甘肃省民乐一中2021届高三上学期第二次诊断考试数学(文科)试题 Word版含答案

甘肃省民乐县第一中学2021届高三数学上学期第二次诊断考试试题文一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．函数lg()y x =-的定义域为A ，函数xy e =的值域为B ，则AB =（ ）A (0,)+∞B (0,)eC RD ∅2．已知点)31(，A ，)14(-，B ，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A （－35，45） B （－45，35） C （35，－45） D （45，－35） 3．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <0 4．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则以下为真命题的是（ ） A p q ∧ B ()p q ∧⌝ C ()p q ⌝∨ D ()()p q ⌝∧⌝ 5．函数y ＝13log (x 2－4x ＋3)的单调递增区间为( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(0，＋∞)6．函数2()f x x =＋bx 的图象在点A ))1(,1(f 处的切线与直线023=+-y x 平行，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ，则2015S ＝（ ） A 1 B 20132014 C 20142015 D 201520167．当4x π=时，()sin()(0)f x A x A ϕ=+>有最小值，则3()4y f x π=-是（ ） A 奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B 偶函数且图像关于点(,0)π对称C 奇函数且图像关于直线2x π=对称 D 偶函数且图像关于点(,0)2π对称8．已知向量(3,1),(sin ,cos )αα==a b ，且a ∥b ，则tan 2α=( )A35 B 35- C 34 D 34- 9．定义：在数列{}n a 中，若满足d a a a a nn n n =-+++112（+∈N n ，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

2021年高三上学期第二次摸底考试数学（文）试题含答案数学文科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y=3x}，B={（x，y）|y=2﹣x}，则A∩B=( )A．{0} B．{1} C．{（0，1）} D．{（1，0）} 2．已知复数Z==( )A.2+iB.2-iC.-l-2iD.-1+2i3．函数f（x）=|log2x|+x﹣2的零点个数为（）A1 B．2 C．3 D．44．已知数列{an }是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A．12 B．24 C．24 D．485．若变量x、y满足条件，则z=2x﹣y的取值范围是（）A . B．（﹣2，4] C．，sin2θ=，则cosθ=（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+2 B． 6 C．4+2 D． 89．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）A．B．C．D．10．在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为棱CE上异于点C、E的动点，则下列说法正确的有（）①直线DE与平面ABF平行；②当F为CE的中点时，BF⊥平面CDE；③存在点F使得直线BF与AC平行；④存在点F使得DF⊥BC．A．1个B．2个C．3个D． 4个11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A、B 两点，则|OA|2+|OB|2（O为坐标原点）的最小值为（）A． 4 B．8 C．10 D．1212．已知f（x）为奇函数，当x∈时，f（x）=1﹣2|x﹣|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f （x）=1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，+∞）C .{﹣，﹣ln2，﹣1}∪（0，+∞）D． {﹣，﹣ln2，0}∪（0，+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．某商场根据甲、乙两种不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的销量绘制成如图所示的茎叶图，则销量的中位数较大的品牌是．14．执行如图所示的程序框图，若输入p的值为31，则输出的k的值为．15．定义在区间（m﹣1，m+1）上的函数f（x）=lnx﹣x2在该区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是．16．设数列{a n}满足a1=5，且对任意整数n，总有（a n+1+3）（a n+3）=4a n+4成立，则数列{a n}的前xx项的和为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinA﹣bsinB=（c﹣b）sinC．（1）求A；（2）若B=，点M在边BC上，且BC=3CM，AM=2，求△ABC的面积．18．某次比赛结束后，a、b、c、d死命选手成功晋级四强，在接下来的比赛中，他们取得任何一个名次的机会均相等，且无并列名次，已知c、d两名选手已全部进入前3名，求：（1）选手a取得第一名的概率；（2）选手c的名次排在选手a的名次之前的概率．19．如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′﹣BCD，如图2．（1）当A′C=2，求证：A′C⊥平面BCD；（2）设BD的中点为E，当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，求点E到平面A′BC 的距离．20．已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上的一点，点A、A′分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y 轴交于点M，直线PA′与y轴交于点N，求|OM|2+|ON|2（O为坐标原点）的最小值．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O 为坐标原点）．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集；（2）当a＜﹣，若存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．高三文数试题共4页第4页参考答案与试题解析数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）函数f（x）=|log2x|+x﹣2的零点个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象一目了然．解答：解：函数f（x）=|log2x|+x﹣2的零点个数，就是方程|log2x|+x﹣2=0的根的个数，得|log2x|=2﹣x，令f（x）=|log2x|，g（x）=2﹣x，画出函数的图象，如图：由图象得：f（x）与g（x）有2个交点，∴方程|log2x|+x﹣2=0解的个数为2个，故选：B．点评：本题考查了函数根的存在性问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道基础题．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A．12 B．24 C．24 D．48考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式得出q2=2，再求值即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，且q≠0，∵a2+a6=3，a6+a10=12，∴q4=4，∴q2=2，∴a8+a12=q6（a2+a6）=24故选：B．点评：本题考查等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思想，属于基础题．5．（5分）若变量x、y满足条件，则z=2x﹣y的取值范围是（）A．B．（﹣2，4]C．，sin2θ=，则cosθ=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由已知可求2θ∈，由sin2θ=，则由同角三角函数关系式可求cos2θ，由半角公式即可求cosθ的值．解答：解：∵θ∈，∴2θ∈，∴由sin2θ=，则cos2θ==，∴cosθ===．故选：C．点评：本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，同角三角函数间的基本关系，半角公式的应用，属于基本知识的考查．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）A．2+2 B．6C．4+2 D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一个三棱柱，两端去掉一个全等的三棱锥，结合图中数据，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱柱，两端去掉一个全等的三棱锥，如图所示；底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，EF平行底面，且EF=1；DE=AE==；过点E作EM⊥AB，垂足为M，则AM=，∴EM=1；∴S梯形ABFE=×（1+2）×1==S梯形CDEF，S△ADE=S△BCF=×1×=×1×1=，S矩形ABCD=2×1=2；∴该几何体表面积S表面积=2+2×+2×=6．故选：B．点评：本题考查了利用几何体的三视图求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．9．（5分）已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P 是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：如图所示，，．由于点P是线段DE上的任意一点，利用向量共线定理可得：存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得2x+y=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，，．∵点P是线段DE上的任意一点，∴存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得：，∴2x+y=，∴，化为xy≤，当且仅当2x=y=时取等号．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为棱CE上异于点C、E的动点，则下列说法正确的有（）①直线DE与平面ABF平行；②当F为CE的中点时，BF⊥平面CDE；③存在点F使得直线BF与AC平行；④存在点F使得DF⊥BC．A．1个B．2个C．3个D． 4个考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①由AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可得DE∥AB，利用线面平行的判定定理即可得到：直线DE与平面ABF平行，即可判断出正误；②当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，可得四边形ABFM是平行四边形，BF∥AM．而AM⊥CD，DE⊥AM，可得AM⊥平面CDE．即可得出BF⊥平面CDE，即可判断出正误；③点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，即可判断出正误；④由③可得：当F为CE的中点时，BF⊥DF，DF⊥CE，利用线面垂直的判定定理可得：DF⊥平面BCE，即可判断出正误．解答：解：①∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB，而DE⊊平面ABF，AB⊂平面ABF，∴直线DE与平面ABF平行，正确；②当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，则，又AB，∴ABMF，∴四边形ABFM是平行四边形，BF∥AM．而AM⊥CD，DE⊥AM，CD∩DE=D，∴AM⊥平面CDE．∴BF⊥平面CDE，因此正确；③点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，不正确；④由③可得：当F为CE的中点时，BF⊥DF，DF⊥CE，BF∩CE=F，∴DF⊥平面BCE，∴存在点F使得DF⊥BC，正确．综上可得：①②④正确．故选：C．点评：本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力，属于难题．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则|OA|2+|OB|2（O为坐标原点）的最小值为（）A．4B．8C．10 D．12考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先讨论直线l的斜率不存在的情况，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，然后把|OA|2+|OB|2表示为关于k的函数，利用函数求最小值．解答：解：当直线l的斜率不存在，即直线l垂直于x轴时，方程为：x=1，则A（1，2），B（1，﹣2）．|OA|2+|OB|2=5+5=10．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）由得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴，x1x2=1，|OA|2+|OB|2===设，则t＞2|OA|2+|OB|2=t2+4t﹣2=（t+2）2﹣6 （t＞2）所以|OA|2+|OB|2＞10．综上可知：|OA|2+|OB|2的最小值为10．故选：C．点评：本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．在解题过程中思维的严谨性，要考虑直线的斜率不存在的情况．12．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈时，f（x）=1﹣2|x﹣|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）=1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，+∞）C．{﹣，﹣ln2，﹣1}∪（0，+∞）D．{﹣，﹣ln2，0}∪（0，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，然后作出函数的图象，对m进行分类讨论进行求解即可．解答：解：若x∈，则﹣x∈，则f（﹣x）=1﹣2|﹣x﹣|=1﹣2|x+|，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=1﹣2|x+|=﹣f（x），则f（x）=2|x+|﹣1，x∈，若x∈，则f（﹣x）=1﹣e﹣1+x=﹣f（x），则f（x）=e﹣1+x﹣1，x∈分析：由已知利用递推思想求出数列{a n}是以4为周期的数列，且a1+a2+a3+a4=﹣，由此能求出数列{a n}的前xx项的和．解答：解：∵数列{a n}满足a1=5，且对任意整数n，总有（a n+1+3）（a n+3）=4a n+4成立，∴8（a2+3）=24，解得a2=0，3（a3+3）=4，解得a3=﹣，，解得a4=﹣5，﹣2（a5+3）=﹣16，解得a5=5．∴数列{a n}是以4为周期的数列，且a1+a2+a3+a4=﹣，xx=503×4+3，∴S xx=503×（﹣）+5+0﹣=﹣835．故答案为：﹣835．点评：本题考查数列{a n}的前xx项的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的周期性质的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinA﹣bsinB=（c﹣b）sinC．（1）求A；（2）若B=，点M在边BC上，且BC=3CM，AM=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由asinA﹣bsinB=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：a2﹣b2=c2﹣bc，再利用余弦定理即可得出．（2）由B=，A=．可得△ABC是等边三角形，设AB=a，则BM=．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=AB2+BM2﹣2BA•BM•cosB，解出即可．解答：解：（1）∵asinA﹣bsinB=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：a2﹣b2=c2﹣bc，化为b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得：cosA==，又A∈（0，π），∴A=．（2）∵B=，A=．∴△ABC是等边三角形，设AB=a，则BM=．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=AB2+BM2﹣2BA•BM•cosB，∴﹣，化为a2=36，解得a=6．∴S△ABC==．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）某次比赛结束后，a、b、c、d死命选手成功晋级四强，在接下来的比赛中，他们取得任何一个名次的机会均相等，且无并列名次，已知c、d两名选手已全部进入前3名，求：（1）选手a取得第一名的概率；（2）选手c的名次排在选手a的名次之前的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）列举总的基本事件的情况，找出满足条件的事件情况即可；（2）由（Ⅰ）再找出满足条件的事件情况即可．解答：解：（Ⅰ）总的事件：bcda，bdca，cbda，adba，dbca，dcba，acdb，adcb，cadb，cdab，dacb，dcab共12种情形，而选手a获得第一名的情形有：acdb，adcb共2种情形．所有选手a获得第一名的概率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，选手a的名次排在选手c的名次之后，有acdb，adcb，dacb共3种，故所求概率为．点评：本题考查列举法计算基本事件数及概率问题，属基础题．19．（12分）如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′﹣BCD，如图2．（1）当A′C=2，求证：A′C⊥平面BCD；（2）设BD的中点为E，当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，求点E到平面A′BC的距离．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意可得：A′B=A′D=BD=2，A′C=BC=CD=2，利用勾股定理的逆定理可得：A′C⊥BC，A′C⊥CD，即可证明；（2）当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，则平面A′BD⊥平面BCD，连接A′E，由A′E⊥BD，可得A′E⊥平面BCD，过点E作EF⊥BC于F，连接A′F，则A′F⊥BC；过点E作EM⊥A′F 于M，则EM⊥平面A′BC，EM即为所求的距离．利用直角三角形的面积即可得出．解答：（1）证明：由题意可得：A′B=A′D=BD=2，A′C=BC=CD=2，∴A′C2+BC2=A′B2，A′C2+CD2=A′D2，∴A′C⊥BC，A′C⊥CD，BC∩CD=C．∴A′C⊥平面BCD．（2）解：当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，则平面A′BD⊥平面BCD，连接A′E，由A′E⊥BD，可得A′E⊥平面BCD，过点E作EF⊥BC于F，连接A′F，则A′F⊥BC；过点E作EM⊥A′F于M，则EM⊥平面A′BC，∴EM即为所求的距离．在Rt△EFA′中，EF=1，，∴，则EM==．∴点E到平面A′BC的距离为．点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．20．（12分）已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆C上的一点，点A、A′分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PA′与y轴交于点N，求|OM|2+|ON|2（O为坐标原点）的最小值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由离心率的值、椭圆经过点（1，），及a、b、c之间的关系，求出a、b的值，进而得到椭圆C的方程．（2）由于P是椭圆C上的一点，得到P点的坐标满足的关系式，求出直线PA与直线PA′的方程，进而得到点M，N的坐标，即可得到|OM|2+|ON|2的最小值．解答：解：（1）由于椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，则a=2c，b=c，又由椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），则c2=1，故a=2，b=，所以椭圆方程为．（2）设P（m，n），由于P是椭圆C上的一点，则，即4﹣m2=，①又由点A、A′分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PA′与y轴交于点N，则直线PA：y=（x+2），直线PA′：y=（x﹣2），令x=0，得M（0，），N（0，），则|OM|2+|ON|2=（）2+（）2，将①代入得|OM|2+|ON|2=，由于0≤m2＜4，故当m2=0时，|OM|2+|ON|2取最小值6．点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，由题意可得即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx﹣ax，求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求得单调区间得到最大值，令最大值大于0，解得a的范围0＜a＜，即可判断不存在实数a．解答：解：（1）若a=2，则f（x）=xlnx﹣x2，导数f′（x）=1+lnx﹣2x，又f（1）=﹣1，f′（1）=﹣1，即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=﹣（x﹣1），即为y=﹣x；（2）g′（x）=f′（x）﹣1=lnx﹣ax，g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx﹣ax，h′（x）=﹣a，当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）递增，g（x）=0不可能有两个实根；当a＞0时，若0＜x＜，h′（x）＞0，h（x）递增，若x＞，h′（x）＜0，h（x）递减．则h（）取得极大值，也为最大值，且为﹣1﹣lna＞0，即有0＜a＜，g′（a）=lna﹣a2＜0，不妨设x2＞x1＞0，g′（x1）=g′（x2）=0，lnx1﹣ax1=lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），即=a＞0，故不存在实数a，使得=g′（a）成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值，主要考查导数的几何意义和构造函数运用单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE 于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．解答：证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线的性质，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）把消去θ化为普通方程，由极坐标方程ρ=﹣4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2=﹣4x，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；（2）画出两圆，数形结合得到A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O 到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．解答：解：（1）由，得，两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=．点评：本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查了数形结合的解题思想方法，是基础的计算题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集；（2）当a＜﹣，若存在x≤﹣使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；不等式．分析：对第（1）问，将a=2代入f（x）中，分“x≥2”“”“x≤”去掉绝对值符号进行讨论，化简不等式f（x）＜4，即得其解集；对第（2）问，令g（x）=f（x）+x，因存在x≤﹣，使得f（x）+x≤3成立，即g（x）有解，只需min≤3，作出g（x）的图象，用a表示g（x）的最小值，解关于a的不等式即可得a的取值范围．解答：解：（1）令|2x+1|=0，得；令|x﹣2|=0，得x=2．①当x≥2时，原不等式化为2x+1+x﹣2＜4，即x＜，得x∈∅；②当时，原不等式化为2x+1+2﹣x＜4，即x＜1，得；③当x≤时，原不等式化为﹣2x﹣1+2﹣x＜4，即x＞﹣1，得﹣1＜x≤．综合①、②、③，得原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤时，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a＜﹣，得g（x）=，由于存在x≤，使f（x）+x≤3成立，即g（x）≤3在（﹣∞，]内有解，只需min≤3即可．作出g（x）的大致图象，易知，min=g（a）=﹣a﹣1，∴﹣a﹣1≤3，得a≥﹣4．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法，以及含参数的不等式有解问题的求解，关键是善于运用分类讨论思想及数形结合思想进行求解．（1）分类讨论时，同一类中取交集，类与类之间取并集．（2）常数m≥g（x）有解，只需m≥min；m≤g（x）有解，只需m≤max．?33814 8416 萖40596 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民乐一中2023-2024学年第一学期高三年级第二次诊断考试数 学一、选择题1. 设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}3A x x =∈<N ，{}0,3,4,5B =，则()UB A ⋃=ð（）A. {}4,5 B. {}0,4,5 C. {}3,4,5 D. {}0,3,4,52. 一元二次方程2210ax x ++=，（0a ≠）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ）A. a<0 B. 0a > C. 1a <- D. 1a >3. 已知点cos,13P π⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ）A.B.C.12D.4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612S S =（ ）A.310B.13 C.18D.195. 函数()1sin ln1x f x x x -=⋅+的大致图象为（ ） B.A. D.C.6. 为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东70 的方向航行40海里后到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东35的方向航行了海里到达海岛C ，若巡逻舰从海岛A 出发沿直线到达海岛C ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）A.北偏东80,20B.北偏东)65,202+oC北偏东65,20+D.北偏东)80,202+o .7. 设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3333n n S n T n +=+，则55a b 为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 68. 设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（ ）A a b c<< B. c b a<< C. c<a<bD. a c b<<二、多项选择题9. 已知等差数列{}n a 是递增数列，且753a a =，其前n 项和为n S ，则下列选择项正确的是（ ）A. 0d > B. 当5n =时，n S 取得最小值C. 10a < D. 当0n S >时，n 的最小值为810. 下列说法正确的有A. 在△ABC 中，a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin CB. 在△ABC 中，若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形C. △ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件D. 在△ABC 中，若sin A=12，则A=6π11. 已知函数()sin |||sin |f x x x =+，则（ ）A. ()f x 偶函数B. ()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C. ()f x 在区间[,]-ππ上有四个零点D. ()f x 的值域为[0,2]12. 已知函数()2log ,04π2cos ,482x x f x x x ⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，t R ∃∈，使方程()f x t =有4个不同的解：分别记为1234,,,x x x x ，其中1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（ ）.A. 02t <<B. 346x x +=C. 34123235x x x x << D. 1234x x x x +++的最小值为14三、填空题13. 已知()2f x x ax =+在[]0,3上的最大值为M ，最小值为m ，若4M m -=，则=a ______．.是14. 若1cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos(2)πα-=__________ ；15. 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．16. 函数()y f x =是定义在[]3,3-上的奇函数，()13f -=，当0x >时，()22f x x ax =-+，不等式()()1210f m f m -++≥的解集为__________.四、解答题17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos 0a B b A c C ++=．（1）求C ；（2）若4b =，c =ABC 的面积．18. 问题：设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，.下列三个条件：①248,,a a a 成等比数列；②425S a =；③1(1)n n n a na ++=.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n K ，求证： 34n K <.19. 已知函数32()(,)f x x ax a b R =++∈．若函数()f x 在1x =处有极值-4．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值．20. 已知函数()2cos sin 3f x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭π=++，x ∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调区间；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．21. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设()32nn n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .的22. 设函数()2ln xf x ea x =-.（Ⅰ）讨论()f x 导函数()f x '的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.的民乐一中2023-2024学年第一学期高三年级第二次诊断考试数 学一、选择题1. 设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}3A x x =∈<N ，{}0,3,4,5B =，则()UB A ⋃=ð（）A. {}4,5B. {}0,4,5C. {}3,4,5D. {}0,3,4,5【答案】D 【解析】【分析】利用集合间的基本运算，即可得到答案；【详解】因为{}{}30,1,2A x x =∈<=N ，所以{}3,4,5U A =ð，所以(){}0,3,4,5U A B = ð.故选：D.2. 一元二次方程2210ax x ++=，（0a ≠）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ）A. a<0 B. 0a > C. 1a <- D. 1a >【答案】C 【解析】【分析】先由方程根的情况可得44010a a->⎧⎪⎨<⎪⎩，求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】因为一元二次方程2210ax x ++=，（0a ≠）有一个正根和一个负根，所以44010a a->⎧⎪⎨<⎪⎩，解得a<0，所以一元二次方程2210ax x ++=，（0a ≠）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是1a <-.故选：C.3. 已知点cos,13P π⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ）A.B.C.12D.【分析】先求出点P 到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.【详解】依题意点P 的坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，OP ==，sin α∴==；故选：D.4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612S S =（ ）A.310B.13 C.18D.19【答案】A 【解析】【分析】由等差数列的性质可知3S 、63S S -、96S S -、129S S -成等差数列，根据题意可将69,S S 都用3S 表示，可求得结果.【详解】由等差数列的性质可知3S 、63S S -、96S S -、129S S -成等差数列，∵3613S S =，即633S S =，()6333S S S S --=，∴9633S S S -=，12934S S S -=，∴936S S =，31210S S =，∴63123331010S S S S ==.故选：A.5. 函数()1sin ln1x f x x x -=⋅+的大致图象为（ ） B.A. D.C.【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊值()2f 的正负，再排除选项，即可求解.【详解】函数()1sin ln 1x f x x x -=⋅+的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，由()()()111sin lnsin ln sin ln 111x x x f x x x x f x x x x --+--=-⋅=-⋅=⋅=-+-+，则()f x 偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，C ，又()12sin 32ln 0f =⋅<，故排除B ，故选：D.6. 为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A 出发，沿南偏东70 的方向航行40海里后到达海岛B ，然后再从海岛B 出发，沿北偏东35的方向航行了海里到达海岛C ，若巡逻舰从海岛A 出发沿直线到达海岛C ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）A.北偏东80,20B.北偏东)65,202+oC.北偏东65,20 D.北偏东)80,202+o 【答案】C 【解析】【分析】根据方位角的概念结合正弦定理、余弦定理求解.【详解】作出示意图如图所示，根据题意，7035105ABC ︒︒︒∠=+=，40,AB BC ==根据余弦定理，AC ====因为()1cos105cos 60452=+==所以AC ==20==，为因为sin sin BC AC CAB ABC =∠∠，所以sin sin BCCAB ABC AC∠=∠()sin 6045︒︒=+)1122=+=-==，因为CAB ∠为锐角，所以45CAB ∠= ，所以从海岛A 出发沿直线到达海岛C ，航行的方向是北偏东180457065︒︒︒︒--=，航行的距离是20海里，故选:C7. 设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3333n n S n T n +=+，则55a b 为（ ）D. 6A. 3B. 4C. 5【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质，得21(21)n n S n a -=-，此由可得结论．【详解】{}n a 是等差数列，则12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-，∴559559939335993a a Sb b T ⨯+====+．故选：C ．8. 设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（ ）A. a b c << B. c b a<< C. c<a<bD. a c b<<【答案】C 【解析】.【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1((0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.方法二：比较法解： 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ，① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ， 令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ， 故 ()f x 在 (0,0.1] 上单调递减，可得 (0.1)(0)0f f <= ，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ； ② 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ， 令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ， 令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c > 故 .c a b <<二、多项选择题9. 已知等差数列{}n a 是递增数列，且753a a =，其前n 项和为n S ，则下列选择项正确的是（ ）A. 0d > B. 当5n =时，n S 取得最小值C. 10a < D. 当0n S >时，n 的最小值为8【答案】ACD 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，可判断AC ；由等差数列前n 项和公式，结合二次函数的性质和不等式的解法，可判断BD ．【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，得0d >，则10a <，故AC 正确；因为2217()2222n d d d dS n a n n n =+-=-，由二次函数的性质知，对称轴为72n =，开口向上，所以，当3n =或4时n S 最小，故B 错误；令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确．故选：ACD ．10. 下列说法正确的有A. 在△ABC 中，a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin CB. 在△ABC 中，若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形C. △ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件D. 在△ABC 中，若sin A=12，则A=6π【答案】AC 【解析】【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解.【详解】由正弦定理==2sin sin sin a b cR A B C=可得：::2sin :2sin :2sin a b c R A R B R C =即::sin :sin :sin a b c A B C =成立，故选项A 正确；由sin 2sin 2A B =可得22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，则ABC 故选项B 错误；在ABC 中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，则sin sin A B >是A B >的充要条件，故选项C 正确；在△ABC 中，若sin A=12，则6A π=或5=6A π，故选项D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题.11. 已知函数()sin |||sin |f x x x =+，则（ ）A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C. ()f x 在区间[,]-ππ上有四个零点D. ()f x 的值域为[0,2]【答案】ABD 【解析】【分析】由定义判断A ；由正弦函数的单调性判断B ；由()f x 在[]0,π上的零点结合奇偶性判断C ；讨论[)0,∞+的值域，结合奇偶性判断D.【详解】对于A ：其定义域为R ，()sin |||sin()|sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，即函数()f x 是偶函数，故A 正确；对于B ：,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,()sin sin 2sin x f x x x x ≥=+=，由正弦函数的单调性可知，()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确；对于C ：[]0,x π∈时，sin 0,()sin sin 2sin x f x x x x ≥=+=，此时2sin 0x =，可得0x =或πx =，因为()f x 是偶函数，所以()f x 在区间[,]-ππ上的零点为π,0,π-，故C 错误；对于D ：当2ππ2πk x k ≤≤+，且,Z 0k k ≥∈时，[]sin 0,1,x ∈[]()sin sin 2sin 0,2f x x x x =+=∈.当222k x k ππππ+≤≤+，且,Z 0k k ≥∈时，sin 0x ≤，()sin sin 0f x x x =-=.又()f x 是偶函数，所以函数()f x 的值域为[]0,2，故D 正确；故选：ABD12. 已知函数()2log ,04π2cos ,482x x f x x x ⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，t R ∃∈，使方程()f x t =有4个不同的解：分别记为1234,,,x x x x ，其中1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（ ）.A. 02t <<B. 346x x +=C. 34123235x x x x << D. 1234x x x x +++的最小值为14【答案】AC 【解析】【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解判断即可.【详解】如图，02t <<时，方程存在4个不同根，当2t =时，14x =，1311,454x x ∴<<<<2log x t ∴=时，2122log log x x =得2122log log x x -=即21211,1x x x x ==，由正弦函数对称性知3412x x +=，()()2343433331212636,45x x x x x x x x x x ∴==-=--+<<，()233()636f x x =--+在()4,5上单调递增，所以12343235x x x x <<；123411112x x x x x x ∴+++=++，1111()12f x x x =++在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以123465144x x x x <+++<，无最小值，故选：AC【点睛】关键点睛：利用数形结合思想进行求解是解题的关键.三、填空题13. 已知()2f x x ax =+在[]0,3上的最大值为M ，最小值为m ，若4M m -=，则=a ______．【答案】−2或−4【解析】【分析】根据区间和二次函数对称轴的相对位置，结合二次函数的单调性分类讨论求解即可.【详解】二次函数()2f x x ax =+的对称轴为：2a x =-，当02a-≤时，即0a ≥，函数在[]0,3上单调递增，所以(3)93,(0)0M f a m f ==+==，由4M m -=，得593043a a +-=⇒=-，不满足0a ≥，舍去；当32a-≥时，即6a ≤-时，函数在[]0,3上单调递减，所以(0)0,(3)93M f m f a ====+，由4M m -=，得130(93)43a a -+=⇒=-，不满足6a ≤-，舍去，当032a <-<时，则60a -<<，此时2()24a a m f =-=-，若03()22a a--≤--时，即30a -≤<时，(3)93M f a ==+，由4M m -=，得293424a a a ++=⇒=-，或10a =-舍去，若03()22a a-->--时，即63a -<<-，(0)0M f ==，由4M m -=，得2444a a =⇒=-，或4a =舍去，综上所述：2a =-或4a =-，故答案为：−2或−4【点睛】关键点睛：根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论是解题的关键.14. 若1cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos(2)α-=__________ ；【答案】79-【解析】【分析】由题意，2πα-是2πα-的2倍，根据余弦二倍公式，即可求解.【详解】由题意-222ππαα⎛⎫=-⎪⎝⎭()27cos 2cos 22cos 1229πππααα⎛⎫⎛⎫∴-=-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：79-点睛】本题考查余弦二倍角公式，属于基础题.15. 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【答案】232n n-【【解析】【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16. 函数()y f x =是定义在[]3,3-上的奇函数，()13f -=，当0x >时，()22f x x ax =-+，不等式()()1210f m f m -++≥的解集为__________.【答案】[-2,0]【解析】【分析】根据题意得()13f =-，进而得6a =，故当0x >时，()262f x x x =-+，且在(0,3]x ∈上单调递减，进而根据奇函数性质得函数()y f x =在[3,0)-上的单调递减函数，然后讨论即可.【详解】解：因为函数()y f x =是定义在[]3,3-上的奇函数，()13f -=所以()()113f f =--=-，因为当0x >时，()22f x x ax =-+，所以()133a f -=-=，解得6a =，所以当0x >时，()()226237f x x x x =-+=--，当0x <时，()22()[()6()2]62f x f x x x x x =--=----+=---所以由二次函数的性质得(0,3]x ∈时，函数()y f x =单调递减，在[3,0)-上单调递减易知()()1210f m f m -++≥⇔()()211f m f m +≥-当0213,013m m <+≤<-≤时，原不等式⇔211m m +≤-，解得102m -<≤；当3210,310m m -≤+<-≤-<时，无实数解；当0213,310m m <+≤-≤-<，无实数解；当-3210,013m m ≤+<<-≤，即1-22m ≤<-时，原不等式⇔22(21)6(21)2(1)6(1)2m m m m -+-+-≥---+，解得1-22m ≤<-；当210m +=，即12m =-时，(21)0f m +=，39319(1)(622424f m f -==-⨯+=-，满足题意；当10m -=，即1m =时，(1)(0)0f m f -==，(21)(3)954243f n f +==-+=-，不满足题意.综上，原不等式的解集为：[-2,0]故答案为：[-2,0]四、解答题17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos 0a B b A c C ++=．（1）求C ；（2）若4b =，c =ABC 的面积．【答案】（1）23C π= （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得答案;（2）由余弦定理求得a 值，然后利用面积公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C C ++=，得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos A B B A A B C C C +=+==-．因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =-，即23C π=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得()()2412620a a a a +-=+-=，所以2a =，故ABC的面积为11sin 2422ab C =⨯⨯=18. 问题：设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，.下列三个条件：①248,,a a a 成等比数列；②425S a =；③1(1)n n n a na ++=.从上述三个条件中，任选一个补充在上面的问题中，并解答.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n K ，求证： 34n K <.【答案】（1）n a n = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）选①②③分别与36S =组成方程组，解出首项与公差即可得解；（2）利用裂项相消法求出数列的前n 项和为n K ，即可得证.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0.选条件①：∵ S 3＝6，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴()()()1211133637a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为11n a n n =+-=.选条件②：∵ S 3＝6，S 4＝5a 2，∴()111336465a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为11n a n n =+-=.选条件③：∵ S 3＝6，（n +1）a n ＝na n +1，∴()()()11133611a d n a n d n a nd +=⎧⎪⎨⎡⎤++-=+⎪⎣⎦⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为11n a n n =+-=.【小问2详解】证明：∵n b =＝11122n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，∴ 11111(21324n K =-+-+…+11111n n n -+--+ 1)2n +＝1111121212n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭＝()()1323322124n n n ⎡⎤+-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦.19. 已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈．若函数()f x 在1x =处有极值-4．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值．【答案】（1）71.3⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）()4()8min max f x f x =-=，.【解析】【详解】试题分析：()1先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于,a b 的方程组，求得,a b 后再根据导函数的符号求出单调递减区间．()2由()1求出函数的单调区间，可以数判断函数()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数()f x 在[]1,2-上的极值和端点值，通过比较可得()f x 的最大值和最小值．试题解析：（1）∵()32f x x ax bx =++，∴()2'32f x x ax b =++，依题意有即()()'1320114f a b f a b ⎧=++=⎪⎨=++=-⎪⎩，解得2.7a b =⎧⎨=-⎩∴()()()2'347371f x x x x x =+-=+-，由()'0f x <，得713x -<<，∴函数()f x 的单调递减区间7,1.3⎛⎫- ⎪⎝⎭()2由()1知()3227f x x x x ，=+-∴()()()2'347371f x x x x x =++=+-，令()'0f x =，解得12713x x =-=，．当x 变化时，()()'f x f x ，的变化情况如下表：由上表知，函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增．故可得()()14min f x f ==-，又(1)8,(2)2f f -==．∴()()18.max f x f =-=综上可得函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值分别为8和4-．20. 已知函数()2cos sin 3f x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭π=++，x ∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调区间；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间是5[,](Z)1212k k k ππππ-+∈，单调递减区间是511[,](Z)1212k k k ππππ++∈； （2）最小值为12-，最大值为14【解析】【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得1()sin(223f x x π=-，利用正弦函数的性质即得；（2）利用正弦函数的性质即求．【小问1详解】由()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭2cos (sin cos sin )3x x x x π=+-+21sin cos 2x x x =+1sin 2cos 2)4x x =-+1sin(223x π=-，∴()f x 的最小正周期为π，由222232k x k ππππ--π+……，得5(Z)1212k x k k ππππ-+∈……，由3222232k x k πππππ+-+……，得511(Z)1212k x k k ππππ++∈……∴函数单调增区间为5[,](Z)1212k k k ππππ-+∈，函数单调减区间为511[,](Z)1212k k k ππππ++∈；【小问2详解】由于[,]44x ππ∈-，所以52[,]366x πππ-∈-，所以1sin(2[1,32x π-∈-，故11()[,24f x ∈-，故函数的最小值为12-，函数的最大值为14．21. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()32nn n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）22n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）结合等差数列下标性质可得465218a a a +==，再由前n 项和公式()11111611111212a a S a +===，即可求解；（2）由（1）()132(1)2n n n n b a n +=+=+，再结合错位相减法即可求解；【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，∵465218a a a +==，∴59a =，()11111611111212a a S a +===，∴611a =，∴651192d a a =-=-=，∴5(5)92(5)21n a a n d n n =+-=+-=-.（2）由（1）可知()132(213)2(1)2n nn n n b a n n +=+=-+=+，∴数列{}n b 的前n 项和为2341223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+++ ，3451222232422(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++++ ，两式作差，得2341222222(1)2n n n T n ++-=⨯++++-+ ()122228128(1)2828(1)2212n n n n n n n n -++++-=+-+=+--+=--，∴22n n T n +=⋅.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，错位相减法求解数列的前n 项和，属于中档题22 设函数()2ln x f x e a x =-..（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时()22ln f x a a a ≥+【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x '没有零点；当0a >时，()f x '存在唯一零点.（Ⅱ）见解析【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分0a ≤与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设()f x '在()0+∞，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a+，即证明了所证不等式.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，，()2()=20x a f x e x x '->.当0a ≤时,()0f x '>，()f x '没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，a x-单调递增，所以()f x '在()0+∞，单调递增.又()0f a '>,当b 满足04a b <<且14b <时，()0f b '<,故当0a >时，()f x '存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x '在()0+∞，的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()0f x '<;当()0+x x ∈∞，时，()0f x '>.故()f x 在()00x ，单调递减，在()0x ∞，单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .由于0202=0x a e x -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++≥+.故当0a >时，2()2lnf x a a a ≥+.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力..。

2024学年甘肃省张掖市民乐县第一中学高三三校联合测试数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．22．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ） A ．22-B ．1C ．0D ．2-3．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 4．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．625．已知集合{2,0,1,3}A =-，{53}B x x =-<<，则集合A B 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．326．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤7．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．9608．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-9．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.10．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交11．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．212．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）A ．12B ．14C ．15D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

民乐一中2021—2022学年高三年级第二次诊断考试数学(理) 试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1．已知集合{}2230A xx x =--<∣，102B x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（ ） A ．1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B ．32x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ C ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ D ．{1}xx >-∣ 2．命题p ：“(,0),23x x x ∀∈-∞≥”的否定形式p ⌝为（ ）A ．000(,0),23x xx ∃∈-∞<B ．000(,0),23x xx ∃∈-∞≤C ．(,0),23x x x ∀∈-∞<D ．(,0),23x x x ∀∈-∞≤3．已知数列3,5,7,3,11,,21,n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，则51是这个数列的（ ） A ．第12项B ．第13项C ．第24项D ．第25项4．已知两条直线1:60l x my ++=，()2:2320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则m 为（ ） A ．1-B ．3C ．1-或3D ．05．已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为 A ．833π B ．8π C ．6π D ．433π7．如图所示，在ABC 中，3CB CD =，2AD AE =，若AB a =，AC b =，则CE =（ ）A ．1163a b -B ．1263a b -C ．1133a b - D ．1566a b -8．函数()()33sin f x x x x =-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度可得到sin 2y x =的图象B ．6x π=是函数()f x 的一条对称轴C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心D ．函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为310．设实数,x y 满足约束条件4210x y x y x +⎧⎪-⎨⎪-⎩，则目标函数1y z x =+的取值范围是( )A ．13,0,22⎛⎤⎡⎤-∞- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 11．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，给出下面几个命题： ①四边形1BFD E 一定是平行四边形； ②四边形1BFD E 有可能是正方形； ③平面1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ；④设1D F 与DC 的延长线交于M ，1D E 与DA 的延长线交于N ，则M ､N ､B 三点共线； ⑤四棱锥11B BFD E -的体积为定值. 以上命题中真命题的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)0f =，()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．(,1)(0,)-∞-+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,)-+∞二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知10m xdx =⎰，向量a →，b →的夹角为120°，||4a m →=，||1b →=，若(3)()a b a b λ→→→→+⊥+，则λ=______. 14．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，2B C =，则a c +的取值范围为________．15．在等差数列{}n a 中，若200a =，则有等式12312339(38,)n n a a a a a a a a n n N '-++++++++≤∈=成立。

2021年高三上学期第二次联考数学文含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

第一部分选择题(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，，则为A． B． C. D．2．已知命题，则A．B．C．D．3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是A．B．C．D．4. 在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于A．15 B．12 C．9 D．65.已知函数则函数的零点个数为A．B．C．D．6. 函数在区间的简图是Ａ. Ｂ.7. 如果等差数列中，，那么等于A．21 B．30 C．35 D．408. 的三个内角的对边分别为，已知，向量，，若，则角的大小为Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9．已知定义在上的函数满足，为的导函数，且导函数的图象如Array右图所示．则不等式的解集是（）A．B．C．D．10. 设是边长为的正的边及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，若点，则的最大值为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第二部分非选择题(共100 分)二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.已知函数，则________.12. 已知向量，若，则_________ .13．某住宅小区计划植树不少于60棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数等于_____________.14.定义在上的函数满足.若当时.,则当时,=________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数,.(1) 求的值；(2) 若,,求.16．（本小题满分12分）已知向量，，设函数，.（1）求的最小正周期与最大值；（2）在中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.17．（本小题满分14分）设数列满足：，，．（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，.求的通项公式，并证明：．18．（本小题满分14分）已知函数，.（1）当，时，求的单调区间；（2）当，且时，求在区间上的最大值．19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）.（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.（1）求常数的值；（2）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围；（3）证明:.xx 届高三六校第二次联考文科数学参考答案第Ⅰ卷选择题（满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（C ） 2．（A ） 3．（A ） 4．（B ） 5．（C ） 6．（A ） 7．（C ） 8．（A ） 9．（B ） 10．（C ）第Ⅱ卷非选择题（满分100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11． 12． 13． 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分） 解：(1)1sin sin sin 4412662f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……………… ……4分(2))2sin 2sin 2sin 2cos 2331242f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………… ……7分因为,,所以, ……………… ……9分所以,……………… 11分所以.…………12分16．（本小题满分12分）解：(1) ……………… ……2分……………… ……4分∴ 的最小正周期为＝， ………………………5分的最大值为5. ……………………6分 (2)由得，，即 ，∵ , ∴，∴ ………………………8分 又, 即,∴ ………………………10分 由余弦定理得，32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a∴ …………………………………12分17．（本小题满分14分） 解：（1）因为，又，所以，因此是首项为1，公比为3的等比数列， ……………2分 所以，. ……………6分 （2）设等差数列的公差为， 依题意，所以，即，故. ……………8分由此得，. （资料苏元高考吧 ） …………10分 所以，()()1223111111113352121n n b b b b b b n n ++++=+++⨯⨯-+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 .因此所证不等式成立. ……………14分18．（本小题满分14分）解：（1）当，时，， (1)分则 ……………………………2分 令，解得，，当或时，有； 当时，有，………… 5分 所以的单调递增区间和，的单调递减区间．……………………………7分（2）当，且 时，，.则， 令，得或． …………………8分 ①当，即时，此时当时，有，所以在上为减函数， 当时，有，所以在上为增函数， ………9分 又，，所以的最大值为； …………………………10分 ②当，即时，此时当时，；当时，；当时，；所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数. ……………………12分3231111()()()3266f m m m m m -=-+-=<， ，所以的最大值为， …………………13分 综上，在区间上的最大值为 . …………………14分19.（本小题满分14分） 解:（1）因为是与的等差中项，所以（），即，（） ……………2分 由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （）， …………4分 又，所以 （），所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……………6分 （2）由（1）得，即（），……………7分 所以，当时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，…9分 又时，也适合上式，所以. ……………10分 （3） 原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立； ……………11分 当为偶数时，等价于恒成立， 令，，则等价于恒成立， 因为为正整数，故只须，解得，，所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（1）由题设知，的定义域为,, ……………1分 因为在处的切线方程为，所以,且，即,且 …………3分又解得，，. …………4分 （2）由(1)知，因此，22()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>，所以)0)(2(12)(2'>+-=+-=x m mx x xx m m x x g . …………5分 令.（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有. ………7分（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函 数在内有两个不等根，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>+-⨯=>+-=>⨯⨯-=∆,341,0332)3(,02)1(,02422m m m d m m d m m解得. …………8分 综上，实数的取值范围是. …………9分 （3）因为，所以当时，有，所以在上为减函数，因此当时, ， 即，即当时, ，所以对一切都成立， …………11分 所以， ， ， … ，所以ln2ln3ln4ln20121232012 23420122342013⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯，所以. …………14分6,j20298 4F4A 佊40222 9D1E 鴞30121 75A9 疩29675 73EB 珫JM27804 6C9C 沜28420 6F04 漄31014 7926 礦Xhb。

【高三】2021高三数学二诊文科试题(甘肃含答案)甘肃省2022年第二次高考诊断试卷数学（文）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（）和第ⅱ卷（非）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2.回答第一卷时，在选择每个小问题的答案后，用铅笔在答题卡上涂黑相应问题的答案号。

如果需要更改，请使用橡皮擦清洁，然后选择绘制其他答案。

在这张试卷上写字是无效的3．回答第ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4.考试结束后，将试卷和答题纸一起交回第ⅰ卷（选择题，共60分）一、多项选择题：这道主题共有12个子题，每个子题得5分。

在每个子问题给出的四个选项中。

只有一项符合主题的要求1．已知集合a={0，1}，b={}，则ab=a、 {0,1}B.{0,1,1}c．{0，1，一1，}d．{0，l，一1，一}2.如果是复数，Z是a．ib．一ic．2id．1+i3.假设回归线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点（4,5），回归线方程为a．y=1．23x+4b．y=1．23x+5c、 y=1.23x+0.08d.y=0.08x+1,2,34．抛物线的准线的方程是y=l，且抛物线恒过点p(1，一1)，则抛物线焦点弦pq的另一个端点q的轨迹方程是a、（x-1）2=-8（Y-1）B.（x-1）2=-8（Y-1）（x1）c．(y一1)2=8(x一1)d．(y一1)2=8(x一1)(x1．)5.让变量X和Y相遇，则X+2Y的最大值和最小值分别为a．1，-1b．2，一2c．1，一2d．2，一16.执行右图所示程序，输出结果为48，判断框中填写人员的条件为a．i≥4?b、 i>4？c．i≥6?d、 i>6？7．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸，可这个几何体的体积是a．b．c、 d。

8．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是a．16b．20c．24d．329.给定函数y=2sin2（那么函数的最小正周期）t和它的图象的一条对称轴方程是a、 T=2，对称轴方程为b．t=2，一条对称轴方程为c、 T=，对称轴方程为d．t=，一条对称轴方程为10.已知点F是双曲线的左焦点，点E是双曲线的右顶点，穿过F并垂直于X轴的直线在两点a和B与双曲线相交，并且△ Abe是一个锐角三角形，则双曲线的偏心率e的取值范围为a．（1，+∞）b．（1，2）c．（1，1+）d．（2，1+）11.[1,2,2]中的已知功能和图像如下图所示。

2021届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，(){}20,B x x x x =-≥∈Z ，则A B =（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}0,2C ．{}3,4D ．{}0,1,22．复数4i1+3i的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．已知函数()π2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为()3,0，为了得到函数()π2cos 4g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象（ ）A ．向左平移1个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移π4个单位长度6．已知函数()22cos sin x xx xf x e e--=+，则函数()f x 的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）A ．小寒比大寒的晷长长一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．小雪的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长长8．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π3=），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ） A ．55B ．50C ．45D ．409．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为圆()2212x y +-=的圆心，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则AB =（ ） A ．12B ．14C ．16D ．1810．已知向量≠a e ，1=e ，对任意t ∈R 恒有t -≥-a e a e ，则（ ） A ．⊥a e B ．()⊥-a a e C ．()⊥-e a eD ．()()+⊥-a e a e11．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -，则该四棱锥的表面积为（ ） A．B．C．D．12．已知函数()()221ln 202x aa xf x e ex a x a --=++-->，若()f x 有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．(B ．()20,eC．)+∞D ．)2,e ⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =________． 14．已知圆222)1)5:((C x y -+-=及点(0,2)A ，点P 、Q 分别是直线20x y ++=和圆C 上的动点，则||||PA PQ +的最小值为___________．15．设函数()212221xx f x x--=++，若对x ∀∈R ，不等式()()24f mx f x ≥+成立，则实数m 的取值范围是_________．16．在ABC △中，a ，b ，c ，分别为角A ，B ，C 的对边，cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭．若ABC △的内切圆面积为4π，则ABC △面积S 的最小值_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n kn =-+(*k ∈N )，且n S 的最大值为25．（1）求k 的值及通项公式n a ； （2）求数列{}112n a n -⋅的前n 项和nT ．18．（12分）在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数)． 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线方程ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-；(参考数据：61628i ii x yxy =-=∑)．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点． （1）证明：1AB ∥平面1BC D ；（2）若12AA AB =，求点1B 到平面1BC D 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △3 （2）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数()1xf x e ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线2C 的极坐标方程为π6θ=-．（1）将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|31|2|3|f x x x =-+-．（1）若关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的实数根，求a 的取值范围； （2）如果不等式()f x bx ≤的解集非空，求b 的取值范围．文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】由集合()(){}150,A x x x x =+-<∈Z ，得{}0,1,2,3,4A =，(){}20,{|0B x x x x x x =-≥∈=≤Z 或2,}x x ≥∈Z ，所以{}0,2,3,4AB =，故选A ．2．【答案】A()4i 1i 4==，所以虚部为1，故选A ． 3．【答案】B【解析】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，因为478<<，所以2222log 4log 7log 83=<<=，所以23a <<， 因为3log y x =在()0,∞+上单调递增，389<<， 所以3331log 3log 8log 92=<<=，所以12b <<， 因为0.3xy =在R 上单调递减，0.20>， 所以0.2000.30.31<<=，即01c <<， 所以c b a <<，故选B ． 4．【答案】C 【解析】命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题，即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x≥+能成立， 设36()f x x x =+，则36()12f x x x =+≥=，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即min ()12f x =，12a ∴≥， 故a 的取值范围是12a ≥，故选C ． 5．【答案】A【解析】因为函数()f x 图象的一个对称中心为()3,0，所以3ππ4k ϕ+=，k ∈Z ，所以3ππ4k ϕ=-，k ∈Z ， 又π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()ππ2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()()πππππ2cos2sin 2sin 144244g x x x x ⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以为了得到()π2cos 4g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度，故选A ． 6．【答案】B【解析】函数()22cos sin x xx xf x e e--=+的定义域为R ，且()()f x f x -=， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， 排除选项A ，D ； 因为()1012f =<，所以排除选项C ， 故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ， 其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸， 则1351512d =+，解得10d =（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ，首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸），故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A 正确； 春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-=，秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，故春分和秋分两个节气的晷长相同， 所以B 正确；小雪的晷长为11a ，1111015100115a a d ∴=+=+=，115寸即一丈一尺五寸， 故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C 错误； 立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D 正确， 故选C ． 8．【答案】C【解析】17=，设三角形内切圆的半径为r ，面积为S ， 利用等面积法可知()118158151722S r =⨯⨯=⨯++，解得3r =， 向该直角三角形内随机抛掷100颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x ，则利用几何概型可知2π311008152x ⨯=⨯⨯，解得2π31004518152x ⨯⨯==⨯⨯颗， 所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45，故选C ． 9．【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为()0,1，则12p=，即2p =，则抛物线方程为24x y =， 直线AB 的倾斜角为60°，故直线AB的方程为1y =+，联立直线与抛物线241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得240x --=，设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=124x x =-，则16AB ==，故选C ．10．【答案】C【解析】对任意t ∈R 恒有t -≥-a e a e ，22t ∴-≥-a e a e ，即2222222t t -⋅+≥-⋅+a a e e a a e e ，即()22210t t -⋅+⋅-≥a e a e 对任意t ∈R 恒成立，则()()()222421410Δ=⋅-⋅-=⋅-≤a e a e a e ，1∴⋅=a e ，故a 和e 不垂直，故A 错误；≠a e ，1=e ，22()10∴⋅-=-⋅=-≠a a e a a e a ，故B 错误；2()110⋅-=⋅-=-=e a e a e e ，()∴⊥-e a e ，故C 正确； 222()()10+⋅-=-=-≠a e a e a e a ，故D 错误，故选C ． 11．【答案】B【解析】设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，过O 作底面ABCD 的垂线，垂足为M ， 因为四边形ABCD 是长方形，所以M 为底面中心，即对角线AC BD 、的交点， 过O 作三角形APD 的垂线，垂足为N ，所以N 是正三角形APD 外心，设外接球半径为r ，外接球的体积为34π33r=，所以r =OA = 过N 作NE AD ⊥，则E 是AD 的中点，连接EM ，所以112EM AB ==，EM AD ⊥， 因为平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，所以NE ⊥平面ABCD ，所以//NE OM ，所以EM ⊥平面APD ，所以//EM ON ， 所以四边形MENO 是平行四边形，即OM NE =，设2AD x =，则AM ==，113323NE PE AD x ==⨯=，所以OM NE x ==，由勾股定理得222OA OM AM =+，即221213x x =++，解得x =所以AD =21sin 602PAD S AD =︒=△，因为////CD AB OM ，所以AB ⊥平面APD ，CD ⊥平面APD ， 所以PA AB ⊥，PD CD ⊥，132PAB PCD S S AB AP ==⨯⨯=△△， 因为227PB PC PA AB ==+=，3BC =，作PH BC ⊥于H ，所以H 为BC 的中点，所以221357242PH PB BC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 所以1532PBC S PH BC =⨯⨯=△，23ABCD S =矩形， 所以63PAD PAB PCD ABCD S S S S S =+++=△△△表矩形，故选B ．12．【答案】C【解析】()0f x =可转化为2212ln 2x a a xe x a x e --+-=-+． 设()2x aa x g x ee --=+-，由基本不等式得2220x a a x x a a x e e e e ----+-≥⋅=， 当且仅当x a =时，()g x 取到最小值0．设()()221ln 02h x x a x a =-+>，则()222a a x h x x x x-'=-+=， 当0x a <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当x a >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当x a =时，()h x 取到最大值221ln 2a a a -+．若()f x 有2个零点，则()g x 与()h x 有两个交点，此时221ln 02a a a -+>，解得a e >，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】13【解析】0x >，0y >，21x y +=，()2121222225525249y x y x x y x y x y x y x y∴+=++=++≥+⋅=+⎛⎫ ⎝⎭=⎪， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立． 故答案为13． 14．【答案】25 【解析】如图所示：设点A 关于直线:20l x y ++=的对称点为(),A x y '，则2202221x y y x+⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，则()4,2A '--， 因为PA PA '=，所以PA PQ+的最小值为()()22422155A C r '-=--+--=故答案为 15．【答案】[]4,4- 【解析】函数()212221xx f x x--=++的定义域为R ， ()()()()221122222211xxx x f x f x xx -------=+=+=++-，所以，函数()f x 为偶函数， 当0x ≥时，()()2122312321121x x x f x x x--+=+=+-++， 由于函数122x y =为减函数，2231y x =+在[)0,+∞上为减函数， 所以，函数()212221xx f x x--=++在[)0,+∞上单调递减， 由()()24f mx f x ≥+可得()()24fmx f x≥+，可得24mx x ≤+，所以，240x m x -⋅+≥对任意的x ∈R 恒成立， 设0t x =≥，则240t m t -+≥对任意的0t ≥恒成立， 由于二次函数24y t m t =-+的对称轴为直线02mt =≥， 2160Δm ∴=-≤，解得44m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]4,4-，故答案为[]4,4-．16．【答案】【解析】cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭)sin sin cos cos sin B C B C A -=，即()sin B C A +=sin A A =，即tan A =π3A ∴=， 由题意知ABC △内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I ，,M N 为切点，则4AI =，AM AN ==从而43a b c =+-(22243b c b c bc +-=+-，整理得)34883163bc b c bc +=+≥，解得48≥bc 或163≤bc （舍去）， 从而113sin 4812322S bc A =≥⨯=， 即ABC △面积S 的最小值为123123三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）10k =，211n a n =-+(*n ∈N )；（2）434993n n n T +=-⋅． 【解析】（1）由题可得2224n k k S n ⎫⎛=--+ ⎪⎝⎭，*k ∈Z ， 所以当k 为偶数时，()2max2254n k k S S ===，解得10k =；当k 为奇数时，()21max 21254n k k S S +-===，此时k 无整数解，综上可得：10k =，210n S n n =-+．①1n =时，119a S ==．②当2n ≥时，()()()()221101101211n n n n n n n n a S S -=-+---+-=-+=-，当1n =时也成立． 综上可得211n a n =-+，所以10k =，211n a n =-+(*n ∈N )． （2）112224n a n n n n n --⋅=⋅=，1212444n n n T =++⋅⋅⋅+① 231112144444n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++② 两式相减得21311144444n n n nT +=++⋅⋅⋅+-，1111131144144334414n n n n n n n T ++⎫⎛- ⎪⎝⎭=-=--⋅-， 则14199434n n n n T -=--⋅⋅，则434993n n n T +=-⋅． 18．【答案】（1） 1.664.4y x =+；（2）75． 【解析】（1）由题意，123456 3.56x +++++==，666770717274706y +++++==，()()()()7222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，()171277281.617.5i i i iix x x y x yb ==--∴===∑∑，70 1.6 3.564.4a y bx =-=-⨯=， ∴y 关于x 的线性回归方程为 1.664.4y x =+．（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x =，此时 1.6764.475.6y =⨯+=， 保留整数为75人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75人． 19．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）设11B CBC E =，连接DE ，由直棱柱的性质可知四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，因为1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ． （2）连接1AC ，由（1）知1//AB 平面1BC D ，所以点1B 到平面1BC D 的距离等于点A 到平面1BC D 的距离， 因为底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，因为2AB =，所以1AD =，则3BD =， 从而ABD △的面积为13132⨯⨯=， 故三棱锥1C ABD -的体积为132343⨯⨯=， 由直棱柱的性质可知平面ABC ⊥平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ， 因为1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥， 又221117C D CC CD =+=，所以1BC D △的面积为1513172⨯⨯=， 设点A 到平面1BC D 的距离为h ，则151233h ⨯=，解得417h =， 故点1B 到平面1BC D 的距离为41717．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时，12PF F △的面积最大，此时1232b ⨯⨯=3b = 由222a bc =+，得2314a =+=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430Δm k km=-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+．()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()22222234431640343434m k m mkk k k--∴+++=+++， 整理可得2271640m km k ++=， 解得12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）(,2]e -∞-．【解析】（1）当1a =时，()1x f x e x =--，所以()1x f x e =-'．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值．（2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以210x e x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立． 当0x =时，00≥恒成立，此时a ∈R ；当0x >时，1()x e a x x x≤-+在(0,)+∞上恒成立．令1()()x e g x x x x =-+，则2222(1)1(1)((1))()()x x e x x x e x g x x x x ----+'=-=． 由（1）知0x >时，()0f x >，即(1)0xe x -+>．当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，min ()2g x e =-，所以2a e ≤-， 综上可知，实数a 的取值范围是(,2]e -∞-．22．【答案】（1）2112:y x C =-，()230,0C y x +=≥；（2）25324y x =-+． 【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以2sin 12sin x y αα=⎧⎨=-⎩，消去α，得212y x =-． 因为直线2C 的极坐标方程为π6θ=-，所以πsin tan tan 6cos ρθθρθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，即3y x =-()30,0y x +=≥． （2）设切线方程为33yx b，由212y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，得2210x x b +-=，所以()238103Δb ⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2524b =， 所以切线方程是325324y x =-+． 23．【答案】（1）16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）{5b b <-∣或83b ⎫≥⎬⎭． 【解析】（1）57,31()31235,33157,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩， 当3x ≥时，函数()f x 单调递增，并且()8f x ≥； 当133x ≤<时，函数()f x 单调递增，并且16()3f x ≥； 当13x <时，函数()f x 单调递减，并且16()3f x >， 综上：当13x >时，函数()f x 单调递增，当13x <时，函数()f x 单调递减，且16()3f x ≥．作出()f x 的图象如图所示：要使关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的根， 则a 的取值范围16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（2）因为(3)8f =，记点(3,8)M ，坐标原点为(0,0)O ，则直线OM 的斜率为83k =． 当直线y bx =与57y x =-+平行时，无交点， 所以当5b <-或83b ≥时，该直线与函数()|31|2|3|f x x x =-+-的图象相交． 因为不等式()f x bx ≤的解集非空， 所以b 的取值范围是{5b b <-或83b ⎫≥⎬⎭．。

2021年甘肃省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）i （2+3i ）＝（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i2．（5分）已知集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{3} B ．{5}C ．{3，5}D ．{1，2，3，4，5，7}3．（5分）函数f （x ）的图象大致为（ ）=e x ‒e ‒xx 2A ．B ．C ．D ．4．（5分）已知向量，满足||＝1，1，则•（2）＝（ ） →a →b →a →a ⋅→b =‒→a →a -→b A ．4B ．3C ．2D ．05．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．（5分）双曲线1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）x 2a 2‒y 2b2=3A ．y ＝±x B ．y ＝±xC ．y ＝±xD ．y ＝±x2322327．（5分）在△ABC 中，cos ，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ） C 2=55A ．4B ．C ．D ．22302958．（5分）为计算S ＝1，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入-12+13‒14+⋯+199‒1100（ ）A ．i ＝i +1B ．i ＝i +2C ．i ＝i +3D ．i ＝i +49．（5分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．B ．C ．D ．2232527210．（5分）若f （x ）＝cos x ﹣sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．ππ4π23π411．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2C ．D ．1-32-33‒123‒12．（5分）已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）＝f （1+x ），若f （1）＝2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）＝（ ） A ．﹣50B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年甘肃省高考数学二诊试卷（文科）1. 复数( )A. B. C. D.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.3. 命题p：已知一条直线a及两个不同的平面，，若，则“”是“”的充分条件；命题q：有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台.则下列为真命题的是( )A. B. C. D.4. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.5. 已知椭圆的方程为，离心率，则下列选项中不满足条件的为( )A. B. C. D.6. 刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的.如图所示的三视图是一个鳖臑的三视图，则其分割前的长方体的体积为( )A. 2B. 4C. 12D. 247. n位校验码是一种由n个“0”或“1”构成的数字传输单元，分为奇校验码和偶校验码，若一个校验码中有奇数个“1”，则称其为奇校验码，如5位校验码“01101”中有3个“1”，该校验码为奇校验码.那么4位校验码中的奇校验码的个数是( )A. 4B. 6C. 8D. 108. 若，则( )A. B. 3 C. D.9. 2022年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察.在科考期间，陈院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”.已知某地大气压强与海平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度单位：米满足关系：为常数，e为自然对数的底若科考队算得A地，海拔8700米的B地，则A地与珠峰峰顶高度差约为( )A. B. C. D.10. 如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则( )A.B.C. 1D. 211. 过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若以AB为直径的圆经过点，则弦长( )A. 8B. 6C. 5D. 412. 若，则以下不等式成立的是其中e为自然对数的底( )A. B.C. D.13. 为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动.为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人.已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______ 人.14. 若圆O：过双曲线的实轴顶点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的渐近线方程为______ .15. 已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______ .16. 我国古代数学名著《孙子算经》卷下的第26题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此题所表达的数学涵义是：一个正整数，被3除余2，被5除余3，被7除余2，这个正整数是多少？这就是举世闻名的“中国剩余定理”.若分别将所有被3除余2的正整数和所有被7除余2的正整数按从小到大的顺序组成数列和，并依次取出数列和的公共项组成数列，则______ ；若数列满足，数列的前n项和为，则______ . 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且_____.求的面积；若，求在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 某省农科院为支持省政府改善民生，保证冬季蔬菜的市场供应举措，深入开展了反季节蔬菜的相关研究，其中一项是冬季大棚内的昼夜温差与反季节蔬菜种子发芽数个之间的关系，经过一段时间观测，获得了下列一组数据值为观察值：温差89 1 01112发芽数个2324262730在所给坐标系中，根据表中数据绘制散点图，并判断y与x是否具有明显的线性相关关系不需要说明理由；用直线l的方程来拟合这组数据的相关关系，若直线l过散点图中的中间点即点，且使发芽数的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的平方之和最小，求出直线l的方程；用中求出的直线方程预测当温度差为时，蔬菜种子发芽的个数.19. 已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，若，，E，F分别为，的重心.求证：平面PBC；当时，求E到平面PCD的距离.20. 已知椭圆C：的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且求椭圆C的方程；若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点.①证明：直线CD过椭圆右焦点；②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.21. 已知函数当时，求的零点个数；设函数，讨论的单调性.22. 在平面直角坐标系中xOy，曲线的参数方程为：为参数，且，P为曲线上任意一点，若将点P绕坐标原点顺时针旋转得到点Q，点Q的轨迹为曲线以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；已知点，直线与曲线交于A，B两点，求的值.23. 已知求不等式的解集；若，且，恒成立，求m的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数，故选利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果．本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：集合，，则故选：求出集合A，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：对于命题p，若，，则由面面垂直的判定定理可得，所以“”是“”的充分条件，故命题p为真命题，对于命题q，由棱台的定义可知，棱台各个侧棱的延长线交于一定，故命题q为假命题，所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题．故选：先判断命题p，q的真假，再利用复合命题真假判断方法，逐个分析各个选项即可．本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了复合命题的真假判断，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：函数，恒成立，排除选项B、C；当，并且时，，排除选项A；故选：利用函数的值域，排除选项，结合x的取值，判断y的值，即可推出函数的图象．本题考查函数图象的判断，函数的值域，是判断函数的图象的常用方法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由，可得，，，故离心率，故A正确；由，可得，，，故离心率，故B正确；由，可得，，，故离心率，故C不正确；由，可得，可得，，，故离心率，故D正确．故选：根据椭圆的几何性质，求解即可判断每个选项的正确性．本题考查椭圆的离心率，属基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意可知三视图的直观图是，并且，，，所以长方体的体积为：故选：利用三视图的数据，判断长方体的棱长，然后求解长方体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，4位校验码中的奇校验码，即一个4位校验码中有奇数个“1”，若其中有1个“1”，有种情况，若其中有3个“1”，有种情况，则4位校验码中的奇校验码的个数是故选：根据题意，按“1”的个数分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：，故选：利用两角和差的余弦公式展开，再利用同角关系即可得．本题考查三角函数的求值，考查两角和差公式，同角关系，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：设A地海拔高度为，珠峰峰顶处海拔高度为，由已知得，，所以，即，依题意得，，所以故选：设A地海拔高度为，珠峰峰顶处海拔高度为，由题意可得，再利用指数幂的运算性质求出的值即可．本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：，则，，，故选：根据已知提条件，结合向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：已知抛物线方程为，则抛物线的焦点为，过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB的方程为，联立，消x可得，设，，则，，又以AB为直径的圆经过点，则，即，即，即，即，则，即，所以弦长故选：由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系求解即可．本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．12.【答案】A【解析】解：因为，所以，令，则，当时，，单调递增，所以，故，A正确，所以，B错误；由可得，C错误；，D错误．故选：由题意得，令，对其求导，结合导数分析函数单调性，再由单调性即可比较函数值大小．本题主要考查了导数与单调性关系在不等式大小比较中的应用，属于中档题．13.【答案】2080【解析】解：由题意可得抽取的高三年级总人数为人，设该校共有x个学生，则抽取比例为，所以，解得人．故答案为：先求出高三年级抽取的人数，然后设该校总人数为x，利用分层抽样的性质建立方程即可求解．本题考查了分层抽样的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：圆O：的圆心，半径为，因为圆O：过双曲线的实轴顶点，所以，又圆O与直线l：相切，所以，则，所以双曲线的渐近线方程为故答案为：由题可知，利用圆心O到直线的距离等于半径可得b的值，从而可得双曲线的渐近线方程．本题主要考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于基础题．15.【答案】6【解析】解：由于，则函数的周期为4，又当时，，则可作出函数的大致图象如下，由，可得，由图象可知，当时，函数与函数仅有3个交点，由对称性可知，当时，函数与函数也仅有3个交点，所以方程有6个不同的实数根，即方程的实根个数是故答案为：易知函数的周期4，方程的实根个数即为函数与函数的交点个数，作出函数图象，结合图象即可得出答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意可得，，不妨令，则，即，即为7的倍数，即，，即公共项数列为，，，…，则；又，则，则故答案为：；由等差数列的通项公式的求法，结合裂项求和法求解即可．本题考查了等差数列的通项公式的求法，重点考查了裂项求和法，属中档题．17.【答案】解：若选①：，由余弦定理可得，所以，又，所以，可得，所以的面积；若，，由正弦定理为三角形ABC外接圆半径，可得，可得，可得，所以若选②：，由题意可得，又，所以，可得，所以的面积；若，，由正弦定理为三角形ABC外接圆半径，可得，可得，可得，所以【解析】若选①：由题意利用余弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，可得，利用三角形的面积公式即可求解；由题意利用正弦定理，进而可求b的值．若选②：利用平面向量数量积的运算可求得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，可得，利用三角形的面积公式即可求解；由题意利用正弦定理，进而可求b的值．本题考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：作出数据分布的散点图，如图所示，由散点图知五个点明显分布在某条直线的附近，因此由散点图可以判断y与x有明显的线性相关关系；设直线l的方程为，即，则五个x值对应的直线上的纵坐标分别为，，26，，，若设观察值与纵坐标差的平方和为D，则，所以当时D取最小值，此时直线l的方程为；由直线l的方程为，令，可得个，所以可预测当温度差为时，蔬菜种子发芽的个数约为【解析】作出数据分布的散点图，根据散点图知五个点明显分布在某条直线的附近，即可得到结论；设直线l的方程，求得纵坐标分别为，，26，，，利用方差的公式，结合二次函数的性质，求得k的值，即可求解；由直线l的方程为，令，求得y的值，即可得到预测结果．本题考查了散点图和回归方程的计算，属于中档题．19.【答案】解：证明：延长PE交AB于M，延长PF交CD于N，，F分别为，的重心，，N分别为AB，CD的中点，且，又底面ABCD为平行四边形，，又平面PBC，平面PBC，平面PBC；设E到平面PCD的距离为，M到平面PCD的距离，由可知且，则，由题意可得：，平面PCD，平面PCD，平面PCD，在棱AB上，到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，底面ABCD，底面ABCD，，又，，PA，平面PAD，平面PAD，且平面PAD，，由题意知：，，，，，在等腰中，可得，，对于三棱锥的体积可得：，则，解得，到平面PCD的距离为【解析】延长PE交AB于M，延长PF交CD于N，根据等分点与三角形底边平行关系先证明线线平行，再证明线面平行；因为，设E到平面PCD的距离为，M到平面PCD的距离，则，然后利用等体积法求出即可．本题考查线面平行的证明，考查点到面的距离的求法，属中档题．20.【答案】解：由已知得：，，，设，因为M在椭圆上，所以①，因为，将①式代入，得，得，所以椭圆；①证明：设，则，同理可得，联立方程，得，则，同理联立方程，可得，则，又椭圆的右焦点为，所以，因为，说明C，D，三点共线，即直线CD恒过点；周长为定值，因为直线CD恒过点，根据椭圆的定义，所以的周长为【解析】由题意可得，，，设，可得，进而根据题意即可求解；①设，联立直线和椭圆方程，求得，进而得到，再根据向量共线的定义即可得证；②根据椭圆的定义即可求解．本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：当时，，则，当，，函数在上单调递减；当，，函数在上单调递增，所以，又，，所以存在，，使得，即的零点个数为函数，定义域为，，当时，，函数在上单调递增；当时，令，由于，①当时，，，函数在单调递减；②当时，，，，函数在上单调递减；③当时，，设，是方程的两个根，且，则，，由，当时，，，函数在上单调递减；当时，，，函数在上单调递增；当时，，，函数在上单调递减，综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在，上单调递减，在上单调递增．【解析】求导得到单调区间，计算，确定，，得到零点个数；求导得到导函数，考虑和两种情况，设，根据二次函数根的分布得到函数的单调区间，分类讨论计算得到答案．本题考查了利用导数解决函数的零点问题，求函数的单调区间，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键，分类讨论的方法是常考的方法，需要熟练掌握．22.【答案】解：曲线的参数方程为：为参数，且，可知曲线是以为圆心，2为半径的圆在x轴即上方的部分．转换为极坐标方程为，；P 为曲线上任意一点，若将点P绕坐标原点顺时针旋转得到点Q，设点，则，代入曲线，得到；故曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，，转换为直角坐标方程为，已知点，直线经过点F，所以直线的参数方程为为参数，代入，得到，所以，，故【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．23.【答案】解：因为，时，不等式可化为，解得，此时；时，不等式可化为，解得，此时；时，不等式可化为，解得，此时；所以不等式的解集是；因为，且，所以，即，所以，所以，又，所以m的最大值是【解析】利用分段讨论法去掉绝对值，再求不等式的解集；由题意求得，求出的最小值，即可求出m的取值范围，求得m的最大值．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。