6-函数的单调性

函数的单调性知识要点1、函数单调性定义：如果对于任意的 x 1、x 2∈（a,b)，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间(a,b)上是增函数（或减函数）,(a,b)叫这个函数的单调递增（或递减）区间，说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性。

2、函数单调性指的是某个区间上的性质，是定义域中的一部分；要说函数是增函数则必须在整个定义域内递增；函数在每个区间上递增也未必是增函数，如正切函数，y = -1/x 等；3、复合函数单调性：同增异减4、判断函数单调性的方法：①定义法，即比较法；②图象法；③复合函数单调性判断法则；6、一些常用的结论：①在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数②函数(0)k y x k x=+>是奇函数，在(,-∞和)+∞上递增；在)⎡⎣和(0上是递减，进而可确定k y ax x =+型函数的的单调区间。

题型归类题型一：判断或证明函数的单调性例1 利用单调性的定义证明函数3()1f x x =-+在（-∞，+∞）上是减函数。

变式训练：讨论函数y =x +a x，（a >0)的单调性。

题型二：利用单调性求参数的值或取值范围例2（2004湖南）若f (x )= -x 2+2ax 与1)(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是题型三：函数单调性的应用例3 已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞。

当1>x 时，,0)(>x f 且).()()(y f x f xy f +=（1） 求)1(f ；（2）证明)(x f 在定义域上是增函数；（3）如果1)31(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围。

函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 （一）函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇，偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶，奇×/÷偶=奇，偶×/÷偶=偶（二）函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法。

1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数围，一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题，接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间，根据此区间比已知单调区间大去求解。

4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减，增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；（三）复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数：)(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域的单调性。

（四）函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

2、三角函数的周期①π==T x y :tan ，||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析（一）考查一般函数的奇偶性例1、 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于（ ）A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称（二）考查函数奇偶性的判别 例2、判断下下列函数的奇偶性（1）22(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ （2）24()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ． （1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；变式4、判断下下列函数的奇偶性（1）21()log 1x f x x -=+ （2）1,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩（三）考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是( )(A)f(x)为奇函数 （B ）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D ）f(x)+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ，当,x y R ∈时，恒有()()()f x y xf y yf x +=+，求证()f x 是偶函数。

高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容： 函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间 （1）增函数：对任意，则为上的增函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。

图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。

注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。

2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。

（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。

，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。

（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。

（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。

（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。

3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明） （3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。

第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日中值定理和函数的单调性引言为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述:弧AB 上有一点P ，该处的切线平行与弦AB ．如何揭示出这一叙述中所包含的“数量"关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何"，故如建立坐标系，则弧AB 的函数是y=f(x)，x ∈［a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=．如点P 处有切线，则f （x ）在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a --，曲线y=f(x ）上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b aξ-'=-． 撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及函数在端点的函数值．这样这个公式就把函数及其导数联系起来．在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础．鉴于(,)a b ξ∈，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理．剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在［a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的．换言之，如保证类似点P 存在，曲线弧AB 至少是连续的，而且处处有切线．反映到函数y=f （x ）上,即要求y=f （x)在[a,b ］上连续，在（a,b)内可导．一、 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理1、罗尔中值定理定理6．1：若f 满足如下条件：（1）f ∈[a,b ］;（2）f 在(a ，b ）内可导；(3）f （a)=f （b)，则存在ξ∈（a,b),使得()0f ξ'=．（分析)由条件（1)知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件(2)及(3），应用费马定理便可得到结论．证明:因为f 在[a,b ］上连续，所以有最大值与最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况讨论：(i)若M = m ， 则 f 在［a ，b ］上必为常数，从而结论显然成立．(ii ）若m ＜ M ，则因 f （a)=f (b ），使得最大值M 与最小值m 至少有一个在（a ，b)内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点，由条件（2) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0。

第6课函数的单调性【自主学习】第6课函数的单调性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是.(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数；④若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数.【答案】②③【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析.2.(必修1P55习题8改编)函数f (x )=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .【答案】342⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】函数f (x )的定义域是(-1，4)，令u (x )=-x 2+3x+4，则u (x )=23--2x ⎛⎫⎪⎝⎭+254的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.因为e >1，所以函数f (x )的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(必修1P44习题4改编)已知函数y=f (x )是定义在R 上的单调减函数，则满足f (2-a 2)<f (a )的实数a 的取值范围为 . 【答案】(-2，1)【解析】由于f (x )在R 上是单调减函数，所以由f (2-a 2)<f (a )，可得2-a 2>a ，解得-2<a<1.4.(必修1P44习题2改编)若函数f (x )=x 2-mx+3在[2，+∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-∞，4]【解析】依题意得2m≤2，解得m ≤4.1.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.2.复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法；(2)函数的图象法；(3)导函数法.【要点导学】要点导学各个击破函数单调性的判断与证明例1 (2015·南京一中)已知函数f (x )=-xx a (x ≠a ). (1)若a=-2，求证：f (x )在(-∞，-2)上单调递增；(2)若a>0且f (x )在(1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.【思维引导】用定义证明函数单调性：设元取值，作差变形，确定符号，得出结论；利用导数证明函数单调性：求导函数，确定符号，得出结论.【解答】(1)任取x 1<x 2<-2，则f (x 1)-f (x 2)=112x x +-222x x +=12122(-)(2)(2)x x x x ++.因为(x 1+2)(x 2+2)>0，x 1-x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(-∞，-2)上单调递增. (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=11-x x a -22-x x a =2112(-)(-)(-)a x x x a x a .因为a>0，x 2-x 1>0，所以要使f (x 1)-f (x 2)>0， 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是(0，1].【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；(5)导数法.利用定义法的关键是对f (x 1)-f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式 已知函数f (x )=x+1x ，求证：函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数. 【解答】在区间(0，1]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2.则f (x 1)-f (x 2)=111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(x 1-x 2)+2112-x x x x =121212(-)(-1)x x x x x x ， 因为x 1<x 2，所以x 1-x 2<0， 又因为0<x 1<x 2≤1， 所以x 1x 2>0，x 1x 2-1<0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数.结合函数单调性求参数范围例2 若函数f (x )=-11ax x +在区间(-∞，-1)上是减函数，求实数a 的取值范围. 【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.【解答】f (x )=-11ax x +=a-11a x ++，设x 1<x 2<-1，则f (x 1)-f (x 2)=11-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭-21-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=211a x ++-111a x ++=1221(1)(-)(1)(1)a x x x x +++. 又函数f (x )在(-∞，-1)上是减函数， 所以f (x 1)-f (x 2)>0， 由于x 1<x 2<-1，所以x 1-x 2<0，x 1+1<0，x 2+1<0， 所以a+1<0，即a<-1.故实数a 的取值范围是(-∞，-1).【精要点评】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解.需要注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式(1)如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f(2)的取值范围为.(2)已知函数f(x)=21-212-1xx a xa a x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩，，，，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为.【答案】(1)[7，+∞)(2)(1，2]【解析】(1)由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11，所以求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.二次函数f(x)在区间112⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，由于其图象开口向上，于是-12a≤12，解得a≤2，故f(2)≥-2×2+11=7，即f(2)的取值范围是[7，+∞).(2)由题意，得12+12a-2≤0，且a>1，解得1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-23，且当x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.【思维引导】(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证.(2)用函数的单调性即可求最值.【解答】(1)方法一：因为函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x，得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2，则x1-x2>0，f(x)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).1因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2).因此函数f(x)在R上是减函数.方法二：设x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x)=f(x1-x2).2因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在R上为减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[-3，3]上也是减函数，所以f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2，所以函数在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2.【精要点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2，在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小，或比较12()()f xf x与1的大小.有时根据需要，需作适当地变形，如x1=x2·12xx或x 1=x2+x1-x2等；利用函数单调性可以求函数最值.变式已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.【解答】(1)设x1<x2，所以x2-x1>0，因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2-x1)>1.又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1，所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数.(2)因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1，f(3)=4⇒f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2，所以f(a2+a-5)<2=f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2+a-5<1⇒-3<a<2，即不等式的解集是(-3，2).1.(2014·南通中学)已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】因为f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，所以x<-1或x>1.2.(2015·海安中学)已知函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】11 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】因为函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在区间(-∞，+∞)上是减函数，那么在每一段上都是递减的，可知3a-1<0，0<a<1，且3a-1+4a≥0，所以实数a的取值范围是1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(2014·苏锡常镇调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点，则实数k的值为.【答案】1 4【解析】令y=f(x2)+f(k-x)=0，得f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又f(x)是R上的单调函数，故原命题等价于方程x2=x-k有唯一解，由Δ=0，得k=1 4.4.(2015·陕西卷改编)设f(x)=ln x，0<a<b，若p=f，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭，r=12[f(a)+f(b)]，有下列关系式：①q=r<p；②q=r>p；③p=r<q；④p=r>q，其中正确的是.(填序号)【答案】③【解析】p=f(ab)=ln ab=12ln ab，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭=ln2a b+，r=12[f(a)+f(b)]=12 ln ab.因为2a b+>ab，且f(x)=ln x在(0，+∞)上是单调增函数，所以f 2a b+⎛⎫⎪⎝⎭>f(ab)，所以q>p=r.5.(2015·盐城中学)已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，求实数m的取值范围.【解答】因为f(x)在(-2，2)上是减函数，所以由f(m-1)-f(1-2m)>0，得f(m-1)>f(1-2m)，所以-2-12-21-22-11-2mmm m<<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，即-1313-2223mmm⎧⎪<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪⎩，，，解得-12<m<23，所以实数m的取值范围是12-23⎛⎫⎪⎝⎭，.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第11~12页.【检测与评估】第6课函数的单调性一、填空题1.(2014·郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数，那么满足f(x)<f(2x-3)的x的取值范围是.2.若函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞，1]上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则实数a的值是.3.函数y=-(x-3)|x|的单调增区间是.4.若函数f(x)=12axx++在区间(-2，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是.5.若函数f(x)=x-[1，4]上单调递增，则实数a的最大值为.6.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3，+∞)，则实数a的值为.7.(2014·成都外国语学校)已知函数f(x)=1000-10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g(x)=x2f(x-1)，那么函数g(x)的单调减区间是.8.(2015·福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m，+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于.二、解答题9.试讨论函数f (x )=2-1ax x ，x ∈(-1，1)的单调性(其中a ≠0).10.已知函数f (x )=log a (3x 2-2ax )在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，求实数a 的取值范围.11.已知函数f (x )=22x x ax ++，x ∈[1，+∞).(1)当a =12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，+∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a ，b ∈R ，有f (a +b )=f (a )·f (b ). (1)求f (0)的值；(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0； (3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1，求x 的取值范围.【检测与评估答案】第6课函数的单调性1.(3，+∞)【解析】依题意得，不等式f(x)<f(2x-3)等价于x<2x-3，解得x>3，即x的取值范围是(3，+∞).2.5【解析】依题意可得对称轴为x=-1 22a⨯=1，所以a=5.3.32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】y=-(x-3)|x|=22-30-30.x x xx x x⎧+>⎨≤⎩，，，作出该函数的图象如图所示，观察图象知单调增区间为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(第3题)4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=1112axx++-2212axx++=1221122-2-(2)(2)ax x ax xx x+++=1212(-)(2-1)(2)(2)x x ax x++>0，由x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，知2a-1>0，所以a> 12.5.2 【解析】令x =t ，所以t ∈[1，2]，即f (t )=t 2-at ，因为f (x )在[1，4]上单调递增，所以2a≤1，即a ≤2，所以a 的最大值为2.6.-6 【解析】容易作出函数f (x )的图象(图略)，可知函数f (x )在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，又已知函数f (x )的单调增区间是[3，+∞)，所以-2a=3，解得a=-6.7.[0，1) 【解析】由条件知g (x )=22101-1x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，其图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第7题)8.1 【解析】由f (1+x )=f (1-x )，得函数f (x )关于直线x=1对称，故a=1，则f (x )=2|x-1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，+∞)上单调递增，故m ≥1，所以实数m 的最小值等于1.9.方法一：任取x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2，则f (x 2)-f (x 1)=222-1ax x -121-1ax x =12122221(-)(1)(-1)(-1)a x x x x x x +.因为-1<x1<x2<1，所以|x1|<1，|x2|<1，x1-x2<0，21x-1<0，22x-1<0，|x1x2|<1，即-1<x1x2<1，所以x1x2+1>0.因此，当a>0时，f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，此时函数为减函数；当a<0时，f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，此时函数为增函数.方法二：f'(x)=-222(1)(-1)a xx+，x∈(-1，1)，所以当a>0时，f'(x)<0，此时函数为减函数；当a<0时，f'(x)>0，此时函数为增函数.10.当0<a<1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则2132113-2022aa⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯⋅>⎪⎪⎝⎭⎩，，解得0<a<3 4.当a>1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则21331-20aa⎧≥⎪⎨⎪⨯>⎩，，无解.综上，实数a的取值范围是34⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)当a=12时，f(x)=x+12x+2.因为f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，所以f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为f(1)=7 2.(2)方法一：在区间[1，+∞)上，f(x)=22x x ax++>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设函数y=x2+2x+a，因为y=(x+1)2+a-1在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y min=3+a，当且仅当y min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>-3.方法二：f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)单调递增，所以当x=1时，f(x)min=3+a.当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，所以a>-3. 综上，实数a的取值范围为(-3，+∞).12.(1)令a=b=0，则f(0)=f(0)·f(0)，又f(0)≠0，解得f(0)=1.(2)当x<0时，-x>0，所以f(0)=f(x)·f(-x)=1，因为x>0时，f(x)>1>0，所以f(-x)=1()f x>0.又f(0)=1>0，所以对任意的x∈R时，恒有f(x)>0.(3)设x1<x2，则x2-x1>0，所以f(x2-x1)>1，所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1)>f(x1)，即f(x)在R上是增函数.(4)由f(x)·f(2x-x2)>1，可得f(x+2x-x2)>1，即f(3x-x2)>f(0).由(3)知f(x)在R上是增函数，所以3x-x2>0，所以0<x<3. 即x的取值范围是(0，3).。

函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。

3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。

6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。

8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、 用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。

（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。

2、 求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。

3、 讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、 设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。

二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。

2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。

三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、 如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。

函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数2x y =的图像.图像在y 轴的右侧部分是上升的，当在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上是增函数.图像在y 轴的左侧部分是下降的，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小，如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时，有12y y <。

这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上是减函数.1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

（4）若函数()f x 在其定义的两个区间A 、B 上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为()f x 在区间A B U 上是增（减）函数. 例如1()f x x=在区间(,0)-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞U 上是减函数.（3）用定义法判断函数的单调性：①定义域取值；任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ②作差；作差f (x 1)－f (x 2)； ③变形；通常是因式分解和配方； ④定符号；即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负⑤下结论．指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数.练习：讨论函数21)(x x f -=在[-1,0]的单调性.在[-1,0]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -=,2221)(x x f -= 从而)(1x f -2221211)(x x x f ---== 2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有0112221>+++x x∵-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f ∴ 在[-1，0]上f (x )为增函数2.基本函数的单调性例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)是减函数,在[a,2]是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)是减函数.3.判断函数的单调性的常见结论①设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1＜x 2，那么()()210f x f x ->⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；()()210f x f x -<⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么()()21210f x f x x x ->-⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ()()21210f x f x x x -<-⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．③ (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．例：求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间.4. 关于分段函数的单调性(1)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上是增函数, ()h x 在区间[],c d 上是增函数,则()f x 在区间[][],,a b c d U 上不一定是增函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d U 上一定是增函数,需补充条件: ()()g b h c ≤(2)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上是减函数, ()h x 在区间[],c d 上是减函数,则()f x 在区间[][],,a b c d U 上不一定是减函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d U 上一定是减函数,需补充条件: ()()g b h c ≥例：已知函数()(0)(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨-+≥⎩＝若对任意x 1，x 2，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值围是( )A ．(0,14] B ．(0,1) C ．[14,1) D ．(0,3)5．函数的最值例：f(x)＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max ＝________.6.利用函数的单调性求最值例题：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明:令0x y ==,则(0)0f =;再令y x =-,则应有()()f x f x -=-,从而在R 上任取12x x >,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-.1212,0.x x x x >∴->Q 又0x >Q 时,()0f x <,从而12()0f x x -<,即12()()f x f x <,由定义可知函数()f x 在R 上的减函数.(2)Q 函数()f x 是R 上的减函数,()f x ∴在区间[3,3]-上也是减函数.从而可知在区间[3,3]-上,(3)f -最大,(3)f 最小.2(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)3()2,3f f f f f f f =+=++==⨯-=-Q (3)(3) 2.f f ∴-=-=即()f x 在[3,3]-上的最大值为2,最小值为－2.练习：已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f (yx)＝f (x )－f (y ).，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。