20)两点，求：
3．概念辨析
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.
一般地，直线y=kx+b(k 0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k 0)的截距是b.
4．例题分析
例2 写出下列直线的截距：
(1)y=-4x-2； (2)y=8x；
(3)y=3x-a+1； (4)y=(a+2)x+4(a -2).
三、巩固练习
1.(口答)说出下列直线的截距：
(1)直线y= x+2；(2)直线y=-2x- ；(3)直线y=3x+1- .
2.在平面直角坐标系xOy中，画出函数y=- x+2的图像，并求这个图像与坐标轴的交点的坐标.
3.已知直线经过点M(3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式.
4.已知直线y=kx+b经过点A(-1,2)和B( ,3),求这条直线的截距.
多媒体
学科资源
三角板、ppt课件、多媒体设备
教学过程（师生活动、教法、学法）
备注（修改）
一、 情景引入
1．操作
按照下列步骤画正比例函数y= x和一次函数y= x+3的图像，并进行比较
(1)列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y= x
…
…
y= x+3
…
…
(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点.
2．例题分析
例1在平面直角坐标系xOy中，画一次函数y= x-2的图像.
分析因为两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出直线上的两点,再过两点画直线就可以了.
解: 由y= x-2可知，当x=0时，y=-2；当y=0时， x=3.
所以A(0,-2)、B(3,0)是函数y= x-2的图像上的两点.
(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
分析直线经过点,即点在图像上,所以点的坐标满足直线解析式,根据条件,建立k、b的方程组,解方程组,就可求得k、b的值.
解 (1)因为直线y=kx+b经过点A(-20,5)、B(10,20)，所以
解得 k= , b=15.
(2)这条直线的表达式为 y= x+15.
过点A、B画直线，则直线AB就是函数y= x-2的图像.
(图略).
说明(1)画直线y=kx+b时,通常先描出直线与x轴、y轴的交点,如果直线与x轴、y轴的交点坐标不是整数,为了画图方便、准确, 通常是描出直线上的整数点.
(2)本例讲述了求直线与坐标轴交点的方法,同时,为引出直线的截距概念作好铺垫.
由点A的横坐标x=0，可知点A在y轴上；由点B的纵坐标y=0，可知点B在x轴上.又点A、B在直线y= x-2上，所以点A、B是直线y= x-2分别与y轴、x轴的交点.
上海市顾路中学数学学科电子教案（随堂课）
班级
课题
课时
1
备注（修改）
二（1）（4）
20.2（1）一次函数的图像
日期
教学
内
容
本课时
教学
内容
一次函数的图像、直线截距、交点坐标
教学
目标
知识
与技能
1.了解一次函数图像是一条直线，会用描点法画一次函数图像；
2.掌握直线的截距的概念，并能根据解析式写出直线的截距；
四、课堂小结(学生归纳,教师引导)
1、一次函数y=kx+b (k≠0)的图像是什么样的形状? 如何画一次函数的图像?
2、什么叫直线的截距? 如何求直线的截距?
3、用什么方法求直线解析式? 如何求直线与坐标轴交点的坐标?
五、作业布置
配套练习册习题20.2(1)
教学反思
通过列表、描点、连线三个步骤的操作活动，学习画一次函数的图像，并和正比例函数图像进行比较；在此基础上归纳得到一次函数的图像是直线，通过例题1的学习，使学生明白画一次函数图像时，一般是先确定图像上两个点，再作经过这两个点的直线.并由此给出直线的截距概念.通过例题2和例题3的分析与解决，帮助学生学会如何求直线的截距及如何求直线与坐标轴的交点坐标.通过拓展，学习如何用点的坐标表示线段的长，进而求出直线的解析式.
3．思考
我们知道,正比例函数是特殊的一次函数,而正比例函数的图像是一条直线,那么一次函数的图像是直线吗?
二、学习新课
1．概念辨析
一般来说,一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.
3.理解一次函数图像与x轴、y轴交点含义，并会求出交点坐标.
过程
与方法
情感态度
与价值观
地画出一次函数图像，并能准确地写出直线的截距;
2.能求出直线与坐标轴交点坐标.
教学难点
1.能正确地画出一次函数图像，并能准确地写出直线的截距;
2.能求出直线与坐标轴交点坐标.
教学辅助
教具
由y= x+15,令y=0，得 x+15=0，解得x=-30；令x=0，得y=15.
所以这条直线与x轴的交点的坐标为(-30,0),与y轴的交点的坐标为(0,15).
说明本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法.强化重难点.
5．问题拓展
已知直线y=mx+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,点O为坐标原点，如果OA= OB,求直线的表达式.
(3)连线:用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来.
(图略)
2．观察
观察表格和图像,对于x的每一个相同值,函数y= x+3的对应值比函数y= x的对应值都大多少?
说明不论从表中或图像上都可以看出, 对于x的每一个相同值, 函数y= x+3的对应值比函数y= x的对应值都大3个单位.因此, 函数y= x+3的图像是由函数y= x的图像向上平移3个单位得到的.
解:由y=mx+2,令y=0，得mx+2=0，解得x=- ,得点A坐标(- ,0)；令x=0，得y=2.得点B坐标为(0,2)
所以OA=│- │, OB=2
由OA= OB, 得│- │=1, 所以m=±2
所以直线的表达式为y=2x+2 或 y=-2x+2
说明本题要求出直线的表达式，只要求出待定系数m的值即可，解决问题的关键是正确运用点的坐标表示线段的长度.本题谨防漏解.
解 (1)直线y=-4x-2的截距是-2.
(2)直线y=8x的截距是0.
(3)直线y=3x-a+1的截距是-a+1.
(4)直线y=(a+2)x+4(a -2)的截距是4.
说明本例是巩固对直线截距概念的理解, 直线的截距是由x=0,求得对应的y值,同时,注意截距与距离的区别.
例3 已知直线y=kx+b经过A(-20,5)、B(10,20)两点，求：
3．概念辨析
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.
一般地，直线y=kx+b(k 0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k 0)的截距是b.
4．例题分析
例2 写出下列直线的截距：
(1)y=-4x-2； (2)y=8x；
(3)y=3x-a+1； (4)y=(a+2)x+4(a -2).
三、巩固练习
1.(口答)说出下列直线的截距：
(1)直线y= x+2；(2)直线y=-2x- ；(3)直线y=3x+1- .
2.在平面直角坐标系xOy中，画出函数y=- x+2的图像，并求这个图像与坐标轴的交点的坐标.
3.已知直线经过点M(3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式.
4.已知直线y=kx+b经过点A(-1,2)和B( ,3),求这条直线的截距.
多媒体
学科资源
三角板、ppt课件、多媒体设备
教学过程（师生活动、教法、学法）
备注（修改）
一、 情景引入
1．操作
按照下列步骤画正比例函数y= x和一次函数y= x+3的图像，并进行比较
(1)列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y= x
…
…
y= x+3
…
…
(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点.
2．例题分析
例1在平面直角坐标系xOy中，画一次函数y= x-2的图像.
分析因为两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出直线上的两点,再过两点画直线就可以了.
解: 由y= x-2可知，当x=0时，y=-2；当y=0时， x=3.
所以A(0,-2)、B(3,0)是函数y= x-2的图像上的两点.