等比数列课件(第一课时)

例１ 在等比数列{an}中，a1 5，q 3，求 a2、a3、a4、a5．
巩
固
解 a2 a1 q 5 3 15,
知
a3 a2 q 15 3 45,
识
a4 a3 q 45 3 135,
典
a5 a4 q 135 3 405.
型
例
题
你能很快
写出这个数 列的第9项吗？
等比数列
在等比数列 an 中，a3 6，q 2，试写出 a4、a6．
运 用
12, 48．
知
识
强
写出等比数列 3， 6，12， 24， 的第5项与第6项．
化
练
48， 96．
习
课后作业： 说出下列等比数列的公比 8,16，32，64， 128， 256, ... ;
1，1，1, 1，1, 1，1,...;
探 索 新
若数列 an 为等比数列， q为公比，则 a1与q均不为
零，且有 an1 q 即 an
知
an1 an q
(6.5)
想一想:●等比数列与等差数列有何异同? 相同点: 1、都是从第2项开始 2、都是每一项与它前一项的关系 不同点: 1、等差数列是后一项减前一项
等比数列是后一项比前一项 2、公差d可以为0，公比q不能为0.
6.3 等比数列定义
动手试一试请你做游戏: 把一张纸连续对折5次，试列出每次对折后纸的层 数: 2，4，8, 16，32.
6.3 等比数列
创
设
某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后
情 境
的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及以后5年 的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：
练习 抢答:下列数列是否为等比数列?

a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1

∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老

Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室

Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工

1.抓基本量__a__1 和_____q ，通过解方程或方
程组求解；在解方程组时常用__相___除_法消元.
2.巧用__性___质_，简化计算.(如体验2(3))
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（二）等比数列的判定与证明
体验3: 设数列{an}的前n项和为Sn,an 5Sn 1(nN*),
证明:数列{an}为等比数列.
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体验2 (1)若等比数列{an}各项都是正数,a1 3,
a1 a2 a3 21,则a3 a4 a5 __8_4__.:
(2)在 等 比 数 列 {an} 中 ,S23 ,S415,
则 S6__ 6_3__.
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小结:
在运用等比数列的通项公式、前n项和公式进 行计算时，常用方法：

1 8
, a4

1, 则{an }的
公比
为
____
.
2 .在 等 比 数 列{a n }中 , a 2 a6
16, a4

a8

8,则
a20 a10

______ .
3 .在 等 比 数 列{an }中 , S n 表 示 前 n项 和 ,a3 2 S 2 1, a 4 2 S 3 1,
.
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选作：
已知函数f(x)x24,设曲线yf(x)在点(xn, f(xn))处的
切线与x轴的交点为(xn1,0)(nN*),其中x1为正实数.
(1)xn表示xn1,
(2)若x1
4,记an
lgxn xn
22,证明{an}为等比数列.
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谢谢！
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(3) (4) (5) (6)
公比 q=2 递增数列 公比 q=3 递增数列
1 , x , x , x , x , ( x 0 )
234
公比 d= x
1 公比 q= 递减数列 2
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字母q表示。 等差数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
讨论
已知等比数列 （1） 首项
a n
a1
： 能不能是零？
Why? 不能！！！
（2）公比q能不能是零？
Why? 不能！！！
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab G ab
2
等比中项与等差中项比较
G ab G ab
2
ab A 2
现给出等差中项的性质 1、在等差数列中，从第二项起,每 一项是相邻两项的等差中项。 2、在等差数列中，数列中的某一项 是与它“等距离”的两项的等差中 项。 你能类比中项的性质吗?可以用数学 式子表示吗?

达标检测
1.在等比数列 an 中,
(1)a1 2, q 3, 求a8与an. a8 4374,an 2 3 n1
（2）a1 2, a5 32,求q q 2
(3)a3 12, a4 18, 求a1与a2
8
2.如果2，a, 8成等比数列,那么a= 4
3.在等比数列 an 中, 2a4 a6 a5，则公比 q
课后作业：
1.阅读教材第51～52页 2.完成课本第53页习题A组1，7 题
数学语言：
an q(n 2且n N* ). an 1 或 an1 q
an
思考：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？
(2)公比q能不能是1？
不能 能
2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ①④⑤ .
① 1，-1，1，…，(-1)n+1√； ②1，2，4，6…； ×
(
1
n
)
2
例2 已知一个等比数列的前三项依
次是a,2a+2,3a+3,求a的值
解：由等比数列的定义，得
2a 2 3a 3
2
3
即(2a 2)2 a(3a 3) ，
所以 a2 5a 4 0,
解得a=-1 或a=-4
当 a=-1 时,2a+2=3a+3=0 ,舍去，
所以a=-4
例3：已知{an}的通项公式an 3n,求证：{an}是
的差等于同一个常数，一项的比都等于同一
那么这个数列叫做等 个 常 数 ,那 么 这 个 数
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示

典例 1 在等比数列{an}中，公比为 q，前 n 项和为 Sn. (1)若 a1＝8，an＝14，Sn＝643，求 n； (2)若 S3＝72，S6＝623，求 an 及 Sn； (3)若 a6－a4＝24，a3·a5＝64，求 S8； (4)若 a3＝32，S3＝412，求 a1．
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其 中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次 方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营 ，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下 的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后 )，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋21)－x. 则 1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000． 解得 x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3， …，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. (2)在等比数列{an}中，当项数为 2n(n∈N*)时，SS偶奇＝q. (3){an}是公比不为－1 的等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等

练一练
判别下列数列是否为等比数列?
2 1 (1) 2 , 1, , , …… 2 2
是
q
2 = 2
(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 …… 不是
等比数列的有关概念
说出下列等比数列的公比是多少
( 1) (2)
2，4，8，16，32，64. 1，3，9，27，81，243，…
公比 q=2 公比 q=3
请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列 有什么共同特征？
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比，公比通常用字母q表示。 (q≠0) 其数学表达式：
an q(n 2) an1
an1 an q
(3) 1, x, x 2 , x 3 , x4 ,( x 0) 公比 q= x
(4)
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16 1 公比 q= 2
等比数列的通项公式
由等比数列的定义，有
a2 a1q
a3 a2q (a1q)q a1q2
a4 a3q (a1q2 )q a1q3
M
30°
∴
S△OA1B1 S△OAB
又∵S△OAB = 1
∴ S△OA1B1 = 1 3
60°
360°-90°=27
同理
S△OA2 B2 S△OA1B1
=(
OB2 2 1 ) = OB1 3
1 1 ∴ S△OA2 B2 = S△OA1B1 = 2 3 3
an a1q
S△OA1 B1
S△OA2 B2
a4 5 (3)

an 2
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1

a

a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1

am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为

a,2a,4a,8a,16a,...
观察数列①②，说说它们有什么共同特点？
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… ①
2 4 8 16
1
数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于__2__；
a,2a,4a,8a,16a,...
②
2 数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；
一、定义
名
等差数列
两种方法： 数列 an为等比数列
an q(n 2, n N ) an1
三种思想：类比的思想
五、作业
an2 an1 an1(n 2,nN)
(an 0)
函数思想 方程思想
课本p53习题2.4 1、2、7、8
如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的比等于同一
个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数
列的公比，用q表示
q an
a n 1

(n 2, n N )
数列 an 为等比数列
可用此式来证明等比数列
通过这个式子，分析等比数列中每一项与公比是否有要求？
等比数列中 当 q 0时
(
1 2
)
n1

1

1 2
n1

②
an 2n1 a a 2n1
猜想：
以a1为首项，q为公比的等比数列的通项公式为 an=a1qn-1
探究:能否类比推导等差数列通项公式的方法来推导等比数列
通项公式呢？
方法一:(累乘法)
方法二:(迭代法)
a2 q
a1 a3 q a2
a4 q a3
(n-1)个 式子相乘 得
……
an q an1

( 3 ){ a n 2 }是等比数列 , 公比为 q 2
( 4 ){ a n • b n }是等比数列 , 公比 p • q
( 5 ){ a n }是等比数列 bn
, 公比为 p q
人教版-等比数列ppt完美课件
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4 、 {an}是等,则 比 a1an数 =a2an- 列 1=••
an = qn-1 a1
当n=1时，上面的等式也成立
即通项公式为：an=a1qn-1
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二、通项公式的理解
an=a1qn-1
an、a1、q、n四个量任知道其中三个量， 可以求第四个量
推广an=amqn-m
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8、如果需要设三个比数数成列等 , 时
则设a,a,aq.如三维设 P性计质的应2用例 q
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1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
aG (2)任一个等比,从 数第 2列 项起每一项是它的 项和后一项的等 . 比中项
练习三维设计P牛刀小试 2
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四、等比数列的判断：
an1 =q(q为非零，常 nN数 )
an
an = q
a n-1
{an}是等比数列
an=cq n(c,q为非零 ，n常 N数 ) {an}是等比数列