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人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)

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人教版高中数学必修%等比数列PPT精品课件

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类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
…a3…
×） an q
a n 1
共n – 1 项
an a1 (n 1)d
an q n1 a1
人教版高中数学必修5课件第二章2.4% 20等比 数列( 共19张P PT)
人教版高中数学必修5课件第二章2.4% 20等比 数列( 共19张P PT)
为什么要 求q≠0？
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。
其定义式：
an q(n 2) an1
判断一个数列是否为等比数列的依据
或 an1 q(n N *) an
an 0
人教版高中数学必修5课件第二章2.4% 20等比 数列( 共19张P PT)
课堂互动
判定下列数列是否是等比数列？若是找出公比；不是，请说明理由。
an q, n 2 an1
an a1 q n1
定义式 通项公式
an amqnm
通项
(n, m N * ) 变形
G2 ab 或 G ab
中项 公式
an an1 d , n 2
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
(n, m N *)
a b 2 A或A a b 2
(a1 d ) d
纳 法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d) d
a…1
3d
…
an a1 (n 1)d
人教版高中数学必修5课件第二章2.4% 20等比 数列( 共19张P PT)
等比数列an an1q, n 2
a2 a1q
a3
aa12qq2

2.4等比数列(必修5优秀课件)

2.4等比数列(必修5优秀课件)

字母q
表示(q. ≠0)
第7页，共42页。
2.等比数列定义的符号语言:
(q为常数，且q≠0 ；n∈N*)
[或
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*) ]
第8页，共42页。
练习
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些
不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不
是，说明理由。
(1) 1，3，9，27，… 是 a1=1, q=3
1.等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息） 本利和=本金×（1+利率×存期）
例如：存入10000元，利率为0.72%
存期 第一年 第二年 第三年 第四年
年初本金 10000 10000 10000 10000
年末本利和（元） 10000×（1+0.725×1） 10000×（1+0.725×2） 10000×（1+0.725×3） 10000×（1+0.725×4）
第15页，共42页。
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的通项公式：叠乘法
a2 a3 a4 a5 ...... an an qn1
a1 a2 a3 a4
an1 a1
an a1q n1
等比数列注： （1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 an 0
（3） q=1时，{an}为常数列；
第16页，共42页。
湖南省长沙市一中卫星远程学校
4.等比数列的通项公式：
以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项
公式为： 5.等比数列通项公式的推广：
6.等比数列的公比公式：
7.等比数列通项公式的应用：知三求一
第17页，共42页。

人教版数学必修五：2.4《等比数列 》ppt课件

人教版数学必修五：2.4《等比数列 》ppt课件
－1
.
第二章 2.4 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n

人教A版高中数学必修五2.4数学等比数列 课件

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当q>0时，数列单调性不定.
an1 q an
当 q>1，a1>0，或 0<q<1，a1<0 时，数列是递增数列. 当 q>1，a1<0，或 0<q<1，a1>0 时，数列是递减数列.
当q=1时，数列是常数数列.
思考2：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,
……
由此归纳等差数列
由此归纳等比数列的通项公式可得：
的通项公式可得：
ana1(n1)d
an a1qn1
3、等比数列的通项公式：
法二：迭加法
等 a2a1d
差 数
a3a2 d
类比
列 a4a3 d ……
+）anan1d
a2 q
等 比 数 列
a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n1
2
图象上一群孤立的点
2
1
O 1234567
n
等差数列
等差数列通项公式:
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
①函数观点； 一次函数形式：
a n = pn + q，n ∈N +
d=p a1=p+q ②方程思想. 方程中有四个量，知 三求一，这是公式最 简单的应用.
等比数列
等比数列通项公式: a n= a 1 q n－1
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年
剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多
长(精确到1年) ？
放射性物质衰变到
解:设这种物质最初分的析质: 量是1,经过n年,剩留量原是来a的n.一半所需时

人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件

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的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得

(人教新课标)高二数学必修5第二章 数列2-4《等比数列》)课件(共26张PPT)

(人教新课标)高二数学必修5第二章 数列2-4《等比数列》)课件(共26张PPT)

等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项
的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数
(q≠0) 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
其数学表达式：
an an1 q(n 2) 或 q(n N * ) an1 an
思考:(1)如果an+1=anq(n∈N+,q为常数）， 那么数列{an}是否是等比数列？为什么？
练习：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ， 即：G=±4
变式1：观察如下的两个数之间，插入一个什么数
后者三个数就会成为一个等比数列：
±3 ， 9 （1）1，
±6 ，-3 （3）-12，
（2）-1，±2 ，-4 （4）1， ±1 ，1
例3：在1和4之间插入三个数，使这五个 数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．
a1 0 a1 0 a1 0 a1 0 或 {an }递减； 或 {an }递增； 0 q 1 q 1 q 1 0 q 1
q=1，常数列； q<0，摆动数列；
注意：
1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前 一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同 一个非零常数。
答：不一定是等比数列。这是因为： （1）若an=0，等式an+1=anq对n∈N+恒成立，但从第二 项起，每一项与它前一项的比就没有意义，故等比数列 中任何一项都不能为零；
（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N+仍恒成立，此时数列 {an}从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故 等比数列中的公比q不能为零。 （3）公比q=1时是什么数列？既是等差又是等比数列 为非零常数列； （4） q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？

高中数学必修五课件：2.4《等比数列(一)》(人教A版必修5)

特别提醒：(1)利用等比中项可在成等比数列
的三数中“知二求一”．
(2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比
中项有两个值，即 G＝± ab.
3．通项公式的应用 通项公式 an＝a1qn－1 反映了等比数列an的各项 与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”． 特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
【例
1】
等比数列an
中

，a2＝4，a5＝－12，求通项
公式． 解：由 a2＝4，a5＝－12知aa11qq＝ 4＝4－，12 ，
a1＝－8， 解得q＝－12，
∴所求通项公式为 an＝－8·－12n－1.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中 基本量的计算是最重要、最基本的问题．

(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》ppt课件 公开课精品课件


(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根． 解得aa73＝＝146 或aa73＝＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成 等差数列，则这四个数为________．
[答案] 3,6,12,24
[解析] 设这四个数分别为 a、aq、aq2、aq3，则 a－1， aq－1，aq2－4，aq3－13 成等差数列， ∴22aaqq－ 2－14＝＝aa－q－11＋＋aqa2－ q3－413 ， 整理得aaqqq－－112＝2＝36 ，解得 q＝2，a＝3. 因此所求四个数为 3,6,12,24.
A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0,0<q<1 或 a1<0，q>1 D．q>1 [答案] C [解析] 等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对 值来决定．由 an＋1－an＝a1qn－1(q－1)<0，得 a1>0,0<q<1，或 a1<0，
q>1.
3．等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a， aq. (2)若四个数成等比数列，可设 a，aq，aq2，aq3；若四个数 均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk， ∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1nlgk]＝12lgq－nn1＋1lgk. 要使数列{bn}为等差数列，只需 k＝1， 故存在实数 k＝1，使得数列{bn}成为等差数列．

2.4等比数列(一)课件(人教A版必修5)

an ＝q(n≥2) a － 即______________ ． n 1
第1课时 │ 自学探究
•
[思考] 用定义法判断数列为等比数列时应 注意什么？
解：用定义法判断数列为等比数列时应注意： (1)任一项 an≠0，且 q≠0； a2 a3 a4 (2)切忌只通过计算数列的 ， ， 等有限的几个项的 a1 a2 a3 比后， 发现它们都是同一常数， 就断言数列{an}为等比数列．
教师出示投影胶片：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭．” 师：这是《庄子· 天下篇》中的一个论述，能解释这个论 述的含义吗？ 学生思考、讨论，用现代语言叙述． 师：(用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位 “1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 1 1 生：发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1， ， ， 2 4 1 1 ， ，„. 8 16
2.4 │ 新课导入
•
师：细胞分裂的个数也是与我们上述提出 的问题类似的实例．细胞分裂有什么规律？ 将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你 能写出这个数列吗？ • 生：通过观察和画草图，发现细胞分裂的 规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从 而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下
2.4 │ 新课导入
2.4│ 教学建议
•
教学中应充分利用信息和多媒体技术，给 学生以较多的感受，激发学生学习的积极性 和思维的主动性． • 准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学 习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂 所学知识的目的．
2.4 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 师：现实生活中，有许多成倍增长的实例．如将一张报 纸对折、对折、再对折、„，对折了三次，手中的报纸的层数 就成了8层，对折了5次就成了32层．你能举出类似的例子吗？ 生：一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120 粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的 120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，„. 师：非常好的一个例子！ 现实生活中，我们会遇到许多这类的事例． 教师出示多媒体课件：某种细胞分裂的模型．

人教版高中数学必修五课件：2.4 等比数列(共17张PPT)

(1)等比数列的公比q能取0吗？等比数列 中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？ (3) 既是等差数列又是等比数列的数列
存在吗？ (4) 常数列都是等比数列吗？
自主探究
你能根据等比数列的定义推导出等比数 列的通项公式吗？
an q(n 2) an1
等比数列通项公式的推导： an an1
数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的 公比（q）。
其递推公式：
an q(n 2且 n N ) 或 an1 q(n N * )
a n 1
an
小试牛刀
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
例1. 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的首项和公比以及通项公式。
例2:
已知
a,
3 2
,
b,
243 32
,
c这五个数成等比数列,
求 a, b, c 的值。
课堂互动
1.在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
(2)已知a1
3, q
1 2
，求a5；
通项 变形
an
am
(n m)d
(n, m N *)
试一试
已知数列an 满足a1 1 ，an1 2an 1
（1）求证：数列 an 1 是等比数列；
（2）求数列 an 的通项公式。
qn 2
方法一:累乘法
a2 q
aa31 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
an q
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是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．
81 2
8
16 ,8 （3） a3 12 ， a4 18 ，求 a1 ， a2 ． 3
例 2、已知数列 {an } 的通项公式为 an 3 2n ， 这个数列是等比数列吗？
（5）等比数列依次每 n 项的和仍为等比数列，公比为 q
n 2
n
（6） a1 a2
an (a1 an ) ． （正项数列中）
例 5、在等比数列 an 中，已知 a1 a2 324, a3 a4 36 ， 求 a5 a6 ．
4
例 6、在等比数列 an 中，已知 a3 a4 a5 8 ， 求 a2 a3 a4 a5 a6 ．
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
1、理解等比数列的概念
2、掌握等比数列的通项公式
3、掌握等比数列的性质 4、运用等比数列的通项公式解决相关问题
【问题1】等差数列的定义、通项公式、性质
【问题 2】观察以下几个数列： （1） 2, 4,8,16，
， （2） 3,9, 27,81
1 1 1 1 ， ， （3） ， ， 2 4 8 16
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
2
（2）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于 首末两项之积，即 a1 an a2 an1 a3 an2 ．
这些数列有什么共同点？
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（1） “从第二项起”与“前一项”之比为常数，不能颠倒顺序．
q 0 时，当 a1 0 ， {an } 正负相间； a1 0 ， {an } 负正相间；
每隔一项符号相同．
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
a32 = a1 ?a9
(a1 + 2d )2 = a1 ?(a1 a12 + 4a1 ?d 8d )
a1 = d
4d 2 = a12 + 8a1d
13 16
一个思想
类比思想 不完全
两个方法
叠乘法
a5 a4 q a1 q4
an q an 1
an q n 1 a1
an a1 q
n1
二、等比数列的通项公式
an q an 1
an a1 qn1
【问题3】怎样用函数观点来分析等比数列 的通项公式呢？
an c qn (c, n 为常数 )
q
nm
（2）隐含：任一项 an 0 ，且 q 0 ．
（3）非零常数列是等比数列，也是等差数列，此时 q 1 ；
an 0 ， {an } 不是等比数列，只能是等差数列．
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，