高中物理典型问题分析：两道与动量结合的电磁感应问题!

应用动量定理解决电磁感应问题的思维起点电磁感应部分历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过对近年高考题的研究，此部分结合动量定理的力电综合模型经常在高考题中出现。

本文结合例题分析应用动量定理解决电磁感应问题的思维起点。

一、 以累积公式q=It 结合动量定理为思维起点直导线在磁场中要受到安培力的作用，速度发生变化，安培力随之变化。

通常直导线（或线框）的运动为非匀变速直线运动，不能用牛顿运动定律结合运动学公式解题，而动量定理适用于非匀变速直线运动。

在时间△t 内安培力的冲量BLq t BLI t F =∆=∆，式中q 是通过导体截面的电量。

利用该公式结合动量定理是解答此类问题思维起点。

例1．如图所示，在匀强磁场区域内与B 垂直的平面中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们上面横放两根平行导体棒构成矩形回路，长度为L ，质量为m ，电阻为R ，回路部分导轨电阻可忽略，棒与导轨无摩擦，开始时图中左侧导体棒静止，右侧导体棒具有向右的初速v 0，试求两棒之间距离增长量x 的上限。

析与解：当右棒运动时，产生感应电动势，两棒中有感应电流通过，右棒受到安培力作用而减速，左棒受到安培力作用而加速。

当它们的速度相等时，它们之间的距离最大。

设它们的共同速度为v ，则据动量守恒定律可得：mv 0＝2mv ，即021v v = 对于左棒应用动量定理可得：BILt= mv所以，通过导体棒的电量q=It =BL mv 20 而q =R BLx t I 2=∆ 由上述各式可得： x =220LB R mv 。

v点评：本题结合冲量公式BLq t BLI t F =∆=∆应用动量定理，使貌似复杂的问题得到迅速解决。

例2.（原创预测题）如图所示，两水平放置的平行光滑金属导轨相距为L ，导轨左端用导线连在一起，导轨电阻不计，整个装置垂直处于磁感强度为B 的匀强磁场中，另有一根长也为L 的金属棒垂直放在导轨上，现给金属棒一向右的水平初速度v 。

动量定理及动量守恒定律在电磁感应中的应用摘要：《普通高中物理课程标准》指出,高中物理课程旨在进一步提高学生的科学素养，落实“立德树人”的根本任务。

基于学科核心素养教学实施策略和方法，要落实到教育教学的全过程，本文重点介绍动量定理、动量守恒定律在电磁感应解题的运用。

关键词：动量动量守恒电磁感应应用一、动量定理:物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化.表达式:I=Δp或Ft=mv2-mv1.二、动量守恒定律:一个系统不受外力或者所受合外力为零,这个系统的总动量保持不变.表达式：m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′或p=p′.三、在电磁感应中,动量定理应用于单杆切割磁感线运动,可求解变力的时间、速度、位移和电荷量.（1）求电荷量或速度:B LΔt=mv2-mv1, q= t.（2）求时间:Ft-I冲=mv2-mv1, I冲=BILΔt=BL .（3）求位移:-BILΔt=- =0-mv0,即 - s=m(0-v).四、在电磁感应中对于双杆切割磁感线运动,若双杆系统所受合外力为零，运用动量守恒定律结合能量守恒定律可求解与能量有关的问题。

例1.如图所示,在水平面上有两条导电导轨MN,PQ,导轨间距为d,匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里,磁感应强度的大小为B,两根完全相同的金属杆1,2间隔一定的距离摆开放在导轨上,且与导轨垂直.它们的电阻均为R,两杆与导轨接触良好,导轨电阻不计,金属杆的摩擦不计.杆1以初速度v滑向杆2,为使两杆不相碰,则杆2固定与不固定两种情况下,最初摆放两杆时的最小距离之比为( C )A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.1∶1解析:杆2固定:对回路 q1= = .对杆1:-B d·Δt=0-mv0,q1=·Δt 联立解得s1= .杆2不固定: 对回路 q2=对杆2:B d·Δt=mv2-0 全程动量守恒:mv=mv1+mv2末态两棒速度相同,v1=v2,q2=·Δt 联立解得s2= . s1∶s2=2∶1,则C选项正确.例2.如图所示,宽度为L的平行光滑的金属轨道,左端为半径为r1的四分之一圆弧轨道,右端为半径为r2的半圆轨道,中部为与它们相切的水平轨道.水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场.一根质量为m的金属杆a 置于水平轨道上,另一根质量为M的金属杆b由静止开始自左端轨道最高点滑下,当b滑入水平轨道某位置时,a就滑上了右端半圆轨道最高点(b始终运动且a,b 未相撞),并且a在最高点对轨道的压力大小为mg,此过程中通过a的电荷量为q,a,b杆的电阻分别为R1,R2,其余部分电阻不计.在b由静止释放到a运动到右端半圆轨道最高点过程中,求:(1)在水平轨道上运动时b的最大加速度是多大;(2)自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中,系统产生的焦耳热是多少;(3)a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是多大.解析:(1)由机械能守恒定律得 M =Mgr1解得vb1=b刚滑到水平轨道时加速度最大,E=BLvb1, I= ,由牛顿第二定律有F安=BIL=Ma 解得a= .(2)由动量定理有-B Lt=Mvb2-Mvb1, 即-BLq=Mvb2-Mvb1解得vb2= -根据牛顿第三定律得:a在最高点受支持力N=N′=mg, mg+N=m解得va1=由能量守恒定律得Mgr1= M + m +mg2r2+Q 解得Q=BLq -3mgr2-.(3)由能量守恒定律有2mgr2= m - m解得va2=由动量守恒定律得Mvb1=Mvb3+mva2解得vb3= - .答案:(1)(2)BLq -3mgr2-(3) -例3.如图所示,将不计电阻的长导线弯折成P1P2P3,Q1Q2Q3形状,P1P2P3和Q1Q2Q3是相互平行且相距为d的光滑固定金属导轨.P1P2,Q1Q2的倾角均为θ,P2P3,Q2Q3在同一水平面上,P2Q2⊥P2P3,整个导轨在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,质量为m电阻为R的金属杆CD从斜导轨上某处静止释放,然后沿水平导轨滑动一段距离后停下.杆CD始终垂直导轨并与导轨保持良好接触,导轨和空气阻力均不计,重力加速度大小为g,导轨倾斜段和水平段都足够长,求:(1)杆CD能达到的最大速度;( 2)杆CD在距P2Q2为L处释放,滑到P2Q2处恰达到最大速度,则沿倾斜导轨下滑的时间Δt1及在水平导轨上滑行的最大距离.解析:(1)杆CD达到最大速度时,杆受力平衡BdImcosθ=mgsinθ此时杆CD切割磁感线产生的感应电动势为E=Bdvmcosθ由欧姆定律可得Im = , 解得vm= .(2)在杆CD沿倾斜导轨下滑的过程中,动量定理有mgsinθ·Δt1-Bdcosθ·Δt1=mvm-0= = =解得Δt1= +在杆CD沿水平导轨运动的过程中,根据动量定理有 -B d·Δt2=0-mvm该过程中通过R的电荷量为 q2=Δt2,得q2=杆CD沿水平导轨运动的过程中,通过的平均电流为 = =得q2=Δt2=解得s= .答案:(1)(2) +3。

例析妙用动量定理解决电磁学中问题摘要：自从2017年高考改革增加选修3-5模块为必考内容，众所周知动量是3-5的主要内容，而动量观点、能量观点与力学观点是解决动力学问题的三种途径。

如今动量变成必考模块，使学生的知识架构更加完善，在解题思维方面视野将更加开阔，总体来说对于学生解决物理问题还是有帮助的。

但通过平时教学发现大部分学生在运用动量定理解决有关电磁学问题是较薄弱的。

本文通过典例分析加深学生对动量定理在电磁学中运用的认识。

关键词：动量定理电磁感应冲量安培力洛伦兹力电容器1.动量定理解决叠加场中恒力（电场力、重力）与洛伦兹力作用下的运动问题在解决这类问题之前，先分析下运动电荷所受洛伦兹力的冲量，假设在xoy平面存在一垂直该平面的匀强磁场，磁感应强度为B，有一带电量为q的带电粒子，以速度v在磁场中做匀速圆周运动。

某时刻速度方向如图1所示。

分别将v、f正交分解，可知：在时间t内f沿x轴方向的冲量为：同理，f在y轴方向的冲量为：【例1】如图所示，某空间同时存在场强为E、方向竖直向下的匀强电场以及磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。

从该叠加场中某点P由静止释放一个带电粒子，质量为m，电量为+q（粒子受到的重力忽略不计），其运动轨迹如图中虚线所示。

求带电粒子在电、磁场中下落的最大高度H？解答：设小球运动到最低位置时速度最大为v，方向水平任意时刻v沿x轴正向、y轴负向的分速度分别为vx ，vy.。

与vy.对应的洛仑兹力水平分力方向沿x轴正向，小球由静止释放到最低点的过程中，在水平方向上，应用动量定理得：······①小球由静止释放到最低点的过程中，由动能定理得：······②联立①②可得:如果上例1中，重力不可忽略不计（已知重力加速度为g），实际上水平方向上动量定理①式不变，全程由动能定理得：·····③联立①③同样可得：1.动量定理解决电磁感应中电荷量相关问题根据电流的定义式，式中q是时间t内通过导体截面的电量；又欧姆定律，R是回路中的总电阻；结合电磁感应中可以得到安培力的冲量公式，此公式的特殊性决定了它在解题过程中的特殊应用。

GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG广东教育·高中2019年第2期动量在电磁感应中的应用例析■山东省滨州市第一中学成树明随着2017年高考大纲将动量纳入必考范畴，连续两年高考试题对动量的考查经历了从选择题到计算题的平稳过渡，尤其是2018年全国高考三套卷均以计算题的形式考查了动量和能量相关问题。

电磁感应在高考中占有非常重要的地位，这里不但有电磁感应过程中感应电流大小和方向的判定及计算，更有力学知识在电磁感应问题中的综合应用问题。

而在这些综合问题中，往往需要运用牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律、功能关系、动能定理及能量守恒定律，并结合闭合电路的计算等物理规律及基本方法进行，上述规律和方法都是高中物理的重点和命题热点，下面通过例题分析动量在电磁感应中的应用，帮助同学们掌握处理此类问题的思路和方法。

一、动量定理在电磁感应中的应用【例1】（2018·百校联盟模拟）如图1所示，两根足够长的平行金属导轨MN 、PQ 固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨顶部接有一阻值为R 的定值电阻，下端开口，轨道间距为L 。

整个装置处于磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。

质量为m 的金属棒ab 在t =0时刻获得一个沿导轨向上的初速度v 0，已知金属棒返回初位置前运动状态已稳定，金属棒ab 在导轨之间的有效电阻为r ，金属棒沿导轨运动时始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，金属棒ab 与导轨间动摩擦因数为μ，不计导轨电阻和空气阻力的影响，重力加速度为g 。

（1）求金属棒返回初位置时的速率；（2）若金属棒上滑的最大距离为s ，求金属棒运动到最高点所用的时间：（3）若金属棒上滑的最大距离为s ，求金属棒从初始位置出发又返回初位置的过程中，电阻R 上产生的焦耳热。

【解析】（1）设金属棒稳定时的速率为v m ，由法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律，得BLv m =I （R +r ）由受力平衡，得mg sin θ=μmg cos θ+BIL联立解得v m =mg （sin θ-μcos θ）（R +r ）B 2L 2（2）规定平行于导轨向上为正方向，由动量定理可得-mg sin θ·t-μmg cos θ·t -BILt ＝0-mv 0由法拉第电磁感应定律，得E ＝B Lst由闭合电路的欧姆定律，得E ＝I （R +r ）又q ＝It 联立解得t ＝mv 0（R +r ）-B 2L 2s mg （sin θ+μcos θ）（R +r ）（3）金属棒从初位置出发又返回初位置的过程中，由能量守恒定律得１２mv 20-１２mv ２m =Q+２μmg cos θ·s 电阻R 产生的焦耳热为Q R =R R +r Q 联立解得Q R =R R +r [１２mv 20-２μmgs cos θ-m 3g ２（sin θ-μcos θ）２（R +r ）２２B 4L 4]【点评】对于电磁感应问题研究思路常常有三条：一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解；第三，若是涉及到电量即距离问题，可用动量定理结合电量的公式求解。

动量在电磁感应中的应用例析作者：成树明来源：《广东教育·高中》2019年第02期随着2017年高考大纲将动量纳入必考范畴，连续两年高考试题对动量的考查经历了从选择题到计算题的平稳过渡，尤其是2018年全国高考三套卷均以计算题的形式考查了动量和能量相关问题。

电磁感应在高考中占有非常重要的地位，这里不但有电磁感应过程中感应电流大小和方向的判定及计算，更有力学知识在电磁感应问题中的综合应用问题。

而在这些综合问题中，往往需要运用牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律、功能关系、动能定理及能量守恒定律，并结合闭合电路的计算等物理规律及基本方法进行，上述规律和方法都是高中物理的重点和命题热点，下面通过例题分析动量在电磁感应中的应用，帮助同学们掌握处理此类问题的思路和方法。

一、动量定理在电磁感应中的应用【例1】（2018·百校联盟模拟）如图1所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨顶部接有一阻值为R的定值电阻，下端开口，轨道间距为L。

整个装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。

质量为m的金属棒ab在t=0时刻获得一个沿导轨向上的初速度v0，已知金属棒返回初位置前运动状态已稳定，金属棒ab在导轨之间的有效电阻为r，金属棒沿导轨运动时始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，金属棒ab与导轨间动摩擦因数为μ，不计导轨电阻和空气阻力的影响，重力加速度为g。

（1）求金属棒返回初位置时的速率;（2）若金属棒上滑的最大距离为s，求金属棒运动到最高点所用的时间：（3）若金属棒上滑的最大距离为s，求金属棒从初始位置出发又返回初位置的过程中，电阻R上产生的焦耳热。

【规律总结】在电磁感应综合问题中，若以等宽双棒在磁场中的运动作为命题背景，由于回路中为同一电流，两棒所受安培力等大反向，系统合力为零，则可应用动量守恒定律，由此可方便快捷求出杆的速度。

另也可把双棒问题当做碰撞问题的变形拓展，可以对系统同时应用动量守恒和能量守恒。

电磁感应中动量定理的运用一．知识点分析1.动量定律I ＝∆P 。

设想在某一回路中，一部分导体仅在安培力作用下运动时，安培力F 为变力，但其冲量可用它对时间的平均值进行计算，即I ＝F t ∆，而F ＝B I L （I 为电流对时间的平均值）故有：B I L t ∆=mv 2－mv 1 .而I t=q ,故有q=BLmv 12mv -2.理论上电量的求法：q=I •t 。

这种方法的依据是电流的定义式I=q/t 该式的研究对象是通电导体的某一截面，若在t 时间内流过该截面的电量为q ，则流过该切面的电流为I ＝q/t ，显然，这个电流应为对时间的平均值，因此该式应写为I = q/t ，变形后可以得q ＝I t ，这个关系式具有一般性，亦即无论流经导体的电流是恒定的还是变化的，只要电流用这段时间内的平均值代入，该式都适用，而平均电流的求解，在电磁感应问题中最为常见的思路为：对某一回路来说，据法拉第电磁感应定律，得E=t∆∆φ，显然该感应电动势也为对其时间的平均值，再由I ＝RE（R 为回路中的总电阻）可以得到I ＝tR ∆∆φ。

综上可得q ＝R φ∆。

若B 不变，则q ＝Rφ∆＝R s B ∆3.电量q 与安培力的冲量之间有什么联系？可用下面的框图来说明。

从以上框图可见，这些物理量之间的关系可能会出现以下三种题型： 第一：方法Ⅰ中相关物理量的关系。

第二：方法Ⅱ中相关物理量的关系。

第三：就是以电量作为桥梁，直接把上面框图中左右两边的物理量联系起来，如把导体棒的位移和速度联系起来，但由于这类问题导体棒的运动一般都不是匀变速直线运动，无法使用匀变速直线运动的运动学公式进行求解，所以这种方法就显得十分巧妙。

这种题型难度最大。

二．例题分析例1.如图1所示，半径为r的两半圆形光滑金属导轨并列竖直放置，在轨道左侧上方MN间接有阻值为R0的电阻，整个轨道处在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两轨道间距为L，一电阻也为R0质量为m的金属棒ab从MN处由静止释放经时间t到达轨道最低点cd时的速度为v，不计摩擦。

《2020高考物理力学难点解析之动量与能量》 专题11 动量与能量观点在电磁感应中的应用【方法总结】解决电磁感应问题往往需要力电综合分析，在电磁感应问题中需要动量与能量分析求解时，学生往往无从下手，属于压轴考查，需要学生平时吃透典型物理模型和积累解题经验，现将动量与能量观点求解电磁感应综合问题时常出现典型模型和思路总结如下：1. “双轨+双杆”模型以“2019全国3卷第19题”物理情景为例：如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水 平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab 、cd 静止在导轨上。

t =0时，棒ab 以初速度v 0向右滑动。

运动过程中，ab 、cd 始终与导轨垂直并接触良好：模型分析：双轨和两导体棒组成闭合回路，通过两导体棒的感应电流相等，所受安培力大小也相等，ab 棒受到水平向左安培力，向右减速；cd 棒受到水平向右安培力，向右加速，最终导体棒ab 、cd 系统共速，感应电流消失，一起向右做匀速直线运动，该过程由导体棒ab 、cd 组成的系统合外力为零，动量守恒：共v m m v m cd ab ab )(0+=2. 巧用“动量定理”求通过导体电荷量q思路：动量定理得：p t BIL p t F ∆=∆⋅⇒∆=∆⋅安，由于t I q ∆⋅=，所以p BLq ∆=， 即：BLp q ∆=【精选试题解析】1. （2019全国Ⅲ卷）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的 平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab 、cd 静止在导轨上。

t =0时，棒ab 以初速度v 0向右滑动。

运动过程中，ab 、cd 始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v 1、v 2表示，回路中的电流用I 表示。

下列图像中可能正确的是（ ）【答案】AC【解析】ab 棒向右运动，切割磁感线产生感应电流，则受到向左的安培力，从而向左做减速运动，；金属棒cd 受向右的安培力作用而做加速运动，随着两棒的速度差的减小安培力减小，加速度减小，当两棒速度相等时，感应电流为零，最终两棒共速，一起做匀速运动，故最终电路中电流为0，故AC 正确，BD 错误。

动量观点在电磁感应中的应用1.目录1.题型一动量定理在电磁感应中的应用类型1 “单棒+电阻”模型类型2 不等间距上的双棒模型类型3 “电容器+棒”模型2.题型二动量守恒定律在电磁感应中的应用41类型1 双棒无外力42类型2 双棒有外力65题型一:动量定理在电磁感应中的应用【解题指导】导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v 、电荷量q 、运动时间t 、运动位移x 时常用动量定理求解．类型１“单棒+电阻”模型情景示例1水平放置的平行光滑导轨，间距为L ，左侧接有电阻R ，导体棒初速度为v 0，质量为m ，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B ，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来求电荷量q-BI L Δt =0-mv 0，q =I Δt ，q =mv 0BL 求位移x-B 2L 2v R Δt =0-mv 0，x =v Δt =mv 0R B 2L2应用技巧初、末速度已知的变加速运动，在动量定理列出的式子中q =I Δt ，x =vΔt ；若已知q 或x 也可求末速度情景示例2间距为L 的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m 、接入电路的阻值为R 的导体棒，当通过横截面的电荷量为q 或下滑位移为x 时，速度达到v求运动时间-BILΔt+mg sinθ·Δt=mv-0，q=IΔt -B2L2vRΔt+mg sinθ·Δt=mv-0，x=v Δt应用技巧用动量定理求时间需有其他恒力参与．若已知运动时间，也可求q、x、v中的一个物理量1(2023·河北·模拟预测)如图所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨固定于水平面内，导轨左侧接有阻值恒定的电阻R。

一电阻不计的导体棒垂直导轨放置于M点，并与导轨接触良好，导轨间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场。

现给导体棒一个水平向右的初速度，第一次速度大小为v0，滑动一段位移到达N点停下来，第二次速度大小为2v0，滑动一段位移后也会停止运动，在导体棒的运动过程中，以下说法正确的是()A.先后两次运动过程中电阻R上产生的热量之比为1：2B.先后两次运动过程中的位移之比为1：2C.先后两次运动过程中流过R的电量之比为1：4D.导体棒第二次运动经过N点时速度大小为v0【答案】BD【详解】A．根据能量守恒可知，导体棒从开始运动到停下来，动能全部转化为内能，满足Q=12mv2所以生成的热量之比为1:4，故A错误；BD．设运动过程中任意时刻的速度大小为v，导体棒质量为m，磁感应强度为B，导轨间距为L，电路的总电阻为R，由牛顿第二定律得B2L2vR=ma在一段极短时间Δt内B2L2vRΔt=maΔt结合速度和加速度的定义可得B2L2RΔx=mΔv方程两边对一段时间累积求和，可知发生一段位移x与速度变化的关系为B2L2 R x=m v0-v对于整个过程，有B2L2Rx=mv0所以x1 x2=v02v0=12第二次运动经过N点时，有B2L2 R x1=m2v0-v N解得v N=v0故B、D正确；C．电量的计算满足q=ΔΦR =BLRx所以q1 q2=x1x2=12故C错误。