6、函数之函数的单调性(教师版)

6、函数之函数的单调性

函数单调性的相关知识点：

一：函数的单调性的定义。（设函数)(x f y =

的定义域为

I ）。

1.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值

2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增

函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。

2.减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值

2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减

函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。

3.单调性：如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函

数)(x f 在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。

二：证明或判断单调性的方法与步骤。

1. 定义法：（1）取值。 （2）作差变形。 （3）定号。 （4）下结论。

2. 导数法：（1）求导。 （2）判断导函数f ′(x )的符号。若f ′(x ) > 0，则函数

为增函数。 若f ′(x ) < 0，则函数为减函数。

3. 图像法：主要用来判断。

三：函数单调性的有关性质。

若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质。 1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。

2. 函数)()(x af x f 与，当0>a 时，具有相同的单调性，当0

调性。

3. 当函数)(x f 恒不等于0时。函数

)()

(1

x f x f 与具有相反的单调性。 4. 当函数0)(≥x f 时。函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。

5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则：)()(x g x f +为某个区间上的增（减）函数。

6. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则)()(x g x f •：当两者都恒大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。

7. 奇函数在原点的两侧具有相同的单调性，偶函数在原点的两侧具有相反的单调性。

8. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

9. 若)(x f 在区间D 上为增函数，且D x x ∈21,。则：()[]0

)

()()3(0)()()()2()

()(12

12121212121>-->-⋅-<⇔

10. 若)(x f 在区间D 上为减函数，且D x x ∈21,。则：()[]0

)

()()3(0)()()()2()

()(12

12121212121<--<-⋅->⇔

题型一、判断基本初等函数的单调性

1、下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝

x x －1

答案 D

解析 选项D 中，y ＝

x x －1＝1＋1x －1

.易知其在(－∞，1)上为减函数．故选D ．

2、下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1

x C ．y ＝lg x D ．y ＝x 3

答案 B

解析 y ＝－2x ＋1在定义域R 上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域(0，＋∞)上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域R 上为单调递增函数；y ＝1

x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在定义域内不单调，故选B ．

3、函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )

A ．(3，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，1)

D ．(－∞，－1) 答案 A

解析 由已知易得⎩⎨⎧

x ＋1>0，

x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，

∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．

四：复合函数单调性的判断方法：

1. 复合函数的定义：形如：[])(x g f y =的函数称为复合函数。 令：)(x g t =称为内层函数。)(t f y =为外层函数。

2. 判断方法。（同增异减）

题型二、用定义判断函数的单调性。

1、讨论函数x

x x f 1

)(+=的单调性（引出对勾函数模型）

2、证明：函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。

3、判断函数g (x )＝－2x

x －1

在(1，＋∞)上的单调性．

题型三、求函数的单调区间。

类型1、数形结合求函数的单调区间。

1、函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )

A ．[1,2]

B ．[－1,0]

C ．[0,2]

D ．[2，＋∞)

答案 A

解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧

x 2－2x ，x ≥2，

－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．

2、求函数 y ＝－x 2＋2|x |＋1 的单调区间： 解 由于y ＝⎩⎨⎧

－x 2＋2x ＋1，x ≥0，

－x 2－2x ＋1，x <0，

即y ＝⎩⎨⎧

－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2

＋2，x <0.

画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．