初三数学圆周角定理及其运用

沪科版数学九年级下册24.3《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是沪科版数学九年级下册第24章的教学内容，主要包括圆周角的定义、圆周角定理及其推论。

通过本节课的学习，学生能理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用其解决一些几何问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了圆的基础知识，具备一定的几何思维能力。

但是，对于圆周角的定义和定理的理解，以及如何运用定理解决实际问题，还需要进一步引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，能运用定理解决一些几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：圆周角的定义，圆周角定理及其推论。

2.难点：圆周角定理的证明和运用。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生主动探索和发现圆周角的性质。

2.互动法：鼓励学生之间进行讨论和交流，培养团队合作意识。

3.实践法：让学生通过实际操作，加深对圆周角定理的理解。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体设备。

2.学具：学生用书、练习册、圆规、直尺。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基础知识，如圆的定义、圆心角等。

然后提出问题：“什么是圆周角？”，激发学生的思考和兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆周角的定义，并用动画演示圆周角的形成过程。

同时，引导学生观察和思考圆周角与圆心角的关系。

3.操练（10分钟）教师给出一些具体的圆周角例子，让学生用圆规和直尺进行测量和画图，加深对圆周角的理解。

4.巩固（10分钟）教师提出一些关于圆周角的问题，让学生进行小组讨论和交流，共同解决问题。

同时，教师进行巡视指导，帮助学生克服困难。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考圆周角定理的证明，并分组进行证明实验。

圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。

2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。

（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。

知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。

（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。

因为一条弦所对的弧有两段。

2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。

推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。

（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。

（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。

圆周角定理逆定理的妙用圆周角定理是中学数学中经典的定理之一，指出圆周角等于该角对应的弧所对应的圆的半径的两倍。

该定理在解决一些圆的相关问题中具有广泛的应用。

但是，对于一些特定的问题，我们需要用到圆周角定理的逆定理，即如果两圆弧所对应的圆心角相等，则这两个圆弧所对应的弧长相等。

圆周角定理逆定理的妙用可以归结为以下几个方面：1. 解决等弧问题在一些等弧问题中，圆周角定理逆定理是很有用的。

例如，假设一个圆上有两个圆弧，它们的圆心角相等，需要证明这两个圆弧长度相等。

根据定理逆定理，我们可以通过证明两个圆弧对应的圆心角相等来证明两个圆弧的长度相等。

这样，我们就可以轻松地解决等弧问题。

2. 求解半径问题在一些求解半径问题中，圆周角定理逆定理也是很有用的。

例如，假设一个圆上有两个圆弧，它们的长度相等，需要证明这两个圆弧所对应的圆心角相等。

根据定理逆定理，我们可以通过证明两个圆弧对应的圆心角相等来证明它们的长度相等。

进一步地，我们可以通过这个圆心角的大小来求解这个圆的半径。

3. 证明圆心角平分线垂直弦圆心角平分线是指一条直线，它通过圆心，并且平分一个圆上的圆心角。

根据圆周角定理逆定理，我们可以证明圆心角平分线与弦的垂直性。

具体地说，如果圆心角的两个平分线相交于点O，且分别交弦AB于C和D，则可以证明OC垂直于AB。

这个结论在解决一些几何问题中也是很有用的。

综上所述，圆周角定理逆定理在解决一些圆所相关问题中具有广泛的应用。

它可以用来解决等弧问题、求解半径问题，甚至可以用来证明圆心角平分线与弦的垂直性。

因此，对它的掌握和运用，对于学习圆的相关知识是非常重要的。

玻璃乙圆周角的定理 教学目标(一)知识与技能1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。

(二)过程与方法1、通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。

2、通过观察图形，提高学生的识图的能力3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生探究问题的兴趣。

(三)情感与价值观1、经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。

2、通过积极引导，帮助学生有意识主动探究，并能在探究中获得成功的体验。

教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点1．认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。

2．推论的灵活应用以及辅助线的添加教学突破让学生学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容，制作圆形纸片教学过程活动1： 创设情景，引入概念师：课件（出示圆柱形海洋馆图片）右图是圆柱形海洋馆的俯视图．海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物．如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图， AB⌒表示圆弧形玻璃窗．同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，师：同学甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角．同学乙的视角∠ACB、同学丙的视角∠ADB和同学丁的视角∠AEB不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角．师：提出问题问题1：观察∠ACB、∠ADB和∠AEB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？问题2：∠ACB、∠ADB和∠AEB与∠AOB有什么区别？问题3：∠ACB、∠ADB和∠AEB有哪些共同点？（教师引导学生进行探究，并关注以下问题）1、问题的出示是否引起学生的兴趣2、学生是否理解示意图3、学生是否理解圆周角的定义4、学生是否清楚了要探究的数学问题生：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交．师：评价并鼓励学生的总结给出肯定，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义．）设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质．跟踪练习：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答．）玻璃乙(C)设计意图：为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质进行比较．活动2：问题探究探究同弧所对圆周角及圆周角与圆心角的关系师：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？预设生：（会很肯定的说）当然是同学甲的位置可以看到更广的海洋范围了．师提出：你是如何知道的？预设生1：因为我发现∠AOB 比∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 都大．预设生2：因为发现在圆内当角的顶点距离弧越近角就越大师提出：如果在乙、丙、丁三位同学的位置中选择，哪个位置看到的海洋范围更广一些？预设生：（看了图形想了想）三个位置看到海洋范围的大小应该是一样的． 师提出问题：1、弧AB 所对的圆周角的个数有多少个？2、弧AB 所对的圆周角的度数是否发生变化？预设生：有无数个，度数相等师：你是怎么知道的？预设生：观察猜到的。

圆周角定理及其推论的证明和应用圆周角定理是数学中一个最重要的定理。

它解释了多边形与圆的关系，是众多大学数学课程中的重要内容之一。

圆周角定理的证明和应用在不同的领域都有广泛的使用。

本文将讨论圆周角定理本身的证明，以及它的推论在数学和物理领域的应用。

一、圆周角定理圆周角定理告诉我们，对于任意多边形，其顶点和圆心之间的夹角之和等于$360^{circ}$。

它用数学语言来表达就是：若多边形$ABC…N$的顶点在圆心O的同一侧，则有$A + B + C + + N =360^{circ}$。

也就是说，当多边形的顶点位于同一侧的O时，其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。

二、证明圆周角定理圆周角定理通常用几何证明。

以正多边形为例，证明其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。

首先，画出多边形然后证明相邻边之间的夹角等于$180^{circ}$。

其次，当多边形向内折叠时，所有相邻边夹角之和等于其内角之和，因此折叠完成后，所有内角的和为$180^{circ} times n$，其中$n$是正多边形的边数。

此时，由于所有内角之和为$180^{circ} times n$，而多边形上的所有角之和为$360^{circ}$，因此所有顶点夹角之和等于$360^{circ}$。

三、圆周角定理的应用1、数学领域：圆周角定理在数学中的应用很广泛。

它可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径等。

此外，它还可以用来解决给定多边形的顶点或边，求其它顶点和边的问题。

2、物理领域：在物理领域，圆周角定理也有一些应用。

圆周角定理可以用来研究多体系统，如物体在圆周上运动时，其加速度可以根据圆周角定理求得。

圆周角定理也可以用来计算静电场，求出电荷的等值压力等。

四、总结本文讨论了圆周角定理的证明与应用。

圆周角定理表明正多边形的顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。

圆周角定理在数学和物理领域都有广泛的应用，可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径，研究多体系统，求出电荷的等值压力等。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

初中圆周角定理圆周角定理是中学数学中非常有重要的定理之一，它是由欧拉和塔利·布拉斯发现的，被广泛应用于日常生活中和许多学科中，特别是在数学和物理中。

下面我们来详细了解一下圆周角定理。

一、圆周角的定义在一个圆形中，圆心与圆上任意两个点所构成的角称为圆周角。

圆周角的大小是按照它所对应的圆弧长来计算的。

当圆周角的度数等于360°时，它就成为了一个完整的圆周。

1.圆周角等于半圆角：一个圆的直径所对应的半圆角是90 °。

因此，圆周角的度数显然是180°。

2.圆周角的大小只取决于圆弧的长度：在一个圆中，对于任意给定的圆弧，其所对应的圆周角的大小都是唯一确定的。

这就意味着，一旦我们知道了圆周角所对应的圆弧的长度，我们就能够准确地计算出圆周角的大小。

3.在同一条弦上的圆周角相等：当只考虑圆弧时，同一条弦上的圆周角大小是相等的。

4.在相等的圆弧所对应的圆周角也是相等的：如果两个圆弧的长度相等，那么所对应的圆周角大小也是相等的。

三、如何计算圆周角的大小在许多情况下需要计算圆周角的大小，下面我们来介绍一些实用的方法：1.使用弧度制：我们可以把圆周角大小表达成弧度制，其中1弧度对应的是圆弧的长度等于半径的弧长。

因此，我们可以利用圆弧长度和半径的关系简单地计算出弧度数。

2.使用角度制：如果需要在角度制下计算圆周角的大小，我们可以利用公式：圆周角的大小 = 圆弧的长度× 180°/πr。

其中，π是圆周率，r是圆的半径。

3.用正弦、余弦和正切函数来计算：如果我们知道圆周角的一个角度和半径的大小，我们可以使用三角函数来计算圆周角的大小。

我们可以使用下列公式来计算正弦、余弦和正切函数值：sinθ= a/r，cosθ=b/r，tanθ=a/b，其中，a和b是圆周角的两条边的长度，而r是圆的半径。

四、应用圆周角定理在许多应用中都有很大的作用，以下是一些典型的应用：1.在工程学中，圆周角定理有助于计算圆形结构中的挠曲和变形。

人教版数学九年级圆心角与圆周角关系定理的理解与解题运用一、知识解读1、圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。

在理解关系定理的内涵时，要理清如下几点：①定理的使用范围：必须在同圆中，这是一种情况；第二是必须在等圆中。

否则，不能乱用定理。

②理解好两种等量关系一是同弧所对的圆周角相等，二是等弧所对的圆周角相等。

这是寻找角相等的基本方向。

③确定准圆周角的度数大小一是同弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。

二是等弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。

④理解好“一半”的意义在这里，有两层意义：一是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数不知道时，满足如下等量关系： 设所对的圆周角是∠1，所对的圆心角是∠2，则∠1=21∠2，或∠2=2∠1， 二是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数知道时，满足如下等量关系： 设所对的圆周角是∠1=x °，所对的圆心角是∠2=y °，则x=21 y °，或y=2 x °， 2、推论在同圆或等圆中，半圆所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

二、考点剖析考点1、直接用定理例1、如图1所示，⊙O 中，弦AB DC ，的延长线相交于点P ，如果120AOD ∠=o ，25BDC ∠=o ，那么P ∠= ．方法解读：∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，根据定理就能求∠ABD 的度数； ∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ；这样，就把所求与已知联系起来了。

解：因为，∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，所以，∠ABD=21∠AOD=21×120°=60°， 因为，∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ，因为，∠BDC=25°，所以，∠P=60°-25°=35°。