甘肃省民乐一中、张掖二中2020届高三数学上学期第一次调研考试(12月)试题 理

甘肃省民乐一中、张掖二中2019届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足(1+i)z=i+2，则z的虚部为()A. 32B. 12C. −12D. −12i【答案】C【解析】解：∵(1+i)z=i+2，∴(1−i)(1+i)z=(i+2)(1−i)，∴2z=3−i，∴z=3 2−12i.则z的虚部为−12，故选：C．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2−x−6<0}，则P∩Q等于()A. [1,2，3]B. {1,2}C. [1,2]D. [1,3)【答案】B【解析】解：P={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，Q=(−2,3)；∴P∩Q={1,2}．故选：B．先得出P={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，通过解不等式x2−x−6<0而得出集合Q，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，一元二次不等式的解法及交集的运算．3.已知曲线f(x)=lnx+x2a 在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为3π4，则a的值为()A. 1B. −4C. −12D. −1【答案】D【解析】解：函数f(x)=lnx+x2a (x>0)的导数f′(x)=1x+2xa，∵函数f(x)在x=1处的倾斜角为3π4∴f′(1)=−1，∴1+2a=−1，∴a=−1．故选：D．求出函数f(x)=lnx+x2a (x>0)的导数f′(x)=1x+2xa，利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为3π4得f′(1)=−1，由此可求a的值本题考查导数的几何意义，直线的斜率与倾斜角的转换，属于基础题．4.已知数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，则其公差d=()A. −29B. 29C. −89D. 89【答案】D【解析】解：∵数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，∴{a10=a1+9d=10S10=10a1+10×92d=60，解得a1=2,d=89．故选：D．利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出首项和公差．本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.执行如图所示的程序框图，则输出的S值是()A. −1B. 23C. 32D. 4【答案】D【解析】解：第1次判断后循环，S=−1，i=2，第2次判断后循环，S=23，i=3，第3次判断后循环，S=32，i=4，第4次判断后循环，S =4，i =5， 第5次判断后循环，S =−1，i =6， 第6次判断后循环，S =23，i =7， 第7次判断后循环，S =32，i =8， 第8次判断后循环，S =4，i =9，第9次判断不满足9<8，推出循环，输出4． 故选：D ．直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i =9<9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力．6. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，若(a ⃗ +m b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数m 的值为( )A. 1B. 32C. 2D. 3【答案】D【解析】解：∵|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ | |b ⃗ |cos120∘=3×2×(−12)=−3．∵(a ⃗ +mb b ⃗ )⊥a ⃗ ，∴(a ⃗ +m b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2+m a ⃗ ⋅b ⃗ =32−3m =0，解得m =3． 故选：D ．由(a ⃗ +mb b ⃗ )⊥a ⃗ ，可得(a ⃗ +m b ⃗ )⋅a ⃗ =0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出． 本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m ；最后在根据统计数m 估计π的值，假设统计结果是m =34，那么可以估计π的值为( )A. 227B. 4715C. 5116D. 5317【答案】B【解析】解：由题意，120对都小于l 的正实数对(x,y)，满足{0≤y <10≤x<1，面积为1， 两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x 2+y 2<1且{0≤y <10≤x<1，x +y >1，面积为π4−12，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对(x,y) 的个数m =34，所以34120=π4−12，所以π=4715． 故选：B ．由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x ，y ，满足{0≤y <10≤x<1，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x 2+y 2<1且{0≤y <10≤x<1，x +y >1，面积为π4−12，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．8. 如图为某几何体的三视图，则其体积为( )A.2π3+4 B.2π+43C. π3+4D. π+43【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体(可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体)． 该几何体的体积=π×12×12×2+(12×2×1×2−13×12×2×1×2)=π+43．故选：D ．由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体(可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体)．本题考查了三视图的有关计算、柱体与锥体的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2e)=−f(x)(其中e =2.7182…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a =ln22，b =ln33，c =ln55，则f(a)，f(b)，f(c) 的大小关系(用不等号连接)为( )A. f(b)>f(a)>f(c)B. f(b)>f(c)>f(a)C. f(a)>f(b)>f(c)D. f(a)>f(c)>f(b)【答案】A【解析】解：∵f(x)是R 上的奇函数，满足f(x +2e)=−f(x)， ∴f(x +2e)=f(−x)， ∴函数f(x)关于直线x =e 对称， ∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数， ∴f(x)在区间[0,e]上为增函数， ∵a =ln22，b =ln33，c =ln55，通过lnx x单调性判断，易知0<c <a <b <e∴f(c)<f(a)<f(b)， 故选：A ．由f(x)是R 上的奇函数及f(x +2e)=−f(x)，可得f(x +2e)=f(−x)，从而可知f(x)关于x =e 对称，由f(x)在[e,2e]上的单调性可得f(x)在[0,e]上的单调性，由a ，b ，c 的大小关系，进而得到f(a)、f(b)、f(c)的大小关系．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，属中档题．10. 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+y 2m=1的离心率为( )A. √32B. √5C. √32或√52D. √32或√5 【答案】D【解析】解：依题意可知m =±√2×8=±4当m =4时，曲线为椭圆，a =2，b =1，则c =√3，e =ca =√32当m =−4时，曲线为双曲线，a =1，b =2，c =√5则，e =√5 故选：D ．先根据等比中项的性质求得m 的值，分别看当m 大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b ，则c 可求得，继而求得离心率．当m <0，曲线为双曲线，求得a ，b 和c ，则离心率可得.最后综合答案即可． 本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．11. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A −BCD 的外接球，BC =3，AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A. [π,4π]B. [2π,4π]C. [3π,4π]D. (0,4π]【答案】B【解析】解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则O 1D =3sin600×23=√3，AO 1=√AD 2−DO 12=3，在Rt △OO 1D 中，R 2=3+(3−R)2，解得R =2， ∵BD =3BE ，∴DE =2在△DEO 1中，O 1E =√3+4−2×√3×2×cos300=1∴OE =√O 1E 2+OO 12=√2过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故选：B ．设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2=3+(3−R)2，解得R =2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，属于中档题．12. 已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x 满足f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)=4x −m ⋅2x −3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [−√3,√3)B. [−2,+∞)C. (−∞,2√2]D. [−2√2,√3]【答案】B【解析】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f(−x)=−f(x)有解即可； 即4−x −m ⋅2−x −3=−(4x −m ⋅2x −3)； ∴4x +4−x −m(2x +2−x )−6=0；即(2x +2−x )2−m(2x +2−x )−8=0有解即可；设2x +2−x =t(t ≥2)，则方程等价为t 2−mt −8=0在t ≥2时有解； 设g(t)=t 2−mt −8，对称轴为x =m2；①若m ≥4，则△=m 2+32>0，满足方程有解； ②若m <4，要使t 2−mt −8=0在t ≥2时有解，则需： {g(2)=−2m −4≤0m<4； 解得−2≤m <4；综上得实数m 的取值范围为[−2,+∞)． 故选：B ．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f(x)是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程(2x +2−x )2−m(2x +2−x )−8=0有解.可设2x +2−x =t(t ≥2)，从而得出需方程t 2−mt −8=0在t ≥2时有解，从而设g(x)=t 2−mt −8，得出其对称轴为x =m2，从而可讨论m 的值，求出每种情况下m 的范围，再求并集即可．考查奇函数的定义，理解“局部奇函数”的定义，完全平方式的运用，换元法的应用，熟悉二次函数的图象．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x +y ≥0x +2y −4≤0，则z =x −2y 的最大值为______．【答案】32【解析】解：由约束条件{x −y −1≤0x +y ≥0x +2y −4≤0作出可行域如图，联立{x +y =0x−y−1=0，解得A(12,−12)，化目标函数z =x −2y 为y =x 2−z2，由图可知，当直线y =x 2−z 2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为32． 故答案为：32．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆(x −√2)2+y 2=1相切，则此双曲线的离心率为______． 【答案】√2【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx +ay =0， 圆(x −√2)2+y 2=1的圆心(√2,0)，半径为1， 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆(x −√2)2+y 2=1相切，可得：√2b √b 2+a 2=1，可得a 2=b 2，c =√2a ， ∴e =√2． 故答案为√2．求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a 、b 关系，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．15. 不论k 为何实数，直线y =kx +1与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】−1≤a ≤3【解析】解：直线y =kx +1恒过(0,1)点的直线系，曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0表示圆圆心(a,0)，半径为：√4+2a)， 直线与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内， 即：√a 2+12 ≤√4+2a 所以，−1≤a ≤3 故答案为：−1≤a ≤3．直线y =kx +1与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题．16. 抛物线y 2=8x 的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，∠OFA =2π3，则tan∠ACB =______．【答案】4√3【解析】解：∵抛物线方程为y 2=2px =8x ，∴p =4∴F 点坐标为(2,0)，准线l 方程x =−2， ∴C 点坐标为(−2,0) ∵∠OFA =2π3，∴直线AB 的斜率为：√3．∵直线AB 经过点F(2,0)∴直线AB 方程为y =√3(x −2)又∵点A 与点B 在抛物线上，∴两方程联立{y =√3(x −2)y 2=8x ，得到3x 2−20x +12=0， 解得A(6,4√3)，B(23,−4√33)∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(83,−4√33)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,4√3)∴cos∠ACB =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=643−16√(83)2+(4√33)2⋅√64+48=17，sin∠ACB =√487∴tan∠ACB =4√3． 故答案为：4√3．先求出抛物线焦点F 坐标(2,0)，准线为l ：x =−2，从而得到C 点坐标.由题意可知直线AB 的方程，由AB 方程与抛物线方程消去y 得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解．本题考查了抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查了求根公式，最后利用向量的数量积来求角的三角函数值是关键．三、解答题（本大题共7小题）17. 已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m 的最小值． 【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx =1−cos2x2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， f(x)的最小正周期为T =2π2=π；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32， 可得2x −π6∈[−5π6,2m −π6]，即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3， 则m 的最小值为π3．【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值； (Ⅱ)求得2x −π6的范围，结合正弦函数的图象可得2m −π6≥π2，即可得到所求最小值．18. 如图在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60∘，PA =PD =AD =2，点M 在线段PC 上，且PM =2MC ，N 为AD 的中点． (1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P −NBM 的体积．【答案】(1)证明：如图，∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，∴BN⊥AD∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB(2)解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD= AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，∴PN=NB=√3，点到P平面ABCD的距离为√3．∴S△PNB=12×√3×√3=32．∵AD⊥平面PNB，AD//BC，∴BC⊥平面PNB．∵PM=2MC，∴V P−NBM=V M−PNB=23V C−PNB=23×13×12×√3×√3×2=23．∴三棱锥P−NBM的体积为23．【解析】(1)由N为AD的中点及PA=PD可得PN⊥AD，在底面菱形中结合已知条件证得AD⊥BN，然后由线面垂直的判断得到AD⊥平面PNB；(2)由平面PAD⊥平面ABCD结合面面垂直的性质得到PN⊥NB，再由已知求得PN=NB=√3，把三棱锥P−NBM的体积转化为23倍的三棱锥C−PNB的体积求解．本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量x(单位：箱)76656收入y(单位：元)165142148125150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21−50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率． 附：回归方程y ^=b ^x +a ^，其中b =∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2,a ^=y −b ^x ．【答案】解：(1)由题意可求得回归方程为y ^=20x ^+26，据此预算售出8箱水时，预计收入为206元；x =7+6+6+5+65=6,y =165+142+148+125+1505=146，b ̂=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)219+0+0+21+01+0+0+1+0=20,a ̂=y −b ̂x =146−20×6=26，∴y ̂=20x ̂+26，当x =9时，y ̂=20×9+26=206，即某天售出9箱水的预计收益是206元； (2)设事件A 1：甲获一等奖；事件A 2：甲获二等奖；事件B 1：乙获一等奖，事件B 2：乙获二等奖，事件C 1：丙获一等奖；事件C 2：丙获二等奖，则总事件有：(A 1,B 1,C 1)，(A 1,B 1,C 2)，(A 1,B 2,C 1)，(A 1,B 1,C 2)，(A 2,B 1,C 1)，(A 2,B 1,C 2)，(A 2,B 2,C 1)，(A 2,B 2,C 2)，8种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有(A 2,B 2,C 2)1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率P =18．【解析】(1)由题意首先求得线性回归方程，然后利用线性回归方程的预测作用预计收入的数值即可；(2)由题意列出所有可能的基本事件，然后利用古典概型公式计算概率值即可． 本题考查线性回归方程及其应用，古典概型的计算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(2,0)，以原点O 为圆心，OF 为半径的圆与椭圆在y 轴右侧交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形． (I)求椭圆方程；(Ⅱ)过圆外一点M(m,0)(m >a)，作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【答案】解：(I)∵△AOB 为正三角形，且A ，B 两点关于x 轴对称，OF =2=OA ． ∴x A =OAcos30∘=√3，y A =OAsin30∘=1，可得A(√3,1)．∴3a 2+1b 2=1，a 2=b 2+22，解得：a 2=6，b 2=2． ∴椭圆方程为：x 26+y 22=1．(II)由题意可得直线l 的方程为：y =−√33(x −m)，联立{y =−√33(x −m)x 26+y 22=1，化为：2x 2−2mx +m 2−6=0，由△>0，可得：4m 2−8(m 2−6)>0，解得−2√3<m <2√3． 又m >√6，可得：√6<m <2√3．设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−62，y 1y 2=[−√33(x 1−m)]⋅[−√33(x 2−m)]=13x 1x 2−m 3(x 1+x 2)+m 23．又FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=43x 1x 2−m+63(x 1+x 2)+m 23+4=43⋅m 2−62−m+63⋅m +m 23+4=2m(m−3)3．∵点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，∴FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(m−3)3<0，解得0<m <3． 又√6<m <2√3． ∴√6<m <3．∴m 的取值范围是(√6,3)．【解析】(I)△AOB 为正三角形，且A ，B 两点关于x 轴对称，OF =2=OA.可得：x A =OAcos30∘，y A =OAsin30∘，可得A 坐标.代入可得3a 2+1b 2=1，又a 2=b 2+22，解出即可得出．(II)由题意可得直线l 的方程为：y =−√33(x −m)，与椭圆方程联立可得：2x 2−2mx +m 2−6=0，由△>0，m >√6，可得m 范围.设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，把根与系数的关系代入：FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=43x 1x 2−m+63(x 1+x 2)+m23+4，根据点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(m−3)3<0，解得0<m <3.进而得出m 的取值范围．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式定解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21. 已知函数f(x)=lnx +x 2+ax(a ∈R)，g(x)=e x +x 2．(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若对∀x >0，不等式f(x)≤g(x)成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=lnx +x 2+ax(a ∈R)，0)'/>，令，即2x 2+ax +1=0，△=a 2−8；①当a 2−8≤0时，即−2√2≤a ≤2√2时，2x 2+ax +1≥0恒成立，即，此时f(x)在(0,+∞)单调递增，无极值点． ②当a 2−8>0时，即a <−2√2或a >2√2，若a <−2√2，设方程2x 2+ax +1=0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 由根与系数的关系得{x 1+x 2=−a2>0x 1x 2=12>0； 故x 1>0，x 2>0，此时x ∈(0,x 1)， 0'/>，f(x)单调递增，x ∈(x 1,x 2)，，f(x)单调递减， x ∈(x 2,+∞)，0'/>，f(x)单调递增，故x 1，x 2分别为f(x)的极大值点和极小值点， 因此a <−2√2时，f(x)有两个极值点；若a >2√2，设方程2x 2+ax +1=0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 由根与系数的关系得{x 1+x 2=−a2<0x 1x 2=12>0， 故x 1<0，x 2<0，此时f(x)无极值点；综上：当a <−2√2时，f(x)有两个极值点，当a ≥2√2时，f(x)无极值点；(2)不等式f(x)≤g(x)等价于ln x +x 2+ax ≤e x +x 2，即e x −ln x ≥ax ，x ∈(0,+∞)； 因此a ≤e x −lnx x，设ℎ(x)=e x −lnx x，，当x ∈(0,1)时，e x (x −1)+ln x −1<0，即，ℎ(x)单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，e x (x −1)+ln x −1>0，即 0'/>，ℎ(x)单调递增．因此x =1为ℎ(x)的极小值点，即ℎ(x)≥ℎ(1)=e ，故a ≤e ．【解析】(1)对函数f(x)求导数，利用求得f(x)的极值点，讨论函数极值点的个数；(2)不等式f(x)≤g(x)等价于lnx +x 2+ax ≤e x +x 2，分离常数法得出a ≤e x −lnx x，设ℎ(x)=e x −lnx x，利用导数求出ℎ(x)的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题．22. 已知直线l 的参数方程为{x =4+√22t y =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；(2)动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值． 【答案】解：(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，所以x 2+y 2−4x =0，所以圆C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4． 将直线l 的参数方程代入圆C ：(x −2)2+y 2=4，并整理得t 2+2√2t =0， 解得t 1=0，t 2=−2√2．所以直线l 被圆C 截得的弦长为|t 1−t 2|=2√2． (2)直线l 的普通方程为x −y −4=0． 圆C 的参数方程为{y =2sinθx=2+2cosθ(θ为参数)， 可设曲线C 上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)， 则点P 到直线l 的距离d =√2=|2cos(θ+π4)−√2|，当cos(θ+π4)=−1时，d 取最大值，且d 的最大值为2+√2． 所以S △ABP ≤12×2√2×(2+√2)=2+2√2， 即△ABP 的面积的最大值为2+2√2．【解析】(1)根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆C 的直角坐标方程即可，联立直线的参数方程和圆的方程，求出弦长即可；(2)求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线C 上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)，求出点P 到直线l 的距离，结合三角函数的性质求出△ABP 的面积的最大值．本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查点到直线的距离以及三角函数的性质，是一道中档题．23. 已知函数f(x)=|2x −a|−|x +3|，a ∈R ．(I)当a =1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)当x ∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立，求a 的取值范围． 【答案】解：(I)当a =1吋，函数f(x)=|2x −1|−|x +3|，当x ≤−3时，f(x)=1−2x +(x +3)=4−x ，此时f(x)min =f(−3)=7， 当−3<x <12时，f(x)=1−2x −(x +3)=−3x −2， 此时f(x)>f(12)=−3×12−2=−72 当x ≥12时f(x)=2x −1−(x +3)=x −4，此时f(x)min =f(12)=12−4=−72 综上f(x)的最小值为−72…(5分)(I)当x ∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立，可化为|2x −a|≤x +7， 即−x −7≤2x −a ≤x +7恒成立，得x −7≤a ≤3x +7由x∈[0,3]，得3x+7≥7且，x−7≤−4，得−4≤a≤7，即a的取值范围是[−4,7]．【解析】(I)当a=1时，结合分段函数的表达式即可求f(x)的最小值；(Ⅱ)当x∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立进行转化，结合绝对值不等式的解法进行求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立的应用，讨论x的范围，去掉绝对值号是解决本题的关键．。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g ) A ．5B ．5C ．13D ．133．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r ) A ．3B ．10C ．23D ．54．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点(2,22)M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．22B ．2C ．2D ．22-5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．27．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 11．（5分）若31()n x x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．5612．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 ．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 3sin 20B B +-=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 ．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…．2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞【解答】解：因为{|||1}(1,1)A x x =<=-，{|21}(,0)x B x =<=-∞， 则(,1)A B =-∞U ． 故选：D ．2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g )A ．5BC ．13D 【解答】解：由(32)23z i i i =-=+，得22||13z z z ===g ． 故选：C ．3．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r )A ．3B C ．D ．5【解答】解：Q 平面向量,a b rr 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ， ∴()(1a a b +=rr r g ，2)(2--g ，2)2(2)(2)0t t -=-+--=g ，求得1t =，∴(3,1)b =-r ，则||b ==r故选：B ．4．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．BCD ．-【解答】解：由题意可得2(22)22p =g 所以2p =， 所以抛物线的方程为：24y x =， 所以焦点(1,0)F ， 所以2222MF k ==， 故选：A ．5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x =+的部分图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，且22cos(2)cos2()||||()()x xf x ln x ln x f x x x--=-+=+=-，故()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BC ； 又cos2(1)1cos201f ln =+=<，可排除D ． 故选：A ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．2【解答】解：根据题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为by xx a=±，圆22:240E x y x y ++-=的圆心为(1,2)-，若双曲线的渐近线经过圆E 的圆心，则双曲线的一条渐近线方程为2y x =-， 则有2ba=，即2b a =， 则22225c a b a =+=，即5c a =， 则双曲线的离心率5ce a==． 故选：B ．7．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【解答】解：根据表中数据，得1234535x ++++==，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =++++=，0.10.0423a ∴=⨯-，0.026a =，所以线性回归方程为0.0420.026y x =-， 由0.0420.0260.5x ->，得13x …，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%， 故选：C ．8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【解答】解：由m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知： 在①中，若//m α，//n β，//αβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则由线面垂直的性质定理得//m α，故②正确； 在③中，若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确． 故选：C ．9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解答】解：定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，可得()f x 在(,0)x ∈-∞单调递增，所以()f x 在(0,)+∞单调递减； 因为12ln π<<，1201e -<<，所以12()()a f ln b f e π-=<=，2221113log log log 2864-=<<=-Q ，2211(log )(log )(266c f f ==-∈，3)，所以c a <， 故选：A ．10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 【解答】解：将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数11()sin()26f x x π=+．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数11()sin[()]sin()23623y g x x x πππ==++=+的图象，令123x k ππ+=，k Z ∈，则223x k ππ=-，k Z ∈， 当1k =时，43x π=， 则函数()y g x =图象的一个对称中心为4(3π，0) 故选：D ．11．（5分）若1)n x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．56【解答】解：Q 二项式系数和为256，2256n ∴=，得8n =，则展开式的通项公式为8848331888811()()k kk k n kk k k k k k k T C C C x C x x x-----+=====， 当2k =时，对应的有理项为，2828C =， 当5k =时，对应的有理项为，544856C x x --=， 当8k =时，对应的有理项为，8x -，则二项式展开式中有理项系数之和为2856185++=， 故选：A ．12．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞【解答】解：()f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数||x y e =与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点，即2x e mx =有两个不同的正根，令2()x e h x x =，则3(2)()x e x h x x -'=，(0,2)x ∈时，()0h x '<，(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，∴函数()h x 在(0,2)上单减，在(2,)+∞上单增，此时()min h x h =（2）24e =；又Q 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，24e m ∴>．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 10 ．【解答】解：实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，画出可行域，如图：由2z x y =-可得1122y x z =-，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大 然后平移直线:02L x y =-， 当直线2z x y =-过点A 时z 最大由20220y x y +=⎧⎨+-=⎩可得(6,2)A -时，z 最大值为10 故答案为：10．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 1344 ．【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法， 若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯， 若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯，若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯， 若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯，则共有44444444444(4334)414414241344A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：134415．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 20B B -=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 (2,3) ．【解答】解：因为cos 20B B -=， 所以2sin()26B π+=即sin()16B π+=， 所以13B π=，因为1b =，由余弦定理可得，222221()3()3()2a c a c ac a c ac a c +=+-=+-+-⨯…， 解可得，2a c +„，当且仅当a c =时取等号， 所以13abc a c ++=++„， 又1a c b +>=， 所以2a b c ++>， 故23a b c <++„， 故答案为：(2，3]．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 20 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．【解答】解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm 的正四面体1234O O O O -，如图： 取34O O 的中点E ，△234O O O 的重心F ，连接1O F ，则1O F ⊥平面234O O O ， 2633O E ， 263322133O F == 22161(213)216O F =-=所以最上面球的球质距离地面的高度约为61) 故答家为：20，21(61)+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．【解答】解：（1）证明：n a 是1-与1n a +的等差中项，可得121n n a a +=-，即121n n a a +=+， 可化为112(1)n n a a ++=+，又11a =，故数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列，即有11222n n n a -+==g ，所以数列{}n a 的通项公式为21n n a =-； （2）由（1）可得2221n n a n n +=+-，则2(12)1(2482)(13521)(121)122n nn S n n n -=+++⋯+++++⋯+-=++--1222n n +=+-．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，则1A C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．则(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(1H ，0，0)，(2I ，1，0)，(0G ，0，1)．∴1(2BD =-u u u u r ，2-，2)，(1HI =u u u r，1，0)，(1HG =-u u u r ，0，1)． 设平面EFGHIJ 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ．则0n HI n HG ==u uu r u u u r r r g g ，0x y ∴+=，0x z -+=．取(1n =r，1-，1)，则1cos BD <u u u u r ，13123n >==⨯r ．1BD ∴与该平面所成角的正弦值为13．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额． 【解答】解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且 11112111(0),(20)462443624P P ξξ==⨯===⨯+⨯=，111211511121(40),(60)4623641226434P P ξξ==⨯+⨯+⨯===⨯+⨯=，111(80)4624P ξ==⨯=， 故ξ的分布列为ξ 0 20 40 60 80 P1241451214124ξ∴的数学期望为11511()0204060804024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元)； （2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为14030060002⨯⨯=（元)． 20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知，c a b =，所以椭圆的方程为22186x y +=，（2）设直线MN 的方程为2x my =+， 联立直线与椭圆得22(34)12120m y my ++-=， 所以1221234m y y m -+=+，1221234y y m -=+， 所以12121122OAM OANOMAN S S S y y y ∆∆=+=⨯+⨯=-=四边形．令t =，则t所以OMAN S t t==+四边形因t2t t +…所以OMAN S 四边形„，当且仅当t =0m =时取等号． 即四边形OMAN面积的最大值 21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--． 【解答】解：（1）函数的定义域(0,)+∞，222211(1)1(1)(1)()a ax a x ax x f x a x x x x +-++--'=-+==， ①当0a „时，由()0f x '<可得1x >，由()0f x '<可得01x <<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ②01a <<时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得01x <<或1x a >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a上单调递减，1(a ，)+∞上单调递增，③当1a =时，2(1)()0x f x x-'=…，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，④当1a >时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得1x >或1x a <，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(a，1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，（2）证明：当2a =-时，要证：1()2x f x e x x<--，只要证2x lnx e +<， 令()2x g x lnx e =-+，0x >，则1()x g x e x'=-在(0,)+∞上单调递减，且0x →时，()0g x >，g '（1）10e =-<故存在0(0,1)x ∈使得001x e x =即00x lnx =-，使得0()0g x '=， 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，函数单调递减， 故000000011()()222()x max g x g x lnx e x x x x ==-+=--+=-+， 因为0(0,1)x ∈，0012x x +>， 所以()220max g x <-+=，即()0g x < 故当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--成立． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．转换为直角坐标方程为22(3x y +=． （2）直线:(0)l y kx k =>转换为极坐标方程为(0)2πθαα=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，所以2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得到||2cos OA α=，曲线2C 交于O ，B 两点，所以ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，则||OB α=，所以||||2cos 4sin()6OA OB πααα+=+=+，当3πα=时，|||OA OB +取得最大值．此时l 的极坐标方程为3πθ=，即直角坐标方程为y =．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…． 【解答】解：（1）()(1)5f x f x +-<即为|1||2|5x x -+-<， 等价为1125x x x ⎧⎨-+-<⎩„或12125x x x <<⎧⎨-+-<⎩或2125x x x ⎧⎨-+-<⎩…，解得11x -<„或12x <<或24x <„， 所以原不等式的解集为{|14}x x -<<， 由题意可得1m =-，4n =； （2）证明：由（1）可得41x y +=，由0x >，0y >，可得11114(4)()559y x x y x y x y x y +=++=+++…， 当且仅当123y x ==时等号成立，故119x y+…，即9x y xy +…．。

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 复数z满足(1+i)z=i+2,则z的虚部为()A.B.C.-D.-i2. 已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2-x-6<0},则P∩Q等于( )A.{1,2,3}B.{1,2}C.[1,2]D.[1,3)3. 已知曲线f(x)=ln x+在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则a的值为( )A.1B.-4C.-D.-14. 已知数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,则其公差d=( )A.-B.C.-D.5. 执行如图所示的程序框图,则输出的S值是( )A.-1B.C.D.46. 已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为( )A.3B.2C.D.17. 关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m估计π的值,假如统计结果是m=34,那么可以估计π的值约为( )A. B. C. D.8. 如图为几何体的三视图,则其体积为( )A.+4B.C.+4D.π+9. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 28),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)10.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B. C.D.11.已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,AB=2,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )A.[2π,4π]B.,4πC.,4πD.,4π12.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是( )A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为.14. 双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-)2+y2=1相切,则此双曲线的离心率为.15. 不论k为何实数,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是.16. 抛物线y2=8x的焦点为F,弦AB过点F,原点为O,抛物线准线与x轴交于点C,∠OFA=,则tan∠ACB= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.18.（本题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD 的中点.(1)求证:AD⊥平面PNB;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.19.（本题满分12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21~50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.(1)若x与y成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同,求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率.附:回归方程x+,其中.20.（本题满分12分）已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),以原点O为圆心,OF为半径的圆与椭圆在y轴右侧交于A,B两点,且△AOB为正三角形.(1)求椭圆方程;(2)过圆外一点M(m,0)(m>a),作倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点,若点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2.(1)讨论函数f(x)极值点的个数;(2)若对∀x>0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本题满分10分）已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.23.（本题满分10分）已知函数f(x)=|2x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求a的取值范围.甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（文）试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.1.C解析∵(1+i)z=i+2,∴(1-i)(1+i)z=(i+2)(1-i),∴2z=3-i,∴z=i.则z的虚部为-,故选C.2.B 解析∵P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q=(-2,3),∴P∩Q={1,2}.故选B.3.D 解析由题意f'(x)=,由函数f(x)在x=1处的倾斜角为,∴f'(1)=-1, ∴1+=-1,∴a=-1. 故选D.4.D 解析∵数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,∴解得故选D.5.D 解析当i=1时,S==-1;当i=2时,S=;当i=3时,S=;当i=4时,S==4;故循环的周期为4.故当i=8时,S=4;当i=9时,输出的S=4.6.A 解析∵|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,∴a·b=|a||b|cos 120°=3×2×-=-3.∵(a+m b)⊥a, ∴(a+m b)·a=a2+m a·b=32-3m=0,解得m=3.故选A.7.B 解析正实数对(x,y),且所在区域面积为1,能够成钝角三角形的条件为x2+y2<1且x+y>1,其区域面积为,根据概率公式得p=得π=,故选B.8.D 解析几何体是半个圆柱和一个四棱锥的组合体,如图所示,所以选D.9.A 解析∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x).∴f(x)的图象关于直线x=e对称.∵f(x)在区间[e,2e]上是减函数,∴f(x)在区间[0,e]上是增函数.令y=,则y'=,∴y=在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减.∴a==c>0,a-b=<0,a-c=>0,∴0<c<a<b<e, ∴f(b)>f(a)>f(c).10.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.11.A 解析如下图,设△BDC的中心为O1,球O的半径为R,连接O1D,OD,O1E,OE,则O1D=3sin 60°×,AO1==3,在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2,∵BD=3BE,∴DE=2.在△DEO1中, O1E==1,∴OE=.过点E作圆O的截面,当截面与OE垂直时,截面的面积最小,此时截面圆的半径为,最小面积为2π.当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为4π.故选A.12.B 解析根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t≥2),则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为t=,①若m≥4,则Δ=m2+32>0,满足方程有解;②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥2时有解,则需:解得-2≤m<4.综上得实数m的取值范围为[-2,+∞).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.解析满足约束条件的可行域如下图所示:由图可知,由可得C,-,由可得A(-4,4),由可得B(2,1),平移x-2y=0,知过C点时,z=x-2y取最大值.14.解析因为双曲线的渐近线是y=±x,所以圆心C(,0)到渐近线的距离d==1,即2b2=c2⇒2c2-2a2=c2,解得e=,故答案为.15.-1≤a≤3解析由题知2a+4>0,则a>-2.注意到直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则有02+12-2a·0+a2-2a-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3.综上,-1≤a≤3.16.4解析∵抛物线y2=8x,∴p=4,焦点F(2,0),准线l的方程为x=-2,C点坐标为(-2,0),∵∠OFA=, ∴直线AB的斜率为,∵弦AB过F, ∴直线AB的方程为y=(x-2).∵点A与点B在抛物线上, ∴两方程联立得到3x2-20x+12=0, 解得A(6,4),B,-,∴=,-, =(8,4). ∴cos∠ACB===,sin∠ACB=, ∴tan∠ACB=4.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解 (1)因为f(x)=sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin.因为x∈,所以2x-.要使f(x)在上的最大值为,即sin上的最大值为1.所以2m-,即m≥. 所以m的最小值为.18.解 (1)∵PA=PD,N为AD的中点,∴PN⊥AD,∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BN⊥AD.∵PN∩BN=N,∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA=PD=AD=2,∴PN=NB=,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,∴PN⊥平面ABCD,∴PN⊥NB,∴S△PNB=,∵AD⊥平面PNB,AD∥BC,∴BC⊥平面PNB,又PM=2MC,设M,C到平面PNB的距离分别为h,H,则,∴h=H.∴V P-NBM=V M-PNB=V C-PNB=×2=.19.解 (1)=6,=146,==20,=146-20×6=26,∴=20+26,当x=9时,=20×9+26=206,即某天售出9箱水的预计收益是206元.(2)设甲获一等奖为事件A1,甲获二等奖为事件A2,乙获一等奖为事件B1,乙获二等奖为事件B2,丙获一等奖为事件C1,丙获二等奖为事件C2,则总事件有:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B1,C2),(A1,B2,C2),(A2,B2,C2),8种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过1 000的事件有(A2,B2,C2)1种情况,则求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率P=.20. 解 (1)∵△AOB为正三角形,且A,B关于x轴对称,OF=2,∴OA=OF=2,∴y A=1,x A=,即点A(,1).∴=1,又c=2,解得a2=6,b2=2.故椭圆方程为=1.(2)易知直线l:y=-(x-m)(m>),联立消去y得2x2-2mx+m2-6=0,由Δ>0,得4m2-8(m2-6)>0,即-2<m<2,∵m>,∴<m<2,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=m, x1x2=,∴y1y2=-(x1-m)·-(x2-m)=x1x2-(x1+x2)+.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), 则=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-(x1+x2)++4=·m++4=, ∵F在圆E的内部,∴<0,∴<0,解得0<m<3,∵<m<2,∴<m<3,即m的取值范围为(,3).21.解 (1)f'(x)=+x+a=(x>0),令f'(x)=0,即x2+ax+1=0,Δ=a2-4.①当a2-4≤0时,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,即f'(x)≥0,此时f(x)在(0,+∞)单调递增,无极值点.②当a2-4>0时,即a<-2或a>2,若a<-2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1>0,x2>0,此时x∈(0,x1),f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x1,x2),f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,故x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,因此a<-2时,f(x)有两个极值点.若a>2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1<0,x2<0,此时f(x)无极值点.综上:当a<-2时,f(x)有两个极值点,当a≥-2时,f(x)无极值点.(2)f(x)≤g(x)等价于ln x+x2+ax≤e x+x2,即e x-ln x+x2≥ax,因此a≤.设h(x)=,h'(x)==,当x∈(0,1)时,e x(x-1)+ln x+x2-1<0,即h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,e x(x-1)+ln x+x2-1>0,即h'(x)>0,h(x)单调递增.因此x=1为h(x)的极小值点,即h(x)≥h(1)=e+1,故a≤e+1.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一22.解 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,解得t1=0,t2=-2,所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=2.(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==|2cosθ+-|.当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+,所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2,即△ABP的面积的最大值为2+2.23.解 (1)当a=1时,函数f(x)=|2x-1|-|x+3|,当x≤-3时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时f(x)min=f(-3)=7,当-3<x<时,f(x)=1-2x-(x+3)=-3x-2,此时f(x)>f=-3×-2=-,当x≥时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,此时f(x)min=f=-4=-,综上,f(x)的最小值为-.(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,可化为|2x-a|≤x+7,即-x-7≤2x-a≤x+7恒成立,得x-7≤a≤3x+7恒成立,由x∈[0,3],得3x+7≥7,x-7≤-4,∴-4≤a≤7,即a的取值范围为[-4,7].。

数学（文科）第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则AB =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅2．i 是虚数单位，=（ ）A.1+2iB.﹣1﹣2iC.1﹣2iD.﹣1+2i 3．等差数列}{n a 中，23a =，349a a +=，则61a a 的值为（ ）A ．14B ．18C ． 21D ．274．为了得到函数)12cos(+=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象上所有的点（ ）A. 向左平移21个单位长度B. 向右平移21个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度5．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A.πB.34π+C.4π+D.24π+6．设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ．则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β 7．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 23⋅=BAC 30∠=，若M BC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积分别为x y 1,,2，则x y14+的最小值为（ ） A.20 B.18 C.16 D .9 8．函数cos y x x =+的大致图像是（ ）9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7 10．某程序框图如图所示，则输出的n 值是( )A ．21B ．22C ．23D ．2411．已知二次曲线224x y m+=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．[2B ．[2C ．D ．12．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{}.x m = 在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11[,]22-. 则其中真命题的序号是 （ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知函数212log ()y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ _____．14．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则||AB 等于 . 15．设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·0a ；②若0a 与a平行，则a ＝|a |·0a ；③若0a与a 平行且|a |＝1，则a ＝0a .上述命题中，假命题个数是________． 16．已知函数()()244,1,ln 43,1,x x f x g x x x x x ⎧-≤⎪==⎨-+>⎪⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n nS n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式； （II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T 18．（本大题12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10． （I ）求棱1A A 的长；（II ）若11AC 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.19．（本大题12分）某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指2（II ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率．20．（本大题12分）已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，离心率为2，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且△MN F 2的周长为4.(I) 求椭圆方程;(II) 与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点P(0,m)(m ≠0),与椭圆C 交于相异两点A,B 且AP PB λ=.若4OA OB OP λ+=,求m 的取值范围。

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（）A. 2B.C.D. -22.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则A. B. C. D.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 55.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 408.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种兵布阵的方式.A. B. C. D.9.已知函数，若，则A. B. C. D.10.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（）A. B. C. D.11.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C 交于A,B两点，若△FAB的面积为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则__________．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.中，角的对边分别为若，，，则__________．14.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为__________．15.已知四点在球的表面上，且，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为__________．16.已知则的大小关系是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）令，求数列的前项和.18.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为]（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线分别交轴于点，证明：.（为坐标原点）21.已知函数．（1）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；（2）判断函数在区间上零点的个数；（3）在（1）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

张掖市2020年度高三第一次诊断考试数学（文科）第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =I （ ）A ．{}2-B ．{}2 C ．{}2,2-D ．∅2．i 是虚数单位，=（ ） A.1+2i B.﹣1﹣2iC.1﹣2iD.﹣1+2i3．等差数列}{n a 中，23a =，349a a +=，则61a a 的值为（ ）A ．14B ．18C ． 21D ．274．为了得到函数)12cos(+=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象上所有的点（ ） A. 向左平移21个单位长度 B. 向右平移21个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度5．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A.πB.34π+C.4π+D.24π+6．设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ．则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 23⋅=u u u r u u u r，BAC 30∠=o，若MBC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积分别为x y1,,2，则x y 14+的最小值为（ ）A.20B.18C.16 D .9 8．函数cos y x x =+的大致图像是（ ）9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A. 0.42B. 0.28C. 0.3D. 0.710．某程序框图如图所示，则输出的n 值是( )A ．21B ．22C ．23D ．2411．已知二次曲线224x y m +=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A．2 B．[2 C． D． 12．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{}.x m = 在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11[,]22-. 则其中真命题的序号是 （ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13．已知函数212log ()y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ _____．14．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则||AB 等于 . 15．设a ρ为单位向量，①若a ρ为平面内的某个向量，则a ρ＝|a ρ|·0a ρ；②若0a ρ与a ρ平行，则a ρ＝|a ρ|·0a ρ；③若0a ρ与a ρ平行且|a ρ|＝1，则a ρ＝0a ρ.上述命题中，假命题个数是________．16．已知函数()()244,1,ln 43,1,x x f x g x xx x x ⎧-≤⎪==⎨-+>⎪⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题12分） 已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n nS n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T18．（本大题12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD ACD -，且这个几何体的体积为10． （I ）求棱1A A 的长；（II ）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.19．（本大题12分）某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指 AB C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（I ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； （II ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率．20．（本大题12分）已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，离心率为22，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且△MN F 2的周长为4. (I) 求椭圆方程;(II) 与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点P(0,m)(m ≠0),与椭圆C 交于相异两点A,B 且AP PB λ=u u u r u u u r .若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r,求m 的取值范围。

甘肃省民乐县第一中学2024届高三上学期第一次诊断考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题
A．π
90二、多选题
三、填空题
四、解答题
参考答案：
1．B
【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn 图，结合Venn 图即可确定集合的运算结果.
【详解】解法一：R M N ⊆ ð,R M N ∴⊇ð，据此可得()R M N M ∴= ð.故选：B.
解法二：如图所示，设矩形ABCD 表示全集R ，
矩形区域ABHE 表示集合M ，则矩形区域CDEH 表示集合R M ð，矩形区域CDFG 表示集合N ，满足R M N ⊆ð，结合图形可得：()R M N M = ð.故选：B.
2．A
【分析】根据,p q 之间的推出关系可得正确的选项.
【详解】设A 为正方体，其棱长为2，体积为8，B 为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然,A B 在等高处的截面面积不相等，若q 是p 的不必要条件，当A ，B 在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A ，B 的体积相等，所以充分性成立，因此q 是p 的充分不必要条件．故选A ．
【点睛】两个条件之间的关系判断，可依据命题“若p 则q ”、“若q 则p ”真假来判断，此类问题属于基础题.3．B
【分析】由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．。

民乐一中张掖二中2018-2019高三第一次调研文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 复数z满足(1+i)z=i+2,则z的虚部为()A.B.C.-D.-i2. 已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2-x-6<0},则P∩Q等于()A.{1,2,3}B.{1,2}C.[1,2]D.[1,3)3. 已知曲线f(x)=ln x+在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则a的值为()A.1B.-4C.-D.-14. 已知数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,则其公差d=()A.-B.C.-D.5. 执行如图所示的程序框图,则输出的S值是()A.-1B.C.D.46. 已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为()A.3B.2C.D.17. 关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m估计π的值,假如统计结果是m=34,那么可以估计π的值约为()A. B. C. D.8. 如图为几何体的三视图,则其体积为()A.+4B.C.+4D.π+9. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 28),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为()A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)10.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.11.已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,AB=2,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是()A.[2π,4π]B.,4πC.,4πD.,4π12.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是()A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为.14. 双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-)2+y2=1相切,则此双曲线的离心率为.15. 不论k为何实数,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是.16. 抛物线y2=8x的焦点为F,弦AB过点F,原点为O,抛物线准线与x轴交于点C,∠OF A=,则tan∠ACB=.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.18.（本题满分12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,P A=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD的中点.(1)求证:AD⊥平面PNB;(2)若平面P AD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.19.（本题满分12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21~50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.(1)若x与y成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同,求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率.附:回归方程x+,其中.20.（本题满分12分）已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),以原点O为圆心,OF为半径的圆与椭圆在y轴右侧交于A,B两点,且△AOB为正三角形.(1)求椭圆方程;(2)过圆外一点M(m,0)(m>a),作倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点,若点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2.(1)讨论函数f(x)极值点的个数;(2)若对∀x>0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本题满分10分）已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.23.（本题满分10分）已知函数f(x)=|2x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求a的取值范围.民乐一中、张掖二中2019届高三第一次调研考试数学（文）答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.1.C解析∵(1+i)z=i+2,∴(1-i)(1+i)z=(i+2)(1-i),∴2z=3-i,∴z=i.则z的虚部为-,故选C.2.B解析∵P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q=(-2,3),∴P∩Q={1,2}.故选B.3.D解析由题意f'(x)=,由函数f(x)在x=1处的倾斜角为,∴f'(1)=-1, ∴1+=-1,∴a=-1. 故选D.4.D解析∵数列{a n}为等差数列,a10=10,其前10项和S10=60,∴解得故选D.5.D解析当i=1时,S==-1;当i=2时,S=;当i=3时,S=;当i=4时,S==4;故循环的周期为4.故当i=8时,S=4;当i=9时,输出的S=4.6.A解析∵|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,∴a·b=|a||b|cos 120°=3×2×-=-3.∵(a+m b)⊥a, ∴(a+m b)·a=a2+m a·b=32-3m=0,解得m=3.故选A.7.B解析正实数对(x,y),且所在区域面积为1,能够成钝角三角形的条件为x2+y2<1且x+y>1,其区域面积为,根据概率公式得p=得π=,故选B.8.D解析几何体是半个圆柱和一个四棱锥的组合体,如图所示,所以选D.9.A解析∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x).∴f(x)的图象关于直线x=e对称.∵f(x)在区间[e,2e]上是减函数,∴f(x)在区间[0,e]上是增函数.令y=,则y'=,∴y=在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减.∴a==c>0,a-b=<0,a-c=>0,∴0<c<a<b<e, ∴f(b)>f(a)>f(c).10.D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.11.A解析如下图,设△BDC的中心为O1,球O的半径为R,连接O1D,OD,O1E,OE,则O1D=3sin 60°×,AO1==3,在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2,∵BD=3BE,∴DE=2.在△DEO1中, O1E==1,∴OE=.过点E作圆O的截面,当截面与OE垂直时,截面的面积最小,此时截面圆的半径为,最小面积为2π.当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为4π.故选A.12.B解析根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解, 令2-x+2x=t(t≥2),则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为t=,①若m≥4,则Δ=m2+32>0,满足方程有解;②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥2时有解,则需:解得-2≤m<4.综上得实数m的取值范围为[-2,+∞).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.解析满足约束条件的可行域如下图所示:由图可知,由可得C,-,由可得A(-4,4),由可得B(2,1),平移x-2y=0,知过C点时,z=x-2y取最大值.14.解析因为双曲线的渐近线是y=±x,所以圆心C(,0)到渐近线的距离d==1,即2b2=c2⇒2c2-2a2=c2,解得e=,故答案为.15.-1≤a≤3解析由题知2a+4>0,则a>-2.注意到直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则有02+12-2a·0+a2-2a-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3.综上,-1≤a≤3.16.4解析∵抛物线y2=8x,∴p=4,焦点F(2,0),准线l的方程为x=-2,C点坐标为(-2,0),∵∠OFA=, ∴直线AB的斜率为,∵弦AB过F, ∴直线AB的方程为y=(x-2).∵点A与点B在抛物线上, ∴两方程联立得到3x2-20x+12=0, 解得A(6,4),B,-,∴=,-, =(8,4). ∴cos∠ACB===,sin∠ACB=, ∴tan∠ACB=4.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解(1)因为f(x)=sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin.因为x∈,所以2x-.要使f(x)在上的最大值为,即sin上的最大值为1.所以2m-,即m≥. 所以m的最小值为.18.解(1)∵PA=PD,N为AD的中点,∴PN⊥AD,∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BN⊥AD.∵PN∩BN=N,∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA=PD=AD=2,∴PN=NB=,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,∴PN⊥平面ABCD,∴PN⊥NB,∴S△PNB=,∵AD⊥平面PNB,AD∥BC,∴BC⊥平面PNB,又PM=2MC,设M,C到平面PNB的距离分别为h,H,则,∴h=H.∴V P-NBM=V M-PNB=V C-PNB=×2=.19.解(1)=6,=146,==20,=146-20×6=26,∴=20+26,当x=9时,=20×9+26=206,即某天售出9箱水的预计收益是206元.(2)设甲获一等奖为事件A1,甲获二等奖为事件A2,乙获一等奖为事件B1,乙获二等奖为事件B2,丙获一等奖为事件C1,丙获二等奖为事件C2,则总事件有:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B1,C2),(A1,B2,C2),(A2,B2,C2),8种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过1 000的事件有(A2,B2,C2)1种情况,则求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率P=.20. 解(1)∵△AOB为正三角形,且A,B关于x轴对称,OF=2,∴OA=OF=2,∴y A=1,x A=,即点A(,1).∴=1,又c=2,解得a2=6,b2=2.故椭圆方程为=1.(2)易知直线l:y=-(x-m)(m>),联立消去y得2x2-2mx+m2-6=0,由Δ>0,得4m2-8(m2-6)>0,即-2<m<2,∵m>,∴<m<2,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=m, x1x2=,∴y1y2=-(x1-m)·-(x2-m)=x1x2-(x1+x2)+.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),则=(x1-2)(x2-2)+y1y2=x1x2-(x1+x2)++4=·m++4=,∵F在圆E的内部,∴<0,∴<0,解得0<m<3,∵<m<2,∴<m<3,即m的取值范围为(,3).21.解(1)f'(x)=+x+a=(x>0),令f'(x)=0,即x2+ax+1=0,Δ=a2-4.①当a2-4≤0时,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,即f'(x)≥0,此时f(x)在(0,+∞)单调递增,无极值点.②当a2-4>0时,即a<-2或a>2,若a<-2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1>0,x2>0,此时x∈(0,x1),f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x1,x2),f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,故x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点,因此a<-2时,f(x)有两个极值点.若a>2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1<x2,由韦达定理故x1<0,x2<0,此时f(x)无极值点.综上:当a<-2时,f(x)有两个极值点,当a≥-2时,f(x)无极值点.(2)f(x)≤g(x)等价于ln x+x2+ax≤e x+x2,即e x-ln x+x2≥ax,因此a≤.设h(x)=,h'(x)==,当x∈(0,1)时,e x(x-1)+ln x+x2-1<0,即h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,e x(x-1)+ln x+x2-1>0,即h'(x)>0,h(x)单调递增.因此x=1为h(x)的极小值点,即h(x)≥h(1)=e+1,故a≤e+1.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一22.解(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+2t=0,解得t1=0,t2=-2,所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=2.(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==|2cosθ+-|.当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+,所以S△ABP≤×2×(2+)=2+2,即△ABP的面积的最大值为2+2. 23.解(1)当a=1时,函数f(x)=|2x-1|-|x+3|,当x≤-3时,f(x)=1-2x+(x+3)=4-x,此时f(x)min=f(-3)=7,当-3<x<时,f(x)=1-2x-(x+3)=-3x-2,此时f(x)>f=-3×-2=-,当x≥时,f(x)=2x-1-(x+3)=x-4,此时f(x)min=f=-4=-,综上,f(x)的最小值为-.(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,可化为|2x-a|≤x+7,即-x-7≤2x-a≤x+7恒成立,得x-7≤a≤3x+7恒成立,由x∈[0,3],得3x+7≥7,x-7≤-4,∴-4≤a≤7,即a的取值范围为[-4,7].。

张掖二中2020学年度第一学期周考试卷一高三数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}821|,02|12≤≤=>--=-x x N x x x M ，则=⋂N M （ ）A ． (]4,2B ． []4,1C ． (]4,1-D ． [)+∞,42．设12:,10:≥<<xq x p ，则p 是q 的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件3．已知命题x x R x q x R x p <∈∀>-∈∃,:,02,:命题，则下列说法正确的是（ ） A ． 命题q p ∨是假命题B ． 命题q p ∧是真命题C ． 命题)(q p ⌝∧是真命题D ． 命题)(q p ⌝∨是假命题4．设4.0log ,3.0log ,5.084.04.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ． c b a <<B ． a b c <<C ． a c b <<D ． b a c <<5．已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f 是（ ）A ． 偶函数，且在R 上是增函数B ． 奇函数，且在R 上是增函数C ． 偶函数，且在R 上是减函数D ． 奇函数，且在R 上是减函数6．已知函数()223ln f x x x x =--，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．下面四个命题：:1p 命题“n n N n 2,2>∈∀”的否定是“02,200n n N n ≤∉∃”；:2p 向量),1(),1,(n b m a -==ρρ，则n m =是b a ρρ⊥的充分必要条件；:3p “在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >”的逆否命题是“在ABC ∆中，若B A sin sin ≤，则B A ≤”；:4p 若q p ∧是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的是（ ） A ．21,p p B ． 32,p pC ．42,p pD ． 31,p p8．函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为A ． 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ． (]0,2 9．函数)32ln(2++-=x x y 的减区间是（ ） A ． (]1,1-B ． [)3,1C ． (]1,∞-D ． [)+∞,110．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(x x ax a x f x 是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[4,8)B ． (4,8)C ．(1,+∞)D ． (1,8)11．已知)(x f 是定义在[]b b +-1,2上的偶函数，且在[]0,2b -上为增函数，则)2()1(x f x f ≤- 的解集为（ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1 B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1C ． []1,1-D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,3112．已知)(x f 为偶函数，对任意)2()(,x f x f R x -=∈恒成立，且当10≤≤x 时，222)(x x f -=.设函数x x f x g 3log )()(-=，则)(x g 的零点的个数为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ．9二、填空题:本题共4小题,每小题5分. 13．若函数()1,021≠>-=-a a ay x 且的图像恒过点P ，则点P 的坐标为_______．14．设函数)(x f 满足x x x f +=⎪⎭⎫⎝⎛+-111，则=)(x f ____________．15．已知函数=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧>-≤-=371),1(log 1,12)(2f f x x x x f x 则__________． 16．已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且2)4(-=-f ，当[]2121,3,0,x x x x ≠∈且时，都有0)()(2121<--x x x f x f ．则给出下列命题：①2)2008(-=f ；②函数)(x f y =图象的一条对称轴为6-=x ；③函数)(x f y =在[]6,9--上为减函数；④方程0)(=x f 在[]9,9-上有4个根； 其中正确的命题序号是___________.三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求值.（1）252)008.0(949827325.032⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--； （2）()()12lg22lg 5lg 2lg2lg 222+-+⋅+.18．（12分）设全集U R =，集合{}1|2 1 x A x -=≥， {}2|450 B x x x =--<. （1）求()(),U U A B C A C B ⋂⋃；（2）设集合{}|12 1 C x m x m =+<<-，若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围. 19．（12分）已知命题:p 函数12)(2+-=mx x x f 在()1,∞-上是减函数，命题2000:,4(42)10q x R x m x ∃∈+-+≤(1) 若q 为假命题，求实数m 的取值范围； (2) 若“q p ∨”为假命题，求实数m 的取值范围.20．（12分）已知二次函数()f x 的最大值为3，且()()155f f ==-．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]2,2a +（0a >）上的最大值．21．（12分）已知定义在R 上的函数()221xx a f x -=+是奇函数．（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t R ∈，不等式()()220f t t f k -+->恒成立，求实数k 的取值范围． 22．（12分）已知()f x 为偶函数，)(x g 为奇函数，且满足)1(log 2)()(+=+x x g x f a . （1）求函数)(),(x g x f 的解析式；（2）是否存在实数t a ,，当()2,-∈a t x 时，函数)(x g 的值域是()?1,∞-若存在，求出实数t a ,，若不存在，说明理由.张掖二中2020学年度第一学期周考试卷一高三数学（理科）答案1．A；2．B；3．C；4．D；5．B；6．C；7．B；8．D; 9．B10．A【详解】指数函数的单调递增，则：，一次函数单调递增，则：且当时应有：(，解得：，综上可得，实数的取值范围是[4，8）．故选：A．11．B【解析】分析：先根据奇偶函数的性质求出b，再根据f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，结合x∈[﹣2，2]，求出x的范围．详解：∵f（x）是定义在[﹣2b，1+b]上的偶函数，∴﹣2b+1+b=0，∴b=1，∵函数f（x）在[﹣2b，0]上为增函数，∴函数f（x）在[﹣2，0]上为增函数，故函数f（x）在[0，2]上为减函数，则由f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，即（x﹣1）2≥4x，求得﹣1≤x≤，再结合x∈[﹣2，2]，故f（x﹣1）≤f（2x）的解集为[﹣1，]，故选：B．12．C【解析】由为偶函数，对任意，恒成立，知，所以函数的周期,又知，所以函数关于对称，当时，做出其图象.并做关于的对称图象，得到函数在一个周期上的图象，其值域为，令，得，在同一直角坐标系内作函数在上的图象，由图象可知共有8个交点，所以函数的零点的个数为8个. 13．14．【解析】∵令=t,则∴ =∴15．【解析】由题意得，故．答案：16．①②④①对于任意，都有成立，令，则，又是上的偶函数，，，，又由，故，故①正确； ②由①知，的周期为6，又是上的偶函数，，而的周期为6，，，直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确； ③当，且时，都有，函数在上为减函数，是上的偶函数，函数在上为增函数， 而周期为6，函数在为增函数，故③不正确；④的周期为6，，函数在有四个零点，故④正确，所以，正确的命题序号是①②④，故答案为①②④. 17．（1）原式=（2）原式=.18．（Ⅰ）{}|1 5 A B x x ⋂=≤<， ()(){}|1 5 U U C A C B x x x ⋃=<≥或;（Ⅱ）(],3-∞试题解析：（Ⅰ）∵{}{}| 1 ,|1 5 A x x B x x =≥=-<<∴{}|1 5 A B x x ⋂=≤<， ()(){}|1 5 U U C A C B x x x ⋃=<≥或 （Ⅱ）1.当C =∅时； 211m m -≤+ 即： 2m ≤2.当C ≠∅时；121{11 215m m m m +<-+≥--≤解之得： 23m <≤ 综上所述：m 的取值范围是(],3-∞ 19．(1). （2）.【解析】（1）因为命题 ，所以： ，，当为假命题时，等价于为真命题，即在上恒成立，故，解得所以为假命题时，实数的取值范围为. （2）函数的对称轴方程为，当函数在上是减函数时，则有即为真时，实数的取值范围为“或”为假命题，故与同时为假，则 ，综上可知，当 “或”为假命题时，实数的取值范围为20．（1）()221215f x x x =-+-；（2）()2max24101{31a a a f x a -++<≤=> 【解析】(1)设二次函数()f x 的解析式为()2y a x k h =-+由()()15f f =知， ()f x 图象关于直线3x =对称，∴3k =又()max 3f x =， ∴3h =，由()15f =-得2a =-∴()2223321215y x x x =--+=-+- 即221215y x x =-+-（2）由（1）知，函数()f x 图象的对称轴为3x =。

张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第1页共11页张掖市2022-2023学年第一学期高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2230{|}A x x x =--≤，{|21}x B y y ==+，则A B ⋃=（）A.(1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,3]D.(1,)-+∞2.若复数z 满足()13i z i -=+（其中i 为虚数单位），则z =A.1B.C.2D.3.已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A.5B.5C.455D.3554.已知1sin 23α=则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.16B.13C.12D.235.若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是()A.()(||1)sin f x x x=+ B.sin ()||1x f x x =+C.()(||1)cos f x x x=+ D.cos ()||1x f x x =+6.已知log a =，0.1e b =，ln c =，则,,a b c 的大小关系是（）A .a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c a b<<7.把函数())6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第2页共11页个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为A.4[,33ππ B.[,2]ππ C.[,]123ππ D.5[,]44ππ8.在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为()A.310B.15 C.25D.459.已知数列{}n a 的首项11a =，0n a >，前n 项和n S 满足2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为()A.(1)2n n + B.12n - C.221n - D.21n -10.已知函数()1221log 11()x f x x =+++，则不等式()122f m -<-的解集为（）A.()1,3 B.()(),13,-∞⋃+∞ C.()0,4 D.()(),04,-∞⋃+∞11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A.B. C.233D.43312.已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0=>a f x x a 且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（）A.(625,)+∞ B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分．13.已知,a b 是单位向量，且||1a b -= ，则||a b +=__________.张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第3页共11页14.若(13)n x -展开式中各项系数的和等于64,则展开式中2x 的系数是________.15.设函数()()322f x x ax a x =+++．若()f x 的图像关于原点()0,0对称，则曲线()y f x =在点()1,3处的切线方程为______．16.正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，若截面面积最小值为2π，则=a ______．三､解答题（本大题共6小题，共70分.）17.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=.（1）求cos B 的值；（2）若2c =，ABC △的面积为求b 的值.18.如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，//,90,2AD BC BAD AD BC ︒∠==，M 为PD 的中点．（1）证明：//CM 平面PAB ；（2）若PBD △是等边三角形，求二面角--A PB M 的余弦值．19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第4页共11页22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（2）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，完成列联表并判断是否有99.9%的把握认为获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（3）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望.20.已知抛物线2:2(1)C y px p =>上的点()0,1P x 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点(,4)E t 在抛物线C 上，过点(0,2)D 的直线l 与抛物线C 交于()()()112212,,,0,0A x y B x y y y >>两点，点H 与点A 关于x 轴对称，直线AH 分别与直线OE ，OB交于点M ，N (O 为坐标原点)，求证：||||AM MN =.21.已知函数()()21ln 2f x ax x x a =-+∈R .(1)若2a =-，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在区间()0,4上有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2213cos 4ρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()1,0M .若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求AM BM +的值.23.选修4-5：不等式选讲张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第5页共11页设函数()21f x x a x a =-+++.（1）当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；（2）若0a >，且关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围.张掖市2022-2023学年第一学期高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷答案一、选择题BDCDD BABABDC二、填空题1314、13515、520x y --=1617.答案：（1）1cos 3B =（2）3b =解析：（1）在ABC △中，由正弦定理及cos cos 3cos c B b C a B +=，得sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=，sin()3sin cos C B A B ∴+=.又sin()sin C B A += ，sin 3sin cos A A B ∴=.(0,π)A ∈ ，sin 0A ∴>，1cos 3B ∴=.（2） 角B 是ABC △的内角，sin 0B ∴>，sin B ==又1sin 2ABC S ac B =△，122a ∴⋅⨯3a =.在ABC △中，由余弦定理得2222cos ac B a c b =+-，2221232323b ∴⨯⨯⨯=+-，解得3b =.18.答案：（1）见解析（2解析：（1）证明：如图取AD 的中点N ，连接MN 和CN ，//MN AP ∴，2,AD BC AN BC =∴= ，又//BC AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，//AB CN ∴，又,CN NM N BA AP A ⋂=⋂= ，∴平面//CMN 平面PAB ，CM ⊂平面MNC ，//CM ∴平面PAB ；（2）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz ，.PBD △为等边三角形，AB AD AP ∴==，不妨设2AB =，则(0,0,0), (2,0,0), (0,0,2), (0,2,0)A B P D ，(2,2,0),(2,0,2)BD BP ∴=-=-，设平面PBD 的法向量为1(,,)n x y z =，由1100n BD n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z=，得1,1x y ==，1(1,1,1),n ∴=，易知AD⊥平面PAB ，∴平面PAB 的法向量为2(0,1,0)n =，设二面角--A PB M 的平面角为θ，由图观察可知θ为锐角，1212cos 3n n n n θ⋅∴===⋅ ，∴二面角--A PB M 的余弦值为33．19．【解析】()I 获得三等奖学金的频率()()()0.0080.0160.0450.150.040.0560.01650.40.0160.00850.40.32++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯=5000.32160⨯=,故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人.()II 每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有()5000.0080.0160.040.040.0560.0165440⨯+++++⨯=人，其中获得一、二等奖学金学生有()()()5000.0080.0160.0450.055000.040.0560.01650.250.0592x ++⨯⨯+⨯++⨯⨯+=每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有5000.1260⨯=人，其中获得一、二等奖学金学生有()600.350.2536⨯+=人，22⨯列联表如图所示:“非努力型”学生“努力型”学生总计获得一二等奖学金学生9236128未获得一二等奖学金学生34824372总计44060500()2250034836922442.3610.8344060128372K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；()III X 的可能取值为0,600,1500,3000()6000.32P X ==,()15000.198P X ==,()30000.058P X ==,()010.320.1980.0580.424P X ==---=X 的分布列X060015003000P0.4240.320.1980.05800.4246000.3215000.19830000.058192297174663EX x =⨯+⨯++⨯=++=元.20.答案：(1)方程为24y x =.(2)证明过程见解析.解析：(1)由点()0,1P x 在抛物线上可得，2012px =，解得012x p=.由抛物线的定义可得015||2224p p PF x p =+=+=，整理得22520p p -+=，解得2p =或12p =(舍去).故抛物线C 的方程为24y x =.(2)由(,4)E t 在抛物线C 上可得244t =，解得4t =，所以(4,4)E ，直线OE 的方程为y x=易知()11,H x y -，12,x x 均不为0.由题意知直线l 的斜率存在且大于0，设直线l 的方程为2(0)y kx k =+>，联立，得22,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y ，得22(44)40k x k x +-+=.则22(44)1616320k k k ∆=--=->，得102k <<，所以12244k x x k-+=，1224x x k=.由直线OE 的方程为y x =，得()11,M x x .易知直线OB 的方程为22y y x =，故1212,x y N x x ⎛⎫⎪⎝⎭.数形结合可知，要证||||AM MN =，即证12M N y y y =+，即证121122x y y x x +=，即证1221122x y x y x x +=，即证()1212(22)20k x x x x -++=，则22488(22)0k k k k --⨯+=，此等式显然成立，所以||||AM MN =.21.答案：(1)()f x 的单调递增区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)31164a <<解析：(1)2a =-，()0,x ∈+∞，()()()211121x x f x x x x-++'=--+=令()0f x '≥解得102x <≤，所以10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，故()f x 的单调递增；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，故()f x 的单调递减；综上，()f x 的单调递增区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)由题意：()0,x ∈+∞，()2111ax x f x ax x x-+'=-+=，所以()0f x '=在()0,4x ∈上有两个不同根，故210ax x -+=在()0,4x ∈上有两个不同根，即21x a x -=在()0,4x ∈上有两个不同根，设()21x g x x -=，()0,4x ∈，()32xg x x -'=，所以()0,2x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增：()2,4x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()()42g a g <<即31164a <<.22、答案：（1）0y --=，2214y x +=7162）（解析：（1）由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为0y --=，又将曲线C 的极坐标方程化为22234cos ρρθ+=，曲线C 的直角坐标方程为2214y x +=.(2)将直线l 的参数方程代入2214y x +=中，得2214142t ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得27160t t +=此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点,A B 对应的参数1t ，2t ，得1167t =-，20t =，张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷·第11页共11页∴由直线参数的几何意义，知12167AM BM t t +=+=23.答案：（1）()2,0-（2）01a <<解析：（1）由题意知，()2121x x f x x =++<+，即211x x +-<.当12x <-时，211x x --+<.解得122x -<<-.当102x -≤<时，211x x ++<.解得102x -≤<.当0x ≥时，211x x +-<.无解.综上所述，不等式的解集为()2,0-.（2）由题意知，0a >，()212f x x a x a =-+++<有解.当12a x +<-时，312x --<.解得1x >-.此时有解，则112a +->-.解得1a <.当12a x a +-≤<时，212x a ++<.解得12x a <-.此时有解，则1122a a +-<-.解得1a <.当x a ≥时，312x +<.解得13x <.此时有解，则13a <.综上所述，实数a 的取值范围为01a <<.。

民乐一中2013——2014学年第一学期 高三12月诊断考试数学试卷（理科）命题人：王发家 王 刚 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合}111|{≥-+=x x x M ，集合}032|{>+=x x N ，则=N M C R )( ( ) A.)1,23[-B.)1,23(-C.]1,23(-D.]1,23[- 2.若α、β都是第一象限的角，则“αβ>”是“tan tan αβ>” （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件3.已知向量OB OA ,的夹角为o602==,若+=2,则△ABC 为（ ）A.等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 4.函数x x x f c os )(-=在),0[+∞内( )A ．没有零点 B.有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 5.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为( )6.设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是 ( )A ．1813B ．2213C ．61D ． 2237.由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为 ( )A.21B ．1 C.23D.38.已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+,且(1)f x +为偶函数,则实数a 的值是（ ） A ．23B ．2C ．4D ．69.函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =，则=+)(21x x f （ ）A ．21B ．22C ．23D ．110.函数xe x y cos =的图像大致是 ()11.如图所示，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③棱11D A 始终与水面EFGH 平行；④当1AA E ∈时，BF AE +是定值．其中正确说法是( )A.①②③B.①③C.①②③④D.①③④ 12.对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：①； ②；③ ； ④. 其中为“敛1函数”的是( )A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

张掖市2014-2015年度高三第一次诊断考试数学（理科）第I 卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题冃要求的。

1. 设集合 U 二{1, 2, 3, 4, 5, 6}, M={1, 2, 4},贝（ ）A. UB ・{1, 3, 5}C. {3, 5, 6}D. {2, 4, 6}a+ 3z2. 若复数1 + 2： （Qw&i 为虚数单位）是纯虚数，则实数o 的值为（）兀 4XG ( ------- ,0),cosx = —,贝ijtan 2x =2 55. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（6. 若一条肓线与一个平而成720角，则这条肓线与这个平面内经过斜足的肓线所成角中最人角等于（） A. 720B. 900C. 1080D. 18007. 已知M 是 AABC 内的一点，且 AB AC = 2439 ZBAC = 30\ 若 AMBC , AA/CA ,A. _6B. _2C. 4D. 63.等差数列{。

“冲‘為+。

10 +%6 = 30,则Q]8 _2d]4的值为（A. 20B. -20C. 10 )D. -104. 已知24 ■ A. 77 B. '247 C. 2424 D. ~1 A. 6 B. 32 C. 3D. 1正视图 侧视图俯视图J 一 + ―的面积分别为2，则兀丿的最小值为（）9. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸岀1个球，摸岀红球的概率是°42, 摸出白球的概率是028,那么摸岀黒球的概率是（） A. 0-42B. 0.28c. 0.3D.10. 如图所示的程序框图输岀的结果是S=720,贝ij 判断框内应填的条件是（）A. iW7B. i>7 C ・ iW9 D. i>9X 2 y 2—l （d 〉b 〉0） 尸 F11. 椭圆M: X 左右焦点分别为匚，①，P 为椭圆M 上任一点口『用『坊|最大值取值范围是[2c 「,3c2],其中cjai ,则椭圆离心率°取值范围/输出S/ fI J1 1m ------ < x /n H —12. 给出定义：若 2 2 （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x},即"}=九 在此基础上给出下列关于函数=的四个命题:f （ ） = —f （ - ） < f （—）©22.②/（3.4） = -0.4 ；③44 ；④"/（兀）的定义域是R,值域是[一丄 ~]2‘2 .则其中真命题的序号是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

甘肃省民乐县第一中学2020届高三压轴考试数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合()()}320A x x x =-+≤，{}14B x x =-≤<，则A B =（ ）A.{}23x x -≤≤ B.{}13x x -≤≤ C.{}34x x << D.{}21x x -≤<-2.已知复数241iz i+=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在等比数列{}n a 中，0n a >，且7a 、6a 、53a -成等差数列，则公比q =（ ） A.1B.1或3-C.3D.3或1-4.已知直线m ，n 和平面α，且n ⊂α，则“//m α”是“//m n ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知数据123,,,,n x x x x 的方差是8，则数据12311112,2,2,,22222n x x x x ----的方差是（ ） A.8B.4C.2D.16.已知双曲线22:125144y x C -=的上、下焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，若214PF =，则1PF =（ ）A.38B.24C.38或10D.24或47.将函数()2cos 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，则平移后所得图象的对称中心是（ ） A.()2,039k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z B.()22,039k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ZC.()2,039k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z D.(),039k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 8.从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点不在同一条棱上的概率是（ ） A.15B.25C.35D.459.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，若(2)3f =，则满足(1)3f x +<的x 的取值范围是（ ） A. (,2)(0,2)-∞-⋃ B. (2,2)- C. (,3)(0,1)-∞-⋃D. (3,1)-10.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则20a =（ ） A.181B.191C.201D.21111.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 不同的两点，且AF BF ⊥，延长AF ，交C 于点D ，若2AF DF =，则椭圆C 的离心率是（ ） A.12B.3C.3D.312.在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，AD AB ⊥，AB =6AD =，4BC =，PA PB PD ===P BCD -外接球的表面积为（ ）A.60πB.40πC.100πD.80π第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知向量2,a m =，(),3b n =，若2a b =，则m n +=______.14.已知实数x ，y 满足约束条件27,21,2,x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z y x =-的最大值为________．15.已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________. 16.已知函数()e xf x -=，若关于x 的方程()()2ln 0f x x m -+=在()0,∞+上有解，则m 的取值范围是__________.三、解答题（题型注释）B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b -=． （1）证明：2A B =． （2）若3cos4B =，求sin C 的值． 18.某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）规定零件长度在区间(]15,30内的零件为优等品，从这批零件中随机抽取3个，记抽到优等品的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥平面11BCC B ，1AC =，BC =，12BB =，130B BC ∠=︒.（1）证明：1B C ⊥平面ABC.（2）求二面角111B AC C --的余弦值. 20.已知抛物线2:4C y x =，点()1,2M ，过点()0,2P -的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（均与点M 不重合）．（1）记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：124k k =． （2）若9PB PA =，且A ，B 在x 轴的两侧，求MAB △的面积．21.已知函数()()2ex a x f x a =-∈R .（1）若()f x 有三个不同的零点，求a 的取值范围；（2）当3x ≥时，不等式()()e 30xf x a x ++≤恒成立，求a 的取值范围.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin cos 3ρθρθ-=．（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()3,0P -，求11PA PB+的值． 23.已知函数()f x x a =-．（1）当3a =时，求不等式()211x f x >++的解集；（2）若对任意[]3,5x ∈，不等式()25f x x x ≤-+恒成立，求a 的取值范围．参考答案1.B【解析】1.求得集合{}23A x x =-≤≤，再根据集合的交集的运算，即可求解. 由题意,集合()(){}{}32023A x x x x x =-+≤=-≤≤， 又因为{}14B x x =-≤<,则{}13A B x x ⋂=-≤≤． 故选:B. 2.A【解析】2.由复数的除法运算化复数为代数形式，然后得出对应点的坐标，从而得基所在象限．()()()()241246231112i i i iz i i i i +-++====+++-，则在复平面内z 对应的点为()3,1. 在第一象限， 故选：A ． 3.C【解析】3.由题意可知0q >，结合题意可得出关于q 的方程，即可解得q 的值. 在等比数列{}n a 中，0n a >，则其公比0q >， 由题意可得67523a a a =-，即765230a a a --=，则654111230a q a q a q --=，即2230q q --=，解得3q =或1q =-（舍去）.故选：C. 4.D【解析】4.结合直线与直线，直线与平面的位置关系，利用充分条件和必要条件的定义求解. 若//m α，则//m n 或直线m 与直线n 异面，故不充分； 若//m n ，则m α⊂或//m α，故不必要； 所以“//m α”是“//m n ”的既不充分也不必要条件． 故选：D5.C【解析】5.根据方差的公式即可求得. 解：设123,,,,n x x x x 的平均数为x ，则123nx x x x x n++++=，因为数据123,,,,n x x x x 的方差是8， 所以()()()()22221238n x x xx x x x xn-+-+-++-=.设12311112,2,3,,22222n x x x x ----的平均数为y ，方差为2s 则 123111122222222n x x x x y n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()123121222n x x x x nx n++++-==-, 22221232111122222222n x y x y x y x y s n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+⋯+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 22221231111111122222222n x x x x x x x x n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()()()()222212314n x x x x x x x xn-+-+-+⋯+-=⨯1824=⨯= 所以数据12311112,2,2,,22222n x x x x ----的方差是2． 故选：C. 6.B【解析】6.分析得到点P 在双曲线C 的下支上，再化简114210PF a -==即得解. 由题意可得5a =，12b =，13c =，因为21418PF a c =<+=，所以点P 在双曲线C 的下支上， 则12210PF PF a -==，故124PF =． 故选：B. 7.A【解析】7.利用图象变换求得所得函数的解析式为2cos 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后解方程()362x k k Z πππ-=+∈，可求得所得函数图象的对称中心坐标.由题意可得平移后的函数为2cos 32cos 3636y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 令()362k x k πππ-=+∈Z ，得()239k x k ππ=+∈Z ， 则平移后所得图象的对称中心为()2,039k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：A. 8.B【解析】8.运用列举法根据古典概率公式可得选项.从三棱柱ABC DEF -的六个顶点中任取两个顶点的情况有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种， 其中满足条件的情况有AE ，AF ，BD ，BF ，CD ，CE ，共6种， 故所求概率62155P ==． 故选：B .9.D【解析】9.根据函数奇偶性，结合函数单调性，等价转化不等式，求解即可. 因为()y f x =是R 上的偶函数，所以(2)(2)3f f -==，因为()y f x =在[0,)+∞上单调递增，所以(1)3f x +<等价于(|1|)(2)f x f +<， 所以|1|2x +<，即212x -<+<，解得31x -<<， 即满足条件的x 的取值范围是(3,1)-. 故选：D. 10.B【解析】10.根据题意得出{}n a 的通项，即可求解.由题意可知1n a -既是2的倍数，也是5的倍数，即1n a -是10的倍数，则()1101n a n -=-()*n ∈N ，故()20102011191a =⨯-+=．故选: B . 11.C【解析】11.根据已知做出图象，由已知和椭圆的定义得出,a c 的关系，可得出选项. 设椭圆C 的右焦点为F '，连接AF '，BF '，如下图所示， 设2AF m =，则DF m =，22AF a m '=-，2DF a m '=-． 由题意可知四边形AFBF '是矩形，则()()()()()()2222222222,2232,a m m c a m m a m ⎧-+=⎪⎨-+=-⎪⎩解得3,,a m c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C的离心率是c a ==． 故选：C.12.D【解析】12.作出图形，取AD 的两个三等分点1O 、E ，连接BD 、1O C 、CE ，设1BDO C H =，连接PH 、AH ，推导出1O 为BCD 的外心，计算出1O D 、PH 、设O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，连接1OO 、OP 、OD ，过O 作OF PH ⊥，垂足为F ，并设三棱锥P BCD -的外接球半径为R ，设1OO x =，通过几何关系列等式求出R 的值，利用球体的表面积公式可求得结果.如图，取AD 的两个三等分点1O 、E ，连接BD 、1O C 、CE ， 设1BDO C H =，连接PH 、AH .则1123AO AD ==，14O D BC ∴==，又//BC AD ，1//BC O D ∴，所以，四边形1BCDO 为平行四边形，1O CBD H =，H ∴为BD 的中点，所以，1122AH BH DH BD =====由勾股定理可得14O B ===，则11O B O D =，在1Rt O AB △中，11tan ABAO B AO ∠==13AO B π∴∠=， //BC AD ，13CBO π∴∠=，又11BC O D O B ==，则1O BC △为等边三角形，1114O C O B O D ∴===，则1O 是BCD 的外接圆的圆心.因为PA PB PD ===H 为BD 的中点，PH BD ∴⊥，PA PB =，AH BH =，PH PH =，PAH PBH ∴≅△△，2PHA PHB π∴∠=∠=，PH AH ∴⊥，又PH BD ⊥，AHBD H =，PH ∴⊥平面ABCD ，且6PH ===.设O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，连接1OO 、OP 、OD ，过O 作OF PH ⊥，垂足为F ，则外接球的半径R 满足()2222211146R OO OO O H =+=-+， 设1OO x =，则()221664x x +=-+，解得2x =，从而222420R x =+=，故三棱锥P BCD -外接球的表面积为2480R ππ=. 故选：D. 13.7【解析】13.直接由已知条件列方程求解即可解：因为向量()2,a m =，(),3b n =，且2a b =， 所以()2(,3)(2,6)2,m n n ==所以226n m =⎧⎨=⎩，解得6m =，1n =，则617m n +=+=. 故答案为：7 14.4【解析】14.画出可行域如图所示，由图可知，当目标函数z y x =-过点()1,3A -时取得最大值，最大值为()max 314z =--=.作出约束条件对应的可行域（如图）边界都是实线，当直线z y x =-过点()1,3A -时，z 取得最大值，且()max 314z =--=.故答案为：4. 15.20x y -=【解析】15.先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程． 因为()()()221cos 2sin 1x x xf x x +-'=+，所以()02kf ='=，则所求切线的方程为2y x =. 故答案为：20x y -=. 16.()2,e -∞【解析】16. 关于x 的方程()2eln 0xx m --+=在()0,∞+上有解，等价于函数ln()y x m =+与2x y e -=的图象在()0,∞+上有交点，结合两个函数图象即可确定m 的取值范围.关于x 的方程()2eln 0xx m --+=在()0,∞+上有解等价于函数ln()y x m =+与2x y e -=的图象在()0,∞+上有交点.因为函数ln()y x m =+的图象就是函数ln y x =的图象向左或向右平移m 个单位长度得到的， 如图所示，当ln y x =向右平移（或没有平移），即0m ≤时， 函数ln()y x m =+与2x y e -=的图象在()0,∞+上有交点， 当ln y x =向左平移至ln()y x m =+的图象过点()0,2， 与函数2x y e -=没有交点，此时ln 2m =，解得2e m =，所以20m e <<，函数ln()y x m =+与2x y e -=的图象在()0,∞+上有交点， 所以m 的取值范围为()2,e -∞.故答案为：()2,e-∞17.（1）证明见解析；（2）16.【解析】17.（1）先利用正弦定理化简得到sin 2sin cos sin C B A B -=，再利用和角差角的正弦公式化简即得证；（2）求出sin 4B =，sin 8A =，1cos 8A =，再利用和角的正弦公式计算得解.（1）因为2cos c b A b -=，所以sin 2sin cos sin C B A B -=， 则sin cos cos sin 2sin cos sin A B A B B A B +-=，sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=，即sin()sin A B B -=，故A B B -=或A B B π-+=， 即2A B =或A π=（舍去）， 所以2A B =； （2）因为3cos 4B =，且0B π<<，所以sin 4B =． 由（1）可知2A B =，则sin sin 22sin cos 8A B B B ===， 221cos cos 2cos sin 8A B B B ==-=， 因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以31sin sin()sin cos cos sin 48C A B A B A B =+=+=+=． 18.（1）23.1；（2）分布列见解析；期望为2.4.【解析】18.（1）根据频率分布直方图可得各组频率，然后结合已知进行求解即可； （2）先求出抽到一个优等品的概率，然后结合二项分布的性质进行求解即可. 解：（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由题意可得，抽到一个优等品的概率为1840220.8100=++，X 的可能取值为0,1,2,3，因此X ~(3,0.8)B ， 所以()03300.80.20.008P X C ==⨯⨯=，()112310.80.20.096P X C ==⨯⨯=，()22320.80.20.384P X C ==⨯⨯=，()330330.80.20.512P X C ==⨯⨯=，则X 的分布列为. （或者30.8 2.4EX =⨯=） 19.（1）证明见解析；（2）14.【解析】19.（1）首先可以根据余弦定理求得11B C =，然后通过22211BC B C BB +=得出1B C BC ⊥，再然后根据AC ⊥平面11BCC B 得出1AC B C ⊥，最后根据BC AC C ⋂=即可得出结果； （2）本题首先结合（1）建立空间直角坐标系C xyz -，然后分别求出平面11A B C 的法向量m 以及平面11AC C 的法向量n ，最后通过cos ,m n m n m n⋅=⋅即可得出结果.（1）因为BC =，12BB =，130B BC ∠=︒， 所以11B C ==，所以22211BC B C BB +=，1B C BC ⊥，因为AC ⊥平面11BCC B ，且1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥， 因为BC AC C ⋂=，所以1B C ⊥平面ABC ，（2）由（1）可知CA 、CB 、1CB 两两垂直，故以C 为原点，1CB 、CB 、CA 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -，如图：则()11,A ，()11,0,0B ，()0,0,0C ，()11,C ， 故()11,CA =，()11,0,0CB =，()110,0,1AC =-. 设平面11A B C 的法向量()111,,mx y z =， 则11111100m CA x z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令11y =，则(=m ，设平面11AC C 的法向量()222,,n x y z =，则112122200n A C z n CA x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令21y =，则()3,1,0n =，则11cos ,224m n m n m n⋅===⨯⋅， 设二面角111B AC C --为θ， 由图可知θ为锐角，则1cos 4θ=. 20.（1）证明见解析；（2）409.【解析】20.（1）设直线l 的方程为()2x m y =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 与抛物线的方程得到2480y my m --=，用韦达定理表示124y y m +=，128y y m =-，然后利用斜率公式把12k k 用1y 和2y 表示即可；（2）用坐标表示()22,2PB x y =+和()11,2PA x y =+，利用9PB PA =，求得1212,,,x x y y ，进而求得AB 和m ，由点到直线的距离求得MAB △的高，即可求得MAB △的面积.（1）证明：设直线l 的方程为()2x m y =+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立()24,2,y x x m y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩整理得2480y my m --=，2163216(2)0m m m m ∆=+=+>,2m <-或0m >，124y y m +=，128y y m =-．()()1212122212124242221144y y y y k k x x y y ----=⋅=⋅---- 124422y y =⋅++ ()12121624y y y y =+++，将124y y m +=，128y y m =-代入上式得121648244k k m m ==-+⨯+．（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，且2211224,4,y x y x ==由题意可得()22,2PB x y =+，()11,2PA x y =+． 因为9PB PA =，且A ，B 在x 轴的两侧，所以()2121129,292,0,x x y y y y =⎧⎪+=+⎨⎪<⎩解得149x =，143y =-，24x =，24y =，则AB =，23m =．直线l 的方程为()223x y =+， 即3240x y --=， 则点M 到直线l 的距离d ==， 故MAB △的面积为11402299AB d =⨯=． 21.（1）240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）318,e 3⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭.【解析】21.（1）先令()0f x =，分离出常数a ，设()2ex xh x =，对()h x 求导，分析单调性，找到极值，画出图像，最后观察得出a 的取值范围.（2）代入()f x ，整理得()2e 3xa x x x -≥+，设()e xg x x =-，对()g x 求导，分析其在3x ≥上的单调性，得出()0g x >恒成立，分离常数a ，23e x x xa x+≥-，再设()23e xx xm x x+=-，分析单调性，结合3x ≥得出()m x 的范围，最后得出a 的范围.解：（1）令()20e x x f x a =-=，则2e x x a =.设()2e x x h x =，则()22exx x h x -'=， 令()0h x '>，得02x <<； 令()0h x '<，得0x <或2x >，则()h x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增， 故()()00h x h ==极小值，()()242e h x h ==极大值. 结合()h x 的图象可知a 的取值范围为240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）不等式()()e 30xf x a x ++≤， 即()2e 30xx a a x -++≤，整理得()2e 3xa x x x -≥+. 设()e xg x x =-，则()e 1xg x '=-.因为3x ≥，所以()3e 10g x '≥->，所以()()33e 30g x g ≥=->，则23e x x x a x +≥-.设()23e x x x m x x+=-，则()()()()()()222223e e 13e eex x xxxx x x x x m x x x --+--++-'==--.因为3x ≥，所以()3e 0xx -≤，()2e10xx-+<，所以()0m x '<，所以()m x 在[)3,+∞上单调递减，所以()()3183e 3m x m ≤=-， 故318e 3a ≥-，即a 的取值范围是318,e 3⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 22.（1）:230l x y -+=（或1322y x =+）；()22:29C x y -+=；（2【解析】22. （1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将直线l 的极坐标方程化为普通方程，在曲线C 的参数方程中消去参数α可将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）求得直线l的参数方程为3x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，进而可计算出11PA PB+的值. （1）因为2sin cos 3ρθρθ-=，所以23y x -=， 所以直线l 的普通方程为230x y -+=（或1322y x =+）． 因为曲线C 的参数方程23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），可得23cos 3sin x y αα-=⎧⎨=⎩，()222229cos 9sin 9x y αα∴-+=+=，所以曲线C 的普通方程为()2229x y -+=； （2）设直线l 的倾斜角为β，直线l 的斜率为12k =， 由题意可得22sin 1tan cos 2sin cos 1sin 0ββββββ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得sin cos 5ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，易知点()3,0P -在直线l 上，所以，直线l的参数方程为355x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程得2160t -+=，8064160∆=-=>，由韦达定理得12t t +=1216t t =，所以，10t >，20t >，故12121212111111164t t PA PB t t t t t t ++=+=+===． 23.（1）()4,-0；（2）[]1,7-.【解析】23.（1）设()()21g x f x x =-+，再化简得到()g x 的解析式，再解不等式()1g x >即得解； （2）等价于3535x x a x -+≤-≤-对[]3,5x ∈恒成立，即25,45,a x a x ≥-+⎧⎨≤-⎩即得17a -≤≤.解：（1）设()()21g x f x x =-+，则()5,1,32131,13,5, 3.x x g x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=-+-<<⎨⎪--≥⎩()211x f x >++等价于()1g x >， 即1,51x x ≤-⎧⎨+>⎩或13,311x x -<<⎧⎨-+>⎩或3,51,x x ≥⎧⎨-->⎩解得41x -<≤-或10x -<<，故不等式()211x f x >++的解集为()4,-0． （2）因为35x ≤≤，所以1255x ≤-≤，则()25f x x x ≤-+对[]3,5x ∈恒成立等价于35x a x -≤-对[]3,5x ∈恒成立， 即3535x x a x -+≤-≤-对[]3,5x ∈恒成立，则25,45,a x a x ≥-+⎧⎨≤-⎩因为35x ≤≤，所以17a -≤≤，即a 的取值范围为[]1,7-．。

高三12月诊断考试数学（理科）试卷命题人：李虎桂 王苍一、选择题（5⨯12 = 60分） 1.设集合}1|{-==x y x A ，}1001,lg |{≤≤==x x y y B 则=⋂B A ( )A 、[0，2]B 、[0，10)C 、[1，100]D 、[1，2] 2、设R a ∈，则 1>a 是 11<a的 ( ) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设a ，b 是两个非零向量 ,则 （ ）A.若|a +b |=|a |-|b |，则a ⊥bB.若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |C.若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λaD.若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b |4、过点（3，1）作直线与圆22(1)9x y -+=相交于M 、N 两点，则MN 的最小值为（ ）A 、25B 、2C 、4D 、65、如图，正四棱锥P —ABCD 的侧面PAB 为正三角形，E 为PC 中点，则异面直线BE 和PA 所成角的余弦值为 （ ）A ．33 B ．32C ．22D ．126、已知直线02--=by ax 与曲线3x y =在点)1,1(P 处的切线互相垂直，则b a为（ ） A ．31B ．32-C ．32D ．31-7、已知40πα<<，设ααααααcos sin sin )(sin ,)(cos ,)(sin ===z y x ，则（ ）A ．y z x <<B ．y x z <<C ．x z y <<D ．z y x <<8.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于 （ ） A ．13 B ．23 C ．15D ．629、.由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为 （ ） A ．329B ．2ln3-C ．4ln3+D ．4ln3- 10、定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2xf x x=的图象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ） A ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭11、定义在Ｒ上的偶函数),2((x ))(+=x f f x f 满足当)4,3[∈x 时，,2)2(log )(3-=x x f 则(cos1))1(sin f f 与的大小关系为 ( )A. (cos1))1(sin f f <B. (cos1))1(sin f f =C. (cos1))1(sin f f >D. 不确定12.已知三棱锥ABC O -中，A 、B 、C 三点在以O 为球心的球面上， 若1==BC AB ，0120=∠ABC ，三棱锥ABC O -的体积为45，则球O 的表面积为 ( ) A.π332B. π16C. π64D. π544二、填空题（5⨯4=20分）13、过点A （4,1）的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B （2,1）,则圆C 的方程为14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =则96SS = .15.若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩≥≥≤,则213x yz +⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值是 .16．已知定义域为R 的函数()f x 满足①2()(2)242f x f x x x ++=-+，②(1)(1)f x f x +--4(2)x =-，若1(1),,()2f t f t --成等差数列，则t 的值为 ．三、解答题（共70分） 17、（10分）设⊿ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=.(1)求角B 的大小；（2）若23b =，试求AB CB ⋅的最小值。

甘肃省张掖市民乐县第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}{}20,1,2,|60,A B x x x x z ==+-<∈,则A B =（ ）A ．{}2,1,0,1,2--B ．1,0,1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2 2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．若命题:p “x R ∃∈，210x x -->”，则命题p 的否定为“x R ∀∈，210x x --≤”C ．“1x =”是“2560x x +-=”的充分不必要条件D ．“1a =”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互为垂直”的充要条件 3．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()()a c a c b b c +-=+，则A = （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于（ ） A ．58 B ．54 C ．56 D ．525．在ABC △内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a =c =60A ∠=︒，则C ∠的大小为（ ）A ．π4或3π4B ．π3或2π3C ．π3D ．π46．已知数列{}n a 是递增等比数列，152417,16a a a a +==，则公比q = （ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．27．椭圆221259x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为A ．9B ．12C ．10D ．88．已知实数,x y 满足{11y xx y y ≤+≤≥-，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．-3B ．12C ．5D ．69．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 4cos 3A b B a ==，则ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．钝角三角形10．中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为A ．24里B ．48里C ．72里D ．96里11．已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为() A．3 B．3 C ．23 D．312．已知x ，0y >，21x y +=，若21x y +>234m m ++恒成立，则实数m 的取值范围是A ．1m ≥-或4m ≤-B ．4m ≥或1m ≤-C ．41m -<<D ．14-<<m二、填空题 13．设命题2:1,ln p x x x ∀≥>，，则p ⌝为________.14．不等式211x x ≤+的解集为_______． 15．数列{}n a 的前n 项和n S ，若1(1)n a n n =+，则5S =_________.16．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________三、解答题17．已知双曲线与椭圆2214924x y +=共焦点，且以43y x =±为渐近线，求双曲线方程. 18．已知数列{}n a 的通项公式为211n a n =-.(1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2) 令||n n b a =，求数列{}n b 的前10项和10S .19．已知实数0m >，p ：(2)(3)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+（1）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若2m =，p q ⌝∧为真命题，求实数x 的取值范围．20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60B =︒，4c =，6b =. （1）求sin C ；（2）求ABC 的面积.21．已知各项为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，并且满足：n S ，n a ，2成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式．（2）若n n c n a =⋅，求数列}{n c 的前n 项和n T ．22．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2倍. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(2,0)P ，过椭圆C 左焦点F 作斜率k 直线l 交C 于,A B 两点，若ABP S ∆=，求直线l 的方程.参考答案1．A【解析】集合{}{}{}{}20,1,2,|60,|32,2,1,0,1A B x x x x Z x x x Z ==+-<∈=-<<∈=--. {}2,1,0,1,2A B ⋃=--.故选A.2．D【解析】A ．命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2-3x+2≠0”，正确，B ．若命题p ：“∃x ∈R ，x 2-x-1＞0”，则命题p 的否定为“∀x ∈R ，x 2-x-1≤0”，正确，C ．由x 2+5x-6=0得x=1，或x=6，则“x=1”是“x 2+5x-6=0”的充分不必要条件，正确，D ．当a=-1时，两直线方程分别为x+y=0和x-y=0，满足直线垂直，故“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互为垂直”的充要条件是错误的，故选D3．D【解析】【分析】将所给方程展开即可得到222b c a bc +-=-，两边同除以bc 即可变形为余弦定理，从而求解.【详解】由()()()a c a c b b c +-=+得222b c a bc +-=-.由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-== 12-， 所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了余弦定理，属于中档题.4．D【解析】37117123a a a a ++==，得74a =,1371352S a ∴==.故选D.5．D【解析】分析：利用正弦定理即可得出.=，解得sin C =， c a <，C ∴为锐角，4C π∴=.故选：D.点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.6．D【解析】设{}n a 是公比为q 的递增的等比数列，则1q >∵2416a a =∴1516a a =又∵1517a a +=∴151{16a a ==或1516{1a a ==（不合题意，舍去） ∴45116a q a ==，即2q故选D7．A【分析】先设出|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，利用椭圆的定义求得n +m 的值，平方后求得mn 和m 2+n 2的关系，代入△F 1PF 2的勾股定理中求得mn 的值，即可求出△F 1PF 2的面积．【详解】 由椭圆定义知1210PF PF +=，又12PF PF ⊥，所以()2212425964PF PF +=⨯-=，从而得1218PF PF ⋅=，所以12F PF 的面积为9， 故选A.【点睛】 本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．C【解析】本题考查简单的线性规划,属于基础题.作出不等式组表示的平面区域,如图所示:由目标函数2z x y =-,得y=2x z -,平移直线y=2x z -,由图象可知当直线y=2x z -经过点A 时,直线y=2x z -的截距最小,此时z 最大,由11y x y =-⎧⎨+=⎩,解得21x y =⎧⎨=-⎩ ,即(2,1)A -,将点A 的坐标代入目标函数2z x y =-,得22(1)5z =⨯--=.故选C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三、一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．A【分析】先由正弦定理，结合题中条件，得到sin 2sin 2A B =，进而可得出结果.【详解】根据正弦定理，由cos cos A b B a =得cos sin cos sin A B B A=，即sin 2sin 2A B =， 因为A ，B 为三角形内角，所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=， 因为43b a =，所以A B ≠， 因此2A B π+=，即ABC 是直角三角形.故选：A.【点睛】 本题主要考查三角形形状的判定，熟记正弦定理即可，属于基础题型.10．D【分析】 由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得a 2的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案．【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q=12的等比数列， 由S 6=378，得S 6=611[1)2112a ⎛⎤- ⎥⎝⎦-=378， 解可得a 1=192，则a 2=a 1×q=192×12=96； 即此人第二天走的路程里数为96,故答案为D【点睛】本题考查等比数列的前n 项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型．11．D【解析】【分析】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ，利用斜率公式以及直线,AM BM 的斜率之积为49-列式并化简得:2022049y x a =-- ，①,再根据M 在椭圆上可得2202220y b x a a =-- ，②,联立①②可解得.【详解】由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ．【点睛】本题考查了斜率公式,椭圆的几何性质,属中档题.12．C【解析】 分析：用“1”的替换先解21x y+的最小值，再解m 的取值范围。

一、等比数列选择题1．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．323．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞04．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里 B ．86里 C ．90里 D ．96里 6．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）A ．2±B ．2C ．3±D ．37．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =10．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >11．题目文件丢失！12．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1213．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．3714．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±15．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭16．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．1518．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1119．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）A ．2016B ．1528C ．1504D ．99220．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ）A ．3B ．505C ．1010D ．2020二、多选题21．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列22．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1423．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．113()2n n a -=⋅-B ．36nn S a =+C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a3a =，则19p s +的最小值为83D ．若1n n t S m S ≤-≤恒成立，则m t -的最小值为11624．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34225．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T26．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍27．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．1p =时，41516S =C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+ 28．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路29．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 30．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=31．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ）A ．0＜a 1＜1B ．1＜b 1C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n33．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1035．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 2．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦，即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---， 令210t q =>，则()222421211t t t q q-=-=--+， 所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 3．A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 4．B 【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a q a -===，所以12q =， 则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 5．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 6．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案.【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D. 7．A【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：A ． 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 8．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C . 9．D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ． 10．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ， 则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小.11．无12．C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+，即求.【详解】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 13．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 14．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C. 15．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n na =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈， 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 16．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 17．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 18．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 19．C 【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】因为119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，所以，41049104561022222212a a a -+++=++==--，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=故选：C 【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 20．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C二、多选题21．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 22．BD 【分析】设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得1112114a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为21531a a a ==，2311a a q == ， 所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 当14a =，12q =时，551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；当114a =，2q 时，5314S =，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314S =. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=，进而解方程计算. 23．ABD 【分析】根据等差中项列式求出12q =-，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为114，C 不正确；利用1nn y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由13a =，21344a a a -=+得243343q q -⨯=+⨯，解得12q =-，所以113()2n n a -=⋅-，13(1())1221()121()2n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝⎭；所以A ，B 正确；3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，所以114p s q qq --=，所以6p s +=，则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，122,2121()2122,2nn n nn S n ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3[,2)2n S ∈，又1n n y S S =-关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138(,]23n n S S -∈，当n 为偶数时，153[,)62n n S S -∈，所以83m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题.24．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 25．AD 【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 26．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 27．AC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题． 28．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确； 对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 29．BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 30．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S .31．AB 【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴123n n a +=-，∴313a =，∴()2412323412n n nS n n +-=-=---.故选：AB. 32．ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解. 【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩；∴12123212244a a a a a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n •b n +1＝2n∴122324b b b b =⎧⎨=⎩；∴2132b b b b ⎧⎨⎩＞＞；∴1＜b1B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nnnb b b b ⋅--=+=+-))2121n n ≥-=-；∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC 【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 33．ABC 【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 34．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．故选：AD【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．ABD【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列，若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确.故选：ABD .【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

民乐一中2020学年第一学期高一年级第一次月考数学试卷第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(共12小题,每小题5分，共60分，在每小题中只有一个选项符合题目要求.) 1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6.7,2,4,56,1,3,5,7.(U A B A ===⋂，则 U C B ）等于( ) A. {2，4，6} B. {2，5，6} C. {2，4，5} D. {4，5，6} 2．如果集合{}1->=x x P ，那么（ ）A.P ⊆0B.{}P ∈0C.P ∈∅D.{}P ⊆03．集合{}{}|04|02A x x B y y ≤≤≤≤＝，＝，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ）A. 12f x y x→：＝ B. 13f x y x→：＝C. 23f x y x →：＝ D. f x y →：4．已知函数f(x)＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A. 12B. －12C. 1D. －15．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ()()f x x g x ＝，B. ()()2f xg x ＝C. ()()2111x f x g x x x --＝，＝＋ D. ()()f x g x6．函数y 的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ，集合{}4),(=-=y x y x N ，则N M ⋂是( ) A ．1,3-==y x B ．)1,3(- C ．{}1,3- D ．{})1,3(- 8．f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 有增有减 D. 增减性不确定 9．下列等式成立的是（ ）=a b =-C. ==10．若0.33a=，log3bπ=，0.3logc e=，则（）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>11．已知集合{}2|210A x ax x=++=，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A. 1B. -1C. 0或1D. -1，0或112．已知函数()13log,0,{2,0,xx xf xx>=≤若()12f a>，则实数a的取值范围是（）A. ())1,0-⋃+∞ B. (-C. ()1,0⎫-⋃+∞⎪⎪⎝⎭D.⎛-⎝⎭二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分,所填答案应是最简结果）13．已知()2212f x x x+=-，则()7f= .14．已知函数y＝f(x)是R上的减函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．15．对数函数f(x)的图象过P(8,3)，则f(14)＝________.16．已知集合{}{}|25,|121A x xB x m x m=-≤≤=+≤≤-，若B A⊆，则实数m的取值范围是__________.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17.（本题满分10分）计算下列各式的值：()232211.08336.94121--+⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛）（(2)2)5lg2(lg5064lg2158lg500lg++-+18.（本题满分12分）已知集合}64|{},52|{,≤≤=≤≤-==xxBxxARU。

甘肃省民乐一中、张掖二中2019届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足(1+i)z=i+2，则z的虚部为()A. 32B. 12C. −12D. −12i【答案】C【解析】解：∵(1+i)z=i+2，∴(1−i)(1+i)z=(i+2)(1−i)，∴2z=3−i，∴z=3 2−12i.则z的虚部为−12，故选：C．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2−x−6<0}，则P∩Q等于()A. [1,2，3]B. {1,2}C. [1,2]D. [1,3)【答案】B【解析】解：P={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，Q=(−2,3)；∴P∩Q={1,2}．故选：B．先得出P={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，通过解不等式x2−x−6<0而得出集合Q，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的概念，一元二次不等式的解法及交集的运算．3.已知曲线f(x)=lnx+x2a 在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为3π4，则a的值为()A. 1B. −4C. −12D. −1【答案】D【解析】解：函数f(x)=lnx+x2a (x>0)的导数f′(x)=1x+2xa，∵函数f(x)在x=1处的倾斜角为3π4∴f′(1)=−1，∴1+2a=−1，∴a=−1．故选：D．求出函数f(x)=lnx+x2a (x>0)的导数f′(x)=1x+2xa，利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为3π4得f′(1)=−1，由此可求a的值本题考查导数的几何意义，直线的斜率与倾斜角的转换，属于基础题．4.已知数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，则其公差d=()A. −29B. 29C. −89D. 89【答案】D【解析】解：∵数列{a n}等差数列，a10=10，其前10项和S10=60，∴{a10=a1+9d=10S10=10a1+10×92d=60，解得a1=2,d=89．故选：D．利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出首项和公差．本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.执行如图所示的程序框图，则输出的S值是()A. −1B. 23C. 32D. 4【答案】D【解析】解：第1次判断后循环，S=−1，i=2，第2次判断后循环，S=23，i=3，第3次判断后循环，S =32，i =4， 第4次判断后循环，S =4，i =5， 第5次判断后循环，S =−1，i =6， 第6次判断后循环，S =23，i =7， 第7次判断后循环，S =32，i =8， 第8次判断后循环，S =4，i =9，第9次判断不满足9<8，推出循环，输出4． 故选：D ．直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i =9<9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力．6. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，若(a ⃗ +m b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数m 的值为( )A. 1B. 32C. 2D. 3【答案】D【解析】解：∵|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ | |b ⃗ |cos120∘=3×2×(−12)=−3．∵(a ⃗ +mb b ⃗ )⊥a ⃗ ，∴(a ⃗ +m b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2+m a ⃗ ⋅b ⃗ =32−3m =0，解得m =3． 故选：D ．由(a ⃗ +mb b ⃗ )⊥a ⃗ ，可得(a ⃗ +m b ⃗ )⋅a ⃗ =0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出． 本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m ；最后在根据统计数m 估计π的值，假设统计结果是m =34，那么可以估计π的值为( )A. 227B. 4715C. 5116D. 5317【答案】B【解析】解：由题意，120对都小于l 的正实数对(x,y)，满足{0≤y <10≤x<1，面积为1， 两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x 2+y 2<1且{0≤y <10≤x<1，x +y >1，面积为π4−12，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对(x,y) 的个数m =34， 所以34120=π4−12，所以π=4715． 故选：B ．由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x ，y ，满足{0≤y <10≤x<1，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x 2+y 2<1且{0≤y <10≤x<1，x +y >1，面积为π4−12，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．8. 如图为某几何体的三视图，则其体积为( )A.2π3+4 B.2π+43C. π3+4D. π+43【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体(可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体)． 该几何体的体积=π×12×12×2+(12×2×1×2−13×12×2×1×2)=π+43．故选：D ．由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体(可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体)．本题考查了三视图的有关计算、柱体与锥体的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2e)=−f(x)(其中e =2.7182…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a =ln22，b =ln33，c =ln55，则f(a)，f(b)，f(c) 的大小关系(用不等号连接)为( )A. f(b)>f(a)>f(c)B. f(b)>f(c)>f(a)C. f(a)>f(b)>f(c)D. f(a)>f(c)>f(b)【答案】A【解析】解：∵f(x)是R 上的奇函数，满足f(x +2e)=−f(x)， ∴f(x +2e)=f(−x)， ∴函数f(x)关于直线x =e 对称， ∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数， ∴f(x)在区间[0,e]上为增函数， ∵a =ln22，b =ln33，c =ln55，通过lnx x单调性判断，易知0<c <a <b <e∴f(c)<f(a)<f(b)， 故选：A ．由f(x)是R 上的奇函数及f(x +2e)=−f(x)，可得f(x +2e)=f(−x)，从而可知f(x)关于x =e 对称，由f(x)在[e,2e]上的单调性可得f(x)在[0,e]上的单调性，由a ，b ，c 的大小关系，进而得到f(a)、f(b)、f(c)的大小关系．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，属中档题．10. 若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+y 2m=1的离心率为( )A. √32B. √5C. √32或√52D. √32或√5 【答案】D【解析】解：依题意可知m =±√2×8=±4当m =4时，曲线为椭圆，a =2，b =1，则c =√3，e =ca =√32当m =−4时，曲线为双曲线，a =1，b =2，c =√5则，e =√5 故选：D ．先根据等比中项的性质求得m 的值，分别看当m 大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b ，则c 可求得，继而求得离心率．当m <0，曲线为双曲线，求得a ，b 和c ，则离心率可得.最后综合答案即可． 本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．11. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A −BCD 的外接球，BC =3，AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A. [π,4π]B. [2π,4π]C. [3π,4π]D. (0,4π]【答案】B【解析】解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则O 1D =3sin600×23=√3，AO 1=√AD 2−DO 12=3，在Rt △OO 1D 中，R 2=3+(3−R)2，解得R =2， ∵BD =3BE ，∴DE =2在△DEO 1中，O 1E =√3+4−2×√3×2×cos300=1∴OE =√O 1E 2+OO 12=√2过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故选：B ．设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2=3+(3−R)2，解得R =2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，属于中档题．12. 已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x 满足f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)=4x −m ⋅2x −3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [−√3,√3)B. [−2,+∞)C. (−∞,2√2]D. [−2√2,√3]【答案】B【解析】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f(−x)=−f(x)有解即可； 即4−x −m ⋅2−x −3=−(4x −m ⋅2x −3)； ∴4x +4−x −m(2x +2−x )−6=0；即(2x +2−x )2−m(2x +2−x )−8=0有解即可；设2x +2−x =t(t ≥2)，则方程等价为t 2−mt −8=0在t ≥2时有解； 设g(t)=t 2−mt −8，对称轴为x =m2；①若m ≥4，则△=m 2+32>0，满足方程有解； ②若m <4，要使t 2−mt −8=0在t ≥2时有解，则需： {g(2)=−2m −4≤0m<4； 解得−2≤m <4；综上得实数m 的取值范围为[−2,+∞)． 故选：B ．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f(x)是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程(2x +2−x )2−m(2x +2−x )−8=0有解.可设2x +2−x =t(t ≥2)，从而得出需方程t 2−mt −8=0在t ≥2时有解，从而设g(x)=t 2−mt −8，得出其对称轴为x =m2，从而可讨论m 的值，求出每种情况下m 的范围，再求并集即可．考查奇函数的定义，理解“局部奇函数”的定义，完全平方式的运用，换元法的应用，熟悉二次函数的图象．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x +y ≥0x +2y −4≤0，则z =x −2y 的最大值为______．【答案】32【解析】解：由约束条件{x −y −1≤0x +y ≥0x +2y −4≤0作出可行域如图，联立{x +y =0x−y−1=0，解得A(12,−12)，化目标函数z =x −2y 为y =x 2−z2，由图可知，当直线y =x 2−z 2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为32． 故答案为：32．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆(x −√2)2+y 2=1相切，则此双曲线的离心率为______． 【答案】√2【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx +ay =0， 圆(x −√2)2+y 2=1的圆心(√2,0)，半径为1， 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆(x −√2)2+y 2=1相切，可得：√2b √b 2+a 2=1，可得a 2=b 2，c =√2a ， ∴e =√2． 故答案为√2．求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a 、b 关系，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．15. 不论k 为何实数，直线y =kx +1与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】−1≤a ≤3【解析】解：直线y =kx +1恒过(0,1)点的直线系，曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0表示圆圆心(a,0)，半径为：√4+2a)， 直线与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内， 即：√a 2+12 ≤√4+2a 所以，−1≤a ≤3 故答案为：−1≤a ≤3．直线y =kx +1与曲线x 2+y 2−2ax +a 2−2a −4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题．16. 抛物线y 2=8x 的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，∠OFA =2π3，则tan∠ACB =______．【答案】4√3【解析】解：∵抛物线方程为y 2=2px =8x ，∴p =4∴F 点坐标为(2,0)，准线l 方程x =−2， ∴C 点坐标为(−2,0) ∵∠OFA =2π3，∴直线AB 的斜率为：√3．∵直线AB 经过点F(2,0)∴直线AB 方程为y =√3(x −2)又∵点A 与点B 在抛物线上，∴两方程联立{y =√3(x −2)y 2=8x ，得到3x 2−20x +12=0， 解得A(6,4√3)，B(23,−4√33)∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(83,−4√33)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,4√3)∴cos∠ACB =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=643−16√(83)2+(4√33)2⋅√64+48=17，sin∠ACB =√487∴tan∠ACB =4√3． 故答案为：4√3．先求出抛物线焦点F 坐标(2,0)，准线为l ：x =−2，从而得到C 点坐标.由题意可知直线AB 的方程，由AB 方程与抛物线方程消去y 得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解．本题考查了抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查了求根公式，最后利用向量的数量积来求角的三角函数值是关键．三、解答题（本大题共7小题）17. 已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m 的最小值． 【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx =1−cos2x2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， f(x)的最小正周期为T =2π2=π；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32， 可得2x −π6∈[−5π6,2m −π6]，即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3， 则m 的最小值为π3．【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值； (Ⅱ)求得2x −π6的范围，结合正弦函数的图象可得2m −π6≥π2，即可得到所求最小值．18. 如图在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60∘，PA =PD =AD =2，点M 在线段PC 上，且PM =2MC ，N 为AD 的中点． (1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P −NBM 的体积．【答案】(1)证明：如图，∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，∴BN⊥AD∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB(2)解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD= AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，∴PN=NB=√3，点到P平面ABCD的距离为√3．∴S△PNB=12×√3×√3=32．∵AD⊥平面PNB，AD//BC，∴BC⊥平面PNB．∵PM=2MC，∴V P−NBM=V M−PNB=23V C−PNB=23×13×12×√3×√3×2=23．∴三棱锥P−NBM的体积为23．【解析】(1)由N为AD的中点及PA=PD可得PN⊥AD，在底面菱形中结合已知条件证得AD⊥BN，然后由线面垂直的判断得到AD⊥平面PNB；(2)由平面PAD⊥平面ABCD结合面面垂直的性质得到PN⊥NB，再由已知求得PN=NB=√3，把三棱锥P−NBM的体积转化为23倍的三棱锥C−PNB的体积求解．本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量x(单位：箱)76656收入y(单位：元)165142148125150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21−50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率． 附：回归方程y ^=b ^x +a ^，其中b =∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2,a ^=y −b ^x ．【答案】解：(1)由题意可求得回归方程为y ^=20x ^+26，据此预算售出8箱水时，预计收入为206元；x =7+6+6+5+65=6,y =165+142+148+125+1505=146，b ̂=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)219+0+0+21+01+0+0+1+0=20,a ̂=y −b ̂x =146−20×6=26，∴y ̂=20x ̂+26，当x =9时，y ̂=20×9+26=206，即某天售出9箱水的预计收益是206元； (2)设事件A 1：甲获一等奖；事件A 2：甲获二等奖；事件B 1：乙获一等奖，事件B 2：乙获二等奖，事件C 1：丙获一等奖；事件C 2：丙获二等奖，则总事件有：(A 1,B 1,C 1)，(A 1,B 1,C 2)，(A 1,B 2,C 1)，(A 1,B 1,C 2)，(A 2,B 1,C 1)，(A 2,B 1,C 2)，(A 2,B 2,C 1)，(A 2,B 2,C 2)，8种情况.甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有(A 2,B 2,C 2)1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率P =18．【解析】(1)由题意首先求得线性回归方程，然后利用线性回归方程的预测作用预计收入的数值即可；(2)由题意列出所有可能的基本事件，然后利用古典概型公式计算概率值即可． 本题考查线性回归方程及其应用，古典概型的计算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(2,0)，以原点O 为圆心，OF 为半径的圆与椭圆在y 轴右侧交于A ，B 两点，且△AOB 为正三角形． (I)求椭圆方程；(Ⅱ)过圆外一点M(m,0)(m >a)，作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【答案】解：(I)∵△AOB 为正三角形，且A ，B 两点关于x 轴对称，OF =2=OA ． ∴x A =OAcos30∘=√3，y A =OAsin30∘=1，可得A(√3,1)．∴3a 2+1b 2=1，a 2=b 2+22，解得：a 2=6，b 2=2． ∴椭圆方程为：x 26+y 22=1．(II)由题意可得直线l 的方程为：y =−√33(x −m)，联立{y =−√33(x −m)x 26+y 22=1，化为：2x 2−2mx +m 2−6=0，由△>0，可得：4m 2−8(m 2−6)>0，解得−2√3<m <2√3． 又m >√6，可得：√6<m <2√3．设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−62，y 1y 2=[−√33(x 1−m)]⋅[−√33(x 2−m)]=13x 1x 2−m 3(x 1+x 2)+m 23．又FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=43x 1x 2−m+63(x 1+x 2)+m 23+4=43⋅m 2−62−m+63⋅m +m 23+4=2m(m−3)3．∵点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，∴FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(m−3)3<0，解得0<m <3． 又√6<m <2√3． ∴√6<m <3．∴m 的取值范围是(√6,3)．【解析】(I)△AOB 为正三角形，且A ，B 两点关于x 轴对称，OF =2=OA.可得：x A =OAcos30∘，y A =OAsin30∘，可得A 坐标.代入可得3a 2+1b 2=1，又a 2=b 2+22，解出即可得出．(II)由题意可得直线l 的方程为：y =−√33(x −m)，与椭圆方程联立可得：2x 2−2mx +m 2−6=0，由△>0，m >√6，可得m 范围.设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，把根与系数的关系代入：FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=43x 1x 2−m+63(x 1+x 2)+m23+4，根据点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m(m−3)3<0，解得0<m <3.进而得出m 的取值范围．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式定解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21. 已知函数f(x)=lnx +x 2+ax(a ∈R)，g(x)=e x +x 2．(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若对∀x >0，不等式f(x)≤g(x)成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=lnx +x 2+ax(a ∈R)，0)'/>，令，即2x 2+ax +1=0，△=a 2−8；①当a 2−8≤0时，即−2√2≤a ≤2√2时，2x 2+ax +1≥0恒成立，即，此时f(x)在(0,+∞)单调递增，无极值点． ②当a 2−8>0时，即a <−2√2或a >2√2，若a <−2√2，设方程2x 2+ax +1=0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 由根与系数的关系得{x 1+x 2=−a2>0x 1x 2=12>0； 故x 1>0，x 2>0，此时x ∈(0,x 1)， 0'/>，f(x)单调递增，x ∈(x 1,x 2)，，f(x)单调递减， x ∈(x 2,+∞)，0'/>，f(x)单调递增，故x 1，x 2分别为f(x)的极大值点和极小值点， 因此a <−2√2时，f(x)有两个极值点；若a >2√2，设方程2x 2+ax +1=0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 由根与系数的关系得{x 1+x 2=−a2<0x 1x 2=12>0， 故x 1<0，x 2<0，此时f(x)无极值点；综上：当a <−2√2时，f(x)有两个极值点，当a ≥2√2时，f(x)无极值点；(2)不等式f(x)≤g(x)等价于ln x +x 2+ax ≤e x +x 2，即e x −ln x ≥ax ，x ∈(0,+∞)； 因此a ≤e x −lnx x，设ℎ(x)=e x −lnx x，，当x ∈(0,1)时，e x (x −1)+ln x −1<0，即，ℎ(x)单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，e x (x −1)+ln x −1>0，即 0'/>，ℎ(x)单调递增．因此x =1为ℎ(x)的极小值点，即ℎ(x)≥ℎ(1)=e ，故a ≤e ．【解析】(1)对函数f(x)求导数，利用求得f(x)的极值点，讨论函数极值点的个数；(2)不等式f(x)≤g(x)等价于lnx +x 2+ax ≤e x +x 2，分离常数法得出a ≤e x −lnx x，设ℎ(x)=e x −lnx x，利用导数求出ℎ(x)的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题．22. 已知直线l 的参数方程为{x =4+√22t y =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；(2)动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值． 【答案】解：(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，所以x 2+y 2−4x =0，所以圆C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4． 将直线l 的参数方程代入圆C ：(x −2)2+y 2=4，并整理得t 2+2√2t =0， 解得t 1=0，t 2=−2√2．所以直线l 被圆C 截得的弦长为|t 1−t 2|=2√2． (2)直线l 的普通方程为x −y −4=0． 圆C 的参数方程为{y =2sinθx=2+2cosθ(θ为参数)， 可设曲线C 上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)， 则点P 到直线l 的距离d =√2=|2cos(θ+π4)−√2|，当cos(θ+π4)=−1时，d 取最大值，且d 的最大值为2+√2． 所以S △ABP ≤12×2√2×(2+√2)=2+2√2， 即△ABP 的面积的最大值为2+2√2．【解析】(1)根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆C 的直角坐标方程即可，联立直线的参数方程和圆的方程，求出弦长即可；(2)求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线C 上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)，求出点P 到直线l 的距离，结合三角函数的性质求出△ABP 的面积的最大值．本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查点到直线的距离以及三角函数的性质，是一道中档题．23. 已知函数f(x)=|2x −a|−|x +3|，a ∈R ．(I)当a =1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)当x ∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立，求a 的取值范围． 【答案】解：(I)当a =1吋，函数f(x)=|2x −1|−|x +3|，当x ≤−3时，f(x)=1−2x +(x +3)=4−x ，此时f(x)min =f(−3)=7， 当−3<x <12时，f(x)=1−2x −(x +3)=−3x −2， 此时f(x)>f(12)=−3×12−2=−72 当x ≥12时f(x)=2x −1−(x +3)=x −4，此时f(x)min =f(12)=12−4=−72 综上f(x)的最小值为−72…(5分)(I)当x ∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立，可化为|2x −a|≤x +7， 即−x −7≤2x −a ≤x +7恒成立，得x −7≤a ≤3x +7由x∈[0,3]，得3x+7≥7且，x−7≤−4，得−4≤a≤7，即a的取值范围是[−4,7]．【解析】(I)当a=1时，结合分段函数的表达式即可求f(x)的最小值；(Ⅱ)当x∈[0,3]时，f(x)≤4恒成立进行转化，结合绝对值不等式的解法进行求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立的应用，讨论x的范围，去掉绝对值号是解决本题的关键．。